Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore modul materi fungsi komposisi dan fungsi invers_2

modul materi fungsi komposisi dan fungsi invers_2

Published by Lina Fatmasari, 2022-12-11 00:21:52

Description: modul materi fungsi komposisi dan fungsi invers_2

Search

Read the Text Version

i

KATA PENGANTAR Alhamdulillah atas izin dari Allah SWT. E-Modul Matematika Materi Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers menggunakan Pendekatan Kontekstual untuk kelas X SMA/MA dapat diselesaikan dengan baik. Tidak lupa juga sholawat serta salam selalu kita curahkan kepada junjungan kita nabi Muhammad Saw. Informasi yang disediakan dalam modul ini sudah dirancang dan disusun sedemikian rupa sehingga diharapkan dapat membantu pembaca lebih mudah mencari dan memahami informasi terkait materi Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers untuk kelas X SMA/MA. Berbagai penjelasan mengenai materi yang dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari serta dilengkapi dengan contoh-contoh soal yang mudah dipahami. Tersusunnya E-Modul ini tidak terlepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu, kami ucapkan terimakasihyang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang terlibat. Mohon maaf apabila terdapat banyak kekurangandan kesalahan yang menyinggung baik disengaja ataupun tidak disengaja. Oleh karena itu, kritik dan saran yang bersifat membangun akan diterima dengan senang hati untuk perbaikan selanjutnya. Semoga E-Modul ini bermanfaat bagi kita semua. Putra Rumbia, 05 Desember 2022 Penulis, Lina Fatmasari ii

DAFTAR ISI i ii KATA PENGANTAR.............................................................................................. iii DAFTAR ISI............................................................................................................. iv DAFTAR GAMBAR................................................................................................ v GLOSARIUM .......................................................................................................... viii KOMPONEN KONTEKSTUAL............................................................................ 1 PETA KONSEP ....................................................................................................... 3 PENDAHULUAN .................................................................................................... 3 PEMBELAJARAN 1 ............................................................................................... 3 FUNGSI KOMPOSISI ............................................................................................ 3 6 A. Tujuan Pembelajaran .................................................................................. 7 B. Uraian Materi............................................................................................... 7 C. Fungsi Komposisi ......................................................................................... 10 D. Sifat-sifat Komposisi Fungsi ....................................................................... 11 E. Contoh Soal................................................................................................... 12 F. Rangkuman .................................................................................................. 12 G. Latihan .......................................................................................................... 12 PEMBELAJARAN 2 ............................................................................................... 12 FUNGSI INVERS .................................................................................................... 14 A. Tujuan Pembelajaran .................................................................................. 17 B. Uraian Materi............................................................................................... 21 C. Fungsi Invers ................................................................................................ 22 D. Invers Dari Fungsi Komposisi .................................................................... 23 E. Contoh Soal................................................................................................... 24 F. Rangkuman .................................................................................................. G. Latihan .......................................................................................................... DAFTAR PUSTAKA............................................................................................... iii

DAFTAR GAMBAR 4 4 Gambar 1 : Komposisi Nasi Goreng Tahu ............................................................ 5 Gambar 2 : Proses Pembuatan Nasi....................................................................... 6 Gambar 3 : Pemetaan Komposisi Pada Fungsi..................................................... 13 Gambar 4 : Pembelian Bahan Bakar ..................................................................... 15 Gambar 5 : Perumpamaan Invers.......................................................................... 16 Gambar 6 : Pemetaan Invers suatu Fungsi ........................................................... 17 Gambar 7 : Lilin....................................................................................................... 18 Gambar 8 : Proses Pembuatan Lilin...................................................................... 19 Gambar 9 : Proses Pembuatan Roti....................................................................... Gambar 10 : Pemetaan Invers dari Fungsi Komposisi ........................................ iv

GLOSARIUM Daerah asal (domain) : Himpunan tak kosong dimana suatu relasi didefinisikan. Daerah kawan (kodomain) : Himpunan tidak kosong dimana anggota domain memiliki pasangan sesuai dengan fungsi yang didefinisikan. Daerah hasil (range) : Suatu himpunan bagian dari daerah kawan Diagram Panah: : Diagram yang membuat pola dalam bentuk arah panah yang Fungsi bijektif menyatakan hubungan antara anggotahimpunan A dengan Fungsi Invers anggota himpunan B. : Setiap anggota daerah asal memiliki satu pasangan di Fungsi komposisi daerah kawan dan begitu pula sebaliknya. Invers fungsi : Fungsi kebalikan dari suatu fungsi. Misalnya f sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. ������−1 disebut fungsi invers dari f jika dapat ditentukan sebuah fungsi ������−1 dari himpunan B ke himpunan A sedemikian sehingga ������−1 (f(a)) = a dan ������−1 (f(b))= b. : Sebuah fungsi hasil operasi komposisi dua buah fungsi atau lebih misal fungsi f dan g, fungsi komposisi f dan g ( ditulis : (g o f) ditentukan dengan (g o f)(x) = g (f(x)). : Sebuah relasi dari himpunan B ke himpunan A. v

