boolen

บทท่ี 4 พชี คณิตบูลนี และลอจิกเกตพื้นฐาน พีชคณิตบูลีน เปนเครื่องของนักออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส ที่นํามาชวยในเรื่องของการลดรูปสมการใหส้ันลง ซึ่งจะทําใหประหยัดทุนทรัพยในการซื้อลอจิกเกตมาใชสําหรับประกอบวงจรอิเล็กทรอนกิ ส ในอดีตนกั ปรชั ญาชาวกรีกไดเคยทาํ การศกึ ษาเกีย่ วกบั วงจรลอจกิ หลังจากนน้ัในป พ.ศ. 2473 วงจรลอจิกจึงไดถูกนํามาใชในการวิเคราะหระบบสวิตช่ิงของเคร่ืองชุมสายโทรศัพทแบบอัตโนมัติ และปจจุบันวงจรลอจิกไดมีบทบาทในการส่ือสารขอมูลในรูปแบบตางๆ จึงจําเปนตองเรียนรู และทําความเขาใจกับวงจรลอจิกแบบตางๆ วาจะใชเพ่ือการตัดสินใจตามกฎของลอจกิ น้ันๆ อยา งไรจึงประหยัดเวลา ทุนทรพั ย และเกดิ ประโยชนส งู สุด หลักการเบื้องตนของวงจรลอจิก วงจรลอจิกจะมีการกําหนดสภาวะการทํางานไดอยู 2สภาวะ ซึ่งจะแทนดวยตัวแปร และคาของตัวแปรจะมอี ยู 2 สภาวะซึง่ อาจมคี า เปน 0 หรอื 1 ลอจกิ 0 หมายถงึ ไมม ีสัญญาณ หรอื สวิตชเ ปด ลอจิก 1 หมายถงึ มสี ญั ญาณหรอื สวติ ชปด ดังแสดงในรูป 4.1 0 1สวิตช เปด สวิตชป ดภาพท่ี 4.1 การใชส ญั ลกั ษณส วติ ชแ ทนลอจกิ หลกั การเบอื้ งตนของพชี คณติ บูลนี นกั คณิตศาสตรช าวอังกฤษช่ือ George Boole ไดเ ปน ผูกาํ หนดพชี คณติ บูลีนขึ้น ในพีชคณติ บลู นี เราใชอักษร A B C ... แทนตวั แปรคา 2 สภาวะคอื 0 หรือ1 และใชเ ครอื่ งหมายทางเลขคณิต แทนความสัมพนั ธร ะหวางตัวแปรนน้ั ๆ ไดแก เครื่องหมาย - แทนความหมาย น็อต (NOT) เครอื่ งหมาย + แทนความหมาย ออร (OR) เครื่องหมาย . แทนความหมาย แอนด (AND)

66วงจรพืน้ ฐานและตารางความจรงิ ระบบดิจิตอลจะมวี งจรพืน้ ฐานอยู 2 ชนดิ ดวยกัน ซง่ึ ไดแ ก วงจรอนกุ รม และวงจรขนานวงจรอนุกรมจะหมายถึงการนําเอาสวิตช ต้ังแต 2 ตวั ข้ึนไปมาตอ กนั เปน ลาํ ดบั สว นวงจรขนานหมายถงึ การนําเอาสวิตชต งั้ แต 2 ตัวข้ึนไปมาตอ กบั แบบขนานดังตวั อยา งตอไปนี้ 1. วงจรและตารางความจรงิ การดําเนินการแอนดวงจรอนกุ รม ตารางการดําเนินการแอนด A B A.B 000 010 100 111ภาพท่ี 4.2 วงจรพื้นฐานและตารางความจรงิ ของการดาํ เนนิ การแอนดจากภาพเปน การนําเอาสวติ ช 2 ตวั มาตอ กนั แบบลําดับ หรือทเ่ี รยี กวา การตอแบบอนุกรมหลอดไฟฟา ทตี่ อ รวมอยกู ับวงจรจะสวาง หรือมคี า ทางลอจกิ เปน 1 กต็ อเมอ่ื สวิตชท ้ังสองตวั อยูในสภาวะปด ทัง้ คู หรือมีคา เปน 1 หากสวติ ชต ัวใดตวั หนึ่งเปด จะทาํ ใหกระแสไฟฟา จะไหลไมค รบวงจรซ่ึงสงผลให หลอดไฟทีต่ อกบั วงจรไมสวา ง หรือมสี ภาวะทางลอจกิ เปน 0 น้ันเอง ซ่ึงตรงกบัหลกั การคูณเลขดงั ตารางความจริงดา นบน หรอื ดงั ผลลพั ธจ ากการดาํ เนนิ การตอ ไปนี้1 x 1 มีคา เทากับ 1 หลอดไฟสวา ง เพราะมกี ระแสไฟฟา ไหลครบวงจร1 x 0 มีคาเทา กบั 0 หลอดไมไฟสวา ง เพราะกระแสไฟฟาไหลไมครบวงจร0 x 1 มีคา เทา กับ 0 หลอดไมไฟสวา ง เพราะกระแสไฟฟา ไหลไมค รบวงจร0 x 0 มีคาเทา กบั 1 หลอดไมไฟสวา ง เพราะกระแสไฟฟาไหลไมครบวงจร2. วงจรและตารางความจรงิ การดําเนินการออร ตารางการดาํ เนินการออร A B A+B 000 011 101 11 1ภาพที่ 4.3 วงจรแบบขนานและตารางความจริงของการดาํ เนนิ การออร

