วงกลม

ภาคตัดกรวย เร่ืองวงกลม จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1.นักเรียนสามารถบอกนยิ ามของวงกลมได้ 2.ถ้ากาหนดจุดศูนย์กลางและรศั มี นักเรยี น สามารถหาสมการวงกลมได้ 3.ถ้ากาหนดสมการวงกลม นกั เรียนสมารถหาจดุ ศูนย์และรศั มไี ด้



วงกลมเกดิ จากการตัดกรวยกลมในลกั ษณะขนานกับฐาน

ให้นักเรียนนากระดาษที่อยูใ่ นซอง ที่เป็นกระดาษแผน่ เล็กๆ นามาวาดรปู วงกลม ใสล่ งในสมุดหรือกระดาษอะไรกไ็ ด้ บทนิยาม วงกลม คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบท่ีห่างจากจดุ ๆ หน่ึงทตี่ รงึ อยูก่ บั ท่เี ปน็ ระยะทางคงตัว จดุ ที่ตรึงอยกู่ บั ที่นี้เรยี กวา่ จดุ ศูนย์กลาง ของวงกลม และสว่ นของ เสน้ ตรงท่มี จี ดุ ศูนยก์ ลางและจุดบนวงกลมเปน็ จุดปลายเรียกว่า รัศมี ของวงกลม

C วงกลมซงึ่ มีจุดศูนย์กลางที่ (h, k) และรศั มยี าว r หนว่ ย และสมมตุ วิ า่ P(x, y) เป็นจดุ ใดๆบนวงกลม เนือ่ งจากระยะหา่ งระหว่างจดุ C(h, k) และ P(x, y) เทา่ กบั r จะได้ (x − h)2+(y − k)2= r (x − h)2+(y − k)2 = r2 รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม

วงกลมท่มี ีจุดศูนย์กลางอยูท่ ี่จดุ กาเนิด(0, 0) และรัศมเี ท่ากบั r จาก (x − h)2+(y − k)2 = r2 จะได้ (x − 0)2+(y − 0)2 = r2 ดงั นัน้ รปู แบบสมการ คอื x2 + y2 = r2

วงกลมท่มี ีจดุ ศูนย์กลางอยู่ทีจ่ ุดกาเนดิ และรัศมีเทา่ กบั 1 หน่วย จาก (x − h)2+(y − k)2 = r2 (x − 0)2+(y − 0)2 = 12 ดงั นนั้ รูปแบบสมการเป็น x2 + y2 = 1 เรยี กวงกลมนี้วา่ วงกลมหนง่ึ หน่วย

(x − h)2+(y − k)2 = r2 x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 − r2 = 0 x2 + y2 + −2h x + −2k y + h2 + k2 − r2 = 0 ให้ D = -2h, E = -2k และ F = h2 + k2 − r2 จะได้ Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 เรียกสมการนีว้ ่า รปู แบบท่ัวไปของสมการวงกลม มจี ดุ ศูนย์กลางอยทู่ ี่ (− D , − E2) และรศั มยี าว 1 D2 + E2 − 4F หนว่ ย 2 2

จาก Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 จะได้ D2 + E2 − 4F > 0 เปน็ สมการวงกลม (r > 0) D2 + E2 − 4F = 0 เปน็ สมการของ จดุ (r = 0) D2 + E2 − 4F < 0 เขียนกราฟไมไ่ ด้(วงกลมจินตภาพ) (r < 0)

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาจดุ ศูนย์กลางและรศั มีของวงกลมที่มีสมการเปน็ x + 2 2 + (y − 3)2= 16 วธิ ีทา x + 2 2 + (y − 3)2 = 16 จาก (x − h)2 + (y − k)2 = r2 จะได้ x − (−2) 2 + (y − 3)2 = 42 จะได้ h = -2, k = 3 และ r = 4 ดงั นน้ั วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ี (-2, 3) และรศั มียาว 4 หน่วย

ตัวอยา่ งท่ี 2 ใหเ้ ขยี นรูปแบบมาตรฐานและรปู แบบท่ัวไปของสมการวงกลมทมี่ ีจุดศนู ยก์ ลางอย่ทู ี่ (-3, 2) และรศั มียาว 4 หน่วย วธิ ที า จากรปู แบบมาตรฐานของวงกลม (x − h)2+(y − k)2 = r2 แทน h = -3, k = 2 และ r = 4 จะได้ (x − −3 )2+(y − 2)2= 42 (x + 3)2+(y − 2)2= 16 ดังน้ัน รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมน้ี คือ (x + 3)2+(y − 2)2= 16

รปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลมน้ี คือ (x + 3)2+(y − 2)2= 16 จากรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมนี้ เมือ่ กระจายกาลงั สองของ x + 3 และ y - 2 จะได้ x2 + 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = 16 x2 + y2 + 6x − 4y − 3 = 0 ดังนั้น รปู แบบทัว่ ไปของสมการวงกลมนี้ คอื x2 + y2 + 6x − 4y − 3 = 0

ตวั อยา่ งท่ี 3 ใหเ้ ขียนสมการรูปแบบมาตรฐาน พรอ้ มทงั้ หาจดุ ศนู ยก์ ลางและ ความยาวรศั มี ของสมการวงกลม x2 + y2 − 8x − 14y + 61 = 0 วธิ ที า จากสมการ x2 + y2 − 8x − 14y + 61 = 0 จะได้ (x2−8x) + (y2 − 14y) + 61 = 0 x2 − 2 4 x + 42 + y2 − 2 7 y + 72 + 61 − 42 − 72 = 0 (x − 4)2+(y − 7)2−4 = 0 (x − 4)2+(y − 7)2= 4 ดงั นัน้ รูปแบบมาตรฐานของวงกลมน้ี คือ (x − 4)2+(y − 7)2= 4 จดุ ศูนยก์ ลางของวงกลมน้อี ยู่ท่ี (4, 7) และรศั มียาว 2 หน่วย