KOMPONEN KONTEKSTUAL Pemodelan Tidak Berseragam Setiap hari kita pasti mengkonsumsi nasi makanan pokok. Tentu kita tahu bahwa Mengambil Meletakkan nasi yang kita bermula dari padi yang Seragam seragam sudah dipanen, kemudian dengan melalui beberapa tahapan pengolahan, padi yang Memakai Baju Melepas Baju telah melalui beberapa tahapan tadi akan menjadi nasi yang siap untuk dikonsumsi. Memakai Celana Melepas Celana Gambar 2: Proses Pembuatan Nasi Memasang Ikat Melepaskan Ikat Pinggang Pinggang Bertanya Jika proses padi menghasilkan Memasang Dasi Melepas Dasi beras mengikuti fungsi f(x) = 1,1x + 1 dan proses beras menghasilkan Berseragam nasi yang mengikuti fungsi g(x) = Gambar 5. Perumpamaan Invers 0,4x dengan x merupakan banyaknya padi dalam satuan kg. Penyelesaian : Jika bahan dasar padi yang tersedia (������������������)(������) = ������(������(������)) = ������(… ������ + 1) = untuk suatu produksi beras ⋯ (1,1������ + 1) = ⋯ ������ + 0,4 seberat 100 kg, berapakah Apabila berat bahan dasar padi yang persediaan nasi yang akan dihasilkan akan diproduksi adalah 100 kg, maka berat nasi yang dihasilkan adalah Konstruktivisme (������������������)(������) = 0,44������ + ⋯ (������������������)(100) = 0,44������(… ) + 0,44 = ⋯ + 0,44 = ⋯ Jadi berat nasi yang akan akan dihasilkan adalah …kg. vi

Masyarakat Belajar Ayo Berdiskusi ! Ayo Berdiskusi ! Buatlah kelompok beranggotakan 2 atau 3 orang, kemudian diskusikan Buatlah kelompok yang beranggotakan 2 permasalahan berikut bersama atau 3 orang, kemudian diskusikan kelompokmu ! masalah berikut bersama kelompokmu ! Yamar adalah siswa perwakilan OSIS Suatu produk kertas berbahan dasar kayu yang mengikuti seminar tata ruang memproduksi kertas melalui dua tahap. yang diselenggrakan di hotel Aston. Tahap pertama dengan menggunakan Untuk menuju ke kelas seminar, yamar mesin I yang menghasilkan bahan kertas memilih menggunakan lift dengan setengah jadi, tahap kedua menggunakan fungsi penggunaan lift f(x) = x + k, mesin II yang menghasilkan bahan kertas. dimana x adalah lantai tempat yamar Produksi mesin I menghasilkan bahan berada dan k adalah banyaknya lantai setengah jadi dengan fungsi f(x) = 0,7x yang akan dinaiki atau dituruni. Setelah + 10 dan pada mesin II terdapat campuran selesai menghadiri pelatihan, yamar lain sehingga mengikuti fungsi g(x) = turun menggunakan lift menuju lantai 0, 02x2 + 12x, dengan x merupakan 1. Tentukan permodelan kasus ini banyaknya bahan dasar kayu dalam berdasarkan fungsi dari penggunaan lift satuan ton. yang sudah ditentukan ! vii

PETA KONSEP Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi Fungsi Komposisi Fungsi Invers Syarat dan Nilai fungsi Syarat agar Sifat – sifat aturan fungsi komposisi dan sutu fungsi fungsi invers yang dapat pembentuknya mempunyai dikomposisikan invers Fungsi Sifat – sifat Grafik fungsi Fungsi invers komposisi dari fungsi invers dari suatu fungsi beberapa komposisi fungsi viii

PENDAHULUAN A. Identitas E – Modul Mata Pelajaran : Matematika Wajib Kelas : X (sepuluh) Alokasi Waktu : 2 JP Judul e-modul : Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers Sebelum mempelajari e-modul ini, harus sudah memahami dan menguasai konsep relasi dan fungsi serta operasi aljabar pada fungsi sebagai materi prasyarat. B. Standar Kompetensi Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi. C. Kompetensi Dasar 3.6 Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada fungsi invers serta sifat – sifatnya serta menentukan ekstentitasnya. 4.6 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi komposisi dn operasi invers suatu fungsi. D. Deskripsi Singkat Materi Modul elektronik atau e-modul ini disusun sebagai alternatif media pembelajaran untuk memahami materi fungsi komposisi dan fungsi invers kelas X. Dengan e-modul ini peserta didik diarahkan untuk memahami konsep fungsi komposisi dan invers suatu fungsi serta menyelesaikan masalah kontekstual menggunakan fungsi komposisi dan fungsi invers. Adapun banyak penerapan fungsi komposisi dan fungsi invers dalam kehidupan sehari-hari diantaranya dalam bidang ilmu yang lain fungsi komposisi dan invers suatu diterapkan seperti dalam bidang ekonomi digunakan untuk menghitung dan memperkirakan sesuatu seperti fungsi permintaan dan penawaran, bidang kimia digunakan untuk menentukan waktu peluruhan unsur, bidang geografi dan sosiologi digunakan untuk optimasi dalam industri dan kepadatan penduduk alam. Modul ini terbagi menjadi dua kegiatan pembelajaran yaitu pembelajaran 1 akan membahas tentang fungsi komposisi dan pembelajaran 2 akan membahas tentang fungsi invers. 1

