โครงงานมหัศจรรย์ของมุม

โครงงานคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง มหัศจรรยข์ องมุม กบั รูปหลายเหลย่ี ม โดย 1. เด็กชายภานวุ ฒั น์ ยอ่ มมี เลขที่ 5 2. เด็กชายมงั กร พฤกษาชาติ เลขที่ 8 ชนั้ ประถมศกึ ษาปที ี่ 5/1 ครูท่ีปรกึ ษา 1. คณุ ครสู พุ รรษา ภแู่ ก้ว 2. คุณครูพรณภสั ส์ อนิ รอดวงศ์ กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นอนุบาลสุพรรณบุรี สำนกั งานเขตพืน้ ทกี่ ารศกึ ษาประถมศกึ ษาสพุ รรณบรุ ี เขต 1 สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

ค คำนำ คณะผู้จัดทำได้จดั ทำเอกสารฉบับน้ีขนึ้ เพื่อประกอบการเสนอโครงงานคณติ ศาสตร์ เร่ือง มหัศจรรย์ของมุม กับรูปหลายเหลี่ยม โดยกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับมุมภายในของ รูปหลายเหลี่ยม เช่น รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปห้าเหลี่ยม รูปหกเหลี่ยม เป็นต้น ตลอดจนเนื้อหาที่ เกี่ยวข้องมาช่วยในการคำนวณ และวิธีการดำเนินงาน การวิเคราะห์ข้อมูล แล้วนำผลมาสรุป อภิปราย และขอ้ เสนอแนะต่าง ๆ ในการทำโครงงาน คณะผจู้ ดั ทำหวังเปน็ อย่างย่ิงว่าเอกสารฉบบั น้ีจะเป็นประโยชน์ต่อผู้สนใจ คณะผู้จดั ทำ

สารบญั หน้า บทคัดย่อ .................................................................................................................... ก กิตตกิ รรมประกาศ ....................................................................................................... ข คำนำ ............................................................................................................................ ค บทที่ 1 บทนำ .......................................................................................................... 1 บทที 2 เอกสารท่เี กีย่ วขอ้ ง ...................................................................................... 4 บทท่ี 3 วธิ ีการดำเนินงาน ........................................................................................ 9 บทที่ 4 ผลการวิเคราะห์ขอ้ มูล ................................................................................ 12 บทที่ 5 สรปุ อภิปราย และข้อเสนอแนะ ................................................................. 13 บรรณานกุ รม ............................................................................................................... 14 ภาคผนวก ................................................................................................................... 15 **************************************

ชอื่ โครงงานเรือ่ ง ก . ช่ือผจู้ ัดทำโครงงาน มหัศจรรยข์ องมมุ กับรูปหลายเหล่ียม ครทู ่ีปรกึ ษาโครงงาน 1. เดก็ ชายภานวุ ัฒน์ ยอ่ มมี เลขท่ี 5 2. เดก็ ชายมงั กร พฤกษชาติ เลขท่ี 8 โรงเรยี น 1. คณุ ครูสุพรรษา ภูแ่ กว้ วชิ า 2. คุณครูพรณภัสส์ อนิ รอดวงศ์ ปกี ารศึกษา อนบุ าลสุพรรณบุรี คณิตศาสตร์ ระดบั ชน้ั ประถมศกึ ษาปีท่ี 5 2564 บทคัดยอ่ โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง มหัศจรรย์ของมุม กับรูปหลายเหลี่ยม เป็นโครงงานของ นกั เรยี นในระดับชั้นประถมศกึ ษาปีท่ี 5 โรงเรยี นอนบุ าลสุพรรณบุรี ท่ีจดั ทำขึน้ โดยนำวิชาคณิตศาสตร์ท่ี เกี่ยวขอ้ งมาใช้ในการทำโครงงานปรกอบดว้ ยชื่อเร่ืองโครงงาน วัตถปุ ระสงค์ ผลการทำโครงงานเรอ่ื ง มหัศจรรย์ของมุม กบั รปู หลายเหลีย่ ม พบวา่ รปู เหล่ียมท่ีเพ่ิมข้ึน 1 ดา้ น จะมขี นาดของมุมภายในเพ่ิมขึน้ ครัง้ ละ 180 องศา และความสมั พนั ธ์ระหว่าง ด้านของรปู เหลี่ยมท่ี เพิ่มขึ้นกับขนาดของมุมภายในของรปู เหล่ียมน้ัน ๆ หาได้จาก ( n-2) x 180 องศา เมื่อ n = จำนวนด้าน ของรปู หลายเหลย่ี ม

