Β τόμος - Γ. Μαυρίδης - Γ Λυκείου

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 427Το ζητούμενο εμβαδό Ε του γραμμοσκια- y y xσμένου χωρίου προκύπτει αν από το εμβαδό 1του τραπεζίου ΟΑΒΓ αφαιρέσουμε το εμβαδό A 2 B y 1του χωρίου Ω που σχηματίζουν η Cf , ο Oάξονας xx και η ευθεία x  ln 9. Ω Γ CfΈχουμε 2 ln 9 x OAΒΓ  ΟΓ  ΑΒ  ΒΓ  ln 9  ln 9  2 1  ln 9 1 τ.μ. 22καιΕ Ω  0ln 9 f  x  dx   ln 9  2 ex 1  1 dx   ex   0         ln9 0 2 ln ex 1 x  dx  2ln ex 1  xl0n9   2ln eln9 1  ln 9  2ln 2  0  2ln10  ln 9  2ln 2  ln100  ln 36  ln 100  ln 25 τ.μ. 36 9Επομένως, το ζητούμενο εμβαδό είναι Ε  ΟΑΒΓ  Ε Ω  ln 9 1 ln 25  ln 9 1  ln 81 1 τ.μ. 25 25 9 970. Δίνεται η συνάρτηση f x  x3  3x2  αx, x  όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός. Αν το άθροισμα Ε1 των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον xx και περικλείονται από τη Cf και τις ευθείες x  0 και x  2 είναι ίσο με το άθροισμα Ε2 των εμβαδών των χωρίων που βρίσκοναι κάτω από τον άξονα xx και περικλείονται από τη Cf και τις ευθείες x  0 και x  2 , να βρείτε την τιμή του α.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017428 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΛύσηΈχουμε E1  Ε2  E1  Ε2  0 (1) yΌμως, σύμφωνα με τη γεωμετρική ερμηνεία τουορισμένου ολοκληρώματος έχουμε  Cf  β  2 f  x  dx  E1  Ε2 . Οα  x 0Επομένως, η σχέση (1) ισοδύναμα γράφεται  2 f  x  dx  0 0 Σημείωση   2 dx  0 0 x3  3x2  αx Το αβ f x dx είναι ίσο με το  2 x4  x3  α x2  dx  0 άθροισμα των εμβαδών των χω- 0  4 2  ρίων που βρίσκονται πάνω από   τον άξονα xx μείον το άθροι- σμα των εμβαδών των χωρίων   x4  x3  α x2 2  0 που βρίσκονται κάτω από τον  2   4 0 άξονα xx .   24  23  α 22    04  03  α 02  0  4 2   4 2       4  2α  0  2α  4  α  2.71. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι παραγωγίσιμη, κοίλη και τέτοια, ώστε f x  0 για κάθε x  . Aν Ε είναι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα xx και τις ευθείες x  0 και x  2 , να αποδείξετε ότι E  2f 1.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 429Λύσηi) Έχουμε Ε  2 f  x  dx . Οπότε, αρκεί να αποδεί- y ε 0 Cf M1, f 1 ξουμε ότι 2 f  x  dx  2f 1. 0 Η εφαπτομένη ε της Cf στο σημείο M1, f 1 έχει εξίσωση Ο12 x y  f 1  f 1x 1. Eπειδή η συνάρτηση f είναι κοίλη, η ευθεία ε Παρατήρηση Επειδή η συνάρτηση f είναι βρίσκεται πάνω από την Cf με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Δηλαδή, κοίλη, η ε βρίσκεται «πά- f 1x 1  f 1  f x για κάθε x  νω» από την Cf με εξαίρε- ση το σημείο επαφής. και η ισότητα ισχύει μόνο για x 1. Άρα, οι συνεχείς συναρτήσεις f x και f 1x 1  f 1 δεν είναι ίσες στο διάστημα 0,2 . Επομένως, 2 f  1  x  1  f 1 dx  2 f  x  dx 0 0  f  1 2  x  1 dx  f 1 2  2 f  x  dx 0 0 1dx 0  f  1  x2  2  f 12  0  2  x  dx .  2 x  0 f 0 Και επειδή  x2  2   22     02    0 ,  x  2 2  2 0  2   0   συμπεραίνουμε ότι 0  2f 1  2 f  x  dx 0 και τελικά 2 f  x  dx  2f 1 . 0

lisari.blogspot.gr 14/5/2017430 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου72. Δίνεται η συνάρτηση f :  με τύπο f x  3x2  6x για κάθε x  και η ευθεία ε με εξίσωση y  6  3α x, α  0, 2. i) Nα υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου Ω που ορίζουν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f και ο άξονας των x. ii) Nα βρείτε την τιμή του α για την οποία η ευθεία ε χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία.Λύσηi) ΄Εχουμε y f x  3x2  6x για κάθε x  . Cf Επομένως, η εξίσωση f x  0 ισοδύναμα Ω O 2x γράφεται 3x2  6x  0  x  0 ή x  2. x  0 2  Άρα, το διάστημα ολοκλήρωσης είναι το f x  0  0  διάστημα 0, 2 και προφανώς ισχύει η σχέση f x  0 για κάθε x 0, 2 . Επομένως, το ζητούμενο εμβαδό είναι E Ω  2 f  x dx 2 f  x  dx 0 0 2 3x2  6x dx  x3  3x2 02  4 τ.μ . 0   