E. Petunjuk Penggunaan E-Modul 1. PetunjukUmum a. Pelajari daftar isi dan skema motor untuk menuntun dalam mempelajari modul ini dan kaitannya dengan modul lain. b. Untuk mempelajari modul ini haruslah menguasai materi prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. c. Pahamilah contoh soal dan kerjakanlah soal latihan yang ada. Jika ada kesulitan, maka pelajari kembali materi terkait. d. Kerjakan soal evaluasi dengan cermat, jika menemui kesulitan maka pelajari kembali. e. Jika kesulitan yang ditemui tidak dapat dipecahkan, maka catatlah dan kemudian tanyakan pada guru saat jadwal kegiatan belajar tatap muka atau cari referensi lain untuk mendapat pengetahuan. 2. Petunjuk Khusus a. Pada kegiatan pembelajaran peserta didik akan mempelajari bagaimana memahami konsep dan menyelesaikan masalah Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. b. Perhatikan gambar dan uraikan dengan seksama agar dapat memahami, menentukan dan menggeneralisasikan fungsi komposisi dan fungsi invers serta mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi komposisi dan invers. c. Pahamilah contoh soal dan kerjakanlah soal latihan serta soal evaluasi yang ada dengan cermat agar lebih paham dan terampil. 2

PEMBELAJARAN 1 FUNGSI KOMPOSISI A. Tujuan Pembelajaran Setelah kegiatan pembelajaran 1, diharapkan peserta didik dapat : 1. Menjelaskan fungsi komposisi 2. Mengidentifikasi sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan koperasi komposisi B. Uraian Materi Konsep relasi dan fungsi serta operasi aljabar pada fungsi adalah materi prasyarat sebelum mempelajari modul ini. Tujuan dari mempelajari materi pembelajaran ini adalah untuk menggali materi-materi tentang konsep komposisi dan invers kemudian operasi-operasi pada fungsi komposisi dan fungsi invers beserta sifat-sifatnya. Komposisi atau operasi fungsi secara umum dilakukan untuk menghasilkan nilai tertentu setelah melalui tahapan atau prosedur operasi tertentu. Banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, contoh singkat kita mulai dari tahapan kegiatan bagi seorang siswa sebelum berangkat ke sekolah yaitu dimulai dengan mandi kemudian memakai seragam lalu bersiap-siap untuk ke sekolah, hasil dari tahapan ini tentu akan berbeda jika dilakukan sebaliknya. Benda-benda di sekitar kehidupan kita banyak yang pembuatannya harus terlebih dahulu melalui beberapa tahapan. Seperti halnya pembuatan makanan yang terdiri dari beberapa tahapan penggabungan bahan. Berikut permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan fungsi komposisi. Puasa merupakan rukun islam yang ketiga. Puasa adalah menahan diri dari makan, minum dan dari segala hal yang dapat membatalkan puasa, mulai terbit fajar hingga terbenamnya matahari. Pada bulan ramadhan 1443 H, murid kelas X MIA 1 akan mengadakan buka puasa bersama di sebuah rumah makan yaitu rumah makan berkah. Perangkat kelas yang menjadi koordinator acara buka bersama akan memesan menu berbuka yaitu nasi goreng tahu. Oleh karena itu, pihak rumah makan berkah harus mengetahui berapa banyak bahan yang disediakan untuk mempersiapkan nasi goreng tahu sebagai menu berbuka yang sudah di pesan oleh koordinator acara. Hal ini dilakukan agar bahan yang 3

digunakan cukup dan tidak berlebihan. Untuk itu pihak rumah makan berkah harus menghitung banyak nya bahan yang akan digunakan pada proses pembuatan nasi goreng tahu. Untuk komposisi utama dari nasi goreng tahu ini tentunya adalah nasi dan tahu. Gambar 1 : Komposisi Nasi Goreng Tahu Dalam matematika rincian persediaan dan dari setiap proses pembuatan asi dan proses pembuatan tahu dapat dinyatakan dalam suatu fungsi komposisi. Untuk lebih memahami fungsi komposisi, mulailah dengan memperhatikan permasalahan kontekstual berikut. Ayo Berpikir! Setiap hari kita pasti mengkonsumsi nasi sebagai makanan pokok. Tentu kita tahu bawahan asian kitab konsumsi bermula dari padi yang sudah dipanen, kemudian dengan memulai beberapa tahapan pengolahan padi tersebut akan menjadi nasi yang siap untuk dikonsumsi. Gambar 2 : Proses Pembutan Nasi Perhatikan proses yang dilalui untuk mengolah padi hingga menjadi beras. Tahap yang harus dilalui yaitu padi yang digiling akan menjadi beras, kemudian beras yang 4

