ชุดที่ 3 การหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้ เร่อื ง กาหนดการเชงิ เสน้ ชดุ ท่ี 3 สาหรบั นักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 การหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดของฟังก์ชัน จุดประสงค์ นางวีระนุช พานทวีป ตาแหน่ง ครู วทิ ยฐานะ ครูชานาญการ กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นจติ รลดา สงั กัดสานกั งานคณะกรรมการสง่ เสริมการศึกษาเอกชน

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ เรอ่ื ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชุดท่ี 3 การหาคา่ สูงสุดหรือคา่ ตา่ สุดของฟังก์ชนั จุดประสงค์ ก ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ เร่ือง กาหนดการเชิงเส้น จดั ทาเพ่อื ประกอบการจดั การเรยี นการสอน ในรายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัสวชิ า ค33201 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ตามหลกั สูตรแกนกลาง การศกึ ษาข้นั พน้ื ฐานพุทธศกั ราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ที่มุง่ เนน้ ใหน้ ักเรียนไดศ้ ึกษา คน้ คว้าหาคาตอบด้วยตนเองโดยเรียงลาดับเนอ้ื หาจากง่ายไปยาก เปน็ การฝึกให้นักเรียนเกดิ การ เรียนรู้ มีทักษะการแก้ปัญหาท่ีดี สามารถทางานได้อย่างมีระเบยี บและมปี ระสิทธิภาพ ส่งเสรมิ ให้ นักเรียนมคี วามรบั ผิดชอบ มีความซือ่ สัตย์และมเี จตคตทิ ่ีดีตอ่ วิชาคณติ ศาสตร์ รวมทง้ั สามารถใช้ ทบทวนความรู้ได้ด้วยตนเอง ผจู้ ัดทาหวงั เปน็ อย่างยิง่ ว่าชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรือ่ งกาหนดการเชงิ เส้น จะเป็นแนวทาง สาหรับผ้สู นใจในการนาไปประยกุ ต์ใช้เพือ่ พฒั นาความรคู้ วามความสามารถของนกั เรยี นอย่าง เหมาะสม วีระนุช พานทวีป

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชดุ ที่ 3 การหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสดุ ของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ ข สารบญั หน้า เรือ่ ง ก คานา ข สารบัญ ค คาช้ีแจง ง คาแนะนาสาหรับครู จ คาแนะนาสาหรับนกั เรยี น ฉ ขัน้ ตอนการใช้ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้ ช ผลการเรยี นรู้ / จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1 แบบทดสอบก่อนเรียน 4 กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 5 ใบความรทู้ ่ี 3 12 เอกสารแนะแนวทาง 3.1 16 เอกสารแนะแนวทาง 3.2 19 ใบงานท่ี 6 23 แบบทดสอบหลงั เรียน 26 กระดาษคาตอบหลังเรยี น 27 แบบบนั ทกึ ผลคะแนน 28 ภาคผนวก 29 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น แนวตอบเอกสารแนะแนวทาง 3.1 30 แนวตอบเอกสารแนะแนวทาง 3.2 34 เฉลยใบงานท่ี 6 36 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น 41 บรรณานุกรม 42

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เร่ือง กาหนดการเชงิ เส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุดของฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ ค คาชแ้ี จง ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 รหัส วชิ า ค33201 ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 6 กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ ประกอบด้วยชุดกิจกรรมการ เรยี นรู้ ทงั้ หมด 5 ชุด ดงั นี้ ชดุ ที่ 1 กราฟของอสมการเชิงเส้น จานวน 2 ชว่ั โมง ชดุ ที่ 2 กราฟของระบบอสมการเชงิ เสน้ จานวน 4 ช่ัวโมง ชดุ ท่ี 3 การหาคา่ สงู สุดหรือค่าต่าสุดของฟงั ก์ชนั จุดประสงค์ จานวน 2 ชั่วโมง ชดุ ท่ี 4 การสรา้ งแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ จานวน 2 ชัว่ โมง ชุดที่ 5 การแกป้ ัญหากาหนดการเชิงเส้นโดยวิธีใช้กราฟ จานวน 4 ชวั่ โมง สาหรับชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้ชุดน้เี ป็นชุดท่ี 3 การหาคา่ สงู สุดหรอื คา่ ตา่ สุดของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ ประกอบดว้ ย คาชแ้ี จงเก่ยี วกับชุดกิจกรรมการเรียนรู้ คาแนะนาสาหรับครู คาแนะนา สาหรับนกั เรียน ผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน กระดาษคาตอบก่อน เรยี น ใบความรู้ เอกสารแนะแนวทาง ใบงาน แบบทดสอบหลงั เรียน เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน แนวตอบเอกสารแนะแนวทาง เฉลยใบงาน และเฉลยแบบทดสอบหลังเรียน โดยใชเ้ วลาในการใช้ กิจกรรม 2 ชั่วโมง

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ เร่อื ง กาหนดการเชิงเสน้ : ชดุ ที่ 3 การหาคา่ สงู สดุ หรอื คา่ ต่าสุดของฟงั กช์ นั จุดประสงค์ ง คำแนะนำสำหรับครู ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ที่ 3 การหาคา่ สงู สดุ หรือค่าตา่ สุดของฟงั กช์ ันจุดประสงค์ ใช้ ประกอบการเรยี นการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ เรอื่ ง กาหนดการเชงิ เสน้ รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม 5 รหสั วชิ า ค33201 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ใช้เวลา 2 ชว่ั โมง ครมู ี บทบาทหน้าท่ีในการชว่ ยให้การเรียนรู้ของนักเรยี นบรรลวุ ตั ถปุ ระสงค์ ซ่ึงครคู วรศึกษารายละเอยี ด เกี่ยวกบั การปฏิบตั ิกอ่ นทจ่ี ะใช้ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ ดงั น้ี 1. ศกึ ษาชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้และอา่ นเนื้อหาสาระอย่างละเอียดรอบคอบ 2. แจง้ จุดประสงค์การเรยี นรใู้ ห้นักเรียนทราบ 3. ชีแ้ จงข้นั ตอนการเรยี นโดยใช้ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ใหน้ กั เรียนเข้าใจ และเนน้ ยา้ เรอื่ ง ความซื่อสตั ย์และความรับผิดชอบ 4. ทดสอบความรู้ก่อนเรยี น เพื่อเป็นการวัดความรู้พื้นฐานของนกั เรยี นแต่ละคน 5. ตรวจแบบทดสอบกอ่ นเรียนและบันทกึ ผลคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 6. ใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้เล่มน้ีควบคู่กับแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 5 7. ใหค้ าแนะนานักเรยี นทันทีเม่ือนักเรยี นมขี ้อสงสยั ซักถาม 8. ทดสอบความรู้หลงั เรียนเพื่อประเมินความกา้ วหนา้ ในการเรียนของนักเรียน 9. ตรวจแบบทดสอบหลังเรยี นและบันทกึ ผลคะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนน

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้ เรื่อง กาหนดการเชิงเสน้ : ชุดที่ 3 การหาคา่ สงู สุดหรือค่าตา่ สุดของฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ จ ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ที่ 3 การหาคา่ สูงสดุ หรอื ค่าต่าสดุ ของฟงั ก์ชันจดุ ประสงค์ ใช้ ประกอบการเรียนการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง กาหนดการเชิงเสน้ รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 5 รหสั วชิ า ค33201 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 กลมุ่ สาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ ใช้เวลา 4 ช่ัวโมง มงุ่ เน้น ให้นักเรยี นได้ศกึ ษาค้นคว้าดว้ ยตนเอง นักเรยี นควรปฏิบตั ิตามคาแนะนา ดังน้ี 1. ศกึ ษาจุดประสงค์การเรียนรู้ ใหเ้ ข้าใจ 2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน จานวน 10 ขอ้ ใช้เวลา 15 นาที และตรวจสอบคาตอบจาก เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนด้านหลังภาคผนวกและบันทึกคะแนน 3. ศกึ ษาและทาความเขา้ ใจเน้ือหาจากใบความรู้ให้ครบทุกกิจกรรมด้วยความตั้งใจ 4. ศกึ ษาเอกสารแนะแนวทางใหค้ รบทุกกิจกรรมและทาอย่างตัง้ ใจเปน็ ลาดับขนั้ ตอน หากมี ขอ้ สงสยั ให้ขอคาแนะนาจากครูผูส้ อน และเมื่อทาเสร็จใหต้ รวจคาตอบจากแนวตอบเอกสารแนะ แนวทางด้านหลงั ภาคผนวก 5. ทาใบงานดว้ ยตนเองดว้ ยความต้ังใจ และเมื่อทาเสร็จแล้วใหต้ รวจคาตอบจากเฉลย พร้อม ทั้งบันทึกคะแนนใบงานและหากนกั เรียนเจอข้อผดิ พลาดให้นกั เรียนยอ้ นกลบั ไปศึกษาชุดกจิ กรรมการ เรยี นรแู้ ละคาตอบของตนเองถงึ สาเหตทุ ผี่ ิดและแก้ไขใหถ้ กู ต้อง 6. เมอ่ื ศึกษาชดุ กจิ กรรมการเรยี นร้จู บแล้วใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน เพอ่ื ดู ความก้าวหน้าในการเรยี นของนักเรียน โดยตรวจสอบคาตอบจากเฉลยแบบทดสอบหลังเรียนดา้ นหลัง ภาคผนวกและบันทึกคะแนน 7. การทดสอบหลังเรยี น นักเรยี นต้องทาคะแนนได้ไม่ต่ากว่าร้อยละ 70 ของคะแนนเตม็ ซึง่ เปน็ เกณฑ์การผ่านจดุ ประสงค์การเรียนรู้ 8. ถา้ นักเรยี นไมผ่ ่านเกณฑท์ ี่กาหนด นกั เรยี นจะต้องศึกษาชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้นอี้ ีกครั้ง จนกวา่ จะผ่านเกณฑ์ที่กาหนดไว้ 9. ในการทาแบบทดสอบก่อนเรียน ใบงาน และแบบทดสอบหลงั เรียนให้นกั เรียนตั้งใจ มีความซื่อสตั ย์ต่อตนเองและมคี วามรับผดิ ชอบให้มากท่ีสุด

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชิงเสน้ : ชุดท่ี 3 การหาคา่ สงู สุดหรอื คา่ ต่าสุดของฟงั กช์ นั จุดประสงค์ ฉ ข้นั ตอนการใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชงิ เส้น ชุดที่ 3 การหาค่าสงู สุดหรอื ค่าต่าสดุ ของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ ศึกษาคาชแ้ี จงการใช้ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้ ทาแบบทดสอบก่อนเรยี น ศึกษาชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ • ใบความรู้ • เอกสารแนะแนวทาง • ใบงาน ไมผ่ า่ นเกณฑ์ • - ใบ ทาแบบทดสอบหลังเรยี น ความรู้ และ ผา่ นเกณฑ์ เอกสาร • - แนะ ศกึ ษาชดุ ใบกจิ กรรมการเรยี นรู้ ชุดตอ่ ไปแนวทา คว าม • - ใบ รู้ งาน แล

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้ เรื่อง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชดุ ที่ 3 การหาคา่ สงู สุดหรอื ค่าตา่ สุดของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ ช ผลการเรยี นรู้ แกป้ ญั หาโดยสร้างแบบจาลองทางคณติ ศาสตร์และใช้วิธกี าหนดการเชิงเส้นทใ่ี ชก้ ราฟของ สมการและอสมการท่มี สี องตัวแปรได้ จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ ด้านความรู้ (K) นักเรยี นสามารถหาค่าสงู สดุ และค่าตา่ สุดของฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ภายใต้อสมการขอ้ จากัดที่ กาหนดให้ได้ ด้านทกั ษะ/กระบวนการ (P) 1. การให้เหตผุ ล 2. ทกั ษะการแก้ปัญหา 3. การส่ือความหมาย ด้านคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) นกั เรยี นเป็นผู้ที่ 1. มีความรับผิดชอบ 2. มวี ินัย 3. ใฝเ่ รียนรู้ 4. มุ่งมัน่ ในการทางาน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้ เร่อื ง กาหนดการเชิงเส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาคา่ สูงสดุ หรอื ค่าตา่ สุดของฟงั กช์ นั จดุ ประสงค์ 1 เรอื่ ง การหาค่าสูงสดุ หรือค่าต่าสดุ ของฟงั ก์ชันจุดประสงค์ จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ นักเรยี นสำมำรถหำค่ำสงู สดุ หรือคำ่ ต่ำสดุ ของฟังก์ชันจุดประสงคภ์ ำยใต้ อสมกำรข้อจำกัดท่ีกำหนดให้ได้ คาชแี้ จง แบบทดสอบก่อนเรียนชดุ น้เี ป็นขอ้ สอบปรนัย ตัวเลือก 4 ตวั เลือก จำนวน 10 ข้อ คะแนน เตม็ 10 คะแนน เวลำในกำรทำข้อสอบ 15 นำที คาส่งั ใหน้ กั เรยี นทำเครื่องหมำย  ลงในกระดำษคำตอบในขอ้ ทถ่ี กู ตอ้ งเพียงข้อเดยี ว กำหนดฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ P = 3x + 2y และอสมกำรข้อจำกดั x + y  6 , x + 2y  8 , x  0 , y  0 เขียนกรำฟไดด้ ังรูป จงตอบคำถำมข้อ 1 – 2 1. พิกดั ของจุด B คือข้อใด ข. (4 , 2 ) ก. (2 , 4 ) ง. (6 , 0 ) ค. (3 , 2 )

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชงิ เส้น : ชดุ ที่ 3 การหาคา่ สูงสดุ หรอื คา่ ตา่ สดุ ของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 2 2. ค่ำสูงสดุ ของ P เท่ำกบั ข้อใด ข. 16 ก. 8 ง. 24 ค. 18 กำหนดฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ P = 1,500 – 8x – 10y และอสมกำรจำกดั x + y  100 , 0  x  80 , 0  y  70 จงตอบคำถำมข้อ 3 – 6 3. จดุ ในขอ้ ใดต่อไปนีไ้ ม่เปน็ จุดมุมของอำณำบริเวณที่เป็นไปได้ของคำตอบ ก. (0 , 100) ข. (80 , 20) ค. (0 , 40) ง. (40 , 0) 4. ค่ำสูงสดุ ของ P เทำ่ กบั ข้อใด ก. 860 ข. 1,180 ค. 800 ง. 1,200 5. ถำ้ (a , b) เปน็ จุดมมุ ที่ได้จำกอสมกำรข้อจำกัดและให้ค่ำ P สูงที่สุด แล้ว a + b เท่ำกับข้อใด ก. 40 ข. 70 ค. 80 ง. 100 6. จดุ มมุ ของอำณำบริเวณที่เปน็ ไปได้ของคำตอบท่ีทำให้ P มคี ่ำต่ำสดุ ตรงกบั ข้อใด ก. (0 , 40) ข. (0 , 70) ค. (40 , 0) ง. (30 , 70) กำหนดฟงั กช์ นั จดุ ประสงค์ P = 5x + 2y และ อสมกำรจำกดั 2x + 5y  20 , 2x + 3y  16 , x  0 , y  0 จงตอบคำถำมข้อ 7 – 8 จงตอบคำถำมข้อ 3 – 6 7. ค่ำสงู สดุ ของ P เท่ำกับข้อใด ก. 29 ข. 50 ค. 40 ง. 59