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 431ii) Oι τετμημένες των σημείων τομής της Cf και y της ευθείας ε είναι οι ρίζες της εξίσωσης Cf ε f x  6  3α x Ω1 Mα,f α ή της ισοδύναμής της Ο α2x 3x2  3αx  0 που είναι οι αριθμοί 0 και α. Το πρόσημο της διαφοράς f x  6  3α x  3x2  3αx φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: x  0 α  00  f x  6  3αx Επομένως, το εμβαδό του χωρίου Ω1 που περικλείεται από την Cf και τηνευθεία ε είναι  ΕΩ1  α x 6 α  f   3α x dx 3x2  3αx dx 0  0   x3  3αx2 α  α3 .  2  2  0Η ευθεία ε χωρίζει το Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία αν και μόνο αν ισχύει ησχέση Ε Ω1   1 Ε  Ω δηλαδή 2 α3  1 4  α3  4  α  3 4. 2273. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 1  0 και f x  ex2 για κάθε x  . Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τους άξονες xx και yy.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017432 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΛύσηΈχουμε f x  ex2  0 για κάθε x  .Άρα, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο . Και επειδή f 1  0, συμπεραί-νουμε ότι: f x  0  f x  f 1  x 1 f x  0  f x  f 1  x 1 f x  0  f x  f 1  x 1.Επομένως, το διάστημα ολοκλήρωσης είναι το 0, 1 και μάλιστα ισχύει f x  0 για κάθε x 0, 1.Οπότε, το ζητούμενο εμβαδό είναι EΩ  01 f x dx  01 f xdx   01f xdx  01x  f xdx =  x  f x10  01x  f  xdx  1 f 1  0  f 0   1 x ex2 dx  1 0  0  1 1 ex2  dx 0   2  0  1 ex2 1  1 e1  1 e0  e 1 τ.μ.  2  0 2 2 274. Έστω συνάρτηση f :  η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 3 x  2f xf3xx γι1αx eκt2άdθtε, x  . a2 . a2Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τηγραφική παράσταση της f, τον άξονα xx και τις ευθείες x  0 καιx  1.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 433ΛύσηΑπό τη δοθείσα σχέση έχουμε f x  f 2 x  2  3x για κάθε x και επομένως f  x   f 2 3x  2  0 για κάθε x 0, 1. xΆρα, το ζητούμενο εμβαδό δίνεται από τον τύπο E  01f x dx .Για τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος θέτουμε u  f x. Οπότε,du  f xdx . Από τη δοθείσα σχέση παραγωγίζοντας έχουμε 3f 2 xf x  2f x  3 για κάθε x   3f 2 x  2  f x  3 για κάθε x   f   x   3f 2  3   2 για κάθε x . xΕπομένως, du  3f 2 3  2 dx xΓια x  0 είναι u  f 0Για x  1 είναι u  f 1.Προκειμένου να βρούμε τις τιμές f 0 και f 1 , θέτουμε διαδοχικά στη δοθείσασχέση όπου x το 0 και το 1 οπότε έχουμε f 3 0  2f 0  0  f 0  f 2 0  2  0  f 0  0 , διότι f 2 0  2  0και f 3 1  2f 1  3  f 3 1  2f 1  3  0  f 3 1  3f 1  f 1  3  0  f 1 f 2 1 1  3f 1 1  0  f 1 f 1 1  f 1 1  3f 1 1  0  f 1 1  f 2 1  f 1  3  0  f 1  1, διότι f 2 1  f 1  3  0

lisari.blogspot.gr 14/5/2017434 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείουαφού το τριώνυμο f 2 1  f 1  3 έχει διακρίνουσα Δ  11 0 .Είναι λοιπόν 01 1 3f 2  x  2 3  x Ε  f  x  dx  0 f  x   3  3f 2    2 dx  ff01 u  3u2  2 du  1  u 3  2 u  du   u4  1 u 2  1 3 0  3   3  0  4   1  1  0  7 τ.μ. 4 3 12 Προτεινόμενες Ασκήσεις66. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γρα- y φική παράσταση μιας συνάρτησης Cf f : 1, 4  η οποία είναι συνεχής.Έστω EΩ1  και ΕΩ2  τα εμβαδάτων χωρίων Ω και Ω αντίστοιχα. Ω1 12 Ω2Αν ισχύουν Ε  Ω   5 και Ε  Ω   2, να Ο1 34 x 1 2υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 4 f  x  dx. 167. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γρα- y φική παράσταση μιας συνάρτησης Cf f : 0,5  η οποία είναι συνεχής. Αν Ω1 Ο 3 Ω2 5 xτα εμβαδά των χωρίων Ω1 και Ω είναι 2ΕΩ1   11 και Ε  Ω   7 αντίστοι- 2χα, να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:i) 5 f  x  dx ii) 5 f  x  dx. 0 0

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 43568. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πα-ράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα xx και τις ευθείες x  0 , x  2 , όταν:i) f x  x2  5x  4 , x   ii) f  x   xe2x , x  .69. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφικήπαράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα xx και τις ευθείες x  1 και x  2 , 3όταν:i) f x  3x2  2x, x   ii) f x  6 x  9, x  .70. Nα βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης f, τον άξονα xx και τις ευθείες x  0 και x  π , όταν:i) f x  ημx, x   ii) f x  xσυνx, x  .71. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πα-ράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα xx και την ευθεία x  π , όταν: 3i) f x  εφx, x    π , π ii) f x  σφx, x 0, π.  2 2 72. Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης f και τον άξονα xx όταν:i) f  x  4x3 12x2  8x, x   ii) f x  2x  4 ln x, x  0.73. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, και την ευθεία με εξίσωση y  x, όταν:i) f x  x2  2, x   ii) f x  x3, x  .74. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικέςπαραστάσεις των συναρτήσεων f και g όταν:i) f x  x3  2 , g x  2x2  x ii) f x  xex , gx  x . e

