ม.4 เล่ม 1 @unit 3.การเคลื่อนที่ 2 และ 3 มิติ

วตั ถตุ กอยา่ งอสิ ระ วตั ถตุ กอยา่ งอสิ ระเป็ นการเคลือ่ นท่ีด้วยความเร่งคงตวั โดยวตั ถจุ ะเคล่อื นท่ีลงสพู่ ืน้ โลกด้วยความเร่ง 9.8 เมตร/วนิ าที2 s = ut + 1 at 2 a=g s = ut + 1 gt 2 2 2 v2 = u2 + 2as v2 = u2 + 2gs v = u + at v = u + gt

ตวั อย่างที่ 1.11 ลกู กอล์ฟลกู หนง่ึ ถกู ปลอ่ ยให้ตกอยา่ งอิสระจากยอดตกึ สงู ถ้าหากไม่ คดิ แรงต้านของอากาศ จงหาความเร็วและตําแหน่งของลกู กอล์ฟดงั กลา่ วเม่ือเวลาผา่ น ไป 1 , 2 และ 3 วินาที ตามลาํ ดบั

ตวั อย่างที่ 1.12 ลกู บอล A ถกู ปลอ่ ยให้ตกลงมาจากขอบหน้าผา เมื่อเวลาผา่ นไป 1 วินาที ลกู บอล B ถกู ขว้างลงมาด้วยความเร็วต้น 20 เมตร/วินาที ถามว่าลกู บอล B จะตามทนั ลกู บอล A ท่รี ะยะความลกึ เทา่ ใด

หน่วยท่ี 1 การเคล่ือนที่ ตอนท่ี 1.3 การเคลื่อนที่ในสองมิติและสามมิติ • นิยามของตําแหนง่ การกระจดั ความเร็ว และความเร่ง • การเคลอื่ นที่ด้วยความเร่งคงตวั สามมติ ิ • การเคลอื่ นท่ีแบบโพรเจกไทล์ • การเคลอื่ นท่ีแบบวงกลมด้วยอตั ราเร็วคงตวั

นยิ ามของตําแหนง่ การกระจดั ความเร็ว และความเร่ง ตาํ แหนง่ เวกเตอร์บอกตําแหนง่ (position vector ) Z r = xˆi + yˆj + zkˆ r ทางเดินอนภุ าค kˆ X ˆiO ˆj Y

การกระจดั Zกา∆รกrร=ะจr2ดั − r1  ∆r ทางเดินอนภุ าค Z ∆กrา=รกr2ระ−จr1ดั r2  Y r1 O  ทางเดินอนภุ าค X r2 r1 OY ∆t → 0 X

ความเร็ว x ⇒ r = xˆi + yˆj + zkˆ ความเร็วเฉล่ีย ความเร็วบดั ดล(ความเร็วขณะใดขณะหน่ึง) กรณี 1 มติ ิ  = ∆x กรณี 1 มติ ิ v = lim ∆x = dx กรณี 3 มิติ vave = ∆∆rt ∆t → 0 ∆t dt  ∆t v = lim ∆r = dr vave กรณี 3 มิติ ∆t → 0 ∆t dt r = xˆi + yˆj + zkˆ ทิศของความเร็วบดั ดล อยใู่ นแนว เส้นสมั ผสั ทางเดินของวตั ถุ ทศิ ของความเร็วจะมีทิศเดยี วกนั กบั การกระจดั

v = lim ∆r = dr r = xˆi + yˆj + zkˆ ∆t → 0 ∆t dt v = dr = d (xˆi + yˆj + zkˆ) dt dt = dx ˆi + dy ˆj + dz kˆ dt dt dt = vxˆi + vyˆj + vzkˆ vx = dx vy = dy vz = dz dt dt dt

ความเร่ง ∆v ∆t ความเร่งเฉลีย่  =  = vxˆi + vyˆj + vz kˆ aave v ความเร่งบดั ดล(ความเร่งขณะใดขณะหน่ึง) a = lim ∆v = dv = d (vxˆi + vyˆj + vz kˆ ) ∆t → 0 ∆t dt dt = dvx ˆi + dvy ˆj + dvz kˆ dt dt dt = axˆi + ayˆj + azkˆ ax = dv x ay = dv y az = dv z dt dt dt

