หลักการนับ

บทที่ 1 หลักการนับเบื้องต้น (Elementary Counting Techniques) 1.1 กฎเกณฑก์ ารนบั เบอ้ื งตน้ หลกั การบวก ถา้ การทํางานหน่งึ มวี ิธีการทาํ k วธิ ี คือ วธิ ีท่ี 1 ถึงวิธที ่ี k โดยที่ การทาํ งานวิธีท่ี 1 มีวิธที าํ n1 วธิ ี การทํางานวธิ ีท่ี 2 มวี ธิ ีทํา n2 วธิ ี  การทาํ งานวธิ ีที่ k มีวธิ ที ํา n วธิ ี k และวธิ ีการทํางานแต่ละวธิ ไี ม่เกดิ ขน้ึ พรอ้ มกันแล้ว จาํ นวนวิธีทาํ งานน้เี ท่ากบั n1 + n2 + ... + nk วิธี ตวั อยา่ ง 1.1.1 หนังสอื กองหนง่ึ มีหนังสอื คณิตศาสตรท์ แ่ี ตกตา่ งกนั 5 เล่ม หนังสือเคมที ่แี ตกตา่ งกนั 4 เล่ม และหนงั สอื ภาษาไทยทแ่ี ตกตา่ งกนั 3 เลม่ จงหาจํานวนวิธีท่ีจะหยบิ หนงั สือ 1 เล่ม จากหนงั สอื กองน้ี วิธที าํ หลกั การคณู ถา้ การทํางานอยา่ งหนึง่ ประกอบด้วยการทํางาน k ขั้นตอน คอื ขนั้ ตอนที่ 1 ถงึ ขนั้ ตอนท่ี k ตามลาํ ดับ โดยท่ี การทาํ งานขน้ั ตอนท่ี 1 มีวธิ ีทํา n1 วธิ ี การทาํ งานขนั้ ตอนท่ี 2 มีวิธีทาํ n2 วิธี การทาํ งานขั้นตอนที่ 3 มีวธิ ที ํา n3 วิธี  การทาํ งานขนั้ ตอนที่ k มีวธิ ที ํา n วธิ ี k และวธิ ีการทํางานแต่ละวิธแี ตกตา่ งกัน แลว้ จาํ นวนวิธีทาํ งานนี้เท่ากบั n1  n2  nk วิธี ตวั อยา่ ง 1.1.2 บรษิ ทั ผลิตเสอ้ื ผ้าสําเร็จรปู แห่งหนง่ึ ผลิตเส้อื 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถ้า จะจัดแต่งตวั ให้กบั หนุ่ เพ่อื นําไปโชว์หนา้ ร้าน จะสามารถแตง่ เป็นชุดต่าง ๆ กัน ได้ก่ชี ดุ วธิ ที าํ

ตัวอยา่ ง 1.1.3 มีถนน 3 สาย จากบ้านของนายเฮง ไปยังวงเวียนแหง่ หนง่ึ และจากวงเวียนนี้ จะมถี นน 4 สายท่จี ะไปมหาวทิ ยาลยั ถ้านายเฮงต้องการออกเดินทางจากบ้านของตัวเองไปยังมหาวทิ ยาลยั โดยให้ ผา่ นวงเวียนด้วย จะเลือกเสน้ ทางได้ทงั้ หมดกวี่ ิธี วธิ ที ํา ตวั อยา่ ง 1.1.4 ถ้าต้องการสรา้ งคําทปี่ ระกอบด้วยตัวอักษร 4 ตวั ซึ่งไมซ่ ้าํ กัน และเลือกตัวอกั ษรมาจากคําวา่ RATCHANIKORN จะสร้างได้ทง้ั หมดก่ีคํา เมื่อคําทส่ี ร้างไม่จาํ เปน็ ตอ้ งมีความหมาย และ 1) ตวั อักษรในคําน้ันมีพยัญชนะอยา่ งนอ้ ย 1 ตัว 2) ตวั อกั ษรในคาํ นน้ั มีสระอย่างน้อย 1 ตัว 3) คําทส่ี