lisari.blogspot.gr 14/5/2017436 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου75. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και τις ευθείες x  0 και x  1, όταν:i) f x  xex2 , gx  ex ii) f x  ln x 1, gx  ln x  3.76. Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f , g και την ευθεία x  1, όταν:i) f x  ex , gx  ex ii) f x  x2, gx  3 x.77. Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  x3, x  , τον άξονα των x και την εφαπτομένη της Cf στο σημείο της A2,8.78. Δίνονται οι συναρτήσεις f x  2x3, xκαι gx  9x2  6x  8 i) Nα αποδείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν ακριβώς τρία κοινά σημεία τα οποία έχουν τετμημένες διαδοχικούς άρτιους αριθμούς. ii) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x  0 και x  2.79. Δίνεται η συνάρτηση f : 2,    με τύπο f x  x 1 1 για κάθε x  2 . x2 i) Nα βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο . ii) Να υπολογίσετε το εμβαδό Ε α του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ασύμπτωτή της στο  και τις ευθείες x  α και x  α 1 με α  2.80. Δίνεται η συνάρτηση f x  ex , x  . i) Να βρείτε το εμβαδό E α του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική πα- ράσταση της f, τον άξονα xx και τις ευθείες x  α και x  α με α  0 . ii) Να υπολογίσετε το όριο lim E α. α

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Oλοκληρωτικός Λογισμός – Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου 43781. Δίνεται η συνάρτηση f : *  με τύποf x  x  1 για κάθε x  *. x2i) Nα βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .ii) Να υπολογίσετε το εμβαδό Ε t του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ασύμπτωτη αυτής στο  και τις ευθείες x  1 και x  t με t  1.iii) Nα υπολογίσετε το όριο lim Et. t82. Δίνεται η συνάρτηση f :  με τύπο f x  xex2 για κάθε x  . i) Να υπολογίσετε το εμβαδό Ε λ, του χωρίου που περικλείεται από τη γρα- φική παράσταση της συνάρτησης f τις ευθείες x  1, x  λ με λ  1 και τον άξονα των x. ii) Αν το λ αυξάνεται με ρυθμό e cm / sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του παραπάνω εμβαδού τη χρονική στιγμή κατά την οποία λ  2 cm.83. Δίνεται η συνάρτηση f :  με τύπο f x  6x2  4x 1 για κάθε x  . i) Να υπολογίσετε το εμβαδό Ε λ, του χωρίου που περικλείεται από τη γρα- φική παράσταση της συνάρτησης f τον άξονα των x και τις ευθείες x  λ και x  λ 1 με λ  . ii) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το παραπάνω εμβαδό γίνεται ελάχιστο.84. Έστω F μια παράγουσα της συνάρτησης f x  1 , x x2  4 για την οποία ισχύει F1  0. i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση F ως προς τη μονοτονία. ii) Nα βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης F. iii) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της F, τον άξονα xx και τις ευθείες x  0 και x  1.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017438 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου85. Δίνεται η συνάρτηση f :  με τύποf x  x4 x4 x 4 για κάθε x  .  1 i) Να αποδείξετε ότι f x  f 1 x 1 για κάθε x  .ii) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τον άξονα xx και τις ευθείες x  0 , x  1.86. Δίνεται η συνάρτηση f : 0,    με τύπο f x  9x2 ln x για κάθε x 0,   . i) Να βρείτε το εμβαδό E λ του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τον άξονα των x και τις ευθείες x  1 και x  λ, με λ  1. ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός λ 2,e τέτοιος, ώστε Eλ  17.87. Δίνεται η συνάρτηση f : *  με τύπο f x  2αx  1 για κάθε x  * x2όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός με α  1.i) Να βρείτε το εμβαδό Ε α του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα xx και τις ευθείες x  1 και x  α.ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει α 1, 2 τέτοιος, ώστε Εα  3.88. Δίνεται η συνάρτηση f x  ex, x  0 .Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο M α, f α τέτοιο, ώστε η Cfνα χωρίζει το ορθογώνιο ΟΑΜΒ όπου O0, 0, Aα, 0 και Β0, f α σεδύο ισεμβαδικά χωρία.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 439Oλοκληρωτικός Λογισμός Κριτήριο Αξιολόγησης 13Θέμα 1Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης  f x  x2  x ex , x  και τον άξονα xx.Θέμα 2 yΣτο διπλανό σχήμα φαίνονται οι γραφι- Cf εκές παραστάσεις των συναρτήσεωνf x  ex , xg  x   e , x 0,   B x  Γ Ω  Aκαι η ευθεία ε : y  x . Cg O e xi) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β.ii) Να υπολογίσετε το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου Ω.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017440 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Κριτήριο Αξιολόγησης 14Θέμα 1Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσειςτων συναρτήσεων f x  ημx , g x  xκαι τις ευθείες x   π και x  π . 2 2Θέμα 2Έστω συνάρτηση f :    η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε: f 2  5 και f 2  2 η f είναι κοίλη η f  είναι συνεχής  2 xf  x  dx  8.  0Να αποδείξετε ότι:i)  2 f x dx  2  0ii) το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την εφαπτομένη ε της Cf στο σημείο της A 2,5 και τον άξονα yy είναι ίσο με 4 τ.μ.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 441Oλοκληρωτικός Λογισμός Ερωτήσεις Θεωρίας1. Έστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Να διατυπώσετε τον ορισμό της αρχικής συνάρτησης ή παράγουσας της f στο Δ.2. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο διάστημα Δ, να αποδείξετε ότι: i) όλες οι συναρτήσεις της μορφής Gx  Fx  c, c είναι παράγουσες της f στο Δ και ii) κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή Gx  Fx  c, c .3. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα α, β. Αν G είναι μιαπαράγουσα της f στο α, β, να αποδείξετε ότι  β f  t  dt  G β   G  α  α4. Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α,β και f x  gx  0 για κάθε x α,β τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω πουπερικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x  α, x  β είναι Ε  Ω    β f  x   g  x  dx . α5. Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α,β καιf x  gx για κάθε x α,β , τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεταιαπό τις Cf , Cg και τις ευθείες x  α, x  β είναι Ε  Ω    β  f  x   g  x   dx . α

