ม.4 เล่ม 1 @unit 4.การเคลื่อนที่แบบ วงกลม

การเคลื่อนท่ีแบบวงกลม (circular motion)

การเคลอื่ นทแี่ บบวงกลม(circular motion) มาตรฐานการเรียนรู้ มาตรฐาน ว 4.2 : เขา้ ใจลกั ษณะการเคลื่อนที่แบบต่าง ๆของวตั ถุในธรรมชาติมี กระบวนการสืบเสาะหาความรู้และจิตวทิ ยาศาสตรซส์ ่ือสารสิ่งท่ีเรียนรู้และนาํ ความรู้ไปใช้ ประโยชน์ ผลการเรียนที่คาดหวงั สาํ รวจ ตรวจสอบ และอธิบายการเคลื่อนที่ แบบวงกลมและการนาํ ไป ใชป้ ระโยชน์(ว 4.2-2) วตั ถุปะสงค์ เพอ่ื ใหผ้ เู้ รียนสามรถ 1. อธิบายความหมายของการเคล่ือนที่แบบวงกลมได้ 2. นาํ ความรู้กาเคลื่อนท่ีแบบวงกลมไปประยกุ ใชใ้ นชีวติ ประจาํ วนั

การเคลอื่ นทแี่ บบวงกลม(circular motion) การเคล่ือนท่ีแบบวงกลมเป็นการเปล่ียนตาํ แหน่งของวตั ถโุ ดย แนวการเคลื่อนท่ีห่างจากจุดหน่ึงคงตวั ตลอดการเคล่ือนท่ี

เส้นทางของการเคลอ่ื นทแี่ บบวงกลม  วตั ถทุ ี่เคล่ือนท่ีแบบวงกลมจะมีเสน้ ทางการเคล่ือนที่เป็นส่วนโคง้ ของ วงกลม ห่างจากศนู ยก์ ลางวงกลมเท่ากบั รัศมีการเคล่ือนท่ี ความเร็วของ การเคลื่อนท่ีท่ีตาํ แหน่งใดๆบนทางโคง้ มีทิศช้ีไปตามแนวสมั ผสั กบั เสน้ โคง้ วงกลม ณ ตาํ แหน่งน้นั (ความเร็วมีทิศทางต้งั ฉากกบั แนวรัศมี วงกลม)

แรงสู่ศูนย์กลาง (centripetal force : Fc) วตั ถจุ ะเคล่ือนท่ีเมื่อไดร้ ับแรงกระทาํ และวตั ถุท่ีเคล่ือนที่ แบบวงกลมจะไดร้ ับแรงกระทาํ ในทิศทางพงุ่ เขา้ หา ศนู ยก์ ลางวงกลมตลอดเวลา แรงน้ีเรียกวา่ “แรงสู่ศนู ยก์ ลาง(centripetal force)”

ความเร็วของการเคลอ่ื นทแี่ บบวงกลม (ความเร็วเชิงเสน้ ) กด play แสดง กด stop หยดุ กด step แสดงทีละข้ัน ทศิ ความเร็ว อยู่ในแนวสัมผสั กบั เส้นรอบวง อัตราเร็วเชิงเส้น คอื ระยะทางโค้งต่อเวลาท่ีเคลอ่ื นท่ี ขนาดความเร็ว คอื ขนาดการกระจดั ต่อเวลาที่เคลื่อนท่ี

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง (centripetal acceleration : ac)  เมื่อวตั ถเุ คลื่อนท่ีแบบวงกลมทิศการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา คืออยใู่ นแนวสมั ผสั ส่วนโคง้ วงกลม หรือบางกรณีขนาดความเร็วมีค่าไม่ คงเดิม ลกั ษณะเช่นน้ีถือวา่ วตั ถุกาํ ลงั เคล่ือนที่ดว้ ยความเร่ง และทิศของ ความเร่งพงุ่ เขา้ หาศนู ยก์ ลางการเคลื่อนที่เช่นเดียวเดียวกนั กบั แรงสู่ ศนู ยก์ ลาง

ขนาดของแรงสู่ศนู ยก์ ลาง และ ขนาดของความเร่ง แรงสู่ศนู ยก์ ลาง แปรผนั ตรงกบั ผลคูณของมวลกบั กาํ ลงั สองของความเร็ว แปรผกผนั กบั รัศมีการเคลื่อนที่

ขนาดของแรงสู่ศูนย์กลาง และ ขนาดของความเร่ง ความเร่งสู่ศนู ยก์ ลาง แปรผนั ตรงกบั กาํ ลงั สองของความเร็ว แปรผกผนั กบั รัศมีการเคล่ือนที่

