proving math m.4

การพสิ ูจน์ทางคณติ ศาสตร์ Proving math ค30201 คณติ ศาสตร์เข้ม 1 ธัญญารัตน์ เจริญศิริ ครูชานาญการพเิ ศษ โรงเรียนวีรวัฒน์โยธิน

คำนำ เอกสารประกอบการสอนเร่ืองการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เล่มนี้จัดทาข้ึนสาหรับ นกั เรยี นช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 มีจุดมุ่งหมายเพือ่ พฒั นาผู้เรียนให้มีความรู้ ความเขา้ ใจเร่อื ง การพสิ ูจน์ทางคณิตศาสตร์ และเป็นการเพิ่มพูนทักษะกระบวนการต่างๆ ในการเรียนโดย ใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ไดส้ อดแทรกเน้ือหาและภาพประกอบ เพื่อสง่ เสริมใหผ้ ้เู รยี น เกิดความสนใจ เกิดเจตคติท่ีดีต่อการเรียน คณิตศาสตร์ หวังเป็นอย่างย่ิงว่าจะเป็น ประโยชน์ต่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ซ่ึงจะช่วย ยกระดับคุณภาพการศึกษาของ นักเรยี นในช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 ให้มีประสิทธิภาพ ดยี ิง่ ข้นึ ธัญญารตั น์ เจริญศิริ

คำชแี้ จง 1. ผลการเรยี นรู้ของรายวชิ าคณิตศาสตร์เขม้ 1 ให้ละเอยี ดครบถ้วน 2. ควรศึกษาใบความรู้ ขั้นตอนและวธิ กี ารจากตวั อยา่ งกอ่ นทาแบบฝกึ 3. ควรมีความซ่ือสัตย์ในการทาแบบฝึกหดั และแบบทดสอบ 4. ควรขอคาแนะนาเพิ่มเติมจากครูเมื่อเกิดข้อ 5. นกั เรยี นควรทาแบบฝึกให้ครบถว้ นทกุ แบบฝกึ กอ่ นลงมือทาแบบทดสอบ

ใบความรู้ เร่ือง การพสิ ูจน์ทางคณิตศาสตร์ การศึกษาคณิ ตศาสตร์ในปัจจุบันส่วนใหญ่เป็ นการศึกษาถึงโครงสร้างของระบบ คณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์ที่คนส่วนใหญค่ ุน้ เคยไดแ้ ก่ ระบบจานวน เนื่องจาก ในสมยั ก่อน การศึกษาคณิตศาสตร์เป็ นการศึกษาจานวน เพ่ือใช้แกป้ ัญหาในชีวิตประจาวนั การแก้ปัญหาใน ระบบต่างๆ ยอ่ มอาศยั วิธีการท่ีแตกต่างกนั วธิ ีการแกป้ ัญหาระบบหน่ึง อาจใชไ้ ดอ้ ีกระบบหน่ึง ถา้ ระบบโครงสรา้ งของระบบสมสนั ฐาน (Isomorphic) กนั โครงสร้างของระบบคณติ ศาสตร์ คณิตศาสตร์ คือ วิชาท่ีว่าด้วยหลักเกณฑ์ และวิธีการที่เก่ียวกับความสัมพนั ธ์ หรือการ ดาเนินการ (Operation) ของสิ่งท่ีเป็ นนามธรรม ซ่ึงสร้างเพื่อใช้อธิบายส่ิงต่างๆในธรรมชาติ ระบบคณิตศาสตร์จงึ เป็นระบบท่เี ป็นนามธรรม ซ่ึงประกอบดว้ ย (1) พจน์อนิยาม (Undefined Term) หมายถึงพจน์หรือสญั ลกั ษณ์ทย่ี งั ไม่ได้ ตคี วามหมาย ประกอบดว้ ย - เอกภพสมั พทั ธ์ ทเ่ี ป็นสิ่งที่เป็ นสมาชิกของส่ิงทเี่ ป็นนามธรรม - ตวั สมั พนั ธ์ หรือตวั ดาเนินการ (2) พจน์นิยาม (Defined Term) หมายถึงพจนท์ อ่ี ธิบายได้ โดยอาศยั พจน์อนิยาม ตอ้ งมีความหมายชดั เจน และรัดกุม ซ่ึงอาจจะไม่มีหรือมีกไ็ ด้ (3) เซตของประพจน์ (Set of proposition) ประกอบดว้ ย - สัจพจน์หรือกตกิ า (Postulates or Axioms)เป็ นประพจนท์ ่ยี อมรับวา่ เป็ นจริง โดยไม่ตอ้ งพสิ ูจน์ - ทฤษฎีบท (Theorems) เป็ นประพจน์ที่สามารถพสิ ูจน์ไดว้ า่ เป็ นจริงโดยใช้ สจั พจน์หรือกติกา หลกั เกณฑข์ องการอา้ งเหตุผล โดยวิธีนิรนยั ทางตรรกศาสตร์ การขยายตวั ทางคณิตศาสตร์ในปัจจบุ นั เป็นผลสืบเน่ืองจากการขยายเซตของสจั พจน์ หรือกติกา การสร้างทฤษฎีใหม่ๆโดยการหาขอ้ ยตุ ดิ ว้ ยวธิ ีการทางตรรกศาสตร์ ซ่ึงอาจอาศยั ขอ้ ต้งั จากสจั พจน์ และทฤษฎีบททม่ี ีอยเู่ ดิม แลว้ นาไปแกป้ ัญหาซ่ึงก่อใหเ้ กิด แขนงวชิ าใหม่ทาง คณิตศาสตร์ เพม่ิ ข้นึ เป็ นจานวนมาก

ดงั น้นั โครงสร้างของระบบคณติ ศาสตร์อาจเขยี นเป็ นแผนภาพได้ดงั น้ี เทอมอนิยาม ตรรกศาสตร์นิรนยั เทอมนิยาม สจั พจน์ ทฤษฎีบท ปัญหา แบบฝึ กทกั ษะที่ 1 จงเขยี นสรุปการพสิ ูจน์ทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบทนี่ กั เรียนสนใจ