lisari.blogspot.gr 14/5/2017442 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου6. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση g είναι συνεχής σε ένα διάστημα α, β και gx  0 για κάθε x α,β , τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη Cg , τον άξονα xx και τις ευθείες x  α, x  β είναι Ε  Ω   β g  x  dx α7. Αν δύο συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α, β , να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις Cf , Cg και τις ευθείες x  α, x  β . Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους1. Παράγουσα συνάρτηση μιας συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και ισχύει Fx  f x για κάθε x στο εσωτερικό του Δ ΣΛ2. Υπάρχει συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε διάστημα Δ και δεν έχει παράγουσα στο Δ. ΣΛ3. Κάθε συνάρτηση f έχει το πολύ μία παράγουσα σε οποιοδήποτε διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. ΣΛ4. Στην έκφραση β f  x  dx το γράμμα x είναι μία μεταβλητή και μπορεί α να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα. ΣΛ5. Για κάθε συνάρτηση f συνεχή σε διάστημα α,β ισχύει β f  x  dx = β f  t  dt . ΣΛ α α

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 443Oλοκληρωτικός Λογισμός6. Το ορισμένο ολοκλήρωμα β f  x  dx είναι πραγματικός αριθμός που α εξαρτάται μόνο από τον τύπο της συνάρτησης f και τα όρια ολοκλή- ρωσης α, β. ΣΛ7. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και κάθε α, β Δ ισχύει η σχέση β f  x  dx  α f  x  dx . ΣΛ α  β8. Για κάθε α,β, c  ισχύει η σχέση β c dx  c  α  β. ΣΛ α9. Για όλες τις συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α, β και για κάθε λ, μ  ισχύει  β λf  x   μg  x dx  λ β f x  dx  μ β g x  dx. ΣΛ α α α10. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και για κάθε α, β, γ Δ ισχύει  β f xdx   γ f xdx   γ f xdx. ΣΛ α α β11. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο ισχύει η ισοδυνα- μία α  β  β f  x  dx  0 . ΣΛ α12. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα α,β ΣΛ και για κάθε παράγουσα G της f στο α, β ισχύει β  f tdt  G α  G β. α13. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγω- γο σε ένα διάστημα α, β ισχύει β f   x  dx  f β  f  α . ΣΛ α

lisari.blogspot.gr 14/5/2017444 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου14. Για όλες τις συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες με f , gσυνεχείς σε ένα διάστημα α, β ισχύειβ f  x  g  x  dx  f  x  g  x  β  αβ f xg  x  dx. ΣΛα α15. Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση εκφράζεται από τον τύπο   βgx gxdx  ggαβ f u du f αυπό την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα. ΣΛ16. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής και μη αρνητική σε ένα διάστημα α, β ισχύει αβ f xdx  0. ΣΛ17. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα α,β ΣΛ και τέτοια, ώστε  β f xdx  0, ισχύει α f x  0 για κάθε x α, β.18. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής, μη αρνητική και όχι παντού μηδέν σε ένα διάστημα α,β ισχύει  β f xdx  0. ΣΛ α19. Για όλες τις συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α, β και τέτοιες, ώστε f x  gx για κάθε x α, β και f  g στοα, β ισχύει ββ ΣΛ  f xdx   gxdx. α α20. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής και μη αρνητική σε ένα διάστημα α, β , το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τηγραφική παράσταση της f, τον άξονα xx και τις ευθείες x  α, x  βείναι ΕΩ  αβ f xdx. ΣΛ

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 445Oλοκληρωτικός Λογισμός21. Για όλες τις συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α,β και τέτοιες, ώστε f x  gx για κάθε x α, β , το εμβαδότου χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, gκαι τις ευθείες x  α και x  β είναι Ε  Ω   β  f  x  g  x   dx . ΣΛ    α22. Για κάθε συνάρτηση g η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα α,βκαι τέτοια, ώστε gx  0 για κάθε x α, β το εμβαδόν του χωρίουΩ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, τον άξονα xxκαι τις ευθείες x  α, x  β είναι ΕΩ  αβ g xdx. ΣΛ23. Για όλες τις συναρτήσεις f, g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστημα α,β , το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις Cf , Cg και τιςευθείες x  α και x  β είναιΕΩ  β f x  gx  dx. ΣΛ    α24. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα α,β το αβ f xdx είναι ίσο με το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα xx και τις ευθείες x  α , x  β. Σ Λ25. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η y γραφική παράσταση μιας συ-νάρτησης f η οποία είναι συνεχήςσε ένα κλειστό διάστημα α, β.  β x β Oα Το α f xdx είναι ίσο με τοάθροισμα των εμβαδών τωνγραμμοσκιασμένων χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα xxμείον το άθροισμα των εμβαδών των γραμμοσκιασμένων χωρίων πουβρίσκονται κάτω από τον άξονα xx. ΣΛ

lisari.blogspot.gr 14/5/2017446 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου ΔιαγώνισμαΘέμα ΑΑ1. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μία παράγουσα της f στο διάστημα Δ, να αποδείξετε ότι: α) Όλες οι συναρτήσεις της μορφής Gx  Fx  c, c είναι παράγουσες της f στο Δ. β) Κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή Gx  Fx  c, c .Α2. Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα α, β. Τι εκφράζει γεωμετρικά το ολοκλήρωμα αβ f xdx;Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν μία συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο διάστημα α, β , τότε  β f xdx  f β  f α. αβ) Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα α, β. Αν ισχύει η σχέση f x  0 για κάθε x α, β και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε αβ f xdx  0.γ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α,β, γ Δ , τότε  β f  x  dx  γ f  x  dx  γ f  x  dx . α  β αδ) Για κάθε σταθερά c  ισχύει η σχέση β  cdx  cα  β. α