dimasak akan menjadi nasi. Dengan menggabungkan dua tahapan pengolahan padi proses ini dapat umpan fungsi komposisi. f(x) = g(x) = Padi Digiling Dimasak Nasi (x) Beras g(f(x)) f(x) (gof)(x) = Proses dari padi hingga menjadi nasi Gambar 3 : Pemetaan Komposisi pada Fungsi Jika proses padi menghasilkan beras mengikuti fungsi f(x) = 1,1x + 1 dan proses beras menghasilkan nasi yang mengikuti fungsi g(x) = 0,4x dengan x merupakan banyaknya padi dalam satuan kg. Jika bahan dasar padi yang tersedia untuk suatu produksi beras seberat 100 kg, berapakah persediaan nasi yang akan dihasilkan ? Penyelesaian : (������������������)(������) = ������(������(������)) = ������(… ������ + 1) = ⋯ (1,1������ + 1) = ⋯ ������ + 0,4 Apabila berat bahan dasar padi yang akan diproduksi adalah 100 kg, maka berat nasi yang dihasilkan adalah (������������������)(������) = 0,44������ + ⋯ (������������������)(100) = 0,44������(… ) + 0,44 = ⋯ + 0,44 =⋯ Jadi berat nasi yang akan dihasilkan adalah … kg. Proses penggilingan padi hingga menjadi beras yang dilakukan pada tahap I, kemudian dilanjutkan dengan memasak beras hingga menjadi nasi pada tahap II. 5

Dengan demikian, fungsi ������(������) disubstitusikan ke fungsi ������(������). Artinya pada pengolahan padi menjadi nasi berlaku komposisi (������������������)(������) = ������(������(������)). C. Fungsi Komposisi Gambar 4 : Pembelian Bahan Bakar Untuk menambah pemahaman kamu mengenai fungsi komposisi, silahkan simak video brikut untuk melihat penyelesaian permasalahan mengenai pembelian bahan bakar. KOMPOSISI_FUNGSI_l_Penerapan(360p).mp4 Penjelasan di atas merupakan bagian dari permasalahan komposisi fungsi dalam kehidupan sehari-hari kita. Bagaimana sekarang, apakah sudah dipahami apa yang dimaksud dengan komposisi fungsi? Ayo kita kaji lebih dalam lagi. Fungsi komposisi merupakan sebuah fungsi hasil operasi komposisi dua buah fungsi atau lebih. Perhatikan ilustrasi dibawah ini : A BC x fygz ������������������ Keterangan diagram diatas adalah (gof)(x) = g(f(x)) mula – mula unsure dipetakan oleh f ke ������ = ������(������) kemudian y dipetakan oleh g ke ������ = ������(������) = ������(������(������)). Secara singkat,jika ������: ������ → ������ dan ������: ������ → ������ maka kita definisikan suatu fungsi komposis ������������������: ������ → ������ sedemikian hingga (������������������)(������) = ������(������(������)). 6

Jika f dan g fungsi Rf ႶDg ≠ ∅ maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis(gof) dan dibaca g bundaran ������ yang ditentukan dengan ℎ(������) = (������������������)(������) = ������(������(������)). Dengan memperhatikan definisi dari fungsi komposisi diatas dapat diperoleh pengertian singkat mengenai fungsi komposisi (������������������) dan (������������������) yaitu apabila : Komposisi fungsi (gof) : jika fungsi ������ dan ������ memenuhi Rf ႶDg ≠ ∅ Komposisi fungsi (fog) : jika fungsi ������ dan ������ memenuhi Rg ႶDf ≠ ∅ D. Sifat-sifat Komposisi Fungsi 1. Pada operasi komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif yaitu : ������������������ ≠ ������������������ 2. Pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif yaitu : ������������(������������ℎ) = (������������������)������ℎ 3. P operasi komposisi fungsi berlaku sifat identitas yaitu : ������������������ = ������������������ = ������ E. Contoh Soal Diketahui ������: ������ → ������ dan ������: ������ → ������ dinyatakan dalam pasangan terurut: ������ = {(1,3), (2,4), (3,5), (4,6))} dan ������ = {(3,0), (4,1), (5,2)} Tentukanlah : a) (������������������) b) (������������������) c) (������������������)(5) d) (������������������)(3) Penyelesaian : a) (������������������) pemetaan oleh g dilanjutkan pemetaan oleh ������. ������(4) = 1 dan ������(������(4)) = ������(1) = 3 ������(5) = 2 dan ������(������(5)) = ������(2) = 4 7

Sehingga (������������������) = {(4,3), (5,4)} g f 3 4 3 0 5 4 1 6 5 2 b) (������������������) pemetaaan oleh f dilanjutkan pemetaan oleh ������. ������(1) = 3 dan ������(������(1)) = ������(3) = 0 ������(2) = 4 dan ������(������(2)) = ������(4) = 1 ������(3) = 5 dan ������(������(3)) = ������(5) = 2 Sehingga (������������������) = {(1,0), (2,1), (3,2)} g f 1 30 2 41 3 52 46 c) (������������������)(5) = 4 d) (������������������)(3) = 2 Contoh 2 : Diketahui ������: ������ → ������; ������(������) = ������2 + 2, ������: ������ → ������; ������(������) = ������ + 1 Tentukan : a) (������������������)(������) b) (������������������)(������) c) (������������������)(1) d) (������������������)(2) 8

