Example 5.4 Consider ������: ������/Y/ → ������M with ������ Z[������������ ������������ _` = (������ + 1, ������, ������ + ������). Determine whether ������ is a linear transformation. 145
Example 5.5 Let ������: ������/ → ������/ be defined by ������(������, ������) = (������/, ������������). Determine whether ������ is a linear transformation. 146
Example 5.6 Let ������: ������/Y/ → ������/ be defined by ������ Z[������������ ������������_` = (������ + ������, ������ + ������ + 1) Determine whether ������ is a linear transformation. 147
Example 5.7 Consider ������: ������M → ������/Y/ be defined by ������(������������M + ������������/ + ������������ + ������) = [������ + ������ 0������_ ������ Determine whether ������ is a linear transformation. 148
7. Properties of Linear Transformation: Let ������: ������ → ������ be a linear transformation where ������ and ������ are in ������. Then the following properties are true. • ������(0) = 0 • ������(−������) = −������(������) • ������(������ − ������) = ������(������) − ������(������) • If ������ = ������2������2 + ������/������/ + . . . + ������=������= where ������2, ������/, . . . , ������=, then ������(������) = ������(������2������2 + ������/������/ + . . . + ������=������=) = ������2������(������2) + ������/������(������/) + . . . + ������=������(������=) Example 5.8 Let ������: ������M → ������M be a linear transformation defined by ������(1, 0, 0) = (2, −1, 4), ������(0, 1, 0) = (1, 5, −2), ������(0, 0, 1) = (0, 3, 1) Find ������(2, 3, −2). ������(2, 3, −2) = ������d(2, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0, −2)e = 2������(1, 0, 0) + 3������(0, 1, 0) − 2������(0, 0, 1) = 2(2, −1, 4) + 3(1, 5, −2) − 2(0, 3, 1) = (4, −2, 8) + (3, 15, −6) − (0, 6, 2) = (7,7, 0) Example 5.9 Let ������: ������M → ������/ be a linear transformation defined by ������(1) = 1 − ������, ������(������) = ������ + ������/, ������(������/) = 1 + 3������, ������(������M) = 2 − ������ a) Find ������(������ + ������������ + ������������/ + ������������M). ������(������ + ������������ + ������������/ + ������������M) = ������(������) + ������(������������) + ������(������������/) + ������(������������M) = ������������(1) + ������������(������) + ������������(������/) + ������������(������M) = ������(1 − ������) + ������(������ + ������/) + ������(1 + 3������) + ������(2 − ������) = ������ − ������������ + ������������ + ������������/ + ������ + 3������������/ + 2������ − ������������ = (������ + ������ + 2������) + (−������ + ������ − ������)������ + (������ + 3������)������/ 149
b) Find ������(2 − 3������ + ������/ − 4������M). ������(2 − 3������ + ������/ − 4������M) = ������(������ + ������������ + ������������/ + ������������M) = (������ + ������ + 2������) + (−������ + ������ − ������)������ + (������ + 3������)������/ = d2 + 1 + 2(−4)e + d−2 + (−3) − (−4)e������ + d−3 + 3(1)e������/ = −5 − ������ + 0������/ Example 5.10 Let ������: ������/ → ������M be a linear transformation defined by ������ [−11_ = 1 ������ [11_ = 0 i2j, i2j 0 2 Find a) ������ [������������_ b) ������ [51_ 150
Example 5.11 Let ������: ������/Y/ → ������/ be a linear transformation defined by ������ Z[01 00_` = 1 − ������, ������ Z[00 10_` = 1 + ������ + ������/ ������ Z[10 00_` = ������ − 3������/, ������ Z[00 01_` = −2 + ������ − ������/ Find a) ������ Z[������������ ������������_` b) ������ Z[24 − 32_` 151
5.2 Kernel and Range 1. Let ������: ������= → ������9 be a linear transformation such that ������22 ������2/ ������2= ������/2 ������// l������/⋮9 ������(������2) = l ⋮ n , ������(������/) = l ⋮ n , … , ������(������=) = n ������92 ������9/ ������9= where {������2, ������/, … ������=} is a standard basis for ������=. Then the ������ × ������ matrix whose ������ columns correspond to ������(������<) is ������ = (������(������2) ������(������/) ⋯ ������(������=)) ������22 ������2/ ⋯ ������2= ������/2 ������// ⋯ ������/= = l ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ n ������92 ������9/ ⋯ ������9= such that ������(������) = ������������ for every v in ������=. ������ is called the standard matrix for ������. 