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ เรื่อง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชดุ ที่ 3 การหาค่าสูงสดุ หรือค่าต่าสุดของฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ 3 8. จุดมุมของอำณำบรเิ วณทเี่ ปน็ ไปได้ของคำตอบท่ีทำให้ P มคี ่ำสูงท่สี ดุ ตรงกบั ข้อใด ก. (0 , 4) ข. (10 , 0) ค. (5 , 2) ง. (8 , 0) 9. กำหนดฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ C = 5x + 3y และอสมกำรจำกัด 2x + 4y  80 , 5x + 2y  80 , x  0 , y  0 จงหำค่ำต่ำสดุ ของ C ก. 85 ข. 95 ค. 110 ง. 120 10. กำหนดสมกำรจดุ ประสงค์ P = 7x + 5y และอสมกำรข้อจำกัด คอื 2x + y  40 , 2x + 3y  60 , 0  x  24 , y  0 ถำ้ (a , b) เปน็ จุดมุมทไี่ ด้จำกอสมกำรข้อจำกัดและให้ค่ำ P น้อยทส่ี ุด แลว้ a + b เท่ำกบั ข้อใด ก. 28 ข. 25 ค. 24 ง. 20

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เร่ือง กาหนดการเชงิ เส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาค่าสงู สดุ หรอื คา่ ตา่ สุดของฟังกช์ นั จุดประสงค์ 4 กระดาษคาตอบแบบทดสอบกอ่ นเรียน ชุดที่ 3 การหาค่าสงู สดุ หรือค่าตา่ สุดของฟังก์ชนั จุดประสงค์ ชอ่ื – นามสกุล ...................................................................ชั้น.................เลขท่.ี ...... ขอ้ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้ 10 เกณฑก์ ารให้คะแนนแบบทดสอบหลังเรยี น ให้ 1 คะแนน เมอ่ื นักเรยี นเลอื กคำตอบได้ถูกต้อง ให้ 0 คะแนน เม่ือนักเรียนเลือกคำตอบผิด เกณฑ์การผ่านประเมนิ ผผู้ ่านเกณฑ์ประเมนิ ตอ้ งไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 70 ของคะแนนเต็มขน้ึ ไป

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ เรือ่ ง กาหนดการเชงิ เส้น : ชุดท่ี 3 การหาคา่ สงู สุดหรอื คา่ ตา่ สุดของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 5 ใบความรูท้ ี่ 3 เร่อื ง การหาคา่ สงู สุดหรอื ค่าต่าสุดของฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ นักเรียนสามารถหาคา่ สูงสุดหรือค่าตา่ สดุ ของฟงั ก์ชันจุดประสงค์ภายใต้ อสมการขอ้ จากัดที่กาหนดให้ได้ ในการแกป้ ัญหากาหนดการเชงิ เส้น จะตอ้ งเริม่ ดว้ ยการสรา้ งแบบจาลองทางคณติ ศาสตร์ ซง่ึ เปน็ การแปลงสถานการณ์ปัญหาใหเ้ ปน็ ปัญหาทางคณติ ศาสตร์ จากนั้นจึงหาคาตอบของปญั หา ดว้ ยวธิ ีการต่างๆ ซ่ึงในทนี่ ้ีจะใช้กราฟช่วยในการหาคาตอบ การสรา้ งแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ของปญั หาประกอบด้วย 2 สว่ น คือ สว่ นที่ 1 ส่วนที่เปา้ หมาย เป็นฟงั กช์ นั เชงิ เสน้ ที่สร้างข้ึนให้ตรงกับจดุ ประสงคท์ ่ีต้องการแกป้ ญั หา เรียกวา่ ฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ (objective function) หรอื สมการจุดประสงค์ ส่วนที่ 2 ส่วนทเี่ ป็นเงอื่ นไขข้อจากัด เปน็ ระบบอสมการหรืออสมการทแี่ สดงถึงเงื่อนไขบังคบั หรือข้อจากดั ต่างๆ ที่มีอยูใ่ นปัญหา เรยี กว่า อสมการข้อจากัด (constraint inequalities) การหาค่าสงู สดุ และคา่ ต่าสดุ ของฟังก์ชันจดุ ประสงคภ์ ายใต้อสมการขอ้ จากดั ดังตวั อยา่ ง ต่อไปน้ี

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ เร่อื ง กาหนดการเชิงเส้น : ชุดที่ 3 การหาคา่ สูงสุดหรือคา่ ต่าสุดของฟังก์ชนั จุดประสงค์ 6 ตัวอย่างท่ี 3.1 จงหาค่าสูงสุดของ P = 8x + 10y ภายใต้อสมการข้อจากดั 0.4x + 0.2y  10 0.2x + 0.4y  14 x 0 y0 วธิ ที า เขยี นกราฟของระบบอสมการขอ้ จากดั ทั้งหมด จะไดว้ ่าเซตของจุดที่พิกดั สอดคล้องอสมการข้อจากัด คืออาณาบริเวณทแ่ี รเงา ดังรปู เซตของจดุ ท่ีอยู่ในบรเิ วณท่ีแรเงาท้งั จดุ บนเส้นขอบ เรียกว่า อาณาบริเวณท่ีหาคาตอบได้ (Feasible region) ซ่ึงทุกจดุ ในอาณาบริเวณนส้ี อดคลอ้ งกบั อสมการข้อจากดั คาตอบของปัญหาคือพกิ ดั ของจุดใดจดุ หน่งึ (หรือหลายจดุ ) ในอาณาบริเวณท่หี าคาตอบได้ ซึง่ ใหค้ ่าสงู สุดของฟังก์ชันจดุ ประสงค์ P = 8x + 10y สงั เกตคา่ P เมอื่ กาหนดให้ P เปน็ ค่าคงตวั ใด ๆ ค่า P ท่ตี า่ งกนั ทาให้ไดก้ ราฟเสน้ ตรงทีข่ นาน กนั ชดุ หนึ่ง เช่น เม่อื P = 0 จะได้ 8x + 10y = 0 P = 200 จะได้ 8x + 10y = 200 P = 400 จะได้ 8x + 10y = 400 P = 600 จะได้ 8x + 10y = 600

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น : ชดุ ที่ 3 การหาคา่ สูงสุดหรอื คา่ ต่าสดุ ของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ 7 ซงึ่ จากสมการข้างต้นได้กราฟไดก้ ราฟดังน้ี สงั เกตเม่ือเล่อื นเสน้ ตรงของฟังกช์ ันจุดประสงค์ออกห่างจากจดุ กาเนดิ มากข้นึ ค่าของ P จะ เพ่มิ มากขึน้ เร่ือยๆ ตามไปดว้ ยและมากที่สุดท่ี ณ ตาแหน่งจุดมุมของรปู หลายเหลย่ี มของอาณาบรเิ วณที่ หาคาตอบได้ ณ จดุ (10, 30) P = 8x + 10y มากทีส่ ุด ดงั น้ัน P มีคา่ มากทีส่ ดุ เมื่อ x = 10 และ y = 30 จากตวั อย่างข้างตน้ พบว่า คาตอบท่ตี ้องการ คือ พิกดั ของจดุ มมุ ของรูปหลายเหลี่ยมของ อาณาบรเิ วณทห่ี าคาตอบได้ ซง่ึ มจี ดุ มุมของรปู หลายเหลี่ยมของอาณาบรเิ วณทหี่ าคาตอบได้ มพี ิกดั คือ (0, 0) , (0, 35) , (10, 30) , (25, 0)