Penyelesaian : a) Pada (������������������)(������)dipetakan lebih dulu oleh ������(������) kemudian ������(������) dipetakan oleh f(x) = (������ + 1)2 + 2 = (������2 + 2������ + 1) + 2 = ������2 + 2������ + 3 b) Pada (������������������)(������)dipetakan lebih dulu oleh ������(������), kemudian ������(������) dipetakan oleh ������(������). (������������������)(������) = ������(������(������)) = ������(������2 + 2) = (������2 + 2) + 1 = ������2 + 3 c) (������������������)(������) = ������2 + 2������ + 3 (������������������)(1) = 12 + 2(1) + 3 =1+2+3=6 d) (������������������)(������) = ������2 + 3 (������������������)(2) = 22 + 3 =4+3=7 Contoh 3 : Fungsi ������: ������ → ������, ������: ������ → ������ dan ℎ: ������ → ������ yang didefinisikan oleh rumus ������(������) = ������ + 1, ������(������) = 2������2 dan ℎ(������) = ������ + 1. Tentukan rumus untuk (������������������), (������������������), (������������������������ℎ), dan (ℎ������������������������) Penyelesaian : (������������������)(������) = ������(������(������)) = ������(������ + 1) = 2(������ + 1)2 = 2(������2 + 2������ + 1) = 2������2 + 4������ + 2 Sehingga (������������������)(������) = 2������2 + 4������ + 2 (������������������)(������) = ������(������(������)) = ������(2������2) = 2������2 + 1 Sehingga (������������������)(������) = 2������2 + 1 9

Catatan : Dari jawaban di atas didapat fungsi (������������������) dan (������������������) tidak sama, sehingga disimpulkan bahwa komposisi fungsi tidak bersifat komutatif. (������������������������ℎ)(������) = ������(������(ℎ(������))) = ������(������(2������ − 4)) = ������(2(2������ − 4)2) = ������(2(42 − 16������ + 16)) = ������(8������2 − 32������ + 32) = (8������2 − 32������ + 32) + 1 = 8������2 − 32������ + 33 Sehingga (������������������������ℎ)(������) = 8������2 − 32������ + 33 (ℎ������������������������)(������) = ℎ(������(������(������))) = ℎ(������(������ + 1)) = ℎ(2(������ + 1)2) = ℎ(2(������2 + 2������ + 1)) = ℎ(2������2 + 4������ + 2) = 2(2������2 + 4������ + 2) − 4 = (4������2 + 8������ + 4) − 4 = 4������2 + 8������ Sehingga (ℎ������������������������)(������) = 4������2 + 8������ F. Rangkuman 1) Komposisi fungsi ������ dan ������ didefinisikan (������������������) = ������(������(������)) dan (������������������)(������) = ������(������(������)). 2) Komposisi fungsi (������������������): jika fungsi ������ dan ������ memenuhi Rf ႶDg ≠ ∅ Komposisi fungsi (������������������): jika fungsi ������ dan ������ memenuhi Rg ႶDf ≠ ∅ 3) Sifat – sifat komposisi fungsi a. Tidak komutatif b. Bersifat Assosiatif ������������(������������ℎ) = (������������������)������ℎ c. Memiliki fungsi identitas ������������������ = ������������������ = ������ 10

4) Komposisi fungsi ������, ������ dan ℎ didefinisikan (������������������������ℎ)(������) = ������(������(ℎ(������))) dan (������������������������ℎ)(������) = ������(������(ℎ(������))) G. Latihan Soal 1. Diketahui ������(������) = 3������ + 2 dan ������(������) = 4������2. Tentukan : a. Hasil fungsi komposisi (������������������)(������) b. Nilai dari (������������������)(3) 2. Jika ������(������(������)) = ������(������(������)) dengan ������(������) = 7������ + 3 dan ������(������) = 3������ + ������. Berapa nilai k? 3. Diketahui (������������������)(������) = 4������ − 2 dan ������(������) = ������2 + 1. Jika ������(������) = 18, maka tentukan nilai n ! 4. Diketahui ������: ������ → ������, ������: ������ → ������ dan ℎ: ������ → ������ ditentukan oleh fumus ������(������) = 2������ + 4, ������(������) = 3������ dan ℎ(������) = 2������2 − 1. Tentukan : a. (������������������)������ℎ)(������) b. ������������(������������ℎ)(������) 11

PEMBELAJARAN 2 FUNGSI INVERS A. Tujuan Pembelajaran Setelah kegiatan pembelajaran 2 diharapkan peserta didik dapat : 1. Memahami operasi invers pada fungsi invers 2. Memahami sifat-sifat operasi invers pada fungsi invers 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan invers pada suatu fungsi B. Uraian Materi Kita semua tahu bahwa setiap sekolah pasti memiliki aturan, yang mana aturan ini harus dipatuhi oleh setiap warga sekolah. Jika aturan dilanggar pasti akan ada sanksi yang diberikan pihak sekolah untuk warga sekolah yang melanggar. Salah satu aturan yang ada disekolah ialah memakai seragam sekolah sesuai yang sudah dijadwalkan. Salah satu seragam sekolah yang dipakai oleh siswa SMA/MA adalah seragam putih abu-abu. Saat kalian bersiap-siap untuk pergi ke sekolah tentu kalian akan menggunakan seragam sekolah yang sudah kalian siapkan untuk hari itu. Mulai dari mengambil seragam, memakai baju, memakai celana, memasang ikat pinggang dan memasang dasi. Begitu pun setelah pulang dari sekolah kalian juga diharuskan untuk mengganti seragam sekolah kalian. Proses memakai seragam dan mengganti seragam akan digambarkan sebagai berikut. 12

