1.1 สมการเชงิ เสน้ สมการอยา่ งงงา่ ยท่ีเราค้นุ เคยในการศึกษาพีชคณติ ก็คือสมการเชิงเส้นทมี่ ตี ัวแปรหนึ่งตวั แปรและมีกาลังเป็นหน่ึง เช่น 2x+5 =10 ในการหาคาตอบของสมการหรือเรียกว่าการแกส้ มการจาใช้สมบัติของการเท่ากันของการบวกและการคณู ดงั น้ี กาหนดให้ A , B และ C เป็นจานวนจรงิ ถ้า A = B แล้ว A+C = B+C ถ้า A = B แลว้ AC = BC และ ������ = ������ ; ������ ≠ 0 ������ ������ตวั อย่างท่ี 1.1 จงแก้สมการ 3(������ − 1) + ������ = 9วิธีทา 3(������ − 1) + ������ = 9 3������ − 3 + ������ = 9 4������ = 12 ������ = 3 ในการตรวจคาตอบกโ็ ดยการแทนค่าของตัวแปรลงในสมการ 3((3) − 1) + (3) = 9 6 + (3) = 9 9 = 9 เป็นจรงิ ดงั นนั้ คาตอบของสมการ 3(������ − 1) + ������ = 9 คอื ������ = 3กจิ กรรมท่ี 1.1 จงแกส้ มการ 15 − 2������ = −4(������ + 1) + 9
PreCalculus 21.2 อสมการเชิงเสน้เซตของจานวนท่ีสอดคล้องกับอสมการเรียกวา่ เป็นเซตคาตอบซงึ่ อาจเขียนเปน็สญั ลักษณข์ องช่วงคาตอบหรือกราฟของคาตอบไดแ้ ตล่ ะลักษณะคาตอบดังนี้เซตคาตอบ สัญลกั ษณ์ชว่ ง กราฟของคาตอบx a x b (a, b) abx a x b abx a x b a,b abx a x b abx x a [a,b) a (a,b] (a, )x x a [a, ) ax x b (, b) bx x b (, b] bx x R (, ) ในการหาคาตอบของอสมการหรอื เรียกวา่ การแก้อสมการจะใช้สมบัติการบวกของอสมการและสมบตั ิการคูณของอสมการคล้ายกบั การแกส้ มการกาหนดให้ A , B และ C เป็นจานวนจริงถา้ A < B แล้ว A+C < B+Cถา้ A < B แลว้ AC < BC เม่อื C เปน็ จานวนจรงิ บวกถ้า A < B แล้ว AC > BC เม่ือ C เป็นจานวนจริงลบ
PreCalculus 3ตัวอย่างท่ี 1.2 จงแก้อสมการ 4������ − 5 > 6������ + 3วธิ ที า 4������ − 5 > 6������ + 3 4������ > 6������ + 8 −2������ > 8 ������ < −4เซตคาตอบของอสมการคอื {������|������ < −4}เขียนคาตอบในรปู ชว่ งคือ (−∞, −4)กราฟของเซตคาตอบคอื -4ตัวอยา่ งที่ 1.3 จงแก้อสมการ 4(������ + 5) ≥ 4������ − 3วิธีทา 4(������ + 5) ≥ 4������ − 3 4������ + 20 ≥ 4������ − 3 20 ≥ −3เนอ่ื งจากขอ้ ความเปน็ จริง คาตอบของอสมการคือจานวนจรงิ ทุกจานวนตวั อย่างที่ 1.4 จงแก้อสมการ 3(������ + 6) − 5 < 2(������ − 3) + ������วธิ ีทา 3(������ + 6) − 5 < 2(������ − 3) + ������ 3������ + 18 − 5 < 2������ − 6 + ������ 3������ + 13 < 3������ − 6 13 < −6เนอื่ งจากขอ้ ความเปน็ เทจ็ อสมการไม่มีจานวนจรงิ เป็นคาตอบตวั อย่างที่ 1.5 จงแก้อสมการ −5 ≤ 2������ + 3 < 9วิธีทา −5 ≤ 2������ + 3 < 9 −8 ≤ 2������ < 6 −4 ≤ ������ < 3ชว่ งคาตอบคือ [−4,3)กราฟของคาตอบ -4 3กจิ กรรมที่ 1.2 จงแกอ้ สมการ 1) − 6������ + 5 > −4������ − 17 2) − 7 ≤ −3 ������ − 1 < 11 4