2. In matrix form, the linear transformation is presented as follows. ������2 ������22 ������2/ ⋯ ������2= ������2 l������⋮/ n ������/2 ������// ⋯ ������/= l������⋮/ ������ = l ⋮ ⋮ ⋮ n n ������= ������92 ������9/ ⋯ ������9= ������= Example 5.12 Let ������: ������/ → ������M defined by ������ [������������_ = ������ − ������ Find the standard matrix for ������. i 2������ j. 3������ Write the column vector for each standard bases. ������(������2) = ������ [10_ = 1 ������(������/) = ������ [01_ = −1 i2j i0j 0 3 Therefore, the standard matrix ������ = (������(������2) ������(������/)) 1 −1 = i2 0 j 03 152
Note that ������(������) = ������������ ������ [������������_ = ������ − ������ = 1 −1 [������������_ i2������ + 0������j i2 0j + 3������ 3 0������ 0 Example 5.13 Find the standard matrix for the linear transformation ������: ������M → ������/ defined by ������(������, ������, ������) = (������ − 2������, 2������ + ������) 3. Kernel of a Linear Transformation ������: Let ������: ������ → ������ be a linear transformation. Then the set of all vectors ������ in ������ that satisfy ������(������) = ������ is called the kernel of ������ and is denoted by ker(������). ������: domain Kernel ������ ������: codomain ������ Range ������ • The kernel of a linear transformation ������: ������ → ������ is a subspace of the domain ������. • Let ������: ������ → ������ be a linear transformation given by ������(������) = ������������, then the kernel of ������ is equal to the solution space of ������������ = ������. 153
Example 5.14 Let ������: ������M → ������/ be a linear transformation defined by ������ ������ = •−������������−+������2+������ +2������������€ }������~ ������ Find the kernel of ������ and a basis for ker(������). 154
Example 5.15 Let ������: ������/•/ → ������/ be a linear transformation defined by ������ Z[������������ ������������_` = (������ + ������ + ������) + (������ − 2������ + ������)������ Find the kernel of ������ and a basis for ker(������). 155
4. Range of a Linear Transformation ������: Let ������: ������ → ������ be a linear transformation. Then the set of all vectors ������ in ������ that are images of all vectors in ������ is called the range of ������ and is denoted by range(������). • The range of a linear transformation ������: ������ → ������ is a subspace of the codomain ������. • Let ������: ������ → ������ be a linear transformation given by ������(������) = ������������, then the range of ������ is equal to the column space of matrix ������. Example 5.16 Let ������: ������M → ������/ be a linear transformation defined by ������ ������ = •−������������−+������2+������ +2������������€ }������~ ������ Find a basis for range(������). Example 5.17 Let ������: ������/•/ → ������2 be a linear transformation defined by ������ Z[������������ ������������_` = (������ + ������ + ������) + (������ − 2������ + ������)������ Find a basis for range(������). 156
5. Nullity of a linear transformation ������ null(������) = dim(ker(������)) 6. Rank of a linear transformation ������ rank(������) = dimdrange(������)e 7. Let ������: ������ → ������ be a linear transformation with standard matrix ������ where the size is ������ × ������. Then • null(������) = null(������) • rank(������) = rank(������) • rank(������) + null(������) = ������ • dimdrange(������)e + dim(ker(������)) = dim(������) Example 5.18 Let ������: ������/ → ������M defined by ������ [������������_ = ������ − ������ i 2������ j. 3������ a) Find the kernel of ������ and a basis for ker(������). 157
b) Find a basis for the range of ������. c) Determine null(������) and rank(������). 158