Tidak Berseragam Mengambil Seragam Meletakkan Seragam Memakai Baju Melepas Baju Memakai Celana Melepas Celana Memasang Ikat Pinggang Melepaskan Ikat Pinggang Memasang Dasi Memasang Dasi Berseragam Gambar 5 : Perumpamaan Invers Setelah kalian memperhatikan alur kegiatan saat memakai seragam dan mengganti seragam di atas, maka dpat dikatakan bahwa kegiatan tersebut merupakan kegiatan yang berkebalikan, dan dalam matematika proses seperti ini dinamakan invers. Untuk lebih memahami fungsiinvers,mulailah dengan memperhatikan permasalahan kontekstual berikut. Dalam rangka penerimaaan siswa baru, sekolah akan memesan baju batik sekolah ke pengusaha konveksi. Jika biaya keseluruhan untukmembuat baju adalah ������(������) = 105.000 + 50.000 dengan ������ adalah banyaknya baju yang dipesan. Jika dana yang disiapkan sekolah sebesar ������������. 8.030.000,00. Tentukan banyaknya baju yang dapat dipesan oleh pihak sekolah ? Penyelesaian: ������(������) = 105.000������ + 50.000 13

Misalkan ������(������) = ������ ������ = 105.000������ + 50.000 ������ − 50.000 = ⋯ ������ ������−50.000 = ������ … ������ = ������−50.000 … Apabila dana yang dipersiapkan sekolah sebesar ������������. 8.030.000,00, maka banyakbaju yang dapat dipesan oleh pihak sekolah adalah ������ = ������−50.000 … ������ = 8.030.000,00−⋯ … ������ = … 105.000 ������ = ⋯ Jadi banyakbaju yang dapat dipesan pihak sekolah adalah… baju C. Fungsi Invers Tahukah kalian apa perbedaan dari invers fungsidan fungsi invers? Perhatikan contoh berikut. Fungsi ������: ������ → ������ dengan ������ = {(������, ������)|������ = ������(������), ������ ∈ ������ dan ������ ∈ ������} yang dihubungkan oleh ������(������) = 2������. Jika daerah asal (domain) Df = {… , −2, −1,2 … }, maka daerah hasil (Range) adalah ; ������(2) = 2. (−2) = 4 ������(−1) = 2. (−1) = −2 ������(2) = 2.2 = 4 Jadi Range Rf = {…,-4,-2,2,…} Pasangan berurutan dari fungsi ������ adalah ������: {… (−2, −4), (−1, −2), (2,4), … } Kemudian hubungan dengan diagram panah seperti dibawah ini: ������ = 2������ AB -2 -4 -1 -2 24 14

Invers dari fungsi ������ adalah ������−1: ������ → ������. Dari pasangan fungsi ������ kita dapat dapatkan daerah asal invers fungsi ������, yaitu ���������−��� 1 = {… , −4, −2,4, … }. Derah hasil ���������−��� 1 = {… , −2, −1,2, … }. Pasangan berurut invers fungsi adalah ������−1 = {(−4, −2), (−2, −1), (4,2), … }. Kemudian kita hubungkan dengan diagram panah seperti dibawah ini : ������−1 = 1 ������ B 2 A -4 -2 -2 -1 42 Dari penjelasan diatas kita tahu bahwa setiapdua unsur yang berbeda didalam domain ������ dikawankan dengan dua unsur yang berbeda didalam daerah kawan (kodomain) ������. Ini berarti relasi pada invers fungsi ������ merupakan relasi satu – satu, setiapunsur didalam daerah asalnya dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsure didalam daerah hasil (Range). Innvers dari fungsi ������ memenuhi syarat sebagai sebuah fungsi , jadi ������−1 disebut fungsi invers. Sekarang kalian amati fungsi ������: ������ → ������ dengan ������ = {(������, ������)|������ = ������(������), ������ ∈ ������ ������ ∈ ������} dihubungkan oleh ������(������) = ������2. Jika daerah asal (domain) Df = {…,-2,2,3,…}, maka daerah hasilnya (Range) adalah : ������(−2) = (−2)2 = 4, ������(2) = 22 = 4, ������(3) = 32 = 9. Pasangan berurut fungsi g = {…,(-2,4),(2,4),(3,9),…}. Pasangan berurut invers dari fungsi g adalah ������−1 = {… , (4, −2), (4,2), (9,3)}. Kemudian kita hubungkan dengan diagram panah seperti dibawah ini : g ������−1 AB BA -2 4 4 -2 2 2 39 93 Gambar 6:Pemetaan invers suatu fungsi 15