วธิ ีการพิสูจน์ทางคณติ ศาสตร์ (Mathod of Mathematical Proofs) แบบแผนการพสิ ูจนค์ วามสมเหตสุ มผลในทางคณิตศาสตร์ ไดจ้ ากการพสิ ูจนโ์ ดยวธิ ีนิรนัยใน ทางตรรกศาสตร์ แต่จะมีรายละเอียดปลีกยอ่ ยต่างกนั ออกไป โดยขอ้ ต้งั ของการพสิ ูจนจ์ ะมาจาก นิยาม สจั พจน์ หรือทฤษฎีทพี่ สิ ูจน์แลว้ ในหัวขอ้ น้ีจะยกวธิ ีการพสิ ูจน์ในทางคณิตศาสตร์บางวิธี การพิสูจน์ข้อความในรูป PC (Proving Sentences of the type PC) การพสิ ูจนใ์ นทางคณิตศาสตร์ ที่ขอ้ ความซ่ึงตอ้ งการพสิ ูจน์ใหอ้ ยใู่ นรูปประพจน์เง่ือนไข PC การพสิ ูจนจ์ ะใชว้ ธิ ีการพสิ ูจนแ์ บบยกเง่อื นไขโดยนาขอ้ ต้งั ทกี่ าหนดไปร่วมกบั นิยาม สจั พจน์ หรือทฤษฎีท่ีพสิ ูจน์แลว้ อนุมานไปหาขอ้ ยตุ ิที่ตอ้ งการ ตัวอย่าง สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ x เป็ นจานวนคู่ แลว้ x2 เป็ นจานวนเตม็ คู่ นิยาม 1. สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ x เป็นจานวนเตม็ คู่ ก็ต่อเม่ือ x = 2n สาหรับจานวนเตม็ n บางจานวน นิยาม 2 สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ เมื่อ xn = x x x …. x (n ตวั ) เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ บวก

สัจพจน์ 1. เซตของจานวนเตม็ มีสมบตั ิของตวั ดาเนินการ + ,  ถา้ x , y เป็นจานวนเตม็ แลว้ x + y และ xy เป็ นจานวนเตม็ สัจพจน์ 2. เซตของจานวนเตม็ มีสมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่ของตวั ดาเนินการ + ,  ถา้ x , y ,z เป็นจานวนเตม็ แลว้ (x + y) + z = x + (y+ z ) และ (xy) z = x(yz) สัจพจน์ 3. เซตของจานวนเตม็ มีสมบตั สิ ลบั ทข่ี องตวั ดาเนินการ + ,  ถา้ x , y เป็นจานวนเตม็ แลว้ x + y = y+x และ xy = yx เป็นจานวนเตม็ ตวั อย่าง สาหรับจานวนเตม็ x ใดๆ จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ x เป็ นจานวนคู่ แลว้ x2 เป็ นจานวนเตม็ คู่ พิสูจน์ ให้ x เป็ นจานวนเตม็ คู่ x = 2n สาหรบั จานวนเตม็ n บางจานวน (นิยามของจานวนเตม็ คู่) x2 = xx (นิยามของเลขยกกาลงั ) = 2n2n (x = 2n) = 2(2nn) (สจั พจนก์ ารสลบั ท่ี การเปลี่ยนหมู่) = 2(2n 2) (นิยามของเลขยกกาลงั ) = 2m (โดยท่ี m = 2n 2 ซ่ึงเป็นจานวนเตม็ โดยสจั พจน์สมบตั ปิ ิ ด) เพราะฉะน้นั x2 เป็ นจานวนเตม็ คู่  แบบฝึ กทักษะท่ี 2 จงพสิ ูจน์ 1. สาหรบั จานวนเตม็ a ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ a เป็ นจานวนคู่ แลว้ a+4 เป็ นจานวนเตม็ คู่ 2. สาหรบั จานวนเตม็ a ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ a เป็นจานวนค่ี แลว้ a2 เป็นจานวนค่ี

การพสิ ูจน์โดยการแย้งสลบั ท่ี (Proof by Contrapositive) การพสิ ูจนข์ อ้ ความทางคณิตศาสตร์ท่ีอยใู่ นรูป PC บางขอ้ ความ บางคร้งั การพสิ ูจน์ โดยการยกเงอื่ นไขวธิ ีตรง อาจทาไดไ้ ม่สะดวก แตเ่ นื่องจาก PC   CP ดงั น้นั การพสิ ูจนข์ อ้ ความ PC จงึ สามารถพสิ ูจน์ขอ้ ความ  CP แทนได้ ซ่ึง เรียกวิธีการพสิ ูจนแ์ บบน้ีวา่ “การพสิ ูจน์โดยการแย้งสลับท”ี่ ตัวอย่าง สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ x2 เป็ นจานวนคู่ แลว้ x เป็ นจานวนเตม็ คู่ นิยาม สาหรับจานวนเตม็ x ใดๆ x เป็ นจานวนเตม็ คี่ ก็ต่อเม่ือ x = 2n+1 สาหรับจานวนเตม็ n บางจานวน สัจพจน์ 1. สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ x เป็ นจานวนเตม็ คู่ หรือ x เป็ นจานวนเตม็ คี่ อยา่ ง ใดอยา่ งหน่ึง สัจพจน์ 2. เซตของจานวนเตม็ มีสมบตั ิการแจกแจง ถา้ x , y ,z เป็นจานวนเตม็ แลว้ x (y + z) = (xy) +( xz) และ (x+y)z = (xz)+( yz) สัจพจน์ 3. เซตของจานวนเตม็ มีสมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์  จะมีจานวนเตม็ 1 ซ่ึงสาหรับจานวนเตม็ x จะไดว้ า่ 1x = x1 = x หมายเหตุ เพอื่ ความสะดวกจะเขยี น xy แทน xy สาหรบั ทกุ จานวนเตม็ x,y และจากเซตของ จานวนเตม็ ที่มีสมบตั ิการเปลี่ยนหมู่ของตวั ดาเนินการ +, ดงั น้นั ถา้ x , y ,z เป็นจานวนเตม็ จะเขียน x + y + z แทน (x + y) + z และ จะเขยี น xyz แทน xy z