ข กติ ตกิ รรมประกาศ ในการจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์ เร่ือง มหัศจรรยข์ องมมุ กับรูปหลายเหลี่ยม ในคร้ังน้ี ไดร้ ับคำแนะนำและการสนบั สนนุ วัสดอุ ปุ กรณ์ สถานทใ่ี นการจดั ทำโครงงานคณิตศาสตรจ์ ากครสู พุ รรษา ภู่แก้ว และครูพรณภสั ส์ อินรอดวงศ์ ได้ใหค้ ำแนะนำในการจดั ทำโครงงานคณติ ศาสตร์ และให้ขอ้ มูลใน การจดั ทำเปน็ อยา่ งดีย่งิ จึงขอขอบพระคณุ มา ณ โอกาสน้ี หากคณะผ้จู ัดทำทำผดิ พลาดประการใด คณะผู้จัดทำ ตอ้ งขออภยั ไว้ ณ ท่นี ดี้ ว้ ย คณะผู้จัดทำ

1 บทท่ี 1 บทนำ ท่ีมาและความสำคัญของโครงงาน พวกเราทราบกันอยู่แล้ววา่ มมุ ภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกนั เท่ากบั 180 องศา และรูป สเี่ หลย่ี มมมี ุมภายในรวมกันเทา่ กับ 360 องศา

2 คณะผู้จัดทำโครงงานเกิดข้อสงสัยว่าถ้าเป็น รูปห้าเหลี่ยม รูปหกเหลี่ยม รูปเจ็ดเหลี่ยม รูปแปดเหลี่ยม รูปเก้าเหลี่ยม และรูปสิบเหลี่ยม มุมภายในของรูปเหลี่ยมต่าง ๆ จะเพิ่มขึ้นครั้งละ 180 องศาหรอื ไม่ คณะผูจ้ ัดทำจึงได้ทำการทดลองออกแบบสร้างรูปเหล่ียมต่าง ๆ แล้ววดั มุมภายในของรูป เหล่ยี มต่าง ๆ ขึ้นเพื่อเป็นการตอบข้อสงสยั ดังกล่าวข้างต้น วตั ถปุ ระสงค์ของการทำโครงงาน 1. เพ่อื ทดลองออกแบบสร้างรูปเหล่ยี มชนดิ ต่าง ๆ ว่ามมี มุ ภายในเป็นเท่าไร 2. เพอ่ื ศกึ ษาถงึ ความสัมพันธร์ ะหวา่ งดา้ นของรูปเหล่ยี มท่ีเพม่ิ ขน้ึ กับขนาดของมมุ ภายใน ของรปู เหลีย่ มน้นั ๆ เนอ้ื หาวิชาคณิตศาสตร์ทเ่ี ก่ียวขอ้ ง จากการทำโครงงานเรื่อง มหัศจรรย์ของมุม กับรูปหลายเหลี่ยม ผู้จัดทำได้นำวิชา คณิตศาสตร์ ในเรื่อง รูปสามเหลี่ยมมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้สองมุมฉากหรือเท่ากับ 180 องศา รปู ส่เี หลย่ี มมมุ ภายในของรูปสีเ่ หลยี่ ม รวมกนั ไดเ้ ทา่ กบั 360 องศา รูปหลายเหลี่ยมการหาขนาดของ มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมหาได้โดย แบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมหลาย ๆ รูป มาใช้ในการทำ โครงงาน

3 ประโยชน์ท่ีคาดว่าจะได้รับ 1. ทำให้ทราบวธิ ีการสร้างรูปเหลี่ยมชนิดตา่ ง ๆ ว่ามมี ุมภายในเป็นเท่าไร 2. ทำให้ทราบถงึ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งด้านของรปู เหลย่ี มที่เพิม่ ขึน้ กับขนาดของมมุ ภายใน ของรูปเหลย่ี มนน้ั ๆ