รา้ งขน้ึ ตอ้ งข้นึ ต้นดว้ ยสระ แตล่ งทา้ ยดว้ ยพยัญชนะ วธิ ที ํา ตวั อยา่ ง 1.1.5 ต้องการสร้างจํานวนทม่ี สี ามหลักจากเลขโดด 2, 3, 5, 6, 7 และ 9 จะสรา้ งได้ทงั้ หมดกี่ จาํ นวน โดยที่ 1) ไมม่ ีเง่อื นไขใดเพมิ่ เติม 2) เลขแตล่ ะหลกั ไมซ่ ํา้ กัน 3) จํานวนทส่ี รา้ งมีค่าน้อยกว่า 500 4) เปน็ จาํ นวนคู่ 5) เป็นจาํ นวนคแ่ี ละเลขแตล่ ะหลักไม่ซ้ํากนั 6) มีคา่ มากกว่า 500 และหารดว้ ย 5 ลงตัว วิธที ํา

ตวั อยา่ ง 1.1.6 มจี ดหมายท่แี ตกตา่ งกัน 4 ฉบบั ต้องการใสจ่ ดหมายท้ังหมดลงในตไู้ ปรษณยี ์ ซง่ึ มที ้งั หมด 6 ตู้ จะมจี าํ นวนวิธีใส่จดหมายทงั้ หมดกวี่ ธิ ี เม่ือ 1) ไมม่ ีเง่อื นไขใดเพม่ิ เติม 2) จดหมายแตล่ ะฉบบั ต้องไม่ใส่ซา้ํ ตกู้ ัน 3) มจี ดหมายอย่างนอ้ ย 2 ฉบบั ทีใ่ สใ่ นตใู้ บเดียวกัน 4) อาจจะมีการใส่ต้ซู ้าํ กนั แตจ่ ะใส่ตูเ้ ดียวกนั ทง้ั 4 ฉบับไมไ่ ด้ วิธที ํา แบบฝกึ หดั ๑.๑ 1. ชายคนหน่ึงยนื อย่ทู ่ีจดุ 0 บนเสน้ จาํ นวนในแนวนอน ถา้ ความยาวของแต่ละกา้ วของชายผนู้ เี้ ทา่ กบั 1 หนว่ ย ใหช้ ายผู้นก้ี า้ วไปทางขวามือหรือซา้ ยมือ เขาจะหยุดก้าว เมือ่ เขากา้ วไปเปน็ จํานวน 5 กา้ ว หรือเขา อยทู่ ่ีตําแหน่ง 3 หรือ -2 เทา่ นน้ั เขาจะมีวิธกี ้าวไดท้ ง้ั หมดกี่วธิ ี 2. จากแผนภาพท่กี าํ หนดใหต้ ่อไปน้ี กาํ หนดให้ A, B, C, D, E, F เป็นเกาะ และเส้นตรงทล่ี ากเชื่อมเกาะ เหลา่ น้คี ือสะพาน ลุงโอต๊ ตอ้ งการออกเดนิ ทางจากเกาะ A ไปยังเกาะต่างๆ โดยมีกติกาว่า ลุงโอต๊ จะหยดุ พักรับประทานอาหาร กต็ ่อเมอื่ เขาไมส่ ามารถเดินตอ่ ไปได้อกี แลว้ นอกเสยี จากว่าจะต้องเดินซํ้าสะพานอกี ครงั้ จงหาจํานวนวิธกี ารเดินของลงุ โอต๊ ก่อนท่เี ขาจะหยุดรบั ประทานอาหาร A  B  C  D  E  F  3. เด็กนกั เรยี นคนหน่ึงต้องการเลอื กเรียนภาษาต่างประเทศ 1 ภาษา จาก 5 ภาษา และตอ้ งการเลอื กเรยี น วทิ ยาศาสตร์ 1 สาขา จาก 4 สาขา เด็กคนนจี้ ะมีวธิ กี ารเลอื กเรยี นทั้งหมดกแ่ี บบ 4. ถ้าต้องการใส่จดหมาย 5 ฉบบั ลงในตู้ไปรษณีย์ 3 ตู้ จะมีวธิ ีการใสจ่ ดหมายทั้งหมดกวี่ ิธี 5. ในการเลือกประธานนกั เรียน รองประธานนักเรยี น และเหรัญญิก ตาํ แหนง่ ละ 1 คน