กฎเกณฑ์เบี้องต้น เกี่ยวกับการนับ (การคูณ)

DARUL-ULOOM SCHOOL

ในชีวิตประจำวันเรำมักจะพบปัญหำเกี่ยวกับกำรนับ จำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุกำรณ์อย่ำงใดอย่ำงหน่ึงจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธี ในกำรจัดชุดของส่ิงต่ำง ๆ เช่น กำรจัดกำร แขง่ ขันกีฬำ กำรจัดชดุ เสือ้ ผ้ำ กำรจัดชุดอำหำร เปน็ ต้น กำรใช้แผนภำพต้นไม้สำมำรถช่วยในกำรหำจำนวน ผลลัพธ์หรือจำนวนรูปแบบในกำรเกิดขึ้นของเหตุกำรณ์ต่ำง ๆ ที่สนใจจำกผลที่เกิดขึ้นทั้งหมดท่ีมีจำนวนไม่มำกนัก เพื่อให้ กำรหำจำนวน ผลลัพธ์ทำได้ง่ำยและสะดวกรวดเร็ว กำร คำนวณเพื่อหำคำตอบสำหรับปัญหำประเภทต่ำง ๆ ดังกล่ำว จะทำได้ง่ำยและสะดวกรวดเร็วข้ึนถ้ำเข้ำใจกฎเกณฑ์บำงข้อซ่ึง เรยี กวำ่ หลักมูลฐำนเกยี่ วกบั กำรนับ

ถำ้ ต้องกำรทำงำนสองอยำ่ ง โดยทง่ี ำนอยำ่ งแรกทำได้ n1 วธิ ี และในแตล่ ะวิธี ท่ีเลือกทำงำนอยำ่ งแรกน้ี มีวิธเี ลือกทำงำนอยำ่ งทสี่ องได้ n2 วิธี จะทำงำนทงั้ สองอยำ่ งนไี้ ด้ n1n2 วิธี

โรงเรยี นแหง่ หนง่ึ จดั อำหำร โจทยข์ อ้ น้ีตอ้ งกำรให้ กลำงวนั เปน็ อำหำรคำว 4 อย่ำง เลือกอำหำรคำว 1 อย่ำง และขนม 3 อยำ่ ง ใหน้ กั เรยี น และขนม 1 อยำ่ ง เลือกรับประทำนชนดิ ละ 1 อยำ่ ง ดงั นน้ั กำรทำงำนในขอ้ นม้ี ี อยำกทรำบวำ่ นกั เรยี นจะมวี ธิ เี ลอื ก 2 ขัน้ ตอน อำหำรคำวและขนมไดท้ ง้ั หมดกวี่ ธิ ี ? เลอื กอำหำรคำวได้ 4 วธิ ี (มีอำหำรคำว 4 อยำ่ ง) เลอื กขนมได้ 3 วธิ ี (มขี นม 3 อยำ่ ง) จะมวี ธิ เี ลอื กอำหำรคำวและขนมไดท้ ง้ั หมด 4×3 = 12 วธิ ี

สนำมกฬี ำแหง่ หนง่ึ โจทย์ขอ้ นี้ตอ้ งกำร มีประตอู ยู่ 5 ประตู ให้เดนิ เข้ำและออกจำก ถำ้ จะเข้ำประตหู นงึ่ แลว้ สนำมกฬี ำ ออกอกี ประตหู นง่ึ ไมใ่ ห้ ดงั น้นั กำรทำงำนในขอ้ ซำ้ กบั ประตทู เ่ี ข้ำมำ จะมี นมี้ ี 2 ข้ันตอน วธิ ีเข้ำและออกจำกสนำม กฬี ำแหง่ นไ้ี ดท้ ง้ั หมดกวี่ ธิ ี ? เดนิ เข้ำสนำมได้ 5 วธิ ี (มปี ระตู 5 ประต)ู เดินออกสนำมได้ 4 วธิ ี (ไมใ่ หซ้ ำ้ ประตทู เี่ ขำ้ มำ) จะมวี ธิ เี ข้ำและออกจำกสนำมกฬี ำแหง่ นไ้ี ดท้ ง้ั หมด 5×4 = 20 วิธี

ในกำรโยนลกู เตำ๋ สี โจทย์ข้อนตี้ อ้ งกำรใหโ้ ยน ดำ 1 ลูก และลกู เตำ๋ สี ลูกเตำ๋ สดี ำและลกู เตำ๋ สขี ำว ขำว1 ลูก จำนวนวธิ ที จ่ี ะ ได้ผลของแตม้ บนหนำ้ ดงั นน้ั กำรทำงำนในขอ้ นม้ี ี ลกู เตำ๋ มที งั้ หมดกวี่ ธิ ี ? 2 ข้ันตอน มีผลของแตม้ บนหนำ้ ลกู เตำ๋ สดี ำได้ 6 วธิ ี (มีแตม้ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6) มผี ลของแตม้ บนหนำ้ ลกู เตำ๋ สขี ำวได้ 6 วิธี (มแี ตม้ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6) จำนวนวธิ ีทจี่ ะไดผ้ ลของแตม้ บนหนำ้ ลกู เตำ๋ มที ง้ั หมด 6×6 = 36 วิธี