4 บทที่ 2 เอกสารท่ีเกย่ี วข้อง การทำโครงงานคณติ ศาสตร์ในคร้ังน้ี จะกลา่ วถึงหัวข้อตา่ ง ๆ ดังนี้ 1. รูปสามเหลย่ี ม(Triangle) รปู สามเหลีย่ ม (Triangle) คอื หน่งึ ในรูปรา่ งพ้ืนฐานในเรขาคณติ เปน็ รูป 2 มิติ ที่ ประกอบด้วยจุดยอด 3 จุดและดา้ น 3 ด้านที่เป็นสว่ นของเส้นตรง ชนดิ ของรปู สามเหลี่ยม 1. รูปสามเหลยี่ มดา้ นเทา่ มีด้านทุกดา้ นยาวเทา่ กนั รปู สามเหล่ียมด้านเทา่ จะเปน็ รูปมุม เท่าอกี ด้วย นน่ั คอื มุมภายในทุกมมุ จะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° รูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัว มีด้านสองด้านยาว เท่ากัน 2. รปู สามเหล่ียมหน้าจ่วั จะมีมมุ สองมมุ มีขนาดเท่ากนั 3. รปู สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ดา้ นทุกด้านจะมคี วามยาวแตกต่างกัน มุมภายในในรปู สามเหลย่ี มดา้ นไม่เท่าจะมีขนาดแตกตา่ งกัน รูปสามเหลีย่ มแบ่งชนดิ ตามขนาดของมุมภายในทีใ่ หญ่ทีส่ ุด อธิบายดว้ ยองศา 1. รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก มีมมุ ภายในมมุ หน่งึ มขี นาด 90° (มุมฉาก) ดา้ นท่ีอยู่ตรงข้ามกบั มุมฉาก คอื ด้านตรงข้ามมมุ ฉาก ซึง่ เป็นดา้ นทีย่ าวที่สดุ ในรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก อกี สองด้าน คือ ดา้ น ประกอบมมุ ฉาก 2. รปู สามเหลี่ยมมมุ ปา้ น มมี ุมภายในมุมหนงึ่ มขี นาดใหญก่ วา่ 90° (มุมปา้ น) 3. รปู สามเหล่ียมมมุ แหลม มมุ ภายในทุกมมุ มีขนาดเล็กกวา่ 90° (มุมแหลม)

5 2. รปู สี่เหลย่ี ม (quadrilateral) รปู สีเ่ หลี่ยม เป็นรูปปิดทป่ี ระกอบด้วยดา้ น 4 ด้านและ มุม 4 มุม โดยมุมภายในท้งั หมด รวมกันมขี นาด 360° หรอื 4 มุมฉาก ชนิดของรูปส่ีเหล่ยี มขึน้ อย่กู ับขนาดของมุมและขนาดของด้าน การเรยี กชื่อรูปสเ่ี หลีย่ ม นยิ มเรยี กโดยใช้ตัวอกั ษรส่ตี ัว ซ่ึงกำกับจดุ ยอดมุมของส่ีเหลี่ยมนน้ั จะเรม่ิ ทจี่ ุดใดกอ่ นกไ็ ด้ แลว้ เรยี งไปตามลำดบั ทป่ี รากฏบนรูป สว่ นประกอบของรปู สี่เหลยี่ ม ด้านประชิด (adjacent sides) คือ ด้านสองดา้ นของรูปส่เี หลีย่ มท่มี จี ุดปลายร่วมกัน 1 จุด จากรปู รูปสเี่ หลย่ี ม ABCD มดี า้ นประชดิ กัน 4 คู่ คือ ดา้ น AB กบั ดา้ น BC ด้าน BC กบั ดา้ น CD ด้าน CD กับดา้ น DA ด้าน DA กบั ดา้ น AB ดา้ นตรงข้าม (opposite sides) คอื ด้านสองด้านของรูปสเ่ี หลยี่ มที่ไมม่ จี ุดปลายร่วมกนั รปู สี่เหล่ียม ABCD มีดา้ นตรงขา้ มกัน 2 คู่ คอื ดา้ น AB ตรงขา้ มกบั ด้าน CD และด้าน AD ตรงขา้ มกบั ดา้ น BC มุมประชิด (adjacent angles) คือ มมุ สองมมุ ของรูปสเ่ี หล่ียมที่มีแขนของมมุ รว่ มกันอยู่ แขนหนงึ่ จากรปู รูปส่ีเหลย่ี ม ABCD มีมมุ ประชิด 4 คู่ คอื A C กับ B D B D กับ C A C A กบั D B D B กับ A C