รูปแบบของการเคลอื่ นทแี่ บบวงกลม  การเคล่ือนที่แบบวงกลมโดยทว่ั ไปมีอยู่ 2 รูปแบบ ดงั น้ี รูปแบบที่ 1 เคลื่อนท่ีดว้ ยอตั ราเร็วคงตวั เป็นการเคลื่อนที่ใน ขณะท่ีทิศความเร็วเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา แต่อตั ราเร็วท่ีตาํ แหน่งต่างๆ บนทางโคง้ มีค่าคงเดิม ซ่ึงความเร่งที่เกิดข้ึนจะมีเพยี งความเร่งสู่ ศนู ยก์ ลางเท่าน้นั รูปแบบที่ 2 เคล่ือนที่ดว้ ยอตั ราเร็วไม่คงตวั เป็นการเคลื่อนท่ีใน ลกั ษณะอตั ราเร็วบนทางโคง้ ท่ีตาํ แหน่งต่างๆมีค่าไม่เท่ากนั ดงั น้นั นอกจากมีความเร่งสู่ศนู ยก์ ลางแลว้ ยงั มีความเร่งตามแนวสัมผสั ทางโคง้ เพิม่ มาอีก

แรงสู่ศูนย์กลาง แรงสู่ศูนกยบั ก์ มลวางลแคปวราผมนัเรต็วรแงกลบะั ผรลัศคมูขีกอารงเมควลล่ือกนบั ทกี่ าํ ลงั สอง ของอตั ราเร็วและแปรผกผนั กบั รัศมีการเคล่ือนที่ ขนาด แรงสู่ศนู ย◌์กลา=ง มวล×(ความเรว็ )2 รศั มกี ารเคล�ือนท�ี Fc = mv2 หน่วย นวิ ตนั หรือ N R

ตวั อยา่ งท่ี 1. วตั ถมุ วล 0.4 กิโลกรัม ถกู เหวี่ยงใหเ้ คลื่อนท่ีเป็นวงกลมแนวระดบั ดว้ ยความเร็ว 5 เมตร ตอ่ วินาที รัศมีการเคลื่อนท่ี 1 เมตร ก ขนาดของแรงสู่ศูนยก์ ลางเป็นเท่าใด ข ขาดความเร่งสู่ศูนยก์ ลางเป็นเท่าใด mv2 วธิ ีทาํ ก ขนาดของแรงสู่ศนู ยก์ ลาง FC = R = 0.4(5)2 = 0.4(5×5) 1 1 =10 นิวตนั ∴แรงสู่ศูนยก์ ลางมีขนาดเท่ากบั 10 นิวตนั ตอบ.

ตวั อยา่ งที่ 1.(ต่อ) วตั ถุมวล 0.2 กิโลกรัม ถกู เหวี่ยงใหเ้ คล่ือนที่เป็นวงกลมแนวระดบั ดว้ ยความเร็ว 5 เมตร ต่อวินาที รัศมีการเคล่ือนที่ 1 เมตร ข ขาดความเร่งสู่ศูนยก์ ลางเป็นเท่าใด วิธีทาํ ข ขนาดความเร่งสู่ศูนยก์ ลาง aC = v2 R (5)2 (5×5) = 1 = 1 = 25 เมตร/(วินาที)2 ∴ ความเร่งสู่ศูนยก์ ลางมีขนาดเท่ากบั 25 เมตร/(วนิ าที)2 ตอบ.

รถเคลอ่ื นทบ่ี นทางโค้งวงกลม  ทางโคง้ วงกลมของการเคล่ือนท่ีมีอยู่ 2 รูปแบบ คือ ก. ทางโคง้ ผวิ ราบ

รถเคลอ่ื นทบ่ี นทางโค้งวงกลม  ทางโคง้ วงกลมของการเคล่ือนท่ีมีอยู่ 2 รูปแบบ คือ ข. ทางโคง้ ผิวเอียง

การเคล่ือนที่บนทางโคง้ ผวิ ราบ แรงสู่ศูนย์กลางท่กี ระทาํ ต่อรถขณะรถที่เคลอ่ื นทบี่ นทางโค้งราบคอื แรงเสียดทานระหว่าง พนื้ กบั ยางรถ ซึ่งมที ิศทางเข้าสู่ศูนย์กลางดงั น้ันขนาดของแรงสู่ศูนย์กลาง ดงั สมการ แรงสู่ศูนยก์ ลาง = แรงเสียดทาน (f) Fc= f = µw friction = µ(mg) f FC = µmg µ = สัมประสิทธ์ิความเสียดทานระหว่างผวิ ถนนกบั ยางล้อรถ W=mg=นาํ้ หนักวตั ถุ

