2009

кую сумму достаточно сложно, и здесь приходит на помощь инте-гральная предельная теорема. Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа. Если в после-довательности испытаний Бернулли вероятность успеха p (0 < p < 1)остается постоянной, то lim ⎝⎜⎜∫⎛P ⎪⎨⎧a ≤ k − np ≤ b⎫⎪⎬ − 1 b − x2 ⎞ = 0, ⎪⎩ npq ⎭⎪ 2π a dx ⎠⎟⎟ n→+∞ e2(равномерно по a и b, где −∞ < a ≤ x ≤ b < +∞). Применение этой теоремы проиллюстрируем на примере. Задача 3.10. При производстве изделий вероятность брака р =0,005. Найти вероятность того, что в партии из 10 000 изделий бра-кованными окажутся не более 70. Решение. Здесь n = 10 000, np = 50, npq = 49,75, npq = 7,053, ве-роятность того, что количество «успехов» k, т.е. брака, будет лежатьв пределах 0 ≤ k ≤ 70 , равна{0 70} ⎧⎪ 0 − np k − np 70 − np ⎫⎪ 1 2,836 − t2∫P ≤ k ≤ = P ⎨ ≤ ≤ ⎬ = e 2 dt = ⎪⎩ npq npq npq ⎪⎭ 2π −7,089 = Ф0 (2,836) − Ф0 (−7,089) = 0,9975, 1 x −t2∫где функция – интеграл Лапласа. Значения Ф0 (x) = e 2 dt 2π 0функции Ф0 (x) приведены в прил. 3.Ответ. 0,9975. Заметим, что более хорошее приближение дает несколько видо-измененная формула, в которой внесена поправка на 0,5, а именно: 1 x2 − t2 k1 − 0,5 − np = k2 + 0,5 − np .∫P{k1 ≤ k ≤ k2} = где x1 = npq , x2 npq e 2 dt, 2π x1 Отметим еще одно применение интегральной теоремы Муавра –Лапласа. Из этой теоремы вытекает, что P ⎧ k − p ≤ ε⎬⎫ = 2Ф0 ⎛ n ⎞ . (3.4) ⎨ n ⎭ ⎜⎜⎝ ε pq ⎟⎠⎟ ⎩ 51

Таким образом, мы можем вычислить вероятность уклонения от-носительной частоты наступления успехов k/n от вероятности успехав каждом испытании р. Используя этот факт, можно, например, ответить на вопрос, какоенаименьшее число испытаний n надо провести, чтобы с вероятно-стью, не меньшей р0, относительная частота k/n отклонялась от веро-ятности p не больше, чем на ε? Из формулы (3.4) получим P ⎧ k − p ≤ ε⎫⎬ = 2Ф0 ⎛ n ⎞ p0 , Ф0 (t) = p0 . ⎨ n ⎭ ⎜⎝⎜ ε pq ⎟⎟⎠ = 2 ⎩ Из прил. 3 находим t = ε n , откуда n = ⎡t2 pq ⎤ +1. pq ⎢ ⎥ ⎣ ε2 ⎦ Задача 3.11. Сколько нужно провести испытаний, чтобы относи-тельная частота k/n отклонилась от вероятности p, которая неизвест-на, не больше чем на ε = 0,01 с вероятностью p0 = 0,95? Решение. Ф0 (t) = p0 = 0, 95 = 0, 475; t = 1,96 (см. прил. 3). Сле- 2 2довательно, n = t2 pq = ⎛ 1,96 ⎞2 pq < ⎛ 1,96 ⎞2 ⋅ 1 = 9604 (так как pq = ε2 ⎝⎜ 0, 01 ⎠⎟ ⎜⎝ 0,01 ⎟⎠ 4= p(1 – p) = p – p2, max(pq) = 1/4). Ответ. n < 9604. Из (3.4), в свою очередь, следует, что для любого ε > 0 ⎧ k − p ≤ ε⎫⎬ = 1, lim P ⎨ n ⎭ n→∞ ⎩т.е. частота k/n → p при n → ∞ с вероятностью 1. Упражнения для самостоятельной работы 3.1. Фирма рассылает рекламные проспекты восьми потенциаль-ным партнерам. В результате такой рассылки в среднем у каждогопятого потенциального партнера возникает интерес к фирме. Найтивероятность того, что это произойдет: а) в трех случаях; б) не болеечем в трех случаях.52

3.2. Лицензия отбирается у любого торгового предприятия, кактолько торговая инспекция в третий раз выявит серьезное нарушениеправил торговли. Найти вероятность того, что лицензия будет ото-брана после пятой проверки. Известно, что вероятность выявлениянарушения при одной проверке равна 0,2 и не зависит от результатовпредыдущих проверок. 3.3. В микрорайоне 9 машин технической службы. Для беспере-бойной работы необходимо, чтобы не меньше восьми машин были висправном состоянии. Считая вероятность исправного состояния длявсех машин одинаковой и равной 0,9, найти вероятность бесперебой-ной работы технической службы в микрорайоне. 3.4. В среднем каждый десятый договор страховой компании за-вершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила5 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай насту-пит: а) один раз; б) хотя бы один раз. 3.5. В семье трое детей. Какова вероятность того, что: а) все онимальчики; б) один мальчик и две девочки. Считать вероятность рож-дения мальчика 0,51, а девочки – 0,49. 3.6. Монета подбрасывается до первого выпадения герба. Чемуравно наиболее вероятное число подбрасываний? 3.7. Известно, что из числа зрителей определенной телепрограм-мы 70 % смотрят и рекламные блоки. Группы, состоящие из трехнаугад выбранных телезрителей, опрашивают относительно содер-жания рекламного блока. Найти наивероятнейшее число лиц в груп-пе, которые смотрят рекламные блоки. 3.8. Стоимость проезда в автобусе равна 30 руб., месячный про-ездной билет на автобус стоит 1200 руб., а штраф за безбилетныйпроезд составляет 100 руб. Петя 24 раза в месяц ездит на автобусе винститут и обратно. Он не покупает проездного билета, никогда неплатит за проезд и считает, что вероятность быть пойманным и за-платить штраф равна 0,05. Сравнить стоимость проездного билета снаиболее вероятной величиной штрафа за 48 поездок. 3.9. Что вероятнее: выиграть в бильярд у равносильного противникане менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми? 3.10. Вероятность того, что в результате пяти независимых опы-тов событие произойдет хотя бы один раз, равна 0,99757. Определитьвероятность появления события при одном опыте. 3.11. Среди билетов лотереи половина выигрышных. Найти ми-нимальное число билетов, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99,быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету. 53

3.12. В городе работают 1000 коммерческих банков, из которых330 допускают нарушения налогового законодательства. Определитьчисло банков, которые должна отобрать для проверки налоговая ин-спекция, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, среди них оказалсяхотя бы один нарушитель законодательства. 3.13. Вероятность брака при изготовлении некоторого изделияравна 0,02. Найти вероятность того, что среди 200 произведенныхизделий не более одного бракованного. 3.14. Владельцы кредитных карт ценят их и теряют весьма редко –вероятность потерять кредитную карту в течение недели для случай-но выбранного вкладчика составляет 0,001. Банк выдал кредитныекарты 2000 клиентам. Найти: а) вероятность того, что за предстоя-щую неделю будет утеряна ровно одна кредитная карта; б) вероят-ность того, что за предстоящую неделю будет утеряна хотя бы однакредитная карта; в) наиболее вероятное число кредитных карт, те-ряемых за месяц. 3.15. На лекции по теории вероятностей присутствуют 84 студен-та. Какова вероятность того, что среди них есть 2 студента, у кото-рых сегодня день рождения? 3.16. Один процент стодолларовых купюр составляют фальши-вые, сделанные, однако, довольно искусно, так что операционист об-менного пункта десятую их часть принимает за настоящие. Каждыйдень для обмена приносят примерно 200 стодолларовых купюр (всего:настоящих и фальшивых). Определить: а) вероятность того, что срединих есть хотя бы одна фальшивая; б) наиболее вероятное время, за ко-торое оправдает себя детектор валюты, который стоит 100 долларов иопределяет все фальшивые купюры как фальшивые. 3.17. Найти такое число k, чтобы с вероятностью 0,95 можно былоутверждать, что среди 800 новорожденных более k девочек. Считать,что вероятность рождения девочки равна 0,485. 3.18. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 1400раз в 2400 испытаниях, если вероятность наступления этого событияв каждом испытании равна 0,6. 3.19. Монета брошена 1000 раз. Найти вероятность того, что«герб» выпадет ровно 500 раз. 3.20. Вероятность появления события в каждом из 2100 независи-мых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие поя-вится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в)не более 1469 раз.54