มุมตรงขา้ ม (opposite angles) คอื มมุ สองมุมของรปู สเ่ี หล่ียมทไี่ ม่มแี ขนของมมุ ร่วมกัน รูปสี่เหลย่ี ม ABCD มมี ุมตรงข้าม 2 คู่ คอื A C ตรงขา้ มกบั A C และ B D ตรงขา้ มกบั B D มมุ ภายในของรูปสเี่ หลีย่ ม จากรปู ABCD จะมี A C และ B D และ C A และ D B เปน็ มมุ ภายในของ ABCD ซึ่งขนาดของมุมภายในทั้งส่รี วมกันได้ 360° เสน้ ทแยงมุม (diagonal) คอื ส่วนของเสน้ ตรงท่มี จี ุดปลายทงั้ สองอยทู่ จ่ี ุดยอดของมมุ ตรง ขา้ ม รูปสี่เหลย่ี ม ABCD มเี ส้นทแยงมุม 2 เส้น คอื AC และ BD 6 ชนิดของรูปสี่เหลย่ี ม สิง่ แวดลอ้ มรอบตวั เราประกอบไปด้วยรูปทรงที่นา่ สนใจหลายชนดิ รปู สีเ่ หลี่ยมกเ็ ป็นรูป หน่งึ ทท่ี ุกคนสามารถพบเหน็ ได้ทัว่ ๆ ไป เช่น โทรทศั น์ ตู้เย็น เตียง ฯลฯ บางครงั้ เราจะเหน็ วา่ ส่เี หล่ียมมี รปู แบบต่าง ๆ กันออกไป ดังน้ี 1. รปู สเ่ี หล่ยี มจัตรุ ัส คอื รูปสีเ่ หลี่ยมทมี่ ีมุมทุกมุมเป็นมุมฉากมีดา้ นทั้งสย่ี าว เท่ากัน 2. รูปสเ่ี หลย่ี มผืนผา้ คอื รปู ส่เี หลย่ี มมุมฉาก ทีม่ ดี ้านตรงข้ามยาวเท่ากนั แตด่ ้านที่ อย่ตู ดิ กันยาวไม่เท่ากนั 3. รูปสเ่ี หล่ยี มขนมเปียกปูน คอื รปู ส่เี หลย่ี มทม่ี ดี า้ นสีด่ า้ นยาวเท่ากนั แตม่ ุมทุกมุม ไม่เปน็ มุมฉาก 4. รูปสี่เหลีย่ มคางหมู คือ รูปส่เี หลย่ี มที่มดี า้ นขนานกัน เพยี งค่เู ดยี ว 5. รูปสเ่ี หลี่ยมด้านขนาน คอื รปู ส่ีเหลีย่ มทม่ี ีมมุ ไมเ่ ปน็ มุมฉาก มีด้านตรงขา้ มยาว เท่ากัน และขนานกนั สองคู่ 6. รูปสเ่ี หลีย่ มรูปว่าว คอื รปู ส่ีเหลย่ี มท่ีมีดา้ นประชิดกันยาวเท่ากนั อย่สู องคู่ เราอนุมานได้ ว่ามีมุมตรงขา้ มกันหน่ึงคูท่ ม่ี ีขนาดเทา่ กนั และเสน้ ทแยงมุมท้งั สองเส้นจะตดั กันเป็นมมุ ฉาก โดยเสน้ ทแยง มุมเสน้ หน่ึงจะแบง่ เสน้ ทแยงมมุ อกี เสน้ ออกเปน็ สองส่วนเท่า ๆ กัน

7 3. รูปหลายมมุ ในทางเรขาคณิต รูปหลายเหลี่ยม (อังกฤษ: polygon) ตามความหมายดั้งเดิม หมายถึง รปู รา่ งอย่างหนงึ่ ทเ่ี ปน็ รปู ปิดหรือรปู ครบวงจรบนระนาบ ซึง่ ประกอบข้นึ จากลำดับของสว่ นของเสน้ ตรงที่มี จำนวนจำกัด ส่วนของเส้นตรงเหล่านั้นเรียกว่า ขอบ หรือ ด้าน และจุดที่ขอบสองข้างบรรจบกัน เรียกว่า จุดยอด หรือ เหลี่ยม (corner) ภายในรูปหลายเหล่ียมบางครัง้ ก็เรียกว่า เน้ือที่ (body) รูปหลาย เหลี่ยมเปน็ วตั ถุในสองมติ ิ ซงึ่ เป็นตัวอย่างหน่งึ ของพอลโิ ทป (polytope) ที่อยูใ่ น n มิติ ด้านสองด้านที่บรรจบกันเป็นเหลี่ยม เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการเกิดมุมที่ไม่เป็นมุมตรง (180°) ถ้าไมเ่ ช่นนัน้ แลว้ สว่ นของเสน้ ตรงท้งั สองจะถูกพจิ ารณาว่าเปน็ ดา้ นเดียวกัน ความคิดทางเรขาคณิตพืน้ ฐานได้ถูกดดั แปลงไปในหลากหลายทาง เพื่อทีจ่ ะทำให้เข้ากบั จุดประสงคเ์ ฉพาะ ตวั อยา่ งเชน่ ในสาขาวิชาคอมพิวเตอรก์ ราฟิกส์ คำวา่ รูปหลายเหลีย่ ม ถกู นำไปใชแ้ ละมี การเปลี่ยนแปลงความหมายไปโดยเล็กน้อย ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการบันทึกและจัดการรูปร่างภายใน คอมพิวเตอร์มากข้ึน โดยหลักแล้วรปู หลายเหลีย่ มสามารถจัดแบ่งได้โดยจำนวนด้านที่มี ดูได้จากการต้ังชื่อรูป หลายเหลย่ี มตามจำนวนดา้ น

มุมของรูปหลายเหล่ียม รูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ไม่ว่าจะปรกติหรือไม่ ตัดตัวเองหรือไม่ จะมีจำนวนเหลี่ยมเท่ากับ จำนวนจดุ ยอด แตล่ ะเหลี่ยมกม็ ีมุมอยหู่ ลายมมุ แตม่ มุ ท่สี ำคญั ที่สดุ สองชนดิ ได้แก่ มุมภายใน ผลบวกของมุมภายในของรูปเชิงเดียว n เหลี่ยม จะรวมเท่ากับ (n − 2) π เรเดียน หรอื (n − 2) 180 องศา ท่ีเป็นเชน่ น้ีเพราะรูปเชงิ เดยี ว n เหลย่ี มจะถูกพิจารณาว่าสร้างขึ้น จากรูปสามเหลี่ยมจำนวน (n − 2) รูป ซึ่งแต่ละรูปมีผลรวมของมุมภายใน π เรเดียน หรือ 180 องศา ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมของรูป n เหลี่ยมปรกติที่เป็นรูปนูน จะมีขนาดเท่ากับ (n − 2) π / n เรเดียน หรือ (n − 2) 180 / n องศา มุมภายในของรูปดาวหลายแฉกปรกติมีการศึกษาเป็นครั้งแรก โดยปัวโซ (Poinsot) ในงานเขยี นเร่อื งเดยี วกนั กับทเ่ี ขาอธบิ ายทรงหลายหน้าดาวปรกติ มมุ ภายนอก ลองจนิ ตนาการวา่ กำลังเดินอยู่รอบรูปเชิงเดียว n เหลีย่ มท่ีเขียนอยู่บนพ้ืน ปริมาณ \"การเลี้ยว\" ที่จุดยอดก็คือมุมภายนอกที่กวาดไป และเมื่อเดินครบรอบ ก็หมายความว่าได้เดิน หมุนรอบตัวครบหนึ่งรอบ ดังนั้นผลรวมของมุมภายนอกจะต้องเป็น 360° แต่สำหรับการเดินรอบ รูป n เหลี่ยมโดยทั่วไป ผลรวมของมุมภายนอกสามารถเป็นพหุคูณจำนวนเต็ม d ของ 360° เช่น 720° สำหรบั รปู ดาวห้าแฉก (pentagram) และ 0° สำหรับรูปวนคลา้ ยเลขแปด ซง่ึ d นเี้ ป็นความหนาแน่นหรือ ความเปน็ แฉกของรูปหลายเหลี่ยม ดูเพมิ่ ที่ ทางโคจร (orbit) มุมภายนอกเปน็ มุมประกอบสองมมุ ฉาก (supplementary angles) ของมมุ ภายใน ส่งิ น้ี กย็ งั เป็นจรงิ ถา้ หากมุมภายในมีขนาดมากกว่า 180° เพราะมุมภายนอกจะมขี นาดเป็นลบ นัน่ คอื สมมตใิ ห้ การเลี้ยวตามเขม็ นาฬกิ าเปน็ บวก และอาจมีบางคร้งั ที่จะต้องเลยี้ วซ้ายแทนเลี้ยวขวา ซึ่งจะทำใหม้ ุมของ การเลย้ี วเป็นปรมิ าณติดลบ 8