ตวั อย่าง สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ x2 เป็ นจานวนคู่ แลว้ x เป็ นจานวนเตม็ คู่ พิสูจน์ ให้ x เป็นจานวนเตม็ ที่ไม่เป็นจานวนเตม็ คู่ ดงั น้นั x เป็นจานวนเตม็ คี่ (สจั พจน์ 1) x = 2n +1 สาหรับจานวน เตม็ n บางจานวน (นิยามของจานวนเตม็ ค)ี่ x2 = xx (นิยามของเลขยกกาลงั ) = (2n+1) (2n+1) (x = 2n+1) = (2n+1)2n+ (2n+1)1 (สจั พจน์การแจกแจง) = (2n)(2n)+(2n)(1)+ (2n)(1) +(1)(1) (สจั พจนก์ ารแจกแจง การเปล่ียนหมู่) = 4n2 + 4n + 1 (สจั พจน์การมีเอกลกั ษณ์ของตวั ดาเนินการ ) = 2(2n2 + 2n )+ 1 (สจั พจน์การเปลี่ยนหมู่ และการแจกแจง) = 2m + 1 (m = 2n2 + 2n ซ่ึงเป็นจานวนเตม็ โดยสจั พจนส์ มบตั ิปิ ด) เพราะฉะน้นั x2 เป็ นจานวนเตม็ คี่ ดงั น้นั จากการพสิ ูจน์โดยการแยง้ สลบั ทสี่ รุปไดว้ ่า ถา้ x2 เป็ นจานวนเตม็ คู่ แลว้ x เป็นเป็นจานวน เตม็ คู่  แบบฝึ กทักษะที่ 3 จงพิสูจน์ 1. สาหรับจานวนเตม็ a ใดๆ จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ a+4 เป็ นจานวนคู่ แลว้ a เป็ นจานวนเตม็ คู่ 2. สาหรบั จานวนเตม็ a ใดๆ จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ a2 เป็นจานวนค่ี แลว้ a เป็นจานวนคี่

การพสิ ูจน์แบบอ้อม (Indirect Proof) การพสิ ูจน์ขอ้ ความทางคณิตศาสตร์ทีอ่ ยใู่ นรูป PC แบบออ้ มวธิ ีการ คอื จะสมมตใิ ห้ PC เป็นเทจ็ หรือ P เป็นจริง C เป็นเทจ็ นน่ั คอื กาหนดนิเสธของขอ้ ยตุ หิ รือขอ้ ต้งั เพม่ิ เติม รวมกบั ขอ้ ต้งั ทีม่ ีอยเู่ ดิม แลว้ อนุมานไป สู่ขอ้ ขดั แยง้ จึงยนื ยนั วา่ ขอ้ ยตุ เิ ดิม เป็นขอ้ ยตุ ทิ ่ีสมเหตุสมผล ตวั อย่าง สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ จงพสิ ูจน์ว่า ถา้ x2  0 แลว้ x0 นิยาม สาหรบั จานวนเตม็ a, b ถา้ a  b แลว้ a = b + k สาหรบั จานวนเตม็ บวก k บางจานวน ทฤษฎบี ท สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ x  0 = 0 ตวั อย่าง สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ x2  0 แลว้ x0 พสิ ูจน์ ให้ แลว้ x0 เป็ นเทจ็ ดงั น้นั x = 0 พจิ ารณา x2 = xx (นิยามเลขยกกาลงั ) = 00 (x=0) = 0 (ทฤษฎีบท) จาก x2  0 ดงั น้นั x2 =0+k สาหรบั จานวนเตม็ บวก k บางจานวน (นิยาม) x2 = x2 +k (x2 =0) x2  x2 (นิยาม) เกิดการขดั แย้ง ดงั น้นั สาหรับจานวนเตม็ x ใดๆ ถา้ x2  0 แลว้ x0  แบบฝึ กทกั ษะที่ 4 จงพิสูจน์ 1. สาหรบั จานวนเตม็ a ใดๆ จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ a เป็ นจานวนคู่ แลว้ 2a เป็ นจานวนเตม็ คู่ 2. สาหรบั จานวนเตม็ a ใดๆ จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ a เป็นจานวนคู่ แลว้ 2a+1 เป็นจานวนค่ี

การพสิ ูจน์ข้อความในรูป PC ขอ้ ความหรือทฤษฎีบทบางทฤษฎีบทในทางคณิตศาสตร์ จะอยใู่ นรูปของประพจน์เงอ่ื นไข สองทางระหวา่ ง ขอ้ ต้งั ขอ้ ยตุ ิ PC จาก PC (PC)(CP) ดงั น้นั การพสิ ูจน์ขอ้ ความ PC จะตอ้ งพสิ ูจน์ขอ้ ความ PC และ CP และเนื่องจาก PC  CP และ CP PC ดงั น้นั การพสิ ูจนข์ อ้ ความ PC จงึ สามารถพสิ ูจนข์ อ้ ความคูใ่ ดคูห่ น่ึงตอ่ ไปน้ี (ก) PC และ CP (ข) PC และ PC (ค)  CPและ CP (ง)  CPและ PC ตวั อย่าง สาหรบั จานวนเตม็ x ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ x เป็ นจานวนเตม็ ค่ี ก็ตอ่ เม่ือ x2 เป็นจานวน เตม็ คี่ พสิ ูจน์ (1) จะพสิ ูจน์ขอ้ ความ ถา้ x เป็นจานวนเตม็ ค่ี แลว้ x2 เป็นจานวนเตม็ คี่ x = 2n +1 สาหรับจานวน เตม็ n บางจานวน (นิยามของจานวนเตม็ ค)่ี x2 = xx (นิยามของเลขยกกาลงั ) = (2n+1) (2n+1) (x = 2n+1) = 4n2 + 4n + 1 (สจั พจนก์ ารมีเอกลกั ษณ์ของตวั ดาเนินการ ) = 2(2n2 + 2n )+ 1 (สจั พจนก์ ารเปลี่ยนหมู่ และการแจกแจง) = 2m + 1 (m = 2n2 + 2n ซ่ึงเป็นจานวนเตม็ โดยสจั พจน์สมบตั ปิ ิ ด) เพราะฉะน้นั x2 เป็นจานวนเตม็ คี่ 