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 447Oλοκληρωτικός Λογισμός ε) Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις δύο συνεχών συναρτήσεων f, g σε ένα διάστημα α, β και τις ευθείες x  α και x  β δίνεται πάντοτε από τον τύπο Ε Ω   β f x  g xdx. αΘέμα BΔίνονται οι συναρτήσεις f, g: 2, 2   με τύπους f  x   3x  2 για κάθε x  2, 2 x2  4και g  x   x α 2  x β 2 για κάθε x  2, 2,  όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί.B1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει αντίστροφη συνάρτηση, η οποία ορίζεται στο σύνολο .B2. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες να αποδείξετε ότι α  2 και β  1. πB3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι  02 συνx  f ημx dx.B4. Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f 1, τους άξονες yy, xx και την ευθεία y  1.Θέμα ΓΈστω συνάρτηση f :    , η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f 2  7  f 1και f x  3x 2   1 1 f 2  t  dt  11 f  t  dt  f 0  για κάθε x  .   1  Να αποδείξετε ότι:

lisari.blogspot.gr 14/5/2017448 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΓ1. υπάρχει ξ  1, 2 τέτοιος, ώστε f ξ  3ξ2Γ2. 11f  t dt  f 0Γ3. f x  x3 για κάθε x  Γ4. το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την εφαπτομένη της στο σημείο M α, f α, όπου α  0 είναι ίσο με 27α4 τ.μ. 4Θέμα ΔΈστω δύο συναρτήσεις f , g :    οι οποίες είναι συνεχείς. Έστω επίσης F μίαπαράγουσα της f και G μία παράγουσα της g τέτοιες, ώστε F1  0 και G 0  0.Αν ισχύουν οι σχέσεις Fx  2  xG x για κάθε x  και g x  0 για κάθε x  να αποδείξετε ότι:Δ1. η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0  0 με f 0  2g 0Δ2. η συνάρτηση G είναι γνησίως φθίνουσα στο  και ισχύει g x  0 για κάθε x  Δ3. η συνάρτηση F παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο σημείο x0  0Δ4. η εξίσωση f x  2g x  2 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0, 1.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Θέματα για Επανάληψη

lisari.blogspot.gr 14/5/2017450 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου«Aν όλα ήταν ανώμαλα ή τελείως ομαλάδεν θα υπήρχε ίχνος σκέψης,γιατί η σκέψη δεν είναιπαρά μία προσπάθεια μετάβασηςαπό την αταξία στην τάξη·και της χρειάζονται ευκαιρίες αταξίαςκαι πρότυπα τάξης.» Paul ValéryAmbroise-Paul-Toussaint-Jules Valéry(1871 – 1945)Γάλλος ποιητής, συγγραφέας και φιλόσοφος. Τα ενδια-φέροντά του ήταν τόσο πλατιά, ώστε μπορεί χαρακτηρισθείπολυμαθής. Εκτός από το ποιητικό του έργο και τους δια-λόγους του, συνέγραψε πολλά δοκίμια, ενώ είναι γνωστόςκαι για τους αφορισμούς του πάνω σε θέματα Τέχνης,Ιστορίας, Γραμμάτων, Μουσικής και επικαιρότητας. Το εντυ-πωσιακότερο ίσως έργο του Βαλερύ είναι το μνημειώδες τουημερολόγιο, τα Cahiers («Τετράδια»). Νωρίς κάθε πρωί σεόλη του την ενήλικη ζωή, έγραφε κάτι στα Cahiers, ώστε κά-ποτε ανέφερε: «Έχοντας αφιερώσει αυτές τις ώρες στη ζωήτου νου, κερδίζω εξ αυτού το δικαίωμα να είμαι ηλίθιος γιατο υπόλοιπο της ημέρας». Τα θέματα που τον απασχόλησανστα «Τετράδια» είναι συχνά, κατά τρόπο απροσδόκητο, ηΕπιστήμη και τα Μαθηματικά, τα οποία τον είχαν απορρο-φήσει επί πολύ περισσότερο χρόνο την προσοχή του απόό,τι η διάσημη ποίησή του.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 451Θέματα για ΕπανάληψηΛυμένα Θέματα για Επανάληψη1. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g :  , τέτοιες, ώστε f x  2x3  9x2  17 για κάθε x  και gx  x3 για κάθε x  . i) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f x  0. iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς τρία σημεία της Cg στα οποία οι εφαπτόμενες ευθείες της διέρχονται από το σημείο P  3,17  . ι iv) Ένα σημείο Mx, y κινείται στην καμπύλη y  gx, x  0. Κάποια χρονική στιγμή t0 ο ρυθμός αύξησης της τεταγμένης του σημείου Μ γίνεται τριπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τετμημένης του. Να βρείτε με ποιο σημείο της Cg συμπίπτει το σημείο Μ, τη χρονική στιγμή t0 .Λύσηi) Έχουμε  f x  2x3  9x2 17   6x2 18x  6x x  3 για κάθε x  . Επομένως:  f x  0  6x x  3  0  x  0 ή x  3  f x  0  6x x  3  0  x 0, 3  f x  0  6x x  3  0  x ,0  3,  . x  0 3  fx 0 0 f x Τ.Μ. Τ.Ε.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017452 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Άρα, f ,0, f 0,3 και f 3,   . Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x  0, το f 0  2  03  9  03 17  17 και τοπικό ελάχιστο για x  3, το f 3  2  33  9  32 17  10.ii)  H συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα , 0 . Επομένως, f ,0  lim f x, f 0  ,17 x   H συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, 3 . Επομένως, f 0, 3  f 3, f 0  10,17  H συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα 3,  . Επομένως, f3,    f 3 , f  x   10,  . lim x  Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 0 περιέχεται σε καθένα από τα διαστήματα f ,0  ,17, f 0,3  10,17 και f 3,    10,  . Δηλαδή, η εξίσωση f x  0 έχει ρίζα σε καθένα από τα διαστήματα ,0, 0, 3 0, 3 και 3,   αφού f 0  0 και f 3  0. Και επειδή η f είναι γνη- , 0 , σίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα,0,0,, 0,03,3και 3,  , συ- μπεραίνουμε ότι η εξίσωση f x  0 έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.iii) Έχουμε  gx  x3   3x2 για κάθε x  . Η εφαπτομένη της Cg σε κάποιο σημείο της Mx0,gx0  έχει εξίσωση y  gx0   gx0 x  x0   y  x30  3x02 x  x0  .