ตวั อย่างที่ 1.13 อนภุ าคเคลอื่ นที่ในระนาบxy โดยมีจดุ พิกดั ตามแกนมีความสมั พนั ธ์กบั เวลา t ตามสมการ x(t) = t3 − 32t y(tแ)ล=ะ 5t2 + 12 x y โดย และ มีหนว่ ยเป็นเมตร เวลา t เป็นวินาที จงหาเวกเตอร์ บอกตาํ แหน่ง ความเร็ว และความเร่งของ อนภุ าคเม่ือเวลา t = 3 วินาที

การเคล่ือนท่ีด้วยความเร่งคงตวั สามมิติ วเววตตัั ลถถาอมุุ เรยีคิ่มทู่วตาี่ต้นมาํ เแรห็วนเร่งิ่มต้นvtr000 = x0ˆi + y0ˆj + z0kˆ = vx0ˆi + vy0ˆj + vz0kˆ วตั ถมุ คี วามเร่ง . a = axˆi + ayˆj + azkˆ ความเร็วของวตั ถทุ ีเ่ วลาใดvๆ=  + at v0 vx = v0x + axt vy = v0 y + ayt vz = v0z + azt

 = r0 + vv00t++212a  2 r = at ⋅ v v  ⋅ ⋅ (r −  ) v0 r0 r =  + 1 (v0 + v)t r0 2 โดยทว่ั ไปเราจะให้  =0 r0 r  at 2 v = v0t + 1 2a ⋅ v ⋅ =  ⋅  2 r v0 v0 + r = 1 (v0 + v)t 2

ตวั อย่างที่ 1.14 อนุภาคเคลื่อนท่ีโดยมีตาํ แหน่งเป็นฟังกช์ นั ข r(t) = iˆ + 4t 2 ˆj + tkˆ จงเขียนสมการ (a) ความเร็ว (b) ความเร่ง

การเคลอ่ื นทแี่ บบโพรเจกไทล์ y vy v v เคล่ือนท่ีด้วยความเร่งคงตวั ใน R v0y v0 vx vx ax = 0 vy v xvox ay = g o φ0vox v0y φ0 v0 vx วิถีของการเคลือ่ นท่ีแบบโพรเvจy กไทvล์จะเป็ นรูปโค้งพา

ความเร็วเริ่มต้น  = vx0ˆi + vy0ˆj vx0 = v0 cosφ0 v0 vy0 = v0 sin φ0 ความเร็วเม่ือเวลาผา่ นไtป v =  + at v0 ax = 0 vx = vx0 + axt = v0 cosφ0 vy = vy0 + ayt = v0 sin φ0 − gt ay = − g s = v0t + 1 at 2 y = (v0 sin φ0 ) t − 1 gt 2 2 2 x = (v0 cosφ0 )t y = (tanφ0 ) x − 2(v0 g φ0 )2 x2 cos y = ax − bx2 R= v02 sin 2φ0 g

ตวั อย่างที่ 1.15 การวิเคราะห์จดุ ชนของอนภุ าคปลอ่ ยตกอสิ ระตามแนวด่งิ กบั อนภุ าคที่ถกู ยงิ แบบโพรเจกไทล์ y v0 = 0 A 1 gt 2 2 x tan φ0 v0 y o φ0 x x

(a) จงพิสจู น์วา่ ถ้าโพรเจกไทล์ถกู ยงิ ขนึ ้ จากพืน้ ระดบั เป็ นมมุ อตั ราสว่ นความสงู ที่สดุ14 taHnφต0 อ่ พิสยั Rφ0 มีคา่ H/R = (b) จงหามมุ ของการยิงที่ทําให้ H = R  v0 H φ0 R (a) v0 x = v0 cosφ0 = R t v0 y = v0 sin φ0

v0 x = v0 ccoossφφ0 0=)tRt v0 y = v0 sin φ0 R = (v0 Sy = v0 yt + 1 at 2 0 = v0 sin φ0t − 1 gt 2 2 = 2 ∴ v0 sin φ0 1 R = gt 2 cosφ0 ) 2 v0 sin φ0 (v0 g R = v02 sin 2φ0 g v 2 = v02y +2aS y 0 = (v0 sin φ0 )2 −2gH y ∴ H = v02 sin 2 φ0 2g