5.3 One to One and Onto Transformations 1. One-to-one: A linear transformation ������: ������ → ������ is called one-to-one if for all ������ and ������ in ������, ������(������) = ������(������) implies that ������ = ������. 2. Theorem: Let ������: ������ → ������ be a linear transformation. Then ������ is one-to-one if and only if ker(������) = {������}. 3. Onto: A function ������: ������ → ������ is onto if every element in ������ has a pre-image in ������. 4. Theorem: Let ������: ������ → ������ be a linear transformation, where ������ is finite dimensional. Then ������ is onto if and only if rank(������) = dim(������) = dim(������������������������������������������������). 5. Isomorphism: A linear transformation ������: ������ → ������ that is one-to-one and onto is called an isomorphism. • If ������ and ������ are vector spaces such that there exists an isomorphism for ������ to ������, then ������ and ������ are said to be isomorphic. 6. Theorem: Two finite-dimensional vector space ������ and ������ are isomorphic if and only if they have the same dimension. dim(������) = dim (������) Example 5.19 Let ������: ������/ → ������M defined by ������ [������������_ = ������ − ������ i 2������ j. 3������ a) Is ������ is one-to-one? Give your reason. b) Is ������ is onto? Give your reason. 159
Example 5.20 Let ������: ������/ → ������/ be a linear transformation defined by ������ [������������_ = (������ + ������) + 2������������ + (������ − ������)������/ a) What is the domain and codomain of ������? Find the dimension of the domain and codomain of ������. b) Find a basis for ker(������). c) Find a basis for the range of ������. 160
d) State the nullity and rank of ������. e) Is ������ one-to-one? f) Is ������ onto? 161
Example 5.21 ������ ������ + 2������ + 3������ Let ������: ������M → ������M defined by ������ }������~ = i ������ + 3������ + 6������ j. ������ 2������ + 6������ + 13������ a) Find the kernel of ������ and a basis for ker(������). b) Find a basis for the range of ������. 162
c) State the nullity and rank of ������. d) Is ������ one-to-one? e) Is ������ onto? 163
Example 5.22 ������ •−������ + ������ − 2������ + 2������€. ������ − ������ + 4������ Let ������: ������‡ → ������/ defined by ������ ˆ ������ ‰ = ������ ������ a) Find the standard matrix ������ for the transformation ������. b) Find the kernel of ������ and a basis for ker(������). c) Find a basis for the range of ������. 164
d) State the nullity and rank of ������. e) Is ������ one-to-one? f) Is ������ onto? 165
5.4 Inverse of a Linear Transformation 1. Invertible: A linear transformation ������: ������ → ������ is said to be invertible if there exists a unique function ������Š2: ������ → ������ where ������Š2d������(������)e = ������Š2(������) = ������ and ������d������Š2(������)e = ������(������) = ������ for all v in ������ and w in ������. ������ v ������Š2 ������ = ������(������) ������ ������ 2. Theorem: Let ������: ������= → ������= be a linear transformation with standard matrix ������9×=. The following conditions are equivalent. • ������ is invertible • ������ is isomorphism (one-to-one & onto) • ������ is invertible If ������ is invertible with the standard matrix ������, then the standard matrix for ������Š2 is ������Š2. Example 5.23 Let ������: ������/ → ������/ is a linear transformation where ������ [������������2/_ = •24������������22 + 36������������//€ + Determine whether ������ is invertible. If it is, find ������Š2 [������������2/_. Standard matrix, ������ = [24 36_ |������| = Œ42 36Œ = (2 × 6) − (3 × 4) = 12 − 12 = 0 Since |������| = 0, then ������Š2 does not exist. Therefore, ������ is not invertible. 166
Example 5.24 Let ������: ������/ → ������/ is a linear transformation where ������ [������������2/_ = •2������������22 + 3������/ € + ������/ a) Show that ������ is invertible. b) Find ������Š2 [������������2/_. c) Find ������Š2 [−11_. 167
Example 5.25 Let ������: ������M → ������M is a linear transformation where ������ ������ + ������ − ������ ������ }������~ = } −������ + ������ ~ ������ ������ − ������ ������ Determine whether ������ is invertible. If it is, find ������Š2 }������~. ������ 168
Example 5.26 Let ������: ������M → ������M is a linear transformation where ������ ������ + 2������ − ������ ������ }������~ = i 2������ + 5������ + ������ j ������ −������ − 2������ + 2������ ������ Determine whether ������ is invertible. If it is, find ������Š2 }������~. ������ 169