Dari penjelasan tersebut kita tahu bahwa ada unsure ������ didalam doamain g dikawankan dengan unsur ������ yang sama di dalam daerah kawan g yaitu nomor 2 dan - 2. Unsur 2 dan -2 dipetakan ke unsur yang sama,yaitu 4. Akibatnya, invers dari fungsi ini menghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbed, yaitu 2 dan -2. Dengan demikian invers dari fungsi di atas tidak sesuai dengan aturan fungsi. Jadi, invers dari fungsi g (������) = ������2 bukan merupakan fungsi akan tetapi sebuah relasi.. Untuk itu, ������−1 disebut invers dari fungsi g. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa invers atau kebalikan dari suatu fungsi, tidak selalu menghasilkan fungsi. Jika invers dari suatu fungsi merupakan fungsi juga, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers. Adapun syarat agar suatu fungsi merupakan fungsi invers jika dan hanya jika ������ suatu fungsibijektif (koresponden satu-satu). Sifat 1 : Suatu fungsi ������: ������ → ������ dikatakan memiliki fungsi invers ������−1: ������ → ������ jika danhanya jika fungsi ������ merupakan fungsi bijektif. Cara menentukan fungsi invers sebagai berikut : a. Ubah persamaan ������ = ������(������) menjadi ������ sebagai fungsi dari ������ b. Hasil perubahan bentuk ������ sebagai fungsi dari ������ itu dinamakan sebagai ������−1(������) c. Ubah ������ menjadi ������ serta ������−1(������) menjadi ������−1(������) Sifat 2 : Misalkan ������−1 adalah fungsi invers ������. Untuk setiap ������ ∈ ������������ dan ������ ∈ ������������, maka berlaku ������ = ������(������) jika dan hanya jika ������−1(������) = ������ Sekarang perhatikan permasalahan kontekstual yang terkait denganfungsi invers. Gambar 7 : Lilin 16

Setiap dari kalian pasti tidak asing lagi dengan lilin. Lilin merupakan salah satu benda yang dapat menjadi perumpamaan invers. Pada saat lilin dinyalakan atau dipanaskan, lilin yang awalnya berbentuk padat akan meleleh menjadi cair (diumpamakan sebagai f(x)), dan ketika lilin dimatikan/didiamkan maka lelehan lilin akan berubah menjadi padat kembali (diumpamakan sebagai ������−1. Lilin Padat ������(������) = dipanaskan ������−1(������) = didiamkan Lilin Cair Perhatikan wujud lilin yang terjadi hanya mengubah bentuk lilin tetapi tidak mengubah sifat dari lilin. Untuk lebih memahami penjelasan mengenai permasalahan fungsi invers, perhatikan permasalahan kontekstual berikut mengenai proses pembuatan liin hias. Gambar 8 : Proses Pembuatan Lilin Hias D. Invers Dari Fungsi Komposisi (������������������)(������) ������ ������ a bc (������������������)−1(������) 17

Dari diagram diatas terlihat bahwa fungsi komposisi (������������������) memetakan ������ ������������ ������. Sedangkan fungsi invers dari (������������������), yaitu (������������������)−1 memetakan ������ ������������ ������, atau dapat dinyatakan dengan (������������������)−1(������) = ������. Secara umum dapat dikatakan bahwa : (������������������)−1(������) = (������−1 ������ ������−1)(������) atau (������������������)−1(������) = (������−1 ������ ������−1)(������) Untuk lebih memahami invers dari fungsi komposisi, perhatikan penyelesaian dari permasalahan kontekstual berikut. Gambar 9 : Proses Pembuatan Roti Sebuah pabrik pembuatan roti akan memproduksi roti untuk di ekspor ke Singapura. Adapun bahan baku pembuatan roti itu sendiri adalah tepung,mentega, gula, garam,danragi. Proses produksi roti akan melewati dua tahap yaitu tahap pertama tahap pengadonan bahan baku yang akan digunakan dan tahap yang kedua adalah pengovenan adonan. Jika adonan roti yang dihasilkan mengikuti fungsi ������(������) = 2,5������ − 12 (dalam adonan). Tentukan : a. Rumus invers fungsi dari fungsi komposisi (������������������)(������) b. Berapakah berat bahan baku yang digunakan jika roti yang dihasilkan seberat 8 kg? Untuk menjawab pernyataan diatas, simak penjelasan berikut. 18

(������������������)(������) ������(������) = 2,5������ − 12 ������(������) = 2������ Bahan Adonan Roti baku f(x) g(f(x) (x) (������������������)−1(������) Gambar 10: Pemetaan Invers dari Fungsi Komposisi Untuk menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi (������������������)(������) kita dapat mencarinya dengan menggunakan dua cara yaitu : Cara I : Menentukan invers dari masing – masing fungsi, kemudian dikomposisikan. Misalkan ������(������) = ������ ������ = 2,5������ − 12 ������ + 12 = 2,5������ ������+12 = ������ 2,5 ������ = ������+12 2,5 Karena ������ = ������−1(������), maka ������−1(������) = ������2+,512. Karena ������−1(������) = ������+12, maka ������−1(������) = ������+12 2,5 2,5 Jadi invers fungsi dari ������(������) = 2,5������ − 12 adalah ������−1(������) = ������+12 2,5 Misalkan ������(������) = ������, maka 19

������ = 2������ ������ = ������ 2 ������ = ������ 2 Karena ������ = ������−1(������), maka ������−1(������) = ������. 2 Karena ������−1(������) = ������, maka ������−1(������) = ������ 2 2 Jadi invers fungsi dari ������(������) = 2������ adalah ������−1(������) = ���2���, kemudian komposisikan kedua invers fungsi tersebut. (������������������)−1 = (������−1 ������ ������−1)(������) = ������−1(������−1(������)) = ������−1(������+12) 2,5 ������+12 = 2,5 2 = ������+12 5 Jadi (������������������)−1(������) = ������+12 5 Cara II Menentukan dahulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan inversny. (������������������)(������) = ������(������(������)) = ������(2������) = 2,5(2������) − 12 = 5������ − 12 Jadi, fungsi komposisi (������������������)(������) = 5������ − 12 , kemudian mencari inversnya Misalkan (������������������)(������) = ������, maka ������ = 5������ − 12 ������ + 12 = 5������ 20