3.21. Вероятность появления события в каждом из 21 независи-мых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие поя-вится в большинстве испытаний. 3.22. Вероятность появления события в каждом из независимыхиспытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы свероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не ме-нее 75 раз? 3.23. Вероятность появления положительного результата в каж-дом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобыс вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытовдадут положительный результат? 3.24. Вероятность появления события в каждом из 625 независи-мых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относитель-ная частота появления события отклонится от его вероятности поабсолютной величине не более чем на 0,04. 3.25. Вероятность появления события в каждом из независимыхиспытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с веро-ятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появле-ния события отклонится от его вероятности по абсолютной величинене более чем на 0,02. 3.26. Отдел технического контроля проверяет на стандартность900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9.Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключеночисло k стандартных деталей среди проверенных. 55

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что называется пространством вероятностей? 2. Дайте определение случайного события. 3. Что такое вероятность и какие значения она может иметь? 4. Какие события называются несовместными? 5. Какая модель пространства вероятностей называется классической? 6. Чему равна вероятность события в классической модели? 7. Какая модель пространства вероятностей называется геометриче-ской? 8. Чему равна вероятность события в геометрической модели? 9. Какие события называются независимыми? 10. Что такое условная вероятность? 11. Может ли условная вероятность события быть больше его ве-роятности? 12. Может ли условная вероятность события быть меньше его ве-роятности? 13. В каких случаях условная вероятность события равна его ве-роятности? 14. Какая система событий называется независимой? Привестипример системы событий, которая не является независимой, но вхо-дящие в нее события попарно независимы. 15. Что такое полная группа событий? Приведите пример. 16. Напишите формулу полной вероятности. 17. Напишите формулу Байеса. 18. Что такое испытания Бернулли? 19. Напишите формулу для вероятности k успехов в n испытанияхБернулли. 20. Какое количество успехов наиболее вероятно? 21. Сформулируйте теорему Пуассона. В каких случаях ее разум-но применять? 22. Сформулируйте локальную теорему Муавра – Лапласа. В ка-ких случаях ее разумно применять? 23. Сформулируйте интегральную теорему Муавра – Лапласа. Вкаких случаях ее разумно применять?56

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Вариант 1№ 1. В ящике лежат детали: 8 качественных и 4 бракованных. Изящика наугад вынимают 5 деталей. Какова вероятность того, что изэтих пяти деталей 3 или 4 окажутся качественными?№ 2. Два студента играют в теннис до трех проигрышей. В каж-дой партии вероятность выигрыша первого студента равна 0,6, а вто-рого – 0,4. Какова вероятность того, что они сыграют ровно четырепартии?№ 3. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,6. Найти веро-ятность того, что в серии из десяти последовательных независимыхиспытаний Бернулли будет по крайней мере два успеха.№ 4. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,5. Сколько не-зависимых испытаний следует провести, чтобы вероятность того, чточисло успехов в серии испытаний Бернулли равно двум, была в 6 разбольше вероятности того, что успехов не будет вовсе?№ 5. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи прини-мают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью0,8, а третий судья для принятия решения бросает монету. Оконча-тельное решение жюри принимает по большинству голосов. Каковавероятность того, что жюри примет правильное решение?№ 6. В трех ящиках имеются белые и черные шары. В первомящике 4 белых и 1 черный шар, во втором – 5 белых и 5 черных, втретьем – 2 белых и 8 черных. Из наугад выбранной урны случайнымобразом вынимают шар. Найти вероятность того, что он белый. Ка-кова вероятность, что шар взят из второго ящика, если он черный?№ 7. Вероятность безот-казной работы каждого эле- 1 2 __ 5мента в течение времени Т 6равна р. Элементы работают 4независимо и включены в 3 __ 7цепь по приведенной схеме.Пусть событие Аi означает безотказную работу элемента с номером i(i = 1, 2, ..., 7), а событие В – безотказную работу цепи. Требуется:a) написать формулу, выражающую событие В через все события Ai;б) найти вероятность события В. 57