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 453Θέματα για ΕπανάληψηΗ ευθεία αυτή διέρχεται από το σημείο P3,17 , αν και μόνο αν ισχύει η σχέση 17  x30  3x02 3  x0   17  x30  9x02  3x30  2x30  9x02 17  0  f x0   0.Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f x  0 έχει ακριβώς τρεις πραγ-ματικές ρίζες. Όμως, αυτό ισχύει όπως αποδείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα.iv) Έχουμε yt  gx t, x t  0.Δηλαδή, yt  x3 t, x t  0.Παραγωγίζοντας από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι yt  3x2 t  xtκαι συνεπώς yt0   3x2 t0   xt0  . (1)Όμως, από τα δεδομένα γνωρίζουμε ότι yt0   3xt0   0 .Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) παίρνουμε 3xt0   3x2 t0   xt0 δηλαδή x2 t0  1και τελικά x t0   1, αφού x t0   0.Επομένως, τη χρονική στιγμή t0 το σημείο Mx t, yt συμπίπτει με τοσημείο A1, 1 της Cg.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017454 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x  xlnx , x  0 και gx  lnx  x  2, x  0. i) Να αποδείξετε ότι gx  1 για κάθε x  0. ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii) Nα βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f σε καθένα από τα διαστήματα μονοτονίας της. iv) Nα λύσετε την εξίσωση f x  λ  lnλ 2 για τις διάφορες τιμές του λ  0.Λύσηi) Έχουμε gxgxlnxln x  2x  1 1  1 x για κάθε x  0. xxΟπότε:• gx  0  1 x  0 1 x  0  x  1 x• gx  0  1  x  x0 x  0  x  1 x 0 1 • gx  0  1 x  x0 x  0  x01x 1. x 0 1 x0 1  gx  0 gx maxΆρα, η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, 1 και γνησίωςφθίνουσα στο διάστημα 1,  . Επίσης, η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικόμέγιστο στο x0  1 το gl  ln11 2 1 και συνεπώς gx  g1  gx 1 για κάθε x  0.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 455Θέματα για Επανάληψηii) Παρατηρούμε ότι f x  xlnx  0 για κάθε x  0 .Επομένως,  f x  eln x ln x  eln xln x  eln2 x για κάθε x  0.Οπότε,    f x  eln2 x   eln2 x  ln2 x   xln x  2ln x  ln x  xln x  2ln x  1  2xln x1  ln x x  xln x  2ln x  ln x  xln x  2ln x  1  2xln x1  ln x για κάθε x  0. xΕπομένως:• f x  0  2xlnx1  ln x  0  ln x  0  xlnx1 0  x  1• f x  0  2xlnx1  ln x  0  ln x  0  l0nxx01 0  x 1• f x  0  2xlnx1  ln x  0  ln x  0  lxnx1 0  x  1 x0 1  fx 0  f x minΆρα, η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, 1 και γνησίωςαύξουσα στο διάστημα 1,  . Επίσης, η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικόελάχιστο στο x0  1 το f 1  1ln1  10  1.iii) • Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, 1.Επομένως,  f  0, 1  f 1 , lim f  x   1, lim f  x  .Όμως, x0 x0 lilmilmimf ffxxxlilmilmimeelnel2nlx2n2xuxulunl2nlxn2 2xlxilmilmimeeueuu... xxx000 xxx000 uuuΆρα, f 0,1  1,  .

lisari.blogspot.gr 14/5/2017456 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου• Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα 1,  .Επομένως,  f1,    f 1    1, x , lim f x lim f . x xΌμως, lilmilmimfffxxxlilmilmimeelenln2ln2x2xuxuulnln2ln2x2xxlilmilmimeeueuu... xxx xxx uuuΆρα, f 1,    1,  .iv) H δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται f x  ln λ  λ  2  f x  gλ, λ  0 (1)και προφανώς έχει λύση αν και μόνο αν το g λ ανήκει στο σύνολο τιμών τηςσυνάρτησης f δηλαδή, αν και μόνο αν gλ1,    gλ 1.Όμως, με βάση το ερώτημα i) έχουμε gλ  g1 1 για κάθε λ  0 .Επομένως, η εξίσωση (1) έχει λύση αν και μόνο αν i) gλ  1 λ  1.Oπότε, η εξίσωση (1) γράφεται f x  1 η οποία, με βάση το ερώτημα ii) έχειμοναδική ρίζα την x  1.Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι:• Αν λ 0, 1  1,   , η δοθείσα εξίσωση είναι αδύνατη.• Αν λ  1, η δοθείσα εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την x  1.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 457Θέματα για Επανάληψη3. Έστω τρεις συναρτήσεις f , g, h : 0,    τέτοιες, ώστε:• xf x  f x  0 για κάθε x  0 και f  1   f 1  4 • gx  xf x για κάθε x  0• xh  x  g  x  g  1  για κάθε x0 και h  1   2f  1  .  4x   2   2 i) Να αποδείξετε ότι h x  f  x  f  1  για κάθε x  0.  4x ii) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις g και h.iii) Nα λύσετε την εξίσωση hx  0.iv) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x  0 έχει τουλάχιστον μία και το πολύ δύο ρίζες στο διάστημα 0,  .Λύσηi) Έχουμε xh  x   g  x   g  1  για κάθε x0  4x   xhx  xf x  1 f  1  για κάθε x0 4x 4x   hx  f x  1 f   1  για κάθε x0 4x2  4x   h x    f  x   f  1   για κάθε x0   4x  Άρα, υπάρχει c  τέτοιος, ώστε hx  f xf 1   c για κάθε x 0.  4x Οπότε, h  1   f  1   f  1   c  2f  1   2f  1   c  c  0.  2   2   2   2   2 Επομένως, h  x   f  x   f  1  για κάθε x 0.  4x 