ตวั อย่าง สาหรับจานวนเตม็ x ใดๆ จงพสิ ูจนว์ า่ x เป็ นจานวนเตม็ ค่ี กต็ อ่ เม่ือ x2 เป็นจานวน เตม็ คี่ พสิ ูจน์ (2) จะพสิ ูจนข์ อ้ ความ ถา้ x2 เป็นจานวนเตม็ ค่ี แลว้ x เป็นจานวนเตม็ ค่ี ให้ x เป็นจานวนเตม็ ท่ีไม่เป็นจานวนเตม็ คี่ ดงั น้นั x เป็ นจานวนเตม็ คู่ x = 2n สาหรับจานวนเตม็ n บางจานวน (นิยามของจานวนเตม็ คู)่ x2 = xx (นิยามของเลขยกกาลงั ) = 2n2n (x = 2n) = 2(2nn) (สจั พจนก์ ารสลบั ท่ี การเปลี่ยนหมู่) = 2(2n 2) (นิยามของเลขยกกาลงั ) = 2m (โดยที่ m = 2n 2 ซ่ึงเป็นจานวนเตม็ โดยสจั พจน์สมบตั ิปิ ด) เพราะฉะน้นั x2 เป็ นจานวนเตม็ คู่  ดงั น้นั จากการพสิ ูจน์การแยง้ สลบั ทีจ่ ะไดว้ า่ ถา้ x2 เป็นจานวนเตม็ คี่ แลว้ x เป็นจานวน เตม็ ค่ี จาก (1) และ (2) สรุปไดว้ า่ x เป็ นจานวนเตม็ ค่ี ก็ต่อเม่ือ x2 เป็นจานวนเตม็ ค่ี  แบบฝึ กทกั ษะที่ 5 จงพิสูจน์ 1. สาหรบั จานวนเตม็ a ใดๆ จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ a เป็ นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ 2a เป็ นจานวนเตม็ คู่ 2. สาหรบั จานวนเตม็ a ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ a เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเม่ือ 2a+1 เป็นจานวนค่ี

การพสิ ูจน์โดยการแจงกรณี (Proof by Exhaustion) ขอ้ ความ หรือทฤษฎีบางทฤษฎีในทางคณิตศาสตร์ จะอยใู่ นรูปประพจน์เงอื่ นไข PC ทีข่ อ้ ต้งั P สามารถแยกไดเ้ ป็นกรณีต่างๆจานวนจากดั และในแตล่ ะกรณีเหล่าน้นั สามารถอนุมาน ไปสู่ขอ้ ยตุ ิ C เดียวกนั จงึ สามารถสรุปไดว้ า่ ขอ้ ความ PC สมเหตุสมผล เช่น จากขอ้ ความที่ตอ้ งการพสิ ูจน์ PC ถา้ P สามารถแจงกรณีไดเ้ ป็ น P1 หรือ P2 การพสิ ูจนข์ อ้ ความ PC จะตอ้ งพสิ ูจนข์ อ้ ความ ( P1  P2)C และจาก ( P1  P2)C  ( P1  P2)  C :Mat.Impl.  ( P1  P2)  C :de.M.  ( P1 C) ( P2  C) :Dist.  ( P1 C) (P2  C) : Mat.Impl. ดงั น้นั การพสิ ูจนข์ อ้ ความ P C จะตอ้ งพสิ ูจน์ขอ้ ความ P1 C และ P2 C ตวั อย่าง จงพสิ ูจน์ ถา้ x เป็นจานวนเตม็ แลว้ x 2 + x เป็ นจานวนเตม็ คู่ พสิ ูจน์ ให้ x เป็นจานวนเตม็ กรณี 1 ถ้า x เป็ นจานวนเต็มค่ี x = 2n +1 สาหรับจานวน เตม็ n บางจานวน (นิยามของจานวนเตม็ ค)่ี x2 = xx (นิยามของเลขยกกาลงั ) = (2n+1) (2n+1) (x = 2n+1) = 4n2 + 4n + 1 (สจั พจน์การแจกแจง การเปลี่ยนหมู่) พจิ ารณา x2 +x = (4n2 + 4n + 1)+ (2n+1) = 4n2 + 6n + 2 (สจั พจนก์ ารสลบั ท่ี การเปล่ียนหมู่) = 2(2n2 + 3n + 1) (สจั พจนก์ ารแจกแจง) = 2m (m = 2n2 + 3n + 1 ซ่ึงเป็นจานวนเตม็ โดยสจั พจน์และสมบตั ิปิ ด) เพราะฉะน้นั x 2 + x เป็ นจานวนเตม็ คู่

ตวั อย่าง จงพสิ ูจน์ ถา้ x เป็นจานวนเตม็ แลว้ x 2 + x เป็ นจานวนเตม็ คู่ กรณี 2 ถ้า x เป็ นจานวนเต็มคู่ x = 2n สาหรบั จานวนเตม็ n บางจานวน (นิยามของจานวนเตม็ คู)่ x2 = xx (นิยามของเลขยกกาลงั ) = 2n2n (x = 2n) = 4n 2 (สจั พจน์การสลบั ที่ การเปล่ียนหมู่) พจิ ารณา x2 +x = 4n2 +2n = 2(2n 2+n) (สจั พจน์การแจกแจง) = 2m (โดยที่ m = 2n 2 ซ่ึงเป็นจานวนเตม็ โดยสัจพจน์สมบตั ิปิ ด) เพราะฉะน้นั x2 + x เป็ นจานวนเตม็ คู่ ดงั น้นั จากท้งั 2 กรณีสรุปไดว้ า่ ถา้ x เป็นจานวนเตม็ แลว้ x 2 + x เป็ นจานวนเตม็ คู่  แบบฝึ กทกั ษะที่ 6 จงพสิ ูจน์ 1. สาหรบั จานวนเตม็ a ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ a เป็นจานวนเตม็ แลว้ a2 - a เป็ นจานวนเตม็ คู่ 2. สาหรับจานวนนบั a ใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ a เป็นจานวนนบั แลว้ a2 + 5a > 4

แบบทดสอบผลการเรียนรู้ 1. จงพสิ ูจน์ขอ้ ความสมเหตุสมผลของขอ้ ความตอ่ ไปน้ี (1) ถา้ x และ y เป็ นจานวนเตม็ คู่แลว้ x + y เป็ นจานวนเตม็ คู่ (2) ถา้ x เป็ นจานวนเตม็ คู่ และ y เป็นจานวนเตม็ คี่ แลว้ x + y เป็นจานวนเตม็ คี่ (3) ถา้ x และ y เป็นจานวนเตม็ ค่ีแลว้ x + y เป็ นจานวนเตม็ คู่ (4) x เป็ นจานวนเตม็ คู่ ก็ตอ่ เม่ือ x2 เป็ นจานวนเตม็ คู่ (5) x เป็ นจานวนเตม็ คู่ กต็ อ่ เม่ือ x+2 เป็ นจานวนเตม็ คู่ 2. จงพสิ ูจนข์ อ้ ความมีจริงต่อไปน้ี (1) มีจานวนเตม็ x ที่ 1/x = x 3. จงพสิ ูจน์ขอ้ ความตอ่ ไปน้ี เป็นเทจ็ (1) ผลบวกของจานวนอตรรกยะ เป็นจานวนอตรรกยะ (2) ผลคูณของจานวนอตรรกยะ กบั จานวนตรรกยะ เป็ นจานวนอตรรกยะ (3) สาหรับแตล่ ะจานวนเตม็ x ถา้ x เป็นจานวนเฉพาะแลว้ x2 เป็นจานวนคี่ 4. จงพสิ ูจน์ขอ้ ความสมเหตุสมผลของขอ้ ความตอ่ ไปน้ี โดยการแจงกรณี (1) ถา้ x เป็ นจานวนเตม็ แลว้ x2 - x เป็ นจานวนคู่

แบบทดสอบกลางภาคเรียน ตอนท่ี 1 จงทาเคร่ืองหมาย  ลงบนตวั เลือกทีถ่ ูกต้องท่ีสุดเพียงหน่ึงตัวเลือกของแต่ล่ะข้อต่อไปนี้ 1. แบบแผนการพสิ ูจน์ความสมเหตสุ มผลในทางคณิตศาสตร์ ไดจ้ ากการพสิ ูจนโ์ ดยวธิ ีใด 1) วธิ ีนิรนยั ทางตรรกศาสตร์ 2) วธิ ีอุปนยั ทางตรรกศาสตร์ 3) วธิ ีตรรกศาสตร์ 4) วธิ ีทฤษฎีตรรกศาสตร์ 2. ขอ้ ต้งั ของการพสิ ูจน์ไม่ไดม้ าจากส่ิงใด 1) อนิยาม 2) นิยาม 3) สจั พจน์ 4) ทฤษฎีที่พสิ ูจน์แลว้ 3. จากบทนิยาม สาหรับจานวนเตม็ x ใดๆ x เป็นจานวนเตม็ คู่ กต็ อ่ เม่ือ x = 2n สาหรับ……. ควรเตมิ ขอ้ ความใดใน............... 1) จานวนเตม็ n บางจานวน 2) จานวนเตม็ n ทุกจานวน 3) จานวนเตม็ คู่ n บางจานวน 4) จานวนเตม็ คู่ n ทุกจานวน 4. จากบทนิยาม สาหรับจานวนเตม็ x ใดๆ เมื่อ xn = x x x …. x (n ตวั ) เม่ือ n เป็น........... ควรเตมิ ขอ้ ความใดใน............... 1) จานวนเตม็ 2) จานวนเตม็ ศูนย์ 3) จานวนเตม็ บวก 4) จานวนเตม็ ลบ 5. จากสจั พจน์ เซตของจานวนเตม็ มีสมบตั ขิ องตวั ดาเนินการ + ,  ถา้ x , y เป็นจานวนเตม็ แลว้ x + y และ xy เป็น……………. ควรเตมิ ขอ้ ความใดใน............... 1) จานวนเตม็ 2) จานวนเตม็ ศนู ย์ 3) จานวนเตม็ บวก 4) จานวนเตม็ ลบ

6. จากสจั พจน์ เซตของจานวนเตม็ มีสมบตั ิ........................................ของตวั ดาเนินการ + ,  ถา้ x , y ,z เป็นจานวนเตม็ แลว้ (x + y) + z = x + (y+ z ) และ (xy) z = x(yz) ควรเติมขอ้ ความใดใน............... 1) ปิ ดการบวกและการคูณ 2) การสลบั ท่ี 3) การแจกแจง 4) การเปลี่ยนหมู่ 7. จากสัจพจน์ เซตของจานวนเตม็ มีสมบตั ิ..........................................ของตวั ดาเนินการ + ,  ถา้ x , y เป็นจานวนเตม็ แลว้ x + y = y+x และ xy = yx เป็นจานวนเตม็ ควรเตมิ ขอ้ ความใดใน............... 1) ปิ ดการบวกและการคูณ 2) การสลบั ที่ 3) การแจกแจง 4) การเปลี่ยนหมู่ 8. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี การพสิ ูจนจ์ ะใชว้ ธิ ีการพสิ ูจนแ์ บบยกเงื่อนไขโดยนาขอ้ ต้งั ท่ีกาหนดไปร่วมกบั นิยาม สจั พจน์ หรือทฤษฎีท่พี สิ ูจนแ์ ลว้ อนุมานไปหาขอ้ ยตุ ิท่ีตอ้ งการ จากขอ้ ความเป็ นการกล่าวถึงการพสิ ูจน์ใด 1) การพสิ ูจน์ขอ้ ความในรูป PC 2) การพสิ ูจนแ์ ยง้ สลบั ที่ 3) การพสิ ูจนแ์ บบออ้ ม 4) การพสิ ูจนข์ อ้ ความในรูป PC 9. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี กาหนดนิเสธของขอ้ ยตุ หิ รือขอ้ ต้งั เพม่ิ เติม รวมกบั ขอ้ ต้งั ท่ีมีอยเู่ ดิม แลว้ อนุมาน ไปสู่ขอ้ ขดั แยง้ จึงยนื ยนั วา่ ขอ้ ยตุ ิเดิม เป็นขอ้ ยตุ ิทสี่ มเหตสุ มผล จากขอ้ ความเป็ นการกล่าวถึงการพสิ ูจน์ใด 1) การพสิ ูจน์ขอ้ ความในรูป PC 2) การพสิ ูจนแ์ ยง้ สลบั ท่ี 3) การพสิ ูจน์แบบออ้ ม 4) การพสิ ูจนข์ อ้ ความในรูป PC

10. การพสิ ูจนข์ อ้ ความ PC สามารถไม่พสิ ูจนข์ อ้ ความตามคู่ใดได้ 1) PC และ CP 2) PC และ PC 3)  CPและ CP 4)  CPและ PC ตอนท่ี 2 จงเขยี นแสดงการพสิ ูจน์ข้อความท่ีกาหนดให้ 1. จงพสิ ูจนข์ อ้ ความสมเหตุสมผลของขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ถา้ x เป็ นจานวนเตม็ คู่ และ y เป็นจานวนเตม็ ค่ี แลว้ x  y เป็ นจานวนเตม็ คู่ …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. 2. จงพสิ ูจน์ขอ้ ความสมเหตุสมผลของขอ้ ความตอ่ ไปน้ี โดยการแจงกรณี ถา้ x เป็ นจานวนเตม็ แลว้ x2 + x +1 เป็ นจานวนค่ี …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..………………………………………………………. …………………………………………………………..……………………………………………………….