Вариант 2 № 1. В партии из 10 телевизоров есть 3 бракованных. Какова ве-роятность того, что среди трех наудачу взятых телевизоров хотя быодин бракованный? № 2. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Найти вероят-ность события А| B, если события: A = {на трех костях выпадут раз-ные грани}, B = {хотя бы на одной из костей выпадет шестерка}. № 3. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,6. Найти веро-ятность того, что в серии из пяти последовательных независимыхиспытаний Бернулли будет не менее четырех успехов. № 4. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,00001. Найтинаивероятнейшее число успехов в серии из 400 000 независимых ис-пытаний и оценить вероятность того, что число успехов будет равно 5. № 5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считаетсясданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех по-ставленных в билете вопросов. Какова вероятность того, что студентсдаст зачет, если он знает ответ на первый вопрос? № 6. На сборку попадают детали с трех автоматов. Первый авто-мат дает 0,2 % брака, второй – 0,1 %, третий – 0,3 %. На сборку по-ступило 1000 деталей с первого автомата, 2000 – со второго и 3000 –с третьего. Найти: a) вероятность попадания на сборку небракован-ной детали; б) вероятность того, что деталь изготовлена на третьемавтомате, если она оказалась бракованной. № 7. Вероятность отказа 3каждого элемента в течение 1 2 __ 4времени Т равна р. Элементыработают независимо и вклю- 56чены в цепь по приведеннойсхеме. Пусть событие Аi означает отказ элемента с номером i (i = 1, 2, ..., 6),а событие В – отказ цепи за время Т (прекращение тока в цепи). Тре-буется: a) написать формулу, выражающую событие В через все со-бытия Ai; б) найти вероятность события В. Вариант 3 № 1. От каждой из двух групп людей путем жеребьевки выбира-ются по одному представителю. В первой группе 5 мужчин и 4 жен-щины, во второй группе 3 мужчины и 7 женщин. Найти вероятностьтого, что представители будут разного пола.58

№ 2. В театральной кассе к некоторому моменту времени оста-лось: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель покупаетлишь один билет с равной вероятностью в любой из возможных те-атров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты.Найти вероятность того, что куплены билеты в разные театры. № 3. На каждом станке за смену выпускается 8 деталей. Вероят-ность брака для первого станка равна 0,05, для второго – 0,03. Найтивероятность того, что в сменной продукции обоих станков не болееодной бракованной детали. № 4. Вероятность (предполагается, что она одна и та же во всехопытах) того, что в результате 4 независимых опытов событие Апроизойдет хотя бы один раз, равна 0,95. Определить вероятностьпоявления события при одном опыте. № 5. В каком случае Р(А ∪ В) будет больше: в случае, когда А и В не-зависимы, или в случае, когда А и В несовместны? Ответ обосновать.№ 6. В корзине 4 красных и 3 зеленых яблока. Из корзины вынулиодно яблоко и, не глядя, отложили в сторону. После этого из корзиныдостали еще одно яблоко, которое оказалось зеленым. Найти вероят-ность того, что первое яблоко, отложенное в сторону, также былозеленым. № 7. Вероятность безот- 3казной работы каждого эле-мента в течение времени Т 1 2 __равна р. Элементы работают 45независимо и включены в цепь по приведенной схеме. Пусть событие Аiозначает безотказную работу элемента с номером i (i = 1, 2, ..., 5), а со-бытие В – безотказную работу цепи. Требуется: a) написать формулу,выражающую событие В через все события Ai; б) найти вероятностьсобытия В. Вариант 4 № 1. На книжной полке случайным образом расставлены 4 учеб-ника и 3 задачника. Найти вероятность того, что все учебники ока-жутся рядом. № 2. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. На семейномсовете постановили, что дети в семье будут рождаться до появлениявторого мальчика. Найти вероятность того, что в семье будет четверодетей. 59