ความเร็วสูงสุด ขณะรถแล่นผา่ นทางโคง้ ผวิ ราบ ความเร็วสูงสุด ท่สี ามารถแล่นผ่านโค้งราบใดๆ โดยปลอดภยั สามารถหาได้จากสมการต่อไปนี้ แรงสู่ศูนย์กลาง = แรงเสียดทาน mv2 R = µmg (f) ดงั น้นั ความเร็วสูงสุด เท่ากบั friction v = µRg f µ= สัมประสิทธ์ิความเสียดทานระหว่างผวิ ถนนกบั ยางล้อรถ R=รัศมีการเคลอื่ นท่ี W=mg=นาํ้ หนกั วตั ถุ

ตวั อยา่ งท่ี 2 รถยนตค์ นั หน่ึงขบั แล่นผา่ นโคง้ ราบรัศมี 88 เมตร ดว้ ยความเร็วสูงสุดได้ อยา่ งปลอดภยั ถา้ รถมวล 500 กิโลกรัม สัมประสิทธ์ิความเสียดทานจลนร์ ะหวา่ ง ยางรถกบั ผวิ ถนนเป็น 0.4 และวามเร่งโนม้ ถ่วงของโลก g = 10 m/s2 ก ขนาดของแรงสู่ศูนยก์ ลางเป็นเท่าใด ข อตั ราเร็วสูงสุดท่ีรถสามารถแลน่ ผา่ นไดเ้ ป็นเท่าใด วธิ ีทาํ ก ขนาดของแรงสู่ศูนยก์ ลาง FC = µmg = (0.4)(500)(10) = 2,000 ∴ แรงสู่ศูนยก์ ลางมีขนาดเท่ากบั 2,000 นิวตนั ตอบ.

ตวั อยา่ งที่ 2.(ต่อ) รถยนตค์ นั หน่ึงขบั แล่นผา่ นโคง้ ราบรัศมี 88 เมตร ดว้ ยความเร็วสูงสุดได้ อยา่ งปลอดภยั ถา้ รถมวล 500 กิโลกรัม สมั ประสิทธ์ิความเสียดทานจลนร์ ะหวา่ ง ยางรถกบั ผวิ ถนนเป็น 0.4 และวามเร่งโนม้ ถว่ งของโลก g = 10 m/s2 ข อตั ราเร็วสูงสุดที่รถสามารถแล่นผา่ นไดเ้ ป็นเท่าใด วธิ ีทาํ ข อตั ราเร็วสูงสุด v = µRg = 0.4×100×10 = 20 ∴ ขนาดความเร็วสูงสุด เท่ากบั 20 เมตร/วนิ าที ตอบ. หมายเหตุ ความเร็ว 20 เมตร/วนิ าที เทา่ กบั ความเร็ว 72 กิโลเมตร/ชว่ั โมง

การแปลงหน่วย ความเร็ว ระยะทางพสิ ูจน์ มา้ กาลเวลา พสิ ูจน์ คน ความเรว็ .......เมตร วนิ าที× 36 = ..........กิโลเมตร ชว�ั โมง 10 จาก เมตร/วนิ าที เป็น กิโลเมตร/ชวั่ โมง ความเร็ว.......กิโลเมตร ชว�ั โมง× 10 = ..........เมตร วินาที 36 จาก กิโลเมตร/ชวั่ โมง เป็นเมตร/วนิ าที

การเคล่ือนที่บนทางโคง้ ผวิ เอียง แรงสู่ศูนยก์ ลางที่กระทาํ ต่อรถขณะรถท่ีเคลื่อนที่บนทางโคง้ ผวิ เอียง แรงน้ีมีทิศทางเขา้ สู่ศูนยก์ ลาง ผวิ โคง้ ที่ยกระดบั ดา้ นนอกสูงกวา่ ดา้ นใน เพ่ือเพิ่มแรงสู่ศูนยก์ ลาง ดงั น้นั ถา้ ผวิ ถนนล่ืน มีแรงเสียดทานนอ้ ย ขนาดของแรงสู่ศูนยก์ ลาง และความเร็วสูงสุดท่ีสามารถแลน่ ผา่ นโคง้ ได้ โดยปลอดภยั หาค่าไดด้ งั น้ี N จาก mv 2 = mg tanθ N R แรงสู่ศูนย์กลาง FC = mg.tanθ N อตั ราเร็วสูงสุด v = Rg tanθ กาํ หนด 1. ระดบั ผิวถนนดา้ นนอกและดา้ นในสูงต่างกนั H v= Rg H L ดงั น้นั มมุ 2เ.อรียะงยขะอขงอผบิวถถนนนนตามแนtaวnรθะด=บั หHL่างกนั L

ตวั อยา่ งท่ี 3 สมชายขบั รถจกั รยานยนตแ์ ลน่ ผา่ นโคง้ ราบและล่ืนคนขบั ตอ้ งเอียงตวั เขา้ หาศูนยก์ ลาง ความโคง้ ในลกั ษณะทาํ มุมกบั แนวด่ิง 37 องศา รัศมีความโคง้ 50 เมตร จงคาํ นวณหา ขนาดของแรงสู่ศูนยก์ ลางและอตั ราเร็วสูงสุดท่ีเขาสามารถแลน่ ผา่ นโคง้ ไปไดอ้ ยา่ ง ปลอดภยั ถา้ มวลของรถและคนขบั รวมกนั เท่ากบั 250 กิโลกรัม วิธีทาํ แรงสู่ศนู ยก์ ลางมีเพียงแรงเนื่องจากการพยายามถ่ายโอนน้าํ หนกั (รถและคนขบั )ใหช้ ่วยเกิดแรงสู่ศูนยก์ ลาง ดงั น้นั 37° FC = mg.tan37 3 = (250×10 )( 4 ) FC = 1,875 ∴แรงสู่ศูนยก์ ลางมีขนาดเท่ากบั 1,875 นิวตนั ตอบ.

ตวั อยา่ งที่ 3(ต่อ) วิธีทาํ อตั ราเร็วสูงสุดท่ีสมชายจะตอ้ งขบั ข่ีใหป้ ลอดภยั 37° v = Rg tan37 3 FC 4 v= 120 ×10 × = 30 ∴ อตั ราเร็วสูงสุดขนาดเท่ากบั 30 เมตร/วนิ าที ตอบ.

ตวั อยา่ งที่ 4 รถยนตแ์ ล่นผา่ นโคง้ เอียงผิวเรียบท่ียกระดบั ขอบถนนดา้ นนอกสูงกวา่ ดา้ นใน โดยจาํ กดั ความเร็วในการขบั ขี่ผา่ นโคง้ ไวไ้ ม่เกิน 90กิโลเมตร/ชว่ั โมง รัศมีความโคง้ 400 เมตร พบวา่ ถา้ ความกวา้ งระหวา่ งขอบถนนตามแนวระดบั เป็น 10 เมตร อยากทราบวา่ ขอบถนนดา้ นนอกสูงกวา่ ขอบถนนดา้ นในเท่าใด วธิ ีทาํ จาก v= Rg H จากโจทย์ ขขนาดเร็ว 90 km/h = 25 m/s L ยกกาํ ลงั 2 และจดั รูปสมการใหม่ ไดด้ งั น้ี H = v2L H=? Rg H = ( 25) 2 10 = 1.25 L=10 เมตร 500 ×10 ∴ ขอบถนนดา้ นนอกสูงกวา่ ขอบดา้ นใน 1.25 เมตร ตอบ.

เมอ่ื ไม่มแี รงสู่ศูนย์กลาง วตั ถุจะเคลอื่ นทเี่ ป็ นวงกลมต่อไปได้หรือไม่ อย่างไร Slow=ความเร็วตาํ่ Fast=ความเร็วสูง

เมอ่ื ไม่มแี รงสู่ศูนย์กลาง วตั ถุจะเคลอื่ นทเี่ ป็ นวงกลมต่อไปได้หรือไม่ อย่างไร ศึกษา สถานการณ์จาํ ลอง ขณะมีแรงสู่ศูนยก์ ลางกระทาํ วตั ถุ เมื่อแรงสู่ศูนยก์ ลางหมดไป วตั ถุไมส่ ามารถเคลื่อนท่ีเป็นวงกลม จะสามารถเคลื่อนที่เป็ นวงกลมได้ ไดอ้ ีกแต่จะเคลื่อนท่ีเป็นเส้นตรงพ่งุ ไปในแนวสมั ผสั กบั ส่วนโคง้ ณ ตาํ แหน่งน้นั