lisari.blogspot.gr 14/5/2017458 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείουii) Έχουμε gx  xf x  x f x  xf x  f x  xf x  0 για κάθε x  0 .Άρα, η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης, g  x   g  1   4x  h x   για κάθε x  0. xΟπότε:• h x   0  g x   g  1   0  g x  g  1  1-1 x  1  4x   4x  4x   x2  1  x  1 , αφού x  0 42• hx  0  gx  g  1   0  gx  g  1  γν.αυξ. x  1  4x   4x  4x   x2  1  0  x  1 42• hx  0  g x  g  1   0  g x  g  1  γν.αυξ. x  1  4x   4x  4x   x2  1  x  1 , αφού x  0. 42 x0 1  2 hx 0 hxΆρα, η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα  0, 1  και γνησίως  2 αύξουσα στο διάστημα  1 ,   .  2iii) Έχουμε h  1   f  1   f 1  0  4   4 

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 459Θέματα για Επανάληψηκαι η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα  0, 1  . Άρα, η  2 εξίσωση hx  0 έχει στο διάστημα  0, 1 μοναδική ρίζα, την x  1. Επίσης,  2  4 h 1  f 1  f  1   0  4 και η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα  1 ,    . Άρα, η  2 εξίσωση hx 0 έχει στο διάστημα  1 ,    μοναδική ρίζα την x  1.  2 Από τα παραπάνω, συμπεραίνουμε ότι h x  0  x  1 ή x  1. 4iv) Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι η εξίσωση f x  0 είναι αδύνατη στο διάστημα 0,  . Οπότε, επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής, συμπεραίνουμε ότι διατηρεί πρόσημο στο 0,  . Άρα, f  1   f 1  0 ή f  1   f 1  0, που είναι αδύνατες.  4   4 Επομένως, η εξίσωση f x  0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα0,  . Στη συνέχεια, υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι η εξίσωση f x  0έχει τουλάχιστον τρεις ρίζες x1  x2  x3 . Οπότε, η συνάρτηση f ικανοποιεί τιςπροϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στα διαστήματα x1, x2  και x2 , x3 .Άρα, υπάρχουν ξ   x , x 2  και ξ   x 2 , x 3  τέτοιοι, ώστε 1 1 2 f   ξ   0 και f ξ2   0. 1Επομένως, g  ξ   ξf   ξ   0 και g  ξ   ξ f   ξ 2   0 . 1 1 1 2 2Οπότε, g  ξ   g  ξ  1 2που είναι αδύνατον, αφού όπως αποδείξαμε η συνάρτηση g είναι γνησίωςαύξουσα, και συνεπώς 11.Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση f x  0 έχει τουλάχιστον μίακαι το πολύ δύο ρίζες στο διάστημα 0,  .

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 637Βιβλιογραφία ΒιβλιογραφίαΠ. Κ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ, “Συναρτήσεις” (Φροντιστήρια Βασιλειάδη).Π. Κ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ, “Παράγωγοι Συναρτήσεων” (Φροντιστήρια Βασιλειάδη).Θ. N. ΚΑΖΑΝΤΖΗΣ, “Παράγωγοι Συναρτήσεων”(Σπηλιώτη).Θ. Ν. ΚΑΖΑΝΤΖΗΣ, “Ολοκληρώματα” (Μαθηματική Βιβλιοθήκη).Θ. Ν. ΚΑΖΑΝΤΖΗΣ, “1000 ασκήσεις Ολοκληρωμάτων”, Τόμοι 1, 2, 3 (Mαθηματική Βιβλιοθήκη).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση I” (Κβάντ).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση II” (Κβάντ).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Θέματα Μαθηματικής Ανάλυσης” (Κβάντ).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Γενικά Θέματα Ανάλυσης” (Κβάντ).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Ανάλυση-Θεματογραφία” (Κβάντ).Δ. Α. ΚΑΠΠΟΣ, “Απειροστικός Λογισμός”.Δ. ΝΤΡΙΖΟΣ, “Eνότητες Ανάλυσης”.Λ. ΚΑΝΑΚΗΣ, “Διαφορικός Λογισμός” (Φροντιστήρια Βασιλειάδη).Λ. ΚΑΝΑΚΗΣ – Γ. ΜΑΥΡΙΔΗΣ, “100 Θέματα Μαθηματικών” (Εκδόσεις Μαυρίδη).Δ. ΓΕΩΡΓΑΚΙΛΑΣ, “Aνάλυση Γ΄ Λυκείου” (Mαθηματική Βιβλιοθήκη).Κ. ΓΚΑΤΖΟΥΛΗΣ, “Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Ι, ΙΙ” (Γκατζούλη).Τ. ΔΡΟΥΤΣΑΣ-Ν. ΠΑΝΟΥΣΑΚΗΣ, “Μαθηματικά Γ’ Λυκείoυ” (Κοκοτσάκη)Ε. ΓΑΛΑΝΗΣ, “Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση” (ΣΥΜΕΩΝ).Δ. ΚΑΤΣΑΡΟΣ, “Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου” (Eλληνοεκδοτική)Ν. ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ, “Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών” (Γκατζούλη).N. ZANTAΡΙΔΗΣ, “Διαγωνίσματα Μαθηματικών” (Γκατζούλη).Δ. ΚΑΡΒΟΥΝΗΣ, “Ανάλυση Ι, ΙΙ, ΙΙΙ” (Mαθηματική Βιβλιοθήκη).Γ. ΜΠΑΪΛΑΚΗΣ, “Παράγωγοι” (Πελεκάνος).Γ. ΜΠΑΪΛΑΚΗΣ, “Παγκόσμια Θεματογραφία Ολυμπιάδων” (Πελεκάνος).Σ. ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ – Σ. ΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ – Ε. ΓΙΑΝΝΑΚΟΥΛΙΑΣ, “Απειροστικός Λογισμός” (Συμμετρία).Σ. ΝΤΟΥΓΙΑΣ, “Απειροστικός Λογισμός” (Leader Books).Θ. ΞΕΝΟΣ, “Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Ι, ΙΙ” (Ζήτη).Χ. ΠΑΤΗΛΑΣ, “Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης” (Ελληνοεκδοτική).A. ΣΚΥΦΑΣ – Π. ΓΙΑΝΝΑΚΟΣ – Δ. ΑΝΔΡΙΩΤΗΣ – Ε. ΣΑΡΡΗ «Επαναληπτικά θέματα Μαθηματικών Προσανατολισμού» (Έναστρον).A. TΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ, “Παράγωγοι Γ΄ Λυκείου” (Πατάκη).Α. ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ, “Ολοκληρώματα Γ΄ Λυκείου” (Πατάκη).