№ 3. По каналу связи передаются 5 сообщений, каждое из кото-рых, независимо от других, может быть искажено с вероятностью0,2. Найти вероятность того, что будет правильно принято не болеетрех сообщений. № 4. Сообщение содержит 500 символов. Вероятность искажениясимвола при передаче постоянна и равна р. Если хотя бы один сим-вол искажен, то сообщение будет принято неверно. При каких значе-ниях р вероятность того, что сообщение будет успешно передано,окажется равной 0,95? № 5. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того,что оба раза появится одно и то же число очков. № 6. Среди восьми одинаковых приборов два были ранее в упот-реблении. Для эксперимента случайно выбирают три прибора, затемвозвращают. Какова вероятность того, что для второго экспериментавзят прибор, который в употреблении еще не был? № 7. Вероятность отка- 1_ 4за каждого элемента в те- 5чение времени Т равна р. 3Элементы работают неза- 2 __ 6висимо и включены в цепьпо приведенной схеме. Пусть событие Аi означает отказ элемента сномером i (i = 1, 2, ..., 6), а событие В – отказ цепи за время Т (пре-кращение тока в цепи). Требуется: a) написать формулу, выражающуюсобытие В через все события Ai; б) найти вероятность события В. Вариант 5 № 1. На книжной полке случайным образом расставлены 10 томов эн-циклопедии. Найти вероятность того, что все четные тома окажутсястоящими рядом в одной группе, а все нечетные – рядом в другой группе. № 2. Пусть события А и В независимы и Р(А∩В) = Р(В) = 1/4.Найти Р(А ∪ В). № 3. Вероятность смертельного исхода в автомобильной аварии врассматриваемом регионе равна 0,005. Найти вероятность того, что втечение месяца смертельных исходов будет более одного, принимаясреднее число аварий в месяц равным 300. № 4. Вероятность того, что в результате пяти независимых опы-тов событие А (предполагается, что она одна и та же во всех опытах)произойдет хотя бы один раз, равна 0,99757. Определить вероятностьпоявления события при одном опыте.60

№ 5. В театральной кассе к некоторому моменту времени оста-лось: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель покупаетлишь один билет с равной вероятностью в любой из возможных те-атров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты.Найти вероятность того, что куплены билеты в один какой-нибудьтеатр. № 6. В каждой из трех комнат находится 1 2 3 урна с черными и белыми шарами. В первой урне 3 черных и 2 белых шара, во второй – 5 черных и 5 белых шаров, в третьей – 2 черных и 3 белых шара. К комнатам ведетсистема коридоров, изображенная на рисунке. Какова вероятностьвытащить из урны белый шар, если экспериментатор в точках раз-ветвления выбирает направление движения наудачу?№ 7. Вероятность безот-казной работы каждого эле- 12 6мента в течение времени Т 3 5равна р. Элементы работают 4 7независимо и включены в цепьпо приведенной схеме. Пусть событие Аi означает безотказную рабо-ту элемента с номером i (i = 1, 2, ..., 7), а событие В – безотказнуюработу цепи. Требуется: a) написать формулу, выражающую событиеВ через все события Ai; б) найти вероятность события В.Ответы к вариантам контрольной работы Вариант 1 1. 7/9; 2. 0,3744; 3. 0,001677; 4. 4; 5. 0,8; 6. 1/2, 1/3; 7. a) В =( )= ( A1 ∩ A2 ) ∪ A3 ∩ A4 ∩ ( A5 ∪ A6 ∪ A7 ) ; б) (1 –(1 – р2)(1 – р))р(1 –(1 – р)3). Вариант 2 1. 17/24; 2. 60/91; 3. 0,33696; 4. 4, 0,057497; 5. 228/253; 6. a) 47/60;( )б) 9/13; 7. a) B = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∩ A4 ∩ ( A5 ∪ A6 ) ; б) (1 –(1 – р)2(1 – р2(1 –– (1 – р)2)). 61