6. การพสิ ูจน์ข้อความมจี ริง (Proof of Existential) เป็นการพสิ ูจน์ขอ้ ความท่ีอยใู่ นรูป x[Px] ซ่ึงสามารถพสิ ูจน์ใหเ้ ห็นจริงได้ โดยการ ยกตวั อยา่ ง อยา่ งนอ้ ย 1 กรณี ทีส่ อดคลอ้ งกบั ขอ้ ความที่ตอ้ งการพสิ ูจน์ ตวั อย่าง จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ R เป็นเซตจานวนจริง จะมี xR โดยท่ี x 2  x พสิ ูจน์ พจิ ารณา 0.5 R และ(0.5)2 = 0.25 ซ่ึง 0.25  0.5 ดงั น้นั สรุปไดว้ า่ ถา้ R เป็นเซตจานวนจริง จะมี xR โดยที่ x 2  x เป็นขอ้ ความทสี่ มเหตสุ มผล  แบบฝึ กทักษะท่ี 7 จงพิสูจน์ 1. มีจานวนเตม็ x ที่ 1 = x x 2. มีจานวนเตม็ x ที่ 6x3 + 17x2 +14x +3  0 3. มีจานวนเตม็ x ที่ 3x  (1/3)x 7. การพสิ ูจน์แย้งโดยการยกตวั อย่างค้าน (Disproof by Counter Example) เป็นการพสิ ูจน์ โดยปฏิเสธขอ้ ความทีก่ าหนดใหท้ ่ีอยใู่ นรูป x[Px] โดยการยกตวั อยา่ ง อยา่ งนอ้ ย 1 กรณี ขดั แยง้ กบั ขอ้ ความดงั กล่าว ตัวอย่าง จงพสิ ูจนข์ อ้ ความ สาหรับทุกจานวนจริง x ,x+2=x เป็นเทจ็ พสิ ูจน์ พจิ ารณา 1 เป็นจานวนจริง และ1+2=3 ซ่ึง 31 ดงั น้นั สรุปไดว้ า่ ขอ้ ความ x ,x+2=x เป็นเทจ็  แบบฝึ กทักษะที่ 8 จงพสิ ูจน์ 1. สาหรับทกุ จานวนเตม็ x , 1 = x เป็นเทจ็ x 2. สาหรับทุกจานวนเตม็ x ที่ 6x3 + 17x2 +14x +3  0 เป็ นเทจ็ 3. สาหรับทกุ จานวนเตม็ x ที่ 3x  (1/3)x เป็ นเทจ็

แบบฝึ กทักษะท่ี 6 จงพิสูจน์ (2) มีจานวนเตม็ x ที่ 1/x = x (3) มีจานวนเตม็ x ที่ 6x3 + 17x2 +14x +3  0 (4) มีจานวนเตม็ x ที่ 3x  (1/3)x 8. การพสิ ูจน์โดยการกาจดั (Proof by Elmination) ในกรณีที่ขอ้ ยตุ ิของการอา้ งเหตุผลมีความเป็นไปไดห้ ลายกรณี แตใ่ นความเป็ นไปได้ เหล่าน้นั มีขอ้ ความทถี่ ูกตอ้ งเพยี งหน่ึงเดียว ดงั น้นั ถา้ สามารถพสิ ูจน์ไดว้ า่ ขอ้ ความเป็ นไปได้ แตล่ ะกรณี (ยกเวน้ 1 กรณี) เป็ นไปไม่ได้ และกรณีที่เหลือกรณีหน่ึง และกรณีเดียวจะเป็ นขอ้ ยตุ ิ ทีส่ มเหตุสมผล เรียกวธิ ีพสิ ูจนว์ ิธีน้ีวา่ “การพสิ ูจน์โดยการกาจดั ” เช่น กรณีทข่ี อ้ ต้งั P มีขอ้ ยตุ เิ ป็ นไปได้ 2 กรณี C1 หรือ C2 จะไดร้ ูปแบบการพสิ ูจนค์ วามสมเหตุสมผล ดงั น้ี P( C1  C2)  C1  PC2 หรือ P( C1  C2) C1P  PC2

ตวั อย่าง สาหรับจานวนจริง x , y จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ xy = 0 แลว้ x = 0 หรือ y = 0 พิสูจน์ ให้ x , y เป็นจานวนจริงท่ี xy = 0 ค่าของ x เป็นไปได้ 2 กรณีคือ x = 0 หรือ x0 ถา้ x = 0 จะไดข้ อ้ ความขา้ งตน้ เป็นจริง ถา้ x0 จาก xy = 0 (สมมตฐิ าน) x-1 xy = x-10 (การคูณดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กนั ) 1y = 0 (การเปล่ียนหมู่ และการมีตวั ผกผนั ของการคูณ) y = 0 (การมีเอกลกั ษณ์ของการคูณ) ดงั น้นั สรุปไดว้ า่ ถา้ xy = 0 แลว้ x = 0 หรือ y = 0  แบบฝึ กทักษะท่ี 9 จงพิสูจน์ 1. สาหรบั ทุกจานวนจริง x จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ x2 -1 = 0 แลว้ x = 1 หรือ x = -1 2. สาหรบั ทุกจานวนจริง x จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ (x+3)(x-3)=0 แลว้ x = 3 หรือ x = -3 3. สาหรบั จานวนจริง a , b , c จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ ab≠ac แลว้ b>c หรือ b<c