ของโรงเรยี นแหง่ หน่ึง มีผูส้ มคั รทงั้ หมด 10 คน โดยที่แต่ละคนจะทําหน้าท่ตี าํ แหนง่ ใดกไ็ ด้ อยากทราบว่าจะมวี ิธีการเลอื กคน 3 คน เข้าทํางานในหนา้ ท่ีดงั กลา่ วได้กวี่ ธิ ี 6. ห้องเรยี นห้องหนง่ึ มีประตู 4 ประตู นายไพโรจน์และนายสรายุทธ ต้องการเดนิ เข้าและออกจากห้องน้ี อยากทราบวา่ จะมวี ิธีการเดินเขา้ และออกของทง้ั 2 คนก่วี ธิ ี เม่อื

6.1) ทง้ั 2 คน จะเข้าและออกประตใู ดก็ได้ 6.2) แต่ละคนเมอ่ื เข้าประตใู ด แลว้ ออกประตูนน้ั ไมไ่ ด้ 6.3) ทัง้ 2 คน จะใชว้ ธิ ีการเขา้ และออกเหมือนกนั ไมไ่ ด้ 7. มีลูกบอลทแ่ี ตกตา่ งกนั 4 ลูก ตอ้ งการนาํ ลกู บอลเหลา่ น้ไี ปใสก่ ลอ่ ง 5 กลอ่ งที่แตกต่างกัน อยากทราบว่าจะ มีวิธกี ารใส่ของลูกบอลทง้ั 4 ลูกกว่ี ิธี เมอื่ 7.1) ลกู บอลแตล่ ะลูกจะใส่กล่องใดกไ็ ด้ 7.2) กล่องแตล่ ะใบจะรับลกู บอลได้ไมเ่ กนิ 1 ลูก 7.3) ลูกบอลแตล่ ะลูกอาจจะอยใู่ นกล่องเดียวกันได้ แต่จะอยใู่ นกลอ่ งเดียวกันทัง้ 4 ลูกไม่ได้ 7.4) กลอ่ งใบแรกเทา่ นน้ั ทสี่ ามารถรบั ลูกบอลได้ไม่เกนิ 1 ลกู 8. กลอ่ งใบหน่งึ มีตัวเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 หมายเลขละ 2 ตวั และมตี วั เลข 6, 7 และ 8 หมายเลขละตวั น้องเฮงหยบิ ตัวเลขออกมา 2 ตวั โดยหยิบทลี ะตวั นาํ ตวั เลขตวั แรกวางในตําแหน่งหลกั หนว่ ย และตัวเลข ตวั ที่สองวางในตาํ แหนง่ หลักสบิ อยากทราบวา่ น้องเฮงจะไดจ้ ํานวนทม่ี ี 2 หลกั ดังกลา่ วทัง้ หมดกจ่ี ํานวน 1.2 วธิ เี รยี งสบั เปลยี่ น (Permutation) 1.2.1 แฟกทอเรยี ล บทนยิ าม ถา้ n เป็นจาํ นวนเต็มบวก แฟกทอเรยี ล n หมายถึง ผลคณู ของจาํ นวนเต็มบวกตง้ั แต่ 1 ถึง n เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n! จากนิยามจะไดว้ ่า n! 1 2  3 n  2 n 1 n หรอื n! n  n 1 n  2 3 2 1 หมายเหตุ 1. สญั ลกั ษณ์ n! อ่านวา่ “แฟกทอเรียลเอ็น” หรือ “เอ็นแฟกทอเรยี ล” กไ็ ด้ 2. บทนิยามของ n! กลา่ วถงึ เฉพาะ n ที่เป็นจํานวนเต็มบวก แต่บางคร้งั เราจาํ เปน็ ตอ้ งใช้ 0! จึงตอ้ งกําหนดคา่ ไว้ดว้ ย โดยท่ี 0! = 1 3. ในบางคร้งั การเขยี น n! ในรปู ของผลคณู ของจํานวนเต็มบวก อาจจะไมจ่ าํ เปน็ ตอ้ งเขียน จนถึง 1 แต่ถ้าเราต้องการเขียนและหยุดกอ่ นทจี่ ะถึง 2 เราจะต้องเขยี นเครือ่ งหมาย ! กาํ กบั ไวห้ ลงั ตัวเลขตวั สุดทา้ ย เพือ่ แสดงวา่ ยังสามารถเขยี นเป็นผลคณู ตอ่ ไปไดอ้ ีกถา้ ต้องการ เช่น 8! = 8 ×7 ×6 ×5 ! 