Α τόμος Γ. Μαυρίδης - Γ Λυκείου

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Όριο-Συνέχεια Συνάρτησης – Διατήρηση Προσήμου Συνεχούς Συνάρτησης 275241. Έστω συνάρτηση f:  η οποία είναι συνεχής και τέτοια, ώστε f 2 x  2f x  ημx 1 για κάθε x  . i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x  1 είναι αδύνατη στο . ii) Αν επιπλέον ισχύει η σχέση f 0 1, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.242. Έστω συνάρτηση f:  , η οποία είναι συνεχής και τέτοια, ώστε f 2 x  x2  2x 1 για κάθε x  . i) Να λύσετε την εξίσωση f x  0 . ii) Nα αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα ,1 και 1, . iii) Αν επιπλέον ισχύει f 0  f 2 1, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.243. Έστω συνάρτηση f:  τέτοια, ώστε f 2 x  4f x για κάθε x  . i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x  2 είναι αδύνατη στο . ii) Αν επιπλέον η f είναι συνεχής και ισχύει η σχέση f 0  4 , να βρείτε τον τύπο της f.244. Έστω δύο συναρτήσεις f , g :  οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες, ώστε● f 0  0● f x  g2 x  x2 για κάθε x ● g2 x  x2 για κάθε x Να αποδείξετε ότι:i) f x  0 για κάθε x ii) η συνάρτηση g διατηρεί πρόσημο στοiii) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0,1 τέτοιο, ώστεg ξ   g ξ 1 . ξ 1 ξ

lisari.blogspot.gr 14/5/2017276 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου245. Έστω συνάρτηση f: 2, 5  τέτοια, ώστε f 2  24f 5 . Έστω επίσης η συνάρτηση gx  f x  xf x 1 , x 2,4 . Να αποδείξετε ότι: i) g2  2g3  6g4  0 ii) αν η g είναι συνεχής, τότε υπάρχει x0 2, 4 τέτοιο, ώστε f x0   x0f x0 1 .246. Έστω συνάρτηση f:  , η οποία είναι συνεχής και τέτοια, ώστε f 4  f 4  0 και f x  0 για κάθε x  *. i) Να αποδείξετε ότι f x  f x  0 για κάθε x  *. ii) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. iii) Aν επιπλέον ισχύει η σχέση f 2  2, να βρείτε το πρόσημο της f .247. Έστω συνάρτηση f:  , η οποία είναι συνεχής και τέτοια, ώστε xf x  f 3 x 1  0 για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι:i) f x  0 για κάθε x  ii) f 2 x  x  0 για κάθε x iii) lim f 2 x   . x248. Έστω συνάρτηση f : A  , η οποία είναι συνεχής και τέτοια, ώστεf 1f 2  4  0 και f x  0 για κάθε x  A .i) Να αποδείξετε ότι το σύνολο Α δεν είναι διάστημα.ii) Έστω ότι Α    3  και f 1  f 2.  2   α) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f.β) Αν επιπλέον ισχύει η σχέση lim f x  f 3  f 2, να αποδείξετε ότι x3 2η συνάρτηση f δεν είναι 11.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017416 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΡυθμός ΜεταβολήςΟρισμόςΈστω δύο μεταβλητά μεγέθη x,y τα οποία συνδέονται με τη σχέση y  f x . Αν ησυνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο σημείο x0 , τότε ονομάζουμε ρυθμόμεταβολής του y ως προς x στο σημείο x0 την παράγωγο f x0 .● Αν η f είναι παραγωγίσιμη, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς x την παράγωγο συνάρτηση f x.● Συχνά ο ρυθμός μεταβολής αναφέρεται ως ρυθμός αύξησης, οπότε είναι θετικός, ή μείωσης, οπότε είναι αρνητικός.● Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης θέσης s ενός σώματος, που κινείται πάνω σ’ έναν άξονα, ως προς τον χρόνο t τη χρονική στιγμή t0 είναι η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t0. Δηλαδή υt0   st0  .● Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ του σώματος ως προς τον χρόνο t τη χρονική στιγμή t0 λέγεται επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t0 και συμβολίζεται με αt0 . Eίναι δηλαδή αt0   υt0   st0 .● Στην Οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος. Ο ρυθμός μεταβολής του κόστους Κ, ως προς την ποσότητα x, όταν x  x0 , δηλαδή η παράγωγος Κx0  λέγεται οριακό κόστος στο x0 . Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο x0 και οριακό κέρδος στο x0 .● Στα προβλήματα του ρυθμού μεταβολής αρχικά προσδιορίζουμε τις συναρτήσεις που εκφράζουν τα μεταβλητά μεγέθη και αναζητούμε τη σχέση ή τις σχέσεις με τις οποίες αυτές συνδέονται. Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν: α) από τα δεδομένα του προβλήματος β) από κάποιους τύπους-νόμους της Γεωμετρίας, της Φυσικής κ.λπ. γ) από πληροφορίες που δίνονται μέσω κάποιου σχήματος.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Ρυθμός Μεταβολής 417 Λυμένες Ασκήσεις44. Ένας μεταλλικός κυκλικός δίσκος θερμαίνεται και η ακτίνα του, που μεγαλώνει, δίνεται σε cm από τον τύπο rt  1  et όπου t ο χρόνος σε sec. Nα βρείτε το ρυθμό μεταβολής: i) της ακτίνας r t του δίσκου κάθε χρονική στιγμή t  0 ii) του εμβαδού Et του δίσκου τη χρονική στιγμή t  2sec .Λύσηi) Ο ζητούμενος ρυθμός είναι Σχόλιο Ζητείται η παράγωγος συνάρ-  rt  1 et  τηση   1 1 et  rt. 2 1 et 0  et t   2 1 et  et cm για κάθε t 0. 2 1 et secii) Έχουμε Σχόλιο Ζητείται η παράγωγος της συ- Et  πr2 t για κάθε t  0 . νάρτησης E t στο σημείο Επομένως, t0  2. Δηλαδή, η E2. Et  2πr trt Σημείωση Το εμβαδό κύκλου με ακτίνα r  2π 1 et  et είναι E  π r2. 2 1 et  πet για κάθε t  0 . Άρα, ο ζητούμενος ρυθμός είναι E2  πe2  π cm2 sec . e2