������+12 = ������ 5 ������ = ������+12 5 Karena ������ = (������������������)−1(������), maka (������������������)−1(������) = ������+12 5 Karena (������������������)−1(������) = ������+12, maka (������������������)−1(������) = ������+12 5 5 Kemudian menentukan berat bahan baku yang digunakan jika roti yang dihasilkna seberat 8 kg adalah (������������������)−1(������) = ������+12 5 = 8+12 5 = 20 = 4 5 Jadi, berat bahan baku yang digunakan adalah 4 kg. E. Contoh Soal Contoh 1 : Diketahui ������(������) = 3������−1 Tentukan ������−1(������) ! 2������+4 Penyelesaian : Misalkan ������(������) = ������, maka ������ = 3������−1 2������+4 ������ = (2������ + 4) = 3������ − 1 2������������ + 4������ = 3������ − 1 2������������ − 3������ = −4������ − 1 ������(2������ − 3) = −4������ − 1 ������ = −4������−1 2������−3 ������−1(������) = −4������−1 2������−3 21

Contoh 2: Jika ������(������) = 2������−2 dan ������ ∈ ������, ������ ≠ 3 dan ������−1(������). Tentukan nilai k ! 2������−4 4 Penyelesaian : Misalkan ������(������) = ������ ������ = 2������−2 3������−4 ������(3������ − 4) = 2������ − 2 3������������ − 4������ = 2������ − 2 3������������ − 2������ = 4������ − 2 ������(3������ − 2) = 4������ − 2 ������ = 4������−2 3������−2 ������−1(������) = 4������−2 3������−2 ������−1(������) = 4������−2 3������−2 2 = 4������−2 3������−2 2(3������ − 2) = 4������ − 2 6������ − 4 = 4������ − 2 6������ − 4������ = −2 + 4 2������ = 2 ������ = 2 = 1 2 F. Rangkuman 1. Pengertian fungsi invers : Jika fungsi ������: ������ → ������ yang memenuhi peta ������(������) = ������ maka invers ������ adalah fungsi ������: ������ → ������ dengan peta ������(������) = ������ 2. Sifat fungsi invers 22

a. Suatu fungsi ������: ������ → ������ dikatakan memiliki fungsi invers ������−1: ������ → ������ jika dan hanya jika fungsi ������ merupakan fungsi bijektif. b. Misalkan ������−1 adalah fungsi invers fungsi ������−1. Untuk setiap ������ ∈ ������������ dan ������ ∈ ������������, maka berlaku ������ = ������(������) jika dan hanya jika ������−1(������) = ������. c. Jika ������ sebuah fungsi bijektif dan ������−1 adalah fungsi invers dari fungsi ������, maka fungsi invers dari ������−1 adalah fungsi itu sendiri, Disimbolkan (������−1)−1 = ������. d. Fungsi ������−1 merupakan fungsi invers dari fungsi ������ jika dan hanya jika (������−1������������)(������) = ������ = ������(������) untuk setiap ������ ∈ ������������, dan (������−1������������)(������) = ������ = ������(������) untuk setiap ������ ∈ ������������ 3. Fungsi invers dari fungsi komposisi Secara umum berikut : (������������������)−1(������) = ������−1 ������ ������−1(������) atau (������������������)−1(������) = ������−1 ������ ������−1(������) G. Latihan Soal 1. Diketahui ������(������) = ������−6 ; ������ ≠ 0 atau ℎ(������) = 2������ − 7. Tentukan : 2������ a. ������−1(������) dan ℎ−1(������) b. (������������ℎ)−1(������) dan (ℎ������������)−1(������) 2. Diketahui ������(������) = 2������ − 7 dan (������������������)(������) = 6������ + 4. Tentukan : a. ������−1(������) b. Nilai ������−1(10) 3. Diketahui ������(������) = 5������ + 6, ������(������) = ������ − 2 dan ℎ(������) = 3������; ������ ≠ 0. Carilah nilai x sehingga (������������������������ℎ)−1(������) = 5! 4. Tentukan invers dari : a. ������(������) = 6������2 + 7������ + 2 b. ������(������) = 5√8 − 3������ 23

DAFTAR PUSTAKA Astuti, A, Y, Muklis, dan Ngapiningsih. (2021). Buku Interaktif Matematika untuk SMA/MA Mata Pelajaran Wajib Kelas X Semester 2. Yogyakarta : Intan Pariwara. Miyanto, Ngapiningsih, dan Suparno. (2017). Matematika Mata Pelajaran Wajib SMA/MA Kelas X Semester 2. Klaten : Intan Parawira. Sutisna, E. (2020). Modul Matematika Umum Kelas X. Drektorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, dan DIKMEN. Widodo, U. (2015). Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Wajib. Jalarta : Erlangga 24


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook