เมทริกซ์

เมทริกซ์(Matrix) เมทริกซ์ คือ กลุ่มตวั เลขที่นามาเรียงกนั อยใู่ นวงเลบ็ ใหญ่ คือ [ ] หรือวงเลบ็ เลก็ คือ ( ) โดยเรียงกนั อยใู่ นรูปแบบ aa2111 aa2122 a13 … aa21nn a23 …  A=    … amn สมาชกิ ในaแmถ1 วทam่ี 12 a12 หมายถงึ am3 … หลักท่ี 2 a23 หมายถงึ สมาชกิ ในแถวที่ 2 หลักท่ี 3 aij หมายถงึ สมาชิกในแถวท่ี i หลักที่ j สมาชิก (element) - ตวั เลขทอ่ี ยใู่ นเมทรกิ ชแ์ ต่ละตวั เรียกวา่

ขนาด (มิต)ิ ของเมทริกซ์     แถวท่ี 1     แถวที่ 2     แถวท่ี 3 หลกั ที่ 1 หลกั ที่ 2 หลกั ท่ี 3 หลกั ท่ี 4

เมทริกซ์(Matrix) 1 4 7 0 A   2 5 8 1  3 6 9 2  จะได้ว่าเมตริกซ์ A มขี นาด 3 4 3 4 จานวนแถว จานวนหลกั a12 คือ 4 a23 คือ 8 a34 คือ 2

เมทริกซ์(Matrix) ถา้ เมทริกซ์ใดมีสมาชิก m แถว และ n หลกั เรียกเมตริกซ์ m  n อา่ นวา่ เอม็ คูณเอน็ เมทริกซ์ aa2111 aa1222 a13 … aa12nn a23 …  A=    … amn am1 am2 am3 … หรอื A = [aij]mn

หลกั 1 หลกั 2 หลกั 3 เมทริกซ์(Matrix) 1 -2 -3  แถวที่ 1  แถวที่ 2 A = -4 0  แถวที่ 3 5  3 2 -1  a12 คือ -2 33 a22 คือ 0 a33 คือ -1

ชนิดของเมทริกซ์

1) เมทริกซ์แถว(Row Matrix) เป็ นเมทริกซ์ทมี่ สี มาชิกเพยี งแถวเดยี ว เช่น A = [ 1 0 4 5 ]14 B = [ 1 0 ] 12

2) เมทริกซ์หลกั (Column Matrix) เป็ นเมทริกซ์ทม่ี สี มาชิกเพยี งหลกั เดยี ว เช่น 1  4 A = 2 C = 5 3 31 6 B= 4 7 41 5 21

3) เมทริกซ์ศูนย์(Zero Matrix) เป็ นเมทริกซ์ทม่ี สี มาชิกทุกตวั เป็ น 0 เช่น 0 0    A = 0 0     22  0 0 0   0 0 0  B= 0 0   0 33

4) เมทริกซ์จตั ุรัส (Square Matrix) เป็ นเมทริกซ์ทม่ี จี านวนแถว เท่ากบั จานวนหลกั เช่น 1  1 -2 -3  1 2 3 4  -4 0 5  5 6 7 8   -1  4 3 2 1     8 7 6 5     3 2 44 11  33   a b      c d   22 

5) เมทริกซ์สเกลาร์ (Scalar Matrix) เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสทม่ี สี มาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลกั Main Diagonal เท่ากนั ท้งั หมด และสมาชิกทเ่ี หลือทุกตวั เป็ น 0 เช่น 2 0  3 0 0  x 0 0 0          0 x  0 2  0 3 0 0 0   0 0   22 3  0 0 x 0 0 0 0  33 44 x

6) เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity Matrix) เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสทม่ี ีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลกั Main Diagonal มคี ่าเป็ น 1 เท่ากนั ท้งั หมด และสมาชิกทเี่ หลือทุกตวั เป็ น 0 ใช้สัญลกั ษณ์ I I = 1 I =0 1 0 0    0 1   0 0  22  33 0   1 0     1 

7) เมทริกซ์ทแยงมุม (Diagonal Matrix) เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัสทม่ี สี มาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลกั Main Diagonal มีค่าเท่าใดกไ็ ด้ และสมาชิกทเี่ หลือทุกตวั เป็ น 0 ท้งั หมด A= 2 0  B = 6 0 0   0 8      0  0 1   0 0 9     

การเท่ากนั ของเมทริกซ์ เมทริกซ์ใดๆ จะเป็ นเมทริกซ์เท่ากนั มเี ง่ือนไขดังนี้ 1) จะต้องมมี ติ ิ (ขนาด) เท่ากนั 2) สมาชิกในแต่ละตาแหน่งต้องเท่ากนั

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาค่าของตวั แปรจากสมการ ก วธิ ีทา t = 5 k=0

ตัวอย่างที่ 8 กาหนดให้ , B= A= และ A = B จงหาค่า x + y วธิ ีทา เน่ืองจาก x + 1 ในเมตริกซ์ A อยู่ในตาแหน่งเดยี วกบั 3 ใน เมตริกซ์ B  x+1 = 3 x = 3–1=2 y =0 ดงั น้ัน x + y = 2 + 0 = 2

การบวกและการลบเมตริกซ์ • เมตริกซ์ 2 เมตริกซ์ใดๆ สามารถบวกหรือลบกนั ได้ ตามเงื่อนไข 2 ประการ คือ –เมตริกซ์ท้งั สองต้องมมี ติ เิ ท่ากนั –สมาชิกทอี่ ยู่ในตาแหน่งเดยี วกนั นามาบวกหรือลบกนั

การบวก ลบ คูณ หาร จานวน จริง การบวก 1) 2 + 3 = 5 2) 2 + (- 3) = 2 – 3 = - 1 3) - 2 + 3 = 1 4) (-2) + (-3) = - 5

การบวก ลบ คูณ หาร จานวน จริง การลบ 1) 2 - 3 = -1 = -5 2) 2 - (- 3) = 2 + 3 = 5 3) (-2) - 3 = - 5 หรือ -2 - 3 4) (-2) - (-3) = -2 + 3 = 1

การบวก ลบ คูณ หาร จานวน จริง การคูณ - เคร่ืองหมาย เหมือนกนั คูณกนั ผลลพั ธ์เคร่ืองหมายจะเป็ นบวก - เคร่ืองหมาย ไม่เหมือนกนั คูณกนั ผลลพั ธ์เครื่องหมายจะเป็ นลบ 1) 2 2 = 4 2) 2 (- 2) = - 4 3) (-2)  2 = - 4 4) (-2) (-2) = 4

ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ -1 0  5 - 1  5 2 - 2  3 0   0 A = 4  ,B =-6       จงหา 1) A + B 2) B + A 3) A – B 4) B - A วธิ ีทา 1) A + B = (-1) + 5 0 + (-1) 3+0 4 + 2 5 + (-2) - 6 + 0 = 4 - 1 3   6 3 - 6       

ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ -1 0  5 - 1  5 2 - 2  3 0   0 A = 4  ,B =-6       จงหา 1) A + B 2) B + A 3) A – B 4) B - A วธิ ีทา 2) B+A= 5 + (-1) - 1 + 0 0 +3  2 + 4 -2 + 5 0 + (- 6) = 4 - 1 3   6 3 - 6       

ตวั อยา่ งที่ 1 กาหนดให้ -1 0  5 - 1  5 2 - 2  3 0   0 A = 4  ,B =-6       จงหา 1) A + B 2) B + A 3) A – B 4) B - A วธิ ีทา 3) A - B = (-1) - 5 0 - (-1) 3-0  4 - 2 5 - (-2) - 6 - 0 = - 6 1 3  2 7 - 6       

ตวั อยา่ งท่ี 1 กาหนดให้ -1 0  5 - 1  5 2 - 2  3 0   0 A = 4  ,B =- 6       จงหา 1) A + B 2) B + A 3) A – B 4) B - A วธิ ีทา 4) B - A = 5 - (-1) - 1 - 0 0-3  2 - 4 -2 - 5 0 - (- 6) = 6 - 1 -3    - 2 -7 6       

การคูณเมตริกซ์ด้วยจานวนจริง • การคูณเมตริกซ์ด้วยจานวนจริงใดๆ คือการนา จานวนจริงใดๆ คูณสมาชิกทุกตวั ของเมตริกซ์

ตัวอย่างท่ี 2 หน้า69 A =ให้   จงหา 2A + (-A) 2 3   - 4 1     2 3 2(2)  - 4 1   2(3) 4 2 (- 4)  2A= = - 8 62วธิ ีทา=2    2(1)            -1 -24- A =   - 1(2) - 1(3) = -42 - 3   - 1(- 4)     3  - 1(1) - 1     =  1 ดงั น้ัน 2A + (-A) == 4 -4+826(+-42)+ 26++((---4231))=--31 2- 4  - 8       3   1  

การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ • การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ มเี ง่ือนไข ดงั นี้ 1. เมตริกซ์ A และ เมตริกซ์ B จะคูณกนั ได้กต็ ่อเมื่อ จานวนหลกั ของเมตริกซ์ A เท่ากบั จานวนแถวของเมตริกซ์ B a b  e f g       A=  B =  c  j  d  h i  22 23

การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ • การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ มเี งื่อนไข ดงั นี้ 2. แถวของตวั ต้งั ไปคูณกบั หลกั ของตวั คูณ แล้วนามาบวกกนั ผลลพั ธ์ จะเท่ากบั จานวนแถวของตวั ต้งั กบั จานวนหลกั ของตวั คูณ เช่น ae + bh af + bi ag + bj AB =   ce + dh cf + di cg + dj  m p

ตวั อย่างท่ี 3 ให้ A= 1 2 B = 3 4 จงหา AB 4และ       3 1 2       วธิ ีทา AB = 1(3) + 2(1) 1(4) + 2(2) 3(3) + 4(1) 3(4) + 4(2)     AB = 3 + 2 4 + 4     9 + 4 12 + 8   AB = 5 8     20  13  2 2

ตวั อย่างที่ 4 ให้ A =  3  B  3  AB 1 วธิ ีทา AB = 2 และ 5 1 จงหา AB = 2 3    211((5510))+++643((422))22 +21((12112)) =  2 4 + 43((446))+ 312((33)) ++ 43((11)) +   5 + 8 1 + 16 3 + 4     AB = 16 14 9   17  13  7  2 3

ตัวอย่าง 2.10 หน้า 44 จงหาค่าของ AB ถ้า 33 23 วธิ ีทา

ตวั อย่าง จงหา AA

ทรานสโพสของเมตริกซ์ (Tran spore of Matrix) คือ เมตริกซ์ทส่ี ร้างขนึ้ ใหม่โดยเปลยี่ นแถวจากแต่ละแถวของ เมตริกซ์ทม่ี ีอยู่ให้เป็ นหลกั ตามลาดบั เช่น 1 3 1 2      2  t  A =  =A5 2 -1  2  5  -1    3 2  2 3 3

• ตวั อย่างที่ 5 กาหนดให้ A = จงหา At จงหา At วธิ ีทา At = ตวั อย่างที่ 6 กาหนดให้ A = วธิ ีทา At =

• ตวั อย่างท่ี 7 กาหนดให้ A = จงหา At วธิ ีทา At =

ดเี ทอร์มนิ ันท์ (Determinant) หน้า 99 เป็ นจานวนจริงทไี่ ด้จากเมตริกซ์จตั ุรัส ดเี ทอร์มนิ ันท์ของเมตริกซ์ A เขยี นแทนด้วย det(A) A = , det (A) = ad – bc A = , det (A) = (1 4) – (5  0) det (A) = 4 – 0 det (A) = 4

ตวั อย่างท่ี 9 กาหนดให้ A = จงหา det A วธิ ีทา det (A) = (1 4) – (3 2) = 4–6 det (A) = -2

ตัวอย่างที่ 10 กาหนดให้ A = ,B= จงหา det (A+B) วธิ ีทา จะได้ A + B = = det (A+B) = (4 1) – (7 3) = 4 – 21 det (A+B) = -17

A= จะได้ det (A) det (A) = { aei + bfg + cdh} – {gec + hfa + idb } เมตริกซ์มิติ 3 3 อาจหา det โดยการนา 2 หลกั แรกต่อท้ายหลกั ที่ 3

ตัวอย่างท่ี 11 กาหนดให้ A = จงหาค่า det A จะได้ det (A) det (A) = (1)(1)(5) + (2)(-2)(4) + (3)(0)(6) – (4)(1)(3) - (6)(-2)(1) - (5)(0)(2) det (A) = 5 + (-16) + 0 - 12 – (-12) - 0 det (A) = 5 - 16 + 0 - 12 + 12 - 0 det (A) = -11

อนิ เวอร์สการคูณของเมตริกซ์ • จากสูตร ถ้า A = A-1 =

แบบฝึ กหดั • กำหนดให้ • 2) 3)