9

บทที่ 3 วธิ ีการดำเนนิ งาน 1. ขน้ั ตอนในการดำเนนิ การ 1. ประชมุ วางแผนการดำเนนิ งาน 2. คิดหัวขอ้ โครงงาน 3. ศึกษาเรื่องมุมของรูปสามเหลยี่ ม สีเ่ หลยี่ ม และคณุ สมบัติของรูปหลายเหลีย่ ม 4. จัดเตรยี มอปุ กรณใ์ นการออกแบบสรา้ งรูปเหลย่ี ม 5. ออกแบบสร้างรูปเหลยี่ มชนดิ ตา่ ง ๆ คอื รูปสามเหล่ยี ม รปู สี่เหลยี่ ม รปู ห้าเหลย่ี ม รูปหกเหลีย่ ม รูปเจ็ดเหล่ยี ม รูปแปดเหล่ียม รปู เก้าเหล่ียม และรูปสบิ เหล่ียม 6. หามมุ ภายในรปู สามเหล่ยี ม 7. หามมุ ภายในรูปสี่เหลยี่ ม หา้ เหลย่ี ม หกเหล่ียม เจด็ เหล่ียม แปดเหลี่ยม เก้าเหล่ียม สบิ เหล่ียม โดยอาศยั รูปสามเหลย่ี ม 8. สรุป รายงานผล และจัดทำรปู เล่มโครงงาน 9. จดั ทำแผงโครงงาน 10. นำเสนอโครงงาน 2. สถานท่ีและระยะเวลา การทำโครงงานคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง มหัศจรรย์ของมมุ กบั รูปหลายเหลยี่ ม ดำเนินการท่ี โรงเรียนอนบุ าลสุพรรณบุรี อำเภอเมอื งสุพรรณบรุ ี จงั หวัดสพุ รรณบุรี เร่ิมต้งั แต่วนั ท่ี 25 มกราคม 2565 ถงึ วนั ท่ี .......................................... 3. วสั ดุอปุ กรณ์ 1. อปุ กรณ์วัดมมุ 2. เครอ่ื งเขียน 3. ฟวิ เจอรบ์ อรด์ 4. กระดาษสี 5. กาว 6. กรรไกร 7. รปู ตกแตง่ 8. แผงโครงงาน 9. กาวสองหนา้ 10

4. การคำนวณทางคณติ ศาสตร์ วธิ ีการคำนวณมมุ ของรปู หลายเหล่ยี ม 1. นับจำนวนด้านในรปู หลายเหลี่ยม ในการคำนวณมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมคุณ ต้องพิจารณาก่อนว่ารูปหลายเหลี่ยมมีกี่ด้าน สังเกตว่ารูปหลายเหลี่ยมมีจำนวนด้านเท่ากันเนื่องจากมี มมุ ตวั อย่างเชน่ สามเหล่ยี มมี 3 ดา้ นและ 3 มมุ ภายใน ขณะที่ส่ีเหล่ยี มมี 4 ด้านและ 4 มุมภายใน 2. หาผลรวมของมุมภายในทง้ั หมดในรปู หลายเหลีย่ ม สตู รสำหรับการหาคา่ รวมของมุม ภายในท้ังหมดในรูปหลายเหลี่ยมคือ (n - 2) x 180 ในกรณีนี้ n คอื จำนวนด้านท่รี ูปหลายเหล่ียมมี การวัด มมุ รวมของรูปหลายเหลีย่ มทวั่ ไปมีดงั น้ี มุมในรปู สามเหล่ยี ม (รูปหลายเหล่ยี ม 3 เหลยี่ ม) รวม 180 องศา มมุ ในรูปสเ่ี หล่ยี มขนมเปยี กปูน (รูปหลายเหลยี่ ม 4 เหลี่ยม) รวม 360 องศา มุมในรูปห้าเหลี่ยม (รปู หลายเหล่ยี ม 5 เหลย่ี ม) รวม 540 องศา มุมในรปู หกเหล่ียม (รปู หลายเหล่ียม 6 เหล่ยี ม) รวม 720 องศา มุมในรูปแปดเหลี่ยม (รูปหลายเหล่ยี ม 8 เหลย่ี ม) รวม 1080 องศา 11