7! = 7 ×6 ×5 ×4 ×3 ! 6! = 6 ×5 ×4 ! ตัวอยา่ ง 1.2.1 จงหาค่าของ 4 !8 ! 6! วธิ ที ํา

ตัวอยา่ ง 1.2.2 จงหาคา่ ของ n จากสมการ (n n ! = 380 - 2) ! วิธที าํ ตวั อยา่ ง 1.2.3 จงเขยี นผลคณู ตอ่ ไปน้ใี นรปู แฟกทอเรยี ล วิธที าํ 1) n(n - 1)(n - 2)(n - 3) 2) n(n 2 - 1)(n 2 - 4)(n 2 - 9) ตัวอยา่ ง 1.2.4 จงเขียนจาํ นวนในขอ้ ต่อไปนใี้ นรปู ซึ่งไมม่ แี ฟกทอเรียล วธิ ที ํา 1) n ! (n - 4) ! 2) (n + 2) ! (n - 1) ! 3) (n - 1) !(n + 2) ! n !(n - 2) !

ตัวอยา่ ง 1.2.5 จงหาคา่ n จากสมการในขอ้ ต่อไปนี้ วิธที าํ 1) (n - n! = n! 10) ! 10 ! (n - 8) ! 8 ! 2) n  1!  1  n  2! 2 n!  n!  ๑.๒.๒ วธิ เี รยี งสบั เปล่ียนเชงิ เส้น วิธเี รยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของทแี่ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด ถ้ามีสิ่งของ n สง่ิ ท่แี ตกต่างกนั ท้ังหมด นาํ มาจัดเรยี งสับเปลย่ี นครั้งละ n สิ่ง ไดด้ ังนี้ ตําแหน่งที่ 1 มวี ิธเี ลอื กส่ิงของได้ n วิธี ตาํ แหน่งที่ 2 มวี ธิ เี ลอื กสง่ิ ของได้ n – 1 วิธี ตาํ แหน่งท่ี 3 มวี ธิ เี ลือกสิ่งของได้ n – 2 วิธี  ตาํ แหน่งท่ี n – 1มวี ิธเี ลือกสิ่งของได้ 2 วิธี ตาํ แหน่งที่ n มวี ธิ เี ลือกส่งิ ของได้ 1 วธิ ี ดังนนั้ จํานวนวธิ ีเรยี งสับเปลี่ยนสิ่งของ n สง่ิ ทแ่ี ตกตา่ งกันทั้งหมดคร้งั ละ n ส่ิง เทา่ กับ n  n 1 n  2 3 2 1วธิ ี หรอื n! วธิ ี ตวั อยา่ ง 1.2.6 ถา้ ตอ้ งการเขยี นจาํ นวนท่ีมี 5 หลักจากตัวเลขในเซต {2, 3, 5, 7, 9} จะเขยี นได้ทง้ั หมดกี่ จํานวน โดยแต่ละหลกั ใช้ตัวเลขไมซ่ าํ้ กัน วธิ ที ํา