PreCalculus 41.3 สมการและอสมการคา่ สมั บรู ณ์ สมบตั ิของสมการค่าสัมบรู ณ์ ถ้าคา่ สมั บรู ณข์ อง ������ เท่ากับ ������ และกาหนดให้ ������เป็นจานวนจริงบวก |������| = ������ แลว้ ������ = ������ หรอื ������ = −������ตวั อยา่ งท่ี 1.6 จงแกส้ มการ −5|������ − 3| + 2 = −8วธิ ที า −5|������ − 3| + 2 = −8 −5|������ − 3| = −10 |������ − 3| = 2 ������ − 3 = −2 หรอื ������ − 3 = 2������ = 1 ������ = 5แทนคา่ ในการตรวจคาตอบ −5|(1) − 3| + 2 = −8 เป็นจริงและ −5|(5) − 3| + 2 = −8 เปน็ จริงดงั น้นั เซตคาตอบของสมการคือ {1,5}กิจกรรมท่ี 1.3 จงแก้สมการ −3|������ − 1| + 2 = −13 การแก้อสมการค่าสมั บูรณ์แยกเปน็ 2 กรณีคอื กรณีที่มเี ครื่องหมายนอ้ ยกว่ากับกรณที ี่มีเครอ่ื งหมายมากกว่าดังน้ีพิจารณาอสมการ |������| < 5คาตอบของอสมการก็คือจานวนทีอ่ ยรู่ ะหว่าง -5 กับ 5กราฟของคาตอบ -5 0 5คาตอบของอสมการคือ −5 < ������ < 5
PreCalculus 5กาหนดให้ ������ เป็นจานวนจรงิ บวก |������| < ������ แล้วจะได้ −������ < ������ < ������ตวั อย่างท่ี 1.7 จงแกส้ มการ |2������ + 3| ≤ 15วธิ ีทา จะได้ −15 ≤ 2������ + 3 ≤ 15 −18 ≤ 2������ ≤ 12 −9 ≤ ������ ≤ 6ช่วงคาตอบคือ [−9,6]กราฟของคาตอบ -9 6พิจารณาอสมการกรณีทม่ี ีเคร่ืองหมายมากกวา่ ดังนี้ |������| > 5คาตอบของอสมการก็คือจานวนทอ่ี ยนู่ ้อยกว่า -5 หรือ มากกวา่ 5กราฟของคาตอบ -5 0 5คาตอบของอสมการคือ ������ < −5 หรอื ������ > 5ตัวอยา่ งท่ี 1.8 จงแก้อสมการ |3������ − 4| > 6 3������ − 4 > 6วธิ ีทา |3������ − 4| > 6 จะได้ 3������ − 4 < −6 หรอื ������ < −2 ������ > 10 3 3กราฟของคาตอบ 2 10 −3 3กจิ กรรมท่ี 1.4 จงแก้อสมการ 1) 3|������ + 4| + 2 ≤ 17 2)|2x + 3| − 5 > 1
PreCalculus 61.4 การแก้สมการควอดราตกิ ซ์ สมการควอดราติกซ์หรือสมการกาลงั สองเปน็ สมการท่ีอยใู่ นรปู ������������2 + ������������ + ������ = 0 เมื่อ ������, ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ และ ������ ≠ 0 การแก้สมการควอดราติกซโ์ ดยการแยกตวั ประกอบ แล้วใชส้ มบตั กิ ารคูณด้วยศูนย์ดงั นี้ ถา้ ������ และ ������ เป็นจานวนจริง ������������ = 0 แล้ว ������ = 0 หรอื ������ = 0ตวั อย่างที่ 1.9 จงแกส้ มการ 3������2 = 4������วธิ ที า 3������2 − 4������ = 0 ������(3������ − 4) = 0 จะได้ ������ = 0 หรือ 3������ − 4 = 0 ������ = 4 3ตัวอย่างที่ 1.10 จงแกส้ มการ 3������2 + 10������ = 8วธิ ที า 3������2 + 10������ − 8 = 0 (3������ − 2)(������ + 4) = 0 จะได้ 3������ − 2 = 0 หรอื ������ + 4 = 0������ = 2 ������ = −4 3กิจกรรมท่ี 1.5 จงแก้สมการ 1) ������2 + 3������ − 4 = 0 2) 3������2 − 7������ − 6 = 0
PreCalculus 7การแกส้ มการควอดราติกส์โดยการใช้สตู รถา้ ������������2 + ������������ + ������ = 0เม่ือ ������, ������ และ ������ เปน็ จานวนจริง และ ������ ≠ 0แล้ว ������ = −������±√������2−4������������ 2������ตวั อยา่ งท่ี 1.11 จงแกส้ มการ 3������2 − 2������ − 3 = 0วิธที า จากโจทย์ ������ = 3, ������ = −2, ������ = −6������ = −������±√������2−4������������ = −(−2)±√(−2)2−4(3)(−6) 2������ 2(3)= 2±√4+72 = 2±√762(3) 6������ = 1 + √19 หรือ ������ = 1 − √19 33 33สาหรบั ������������2 + ������������ + ������ = 0 และ ������ ≠ 0ถา้ ������2 − 4������������ = 0 สมการมคี าตอบจานวนจริงจานวนเดยี วถ้า ������2 − 4������������ > 0 สมการมีคาตอบจานวนจรงิ สองจานวนถ้า ������2 − 4������������ < 0 สมการมีคาตอบจานวนเชงิ ซอ้ นสองจานวนกิจกรรมท่ี 1.6 จงแกส้ มการ 1)2������2 − 6������ + 5 = 0 2) 4������ − 3 = 5������2