การโคจรของดาวเทียม  จถจุ้งึดาวแปงตะโกสคตงจ่าครง์ขขกออนั งงกดทาา้งั รวนใเทชเี้ พ้ดียอื่ ามใวอหเทย้เค่เูยี หลมนอ่ื มนือักรทจะ่ีไะดปใบัหพผ้ดรวิ้าอโวมลเทๆกกียตบัม่างกเคกาลนัรอ่ืหคนมวทุนาไี่มรปอเรใบน็วตใลนัวกั เกษอางณรขเะคอใลงหโอื่ ้อลนยกทู่นี่ขิ่งเอหงนดอืาวตเําทแียหมนใน่งหแตน่ลึ่งะบรนะโดลบักวงดโงั คนจ้ันร มากกว่า ดงั น้นั ดาวเทียมดวงที่อยู่ทีร่ ะดบั สูงจะต้องใช้ความเร็วมากกว่าดวงท่ีอย่รู ะดบั ตา่ํ เพราะความยาวโค้ง

กฎแรงดงึ ดูดระหว่างมวล (law of gravity)  เซอร์ ไอแซก นิวตนั เสนอกฎแรงดึงดดู ระหวา่ งมวลของวตั ถุคู่หน่ึงไวว้ า่ “วตั ถทุ ุกชนิดในเอกภพจะส่งแรงดึงดดู ซ่ึงกนั และกนั โดยขนาดของแรงดึงดดู ระหวา่ ง วตั ถจุ ะแปรผนั ตรงกบั ผลคณู ระหวา่ งมวลของวตั ถุท้งั สองและแปรผกผนั กบั กาํ ลงั สองของระยะทางระหวา่ งวตั ถุ”

แรงดงึ ดูดระหว่างมวล (law of gravity ;FG )  สมการของแรงดึงดดู ระหวา่ งมวล กฎแรงดึงดูดระหวา่ งมวล สามารถเขียนเป็นสมการไดด้ งั น้ี Gm1m2 FG = R2 R โดย FG คอื แรงดงึ ดูดระหว่างมวล (นวิ ตนั ) G คอื ค่าโน้มถ่วงสากล 6.67×1011 (นิวตนั .เมตร2ต่อกโิ ลกรัม2) M1,mR2 คอื มวลวตั ถุ (กโิ ลกรัม) คอื รัศมกี ารเคลอื่ นที่

ประโยชนข์ องแรงดึงดูดระหวา่ งมวล  ระบบมวลคู่ใดคู่หน่ึงสามารถคงสภาพความสมั พนั ธ์ทางตาํ แหน่งเอาไว้ ไดเ้ พราะท้งั สองมีแรงดึงดูดระหวา่ งมวลกระทาํ ต่อกนั เช่น ระบบสุริยะของเราที่ดาวเคราะห์โคจรรอบดวงอาทิตยใ์ นสภาพ เช่นน้นั เป็นเพราะมีแรงดึงดูดระหวา่ งมวลของดวงอาทิตยก์ บั ดาวเคราะห์ ดวงน้นั หรือ ดาวเทียมที่สามารถโคจรรอบโลกไดเ้ พราะมีแรงดึงดดู ระหวา่ งดาวเทียมกบั โลก

แรงโนม้ ถ่วงกบั แรงดึงดูดระหวา่ งมวล แรงดึงดดู ระหวา่ งมวลเป็นแรงโนม้ ถว่ งสากล โดยมีค่าโนม้ ถ่วงสากล(G)เท่ากนั ไมว่ า่ มวลคู่น้นั จะอยู่ ณ ท่ีใดของเอกภพ ส่วนน้าํ หนกั ของวตั ถทุ ่ีปรากฏภายในสนามโนม้ ถว่ งของโลก

คาบ และ ความถี่ ของการเคล่ือนที่  เมื่อวตั ถเุ คลื่อนท่ีครบรอบ คาบ(period;T) คือเวลาท่ีวตั ถุพอดีเคล่ือนที่ครบรอบ (วนิ าที) ความถี่(frequency;f) คือ จาํ นวนรอบต่อวนิ าที (เฮิร์ตซ์ , Hz) สมการความสัมพนั ธ์ T = 1 หรือ f = 1 f T

ตวั อยา่ งท่ี 5 ตวั อยา่ งท่ี5 ในเวลา 80 วินาที วตั ถุเคลื่อนที่เป็นวงกลม ได้ 100 รอบ คาบและความถี่ของการเคลื่อนท่ีเป็ นเท่าใด วิธีทาํ คาบเวลา T = เวลาทงั� หมด = 80 = 0.8 จํานวน20รอบ 100 ความถ่ี f = 1 = 1 = 1.25 รอบ/วนิ าที หรือ เฮิร์ตซ์(Hz) T 0.8