67 จากภาพเปน การนําเอาสวติ ช 2 ตัวมาตอกนั แบบขนาน หลอดไฟฟา ทต่ี อรว มอยูกบั วงจรจะสวาง หรือมีคา ทางลอจกิ เปน 1 กต็ อ เม่ือ สวติ ชตัวใดตวั หนง่ึ อยใู นสภาวะปด หรอื มคี า เปน 1 หากสวิตชท้งั 2 เปด จะทําใหก ระแสไฟฟา จะไหลไมค รบวงจรซ่ึงสง ผลให หลอดไฟท่ีตอ กบั วงจรไมสวาง หรือมีสภาวะทางลอจกิ เปน 0 น้นั เอง ซง่ึ ตรงกับหลักการบวกเลข ดังตารางความจริงดา นบนหรอื ดงั ผลลพั ธจ ากการดาํ เนนิ การตอไปนี้ 1 + 1 มคี าเทา กบั 1 หลอดไฟสวาง เพราะมกี ระแสไฟฟาไหลครบวงจร 1 + 0 มคี าเทากบั 1 หลอดไฟสวา ง เพราะยงั มกี ระแสไฟฟา ไหลครบวงจร 0 + 1 มคี า เทากบั 1 หลอดไฟสวา ง เพราะยงั มกี ระแสไฟฟา ไหลครบวงจร 0 + 0 มคี า เทากบั 0 หลอดไมไฟสวา ง เพราะกระแสไฟฟา ไหลไมค รบวงจร จากในรูปที่ 4.2 และ 4.3 สามารถดูการทํางานของวงจร และเปรียบเทียบไดจากตาราง เชนถาตัวแปร A และ B เปน 0 ทั้งคู สวิตช A และ B จะถูกเปดท้ังคู ถาตัวแปร A และ B เปน 1 ท้ังคูสวิตช A และ B จะถูกปด ทั้งคู เอาตพ ตุ ทใ่ี ชคอื หลอดไฟ ถาหลอดไฟติดแสดงวาเอาตพุตเปน 1 และถาหลอดไฟดับแสดงวา เอาตพุตเปน 0ทฤษฎพี ชี คณติ ของบลู ีนตารางที่ 4.1 บทพสิ จู นข องบลู นี ท่ี บทพิสจู น 1. X = 0 หรือ 2. X = 1 3. 0•0 = 0 4. 1+1 = 1 5. 0+0 = 0 6. 1•1 = 1 7. 1•0 = 0 8. 1+0 = 1 ทฤษฎบี ทที่ 1 กฎการสลับท่ี a) A+B = B+A b) A•B = B•A

68ทฤษฎบี ทที่ 2 กฎความสัมพนั ธ a) (A+B)+C = A+(B+C) b) (A•B) •C = A• (B•C)ทฤษฎบี ทท่ี 3 กฎการกระจาย a) A• (B+C) = (A•B)+(A•C) b) A+(B•C) = (A+B) • (A+C)ทฤษฎบี ทท่ี 4 กฎของเอกลกั ษณ a) A+A = A b) A•A = Aทฤษฎบี ทท่ี 5 กฎการลบลาง a) A = A b) A = Aทฤษฎบี ทที่ 6 กฎการลดทอน a) A+ A•B = A b) A• (A+B) = Aทฤษฎีบทท่ี 7 a) 0+A = A b) 1•A = A c) 1+A = 1 d) 0•A = 0ทฤษฎบี ทที่ 8 a) A +A = 1 b) A • A = 0ทฤษฎีบทที่ 9 a) A + AB = ( A +A) • ( A +B) = A +B b) A• ( A +B) = (A A +AB) = A•Bทฤษฎีบทที่ 10 ทฤษฎีของเดอรม อรแ กน a) ( A + B ) = A • B b) ( A.B ) = A + B

69การพิสูจนทฤษฎขี องพีชคณิตบูลีน การพิสูจนท ฤษฎขี องพชี คณติ บลู นี สามารถทาํ ไดห ลายวธิ ี แตวิธีทีง่ ายและเหน็ ไดช ดั เจนที่สดุ ไดแ ก การพิสจู นโดยใชต ารางความจรงิ (Truth Table) ดังตวั อยางตอ ไปน้ีตัวอยางท่ี 4.1 จงพิสูจนว า A + A • B = Aตารางท่ี 4.2 การพิสจู น A + A • B = A B A A • B A+A.B 00 0 0 01 0 1 10 0 0 11 1 1ตัวอยา งที่ 4.2 จงพิสูจนวา A + A • B = A +Bตารางท่ี 4.3 การพิสจู น A + A • B = A +BB A A - AB A + AB A+ B001 0010 0 1 1101 0 0 0110 1 1 1 1 1ตวั อยา งที่ 4.3 จงพิสจู นวา A + B = A • Bตารางที่ 4.4 การพิสูจน A + B = A • B A B A+B (A+B) A- B- A•B 00 0 1 11 1 01 1 0 10 0 10 1 0 01 0 11 1 0 00 0