ตวั อยา่ ง 1.2.7 สามภี รรยาคูห่ นงึ่ พรอ้ มดว้ ยลกู 4 คน มายืนเรียงแถวยาวเพ่ือถ่ายรปู จะมีวธิ จี ดั ใหย้ นื ทงั้ หมด กวี่ ธิ ี เมอ่ื 1) ไมม่ เี ง่อื นไขใดเพิ่มเตมิ 2) พ่อและแมย่ นื ตดิ กัน 3) พ่อและแมย่ ืนรมิ ทั้งสองดา้ น วิธที ํา ถ้ามสี งิ่ ของ n ส่ิงท่แี ตกตา่ งกนั ท้งั หมด นํามาจัดเรยี งสบั เปลย่ี นครั้งละ r ส่ิง (1  r  n ) ได้ดังน้ี ตาํ แหนง่ ท่ี 1 มวี ธิ ีเลือกสิง่ ของได้ n วธิ ี ตาํ แหน่งท่ี 2 มวี ิธีเลอื กสง่ิ ของได้ n – 1 วธิ ี ตําแหนง่ ที่ 3 มีวธิ เี ลอื กสิง่ ของได้ n – 2 วธิ ี  ตําแหนง่ ท่ี r มวี ิธเี ลือกส่ิงของได้ n – (r – 1) วธิ ี ดงั นน้ั จํานวนวธิ เี รยี งสับเปลี่ยนสิง่ ของ n สง่ิ ทแ่ี ตกต่างกันท้งั หมดครั้งละ r สง่ิ (1  r  n ) เท่ากับ n  n 1 n  2 n  r  1 วิธี หรอื (n n! วิธี - r)! จาํ นวนวธิ ีเรยี งสับเปลยี่ นแบบเชิงเสน้ ของสิ่งของ r สง่ิ จากสิ่งของท่ีแตกตา่ งกัน n เขยี นแทนด้วย สญั ลักษณ์ nPr หรอื n Pr หรือ Pn,r (ในทนี่ ีจ้ ะใช้สัญลกั ษณ์ )Pn,r น่ันคือ Pn ,r = n! (n - r ) ! ขอ้ สงั เกต ถา้ n = r จะไดว้ ่า Pn ,n = n! = n! = n! (n - n ) ! 0! ตัวอยา่ ง 1.2.8 มรี ปู ภาพท่ีแตกต่างกนั 12 รูป ตอ้ งการแขวนรูปภาพเหล่านเ้ี รียงเป็นแถวจาํ นวน 4 รปู จะมี วิธเี รยี งสบั เปลี่ยนของรูปภาพก่ีวธิ ี วธิ ที ํา

ตัวอยา่ ง 1.2.9 ถ้าต้องการสรา้ งคาํ ซง่ึ ประกอบดว้ ยตวั อกั ษร 5 ตัว ไม่ซา้ํ กนั โดยตวั อักษรเลอื กมาจากคําว่า PERMUTATION จะสรา้ งไดท้ ้ังหมดกีค่ าํ โดยคําทส่ี รา้ งไมจ่ าํ เปน็ ตอ้ งมีความหมาย และ 1) ไมม่ ีเง่อื นไขใดเพมิ่ เตมิ 2) อักษรตวั แรกเปน็ พยัญชนะ 3) อักษรตวั กลางเปน็ สระ 4) มีสระอยา่ งนอ้ ย 1 ตัว วธิ ที ํา ตัวอยา่ ง 1.2.10 เรอื ลาํ หน่งึ ต้องการสญั ญาณกบั เรอื อีกลาํ หนงึ่ โดยการใช้ธงสญั ญาณ ซงึ่ มธี งสแี ตกตา่ งกัน จํานวน 5 ผนื ในการใหส้ ญั ญาณแต่ละสญั ญาณจะตอ้ งใช้ธงอย่างนอ้ ย 1 ผนื และธงจะถูกชักเรยี งบน เชอื กเส้นเดียวกนั จงหาว่าเรอื ลาํ นจ้ี ะใหส้ ญั ญาณไดท้ ้งั หมดก่ีสัญญาณ วธิ ที าํ ตวั อยา่ ง 1.2.11 มีม้าน่งั วางเรียงเปน็ แถวยาวจาํ นวน 9 ตวั ตอ้ งการให้นาย ก. นาย ข. นาย ค. และนาย ง. นั่ง บนม้าน่งั เหล่านี้คนละตวั จะมจี าํ นวนวิธีการนั่งของท้งั ส่คี นกี่วธิ ี เมื่อ 1) ไมม่ ีเงื่อนไขใดเพมิ่ เตมิ 2) คนทงั้ สคี่ นนงั่ ตดิ กัน 3) ไม่มสี องคนใดน่ังติดกัน วธิ ที ํา

ตัวอยา่ ง 1.2.12 สามภี รรยาคหู่ นึ่งมีบุตรชาย 2 คน บตุ รสาว 3 คน ถ้าใหค้ นทัง้ หมดมายืนเรยี งแถวยาว จะมี วิธีการยืนท้งั หมดกีว่ ิธี เม่ือ ๑) บตุ รชายยนื ตดิ กนั แต่บุตรสาวยนื แยกกนั หมด ๒) บตุ รสาวยืนติดกนั แตบ่ ตุ รชายยนื แยกกนั หมด วิธที ํา วิธเี รยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสิ่งของทม่ี บี างสิ่งซา้ํ กนั ถา้ มีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจํานวนน้ีมี n1 สิง่ ท่ีเหมอื นกนั เป็นกลมุ่ ทหี่ นึ่ง มี n2 สิ่งทเ่ี หมอื นกันเปน็ กลมุ่ ที่ สอง ... มี nk สง่ิ ทเ่ี หมือนกนั เป็นกลุม่ ที่ k โดยที่ n1  n2   nk  n จาํ นวนวิธีเรยี งสับเปลีย่ นกลุ่มของ สิง่ ของ n สิง่ เท่ากบั n! วิธี n1!n2!nk ! ตวั อยา่ ง 1.2.13 จงหาจาํ นวนวิธีเรียงสับเปล่ียนตวั อกั ษรจากคําวา่ MATHEMATICS ทแ่ี ตกต่างกนั โดยไม่ คํานงึ ถึงความหมาย วิธที าํ ตวั อยา่ ง 1.2.14 มีหนังสืออยู่ 10 เลม่ เปน็ หนังสอื คณิตศาสตรท์ ี่เหมอื นกนั ทุกเลม่ จํานวน 6 เล่ม และเปน็ หนังสอื ภาษาอังกฤษท่เี หมือนกนั ทกุ เล่มจาํ นวน 4 เล่ม จงหาจาํ นวนวธิ ีจัดหนงั สือทัง้ 10 เลม่ วางบน ชั้นหนงั สอื โดยท่ี 1) หนังสอื เลม่ ใดอยทู่ ี่ใดก็ได้ 2) หนงั สอื วิชาเดยี วกนั ตอ้ งอยตู่ ิดกนั 3) หนังสือท่อี ยหู่ วั แถวและทา้ ยแถวเปน็ หนังสอื วชิ าเดยี วกัน วธิ ที าํ

ตัวอยา่ ง 1.2.15 จากรปู ทก่ี ําหนดให้เปน็ แผนผงั ของเมอื งเมืองหนึ่ง ซงึ่ เป็นรปู สีเ่ หลี่ยมมมุ ฉาก รอยเสน้ ใน แผนผังคอื ถนน ถา้ นายเฮงต้องการขับรถออกจากจดุ A เพือ่ ไปยังจุด B โดยมเี งอื่ นไขว่า นายเฮงจะต้อง ขบั รถไปทางทศิ เหนือหรือทิศตะวนั ออกเท่านั้น อยากทราบวา่ นายเฮงจะมีวธิ ีเลอื กเสน้ ทางไดท้ ัง้ หมดก่ี วธิ ี เมอื่ ตอ้ งการให้ 1) ไม่มเี งอ่ื นไขใดเพ่มิ เติม 2) ต้องขบั รถผา่ นจดุ C และ D ดว้ ย B  D  C  A  วธิ ที าํ ตัวอยา่ ง 1.2.16 มีนกั ศึกษาจาํ นวน 10 คน ในจํานวนนี้มนี ายช้าง นายเต้ และนายโอ รวมอยดู่ ้วย ถา้ ให้ นกั ศกึ ษาท้ังหมดข้ึนน่งั ในรถยนต์ 3 คัน คนั ทห่ี นึง่ จํานวน 4 คน คนั ที่สองจาํ นวน 3 คน และคันที่สาม จํานวน 3 คน จงหาจาํ นวนวิธีการข้ึนน่งั ของนกั ศกึ ษาทัง้ 10 คน เมอ่ื 1) ไมม่ ีเงื่อนไขใดเพ่มิ เตมิ 2) นายช้าง นายเต้ และนายโอ แยกกนั นั่งคนละคนั 3) นายชา้ ง นายเต้ และนายโอ น่งั คันเดยี วกนั วธิ ที ํา

แบบฝกึ หดั 1.2 ก 1. จงหาค่าในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี 1) 10 ! 2) 11! 2!8! 7 !4 ! 3) 10 ! 4) 11! 4 !5 ! 3!5! 2. จงเขียนผลคูณในข้อตอ่ ไปน้ีในรูปของแฟกทอเรียล 1) 10 ×9 ×8 ×7 ×6 2) 100  99  50 3) nn 1n  2n 10 4) 3n(9n 2 - 9n + 2) 3. จงเขยี นจํานวนในขอ้ ต่อไปนีใ้ นรูปซึง่ ไม่มแี ฟกทอเรียล 1) n ! 2) (n + 3) ! (n - 5) ! (n - 1) ! 3) (2n) ! 4) (n + 3) !(n + 1) ! (2n - 3) ! (n !)2 5) (n + 4) !(n - 3) ! 6) n ! (n - 5) !(n + 2) ! (n - k) !k ! 4. จงหาคา่ n จากสมการในข้อตอ่ ไปน้ี 1) 7 × n ! = 6 ×(n + 1) ! 2) 3 × n ! = (n - 1) ! (n - 3) ! (n - 2) ! (n - 4) ! (n - 6) ! 3) 10 × n ! = (n + 1) ! 4) P ,4 = 30 ´ P ,5 n n (n - 2) ! (n - 3) ! 5. มีอาจารย์ผู้ชาย 2 คน อาจารย์ผหู้ ญงิ 2 คน นิสิตชาย 2 คน นสิ ติ หญงิ 2 คนมายนื เรยี งแถวยาว จะมี วธิ ีการยืนทงั้ หมดกวี่ ิธี เม่ือ 1) อาจารย์ผ้ชู ายยืนตดิ กัน อาจารย์ผู้หญิงยนื ตดิ กนั แต่อาจารย์ผู้ชายและอาจารย์ผู้หญิงยนื ไม่ติดกัน 2) อาจารยผ์ ชู้ าย อาจารยผ์ ู้หญงิ นสิ ติ ชาย และนสิ ิตหญงิ ยนื สลับกันทีละคน โดยทีล่ าํ ดับต้องเหมือน กับลาํ ดับของชุดแรก 3) อาจารยผ์ ู้ชาย อาจารยผ์ ู้หญิง ยืนสลบั กนั ทลี ะคน และนสิ ติ ชาย นิสติ หญิง ยนื สลับกันทลี ะคน 6. มีหนังสอื ที่แตกต่างกนั 8 เลม่ ในจาํ นวนน้เี ปน็ หนังสือคณิตศาสตร์ 3 เลม่ ถา้ ต้องการจดั หนงั สอื เปน็ แถว ยาวแถวเดยี ว จะจดั ไดก้ ว่ี ธิ ี เมื่อ ๑) ไม่มเี งือ่ นไขใดเพ่ิมเติม ๒) หนงั สอื คณติ ศาสตร์อยู่ตดิ กันทงั้ 3 เล่ม ๓) หนังสือคณิตศาสตรอ์ ยู่แยกกนั ทุกเล่ม 7. มีสามภี รรยารวม 2 คู่ ตอ้ งการให้สามภี รรยาท้ัง 2 ค่นู ้ี นงั่ บนม้านงั่ ที่วางเรียงเป็นแถวยาว 8 ตวั อยาก ทราบว่าจะมวี ิธีการนัง่ ที่แตกต่างกันทัง้ หมดกีว่ ธิ ี เมือ่ ตอ้ งการให้ ๑) คนทั้ง 4 คน จะนัง่ ตัวใดก็ได้ ๒) คนทงั้ 4 คน ตอ้ งน่ังตดิ กนั ๓) คนทัง้ 4 คน ตอ้ งนั่งตดิ กัน และสามภี รรยาแต่ละคู่ต้องน่ังตดิ กนั ด้วย

8. ถ้าตอ้ งการสร้างเลข 6 หลัก โดยการนาํ ตวั เลข 6 ตวั คือ 0, 1, 1, 2, 2, 2 มาจัดเรียง จะสรา้ งเลข 6 หลัก ดงั กลา่ วไดท้ ัง้ หมดก่จี าํ นวน เม่ือตอ้ งการให้ ๑) จาํ นวนท่ีสรา้ งมีคา่ อย่รู ะหวา่ ง 100,000 และ 200,000 ๒) จาํ นวนท่สี ร้างมคี า่ มากกว่า 200,000 ๓) จํานวนทส่ี รา้ งมคี า่ มากกวา่ 100,000 และเปน็ จาํ นวนคู่ 9. ชายคนหนึ่งมธี งสําหรบั สง่ สัญญาณ 7 ผนื เป็นธงสแี ดง 2 ผนื สีขาว 2 ผนื และสนี ํ้าเงนิ 3 ผนื ในการสง่ สัญญาณแต่ละสัญญาณจะตอ้ งใช้ธงทงั้ 7 ผนื โดยแขวนในแนวดิ่ง และสญั ญาณขอความช่วยเหลือจะตอ้ ง ใช้ธงสีนาํ้ เงินเป็นผืนที่อยู่บนสุด อยากทราบว่า ชายผนู้ ้จี ะส่งสญั ญาณได้ก่ีวธิ ี เม่ือ ๑) สญั ญาณน้นั เปน็ สญั ญาณขอความชว่ ยเหลือ ๒) สัญญาณนน้ั ไมใ่ ช่สญั ญาณขอความชว่ ยเหลอื ๓) สญั ญาณนน้ั มธี งสีนา้ํ เงินติดกันอยา่ งนอ้ ย 2 ผนื 10. จากรปู ถ้าต้องการลากเส้นจากจดุ A ไปยงั จดุ C โดยจะต้องลากตามรอยเส้นในตารางในทิศเหนอื หรือทิศ ตะวันออกเทา่ น้นั อยากทราบวา่ จะลากเส้นดงั กลา่ วได้ท้ังหมดกีว่ ิธี เมอ่ื ต้องการให้ ๑) ไม่มเี ง่ือนไขใดเพ่ิมเติม D F C  ๒) ผา่ นจดุ H หรอื F อย่างนอ้ ย 1 จดุ ๓) ผ่านจดุ G แตไ่ มผ่ า่ นจดุ E G E  A H B  11. เดก็ คนหนึ่งมลี กู บอลจํานวน 10 ลูก ถ้าเขานาํ ลกู บอลมาเรียงเป็นแถวยาวอย่างไมม่ ีเงอ่ื นไข พบวา่ มีวิธเี รียง สบั เปลย่ี นท้ังหมด 12,600 วิธี อยากทราบว่า เขาจะมวี ธิ ีจดั เรยี งลูกบอลกีว่ ิธี เมื่อ ๑) ให้ลกู บอลที่เหมอื นกนั อยตู่ ิดกัน ๒) ใหล้ กู บอลเฉพาะทีเ่ หมอื นกนั และมจี ํานวนมากท่ีสุดอยูต่ ดิ กัน ๓) ให้ลูกบอลเฉพาะทเี่ หมอื นกนั และมจี าํ นวนนอ้ ยทีส่ ดุ อยู่ตดิ กนั 12. นักทอ่ งเท่ียวกลมุ่ หนึ่งจํานวน 9 คน ในจํานวนน้มี ผี ้ชู าย 3 คน ถ้าให้นกั ทอ่ งเทีย่ วกลมุ่ น้เี ขา้ พกั ในบงั กะโล หลังหน่ึง ซง่ึ มี 3 หอ้ งนอน นอนไดห้ ้องละ 3 คน จงหาจาํ นวนวธิ ีการแบ่งคนเข้าพกั ในหอ้ งดงั กลา่ ว เมอื่ ๑) ไมม่ เี งื่อนไขใดเพ่มิ เติม ๒) ผ้ชู ายไดพ้ กั หอ้ งเดียวกันทัง้ สามคน ๓) ทุกห้องต้องมผี ู้หญงิ อย่างนอ้ ย 1 คน ๔) ทุกห้องต้องมีผชู้ ายอยา่ งน้อย 1 คน