H = v02 sin 2 φ0 R = v02 sin 2φ0 2g g HR= v02 sin φ sin φ0 = 1 φ0 0 4 tan 4g v02 sin φ0 cosφ0 H 1 g R 4 = tan φ0 (b) H = R 1 4 1 = tan φ0 tanφ0 = 4 φ0 = tan−1(4) = 75.96°

การเคล่อื นท่ีแบบวงกลมด้วยอตั ราเร็วคงตวั การเคลื่อนที่แบบวงกลมเป็ นการเคล่ือนที่ ท่ีทิศทางขอแงตคจ่ วะามมีขเรน็วาแดลขะอคงวคาวมาเมร่งเรเ็ปวแลลีย่ ะนคแวปาลมงเตร่งลคองดตเวัวเลสามอ r P1 O r P1 Cθ   Cθ v∆t v1 v2 θ v1 r P2 r ∆v  P2 v2 (b) (a) (c)

aave = ∆v 1 ∆v = v sin θ  ∆v = 2v sin θ  ∆t 2 2 2 rθ = v∆t ∆t = rθ v ∆v 2v sin θ  aave = v2  r aave = = 2 ∆t rθ v sin θ  →  θ  ∆t → 0 2 2 เน่ืองจาaกcม=ที ศิ เขrv้า2สศู่ นู ย์กลาง จงึ v รียกความเร่งดงั กลา่ ววา่ “ความเร่งสศู่ นู ย์กลาง”v  ac O  ac  ac v

 aT a ac ถ้าเป็นการเคลื่อนทท่ี ม่ี ีความเร็วเปล่ยี นทงั ้ ขนาดและทศิ ทาง จะได้การเคลื่อนทท่ี มี่ ีทงั้ ความเร่ง เเขค้าลสอ่ื ศู่นนูทยี่ด์กงั ลกาลงา่ วจะเปแ็ลนะกคา(aวรเาcคม)ลเือ่ร่งนใทนที่แี่เนปว็นสสมั ว่ ผนสั โทค้างขงเอดงินวงกลมทตี่ งั ้ ฉา(aกซTง่ึ )กนั และกนั การ ขนาดของความเร่งลพั ธa์ = ac2 + aT2

ตวั อย่างที่ 1.17 ดวงจนั ทร์หมนุ รอบโลกครบรอบใช้เวลา 27.3 วนั สมมติให้วงโคจรเป็น วงกลมมีรัศมีความโค้ง 3.82 × 108เมตร จงคํานวณหาขนาดของความเร่งของดวงจนั ทร์เข้าสู่ โลก a = v2 r เวลาครบรอบ T = 27.3 วนั ( )= 27.3× 24× 60× 60 วนิ าที วนิ าที ≈ 2.36 ×106 v= 2πr = 2π 3.82 × 108 m = 1018 m/s T 2.36 × 106 s a= v2 = (1018 m/s)2 r 3.82 × 108 m = 0.00271 m/s2

ด้วยรัศมี 3.64 เมตร ณ จดุ เวลา อนภุ าคมคี วามเร็วเชิงเส้น สมั ผสั 17.4 เมตร/วนิ าที และมีความเร่งในทิศทาง 22.0° จาก แนวเข้าสจู่ ดุ ศนู ย์กลาง จงหา (a) อตั ราเร่งในแนวเส้นสมั ผสั ทางเดนิ (b) ขนาดของความเร่ง v = 17.4 m / s  a 22° r = 36.4 m C

(a) อตั ราเร่งในแนวเขา้ สู่ศูนยก์ ลางมีค่า ac = v2 = (17.4 m/s) 2 = 83.17 m/s2 r 3.64 m v = 17.4 m / s ac = a cos 22° = 83.17 ∴ a = 83.17 = 89.7 m/s2  a 22° cos 22° aT = a sin 22° r = 36.4 m C = 89.7 sin 22° = 33.6 m / s2 (b) ขนาดของความเร่ง a = 89.7 m / s2