3. หารค่ารวมของมุมของรปู หลายเหล่ยี มปกติทั้งหมดด้วยจำนวนมุม รปู หลายเหลีย่ ม ปกตคิ อื รูปหลายเหลี่ยมท่ดี ้านข้างมีความยาวเท่ากันท้ังหมดและมมี ุมทม่ี ขี นาดเทา่ กนั ตัวอยา่ งเชน่ การวัด แตล่ ะมุมในสามเหล่ยี มดา้ นเท่าคือ 180 ÷ 3 หรือ 60 องศาและการวัดแต่ละมุมในรูปส่เี หลี่ยมจัตรุ สั คอื 360 ÷ 4 หรือ 90 องศา 4. ลบผลรวมของมุมที่ทราบออกจากการวัดรวมของมุมสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ ผิดปกติ หากรูปหลายเหลี่ยมของคุณไม่มีด้านที่มีความยาวและมุมเท่ากันสิ่งที่คุณต้องทำก็คือเพิ่มมุมท่ี ทราบทั้งหมดในรูปหลายเหล่ียม จากนั้นลบจำนวนนัน้ ออกจากการวัดทั้งหมดของมุมทั้งหมดเพื่อหามมุ ที่ หายไป ตวั อย่างเชน่ ถา้ คุณรวู้ า่ มุมทงั้ 4 ในรูปห้าเหล่ยี มวัดได้ 80, 100, 120 และ 140 องศาให้บวกตัวเลข เข้าด้วยกนั เพ่ือให้ได้ผลรวม 440 จากนั้นลบผลรวมนี้ออกจากการวัดมุมทัง้ หมดของรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งเปน็ 540 องศา: 540 - 440 = 100 องศา ดังนนั้ มมุ ทีห่ ายไปคือ 100 องศา 12

บทท่ี 4 ผลการศึกษาการดำเนินงาน ผลการดำเนนิ การ จากการทำโครงงาน เรอื่ ง มหัศจรรย์ของมมุ กับรูปหลายเหลย่ี ม ผลการดำเนนิ การสรุป ไดด้ งั น้ี - รูปสามเหลย่ี มมมี มุ ภายในรวมกันเท่ากับ 180 องศา - รูปสี่เหลยี่ มมีมมุ ภายในรวมกันเท่ากบั 360 องศา - รปู ห้าเหล่ยี มมมี ุมภายในรวมกันเท่ากับ 540 องศา - รปู หกเหลี่ยมมีมมุ ภายในรวมกนั เทา่ กบั 720 องศา - รูปเจ็ดเหล่ยี มมมี ุมภายในรวมกนั เทา่ กับ 900 องศา - รูปแปดเหลี่ยมมมี มุ ภายในรวมกันเท่ากับ 1,080 องศา - รูปเกา้ เหล่ียมมีมุมภายในรวมกนั เทา่ กับ 1,260 องศา - รปู สิบเหลีย่ มมีมุมภายในรวมกันเทา่ กบั 1,440 องศา จากการทดลองทำโครงงานคณติ ศาสตรเ์ รือ่ งมหัศจรรย์ของมุม กับรูปหลายเหล่ียม ทำให้ ได้ข้อสรุปว่า รูปเหลี่ยมที่เพิ่มขึ้น 1 ด้าน จะมีขนาดของมุมภายในเพิ่มขึ้นครั้งละ 180 องศา และ ความสัมพันธ์ระหว่าง ด้านของรูปเหล่ียมที่เพิ่มขึน้ กับขนาดของมมุ ภายในของรูปเหลี่ยมนั้น ๆ หาได้จาก ( n-2) x 180 องศา เมอ่ื n = จำนวนด้านของรปู หลายเหลี่ยม ตารางสรุปการหาผลรวมของมมุ ภายในรูปหลายเหลี่ยมชนิดตา่ งๆ จำนวนเหลยี่ ม (n) จำนวนรปู สามเหลี่ยมท่แี บ่งได้ ผลรวมของมุมภายใน สามเหล่ียม 1 1 x 180 ๐ = 180๐ ส่ีเหลีย่ ม 2 2 x 180 ๐ = 360๐ ห้าเหลีย่ ม 3 3 x 180 ๐ = 540๐ หกเหล่ียม 4 4 x 180 ๐ = 720๐ เจ็ดเหลีย่ ม 5 5 x 180 ๐ = 900๐ แปดเหลีย่ ม 6 6 x 180 ๐ = 1,080๐ เก้าเหลย่ี ม 7 7 x 180 ๐ = 1,260๐ สบิ เหลีย่ ม 8 8 x 180 ๐ = 1,440๐ จากการสงั เกตพบวา่ จำนวนรูปสามเหลย่ี มที่แบง่ ได้จะมจี ำนวนน้อยกวา่ จำนวนเหล่ียมอยู่ 2 ดงั น้นั มุมภายในรปู n เหลย่ี ม จะได้ ( n – 2 ) x 180๐