70ตวั อยา งที่ 4.4 พสิ ูจนวา A • B = A + Bตารางที่ 4.5 การพสิ จู น A • B = A + B B A A•B -A•B B- -A A + B 00 0 1 11 1 01 0 1 10 1 10 0 1 01 1 11 1 0 00 0ขอสังเกต สําหรบั สูตร A + A B = A + B สามารถแปลงรูปอ่นื ไดอ กี ดังตวั อยางตอไปนี้ A + A B = A + B (ท.9) A + A B = A + B (ท.9) A + A B C = A + B C (ท.9) A B + AB C = A B + C (ท.9) AB +A B C D = AB + C D (ท.9) เปนตนตวั อยา งที่ 4.5 จงลดรปู สมการตอ ไปน้ีวธิ ที ํา X = BA + BA + AB + AB = BA + AB + BA + AB (จดั กลมุ สลบั ท่)ี (ท.1) = B(A + A) + B(A + A) (ท.3) การกระจาย = B •1 + B •1 (ท.7) , (ท.8) = B + B (ท.8) ∴ X=1ตอบ 1ตัวอยา งท่ี 4.6 จงลดรูปสมการตอไปน้ีวธิ ีทํา X = A + AB + AB (ท.9) = A + B + AB (ท.9) =A+B+A

71 = A + A + B (ท.4) ∴ =A+Bตอบ A + Bตวั อยางที่ 4.7 จงลดรูปสมการตอไปนี้วธิ ีทาํ X = A + BC + ABC (ท.3) = A + B(C + AC) (ท.9) = A + B(C + A) (ท.3) = A + BC + AB (ท.1) = A + AB + BC (ท.9) = A + B + BC (ท.6) ∴ =A+Bตอบ A + Bตวั อยางที่ 4.8 จงลดรปู สมการตอ ไปนี้วธิ ีทาํ X = B(A + B) • (A + C) = B(AA + AC + B A + BC) = BA + BAC + BBA + BBC = BA + BAC + 0 + 0 (ท.6) ∴ =BAตอบ ABตัวอยา งท่ี 4.9 จงลดรปู สมการตอไปนี้วิธที ํา X = A • B + A • B = AB • AB =(A + B)•(A + B) =(A + B) •(A + B) = AA + AB + BA + BB =0 + AB + BA + 0 = AB + BA ∴ = AB + BA

72ตอบ AB + ABตวั อยางที่ 4.10 จงลดรูปสมการตอ ไปนี้วธิ ที าํ X = A • B + A + B =A•B•A+B =A+B•A•B =(A + B)•(A •B) =(A + B)AB = AAB + ABB =0+0 =0 ∴ =0ตอบ 0ตวั อยางท่ี 4.11 จงลดรูปสมการตอ ไปนี้วธิ ที าํ X = ABC + ABC + AB + ABC + C = ABC + C + ABC + AB + ABC = AB + C + ABC + AB + ABC = AB + C(1 + AB) + AB + ABC = AB + C + AB + ABC =C + CAB + AB + AB =C + AB + AB + AB =C + AB + B(A + A) =C + AB + B ∴ =C+A+Bตอบ A + B + C

73ตวั อยา งท่ี 4.12 จงลดรูปสมการตอไปนี้วิธีทํา X =(ABC + A) • (A + C) = AABC + ABCC + AA + AC = ABC + 0 + 0 + AC ∴ = ABC + ACตอบ ABC + ACตวั อยางที่ 4.12 จงลดรปู สมการตอ ไปน้ีวธิ ีทาํ X = ABC + ABC + ABC + BC = BA(A + A) + ABC + BC = BC + ABC + BC = B(C + C) + ABC = B + ABC ∴ = B + ACตอบ B + ACตวั อยางท่ี 4.13 จงลดรปู สมการตอไปนี้วิธที ํา X = ABCD + ABCD + ABCD + ADB + AC + CD = AB(CD + D) + ABCD + ABCD + AC + CD = ABD + BD(AC + AC) + AC + CD =ABD + BDA + AC + CD =BD(A + A) + AC + CD ∴ =BD + AC + CDตอบ BD + AC + CD