Вариант 3 1. 47/90; 2. 7/9; 3. 0,868; 4. 0,527; 5. В случае несовместных А и В;( )6. 1/3; 7. a) B = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∪ ( A4 ∩ A5 ) ; б) р2(1 –(1 – р)(1 – р2)). Вариант 4 1. 4/35; 2. 0,187; 3. 0,26272; 4. 0,0001; 5. 1/6; 6. 15/32; 7. a) В == ( A1 ∩ A2 ) ∪ A3 ∪ ( A4 ∩ A5 ∩ A6 ) ; б) 1 − (1 − p 2 )(1 − p)(1 − p3 ) . Вариант 5 1. 1/126; 2. 1; 3. 0,44; 4. 0,7; 5. 2/9; 6. 29/40; 7. a) B = (( A1 ∩ A2 ) ∪( ) ( )∪ A3 ∪ A4 ) ∩ A5 ∩ ( A6 ∪ A7 ) ; б) 1 − (1− p2 )(1− p)2 p 1 − (1− p)2 . Ответы к упражнениям для самостоятельной работы 1.1. 7/9; 1.2 0,902; 1.3. а) 1/100; б) 5/144; б) 1/2; 1.4. а) 1/143; б) 2/91;в) 12/143; 1.5. 0,213; 1.6. 0,000064; 1.7. а) 0,264·10−2; б) 0,2813; 1.8.а) 1/60; б) 2/5; в) 1/20; г) 2/5; д) 9/10; 1.9. а) 0,3974; б) 0,4987;в) 0,1039; 1.10. 2/9; 1.11. 2/7; 1.12. а) 2(5!)2/10!; б) 6·(5!)2/10!; 1.13.a) 10−8; б) 10−7; в) 0,17; 1.15. a) 0,41; б) 0,00195; в) 0,00024; г) 0,1526;д) 0,07178; 1.16. 1/11; 1.17. a) 1/9!; б) 1/9; в) 1/126; г) 1/945; 1.18. 1/30;1.19. 24/10!; 1.20. а) 0,0013; б) 0,0154; в) 0,3215; 1.21. a) 0,573; б) 0,36;1.22. а) 1/30; б) 1/6; в) 1/10; 1.23. 0,151; 1.24. 0,25; 1.26. 9/13; 1.27. 0,5;1.28. 0,32; 1.29. 0,25; 1.30. 11/36. 2.1. 1/3; 2.2. 1/4; 2.3. 1/3; 2.4. 1/2; 60/91; 2.5. 2/9; 2.6. Зависимы; 2.7. За-висимы; 2.8. Верно; 2.9. 13/16; 2.10. В случае несовместных А и В; 2.11.Зависимы, несовместны; 2.12. Независимы; 2.13. Зависимы; 2.14. Неявляются; 2.15. а) Да; б) Нет; 2.16. 228/253; 2.17. 0,104; 2.18. а) 0,189;б) 0,973; 2.19. 2p − p2; 2.20. 0,995; 2.21. 0,6; 2.22. 240; 2.23. 5/8; 2.24.а) 0,8; б) 0,4; в) 0,6; 2.25. Могут существовать 0, 1, 2, 3, 4 амебы соот-ветственно с вероятностями 11/32, 4/32, 9/32, 4/32, 4/32; 2.26. 0,8; 2.27. 0,8;2.28. a) I: 1 – q1q2q3; II: p1p2p3; б) I: p1(1 – q2q3)p4; II: 1 – q1(1 – p2p3) q4;в) I: 1 – (1 – p1p2)(1 – p3p4)(1 – p5p6); II: (1 – q1q2) (1 – q3q4)(1 – q5q6);г) I: (1 – (1 – p1p2) q3) p4(1 – q5 q6); II: 1 – (1 – (1 – q1q2) p3) q4(1 – p5p6);д) I: (1 – q1q2q3) p4(1 – q5q6); II: 1 – (1 – p1p2p3) q4(1 – p5p6); е) I: p1(1 –– q2q3) p4(1 – q5q6); II: 1 – q1(1 – p2p3) q4(1 – p5p6); ж) I: 1 – (1 – p1p2)(1 –– p4p5)(1 – p1p3p5)(1 – p2p3p4); II: (1 – q1q2)(1 – q4q5)(1 – q1q3q5)(1 –62