กฎข้อท่ี 2 ถ้ำต้องกำรทำงำนอยำ่ งหนง่ึ มี k ขน้ั ตอน ขนั้ ตอนทห่ี นง่ึ มวี ธิ ีเลอื ก ทำได้ n1 วธิ ี ในแตล่ ะวิธี ของขน้ั ตอนทหี่ นง่ึ มวี ิธเี ลอื ก ทำขนั้ ตอนทส่ี องได้ n2 วธิ ี ในแตล่ ะวธิ ที ท่ี ำงำนของขน้ั ตอน ทห่ี น่ึงและขน้ั ตอนทสี่ อง มีวิธเี ลอื กทำขน้ั ตอนทส่ี ำมได้ n3 วธิ ี เช่นนเ้ี รอ่ื ยไปจนถงึ ขนั้ ตอนสดุ ทำ้ ย คือ ข้ันตอนที่ k จะทำได้ nk วธิ ี จะทำงำน k ขั้นตอนนีไ้ ด้ n1n2… nk วิธี

ชมรมถำ่ ยภำพมสี มำชกิ 10 คน ถำ้ ต้องกำรเลอื กประธำนชมรม รองประธำนชมรม เลขำนกุ ำรชมรมและเหรญั ญกิ ของชมรม ตำแหนง่ ละ 1 คน จำนวนวธิ ที จ่ี ะเลอื ก ตำแหนง่ ตำ่ ง ๆ ของชมรมไดท้ ง้ั หมดกว่ี ธิ ี ? โจทยข์ อ้ นตี้ อ้ งกำรเลอื กตำแหนง่ ประธำน รองประธำน เลขำนกุ ำรและเหรญั ญกิ ดังน้นั กำรทำงำนในขอ้ นม้ี ี 4 ขัน้ ตอน ขน้ั ตอนท่ี 1 เลอื กตำแหนง่ ประธำนได้ 10 วธิ ี (มีสมำชกิ 10 คน) ขั้นตอนที่ 2 เลือกตำแหนง่ รองประธำนได้ 9 วธิ ี ข้ันตอนท่ี 3 เลอื กตำแหนง่ เลขำนกุ ำรได้ 8 วธิ ี ข้นั ตอนที่ 4 เลือกตำแหนง่ เหรญั ญกิ ได้ 7 วธิ ี ดังนั้น จำนวนวธิ ที จี่ ะเลอื กตำแหนง่ ตำ่ ง ๆ ของชมรมไดเ้ ทำ่ กบั 10×9×8×7 = 5,040 วิธี

สรำ้ งจำนวนคบ่ี วกซงึ่ มสี ำมหลกั ไดท้ ัง้ หมดกจ่ี ำนวน ? โจทย์ขอ้ น้ีตอ้ งกำรสร้ำงจำนวนคบ่ี วก 3 หลัก ไดแ้ ก่ หลกั รอ้ ย หลกั สบิ และ หลักหนว่ ย ดงั นัน้ กำรทำงำนในข้อนมี้ ี 3 ขัน้ ตอน เลขโดดทใี่ ชใ้ นแสดงจำนวนทง้ั 3 หลัก คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ข้ันตอนท่ี 1 เลือกเลขโดดในหลกั ร้อยได้ 9 วธิ ี (ยกเวน้ 0 เปน็ หลกั รอ้ ยไมไ่ ด้) ขน้ั ตอนที่ 2 เลือกเลขโดดในหลกั สบิ ได้ 10 วธิ ี ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขโดดในหลกั หน่วยได้ 5 วธิ ี (ต้องเปน็ จำนวนคเี่ ทำ่ นนั้ ) ดงั น้นั สร้ำงจำนวนคีบ่ วกซงึ่ มสี ำมหลกั ไดท้ ง้ั หมด 9×10×5 = 450 จำนวน

มกี ลอ่ งอยู่ 4 กลอ่ ง แต่ละกลอ่ งมลี กู บอลสตี ำ่ ง ๆ กนั ดั้งนน้ั กลอ่ งท่ี 1 มีลกู บอลสแี ดง 10 ลูก กลอ่ งที่ 2 มีลกู บอลสดี ำ 6 ลูก กลอ่ งท่ี 3 มลี กู บอลสีขำว 5 ลกู กลอ่ งท่ี 4 มลี ูกบอลสีนำ้ เงนิ 3 ลกู ถำ้ หยบิ ลกู บอลจำกแตล่ ะกลอ่ งมำกลอ่ งละ 1 ลูก แลว้ จะหยบิ ลกู บอล ได้ทัง้ หมดกวี่ ธิ ี ? จำกโจทย์แบง่ ออกเปน็ 4 ขั้นตอน ดังนี้ ขนั้ ตอนท่ี 1 หยิบลกู บอล 1 ลกู จำกกลอ่ งใบที่ 1 เลอื กหยิบได้ 10 วธิ ี ข้ันตอนที่ 2 หยิบลกู บอล 1 ลูก จำกกลอ่ งใบท่ี 2 เลือกหยิบได้ 6 วิธี ขัน้ ตอนที่ 3 หยิบลกู บอล 1 ลูก จำกกลอ่ งใบท่ี 3 เลือกหยบิ ได้ 5 วิธี ขัน้ ตอนท่ี 4 หยบิ ลกู บอล 1 ลกู จำกกลอ่ งใบที่ 4 เลอื กหยบิ ได้ 3 วธิ ี ดงั นนั้ จำนวนวธิ ใี นกำรหยบิ ลกู บอล มีท้งั หมด 10× 6 × 5 × 3 = 900 วิธี

สมาชิกในกลมุ่ นำงสำวนิสรนี แกสมำน เลขที่ 5 นำงสำวฟำรดี ำ โปติละ่ เลขท่ี 8 นำงสำวอำวนี ่ำห์ สำมะเนี๊ยะ เลขที่ 13 นำงสำวฮำญรั หลีเส็น เลขท่ี 15 นำงสำวนูรอัยนี มำยำสนั เลขที่ 16 ชน้ั มธั ยมศกึ ษำปีท่ี 5/2 โรงเรียนดำรลุ อลู มู