lisari.blogspot.gr 14/5/2017638 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΕ. ΣΠΑΝΔΑΓΟΣ, “Το άπειρο στην αρχαία Ελλάδα και τα παράδοξα του Ζήνωνος” (Αίθρα).Ε. ΣΠΑΝΔΑΓΟΣ, “Μαθηματική Ανάλυση Γ΄ Λυκείου I, II” (Aίθρα).Γ. ΖΗΒΑΝΟΣ, “Ανάλυση Δ΄ Δέσμης” (Mαθηματική Βιβλιοθήκη).N. ΡΟΤΖΙΩΚΟΣ – Χ. ΦΡΑΝΤΖΗΣ, “Ανάλυση Α, Β” (NOΥΣ)ΣΥΛΛΟΓΙΚΟ ΕΡΓΟ (lysari team), Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου (Ελληνοεκδοτική).Σ. Κ. ΠΗΧΩΡΙΔΗΣ, “Απειροστικός Λογισμός Ι” (Σύγχρονη Εποχή).Α. ΠΟΥΛΟΣ, “Εικασίες και αντιπαραδείγματα” (Μαυρίδη).Θ. ΡΑΣΣΙΑΣ, “Μαθηματική Ανάλυση” (Σαββάλας).DOROFFEV - POTAPOV - ROZOV, “Elementary Mathematics”V.P. MINORSKY, “Problems in Higher Mathematics”.B.M. GOBOROV - P.T.H. VOGT, “Mathematiques superieures”LOUIS COMTET, “Analyse Combinatoire”, (Press Universitaires De France)G. THOMAS - R. FINNEY, “Απειροστικός Λογισμός” (Π.Ε.Κ.)MICHAEL SPIVAK, “Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός” (Π.Ε.Κ.)TOM APOSTOL, “Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός” (Π.Ε.Κ.)Μ. PROTTER-CH.MORREY, “Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός” (Παπαζήση)WALTER RUDIN, “Αρχές Μαθηματικής Αναλύσεως” (L.B.)Ε.Τ. ΒΕLL, “Oι Μαθηματικοί” (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης)G. POLYA, “Πώς να το λύσω” (Σπηλιώτη)I. PETRICA - E. CONSTANTINESCU - D. PETRE “Probleme de Analiza Matematica”Ya. S. BUGROV - A.M. NIKOLSKY, 1) differential and integral calculus (MIR PUBLISHERS- MOSCOW) 2) A collection of problems (MIR PUBLISHERS- MOSCOW)L. HARWOOD CLARKE, “Mathematics” (Heiemenn educational books, London)R. L. JEFFERY, “The theory of functions of a real variable” (Dover Publications, Inc. New York)D. W. HIGHT, “A Concert of Limits” (Dover Publications, Inc. New York)B. DEMIDOVICH, “Problems in Mathematical Analysis” (MIR PUBLISHERS- MOSCOW)G. N. BERMAN, “A problem book in Mathematical Analysis” (MIR PUBLISHERS- MOSCOW)B.D. BUNDAY - H. MULHOLLAND, “Pure mathematics for advanced level” (Heiemenn educational books, Oxford)O.N. AFANASYEVA - Ya. S. BRODSKY - I.I. GUTKIN - A.L. PAVLOV, “Problem book in Mathematics” (MIR PUBLISHERS- MOSCOW)

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 639ΒιβλιογραφίαG.H. HARDY, “A Course of Pure Mathematics” (CABRIDGE UNIVERSITY PRESS)A.N. KOLMOGOROV - S.V. FOMIN. “Introductory Real Analysis” (Dover Publications, Inc. New York)K. KNOPP, “Problem book in the theory of functions. Volume I” (Dover Publications, Inc. New York)KENNETH ANDERSON - DICK HALL, “Elementary Real Analysis” (Mc GRAW - HILL, Inc)RICHARD GOLDBERG, “Methods of Real Analysis” (OXFORD PUBLISHING)B. CALVO - J. DOYEN - A. CALVO - F. BOSCHET, “exercices d’ analyse” (Armand Colin - Paris 1977) ΠεριοδικάΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑΟ ΚΟΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΔΙΑΣΤΑΣΗΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΗΜΑΘΕΑΙΤΗΤΟΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΟΚΙΜΙΑΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣΤΟ φΚΒΑΗΜKVANTUMCRUXTHE AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLYTHE MATHEMATICAL GAZETTETHE COLLEGE MATHEMATICS JOURNALMATHEMATICAL SPECTRUMELEMENTE DER MATHEMATIKMATHEMATICS MAGAZINETHE MATHEMATICS TEACHER