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้ เรือ่ ง กาหนดการเชิงเสน้ : ชุดท่ี 3 การหาคา่ สงู สุดหรอื ค่าต่าสุดของฟังก์ชนั จุดประสงค์ 8 ค่า P ได้ดังตารางตอ่ ไปนี้ จดุ มุม(x, y) P = 8x + 10y (0, 0) 8(0) + 10(0) = 0 (0, 35) 8(0) + 10(35) = 350 (10, 30) 8(10) + 10(30) = 380 (25, 0) 8(25) + 10(0) = 200 จากการเปรยี บเทียบคา่ P พบว่า ทจ่ี ดุ มมุ (10, 30) ให้ค่า P มากท่สี ุด ตวั อยา่ งที่ 3.2 จงหาคา่ ตา่ สดุ ของฟงั กช์ ันจุดประสงค์ P = 60x + 40y อสมการข้อจากดั 2x + 3y  120 2x + y  80 x 0 y 0 วิธีทา ข้นั ที่ 1 เขียนกราฟของอสมการข้อจากดั จะได้อาณาบรเิ วณทหี่ าคาตอบได้ ดังรปู ข้นั ที่ 2 หาพิกัดของจดุ มมุ ของอาณาบรเิ วณท่ีหาคาตอบได้ ซงึ่ ไดแ้ ก่ (0, 80) , (60, 0) หาพิกดั ของจุดทเ่ี กิดจากการตัดของเส้นตรง 2x + 3y = 120 กับ เส้นตรง 2x + y = 80 2x + 3y = 120 ........................(1) 2x + y = 80 ........................(2)

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้ เรื่อง กาหนดการเชงิ เส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาค่าสูงสดุ หรือค่าตา่ สุดของฟงั ก์ชนั จุดประสงค์ 9 (1) – (2) ; 2y = 40 y = 20 แทนค่า y = 20 ใน (2) จะได้ 2x + 20 = 80 2x = 60 x = 30 ดงั น้นั พกิ ดั ของจุดทเ่ี กดิ จากการตัดของเส้นตรง 2x + 3y = 120 กับ เสน้ ตรง 2x + y = 80 คอื (30, 20) ข้ันที่ 3 หาจดุ มุมของรปู หลายเหลีย่ มของอาณาบริเวณท่หี าคาตอบได้ ไดแ้ ก่ (0, 80) , (60, 0) และ (30, 20) ขนั้ ที่ 4 นาจุดมุมแทนคา่ ในฟังกช์ ันจุดประสงค์ ดังตารางต่อไปน้ี จดุ มุม (x, y) P = 60x + 40y (0, 80) 60(0) + 40(80) = 3,200 (60, 0) 60(60) + 40(0) = 3,600 (30, 20) 60(30) + 40(20) = 2,600 ดงั น้นั จดุ (30, 20) ใหค้ า่ P ต่าสดุ นน่ั คือ x = 30 และ y = 20 ใหค้ ่า P ตา่ สดุ เทา่ กบั 2,600

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้ เร่อื ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชุดท่ี 3 การหาค่าสงู สุดหรอื ค่าตา่ สดุ ของฟงั กช์ นั จุดประสงค์ 10 ตัวอย่างท่ี 3.3 จงหาคา่ สูงสดุ ของฟงั กช์ นั จดุ ประสงค์ P = 3x + y ภายใตอ้ สมการข้อจากดั x+y 5 2x + y  4 x0 y0 วิธที า เขียนกราฟของอสมการข้อจากดั พร้อมจดุ มุม ดังรูป จากรูปจะเห็นว่าพิกัดของจุดมุมที่ได้จากกราฟของอสมการข้อจากัดคือ (0, 4) , (0, 5) , (2, 0) , (5, 0) แทน คา่ x , y ดว้ ยพกิ ัดของจดุ มุมในฟังก์ชันจดุ ประสงค์ ดงั ตารางต่อไปนี้ จดุ มมุ (x, y) P = 3x + y (0, 4) 3(0) + 4 = 4 (0, 5) 3(0) + 5 = 5 (2, 0) 3(2) + 0 = 6 (5, 0) 3(5) + 0 = 15 ดังน้นั ค่าสูงสุดของ P เทา่ กับ 15 เมอ่ื x = 5 และ y = 0

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ เร่อื ง กาหนดการเชิงเส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาคา่ สงู สดุ หรือค่าต่าสดุ ของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 11 สรปุ ข้ันตอนการหาค่าสงู สดุ และค่าต่าสดุ ของฟงั ก์ชันจุดประสงคภ์ ายใต้อสมการ ข้อจา่ กดั 1. เขียนกราฟของอสมการข้อจา่ กดั ทุกอสมการ 2. เลอื กอาณาบริเวณทีเปน็ ไปได้ของคา่ ตอบ 3. หาพกิ ดั ของรปู หลายเหลียมของอาณาบริเวณของคา่ ตอบทีเปน็ ไปได้ 4. แทนตวั แปรของฟังก์ชนั จุดประสงค์ด้วยพิกัดของจดุ มุมต่าง ๆ ในข้อ 3 แลว้ พิจารณาผลทีสอดคลอ้ งกบั สงิ ทีตอ้ งการของฟังก์ชันจุดประสงค์

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชิงเส้น : ชดุ ที่ 3 การหาค่าสูงสดุ หรือคา่ ตา่ สุดของฟังก์ชนั จุดประสงค์ 12 เอกสารแนะแนวทางที่ 3.1 เรือ่ ง การหาค่าสงู สดุ หรือคา่ ต่าสุดของฟงั กช์ ันจดุ ประสงค์ จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ นักเรยี นสามารถหาค่าสงู สดุ หรอื คา่ ต่าสดุ ของฟังก์ชนั จุดประสงคภ์ ายใต้ อสมการข้อจากัดท่ีกาหนดให้ได้ คาสงั่ จงแสดงวิธกี ารหาคาตอบในแต่ละข้อต่อไปน้ี 1. จงหาคา่ ตา่ สดุ ของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ P = 4x + 5y อสมการข้อจากดั 2x + y  10 2x + 3y  12 x 0 y 0 วิธีทา ข้นั ที่ 1 เขียนกราฟของอสมการข้อจากดั จะได้อาณาบรเิ วณท่หี าคาตอบได้ ดังรปู

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้ เร่อื ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชดุ ที่ 3 การหาคา่ สงู สุดหรอื คา่ ตา่ สดุ ของฟังกช์ นั จุดประสงค์ 13 ขั้นที่ 2 หาพิกดั ของจุดมมุ ของอาณาบรเิ วณท่หี าคาตอบได้ ซึง่ ได้แก่ ……………………………….. หาพกิ ดั ของจุดที่เกิดจากการตดั ของเสน้ ตรง ………………………… กบั เส้นตรง …………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ดงั นัน้ พกิ ัดของจุดท่ีเกิดจากการตัดของเส้นตรง …………………… กบั เสน้ ตรง ……………………. คอื …………………………………. ข้นั ที่ 3 หาจดุ มุมของรูปหลายเหล่ียมของอาณาบริเวณที่หาคาตอบได้ ได้แก่ …………………………………………………………………………………………………………………………………….. ข้นั ท่ี 4 นาจดุ มุมแทนคา่ ในฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ ดังตารางต่อไปน้ี จดุ มมุ (x, y) P = …………………….. ดงั น้ัน จุด ………………….. ใหค้ ่า P ต่าสดุ นั่นคอื x = ………… และ y = …………. ให้ค่า P ต่าสุดเท่ากับ ……………..