13 บทท่ี 5 สรปุ และอภปิ รายผลการดำเนินการ สรุปผลการดำเนินการ การทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง “มหัศจรรย์ของมุม กับรูปหลายเหลี่ยม ” ทำให้เกิด ความเข้าใจเกี่ยวกับการสร้างรูปเหลี่ยมชนิดต่างๆ ซึ่งสามารถนำไปใช้ประยุกต์ในการสร้าง แบบ pattern ตา่ งๆไดแ้ ละเขา้ ใจถงึ ความสมั พนั ธ์ระหว่างดา้ นของรูปเหล่ียมท่ีเพิ่มขึน้ กบั มุมภายในของรูป เหลี่ยมว่า รูปใด ๆ ก็ตามสามารถแบ่งเป็นสามเหลี่ยมย่อย ๆ ได้ ซึ่งก็จะได้ผลรวมของมุมภายในเท่ากับ จำนวนสามเหล่ยี มท่ีแบ่งไดน้ อกจากนยี้ ังทำให้ทราบว่ารูปเหลีย่ มใด ๆ ก็ตาม เมือ่ แบ่งเปน็ รูปสามเหลย่ี มจะ ไดจ้ ำนวนของรปู สามเหล่ียมน้อยกวา่ จำนวนเหลี่ยมของรูปนัน้ อยู่ 2 เสมอ ซึง่ สามารถทำใหส้ รุปเปน็ สตู รใน การคำนวณหามุมภายในของรปู เหลี่ยมใด ๆ ได้ คอื สรุปมุมภายในรูป n เหลีย่ ม = ( n-2) x 180๐ ประโยชน์ทไี่ ด้รับจากการทำโครงงาน 1. ไดร้ ับความรู้ในการวดั มุมและการสรา้ งรปู หลายเหลีย่ ม 2. ไดท้ ราบถึงความสมั พันธ์ระหวา่ งดา้ นของรูปเหลีย่ มท่ีเพิม่ ขนึ้ กับขนาดของมมุ ภายใน ของรูปเหล่ยี มนัน้ ๆ 3. เปน็ การใชเ้ วลาวา่ งให้เกิดประโยชน์ ร้จู กั การค้นคว้าหาข้อมลู ทางอนิ เตอรเ์ นต็ 4. ไดท้ ักษะการทำงานเปน็ กลมุ่ รับผิดชอบงานท่ีได้รับมอบหมาย ข้อเสนอแนะ 1. โครงงานคณติ ศาสตรเ์ รือ่ ง “มหัศจรรย์ของมมุ กบั รูปหลายเหล่ียม ” สามารถให้ ความร้กู บั บุคคลท่สี นใจได้ศึกษาเรอื่ งของมมุ ของรูปหลายเหลี่ยม 2. สามารถต่อยอดความรไู้ ปในระดบั ท่สี งู ขึ้นได้ เชน่ การหาค่ามมุ โดยใช้ฟังชันตรโี กณมิติ (ระดบั มัธยมศึกษา)

14 บรรณานกุ รม สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2562).หนังสือเรียนสาระ การเรียนรู้พ้ืนฐานคณติ ศาสตร์ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ชนั้ ประถมศึกษาปที ่ี 5 เล่มท่ี 2. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. http://www.digitalschool .club/digitalschool/math2-2-1/math6/more1/ page0.1php http://noonusarwut23.blogspot.com/2013/oa/blog-post1918.html?m=1 http://th.m.wikipedia.org

15 ภาคผนวก

16

17 สามเหลยี่ ม สีเ่ หล่ียมเกิดจากรูปสามเหลี่ยม 2 รูป ผลรวมมมุ ภายใน 180 องศา ผลรวมมุมภายใน 180 x 2 = 360 องศา ห้าเหล่ยี มเกดิ จากรปู สามเหลยี่ ม 3 รปู หกเหลยี่ มเกิดจากรปู สามเหลย่ี ม 4 รูป ผลรวมมุมภายใน 180 x 3 = 360 องศา ผลรวมมมุ ภายใน 180 x 4 = 720 องศา เจด็ เหลยี่ ม เกดิ จากรูป สามเหลยี่ ม 5 รูป แปดเหล่ียม เกิดจากรปู สามเหลี่ยม 6 รูป ผลรวมมุมภายใน 180 x 5 = 900 องศา ผลรวมมุมภายใน 180 x 6 = 1,080 องศา 18

เกา้ เหลย่ี มเกดิ จากรูปสามเหลยี่ ม 7 รูป สบิ เหลย่ี มเกดิ จากรูปสามเหลย่ี ม 8 รปู ผลรวมมุมภายใน 180 x 7 = 1,260 องศา ผลรวมมุมภายใน 180 x 8 = 1,440 องศา