lisari.blogspot.gr 14/5/2017418 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου45. Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρ- τησης f x  x2  1, x  0,   έτσι, ώστε η προβολή του Α στον ημιάξονα Οx να απομακρύνεται από το σημείο Ο με ταχύτητα 2 m/sec. Έστω Β η προβολή του σημείου Μ στον άξονα yy . Τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία ισχύει η σχέση ΟΑ  1 m , να βρείτε: i) την ταχύτητα του σημείου Β ii) το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται το εμβαδό του ορθογωνίου ΟΑΜΒ.Λύση Θεωρούμε τις συναρτήσεις x t, yt, Ε t y Cf που εκφράζουν κάθε χρονική στιγμή t την τε- B Mx, y τμημένη x του Μ, την τεταγμένη y του Μ και το εμβαδό Ε του ορθογωνίου ΟΑΜΒ. 1 x OA Κάθε χρονική στιγμή t ισχύουν οι σχέσεις (1) yt  x2 t 1 , (2) xt  0 (3) και Εt  xt  yt . Η τελευταία σχέση λόγω των (1) και (2) γράφεται Εt  x t x2 t 1  x3 t  x t Τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Δεδομένα Ζητούμενα xt  2 i) yt0  ii) Εt0  xt0  1

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Ρυθμός Μεταβολής 419i) Από τη σχέση (1) παραγωγίζοντας έχουμε yt  2x txt . Όμως, xt  2 και συνεπώς yt  4x t .Επομένως, yt0   4x t0   4 1  4 m / sec.ii) Aπό τη σχέση (3) παραγωγίζοντας παίρνουμε Et  3x2 t xt  xt  3x2 t  2  2  6  x2 t  2.Επομένως, Et0   6x2 t0   2  6 12  2  8 m2 / sec.46. Ένα αερόστατο Α ανυψώνεται από τοέδαφος σε απόσταση 100 m από ένανπαρατηρητή Π ο οποίος απομακρύνε- Aται από το σημείο Β στο οποίο βρι-σκόταν τη στιγμή της απογείωσης τουαερόστατου. Κάποια χρονική στιγμή y st0 το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος400 m από το έδαφος έχοντας ταχύτη- O 100m  x τα 4 m/sec και ο παρατηρητής βρίσκε- B Πται σε απόσταση 300 m από το σημείοαπογείωσης του αερόστατου έχοντας ταχύτητα 2 m/sec. Να βρείτε:i) την απόσταση του αερόστατου από τον παρατηρητή τη χρονικήστιγμή t0ii) το ρυθμό με τον οποίο η απόσταση αυτή μεταβάλλεται τηχρονική στιγμή t0 .

lisari.blogspot.gr 14/5/2017420 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΛύση Μεθοδολογία Αρχικά θεωρούμε τις συναρ- Θεωρούμε τις συναρτήσεις x t, yt, st τήσεις x t, yt, st που εκ- που εκφράζουν κάθε χρονική στιγμή t τα μεγέθη φράζουν κάθε χρονική στιγμή t τα μεγέθη x, y, s, τα οποία x  BΠ, y  OA και s  ΠA μεταβάλλονται με το χρόνο. Στη συνέχεια βρίσκουμε τη σχέση (ή αντίστοιχα. τις σχέσεις) μεταξύ αυτών των μεγεθών, οι οποίες ισχύουν κάθε Παρατηρούμε ότι κάθε χρονική στιγμή t χρονική στιγμή. Δηλαδή, βρί- ισχύει η σχέση σκουμε τη σχέση (ή τις σχέσεις) ΑΠ2  ΟΑ2  ΟΠ2 (1) μεταξύ των συναρτήσεων x t, yt, st . Στο τέλος ερμηνεύ-δηλαδή ουμε τα δεδομένα και τα ζητού- s2 t  y2 t  x t 1002 μενα του προβλήματος σε γλώσσα και ορολογία Μαθηματικής Ανά- Τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλή- λυσης. ματος φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Σχόλιο Δεδομένα Ζητούμενα Τα μεγέθη x, y αυξάνουν καθώς κυλάει (αυξάνει) ο χρόνος. Τηνyt0   400 i) st0  αλήθεια αυτή μαρτυρεί το θετικόyt0   4 ii) st0  πρόσημο των ρυθμώνx t0  100  300xt0   2 xt, yt.i) Από τη σχέση (1) θέτοντας όπου t το t0 βρίσκουμε s2 t0   y2 t0   x t0  1002  4002  3002  250.000. Επομένως, st0   250.000  500 m.ii) Aπό τη σχέση (1) παραγωγίζοντας παίρνουμε για κάθε t 2stst  2yt y΄t  2x t 100x΄t δηλαδή stst  yt y΄t  x t 100x΄t .Θέτοντας στην παραπάνω σχέση όπου t το t0 έχουμε st0 st0   yt0  y΄t0   x t0  100x΄t0 δηλαδή Παρατήρηση 500st0   400  4  300  2  2200 Το θετικό πρόσημο της st0 και τελικά επαληθεύει τη γεωμετρικά προ- φανή αυξητική τάση του μεγέ- st0   22 m / sec . θους s, καθώς αυξάνει ο χρόνος t. 5