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้ เรอ่ื ง กาหนดการเชิงเส้น : ชุดที่ 3 การหาคา่ สูงสดุ หรอื คา่ ต่าสุดของฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ 14 2. จงหาคา่ สงู สดุ และค่าต่าสุดของ P = 2x + 3y ภายใต้อสมการข้อจากัด x+y4 5x + 2y  25 0x 4 0y 5 วธิ ที า ข้นั ท่ี 1 เขยี นกราฟของอสมการข้อจากดั จะได้อาณาบรเิ วณทีห่ าคาตอบได้ ดงั รูป ขัน้ ท่ี 2 หาพิกัดของจดุ มมุ ของอาณาบริเวณทีห่ าคาตอบได้ ซงึ่ ไดแ้ ก่ ……………………………… หาพิกดั ของจุดทีเ่ กิดจากการตดั กันของเส้นตรง…………… ตัดกับเสน้ ตรง ………………….ดังนี้ …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ดังนน้ั จดุ ทีเ่ สน้ ตรง …………………………………….. ตัดกับเสน้ ตรง ………………………..คอื …………………. หาจดุ ท่เี ส้นตรง …………………………………….. ตดั กับเสน้ ตรง ……………………….. ดังนี้ …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ดังนั้น จดุ ท่เี สน้ ตรง …………………………………….. ตัดกับเส้นตรง ………………………..คอื ………………….

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้ เรอ่ื ง กาหนดการเชงิ เส้น : ชุดท่ี 3 การหาค่าสงู สดุ หรือค่าตา่ สดุ ของฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ 15 ขน้ั ที่ 3 หาจุดมุมของรปู หลายเหลี่ยมของอาณาบรเิ วณท่ีหาคาตอบได้ ได้แก่ …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ขน้ั ท่ี 4 นาจดุ มุมแทนค่าในฟังก์ชันจุดประสงค์ ดังตารางต่อไปนี้ จุดมุม (x, y) P = …………….. ดงั น้นั คา่ สงู สุดของ P คือ …………… เมื่อ x = ………… และ y = …………… ค่าต่าสดุ ของ P คือ …………… เม่ือ x = ………… และ y = ……………

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ เร่อื ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชดุ ท่ี 3 การหาคา่ สงู สุดหรือคา่ ตา่ สุดของฟงั กช์ นั จุดประสงค์ 16 เอกสารแนะแนวทางที่ 3.2 เรอื่ ง การหาคา่ สูงสดุ หรอื ค่าต่าสุดของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ นกั เรยี นสามารถหาค่าสงู สุดหรือคา่ ต่าสดุ ของฟังกช์ นั จุดประสงค์ภายใต้ อสมการขอ้ จากัดท่ีกาหนดให้ได้ คาส่ัง จงแสดงวิธกี ารหาคาตอบในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี 1. จงหาค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของ P = 1,500 – 8x – 10y ภายใต้อสมการข้อจากัด x + y  40 x + y  100 0  x  80 0  y  70 วธิ ที า เขยี นกราฟของอสมการขอ้ จากัดพร้อมจดุ มมุ ดงั รูป จากรปู จะเหน็ ว่าพกิ ดั ของจุดมมุ ท่ีได้จากกราฟของอสมการข้อจากัดคือ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เรอ่ื ง กาหนดการเชิงเส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาค่าสูงสดุ หรือค่าต่าสุดของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 17 แทน คา่ x , y ดว้ ยพิกัดของจดุ มุมในฟงั ก์ชันจดุ ประสงค์ ดงั ตารางต่อไปนี้ จุดมุม (x, y) P = 1,500 – 8x – 10y ดงั นนั้ คา่ สงู สดุ ของ P เทา่ กับ ………………… เมื่อ x = ………………. และ y = …………………. ค่าตา่ สุดของ P เท่ากับ ………………… เมื่อ x = ………………. และ y = ………………….

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้ เรอ่ื ง กาหนดการเชิงเส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาคา่ สงู สุดหรอื คา่ ต่าสุดของฟงั กช์ นั จดุ ประสงค์ 18 2. จงหาคา่ สงู สุดของ P = 300x + 500y ภายใต้อสมการขอ้ จากัด 2x + y  16 x + 3y  15 x + 2y  11 x0 y0 วธิ ีทา เขียนกราฟของอสมการข้อจากดั พร้อมจดุ มุม ดงั รูป จากรูปจะเหน็ ว่าพิกัดของจุดมมุ ท่ีไดจ้ ากกราฟของอสมการขอ้ จากัดคือ …………………………………………………………………………………………………………………………………………… แทน ค่า x , y ดว้ ยพกิ ัดของจุดมุมในฟังก์ชนั จุดประสงค์ ดงั ตารางต่อไปน้ี จุดมุม (x, y) P = ............................................ ดังน้ัน ค่าสงู สุดของ P เท่ากับ ………………… เมอ่ื x = ………………. และ y = ………………….

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เร่ือง กาหนดการเชิงเส้น : ชดุ ที่ 3 การหาคา่ สูงสดุ หรือคา่ ต่าสดุ ของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 19 ใบงานท่ี 6 เรื่อง การหาคา่ สูงสุดหรือค่าต่าสดุ ของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ นักเรียนสามารถหาคา่ สงู สดุ หรือค่าต่าสดุ ของฟังก์ชันจุดประสงค์ภายใต้ อสมการข้อจากดั ที่กาหนดให้ได้ คาส่ัง จงแสดงวธิ กี ารหาคาตอบในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ 1. จงหาค่าสงู สุดของ P = 20x + 10y ภายใต้อสมการข้อจากดั 2x + 4y  8 3x + y  3 x 0 y0 วิธที า เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดพร้อมจดุ มุม ดงั รปู พกิ ัดของจุดมมุ ของอาณาบรเิ วณท่ีหาคาตอบได้ คอื ..................................................................... ............................................................................................................................. .............................

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ เรอ่ื ง กาหนดการเชิงเส้น : ชุดท่ี 3 การหาคา่ สูงสุดหรอื คา่ ตา่ สดุ ของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 20 แทน ค่า x , y ดว้ ยพกิ ัดของจุดมุมใน P จดุ มมุ (x, y) P = …………………………… ดังน้ัน ค่าสงู สดุ ของ P เท่ากับ .............................. 2. จงหาคา่ ตา่ สุดของ P = 9x + 7y ภายใตอ้ สมการขอ้ จากดั 2x + 5y  50 10x + 10y  70 x 0 y0 วิธที า เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดพร้อมจดุ มุม ดังรูป พิกดั ของจุดมมุ ของอาณาบริเวณทีห่ าคาตอบได้ คือ ..................................................................... ............................................................................................................................. .............................

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เร่อื ง กาหนดการเชงิ เส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาคา่ สูงสุดหรือคา่ ตา่ สดุ ของฟังก์ชนั จุดประสงค์ 21 แทน ค่า x , y ด้วยพกิ ดั ของจุดมุมใน P จดุ มุม (x, y) P = …………………………… ดงั นน้ั ค่าตา่ สดุ ของ P เท่ากับ .............................. 3. จงหาคา่ สูงสดุ และคา่ ต่าสุดของ Z = 2x – y เมอื ก่าหนดอสมการข้อจา่ กดั ดังน้ี x+y  3 x–y  –3 x + 2y  – 2 x 2 y 0 วธิ ีทา เขียนกราฟของอสมการข้อจากดั พร้อมจดุ มุม ดงั รปู พกิ ดั ของจุดมมุ ของอาณาบรเิ วณทห่ี าคาตอบได้ คอื ..................................................................... ............................................................................................................................. .............................

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เร่อื ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชุดที่ 3 การหาคา่ สงู สดุ หรอื คา่ ต่าสุดของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ 22 แทน ค่า x , y ดว้ ยพกิ ัดของจดุ มุมใน Z จุดมมุ (x, y) Z = 2x – y ดังน้นั คา่ สูงสุดของ Z เทา่ กับ ................................. ค่าตา่ สดุ ของ Z เท่ากับ ...............................