CHAPTER 6: EIGENVALUES AND EIGENVECTORS 6.1 Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors 1. Let ������ be an ������ × ������ matrix. The scalar ������ is called an eigenvalue of A if there exists a nonzero vector v in ������& that satisfies ������������ = ������������ 2. The vector v is called the eigenvector corresponding to ������. 3. The eigenvalue ������ may have the value zero. 4. The eigenvector ������ ≠ ������ (non-zero vector). Example 6.1 Determine whether the vectors ������ = +21. is an eigenvector for the matrix ������ = +−12 14. and find the corresponding eigenvalues. ������������ = ������������ +−12 41. +12. = ������ +12. +−12++28. = ������ +21. +36. = ������ +21. 3 +21. = ������ +12. ������ is an eigenvector for ������ where the eigenvalue ������ = 3. 170
Example 6.2 Determine whether the vectors ������ = +21. is an eigenvector for the matrix ������ = +−32 −41. and find the corresponding eigenvalues. Example 6.3 3 01 2 Determine whether the vectors ������ = 608 is an eigenvector for the matrix ������ = 60 −1 0 8 0 0 0 −1 and find the corresponding eigenvalues. 171
Example 6.4 −1 0 1 1 Determine whether the vectors ������ = 6 0 8 is an eigenvector for the matrix ������ = 61 4 −38 1 01 1 and find the corresponding eigenvalues. 5. Eigenspace: If ������ be an ������ × ������ matrix with an eigenvalue ������, then the set of all eigenvectors of ������ together with the zero vector is a subspace of ������&. This subspace is called the eigenspace. 6. Eigenvalues of Triangular Matrix: If ������ is an upper triangular, lower triangular or diagonal matrix, then its eigenvalues are the entries on its main diagonal. Example 6.5 Find all the eigenvalues for the following matrices. −4 1 0 a) 6 0 0 58 0 08 −2 0 0 0 0 1 0 00; b) : 0 0 5 0 000 172
7. Finding eigenvalues and eigenvectors: Let ������ be an ������ × ������ matrix. • The eigenvalues of ������ are the values of ������ such that |������ − ������������| = 0. • The eigenvectors corresponding to each ������ are the nontrivial solutions for the homogeneous system (������ − ������������)������ = ������. 8. Geometric Multiplicity (GM): The dimension of the eigenspace for the eigenvalue ������. ������������ = dim(������F) 9. Algebraic Multiplicity (AM): The number of times an eigenvalue ������ occurs as a root of a characteristic equation. ������������ = frequency of ������ 10. Relationship between Geometric and Algebraic Multiplicity: For every eigenvalue of ������&×&, ������������ ≤ ������������ Note: If ������������ = 1, then it must be that at least ������������ = 1, since ������������ ≠ 0. 173
Example 6.6 Find all the eigenvalues and corresponding eigenvectors for the matrix ������ = +21 −41.. 174
Example 6.7 221 For the matrix ������ = 61 3 18, find all the eigenvalues for ������ and find the eigenvectors 122 corresponding to the smallest eigenvalue. 175
Example 6.8 −1 2 4 Find all the eigenvalues and corresponding eigenvectors for the matrix ������ = 6 0 −1 1 8. 0 0 −1 176
Example 6.9 −2 1 2 For the matrix ������ = 6 2 −3 −18, find all the eigenvalues for ������ and find the eigenvector 0 0 −1 corresponding to the smallest eigenvalue. 177
Example 6.10 −1 −6 0 For the matrix ������ = 6 1 4 18, find all the eigenvalues for ������ and find the eigenvector 2 4 1 corresponding to the largest eigenvalue. 178
11. Let ������ be an ������ × ������ matrix with the eigenvalue ������ and the corresponding eigenvector v. • Powers of matrix: ������������ is the eigenvalue for ������������ (������ is a positive integer) and v is the corresponding eigenvector. • Transpose of matrix: ������ is the eigenvalues for the transpose of the matrix ������������. The corresponding eigenvector is obtained by solving the homogeneous system (������M − ������������)������ = ������. • Inverse of matrix: If ������ is invertible, then ������ is the eigenvalue for the inverse of the ������ matrix, ������O������ and v is the corresponding eigenvector. Example 6.11 Given ������ = +15 83.. Find all the eigenvalues and the corresponding eigenvectors for a) ������ b) ������P 179
