จำนวนเชิงซ้อน

MATH S คณิตศาสตร์ i จํานวนเชงิ ซอ้ น นางสาวรุง่ ฤดี พราหมทอง

นิยาม ของจํานวนเชงิ ซอ้ น เเละการสรา้ งจํานวนเชงิ ซอ้ น จํานวนเชงิ ซอ้ น คือ ค่อู ันดับ (a , b) เมอื a เเละ b นันเปน จํานวนจรงิ เเละกําหนดการเทา่ กัน การบวกเเละการคณู ของ จํานวนเชงิ ซอ้ น โดยเราจะกล่าวได้วา่ 1. การเทา่ กันนัน (a , b) = (c , d) ก็ต่อเมอื a = c เเละ b = d 2. การบวก (a , b) + (c , d) = (a + c , b + d) 3. การคณู (a , b) · (c , d) = (ac - bd , ad - bc) โดยทไี ด้มานัน จะได้ เซตของจํานวนเชงิ ซอ้ นซงึ เเทนด้วย สญั ลักษณ์วา่ \"C\" ดังนันหากเปรยี บเทยี บกับจํานวนเชงิ ซอ้ นเราก็จะได้วา่ z = (a , b) ค่าของ a เปนสว่ นจรงิ เรยี กวา่ สว่ นจรงิ ของ z เขยี นเเทนด้วย Re(z) ค่าของ b เปนสว่ นจินตภาพ เรยี กวา่ สว่ นจินตภาพของ z เขยี นเเทนด้วย Im(z) โดยทกี ล่าวมานัน เรยี กวา่ จํานวนจินตภาพเเท้

โดยมขี อ้ พสิ จู น์วา่ ค่าจินตภาพนันจะไมเ่ ทา่ กับ 0 จึงกล่าว ได้วา่ เมอื กําหนดให้ (0,1)(0,1) = (-1,0) นันหมายความวา่ ถ้าเรา เเทนค่า (0,1) ด้วย i เราจะกล่าวได้วา่ ทกุ ๆ 2 ตัวของ i คณู กัน จะ ได้ -1 เเละทกุ ๆ 4 ตัวของ i คณู กันจะได้ 1 ซงึ เราสามารถเขยี นอีกฟอรม์ หนึงของจํานวนเชงิ ซอ้ นได้วา่ z = (a , b) = a + bi ซงึ กรณีนีทาํ ให้เราได้ผลการบวกเเละผลการคณู ใหมว่ า่ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i 1. จงหาผลคณู ของ 1 + i , 3 + i เเละ -1 + 2i วธิ ที าํ (1 + i)(3 + i)(-1 + 2i) = [(1 + i)(3 + i)](-1 + 2i) = [ (3 - 1) + (1 + 3)i ] (-1 + 2i) = (2 + 4i)(-1 + 2i) = (-2 - 8) + (4 - 4)i = - 10 ดังนัน คําตอบของขอ้ นีคือ - 10

สมบตั ิ ของการบวก เเละการคณู ของจํานวนเชิงซอ้ น

สมบตั ิ เชิงพชี คณิตของจํานวนเชิงซ้อน 1. บทเอกลักษณ์เเละตัวผกผนั ของการบวก พจิ ารณาการบวกจํานวนเชงิ ซอ้ นต่อไปนี (a, b) + (0 , 0) = (a+0, b+0) = (a, b) ทาํ นองเดียวกัน (0 , 0) + (a, b) = (a, b) ดังนัน (0 , 0) เปนเอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนเชงิ ซอ้ น หากลองพสิ จู น์อีกรูปเเบบ นันคือ (a, b) + ( - a, - b) = (a - a, b - b) = (0, 0) และ ( - a, - b) + (a , b) = (0 , 0) ดังนัน ( - a, - b) เปนตัวผกผนั การบวกของ (a , b) หรอื - a - bi เปนตัวผกผนั การบวกของ a + bi ตัวผกผนั การบวกของจํานวนเชงิ ซอ้ น z เขยี นแทนด้วย - z ฉะนัน - (a +bi) = - a - bi หรอื เปนการกระจายการลบนันเอง

ตัวอยา่ ง ตัวผกผนั การบวกของ ( - 8 , 2) คือ (8, - 2) ตัวผกผนั การบวกของ -4+3i คือ 4 - 3i ตัวผกผนั การบวกของ 2 - 3i คือ - 2+ 3i ซงึ จากบทขา้ งต้นนัน เราจะนิยามการลบกันของ จํานวนเชงิ ซอ้ น ดังนี z - w = z + ( - w) สาํ หรบั จํานวนเชงิ ซอ้ น z, w ใดๆ ตัวอยา่ ง จงหา (8 - 4i) - (2 - i) วธิ ที าํ (8 - 4i) - (2 - i) = (8 - 4i) + [- (2 - i)] = (8 - 2) + (-4 - (-1))i =6-3

2. เอกลักษณ์และตัวผกผนั การคณู ตัวผกผนั การคณู ของ z เขยี นแทนด้วย Z-1 เมอื เขยี น z = a+bi จะได้วา่ Z-1 = 3. การหารจํานวนเชงิ ซอ้ น เมอื กําหนดจํานวนเชงิ ซอ้ นทไี มเ่ ทา่ กับ(0, 0) มาให้ จะหาตัวผกผนั การคณู ของจํานวนเชงิ ซอ้ นนีได้เสมอ ดังนันอาจนิยามการหารจํานวนเชงิ ซอ้ น z ด้วย w เมอื W = (0,0) โดยอาศยั ตัวผกผนั การคณู ของจํานวนเชงิ ซอ้ นทเี ปนตัวหารได้ ดังนี จากบทนิยาม ถ้า z = a+bi และ w = c+di แล้ว

อีกทฤษฏีหนึงกล่าววา่ z = a+bi เปนจํานวนเชงิ ซอ้ น จะเรยี กจํานวนเชงิ ซอ้ น a - bi วา่ เปนสงั ยุค (conjugate) ของ z และเขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ นันคือ 4. สมบตั ิของสงั ยุคของจํานวนเชงิ ซอ้ น ให้ และ เปนจํานวนเชงิ ซอ้ น จะได้วา่ 1. และ 2. 3. ถ้า _ 4. 5. แล้ว เมอื

รากที ของจาํ นวนเชงิ ซอ้ น สอง ให้ z เปนจํานวนเชงิ ซอ้ นใดๆ รากทสี องของ z คือ จํานวนเชงิ ซอ้ น w ซงึ ถ้า w เปนรากทสี องของ z แล้ว - w จะเปนรากทสี องของ z ด้วย และรากทสี องของจํานวนเชงิ ซอ้ นที ไมใ่ ชศ่ ูนยจ์ ะมเี พยี งสองจํานวนเทา่ นัน สตู รของรากทสี องของจํานวนเชงิ ซอ้ นได้วา่ และ เเต่บางครงั ค่า y นันสามารถเเบง่ ได้ออกเปน 2 กรณีนันคือ กรณี ทคี ่าของ y มากกวา่ หรอื เทา่ กับ 0 หรอื ค่าของ y น้อยกวา่ 0 ทฤษฏีบท กําหนดจํานวนเชงิ ซอ้ น z = x+ yi และให้ จะได้วา่ รากทสี องของ z คือ เมอื เมอื

YOU ศกึ ษาเพมิ เติมได้ที TUBE ทมี า : https://youtu.be/PdXajTyMevc