5.2.9 การพสิ ูจน์โดยวธิ อี ปุ นัยเชิงคณติ ศาสตร์ (Proof by Mathematical Induction) การพสิ ูจนโ์ ดยวิธีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ เป็นการพสิ ูจนค์ วามสมเหตุสมผลของขอ้ ความ พชี คณิตจานวน n[Pn] เม่ือ n เป็นจานวนนบั หรือจานวนเตม็ บวก การพสิ ูจนข์ อ้ ความ Pn วา่ เป็นจริง สาหรบั จานวนเตม็ บวก n โดยวธิ ีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ มีหลกั การดงั น้ี 1. แสดงวา่ Pn เป็นจริง เม่ือ n = 1 2. พสิ ูจนถ์ า้ Pn เป็นจริง เมื่อ n = k แลว้ เม่ือ Pn เป็นจริง เมื่อ n = k+1 สาหรบั ทุกจานวนเตม็ บวก k ถา้ ขอ้ ความ Pn มีสมบตั ดิ งั กล่าว จะสามารถสรุปไดว้ า่ ขอ้ ความ Pn เป็นจริงสาหรบั ทกุ จานวนเตม็ บวก n เรียกวธิ ีการพสิ ูจน์แบบน้ีวา่ “วธิ ีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์” ตัวอย่าง จงพสิ ูจน์ความสมเหตุสมผลของขอ้ ความ 2+4+6+..+2n = n (n+1) สาหรับทกุ จานวนเตม็ n พสิ ูจน์ ให้ Pn แทนขอ้ ความ 2+4+6+..+2n = n (n+1) (1) จะแสดงวา่ Pn เป็นจริง เม่ือ n = 1 เม่ือ n = 1 ดา้ นซา้ ยมือของเครื่องหมายเทา่ กบั คอื 2 ดา้ นขวามือของเครื่องหมายเท่ากบั คือ 1(1+1) ซ่ึงมีคา่ เทา่ กบั 2 ดงั น้นั Pn เป็นจริง เม่ือ n = 1 (2) จะพสิ ูจน์วา่ Pn เป็นจริง เมื่อ n = k แลว้ Pn เป็นจริง เม่ือ n = k +1 สมมติ ให้ Pn เป็นจริง เม่ือ n = k นน่ั คือ2+4+6+..+2k = k (k+1)สาหรับทกุ จานวนเตม็ บวก k จะแสดงวา่ Pn เป็นจริง เม่ือ n = k +1 นน่ั คือ 2+4+6+..+2(k+1) = (k+1 )(k+2) พจิ ารณา 2+4+6+…+2k+2(k+1) = k(k+1 )+2(k+1) = k2+k+2k+2 = k2+3k+2 = (k+1 )(k+2) ดงั น้นั ถา้ Pn เป็นจริง เม่ือ n = k แลว้ Pn เป็ นจริง เม่ือ n = k +1 จากขอ้ (1) และ(2) โดยวิธีวธิ ีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ สรุปไดว้ า่ 2+4+6+..+2n = n (n+1) สาหรบั ทุกจานวนเตม็ บวก n 

หมายเหตุ 1. ขอ้ ความพชี คณิตจานวนบางขอ้ ความจะเป็นจริงสาหรับทกุ จานวนเตม็ บวก n = 1,2,3,…,m แตจ่ ะไม่เป็ นจริงสาหรับ n = m+1 เช่น ขอ้ ความ Pn : n2 +n+11 เป็นจานวน เฉพาะ เป็นจริงสาหรบั ทุกจานวนเตม็ บวก n = 1,2,3,…,9 แต่จะไม่เป็นจริงเม่ือ n = 10 2. . ขอ้ ความพชี คณิตบางขอ้ ความจะไม่สอดคลอ้ งกงั เงอื่ นไขขอ้ ท่ี 1 แตส่ อดคลอ้ งกบั เงื่อนไขขอ้ ท่ี 2 ตามหลกั การของวธิ ีวธิ ีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ ดงั น้นั สรุปวา่ ขอ้ ความดงั กล่าว เป็ นจริงสาหรบั จานวนเตม็ บวกไม่ได้ เช่น ขอ้ ความ Pn : 2n  n จะไม่เป็ นจริง เมื่อ n = 1,2,3 การพสิ ูจน์โดยวิธีวธิ ีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์สามารถนาไปใชพ้ สิ ูจน์ขอ้ ความ ทีเ่ ป็นจริง สาหรับจานวนเตม็ เม่ือ เป็นจานวนเตม็ nm โดยมีหลกั การดงั น้ี 1. แสดงวา่ Pn เป็นจริง เม่ือ n = m 2. พสิ ูจน์ ถา้ Pn เป็นจริง เมื่อ n = k แลว้ Pn เป็นจริง เม่ือ n = k+1 เม่ือ สาหรับทุกจานวนเตม็ บวก km แบบฝึ กทกั ษะท่ี 10 จงพสิ ูจน์ขอ้ ความสมเหตุสมผลของขอ้ ความพชี คณิตจานวนตอ่ ไปน้ี สาหรับจานวนเตม็ บวก n (1) 1+3+5+…+(2n-1)=n2 (2) 4+8+12+…+4n = 2n(n+1) (3) 1+2+3+…+n = n 2 n 2 (4) 12 +22 +32 +…+n2 = n (n 1)( 2n 1) 6