c) ������M d) ������OQ 180
Example 6.12 200 The eigenvalues for the matrix ������ = 61 2 18 are ������ = 2, 2, 3 with the corresponding 103 eigenvectors given below. −1 0 For ������ = 2, ������ = S������ 6 0 8 + ������ 618 , ������, ������ϵ ������, ������ ≠ 0, ������ ≠ 0W 10 00 For ������ = 3, ������ = S������ 608 + ������ 618 , ������ϵ ������, ������ ≠ 0W 10 a) Find the eigenvalues and the corresponding eigenvectors for ������X. b) Find the eigenvalues for ������M and ������OQ. 181
12. A square matrix ������ is invertible (nonsingular) if and only if ������ = 0 is not one of the eigenvalues of ������. Example 6.13 100 By finding the eigenvalues, determine whether ������ = 61 0 18 is invertible or not. 102 Example 6.14 100 By finding the eigenvalues, determine whether ������ = 61 1 18 is invertible or not. 102 182
6.2 Diagonalization 1. Diagonalizable: ������ is diagonalizable if there exists an invertible matrix ������ such that ������OQ������������ = ������ where ������ is a diagonal matrix. 2. Theorem: An ������ × ������ matrix ������ is diagonalizable if ������ has n linearly independent eigenvectors. 3. Theorem: Let ������ be ������ × ������ matrix. If ������ has n distinct eigenvalues, then ������ is diagonalizable. Example 6.15 Determine whether the following matrices are diagonalizable. a) ������ = +−74 −26. 122 b) ������ = 60 1 08 023 183
3 00 c) ������ = 6 2 −2 08 −1 0 0 184
4. Theorem (Condition for Diagonalization): A matrix ������&×& is diagonalizable if and only if for every eigenvalue ������������ = ������������ Example 6.16 Determine whether the following matrices are diagonalizable. 20 0 a) ������ = 61 −1 2 8 3 0 −1 b) ������ = +31 −11. 185
−1 0 0 c) ������ = 6 3 4 98 2 21 123 d) ������ = 60 0 08 020 186
5. Steps in determining diagonalization of matrix. Let ������ be ������ × ������ matrix. Step 1: Find ������ linearly independent eigenvectors for ������. Step 2: Form the matrix ������ where the column vectors are made up of the eigenvectors ������Q, ������`, … , ������&, that is Step 3: ������ = (������Q ⋮ ������` ⋮ ������P ⋮ ⋯ ⋮ ������&) The diagonal matrix ������ is the matrix which has the elements ������Q, ������`, … , ������& on its main diagonal. The order of writing ������Q, ������`, … , ������& must be the same as the order of writing ������Q, ������`, … , ������& in ������. ������Q 0 0 0 0 ������` 0 0 ������ = : 0 0 ⋱ 0 ; 0 0 0 ������& Hence, we can show that ������OQ������������ = ������ where the diagonal entries of ������ are eigenvalues of ������ and the columns of ������ are the corresponding eigenvectors. Example 6.17 Determine whether the matrix ������ = +25 34. is diagonalizable. If yes, find the invertible matrix ������ and the corresponding matrix ������. 187
Example 6.18 Determine whether the matrix ������ = +− 52 − 74. is diagonalizable. If yes, find the invertible matrix ������ and the corresponding matrix ������. 188
Example 6.19 −2 2 −4 Determine whether the matrix ������ = 6 0 1 0 8 is diagonalizable. If yes, find the invertible 3 10 matrix ������ and the corresponding matrix ������. 189
Example 6.20 −2 0 0 Determine whether the matrix������ = 6 2 0 68 is diagonalizable. If yes, find the invertible 2 24 matrix ������ and the corresponding matrix ������. 190
Example 6.21 October 2016 Q7(b) 3 −2 0 Given 3 × 3 matrix, ������ = 6−2 3 08 with eigenvalues ������ = 1, 5, 5. The bases of the 0 05 1 eigenspaces corresponding to the smallest and largest eigenvalues of ������ are S618W and 0 −1 0 S6 1 8 , 608W, respectively. 01 i) Is ������ diagonalizable? Give a reason for your answer. (3 marks) ii) Is ������ invertible matrix? Give a reason for your answer. (2 marks) 191
192
This book is a compilation of lecture notes for Linear Algebra. We hope this book can serve as a supplementary reference and study guide for students taking an elementary linear algebra course. Image credit: Gray Concrete Building by FancyCrave.com Pexels
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200