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้ เร่อื ง กาหนดการเชงิ เส้น : ชุดที่ 3 การหาค่าสงู สุดหรือคา่ ต่าสดุ ของฟังกช์ นั จุดประสงค์ 23 เร่ือง การหาคา่ สงู สดุ หรือคา่ ต่าสดุ ของฟังกช์ นั จุดประสงค์ จุดประสงค์การเรยี นรู้ นักเรียนสำมำรถหำคำ่ สูงสดุ หรอื คำ่ ต่ำสุดของฟงั ก์ชันจดุ ประสงค์ภำยใต้ อสมกำรข้อจำกัดที่กำหนดให้ได้ คาชี้แจง แบบทดสอบหลงั เรียนชดุ นเ้ี ป็นข้อสอบปรนยั ตวั เลอื ก 4 ตัวเลือก จำนวน 10 ขอ้ คะแนน เต็ม 10 คะแนน เวลำในกำรทำข้อสอบ 15 นำที คาส่งั ให้นักเรียนทำเครื่องหมำย  ลงในกระดำษคำตอบในข้อท่ถี กู ต้องเพยี งข้อเดียว กำหนดฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ P = 3x + 2y และอสมกำรข้อจำกดั x + y  6 , x + 2y  8 , x  0 , y  0 เขยี นกรำฟได้ดังรปู จงตอบคำถำมข้อ 1 – 2 1. พิกัดของจดุ A คือข้อใด ข. (4 , 2 ) ก. (2 , 4 ) ง. (6 , 0 ) ค. (3 , 2 )

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้ เรื่อง กาหนดการเชิงเสน้ : ชดุ ที่ 3 การหาคา่ สงู สุดหรอื คา่ ต่าสุดของฟงั กช์ นั จดุ ประสงค์ 24 2. คำ่ สูงสุดของ P เทำ่ กบั ข้อใด ข. 16 ก. 8 ง. 24 ค. 18 กำหนดฟังกช์ ันจดุ ประสงค์ P = 1,500 – 8x – 10y และอสมกำรจำกัด x + y  100 , 0  x  80 , 0  y  70 จงตอบคำถำมข้อ 3 – 6 3. จดุ ในข้อใดตอ่ ไปนี้ไม่เปน็ จุดมมุ ของอำณำบริเวณท่ีเปน็ ไปได้ของคำตอบ ก. (0 , 40) ข. (80 , 20) ค. (0 , 100) ง. (40 , 0) 4. ค่ำสงู สดุ ของ P เท่ำกับข้อใด ก. 860 ข. 1,180 ค. 800 ง. 1,200 5. ถำ้ (a , b) เปน็ จุดมุมที่ได้จำกอสมกำรข้อจำกัดและให้ค่ำ P สงู ท่สี ุด แลว้ a + b เทำ่ กับข้อใด ก. 40 ข. 70 ค. 80 ง. 100 6. จุดมมุ ของอำณำบรเิ วณท่เี ปน็ ไปได้ของคำตอบท่ีทำให้ P มีค่ำต่ำสุด ตรงกบั ข้อใด ก. (0 , 40) ข. (0 , 70) ค. (40 , 0) ง. (30 , 70) กำหนดฟงั กช์ นั จดุ ประสงค์ P = 5x + 2y และ อสมกำรจำกัด 2x + 5y  20 , 2x + 3y  16 , x  0 , y  0 จงตอบคำถำมข้อ 7 – 8 จงตอบคำถำมข้อ 3 – 6 7. ค่ำสูงสดุ ของ P เท่ำกับขอ้ ใด ก. 29 ข. 40 ค. 50 ง. 59

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ เร่ือง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชุดท่ี 3 การหาคา่ สงู สดุ หรือค่าต่าสดุ ของฟงั กช์ นั จุดประสงค์ 25 8. จุดมุมของอำณำบริเวณท่เี ปน็ ไปได้ของคำตอบที่ทำให้ P มีค่ำสูงที่สุด ตรงกับข้อใด ก. (0 , 4) ข. (10 , 0) ค. (5 , 2) ง. (8 , 0) 9. กำหนดฟังก์ชนั จุดประสงค์ C = 5x + 3y และอสมกำรจำกัด 2x + 4y  80 , 5x + 2y  80 , x  0 , y  0 จงหำค่ำตำ่ สุดของ C ก. 85 ข. 95 ค. 110 ง. 120 10. กำหนดสมกำรจุดประสงค์ P = 7x + 5y และอสมกำรข้อจำกัด คือ 2x + y  40 , 2x + 3y  60 , 0  x  24 , y  0 ถำ้ (a , b) เป็นจุดมมุ ทไ่ี ด้จำกอสมกำรข้อจำกัดและให้ค่ำ P น้อยท่สี ุด แล้ว a + b เทำ่ กับข้อใด ก. 28 ข. 25 ค. 24 ง. 20

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชงิ เส้น : ชุดท่ี 3 การหาคา่ สงู สดุ หรือคา่ ตา่ สุดของฟังกช์ นั จุดประสงค์ 26 กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรยี น ชดุ ที่ 3 การหาค่าสูงสดุ หรอื คา่ ต่าสุดของฟงั ก์ชันจุดประสงค์ ชอ่ื – นามสกุล ...................................................................ชั้น.................เลขที่....... ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนนเต็ม คะแนนทไี่ ด้ ผลการประเมิน 10 ผา่ น ไมผ่ า่ น เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนแบบทดสอบหลงั เรียน ให้ 1 คะแนน เม่ือนักเรยี นเลือกคำตอบได้ถูกต้อง ให้ 0 คะแนน เมื่อนักเรยี นเลอื กคำตอบผิด เกณฑก์ ารผ่านประเมนิ ผู้ผ่านเกณฑ์ประเมนิ ต้องไดค้ ะแนนรอ้ ยละ 70 ของคะแนนเต็มขึน้ ไป

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชุดท่ี 3 การหาคา่ สูงสุดหรอื คา่ ต่าสดุ ของฟงั กช์ นั จุดประสงค์ 27 แบบบันทึกคะแนน ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ เรื่อง กาหนดการเชงิ เส้น ชุดที่ 3 การหาค่าสงู สดุ หรอื ค่าต่าสดุ ของฟังก์ชนั จดุ ประสงค์ ช่อื – นามสกลุ ...................................................................ช้นั .................เลขที.่ ...... ใบงาน คะแนนเต็ม คะแนนทไ่ี ด้ ผลการประเมนิ ใบงานท่ี 6 15 ผา่ น ไม่ผ่าน แบบทดสอบ คะแนนเตม็ คะแนนทไ่ี ด้ หมายเหตุ แบบทดสอบกอ่ นเรยี น 10 แบบทดสอบหลังเรยี น 10 คะแนนความกา้ วหนา้ คิดเป็นร้อยละ เกณฑ์การผ่านประเมิน นักเรียนตอ้ งไดค้ ะแนนร้อยละ 70 ขนึ้ ไป จงึ ถือว่า “ผ่านเกณฑ์”

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้ เร่อื ง กาหนดการเชงิ เส้น : ชุดท่ี 3 การหาค่าสูงสุดหรอื ค่าต่าสดุ ของฟังก์ชนั จุดประสงค์ 28 ภาคผนวก

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ เร่อื ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชดุ ที่ 3 การหาค่าสงู สดุ หรือค่าตา่ สดุ ของฟงั กช์ นั จดุ ประสงค์ 29 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ขอ้ 10. ง ข้อ 7. ค ขอ้ 6. ง ข้อ 4. ข ขอ้ 5. ก ขอ้ 3. ก ขอ้ 2. ค ขอ้ 1. ข

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ เรือ่ ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชุดที่ 3 การหาคา่ สูงสดุ หรือคา่ ต่าสดุ ของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ 30 แนวตอบเอกสารแนะแนวทางที่ 3.1 เรอื่ ง การหาคา่ สงู สดุ หรอื ค่าตา่ สดุ ของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ จุดประสงค์การเรียนรู้ นกั เรยี นสามารถหาคา่ สูงสดุ และค่าตา่ สุดของฟังกช์ ันจุดประสงค์ภายใต้ อสมการข้อจากัดท่ีกาหนดให้ได้ คาสง่ั จงแสดงวธิ ีการหาคาตอบในแต่ละข้อต่อไปน้ี 1. จงหาค่าตา่ สดุ ของฟังกช์ ันจุดประสงค์ P = 4x + 5y อสมการขอ้ จากัด 2x + y  10 2x + 3y  12 x 0 y 0 วธิ ที า ข้ันที่ 1 เขยี นกราฟของอสมการขอ้ จากดั จะได้อาณาบรเิ วณทหี่ าคาตอบได้ ดังรปู

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เร่อื ง กาหนดการเชิงเส้น : ชดุ ที่ 3 การหาค่าสงู สุดหรือค่าตา่ สดุ ของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 31 ขน้ั ท่ี 2 หาพิกดั ของจดุ มุมของอาณาบรเิ วณทหี่ าคาตอบได้ ซ่ึงไดแ้ ก่ (0, 10) , (6, 0) หาพิกัดของจุดทเ่ี กิดจากการตดั ของเสน้ ตรง 2x + 3y = 120 กับ เส้นตรง 2x + y = 80 2x + y = 10 ........................(1) 2x + 3y = 12 ........................(2) (2) – (1) ; 2y = 2 y=1 แทนคา่ y = 1 ใน (1) จะได้ 2x + 1 = 10 2x = 9 x = 4.5 ดังน้นั พกิ ัดของจุดท่เี กิดจากการตดั ของเส้นตรง 2x + y = 10 กับ เสน้ ตรง 2x + 3y = 12 คือ (4.5, 1) ขน้ั ท่ี 3 หาจุดมุมของรูปหลายเหลย่ี มของอาณาบริเวณท่ีหาคาตอบได้ ไดแ้ ก่ (0, 10) , (4.5, 1) และ (6, 0) ข้นั ท่ี 4 นาจดุ มุมแทนค่าในฟังกช์ ันจุดประสงค์ ดังตารางต่อไปน้ี จดุ มุม (x, y) P = 4x + 5y (0, 10) 4(0) + 5(10) = 50 (4.5, 1) 4(4.5) + 5(1) = 23 (6, 0) 4(6) + 5(0) = 24 ดังนนั้ จุด (4.5, 1) ใหค้ ่า P ต่าสดุ น่ันคือ x = 4.5 และ y = 1 ใหค้ า่ P ตา่ สุดเท่ากบั 23

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชุดท่ี 3 การหาค่าสงู สุดหรือคา่ ตา่ สดุ ของฟังกช์ นั จุดประสงค์ 32 2. จงหาคา่ สงู สดุ และค่าต่าสุดของ P = 2x + 3y ภายใตอ้ สมการข้อจากัด x+y4 5x + 2y  25 0x 4 0y 5 วธิ ที า ข้ันท่ี 1 เขียนกราฟของอสมการขอ้ จากดั จะได้อาณาบรเิ วณทหี่ าคาตอบได้ ดังรูป ขน้ั ที่ 2 หาพิกัดของจดุ มมุ ของอาณาบริเวณทห่ี าคาตอบได้ ซึง่ ได้แก่ (0, 4) , (0, 5) , (4, 0) หาพกิ ดั ของจุดทเี่ กิดจากการตัดกนั ของเสน้ ตรง 5x + 2y = 25 ตัดกับเส้นตรง y = 5 ดังนี้ แทน y = 5 ในสมการ 5x + 2y = 25 จะได้ 5x + 2(5) = 25 5x = 15 x=3 ดังนน้ั จดุ ท่ีเสน้ ตรง 5x + 2y = 25 ตัดกับเสน้ ตรง y = 5 คือ (3, 5) หาจุดทเี่ ส้นตรง 5x + 2y = 25 ตดั กบั เสน้ ตรง x = 4 ดังน้ี แทน x = 4 ในสมการ 5x + 2y = 25 จะได้ 5(4) + 2y = 25 2y = 5 y = 2.5 ดังนัน้ จดุ ท่เี สน้ ตรง 5x + 2y = 25 ตัดกับเส้นตรง y = 5 คอื (4, 2.5)

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เร่ือง กาหนดการเชิงเส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาค่าสงู สดุ หรอื ค่าต่าสุดของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 33 ขั้นที่ 3 หาจุดมุมของรูปหลายเหลยี่ มของอาณาบริเวณทห่ี าคาตอบได้ ได้แก่ (0, 4) , (0, 5) , (3, 5) , (4, 2.5) และ (4, 0) ขัน้ ท่ี 4 นาจดุ มุมแทนค่าในฟังกช์ นั จุดประสงค์ ดังตารางต่อไปน้ี จดุ มมุ (x, y) P = 2x + 3y (0, 4) 2(0) + 3(4) = 12 (0, 5) 2(0) + 3(5) = 15 (3, 5) 2(3) + 3(5) = 21 (4, 2.5) 2(4) + 3(2.5) = 15.5 (4, 0) 2(4) + 3(0) = 8 ดงั น้ัน ค่าสงู สดุ ของ P คือ 21 เม่ือ x = 3 และ y = 5 ค่าตา่ สุดของ P คือ 8 เมื่อ x = 4 และ y = 0

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชิงเสน้ : ชุดท่ี 3 การหาค่าสูงสุดหรือคา่ ต่าสดุ ของฟงั กช์ นั จุดประสงค์ 34 แนวตอบเอกสารแนะแนวทางท่ี 3.2 เรอ่ื ง การหาค่าสงู สดุ หรอื คา่ ต่าสดุ ของฟังก์ชันจดุ ประสงค์ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ นักเรยี นสามารถหาคา่ สงู สุดและค่าต่าสดุ ของฟงั ก์ชันจุดประสงคภ์ ายใต้ อสมการขอ้ จากัดท่ีกาหนดให้ได้ คาสัง่ จงแสดงวิธีการหาคาตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. จงหาคา่ สงู สุดและคา่ ตา่ สดุ ของ P = 1,500 – 8x – 10y ภายใตอ้ สมการข้อจากัด x + y  40 x + y  100 0  x  80 0  y  70 วธิ ีทา เขียนกราฟของอสมการข้อจากดั พร้อมจดุ มมุ ดงั รูป จากรปู จะเห็นวา่ พิกดั ของจดุ มมุ ท่ีได้จากกราฟของอสมการข้อจากดั คือ (0, 40) , (0, 70) , (30, 70) , (80, 20) , (80, 0) และ (40, 0)

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้ เร่ือง กาหนดการเชงิ เส้น : ชุดที่ 3 การหาคา่ สงู สุดหรือคา่ ต่าสดุ ของฟงั ก์ชนั จุดประสงค์ 35 แทน คา่ x , y ด้วยพิกัดของจุดมมุ ในฟงั ก์ชันจุดประสงค์ ดังตารางต่อไปน้ี จดุ มมุ (x, y) P = 1,500 – 8x – 10y (0, 40) 1,500 – 8(0) – 10(40) = 1,100 (0, 70) 1,500 – 8(0) – 10(70) = 800 (30, 70) 1,500 – 8(30) – 10(70) = 560 (80, 20) 1,500 – 8(80) – 10(20) = 660 (80, 0) 1,500 – 8(80) – 10(0) = 860 (40, 0) 1,500 – 8(40) – 10(0) = 1,180 ดงั น้ัน ค่าสูงสุดของ P เท่ากับ 1,180 เมื่อ x = 40 และ y = 0 ค่าต่าสุดของ P เท่ากับ 560 เมือ่ x = 30 และ y = 70

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชิงเสน้ : ชดุ ที่ 3 การหาค่าสงู สดุ หรือคา่ ตา่ สุดของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 36 2. จงหาค่าสูงสุดของ P = 300x + 500 ภายใต้อสมการข้อจากดั 2x + y  16 x + 3y  15 x + 2y  11 x0 y0 วธิ ีทา เขียนกราฟของอสมการขอ้ จากดั ได้ดงั รปู จากรูปจะเห็นวา่ พิกัดของจดุ มมุ ท่ีไดจ้ ากกราฟของอสมการข้อจากดั คือ (0, 0) , (0, 5) , (3, 4) , (7, 2) , (8, 0) แทนค่าพกิ ดั ของจดุ มมุ ที่ไดจ้ ากอสมการข้อจากัดในฟังก์ชันจุดประสงค์ จุดมมุ (x,y) P = 300x + 500y (0,0) 300(0) + 500(0) = 0 (0,5) 300(0) + 500(5) = 2,500 (3,4) 300(3) + 500(4) = 2,900 (7,2) 300(7) + 500(2) = 3,100 (8,0) 300(8) + 500(0) = 2,400 ดังน้ัน ค่าสงู สุดของ P เท่ากับ 3,100 เมื่อ x = 7 และ y = 2

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เรอ่ื ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชุดที่ 3 การหาคา่ สงู สดุ หรอื ค่าต่าสดุ ของฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ 37 เฉลยใบงานท่ี 6 เร่ือง การหาค่าสงู สุดหรอื คา่ ตา่ สุดของฟงั กช์ ันจดุ ประสงค์ จุดประสงค์การเรียนรู้ นกั เรียนสามารถหาค่าสูงสดุ และคา่ ตา่ สดุ ของฟังกช์ ันจดุ ประสงคภ์ ายใต้ อสมการขอ้ จากดั ท่ีกาหนดให้ได้ คาสงั่ จงแสดงวิธกี ารหาคาตอบในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี 1. จงหาค่าสงู สุดของ P = 20x + 10y ภายใตอ้ สมการข้อจากดั 2x + 4y  8 3x + y  3 x 0 y0 วธิ ีทา เขยี นกราฟของอสมการข้อจากัดพร้อมจดุ มุม ดงั รปู  พิกดั ของจดุ มุมของอาณาบริเวณท่ีหาคาตอบได้2 9 คือ (0, 0) , (0, 2) , 5 , 5 , (1, 0)

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เรื่อง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชดุ ท่ี 3 การหาค่าสงู สุดหรือค่าต่าสดุ ของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ 38 แทน คา่ x , y ดว้ ยพิกดั ของจุดมมุ ใน P จดุ มุม (x, y) P = 20x + 10y (0, 0) 20(0) + 10(0) = 0 (1, 0) 20(1) + 10(0) = 20 (0, 2) 20(0) + 10(2) = 20 2 9  2 , 9  20( 5 ) + 10( 5 ) = 26 5 5 ดังนน้ั คา่ สูงสดุ ของ P เทา่ กับ 26 2. จงหาค่าต่าสดุ ของ P = 9x + 7y ภายใต้อสมการข้อจากัด 2x + 5y  50 10x + 10y  70 x 0 y0 วธิ ที า เขียนกราฟของอสมการข้อจากัดพร้อมจุดมุม ดังรูป พิกดั ของจดุ มมุ ของอาณาบริเวณท่ีหาคาตอบได้ คอื (0, 7) , (7, 0) , (0, 10), (25, 0)

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชิงเสน้ : ชดุ ที่ 3 การหาคา่ สูงสุดหรอื คา่ ต่าสดุ ของฟงั กช์ นั จุดประสงค์ 39 แทน ค่า x , y ดว้ ยพกิ ดั ของจุดมมุ ใน P จุดมุม (x, y) P = 9x + 7y (0, 7) (0, 10) 9(0) + 7(7) = 49 (7, 0) 9(0) + 7(10) = 70 (25,0) 9(7) + 7(0) = 63 9(25) + 7(0) = 225 ดังนัน้ คา่ ตา่ สดุ ของ P เท่ากับ 49 3. จงหาค่าสงู สุดและค่าต่าสุดของ Z = 2x – y เมอื ก่าหนดอสมการข้อจา่ กัด ดังน้ี x+y  3 x–y  –3 x + 2y  – 2 x 2 y 0 วธิ ีทา เขียนกราฟของอสมการขอ้ จากดั พร้อมจุดมุม ดังรูป  พิกดั ของจุดมุมของอาณาบรเิ วณที่หาคาตอบได้ คอื (– 2, 0) , (2, 0) , (2, 1) , (0, 3) ,8 , 1 3 3

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชงิ เสน้ : ชุดที่ 3 การหาคา่ สงู สดุ หรอื คา่ ต่าสุดของฟังกช์ นั จุดประสงค์ 40 แทน ค่า x , y ด้วยพิกดั ของจุดมมุ ใน Z จุดมมุ (x, y) Z = 2x – y (2, 0) 2(2) – 0 = 4 (–2, 0) 2(–2) – 0 = – 4 (2, 1) 2(2) – 1 = 3 (0, 3) 2(0) – 3 = – 3 8 1 8 1 17 (  3 , 3 ) 2(  3 ) – 3 =  3 ดงั นั้น คา่ สงู สุดของ Z เท่ากับ 4 17 3 ค่าตา่ สุดของ Z เทา่ กับ 

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้ เรอื่ ง กาหนดการเชงิ เส้น : ชดุ ท่ี 3 การหาค่าสูงสดุ หรือค่าตา่ สุดของฟงั ก์ชนั จดุ ประสงค์ 41 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน ข้อ 10. ง ข้อ 9. ข ขอ้ 8. ง ข้อ 7. ข ข้อ 6. ง ข้อ 3. ค ข้อ 2. ก ข้อ 5. ก ข้อ 1. ง ขอ้ 4. ข

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้ เรอ่ื ง กาหนดการเชิงเส้น : ชุดที่ 3 การหาค่าสูงสุดหรือคา่ ตา่ สดุ ของฟงั กช์ นั จดุ ประสงค์ 42 บรรณานกุ รม กนกวลี อุษณกรกลุ . (2548). แบบฝึกหดั และประเมินผลการเรยี นรู้ คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ม.6 เลม่ 2. กรงุ เทพมหานคร : เดอะบุ๊ค. คณาจารย์แม็ค. (2549). สรปุ เข้มคณติ ศาสตร์พ้ืนฐานและเพิ่มเตมิ ม.6. กรงุ เทพฯ : แมค็ . จารสั อนิ สม. (2547). คมู่ ือคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ เลม่ 2 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6 ภาคเรียน ท่ี 2. กรงุ เทพฯ : แมค็ . ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. (ม.ป.ป.) . หนงั สือเรยี นเสรมิ มาตรฐานแม็ค คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม ช้ัน มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 ภาคเรียนท่ี 2. กรงุ เทพฯ : แม็ค. ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2557) หนังสือเรยี นรายวิชาเพิม่ เติม คณิตศาสตร์ เล่ม 6 ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 4 – 6 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ตาม หลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. พมิ พ์คร้งั ท่ี 6. กรงุ เทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว. ______, (2554). คมู่ ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. พมิ พ์ครง้ั ที่ 1. กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพรา้ ว. แสงเดือน อาตมยี นันท์. (2557). การพัฒนามโนทศั นแ์ ละความสามารถในการแกป้ ญั หาทาง คณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6 โดยการจัดการเรยี นรู้แบบซิปปา. ปรญิ ญา นิพนธก์ ารศึกษาศาสตรมหาบัณฑิต บณั ฑติ วิทยาลัย มหาวิทยาลัยศิลปากร.