– q2q3q4); з) I: 1 – (1 – (1 – q1q2) p3) q4q5; II: (1 – (1 – p1p2)q3)p4p5; и) I: 1– (1 – p1(1 – q2q3q4))(1 – p5p6); II: (1 – q1(1 – p2 p3p4))(1 – q5q6); к) I:1 – (1 – p1(1 – q2q3))q4(1 – p5p6); II: (1 – q1(1 – p2p3)) p4(1 – q5q6); 2.29. 0,782,0,16356; 2.30. а и d; 2.31. 0,151; 2.32. 0,4; 2.33. 0,2; 2.34. 0,4; 2.35. 0,445;2.36. Безразлично, 1/6; 2.37. 4/7; 2.38. 0,5; 2.39. 0,4; 2.40. 0,4286; 2.41. 0,8(9);2.42. а) 0,019; б) 0,3158; 2.43. 1/4; 2.44. 0,2; 2.45. a) 1/3; б) 2/3; 2.46. Втретью; 2.47. 0,8677; 0,0271; 0,1052; 2.48. 2/3; 2.49. 2/3; 2.50. 0,2941;2.51. a) 0,87; б) 0,993; 2.52. 0,744; 2.53. 0,0826. 3.1. а) 0,1468; б) 0,9437; 3.2. 0,0307; 3.3. 0,7748; 3.4. а) 0,3281; б) 0,4095;3.5. a) 0,133; б 0,368; 3.6. 1; 3.7. 2; 3.8. Наиболее вероятная величинаштрафа за 48 поездок равна 200 руб., что существенно меньше стоимо-сти проездного билета; 3.9. Вероятнее выигать не менее 5 партий из 8;3.10. 0,7; 3.11. 4; 3.12. 12; 3.13. 0,09; 3.14. а) 0,27; б) 0,865; в) 8; 3.15. 0,021;3.16. а) 0,86466; б) за 5 дней; 3.17. 365; 3.18. 0,0041; 3.19. 0,025; 3.20. а)0,4236; б) 0,5; в) 0,5; 3.21. 0,95945; 3.22. 100; 3.23. 177; 3.24. 0,9876;3.25. 900; 3.26. 792 ≤ k ≤ 828. 63

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. 256 с. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. 8-е изд. М.: Высш. шк., 2002.575 с. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математическойстатистики. М.: Наука, 1982. 256 с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2003. 479 с. Сб. задач по математике для втузов: В 4 ч. / Под общ. ред. А.В. Ефи-мова и А.С. Поспелова. 3-е изд. перераб. и доп. М.: Изд-во физ.-мат.лит., 2003. Ч. 4. 432 с. Сб. задач по теории вероятностей, математической статистике итеории случайных процессов / Под общ. ред. А.А. Свешникова. 2-еизд. М.: Наука, 1970. 655 с. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории веро-ятностей. 5-е изд. М.: Изд. центр Академия, 2003.448 с. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятно-стей и математической статистике. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк.,2004. 404 с. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.М.: Наука, 1983. 416 с.64

Приложение 1 Распределение Пуассона P(ξ = k) = λk e−λ k!k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 λ 0,9 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 0,7 0,80 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 0,36788 0,13534 0,04979 0,01832 0,006741 0,09048 0,16375 0,22223 0,26813 0,30327 0,32929 0,34761 0,35946 0,36591 0,36788 0,27067 0,14936 0,07326 0,033692 0,00452 0,01638 0,03334 0,05363 0,07582 0,09879 0,12166 0,14379 0,16466 0,18394 0,27067 0,22404 0,14653 0,084223 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0,01204 0,01976 0,02839 0,03834 0,04940 0,06131 0,18045 0,22404 0,19537 0,140374 0,00006 0,00025 0,00072 0,00158 0,00296 0,00497 0,00767 0,01112 0,01533 0,09022 0,16803 0,19537 0,175475 0,00002 0,00006 0,00016 0,00036 0,00070 0,00123 0,00200 0,00307 0,03609 0,10082 0,15629 0,175476 0,00001 0,00004 0,00008 0,00016 0,00030 0,00051 0,01203 0,05041 0,10419 0,146227 0,00001 0,00002 0,00004 0,00007 0,00344 0,02160 0,05954 0,104458 0,00001 0,00086 0,00810 0,02977 0,065289 0,00019 0,00270 0,01323 0,0362710 0,00004 0,00081 0,00529 0,0181311 0,00001 0,00022 0,00193 0,0082412 0,00006 0,00064 0,0034313 0,00001 0,00020 0,0013214 0,00006 0,0004715 0,00002 0,0001616 0,0000517 0,00001