74ตัวอยางท่ี 4.14 จงลดรปู สมการตอ ไปน้ีวิธีทํา X =(A + B)(A + AB)C + A(B + C) + AB + ABC =(A + B)(A + B)C + A + B + C + AC + ABC =(A + B)C + A + BC + AB + ABC = AC + BC + A + BC + AB + ABC = A + AC + ABC + AB + BC + BC = A + AB + BC + BC = A + B + C(B + B) ∴ =A+B+Cตอบ A + B + Cตัวอยางที่ 4.15 จงลดรปู สมการตอไปน้ีวิธที าํ X = ABC + ABD + ABC + CD + BD = B(AC + AD + AC + D) + CD = B(AC + AC + D + A) + CD = B(AC + A + C + D) + CD = B(A + C + D) + CD = B(A + C D) + CD = B(A + CD) + CD = BA + BCD + CD = B + BA + CD ∴ = B + CDตอบ B + CDตวั อยา งที่ 4.16 จงลดรปู สมการตอ ไปน้ีวิธที าํ X = BC(C + CA) + (A + C)(AB + AC) = BC(C) + AAB + AAC + ACB + ACC = BC + AB + AC + ACB + 0 ∴ = BC + AB + AC

75ตอบ BC + AB + AC ถงึ ตรงนี้ตัวอยา งที่ 4.17 จงลดรปู สมการตอไปน้ีวิธีทํา X = A(B + C) + A + B + ABC = A + B + C + A + B + ABC = A + ABC + BC + AB = A + AB + BC = A + B + BC ∴ =A+B+Cตอบ A + B + Cตัวอยา งที่ 4.18 จงลดรูปสมการตอ ไปนี้วธิ ที ํา X = ABC + AB + ABC + AC + ABC = ABC + AB + AB + C + AC = ABC + 1 + C(1 + A) =1 ∴ =0ตอบ 0 จะเหน็ ไดวา การเขยี นสมการพีชคณติ บลู ีน สามารถแยกสมการออกไดเปน 2 รปู แบบดงั นี้ 1. Sum of Product จะพบสมการประเภทนไี้ ดจ ากตัวอยา งเสียเปน สวนใหญ เพราะสน้ั และงา ยตอการลดรูป จงึ เปน ทีน่ ยิ มใชม ากท่ีสดุ โดยมากรปู ของสมการจะมลี กั ษณะดังน้ี X = ABCD + ABCD + ABC + AB + ADC 2. Product of Sum จะพบสมการประเภทนไ้ี ดจ ากตัวอยางเสยี เปน สว นนอย เพราะวาการเขียนสมการในลกั ษณะนีค้ อ นขางยาวขณะลดรูปสมการดาํ เนนิ การยุงยากกวาประเภทแรก แตก ็ยังคงใชอยใู นปจ จุบันโดยมากรูปของสมการจะมลี กั ษณะดังน้ี X =(A + B + CD) • (A + B + C + D) • (A + D + C) • (A + B)

76การเขยี นสมการจากวงจรสวติ ชิ่ง วงจรสวิตชง่ิ (Switching Circuit) ซ่ึงคงจะไดเ คยเห็นกนั มาบา งแลวในวงจรควบคมุ ตา ง ๆวงจรสวติ ชิ่งนสี้ ามารถนํามาเขยี นเปน สมการได โดยอาศยั ทฤษฏีของบลู ีน ในทํานองเดียวกนั จากสมการเรากส็ ามารถนาํ มาเขียนเปน วงจรสวติ ชิง่ ไดเชนกนั ซึง่ จะเหน็ ไดจ ากตวั อยางตอ ไปน้ีตวั อยา งที่ 4.19 จงเขียนสมการจากวงจรสวติ ชง่ิ ตอไปนี้ภาพที่ 4.4 วงจรสวิตช่งิ Y = A[(B•C) + A] จากภาพ สามารถเขียนสมการไดดงั น้ี Y = A[(B•C) + A] ซึ่งสามารถพจิ ารณาไดจ ากหลักการตอไปน้ี 1. สวิตชเปด จะเขียนสัญลกั ษณแทนตวั แปรในสมการดงั นี้ A หรือ B หรอื C เปนตน 2. สวิตชป ดจะเขยี นสญั ลกั ษณแ ทนตวั แปรในสมการดว ยตวั อกั ษรดงั นี้ A หรอื B หรือ Cเปน ตน 3. หากสวติ ชพ ว งตอ กนั แบบลําดับใหนาํ ตัวอักษรท่เี รยี กใชแ ทนสวิตชมาเขยี นในลกั ษณะท่ี.คณู กันเชน (A B)

77 4. หากสวิตชพ ว งตอ กนั แบบขนานใหน ําตัวอกั ษรที่เรยี กใชแทนสวิตชมาเขียนในลกั ษณะท่ีบวกกนั เชน A + Bตัวอยางที่ 4.20 จงเขยี นสมการจากวงจรสวติ ชง่ิ ตอ ไปน้ีภาพที่ 4.5 วงจรสวิตชิง่ X = A.B + Cตวั อยางที่ 4.21 จงเขยี นสมการจากวงจรสวติ ชง่ิ ตอ ไปน้ีภาพท่ี 4.6 วงจรสวติ ช่งิ X = A.B + C + D.Cตัวอยางที่ 4.22 จงเขียนสมการจากวงจรสวติ ชงิ่ ตอไปนี้ภาพที่ 4.7 วงจรสวติ ช่งิ X = A.B + C .B.A+ D.C

