Modul Kelas VIII - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Hierarki Konsep KEGIATAN INTI MATERI LANJUT/ MANFAAT MATERI PRASYARAT Konsep Persamaan Persamaan Linear Satu Linear Dua Variabel Menyelesaikan masalah kontekstual SPLDV Variabel Konsep Sistem dengan grafik Persamaan Linear Dua Sistem Persamaan Menyelesaikan masalah Linear Satu Variabel Variabel (SPLDV) kontekstual SPLDV Selesaian Sistem Model Matematis dengan metode eliminasi Persamaan Linear Satu Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Menyelesaikan masalah Variabel kontekstual SPLDV (SPLDV) dengan metode subtitusi Selesaian Sistem Persamaan Linear Dua Menyelesaikan masalah kontekstual SPLDV Variabel (SPLDV) dengan metode eliminasi dan subtitusi

Materi Apersepsi : Persamaan Linear Satu Variabel Persamaan linear adalah kalimat terbuka yang mengandung tanda = (sama dengan) di dalamnya dengan setiap variabel berpangkat satu. Kalimat terbuka sendiri merupakan kalimat yang belum bisa ditentukan nilai kebenarannya karena memiliki unsur-unsur yang belum diketahui nilainya. Unsur-unsur ini dinamakan variabel yang merupakan simbol atau lambang yang mewakili sebarang anggota himpunan semesta (bilangan real). Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka dengan satu variabel yang mengandung tanda = (sama dengan) di dalamnya dan variabelnya berpangkat satu. Bentuk umum dari persamaan linear dua variabel yaitu : ������������ + ������ = 0 Materi : Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka dengan dua variabel yang mengandung tanda = (sama dengan) di dalamnya dengan setiap variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear tiga variabel : ������������ + ������������ = ������ dengan ������, ������ ≠ 0 ������, ������ ∈ ������ Contoh persamaan linear tiga variabel : ������ + ������ = 5 2������ + ������ = 16 Bukan contoh persamaan linear tiga variabel : ������ − 2 = 15 bukan merupakan persamaan linear dua variabel karena hanya terdapat 4������2 − 2������ = 2 satu variabel, yaitu ������ bukan merupakan persamaan linear dua variabel karena ada variabel yang berpamgkat ≠ 1, yaitu ������2 ������ − ������+> 12 bukan merupakan persamaan linear dua vatiabel karena terdapat tanda pertidaksamaan yaitu tanda > (lebih dari)

������ + 2������ < 2 bukan merupakan persamaan linear dua variabel karena terdapat tanda pertidaksamaan yaitu tanda < (kurang dari) Materi : Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Sistem Persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah gabungan dari beberapa persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantaranya dan mempunyai solusi atau selesaian yang sama. Bentuk umum dari persamaan linear dua variabel yaitu : ������1������ + ������1������ = ������1 ������2������ + ������2������ = ������2 dengan ������1, ������2, ������1, ������2, ������3 ≠ 0 ������1, ������2, ������1, ������2, ������1, ������2 ∈ ������ Gambar (i) Gambar di atas merupakan ilustrasi dari kegiatan jual beli di pasar. Tampak penjual buah sedang menawarkan dagangannya. Pedagang menjual dua jenis buah, yaitu buah semangka dan jeruk. Kita akan mengaitkan situasi pada gambar (i) dengan unsur-unsur yang ada dalam persamaan linear dua variabel. Pada gambar (i), harga masing-masing buah tiap kg dapat dimisalkan dengan suatu variabel. Seperti, harga buah semangka per kg dimisalkan dengan ������, dan harga buah jeruk per kg dimisalkan dengan ������.

Perhatikan ilustrasi berikut. Pada suatu siang, Bu Dian sedang berbelanja buah-buahan di pasar. Bu Dian membeli 4 kg semangka dan 2 kg jeruk seharga Rp. 80.000,00. Bu Dian mengelompokkan masing- masing buah per kg dalam keranjang yang berbeda, seperti gambar di bawah ini. + = Rp. 80.000,00 Misalkan harga buah semangka per kg adalah ������, dan harga buah jeruk per kg adalah ������. Maka, model matematika dari semua belanjaan ibu siang itu adalah 4������ + 2������ = Rp. 80.000,00 Materi : Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel A. Metode Grafik Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi adalah sebagai berikut. (1) Gambarkan kedua grafik persamaan linear dua variabel (2) Cari titik potong (������, ������) antara dua grafik tersebut (3) Titik potong (������, ������) tersebut adalah penyelesaian dari SPLDV Untuk memahami langkah pengerjaan metode grafik, perhatikan contoh berikut.