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Ρυθμός Μεταβολής 42147. Ένας άνθρωπος ύψους  AB  2m απομα- Π θ κρύνεται από τη βάση ενός φανοστάτη ύψους 6 m με ταχύτητα 1 m/sec. 6m 2 m B i) Με ποια ταχύτητα αυξάνεται ο ίσκιος O xΑsΣ του; ii) Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ τη χρονική στιγμή t0 , κατά την οποία ο ίσκιος του ανθρώπου είναι ίσος με 1 m;Λύση● Θεωρούμε τις συναρτήσεις x t, st, θt που εκφράζουν κάθε χρονικήστιγμή t τα μεγέθη x  OA, s  AΣ και θ  ΟΠˆ Σ αντίστοιχα.● Παρατηρούμε ότι κάθε χρονική στιγμή t έχουμε εφΟΣΠ  s 2  και εφΟΣΠ  x  t  6 s  t .  tΆρα, 2 6. st xt stή ισοδύναμα x t  2st . (1)Επίσης, εφθ  t   x  t   s t  (1) 1 s  t  (2)  62● Τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Δεδομένα Ζητούμενα i xt 1 i) st st0  1 ii) θt0 

lisari.blogspot.gr 14/5/2017422 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείουi) Aπό τη σχέση (1) παραγωγίζοντας βρίσκουμε xt  2stδηλαδή 1  2st  st  1 m / sec . 2ii) Από τη σχέση (2) παραγωγίζοντας παίρνουμε 1 θ  t   1 st  θ  t   1 1 συν2θ  t   1 συν2θ  t  2 2 4 συν2θ  t  2αφού αποδείξαμε στο ερώτημα i) ότι st  1 . 2Άρα, θ t0   1 συν2θ t0  . 4Όμως, συνθ  t0   ΟΠ  6 6 ΠΣ 62  32 45αφού τη χρονική στιγμή t0 έχουμε ΠΣ  ΟΠ2  ΟΣ2  ΟΠ2  3st0 2 .Επομένως, θ t0   1  1   6 2  1 rad / sec . 2 2  45  548. Σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  1 , x  0,   x έτσι, ώστε η τετμημένη του α να μεταβάλλεται με ρυθμό 4 cm / sec. Αν η εφαπτομένη ε της Cf στο σημείο Mα, f α τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε: i) το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων ii) το ρυθμό μεταβολής της γωνίας ABO τη χρονική στιγμή κατά την οποία ισχύει α  1cm.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Ρυθμός Μεταβολής 423Λύσηi) Έχουμε y Cf f  x    1    1 για κάθε x  0.  x  x2 BH εφαπτομένη ευθεία ε στο σημείο Mα, f α ω M  α, 1   α έχει εξίσωση y  f α  f αx  α  y  1   1 x  α OA x α α2δηλαδή  y   1 x  2 . α2 αΗ ευθεία ε τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία A  2α, 0 και Β 0, 2 α αντίστοιχα. Επομένως, το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ είναι Ε 1 ΟΑΟΒ  1 2α  2  2cm2. 2 α 2ii) ● Θεωρούμε τις συναρτήσεις αt και ωt οι οποίες εκφράζουν την τετμημένη α του σημείου Μ και τη γωνία ABO κάθε χρονική στιγμή t αντίστοιχα.● Οι συναρτήσεις αt και ωt συνδέονται με τη σχέση εφω  t   OA  2α  t   α2 t (1) OB 2 αt● Τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Δεδομένα Ζητούμενα αt  4 ωt0  αt0  1Από τη σχέση (1) παραγωγίζοντας έχουμε συν 1  t   ω  t   2α  t  α  t   2α  t   4  8α  t  2ω

lisari.blogspot.gr 14/5/2017424 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΕπομένως, 1   ωt0   8α t0   ωt0   8α t0 συν2ωt0  συν2ω  t 0  ωt0   8συν2ωt0 .Όμως, τη χρονική στιγμή t0 τα σημεία Α και Β Παρατήρηση Μπορούμε επίσης να πα-είναι Α2, 0 και Β0, 2 αντίστοιχα. Οπότε, ρατηρήσουμε ότι τη χρο-συνω  t 0   OB  2  2. νική στιγμή t0 το ορθο- AB 22  22 2 γώνιο τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές και συνεπώςΆρα, ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναιω  t  8  2 2 8 2 4 rad / sec. συνω t0   συν π  2.  2  4 4 2 0   49. Σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  ex, x και η τετμημένη του κάθε χρονική στιγμή t δίνεται από τον τύπο xt  2t2  t, t 0, 10 όπου t σε λεπτά και xt σε μέτρα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγμή, πριν συμπληρωθεί το πρώτο λεπτό της κίνησης, κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ γίνεται ίσος με 5 m / min.Λύση y y  exΗ τεταγμένη του σημείου Μ είναι yt M y t  ext  e2t2t για κάθε t 0, 10 O xt xκαι μεταβάλλεται με ρυθμό     y t  e2t2 t   e2t2 t  2t2  t   e2t2 t  4t 1 για κάθε t 0, 10.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Ρυθμός Μεταβολής 425Αρκεί λοιπόν, να αποδείξουμε ότι υπάρχει χρονική στιγμή t0  1 τέτοια, ώστε yt0   5  e2t02 t0  4t0 1  5  0 .Προς τούτο, θεωρούμε τη συνάρτηση gt  e2t2 t  4t 1  5, t 0, 1και παρατηρούμε ότι είναι συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχώνσυναρτήσεων. Επίσης, g0  e0  1  5  6  0 και g1  e  3  5  3e  5  6  5  0 .Οπότε, g0  g1  0.Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει t0 0, 1 τέτοιο, ώστε gt0   0  e2 t 2  t 0  4t0 1  5  0 . 0 Προτεινόμενες Ασκήσεις79. Το μήκος ενός κύκλου μεταβάλλεται με ρυθμό 2 cm/sec. Τη χρονική στιγμή t0 , κατά την οποία το εμβαδό αυτού του κύκλου είναι ίσο με 4π να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται: i) η ακτίνα του κύκλου ii) το εμβαδό του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου.80. Έστω Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ που ορίζουν τα σημεία Ο0, 0, Αx, 0 και Βx, ex  με x > 0. Αν το x μεταβάλλεται με ρυθμό 1 cm/sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού, όταν x = 4 cm.81. O όγκος ενός κύβου ελαττώνεται με ρυθμό 12 cm3 / sec. Tη χρονική στιγμή t0 , κατά την οποία η ακμή του κύβου είναι 2 cm, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο ελαττώνεται: i) η ακμή του κύβου ii) η ολική επιφάνεια του κύβου.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017426 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου82. Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 10 m έχει τα y άκρα του Α, Β στους θετικούς ημιάξονες Β Οx, Oy αντιστοίχως. Η ταχύτητα με την οποία 10 m κινείται το Α είναι υ  3m / sec. Τη χρονική O Ax στιγμή t0 , που το Α βρίσκεται σε απόσταση ΟΑ  8m από την αρχή των αξόνων, να βρείτε: i) την ταχύτητα με την οποία κινείται το ση- μείο Β ii) το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του τριγώνου ΟΑΒ.83. Ένα αερόστατο Α απογειώνεται σε απόσταση Α 900 μέτρων από έναν παρατηρητή Π και ανε- βαίνει κατακόρυφα με ταχύτητα 150 μέτρων το s λεπτό. Όταν το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος h 1200 μέτρων, να βρείτε: θ i) την απόσταση (ΠΑ) του αερόστατου από τον Π 900 m Ο παρατηρητή ii) το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η οπτική ακτίνα ΠΑ μεταξύ αερόστατου και παρατηρητή με το οριζόντιο επίπεδο ΠΟ.84. Ένα αεροπλάνο Α πετάει οριζόντια σε ύψος y 5000 mΑ 5000 m απομακρυνόμενο από έναν παρατηρητή Ο Π. Τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία η θ γωνία θ που σχηματίζει η οπτική ακτίνα με το Πx οριζόντιο επίπεδο είναι 45°, η γωνία αυτή μικραίνει με ρυθμό 0,05 rad/sec. i) Ποια είναι η ταχύτητα του αεροπλάνου τη χρονική αυτή στιγμή; ii) Να αποδείξετε ότι τη χρονική στιγμή t0 ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης ΠΑ είναι 250 2 m / sec.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Ρυθμός Μεταβολής 42785. Μια ποσότητα ραδιενεργού ουσίας ακτινοβολεί με τέτοιο τρόπο, ώστε η μάζα (σε mg) των πυρήνων που έχουν απομείνει μετά από χρόνο t sec να είναι Μt  Μ0ect όπου c μια σταθερά και Μ 0 η ποσότητα της ουσίας τη χρονική στιγμή t  0 . i) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t0 (συναρτήσει της σταθεράς c) κατά την οποία έχει απομείνει η μισή ποσότητα ραδιενεργού υλικού από την αρχική. ii) Ποιος είναι ο ρυθμός με τον οποίο ελαττώνεται η μάζα του ραδιενεργού υλικού τη στιγμή t0 ;86. Οι διαστάσεις x, y ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου μεταβάλλονται ως προς το χρόνο t. Αν πλευρά x ελαττώνεται με ρυθμό 2 cm / sec και η πλευρά y αυξάνεται με ρυθμό 3 cm / sec , να βρείτε: i) το ρυθμό μεταβολής της περιμέτρου του ορθογωνίου κάθε χρονική στιγμή t ii) το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου τη χρονική στιγμή t0 που οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι x  5 cm και y  7 cm .87. Ένας μεταλλικός κυκλικός δίσκος θερμαίνεται και η ακτίνα του αυξάνεται με ρυθμό 0,001 cm / min. Να βρείτε: i) το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται η περίμετρός του, κάθε χρονική στιγμή t ii) το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται το εμβαδό του, τη στιγμή t0 που η ακτίνα του είναι ίση με 20 cm.88. Σημείο Μ κινείται στην παραβολή c με εξίσωση y2  x με y  0 έτσι, ώστε η προβολή του Α στον ημιάξονα Οx να απομακρύνεται από το Ο με ταχύτητα υ  5m / sec. Αν Β είναι η προβολή του Μ στον άξονα yy, τη στιγμή t0 κατά την οποία είναι ΟΑ  9 m να βρείτε: i) την ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται το Β από το Ο ii) το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται το εμβαδό του ορθογωνίου ΟΑΜΒ.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017428 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου89. Ένα σημείο Ax,0 κινείται πάνω στον θετικό y ημιάξονα Οx με ταχύτητα 20 cm / sec και τηχρονική στιγμή t  0 βρίσκεται στην αρχή τωναξόνων O0, 0. Την ίδια χρονική στιγμή B0, yt  0 ένα άλλο σημείο B0,y βρίσκεται πά- dνω στον ημιάξονα Oy σε απόσταση 90 cm από O   x, 0 xτο O0, 0 και πλησιάζει προς το O0, 0 με Aταχύτητα 30 cm / sec. Να βρείτε:i) τις συναρτήσεις θέσης των σημείων Α και Β.ii) τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης d  AB των δύο σημείων τη χρονικήστιγμή t  2sec.90. Μία σκάλα μήκους 5 m είναι ακουμπισμένη σεέναν τοίχο όταν η βάση της αρχίζει να Aολισθαίνει. Τη στιγμή που η βάση απέχει 4 m y 5mαπό τον τοίχο, η ταχύτητα ολίσθησης της βάσηςείναι 1,5 m / sec. θ O xBi) Με ποια ταχύτητα κινείται εκείνη τη στιγμή η κορυφή της σκάλας;ii) Ποιος είναι εκείνη τη στιγμή ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού της επιφά- νειας που σχηματίζεται από τη σκάλα, τον τοίχο και το έδαφος;iii) Ποιος είναι εκείνη τη στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας θ πουσχηματίζει η σκάλα με το έδαφος;91. Ένα μικρό βαρκάκι τραβιέται με σχοινί προς την y αποβάθρα. Το σκοινί, που είναι περασμένο σε 3m έναν κρίκο στερεωμένο 3 m ψηλότερα από την πλώρη, μειώνεται με ρυθμό 1 m / sec. Να βρείτε: θ x i) πόσο γρήγορα πλησιάζει το βαρκάκι την αποβάθρα, όταν το μήκος του σκοινιού είναι 5m ii) με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται τη στιγμή εκείνη η γωνία θ.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Ρυθμός Μεταβολής 42992. Αερόστατο ανυψώνεται κατακόρυφα πάνω A s από επίπεδο και ίσιο δρόμο με σταθερό y xΠ ρυθμό ανύψωσης 1 m / sec. Tη στιγμή που O το αερόστατο βρίσκεται σε ύψος 65 m , ένα ποδήλατο που κινείται με ταχύτητα 17 m / sec περνά ακριβώς κάτω από το αερόστατο. i) Nα βρείτε τις συναρτήσεις θέσης x t, yt του ποδήλατου Π και του αερόστατου Α, ως προς το σημείο Ο.ii) Nα αποδείξετε ότι η απόσταση μεταξύ ποδήλατου και αερόστατου δίνεται κάθε χρονική στιγμή t από τον τύποst  17t2  t  652 .iii) Πόσο γρήγορα θα αυξάνεται η απόσταση st μετά από 3 sec;93. Μια σφαιρική μπάλα από σίδηρο διαμέτρου 8cm καλύπτεται από ομοιόμορφο στρώμα πάγου, ο οποίος λειώνει με ρυθμό 10 cm3 / min. Τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία το πάχος του πάγου ισούται με 2 cm, να βρείτε: i) το ρυθμό με τον οποίο μειώνεται το πάχος του πάγου ii) πόσο γρήγορα μειώνεται το εμβαδό της εξωτερικής επιφάνειας του πάγου.94. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η βάση ΒΓ έχει μήκος A 10 cm και η κορυφή Α απομακρύνεται από τη βάση με ταχύτητα 13cm / sec . Τη χρονική στιγμή t0 , ωt κατά την οποία η κορυφή Α απέχει από τη βάση απόσταση ίση με 12 cm, να βρείτε τον ρυθμό xt μεταβολής: ht i) της πλευράς ΑΒ θt Δ 5 cm Γ ii) της γωνίας B B iii) της γωνίας BAΓ. 5 cm

lisari.blogspot.gr 14/5/2017430 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου95. Ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  x2  2x, x  0 έτσι, ώστε η τετμημένη του να αυξάνεται με ρυθμό 5 cm / sec. Ένα δεύτερο σημείο Ν κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης gx  3, x  0 x έτσι, ώστε η τεταγμένη του να μειώνεται με ρυθμό 6 cm / sec. Κάποια χρονική στιγμή t0 τα σημεία Μ και Ν συμπίπτουν. Τη στιγμή αυτή να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής: i) της τεταγμένης του σημείου Μ ii) της τετμημένης του σημείου Ν.96. Σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  ln x, x  0 και η τετμημένη του κάθε χρονική στιγμή t δίνεται από τον τύπο x t  t3  t 1, t 0, 5 όπου t σε λεπτά και x t σε μέτρα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μια χρονική στιγμή κατά τη οποία ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ γίνεται διπλάσιος από τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του.97. Ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  x3, x  0 έτσι ώστε η τετμημένη του να μεταβάλλεται με ρυθμό 3 m/sec. Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ τέμνει τους άξονες xx, yy στα σημεία Α, Β αντίστοιχα. Tη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία ισχύει η σχέση ΟΒ  3ΟΑ όπου Ο η αρχή των αξόνων, να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής: i) της τετμημένης του σημείου Α ii) της τεταγμένης του σημείου Β iii) του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Ρυθμός Μεταβολής 43198. Σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  2x  ln x, x  0 και η τετμημένη του αυξάνεται με θετικό ρυθμό. Κάποια χρονική στιγμή t0 οι ρυθμοί μεταβολής της τετμημένης και της τεταγμένης του σημείου Μ είναι ίσοι. Τη στιγμή αυτή να βρείτε: i) το σημείο Μ. ii) το ρυθμό μεταβολής της απόστασης (ΟΜ), αν τη χρονική στιγμή t0 η τετμημένη του Μ έχει ταχύτητα 5 cm / sec.99. Σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x  1 2x2 , x  0. i) Τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία η τετμημένη του σημείου Μ είναι ίση με 2 cm και η τεταγμένη του μεταβάλλεται με ρυθμό 12 cm / sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ. ii) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός αύξησης της τεταγμένης του σημείου Μ να είναι διπλάσιος του ρυθμού αύξησης της τετμημένης του.100. Δίνεται η συνάρτηση f x  e1x , x  0.i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f x  x έχει ακριβώς μία ρίζα την οποία και να βρείτε.ii) Σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και έστω Α η προβολή του στον άξονα xx. Να αποδείξετε ότι τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία το τρίγωνο ΟΑΜ είναι ισοσκελές, ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του είναι ίσος με μηδέν.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017432 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Kριτήριο Aξιολόγησης 7Θέμα 1.Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία x0 :i) f x  x και x0  e2 ii) f x  e2xσυν3x και x0  0 iv) f x  x  ημ2x και x0  0. ln xiii) f x  συν2 4x και π x0  16Θέμα 2.Δίνεται η συνάρτηση f :  με τύπο f x  2x3  2x2  3 για κάθε x  .i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της Cf στο σημείο της A1, f 1.ii) Να αποδείξετε ότι το σημείο A1, f 1 είναι το μοναδικό σημείο επαφής της ε με τη Cf , δηλαδή ότι η ε δεν εφάπτεται σε άλλο σημείο στη Cf εκτός του σημείου Α.iii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης gx  ex  x, x  .

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Διαφορικός Λογισμός – Ρυθμός Μεταβολής 433 Kριτήριο Αξιολόγησης 8Θέμα 1.Δίνεται η συνάρτηση f x  25  x2 .i) Nα βρείτε τη συνάρτηση f .ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της Cf η οποία είναι παράλληληπρος την ευθεία η:y  3 x. 4iii) Ένα σημείο M  x, y κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της f. Τη χρονικήστιγμή t0 , κατά την οποία το σημείο Μ διέρχεται από το σημείο 3, 4 τηςτροχιάς του, η τεταγμένη y μειώνεται με ρυθμό 6 cm / sec. Nα βρείτε τον ρυθμόμεταβολής της τετμημένης x, την ίδια χρονική στιγμή t0.Θέμα 2.Έστω συνάρτηση f : 0,     , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και τέτοια,ώστε f 1  0, f 1  1και  f 2 x  f x4  2  ln2 x για κάθε x  0.i) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της A 1, f 1.ii) Να αποδείξετε ότι f 1  1 .iii) Να υπολογίσετε το όριο f   x   1  2  lim . x2 2  x  2

lisari.blogspot.gr 14/5/2017434 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίας21. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της;22. Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας παραγω- γίσιμης συνάρτησης f στο σημείο της Ax0 , f x0 ;23. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.24. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη;25. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα α,β του πεδίου ορισμού της;26. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα α, β του πεδίου ορισμού της;27. Να αποδείξετε ότι c  0.28. Να αποδείξετε ότι x  1.29.  Να αποδείξετε ότι xν   νxν1, ν   0,1. 10. Να αποδείξετε ότι x   1 , x  0. 2x11. Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x0 , τότε η συνάρτηση f  g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει f  g x0   f x0   gx0  12. Να αποδείξετε ότι xν   νxν1, ν  *.13. Να αποδείξετε ότι  εφx   1. συν 2 x

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 435Διαφορικός Λογισμός14.  Να αποδείξετε ότι xα   αxα1, x  0 , όπου α   .15. Να αποδείξετε ότι αx   αx ln α, όπου α  0.16. Να αποδείξετε ότι ln x   1 , x  *. x Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους81. Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της αν και μόνο αν υπάρχει το όριο lim f x  f x0  . ΣΛ xx0 x  x0 ΣΛ82. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο σημείο x0 , τότε η ΣΛ ΣΛ εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Ax0 , f x0  έχει εξίσωση ΣΛ y  f x0   f x0 x  x0 .93. Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 , είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.94. Κάθε συνάρτηση f, η οποία δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 , δεν είναι συνεχής στο σημείο αυτό.95. Αν μία συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 , τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.96. Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ΣΛ ορισμού της, είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΣΛ97. Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη Α αν και μόνο αν είναι ΣΛ παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της.98. Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα α,β του πεδίο ορισμού της αν και μόνο αν είναι παραγω- γίσιμη σε κάθε σημείο x0 α,β.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017436 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου99. Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό ΣΛ ΣΛ διάστημα α,β του πεδίου ορισμού της αν και μόνο αν είναι παραγω- ΣΛ γίσιμη σε κάθε σημείο x0 α,β. ΣΛ ΣΛ10. Για κάθε ν  * με ν  3 ισχύει f ν  f ν1  . ΣΛ ΣΛ11. Η συνάρτηση f x  x είναι παραγωγίσιμη. ΣΛ12. Ισχύει ημx  συνx. ΣΛ ΣΛ13. Ισχύει συνx  ημx.14. Αν α  0, τότε για κάθε x   ισχύει αx   xαx .115. Ισχύει ln x  1 . x16. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε x Δ ισχύει f  g x  f x  gx.17. Ισχύει εφx  σφx.18. Ισχύει  σφx   1 για κάθε x x ημx  0 . ημ 2 x19. Αν μία συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f ΣΛ ΣΛ είναι παραγωγίσιμη στο g Δ , τότε η συνάρτηση f g είναι παραγω- ΣΛ γίσιμη στο Δ και ισχύει f gx  f gx  gx. ΣΛ20. Η συνάρτηση f x  αx , x  , α  0 είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f x  αx για κάθε x  .21. Η συνάρτηση f x  ln x , x  * είναι παραγωγίσιμη και ισχύει ln x   1 για κάθε x  *. x22. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y  f x και η f είναι συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x0 , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x0 την παράγωγο f x0 .

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 437Διαφορικός Λογισμός ΔιαγώνισμαΘέμα ΑΑ1. Nα αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0 , είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα α, β του πεδίου ορισμού της;Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.α) Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και η f είναι παραγωγίσιμη στο g x0  , τότε η συνάρτηση fog είναι παραγωγίσιμη στο x0 .β) ln x   1 για κάθε x   *. xγ) Αν s είναι η συνάρτηση θέσης ενός σώματος, που κινείται πάνω σε έναν άξονα και α είναι η συνάρτηση της επιτάχυνσης του σώματος αυτού, τότε ισχύει α t  st για κάθε χρονική στιγμή t.δ) Kάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο σημείο x0 , είναι και παρα- γωγίσιμη στο σημείο αυτό. ε) Αν α  0, τότε ισχύει αx   xαx1 για κάθε x   .Θέμα ΒΔίνεται η συνάρτηση f  x   αx 2  βx, x 1  2 x, x 1  3 όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί.Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x0  1, αν και μόνο αν ισχύει η σχέση α  β  1.Β2. Να βρείτε τις τιμές των αριθμών α και β για τις οποίες η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0  1.Β3. Για α  2 και β  3 , να βρείτε:α) την εξίσωση της εφαπτομένης ε της Cf στο σημείο A 1, f 1β) την εξίσωση της εφαπτομένης η της Cf , η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ  1.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017438 Μαθηματικά Γ΄ ΛυκείουΘέμα ΓΈστω συνάρτηση f :    η οποία είναι περιττή και τέτοια, ώστε x2f x   ημ3x για κάθε x   .Γ1. Να αποδείξετε ότι f 0  0.Γ2. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.Γ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0  0 και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της Cf στο σημείο O 0, 0.Γ4. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε εφάπτεται και στη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης g  x   xημx , x  0στο σημείο M  π, g  π  .  2  2 Θέμα ΔΈστω συνάρτηση f :0,     η οποία είναι παραγωγίσιμη και τέτοια, ώστε f x  0 για κάθε x 0,  και 4f x2   xf 2x  x4  x3  x  4 για κάθε x 0,  .Δ1. Να υπολογίσετε την παράγωγο f 4 και το όριο lim 2x  3 1 . x1 f  x  3  5Δ2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A 2, f 2 διέρχεται από το σημείο B4,8  8f 1.Δ3. Ένα σημείο M x, y κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f έτσι, ώστε η τετμημένη του x να αυξάνει με ρυθμό 6 cm/sec. Τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία το Μ διέρχεται από το σημείο Γ4, f 4 , να βρείτε: α) το ρυθμό με τον οποίο αυξάνει η τεταγμένη y του σημείου Μ β) το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του τριγώνου ΟΜΝ, όπου Ο η αρχή των αξόνων και Ν η προβολή του σημείου Μ στον άξονα xx.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017Θέματα για Επανάληψη

lisari.blogspot.gr 14/5/2017440 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου«Oι πληροφορίες μοιάζουνμε σταγόνες υδρατμού που βαθμιαίασυγκεντρώνονται για να σχηματίσουνσαν σύννεφο τη Σκέψη.» Νίκος ΤαμπάκηςO Nίκος Ταμπάκης είναι Διπλωματούχος ΜηχανικόςΕ.Μ.Π. και Δρ. Φιλοσοφίας. Είναι μέλος της New YorkAcademy of Sciences, της Ελληνικής ΜαθηματικήςΕταιρείας και της Ελληνικής Φιλοσοφικής Εταιρείας.Οι δημοσιεύσεις του αναφέρονται στη φιλοσοφία τωνεπιστημών.Βιβλία του:Από την Ποίηση στη Λογική (Γκοβόστης)Από τη Φυσική στη Μεταφυσική (Ζαχαρόπουλος)Αναπαραστάσεις του Κόσμου (Γκοβόστης)Το όνειρο του Σωκράτη (Γκοβόστης)Ηράκλειτος και Σύγχρονος Κόσμος (Γκοβόστης)Ο Χρόνος του Ανθρώπου (Γκοβόστης)

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 441Θέματα για Επανάληψη Aσκήσεις για Επανάληψη1. Έστω συνάρτηση f :  τέτοια, ώστε f f x  x9 για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση f είναι 11 ii) αν f 2  8, τότε η εξίσωση f x  2 έχει μοναδική λύση την x  3 2 iii) για κάθε α  η ευθεία y  α έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f iv) τo σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το f    .2. Δίνεται η συνάρτηση f x  x2  2x  5, x  .i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο x0  1.ii) Να βρείτε – εφόσον υπάρχουν – τα παρακάτω όρια:α) lim 1  β) lim f x  ex . x x1 f  x   2iii) Να βρείτε – εφόσον υπάρχουν – τα παρακάτω όρια:α) lim ef x β) lim ημx . x x f  x iv) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0,1 τέτοιο, ώστεf ξ  eξ.3. Έστω συνάρτηση f :  τέτοια, ώστε f 2x lim  1. x0 xi) Να βρείτε την τιμή του λ  για την οποία ισχύει η σχέση lim f x  5x  3. x0 f x  λxii) Αν η Cf δεν έχει κοινό σημείο με τον άξονα xx, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής.iii) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης f.

lisari.blogspot.gr 14/5/2017442 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου4. Έστω συνάρτηση f :  τέτοια, ώστε ● f x  2x 1 για κάθε x  ● lim f 2 x  9. x2 Να αποδείξετε ότι: i) f x  f 2 x  9 για κάθε x  6 ii) lim f x  3 x2 iii) lim f x   x iv) αν η συνάρτηση f 2 είναι συνεχής στο σημείο x0  2, τότε η συνάρτηση f είναι επίσης συνεχής στο ίδιο σημείο.5. Έστω συνάρτηση f :  τέτοια, ώστε  f 2 x 1 ημ2x  2x2f x για κάθε x  .Να αποδείξετε ότι:i) 2f x για κάθε x  f2 x1 1ii) lim 2f x  1 x0 f 2  x   1iii) αν lim f x  λ  , τότε λ  1 x0iv) αν η f είναι συνεχής και f e  e, τότε υπάρχει x0 0, e τέτοιος, ώστε f x0   2.6. Έστω συνάρτηση f :  , η οποία είναι συνεχής και τέτοια, ώστε f 2 x  x2  x 1 για κάθε x και lim 1 f x   1 . x0 x 2i) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα xx.ii) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.iii) Να υπολογίσετε το lim x  f  x  . x