78การเขยี นวงจรสวติ ชิง่ จากสมการตัวอยา งที่ 4.23 จงเขยี นวงจรสวติ ชง่ิ จากสมการตอ ไปนี้ X =[AB + ABC + ABC].ABCภาพที่ 4.8 วงจรสวิตชิ่งที่เขยี นจากสมการ X =[AB + ABC + ABC].ABCตวั อยา งที่ 4.24 จงเขียนวงจรสวิตชิ่งจากสมการตอ ไปน้ี X =[AB + AC + BC].[C+ A + B]

79ภาพท่ี 4.9 วงจรสวิตชงิ่ ท่ีเขียนจากสมการ X =[AB + AC + BC].[C + A + B]การเขียนสมการจากวงจรสวิตชงิ่ และการลดรูปสมการตัวอยา งท่ี 4.25 จงเขียนสมการจากวงจรสวิตชงิ่ ตอไปน้ี และลดรูปสมการทีไ่ ดใ หสนั้ ที่สุดภาพท่ี 4.10 วงจรสวติ ช่ิงที่เขยี นเปนสมการไดเปน X = [D + A(B + CB) + BA + C].[D.A]ลดรูปสมการ X =[D + A(B + CB) + BA + C].[D.A]ตอบ =[D + AB + ACB + BA + C].[D.A] =[D + AB + (C +1)AB + C].[D.A] =[D + AB + AB + C].[D.A] =[D + A(B + B) + C].[D.A] =[D + A + C].[D.A] =(ADD + AAD + ACD) =(AD + 0 + ACD) =(AD + ACD) =(AD(1+ C) ∴ =AD AD

80 สมการที่สดรปู ได X = AD สามารถนาํ มาเขยี นเปน วงจรสวติ ชใ หมไ ดดงั นี้ภาพท่ี 4.11 วงจรสวติ ช่งิ ทเี่ ขยี นจากสมการหลงั จากทําการลดรูป สังเกตเห็นวา จากวงจรสวิตชท ีม่ ีขนาดใหญ ใชสวิตชป ระกอบวงจรเปนจํานวนมาก เมื่อนาํ มาเขยี นเปน สมการและทําการลดรปู ผลลพั ธทไ่ี ดอ อกมาทําใหสมการสัน้ ลงกวา เดมิ มาก เมื่อไดสมการท่ีสั้นลงก็สามารถนําไปเขียนวงจรจะพบวา ใชสวติ ชจาํ นวนลดนอ ยลง แตก ารทํางานยงั คงใหผ ลลัพธท ี่เทากนั กบั วงจรสวิตชข นาดใหญ ซึ่งเปน ประโยชนตอ ผูใชเ พราะสามารถลดตน ทุนในการผลิตวงจรไดเ ปน จาํ นวนมากสญั ลกั ษณล อจิกเกต และตารางความจริง ลอจิกเกตตา ง ๆ ซ่งึ เปนอุปกรณพ้นื ฐานในการศกึ ษาหลกั การเบื้องตน ของวงจรดจิ ติ อลน้นัแบง ตามคุณสมบัตกิ ารทํางานไดด ังน้ี 1. แอนดเกต (AND Gate) 2. ออรเกต (OR Gate) 3. น็อตเกต (NOT Gate หรือ Inverter) 4. แนนดเ กต (NAND Gate ) 5. นอรเกต (NOR Gate) 6. เกตพเิ ศษอนื่ ๆ เชน เอกซค ลูซฟี ออร (Exclusive OR Gate) และเอกซค ลูซฟี นอร(Exclusive NOR Gate

81 1. แอนดเกต แอนดเกต มหี ลักการทํางานดังนี้ ถา อนิ พุตเปน “1” ทงั้ หมดจะสงผลใหเอาตพตุ มีคา เปน 1ดวย ถา อนิ พตุ ตวั ใดตวั หน่ึงมคี า เปน “0” จะสง ผลใหเอาตพุตมีคา เปน “0” ซ่ึงสามารถพจิ ารณาไดจากวงจรพ้นื ฐานและตารางความจรงิ ตอ ไปน้ีภาพท่ี 4.12 สัญลักษณข องแอนดเกตภาพท่ี 4.13 วงจรพน้ื ฐานของแอนดเ กตตารางท่ี 4.6 ตารางความจรงิ แอนดเ กตอินพตุ เอาตพตุBA X00 001 010 011 1

82 จากตารางความจริงจะพบวา ถา อนิ พตุ ตวั ใดตัวหน่งึ เปน “0” จะสงผลใหเอาตพุตมคี าเปน“0” แตถา อินพตุ ทุกตวั เปน “1” ผลลพั ธที่ไดจ ะมีคา เปน “1” การพิจารณาเอาตพุต ถาหลอดไฟดบั หมายถึงลอจกิ เปน “0” ถา หลอดไฟสวาง หมายถงึลอจิกเปน “1” ขอ สังเกต 1. อินพตุ พิจารณาแค 2 อินพุตเทานน้ั 2. ถา อินพุต A หรอื B off ถอื เปน “0” 3. ถา อนิ พตุ A หรอื B on ถือ เปน “1” 4. เอาตพุต X ดบั ถอื เปน “0” 5. เอาตพ ตุ X สวา ง ถอื เปน “1” 2. ออรเ กต การทาํ งานของออรเกตมีดงั นี้ ถา สัญญาณอินพตุ ใดอนิ พุตหนึ่งมีลอจกิ เปน “1” จะเปนสง ผลใหเ อาตพ ุตเปน “1” ถาสัญญาณอินพุตทกุ ตัวมีคาเปน “0” จะเปน สง ผลใหเ อาตพตุ เปน “0”สามารถพจิ ารณาหลกั การทํางานไดจ าก สัญลักษณและตารางความจรงิ ไดดังตอไปนี้ภาพที่ 4.14 วงจรพนื้ ฐานของออรเกตภาพที่ 4.15 วงจรพนื้ ฐานของออรเกต