แบบทดสอบปลายภาคเรียน ตอนที่ 1 จงทาเคร่ืองหมาย  ลงบนตัวเลือกที่ถูกต้องท่ีสุดเพยี งหนึ่งตัวเลือกของแต่ล่ะข้อต่อไปนี้ 1. การพสิ ูจนข์ อ้ ความมีจริง (Proof of Existential) เป็นการพสิ ูจน์ขอ้ ความที่อยใู่ นรูปใด 1)  x[Px] 2) ~ x[Px] 3)  x[Px] 4) ~ x[Px] 2. การพสิ ูจน์ขอ้ ความมีจริง (Proof of Existential) สามารถพสิ ูจนใ์ หเ้ ห็นจริงไดอ้ ยา่ งไร 1) การยกตวั อยา่ ง อยา่ งนอ้ ย 2 กรณี ท่สี อดคลอ้ งกบั ขอ้ ความท่ตี อ้ งการพสิ ูจน์ 2) การยกตวั อยา่ ง อยา่ งนอ้ ย 1 กรณี ทส่ี อดคลอ้ งกบั ขอ้ ความทีต่ อ้ งการพสิ ูจน์ 3) การขอ้ ขดั แยง้ อยา่ งนอ้ ย 1 กรณี ท่สี อดคลอ้ งกบั ขอ้ ความทีต่ อ้ งการพสิ ูจน์ 4) การขอ้ ขดั แยง้ อยา่ งมาก 1 กรณี ทสี่ อดคลอ้ งกบั ขอ้ ความทตี่ อ้ งการพสิ ูจน์ 3. การพสิ ูจน์แยง้ โดยการยกตวั อยา่ งคา้ น (Disproof by Counter Example) เป็นการพสิ ูจน์ โดยปฏเิ สธขอ้ ความที่กาหนดใหท้ อี่ ยใู่ นรูปใด 1)  x[Px] 2) ~ x[Px] 3)  x[Px] 4) ~ x[Px] 4. การพสิ ูจน์แยง้ โดยการยกตวั อยา่ งคา้ น (Disproof by Counter Example) สามารถพสิ ูจน์ใหเ้ ห็น จริงไดอ้ ยา่ งไร 1) การยกตวั อยา่ ง อยา่ งมาก 1 กรณี ทส่ี อดคลอ้ งกบั ขอ้ ความทต่ี อ้ งการพสิ ูจน์ 2) การยกตวั อยา่ ง อยา่ งนอ้ ย 1 กรณี ทสี่ อดคลอ้ งกบั ขอ้ ความที่ตอ้ งการพสิ ูจน์ 3) การยกตวั อยา่ ง อยา่ งมาก 1 กรณี ทีข่ ดั แยง้ กบั ขอ้ ความทตี่ อ้ งการพสิ ูจน์ 4) การยกตวั อยา่ ง อยา่ งนอ้ ย 1 กรณี ที่ขดั แยง้ กบั ขอ้ ความทตี่ อ้ งการพสิ ูจน์ 5. ขอ้ ใดคอื รูปแบบการพสิ ูจนค์ วามสมเหตุสมผลของการพสิ ูจน์โดยการกาจดั (Proof by Elmination) 1) P( C1  C2) 2) P( C1  C2)  C1  C1  PC2  PC2 3) P( C1  C2) 4) ถูกท้งั ขอ้ 1 และ 3 C1P  PC2

6. การพสิ ูจนโ์ ดยวิธีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ (Proof by Mathematical Induction) เป็นการพสิ ูจน์ ความสมเหตสุ มผลของขอ้ ความใด 1) พชี คณิตจานวน ~n[Pn] 2) พชี คณิตจานวน n[Pn] 3) พชี คณิตจานวน ~n[Pn] 4) พชี คณิตจานวน n[Pn] 7. ขอ้ ใดคือหลกั การของการการพสิ ูจน์โดยวิธีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ (Proof by Mathematical Induction) 1) พสิ ูจน์ Pn เป็นจริง เม่ือ n = 1 และ แสดงวา่ ถา้ Pn เป็นจริง เมื่อ n = k แลว้ เม่ือ Pn เป็นจริง เมื่อ n = k+1 2) แสดงวา่ Pn เป็นจริง เม่ือ n = 1 และ พสิ ูจนถ์ า้ Pn เป็นจริง เม่ือ n = k แลว้ เม่ือ Pn เป็นจริง เมื่อ n = k+1 3) พสิ ูจน์ Pn เป็นจริง เม่ือ n = 1 และ พสิ ูจนถ์ า้ Pn เป็นจริง เมื่อ n = k แลว้ เมื่อ Pn เป็นจริง เมื่อ n = k+1 4) แสดงวา่ Pn เป็นจริง เม่ือ n = 1 และ แสดงวา่ ถา้ Pn เป็นจริง เม่ือ n = k แลว้ เมื่อ Pn เป็นจริง เม่ือ n = k+1 8. “สาหรบั จานวนจริง x , y จงพสิ ูจนว์ า่ ถา้ xy = 0 แลว้ x = 0 หรือ y = 0” ควรใชก้ ารพสิ ูจน์ แบบใด 1) การพสิ ูจน์ขอ้ ความมีจริง (Proof of Existential) 2) การพสิ ูจน์แยง้ โดยการยกตวั อยา่ งคา้ น (Disproof by Counter Example) 3) การพสิ ูจนโ์ ดยการกาจดั (Proof by Elmination) 4) การพสิ ูจน์โดยวธิ ีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ (Proof by Mathematical Induction) 9. จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ R เป็นเซตจานวนจริง จะมี xR โดยท่ี x 2  x พสิ ูจน์ พจิ ารณา 0.5 R และ(0.5)2 = 0.25 ซ่ึง 0.25  0.5 ดงั น้นั สรุปไดว้ า่ ถา้ R เป็นเซตจานวนจริง จะมี xR โดยท่ี x 2  x เป็นขอ้ ความทีส่ มเหตุสมผล จากรูปแบบการพสิ ูจน์ดงั กล่าวเป็ นการพสิ ูจนแ์ บบใด 1) การพสิ ูจน์ขอ้ ความมีจริง (Proof of Existential) 2) การพสิ ูจนแ์ ยง้ โดยการยกตวั อยา่ งคา้ น (Disproof by Counter Example) 3) การพสิ ูจน์โดยการกาจดั (Proof by Elmination) 4) การพสิ ูจนโ์ ดยวธิ ีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ (Proof by Mathematical Induction)

10. “สาหรับทกุ จานวนเตม็ x , 1 = x เป็นเทจ็ ” ควรใชก้ ารพสิ ูจนแ์ บบใด x 1) การพสิ ูจน์ขอ้ ความมีจริง (Proof of Existential) 2) การพสิ ูจนแ์ ยง้ โดยการยกตวั อยา่ งคา้ น (Disproof by Counter Example) 3) การพสิ ูจน์โดยการกาจดั (Proof by Elmination) 4) การพสิ ูจน์โดยวธิ ีอุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ (Proof by Mathematical Induction) ตอนท่ี 2 จงเขยี นแสดงการพสิ ูจน์ข้อความทกี่ าหนดให้ 1. 1+3+5+…+(2n-1)=n2 2. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….……………………………. …………………………………………… ……………….…………………………….