Приложение 2Значения плотности стандартного нормального распределения ϕ(x) = 1 − x2 2π e2 x ϕ(x) x ϕ(x) x ϕ(x) 0,00 0,3989 1,40 0,1497 2,80 0,0079 0,05 0,3984 1,45 0,1394 2,85 0,0069 0,10 0,3970 1,50 0,1295 2,90 0,0060 0,15 0,3945 1,55 0,1200 2,95 0,0051 0,20 0,3910 1,60 0,1109 3,00 0,0044 0,25 0,3867 1,65 0,1023 3,05 0,0038 0,30 0,3814 1,70 0,0940 3,10 0,0033 0,35 0,3752 1,75 0,0863 3,15 0,0028 0,40 0,3683 1,80 0,0790 3,20 0,0024 0,45 0,3605 1,85 0,0721 3,25 0,0020 0,50 0,3521 1,90 0,0656 3,30 0,0017 0,55 0,3429 1,95 0,0596 3,35 0,0015 0,60 0,3332 2,00 0,0540 3,40 0,0012 0,65 0,3230 2,05 0,0488 3,45 0,0010 0,70 0,3123 2,10 0,0440 3,50 0,0009 0,75 0,3011 2,15 0,0396 3,55 0,0007 0,80 0,2897 2,20 0,0355 3,60 0,0006 0,85 0,2780 2,25 0,0317 3,65 0,0005 0,90 0,2661 2,30 0,0283 3,70 0,0004 0,95 0,2541 2,35 0,0252 3,75 0,0004 1,00 0,2420 2,40 0,0224 3,80 0,0003 1,05 0,2299 2,45 0,0198 3,85 0,0002 1,10 0,2179 2,50 0,0175 3,90 0,000199 1,15 0,2059 2,55 0,0154 3,95 0,000163 1,20 0,1942 2,60 0,0136 4,00 0,000134 1,25 0,1826 2,65 0,0119 4,25 0,000048 1,30 0,1714 2,70 0,0104 4,50 0,000016 1,35 0,1604 2,75 0,0091 5,00 0,0000015 Указание. При x > 5 ϕ(x) ≈ 0. Функция ϕ(x) четная, т. е. ϕ(−x) = ϕ(x) .66

Приложение 3 1 x −t2 ∫Значения функции Лапласа Φ0 (x) = e 2 dt 2π 0x0 Сотые доли х 123 4 5 67890,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0112 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07540,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,25490,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3553 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4430 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4485 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4700 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4762 0,4767x0 Десятые доли х 123 4 5 67892, 0,4773 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,49613, 0,4987 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,50004, 0,499968 0,4999975, 0,4999997Указание. При x > 5 Φ0 (x) ≈ 0,5. Функция Φ0 (x) – нечетная, т.е. Φ0 (−x) = −Φ0 (x) . 67

Учебное изданиеСабурова Татьяна НиколаевнаШишкова Елена ВладимировнаТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙВероятностное пространство. Условная вероятность.Независимость событийУчебное пособиеРедактор Л.В. ИванковаКомпьютерная верстка М.А. ШамаринойПодписано в печать 26.05.11 Бумага офсетнаяФормат 60 × 90 1/16 Печать офсетная Уч.-изд. л. 4,25 Заказ 3157Рег. № 212 Тираж 540 экз.Национальный исследовательскийтехнологический университет «МИСиС»,119049, Москва, Ленинский пр-т, 4Издательский Дом МИСиС,119049, Москва, Ленинский пр-т, 4Тел. (495) 638-45-22Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС119049, Москва, Ленинский пр-т, 4Тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-3568