83ตารางท่ี 4.7 ตารางความจริงออรเ กต อนิ พตุ เอาตพ ตุ BA X 00 0 01 1 10 1 11 1 3. น็อตเกต น็อตเกตมหี ลกั การทาํ งานดงั น้ีคือ ถา อนิ พุตมีคาทางลอจิกเปน “0” เอาตพตุ จะมีคา เปน “1”แตถ า อนิ พตุ เปน มีคา เปน “1”สญั ลักษณเอาตพุตทปี่ รากฎจะมคี าเปน “0” ซึ่งสงั เกตไดว าเอาตพ ุตจะมีผลตรงกนั ขา มกับอินพุตเสมอ น็อตเกตมีสญั ลักษณะและตารางาความจริงดังนี้ภาพที่ 4.16 สัญลักษณข องนอ็ ตเกตตารางที่ 4.8 ตารางความจรงิ น็อตเกต อนิ พุต เอาตพ ตุ AX 01 10

84 4. แนนดเกต เกตชนิดน้ีไดถกู พัฒนามาจากแอนดเ กต และนอ็ ตเกตโดยนํามาตอรว มกนั หลักการทํางานของแนนดเ กตมีลกั ษณะท่คี ลายกบั แอนดเ กต ตางกนั ตรงที่ใหผ ลลัพธอ อกมาตรงกนั ขา มกับผลลพั ธของแอนดเกต ซง่ึ สามารถตรวจสอบการทาํ งานไดจ ากตารางความจรงิ ตอ ไปน้ี X = A • B • C •... • N X = A • B • C •... • Nภาพที่ 4.17 สัญลกั ษณข องแนนดเกตตารางที่ 4.9 ตารางความจริงแนนดเ กต อินพตุ เอาตพุต BA X 00 1 01 1 10 1 11 0 5. นอรเ กต เกตชนิดน้ไี ดถกู พัฒนามาจากออรเกต และนอ็ ตเกตโดยนํามาตอ รว มกนั หลกั การทาํ งานของนอรเ กตมลี ักษณะทคี่ ลายกับออรเกต ตางกันตรงท่ใี หผลลัพธออกมาตรงกนั ขามกับผลลพั ธข องออรเกต ซึ่งสามารถตรวจสอบการทํางานไดจากตารางความจริงตอ ไปนี้ X = A + B + C + ... + N X = A + B + C + ... + N

85ภาพที่ 4.18 สัญลกั ษณของนอรเ กตตารางที่ 4.10 ตารางความจรงิ นอรเ กต อนิ พุต เอาตพ ตุ BA X 00 1 01 0 10 0 11 0 6. เกตพิเศษอนื่ ๆ นอกจากเกตชนดิ ตา ง ๆ ทีไ่ ดก ลา วมาแลวขา งตน ยงั มเี กตชนิดพเิ ศษอ่ืน ๆ ท่เี กิดจากการนาํเกตชนดิ ตาง ๆ มาประยกุ ตใ ชง านดงั ตอ ไปน้ี 6.1 เอกซคลูซีฟออรเ กต เกตชนดิ น้ีเกดิ จากการนาํ เอา น็อตเกต แอนดเกต และออรเ กตมาตอรว มกนั ตามสมการท่ีกําหนดข้ึน หลกั การทํางานสามารถพสิ จู นไดจากตารางความจริง ปกติสญั ญาณอนิ พุตจะตอ งมเี พยี ง 2 อินพตุ เทาน้นั สัญญาณเอาตพ ุตท่ีปรากฏจะมคี า ลอจกิ เปน “1” ก็ตอเมื่อ อนิ พตุ A และ B มคี า เปน “0” และ “1” หรือตรงกนั ขามกนั แตถาอินพุต A และ B มคี า เปน“0” หรอื “1” ท้งั คเู อาตพ ตุ จะมคี า ทางลอจิกเปน “0” X = A⊕B หรอื = AB + AB หรือ = AB + ABภาพท่ี 4.19 สัญลกั ษณข องเอกซคลูซฟี ออรเกตตารางที่ 4.11 ตารางความจรงิ ของเอกซคลูซีฟออรเ กต