lisari.blogspot.gr 14/5/2017510 Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου ΒιβλιογραφίαΠ. Κ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ, “Συναρτήσεις” (Φροντιστήρια Βασιλειάδη).Π. Κ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ, “Παράγωγοι Συναρτήσεων” (Φροντιστήρια Βασιλειάδη).Θ. N. ΚΑΖΑΝΤΖΗΣ, “Παράγωγοι Συναρτήσεων” (Σπηλιώτη).Θ. Ν. ΚΑΖΑΝΤΖΗΣ, “Ολοκληρώματα” (Μαθηματική Βιβλιοθήκη).Θ. Ν. ΚΑΖΑΝΤΖΗΣ, “1000 ασκήσεις Ολοκληρωμάτων”, Τόμοι 1, 2, 3, (Mαθηματική Βιβλιοθήκη).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση I” (Κβάντ).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση II” (Κβάντ).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Θέματα Μαθηματικής Ανάλυσης” (Κβάντ).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Γενικά Θέματα Ανάλυσης” (Κβάντ).Π. Χ. ΠΙΣΤΟΦΙΔΗΣ, “Ανάλυση-Θεματογραφία” (Κβάντ).Δ. Α. ΚΑΠΠΟΣ, “Απειροστικός Λογισμός”.Δ. ΝΤΡΙΖΟΣ, “Eνότητες Ανάλυσης”.Λ. ΚΑΝΑΚΗΣ, “Διαφορικός Λογισμός” (Φροντιστήρια Βασιλειάδη).Λ. ΚΑΝΑΚΗΣ – Γ. ΜΑΥΡΙΔΗΣ, “100 Θέματα Μαθηματικών” (Εκδόσεις Μαυρίδη).Δ. ΓΕΩΡΓΑΚΙΛΑΣ, “Aνάλυση Γ΄ Λυκείου” (Mαθηματική Βιβλιοθήκη).Κ. ΓΚΑΤΖΟΥΛΗΣ, “Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Ι, ΙΙ” (Γκατζούλη).Τ. ΔΡΟΥΤΣΑΣ-Ν. ΠΑΝΟΥΣΑΚΗΣ, “Μαθηματικά Γ’ Λυκείoυ” (Κοκοτσάκη)Ε. ΓΑΛΑΝΗΣ, “Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση” (ΣΥΜΕΩΝ).Δ. ΚΑΤΣΑΡΟΣ, “Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου” (Eλληνοεκδοτική)Ν. ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ, “Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών” (Γκατζούλη).N. ZANTAΡΙΔΗΣ, “Διαγωνίσματα Μαθηματικών” (Γκατζούλη).Δ. ΚΑΡΒΟΥΝΗΣ, “Ανάλυση Ι, ΙΙ, ΙΙΙ” (Mαθηματική Βιβλιοθήκη).Γ. ΜΠΑΪΛΑΚΗΣ, “Παράγωγοι” (Πελεκάνος).Γ. ΜΠΑΪΛΑΚΗΣ, “Παγκόσμια Θεματογραφία Ολυμπιάδων” (Πελεκάνος).Σ. ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ – Σ. ΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ – Ε. ΓΙΑΝΝΑΚΟΥΛΙΑΣ, “Απειροστικός Λογισμός” (Συμμετρία).Σ. ΝΤΟΥΓΙΑΣ, “Απειροστικός Λογισμός” (Leader Books).Θ. ΞΕΝΟΣ, “Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Ι, ΙΙ” (Ζήτη).Χ. ΠΑΤΗΛΑΣ, “Μαθηματικά Γ΄ λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης” (Ελληνοεκδοτική).A. ΣΚΥΦΑΣ – Π. ΓΙΑΝΝΑΚΟΣ – Δ. ΑΝΔΡΙΩΤΗΣ – Ε. ΣΑΡΡΗ «Επαναληπτικά θέματα Μαθηματικών Προσανατολισμού» (Έναστρον).A. TΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ, “Παράγωγοι Γ΄ Λυκείου” (Πατάκη).Α. ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ, “Ολοκληρώματα Γ΄ Λυκείου” (Πατάκη).Ε. ΣΠΑΝΔΑΓΟΣ, “Το άπειρο στην αρχαία Ελλάδα και τα παράδοξα του Ζήνωνος” (Αίθρα).Ε. ΣΠΑΝΔΑΓΟΣ, “Μαθηματική Ανάλυση Γ΄ Λυκείου I, II” (Aίθρα).Σ. Κ. ΠΗΧΩΡΙΔΗΣ, “Απειροστικός Λογισμός Ι” (Σύγχρονη Εποχή).Α. ΠΟΥΛΟΣ, “Εικασίες και αντιπαραδείγματα” (Μαυρίδη).Θ. ΡΑΣΣΙΑΣ, “Μαθηματική Ανάλυση” (Σαββάλας).DOROFFEV - POTAPOV - ROZOV, “Elementary Mathematics”V.P. MINORSKY, “Problems in Higher Mathematics”.B.M. GOBOROV - P.T.H. VOGT, “Mathematiques superieures”LOUIS COMTET, “Analyse Combinatoire”, (Press Universitaires De France)G. THOMAS - R. FINNEY, “Απειροστικός Λογισμός” (Π.Ε.Κ.)MICHAEL SPIVAK, “Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός” (Π.Ε.Κ.)TOM APOSTOL, “Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός” (Π.Ε.Κ.)

lisari.blogspot.gr 14/5/2017 511ΒιβλιογραφίαΜ. PROTTER-CH.MORREY, “Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός” (Παπαζήση)WALTER RUDIN, “Αρχές Μαθηματικής Αναλύσεως” (L.B.)Ε.Τ. ΒΕLL, “Oι Μαθηματικοί” (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης)G. POLYA, “Πώς να το λύσω” (Σπηλιώτη)I. PETRICA - E. CONSTANTINESCU - D. PETRE, “Probleme de Analiza Matematica”Ya. S. BUGROV - A.M. NIKOLSKY, 1) differential and integral calculus (MIR PUBLISHERS- MOSCOW) 2) A collection of problems (MIR PUBLISHERS- MOSCOW)L. HARWOOD CLARKE, “Mathematics” (Heiemenn educational books, London)R. L. JEFFERY, “The theory of functions of a real variable” (Dover Publications, Inc. New York)D. W. HIGHT, “A Concert of Limits” (Dover Publications, Inc. New York)B. DEMIDOVICH, “Problems in Mathematical Analysis” (MIR PUBLISHERS- MOSCOW)G. N. BERMAN, “A problem book in Mathematical Analysis” (MIR PUBLISHERS- MOSCOW)B.D. BUNDAY - H. MULHOLLAND, “Pure mathematics for advanced level” (Heiemenn educational books, Oxford)O.N. AFANASYEVA - Ya. S. BRODSKY - I.I. GUTKIN - A.L. PAVLOV, “Problem book in Mathematics” (MIR PUBLISHERS- MOSCOW)G.H. HARDY, “A Course of Pure Mathematics” (CABRIDGE UNIVERSITY PRESS)A.N. KOLMOGOROV - S.V. FOMIN. “Introductory Real Analysis” (Dover Publications, Inc. New York)K. KNOPP, “Problem book in the theory of functions. Volume I” (Dover Publications, Inc. New York)KENNETH ANDERSON - DICK HALL, “Elementary Real Analysis” (Mc GRAW - HILL, Inc)RICHARD GOLDBERG, “Methods of Real Analysis” (OXFORD PUBLISHING)B. CALVO - J. DOYEN - A. CALVO - F. BOSCHET, “exercices d’ analyse” (Armand Colin - Paris 1977) ΠεριοδικάΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑΟ ΚΟΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΔΙΑΣΤΑΣΗΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΗΜΑΘΕΑΙΤΗΤΟΣΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΟΚΙΜΙΑΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣΤΟ φΚΒΑΗΜKVANTUMCRUXTHE AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLYTHE MATHEMATICAL GAZETTETHE COLLEGE MATHEMATICS JOURNALMATHEMATICAL SPECTRUMELEMENTE DER MATHEMATIKMATHEMATICS MAGAZINETHE MATHEMATICS TEACHER