Jumlah umur Ari dan Reno 20 tahun. Dua kali umur Ari ditambah tiga kali umur Reno menjadi 54 tahun. Berapa umur mereka sekarang? Penyelesaian Misalkan, ������ adalah umur Ari ������ adalah umur Reno Maka, sistem persamaan linear dua variabel dari permasalahan tersebut adalah : ������ + ������ = 20 … (i) 2������ + 3������ = 54 … (ii) Metode grafik (1) Gambar grafik (1) dan grafik (2) • Grafik (1) ������ 0 20 ������ 20 0 (������, ������) (0,20) (20,0) • Grafik (2) ������ 0 27 ������ 18 0 (������, ������) (0,18) (27,0) (2) Menentukan titik potong antara 2 grafik Dari gambar di atas, maka titik potong dari kedua grafik tersebut adalah (6,14) (3) Menentukan penyelesaian dari titik potong kedua grafik (������, ������) = (6,14) → ������ = 6 ������������������ ������ = 14 Sehingga umur Ari adalah 6 tahun dan umur Reno adalah 14 tahun.

B. Metode Eliminasi Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi adalah sebagai berikut. (1) Eliminasi atau hilangkan salah satu variabel sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabelnya. (2) Eliminasi atau hilangkan salah satu variabel lain sehingga diperoleh nilai dari variabel yang lainnya. Untuk memahami langkah pengerjaan metode eliminasi, perhatikan contoh berikut. Jumlah umur Ari dan Reno 20 tahun. Dua kali umur Ari ditambah tiga kali umur Reno menjadi 54 tahun. Berapa umur mereka sekarang? Penyelesaian Misalkan, ������ adalah umur Ari ������ adalah umur Reno Maka, sistem persamaan linear dua variabel dari permasalahan tersebut adalah : ������ + ������ = 20 … (i) 2������ + 3������ = 54 … (ii) Metode eliminasi (1) Eliminasi variabel ������ pada persamaan (i) dan (ii) ������ + ������ = 20 | × 2| 2������ + 2������ = 40 2������ + 3������ = 54 | × 1| 2������ + 3������ = 54 −������ = −14 ������ = 14 (2) Eliminasi variabel ������ pada persamaan (i) dan (ii) ������ + ������ = 20 | × 3| 3������ + 3������ = 60 2������ + 3������ = 54 | × 1| 2������ + 3������ = 54 ������ = 6 (3) Menentukan penyelesaian dari masing-masing variabel yang telah ditemukan Maka, umur Ari adalah 6 tahun dan umur Reno adalah 14 tahun.

C. Metode Subtitusi Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut. (1) Pilih salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu variabel ke dalam variabel lainnya (2) Substitusikan/masukkan persamaan di langkah (1) kedalam persamaan yang lain sehingga didapatkan nilai variabelnya. (3) Subtitusikan nilai variabel yang telah ditemukan pada langkah (2) ke dalam persamaan sehingga didapatkan nilai variabel lainnya. Untuk memahami langkah pengerjaan metode subtitusi, perhatikan contoh berikut. Jumlah umur Ari dan Reno 20 tahun. Dua kali umur Ari ditambah tiga kali umur Reno menjadi 54 tahun. Berapa umur mereka sekarang? Penyelesaian Misalkan, ������ adalah umur Ari ������ adalah umur Reno Maka, sistem persamaan linear dua variabel dari permasalahan tersebut adalah : ������ + ������ = 20 … (i) 2������ + 3������ = 54 … (ii) Metode subtitusi (1) Nyatakan variabel ������ dalam bentuk variabel ������ pada persamaan (i) ������ + ������ = 20 ������ = 20 − ������ …(iii) (2) Subtitusikan persamaan (iii) ke dalam persamaan (ii) 2������ + 3������ = 54 2������ + 3(20 − ������) = 54 2������ + 60 − 3������ = 54 2������ − 3������ = 54 − 60 −������ = −14 ������ = 14

(3) Menentukan penyelesaian dari masing-masing variabel yang telah ditemukan Maka, umur Ari adalah 6 tahun dan umur Reno adalah 14 tahun. D. Metode Eliminasi dan Subtitusi Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel metode ini merupakan gabungan antara penyelesaian metode eliminasi dan subtitusi. Untuk memahami langkah pengerjaan metode eliminasi dan subtitusi, perhatikan contoh berikut. Jumlah umur Ari dan Reno 20 tahun. Dua kali umur Ari ditambah tiga kali umur Reno menjadi 54 tahun. Berapa umur mereka sekarang? Penyelesaian Misalkan, ������ adalah umur Ari ������ adalah umur Reno Maka, sistem persamaan linear dua variabel dari permasalahan tersebut adalah : ������ + ������ = 20 … (i) 2������ + 3������ = 54 … (ii) Metode eliminasi (1) Eliminasi variabel ������ pada persamaan (i) dan (ii) ������ + ������ = 20 | × 2| 2������ + 2������ = 40 2������ + 3������ = 54 | × 1| 2������ + 3������ = 54 −������ = −14 ������ = 14 (2) Subtitusi ������ = 14 ke dalam salah satu persamaan ������ + ������ = 20 ������ + 14 = 20 ������ = 20 − 14 ������ = 6 (3) Menentukan penyelesaian dari masing-masing variabel yang telah ditemukan Maka, umur Ari adalah 6 tahun dan umur Reno adalah 14 tahun.



A. Petunjuk Umum Untuk dapat menemukan solusi matematika dari permasalahan pada LKPD ini, ikutilah langkah-langkah sebagai berikut. 1. Baca dan pahami pernyataan-pernyataan dari situasi masalah yang disajikan dalam LKPD berikut. 2. Kerjakan sesuai dengan perintah yang ada di LKPD. 3. Jika mengalami kesulitan dalam melakukan kegiatan,dapat bertanya kepada bapak/ibu guru Diskusi (Peserta Didik mencari tahu): Berdasarkan materi yang telah kalian pelajari sebelumnya terkait persamaan linear satu variabel, apakah kalian bisa memberikan gambaran mengenai apa itu persamaan linear dua variabel dengan kalimatmu sendiri? Bagaimana bentuk umumnya? Diskusi (Peserta Didik mencari tahu): Apakah kalian bisa memberikan gambaran mengenai apa itu sistem persamaan linear dua variabel dengan kalimatmu sendiri? Bagaimana bentuk umumnya? Untuk mengukur pemahaman kalian mengenai persamaan linear dua variabel, kerjakan aktivitas 1 berikut. Aktivitas 1 Nama : Kelas : No. Absen : Manakah di bawah ini yang termasuk persamaan linear dua variabel? Berikan alasanmu! 1. 2������ + 4������ = 28 2. 5������ = 2������ + 12 3. 2������ > ������ − 9 4. ������ = ������ + 15 5. ������ = ������2 + 1

Untuk mengukur pemahaman kalian mengenai model matematika dari persamaan linear dua variabel, kerjakan aktivitas 2 berikut. Aktivitas 2 Buat model matematika dari beberapa situasi berikut. 1. Rani hendak membeli beberapa jenis buah-buahan yaitu 5 kg buah apel dan 2 kg buah jeruk dengan uang sebesar Rp 125.000,00. 2. Dani memiliki dua utas tali dengan panjang yang berbeda-beda. Jika digabungkan, panjang kedua tali tersebut adalah 16 cm. 3. Sebuah kotak berisi karcis yang berwarna merah dan kuning. Dua kali karcis merah ditambah karcis kuning sama dengan 30. Untuk mengukur pemahaman kalian mengenai model matematika dari sistem persamaan linear dua variabel, kerjakan aktivitas 3 berikut. Aktivitas 3 Buat model matematika dari beberapa situasi berikut. 1. Sebuah lahan berbentuk persegi panjang dengan jumlah panjang dan lebar adalah 48 m. Kerangka tempat tisue tersebut memenuhi ketentuan khusus. Panjang kerangka ditambah tiga kali lebarnya sama dengan 88 cm. 2. Ibu Dina membeli 5 kg telur dan 2 kg daging dengan harga Rp 305.000,00. Ibu Budi membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp 131.000,00. 3. Ali, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku. Ali membeli dua buah buku tulis dan sebuah pensil. Ali harus membayar Rp 4.700,00. Carli membeli tiga buah buku tulis dan dua buah pensil. Carli harus membayar Rp 7.100,00.

A. Petunjuk Umum Untuk dapat menmukan solusi matematika dari permasalahan pada LKPD ini, ikutilah langkah-langkah sebagai berikut. 4. Baca dan pahami pernyataan-pernyataan dari situasi masalah yang disajikan dalam LKPD berikut. 5. Kerjakan sesuai dengan perintah yang ada di LKPD. 6. Jika mengalami kesulitan dalam melakukan kegiatan,dapat bertanya kepada bapak/ibu guru Untuk mengukur pemahaman kalian mengenai penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel, kerjakan Latihan Soal berikut. Latihan Soal 1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan menggunakan metode grafik. ������ − 2������ = −4 ������ + ������ = −1 2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan menggunakan metode eliminasi. −������ + ������ = 70 2������ − ������ = 30 3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan menggunakan metode subtitusi. 3������ + 5������ = 16 4������ + ������ = 10 4. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi (metode campuran). ������ + 5������ = 13 2������ − ������ = 4

5. Diketahui sistem persamaan linear berikut. 3������ + 5������ = −9 5������ + 7������ = −19 Tentukan nilai2������ + ������ 6. Ibu membeli 3 ember dan I panci dengan harga Rp 50.000,-. Di toko yang sama Ani membeli 1 ember dan 2 panci dengan harga Rp 65.000,-. Berapakah harga untuk 1 ember dan 1 panci? 7. Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp. 14.400,00 harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp. 11.200,00. Berapa jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil? 8. Selisih umur ayah dan anak perempuannya 26 tahun. Sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur mereka 34 tahun. Berapa umur ayah dan anaknya tersebut dua tahun yang akan dating? 9. Ibu Ervin berbelanja di pasar, ia membeli 5 kg bakso sapi dan 4 kg bakso ikan dengan harga Rp. 550.000. Di pasar yang sama, Bu Feni membeli 4 kg bakso sapi dan 5 kg bakso ikan dengan harga Rp. 530.000. Sedangkan ibu ijah membeli 2 kg bakso sapi dan 3 kg bakso ikan. Berapa uang yang harus dibayarkan oleh Bu Ijah? 10. Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500 lembar. Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp 3.250.000,00, tentukan banyak karcis masing-masing kelas I dan kelas II yang terjual!