86 X = AB + ABภาพที่ 4.20 โครงสรางภายในของเอกซค ลูซีฟออรเกตตารางที่ 4.12 ตารางความจรงิ ของเอกซคลูซีฟออรเกตBAX00 001 110 111 0 6.2 เอกซค ลูซีฟนอรเ กต เกตชนดิ นี้คลา ยกบั เอกซคลชู ฟี ออรเกต ซงึ่ เกดิ จากการนําเอาเกตชนิดอื่นมาประยุกตใชงาน แตจะตางกันตรงที่คาที่ไดจากเอาตพุตจะตรงกันขามกัน ซ่ึงหมายความวาถาสัญญาณอินพุตนั้นเปน “1” หรือ “0” ท้ังคูจะเปนผลทําใหเอาตพุตมีคาเปน “1” ทันที แตถาสัญญาณอินพุตตัวหนึ่งมีคาเปน “1” และอีกตัวหนึ่งมีคาเปน “0” จะทําใหเอาตพุตมีคาเปน “0” เกตชนิดนี้มชี ือ่ เรยี กอีกอยางหน่ึงวา คอมพาเรเตอร (Comparator) X = A⊕B หรือภาพที่ 4.21 สัญลักษณของเอกซคลูซฟี นอรเ กต = AB + AB หรือ =(A + B)(A + B)หรอื = AB + ABภาพที่ 4.22 โครงสรางภายในของเอกซคลูซีฟนอรเ กต ท่ีเขียนจากสมการ X = AB + ABตารางท่ี 4.13 ตารางความจรงิ ของเอกซคลูซีฟนอรเ กต BAX

87 001 010 100 111 7. ตารางความจรงิ ตารางความจริงนี้จําเปนอยางมากท่ีจะตองใชเพ่ือศึกษาเก่ียวกับการทํางานของวงจรลอจิกเพ่ือยึดหลักการออกแบบเงื่อนไขตาง ๆ ซ่ึงจะตองใชวงจรลอจิก ตารางความจริงน้ีขึ้นอยูกับอินพุตวามีก่ีตัวแปร ซึ่งสวนใหญแลวที่นิยมใช จะมี 2 อินพุต 3 อินพุต และ 4 อินพุต การหาคาอินพุตน้ันสามารถคาํ นวณไดจ ากสูตรตอ ไปนี้ จํานวนอนิ พุต = 2N เมื่อ N คอื จาํ นวนตวั แปรของอินพุตตัวอยางที่ 4.26 จงคํานวณขนาดของตารางความจริง 2 อนิ พุต และเขียนใหถ ูกตอ งวธิ ีทาํ 2N N ในทน่ี ้ี คอื จํานวนตัวแปรของอินพตุ เชน สมมตใิ หต วั แปรเปน A และ B ฉะน้ัน 22 มคี า = 4 คอื เริม่ ตัง้ แต 0 ไปจนถึง 3 จะไดต ารางความจรงิ 2 อินพตุ ดังตารางตอไปน้ีตารางท่ี 4.14 ตารางความจรงิ 2 อินพุต เลขฐานสิบ A B เอาตพตุ 0 00 X 1 01 X 2 10 X 3 11 X หมายเหตุ X ในที่นห้ี มายถึง เอาตพตุ จะมลี อจกิ เปน “1” หรอื ลอจิก “0” ก็ได ตามความตองการของ ผูอ อกแบบตัวอยางท่ี 4.27 จงคาํ นวณขนาดของตารางความจริง 3 อินพตุ และเขยี นใหถ กู ตอง

88วธิ ที าํ 2N N ในทน่ี ี้ คือ จาํ นวนตัวแปรของอินพุต เชน สมมติใหต วั แปรเปน A , B และ C ฉะนัน้ 23 มคี า = 8 คือเรมิ่ ตง้ั แต 0 ไปจนถงึ 7 จะไดต ารางความจริง 3 อินพตุ ดงั ตารางตอ ไปน้ีตารางท่ี 4.15 ตารางความจรงิ 3 อนิ พุต เลขฐานสิบ C B A เอาตพ ตุ 0 000 X 1 001 X 2 010 X 3 011 X 4 100 X 5 101 X 6 110 X 7 111 Xตัวอยางที่ 4.28 จงคํานวณขนาดของตารางความจริง 4 อินพุต และเขยี นใหถูกตอ ง 24 = 16 คือ 0 ถึง 15วิธีทํา 2N N ในทน่ี ้ี คอื จํานวนตัวแปรของอนิ พตุ เชน สมมติใหต วั แปรเปน A , B , C และ D ฉะนัน้ 24 มีคา = 16 คือเรม่ิ ตั้งแต 0 ไปจนถึง 15 จะไดต ารางความจรงิ 4 อนิ พตุ ดังตารางตอ ไปนี้ตารางที่ 4.16 ตารางความจรงิ 4 อนิ พตุ เลขฐานสิบ D C B A เอาตพุต 0 0000 X 1 0001 X 2 0010 X 3 0011 X

89 4 0100 X 5 0101 X 6 0110 X 7 0111 X 8 1000 X 9 1001 X 10 1 0 1 0 X 11 1 0 1 1 X 12 1 1 0 0 X 13 1 1 0 1 X 14 1 1 1 0 X 15 1 1 1 1 Xสรุป การออกแบบวงจรดิจิตอล หรือวงจรอิเล็กทรอนิกสให ประหยัดและไดคุณภาพสูงสุดผูออกแบบจําเปนตองมีความรูความเขาใจในการออกแบบเปนอยางดี และจะตองมีความรูพ้ืนฐานในเร่ืองตาง ๆ ท่ีเกี่ยวกับการออกแบบวงจรอยางแมนยํา ความรูความเขาใจดังกลาวไดแก วงจรพ้ืนฐานและตารางความจริงของระบบไฟฟา หรือวงจรดิจิตอล ซ่ึงจะทําใหทราบการทํางานเบื้องตนวาถาตอวงจรลักษณะใดผลลัพธที่ไดจะเปนอยางไร ซึ่งวงจรพื้นฐานโดยทั่วไปจะมีอยู 3ประเภทไดแก วงจรอนกุ รม วงจรขนาน และวงจรผสม ในการออกแบบวงจรดจิ ิตอลถาผูออกแบบไมมีความรูความเขาใจดีพอจะทําใหส้ินเปลืองงบประมาณในการใชอุปกรณที่จะนํามาประกอบวงจร ทฤษฎีพีชคณิตบูลีนเปนเร่ืองสําคัญสําหรับนักออกแบบวงจร เพราะเครื่องมือชนิดน้ีจะชวยใหผูออกแบบลดรูปสมการไดกะทัดรัดที่สุดสงผลให ลดคาใชจายและประหยัดงบประมาณในการออกแบบ สิ่งสําคัญยิ่งอยางหนึ่งสําหรับผูออกแบบวงจรจะตองทราบและตองทําความเขาใจนั่นก็คือสัญลักษณ และตารางความจรงิ ของลอจกิ เกตชนดิ ตาง ๆ เพราะจะตองนํามาใชใหถูกกับสมการท่ีไดออกแบบไว หากหยบิ มาใชผ ดิ ประเภทก็สง ผลใหผ ลลัพธที่ไดเปลี่ยนไป สําหรับตารางความจริงก็จะมีสวนชวยใหผูออกแบบหรือผูพัฒนาไดตรวจสอบการทํางานของลอจิกเกตหรือวงจรไดอยาง

90ถูกตอง แมนยํา ฉะนั้นสิ่งตาง ๆ เหลาน้ีนับวาเปนสวนสําคัญอยางย่ิงที่นักออกแบบวงจรตองทําความเขา ใจและตอ งเรยี นรูใหเ ขาใจอยา งทอ งแทแบบฝก หัดทายบท1. จงใชต ารางความจรงิ พิสูจนวา สมการตอไปนเ้ี ทา กนั หรอื ไม ก. BC + BCD + BCD + AB = ABC + ABC + AB ข. AB + AB + AB = AB ค. (A + B) + (A + B)(A + B) = AB2. จงใชทฤษฎขี องบูลีนพิสจู นว า ก. A + AB + ABC + ABC = 1 ข. ABC + BCD + ACD = (A + B + C)(B + C + D)(A + C + D) ค. (A + C)(B + C)(A + B + C)(A + B + C) = AB ง. AB + ACD + AD + ABCD = A จ. B + AB + ABC + (A + B)(A + C) = (A + C)B ฉ. ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC = 0 ช. (A + B)(B + C)(A + C) = AB + BC ซ. A(A + B)(A + B + C)(A + B + C) = 0 ฌ. AB + BC + AC = (A + C)(B + C)3. จากขอ 2 ตงั้ แตข อ (ก) – (ฌ) นําเอาสมการทางซา ยมอื และทางขวามอื ซึ่งมคี าเทากนั นาํ มาเขียน วงจรลอจิกทง้ั 2 รปู พรอ มกันนัน้ ใชต ารางความจริงพสิ ูจนว าเทากนั หรือไม4. จงเขียนสวติ ชง่ิ จากสมการตอไปนี้ ก. X = AB + ABCD + DA + BAC + ADB + CD + AB + CB ข. X = BBD + ACD + DBAC + BACD + ABCD + DB + CD ค. X = [ADCB + ADCB + CD + ABCD][BCD + BAD + BAC + BAD]เอกสารอางอิงนภัทร วจั นเทพินทร. 2545. วงจรดิจิตอล ภาคปฏบิ ตั .ิ กรงุ เทพมหานคร : สยามสปอรต ซินดเิ คท.

91บณั ฑติ บวั บชู า. 2545. ทฤษฎีและการออกแบบวงจรดิจติ อล. กรงุ เทพมหานคร : ฟสกิ สเซน็ เตอร.มงคล ทองสงคราม. 2545. ดจิ ิตอลเบื้องตน . กรงุ เทพมหานคร : รามาการพิมพ.รัฐวุฒิ ประทมุ ราช. 2545. การออกแบบวงจรดจิ ิตอล. กรงุ เทพมหานคร : ซีเอ็ดยูเคชั่น จํากัด.สมโชค ลักษณะโต. 2543. ปฏบิ ตั ิวงจรดจิ ิตอล 1. กรงุ เทพมหานคร : เอมพนั ธ จํากดั .