PreCalculus 81.5 การแก้อสมการกาลังสองในการแกอ้ สมการกาลังสองจะแยกพิจารณาเปน็ สองกรณีคือทมี่ ีเครื่องหมายน้อยกว่าและกรณีที่มีเคร่ืองหมายมากกวา่ ดังน้ีกรณมี ีเครอ่ื งหมายนอ้ ยกว่าถา้ ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ ������������ < 0 แล้วกรณที ่ี 1) ������ < 0 และ ������ > 0 หรือกรณที ี่ 2) ������ > 0 และ ������ < 0ตวั อยา่ งที่ 1.12 จงแก้อสมการ ������2 + 3������ − 10 < 0วิธที า (������ + 5)(������ − 2) < 0กรณที ี่ 1) ������ + 5 < 0 และ ������ − 2 > 0 ������ < −5 และ ������ > 2ไมม่ คี าตอบกรณีท่ี 2) ������ + 5 > 0 และ ������ − 2 < 0 ������ > −5 และ ������ < 2จะได้ −5 < ������ < 2จากกรณี 1) หรอื กรณี 2) จะได้คาตอบของอสมการคือ−5 < ������ < 2กราฟของคาตอบ -5 2หรอื อาจจะใชว้ ิธกี ารแทนค่าเพือ่ ตรวจสอบในชว่ งของคาตอบจากการแยกตัวประกอบของพหนุ ามกาลงั สองพจิ ารณากราฟ -5 2เช่น แทน ������ = 0 ทาให้ (������ + 5)(������ − 2) < 0 เป็นจริงแทน ������ = −6 ทาให้ (������ + 5)(������ − 2) < 0 เปน็ เท็จแทน ������ = 3 ทาให้ (������ + 5)(������ − 2) < 0 เปน็ ท็จนั่นคือ −5 < ������ < 2 เป็นคาตอบของอสมการ
PreCalculus 9กรณีมีเคร่ืองหมายมากกว่าถา้ ������ และ ������ เปน็ จานวนจริง ������������ > 0 แล้วกรณีท่ี 1) ������ > 0 และ ������ > 0 หรอืกรณีที่ 2) ������ < 0 และ ������ < 0ตัวอยา่ งท่ี 1.13 จงแก้อสมการ 2������2 + ������ − 15 ≥ 0วิธที า (2������ − 5)(������ + 3) ≥ 0กรณที ่ี 1) 2������ − 5 ≥ 0 และ ������ + 3 ≥ 0 ������ ≥ 5 และ ������ ≥ −3 และ ������ + 3 ≤ 0 2 จะได้ ������ ≥ 5 2กรณที ี่ 2) 2������ − 5 ≤ 0 ������ ≤ 5 และ ������ ≤ −3 2จะได้ ������ ≤ −3จากกรณี 1) หรอื กรณี 2) จะได้คาตอบของอสมการคือ������ ≤ −3 ∪ ������ ≥ 5 2กราฟของคาตอบ -3 5หรืออาจจะใชว้ ิธกี ารแทนค่าเพอ่ื ตรวจสอบในชว่ งข2องกราฟกราฟของคาตอบ -3 5เช่น แทน ������ = 0 ทาให้ (2������ − 5)(������ + 32) ≥ 0 เปน็ เทจ็แทน ������ = −4 ทาให้ (2������ − 5)(������ + 3) ≥ 0 เป็นจริงแทน ������ = 3 ทาให้ (2������ − 5)(������ + 3) ≥ 0 เป็นจริงนนั่ คอื ������ ≤ −3 ∪ ������ ≥ 5 เปน็ คาตอบของอสมการ 2กจิ กรรมท่ี 1.7 จงแก้อสมการ 1)3������2 + 10������ − 8 ≤ 0 2) 2������2 + 5������ + 3 > 0
PreCalculus 101 จงแก้สมการตอ่ ไปน้ี 1.1 3������ + 4 = −5 1.2 2������ + 4(������ − 1) = 3 − (2������ + 1) 1.3 8 − (3������ + 5) = 5 + 2(������ + 1) 1.4 ������+3 + ������ = 7 53 1.5 ������ + 2 = ������ 35 4 1.6 2|������ − 1| − 7 = 3 1.7 −|3������ + 4| + 3 = −5 1.8 ������2 − 10������ = −21 1.9 9������2 + 4 = 12������ 1.10 5������2 + 5 = −5������2 จงแกอ้ สมการต่อไปนี้ 2.1 5������ − 11 ≥ 2������ − 5 2.2 2(������ + 5) − 4 ≤ 5������ − 1 2.3 |������ − 2| ≤ 5 2.4 5|2������ + 7| + 1 > 11 2.5 4 ≤ |5 − 2������| − 3 44 2.6 ������2 − 3������ > 1 2.7 2������2 ≤ −7������ + 4 2.8 −2������2 ≥ −5������ + 11
Search
Read the Text Version
- 1 - 10
Pages: