Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore Vector

Vector

Published by Paweethida Sriphrom, 2020-10-22 08:24:47

Description: Vector

Search

Read the Text Version

เวกเตอร์ 27 Nov 2019

สารบัญ ปรมิ าณเวกเตอร์....................................................................................................................................................................... 1 เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉาก ....................................................................................................................................................... 8 เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย................................................................................................................................................................ 13 ผลคณู เชิงสเกลาร.์ ................................................................................................................................................................. 17 ผลคณู เชิงเวกเตอร์................................................................................................................................................................ 29 พนื้ ทแ่ี ละปรมิ าตร.................................................................................................................................................................. 32

เวกเตอร์ 1 ปรมิ าณเวกเตอร์ ปรมิ าณเวกเตอร์ คอื ปรมิ าณทมี่ ี “ทิศทาง” กากบั มาดว้ ย (ถา้ มแี ตต่ วั เลข แตไ่ มม่ ีทิศทาง เราจะเรยี กวา่ “ปรมิ าณสเกลาร”์ ) ตวั อยา่ งปรมิ าณเวกเตอร์ เช่น 2 เมตร ไปทางทศิ เหนอื 3 ซ.ม. ไปทางทิศตะวนั ออกเฉียงใต้ √3 หนว่ ย ไปทางทิศ 120° เป็นตน้ เราสามารถแทนปรมิ าณแบบเวกเตอรด์ ว้ ยลกู ศร เชน่ เวกเตอร์ 2 หนว่ ย ไปทางทศิ ใต้ จะแทนไดด้ ว้ ยรูป 2 ในเรอ่ื งนี้ เรานิยมใชต้ วั แปร ���̅��� , ������̅ , ���̅��� ในการเรยี กชื่อเวกเตอร์ หรอื อาจเรยี กดว้ ยจดุ เรม่ิ ตน้ กบั จดุ สนิ้ สดุ ของเวกเตอรก์ ็ได้ เชน่ ⃗A⃗⃗⃗B⃗ จะหมายถึงเวกเตอรท์ เ่ี รม่ิ ตน้ ที่ A และจบท่ี B เวกเตอรห์ นงึ่ ๆ จะมีสว่ นประกอบ 2 อยา่ ง คือ “ขนาด” และ “ทศิ ทาง” “ตาแหนง่ ” ของเวกเตอร์ จะไมม่ คี วามสาคญั กลา่ วคอื เวกเตอรห์ นง่ึ ๆ สามารถเลอ่ื นไปเลอ่ื นมาได้ ตราบใดท่ี “ขนาด” และ “ทิศทาง” ยงั เหมือนเดมิ เราจะยงั ถือวา่ มนั เป็นเวกเตอรเ์ ดมิ เชน่ D C ⃗A⃗⃗⃗B⃗ = D⃗⃗⃗⃗⃗C เพราะ ยาวเทา่ กนั และมีทศิ เดยี วกนั A⃗⃗⃗⃗B⃗ ≠ A⃗⃗⃗⃗D⃗ เพราะ ขนาดตา่ งกนั A B ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ≠ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ ถึงจะยาวเทา่ กนั และทิศไมเ่ หมือนกนั (A⃗⃗⃗⃗B⃗ กบั C⃗⃗⃗⃗D⃗ มที ศิ ตรงขา้ มกนั ) ขนาดของเวกเตอร์ ���̅��� จะแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ |���̅���| หมายถงึ ความยาวของ ���̅��� เชน่ D C |⃗A⃗⃗⃗B⃗ | = 4 |⃗B⃗⃗⃗⃗C| = 3 3 |A⃗⃗⃗⃗⃗C| = 5 (ใชด้ า้ นชดุ พีทากอรสั 3 , 4 , 5) A4 B |A⃗⃗⃗⃗A⃗ | = 0 หมายเหต:ุ เวกเตอรท์ ีม่ ขี นาดเป็นศนู ย์ จะเรยี กวา่ “เวกเตอรศ์ นู ย”์ ซง่ึ แทนไดด้ ว้ ยสญั ลกั ษณ์ 0̅ เขียนเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดว้ า่ |0̅| = 0 น่นั เอง เหนือ ทิศของเวกเตอร์ จะบอกโดยใชท้ ศิ ตามแผนท่กี ็ได้ ตะวนั ตก ตะวนั ออก ใต้ หรอื จะใชว้ ธิ ีบอกเป็นองศาแบบ 3 หลกั ก็ได้ วธิ ีนจี้ ะเรมิ่ วดั จากทิศ 12 นาฬกิ า (ทศิ เหนอื ) แบบตามเข็ม 45° ทิศ 090° 300° ทศิ 045° ทศิ 300°

2 เวกเตอร์ เวลาทเี่ ราพดู วา่ เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ “ขนานกนั ” เราจะรวมทงั้ กรณี “ทิศเดยี วกนั ” กบั กรณี “ทิศตรงขา้ มกนั ” ���̅��� ������̅ ������̅ ทศิ เดยี วกนั ���̅��� ทศิ ตรงขา้ มกนั เวกเตอร์ 3���̅��� จะหมายถงึ เวกเตอรใ์ นทิศเดียวกนั ท่มี ขี นาดเป็น 3 เทา่ ของ ���̅��� 3���̅��� ���̅��� เวกเตอร์ 1 ���̅��� จะหมายถงึ เวกเตอรใ์ นทิศเดียวกนั ทม่ี ีขนาดเป็นครงึ่ หนง่ึ ของ ���̅��� ���̅��� 1 ���̅��� 2 2 เวกเตอร์ −���̅��� จะหมายถงึ เวกเตอรท์ ขี่ นาดเทา่ กบั ���̅��� แตม่ ที ิศตรงขา้ มกบั ���̅��� ���̅��� หมายเหตุ : B⃗⃗⃗⃗A⃗ = −⃗A⃗⃗⃗B⃗ เสมอ −���̅��� เวกเตอร์ −2���̅��� จะหมายถงึ เวกเตอรท์ ี่ขนาดเป็น 2 เทา่ ของ ���̅��� และมีทศิ ตรงขา้ มกบั ���̅��� ���̅��� −2���̅��� จะเห็นวา่ ���̅��� กบั ���������̅��� จะขนานกนั เสมอ (������ จะเป็นตวั เลขบวกหรอื ลบอะไรก็ได)้ หรอื พดู อกี แบบไดว้ า่ ���̅��� จะขนานกบั ������̅ ก็เม่อื สามารถเขยี น ������̅ = ���������̅��� ไดน้ ่นั เอง ตวั อยา่ ง จากรูป จงหาเวกเตอรท์ งั้ หมดทขี่ นานกบั ⃗A⃗⃗⃗B⃗ H G JI FE KL CD A B วธิ ีทา ขนานกนั จะรวมทงั้ ทศิ เดยี วกนั และทิศตรงขา้ ม # เวกเตอรท์ ีม่ ีทศิ เดยี วกบั ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ไดแ้ ก่ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ , F⃗⃗⃗E⃗ , ⃗H⃗⃗⃗G⃗ , J⃗I , K⃗⃗⃗⃗⃗L เวกเตอรท์ มี่ ที ศิ ตรงขา้ มกบั A⃗⃗⃗⃗B⃗ ไดแ้ ก่ D⃗⃗⃗⃗⃗C , E⃗⃗⃗⃗F , G⃗⃗⃗⃗H⃗ , I⃗J , L⃗⃗⃗⃗K⃗ , ⃗B⃗⃗⃗A⃗ เวกเตอรบ์ วกกนั คอื การนาเวกเตอรม์ าโยงตอ่ กนั โดยจะเอาตวั ไหนตงั้ กอ่ นก็ได้ ไดผ้ ลลพั ธเ์ ทา่ กนั เชน่ ���̅��� + ������̅ ���̅��� ���̅��� + ������̅ = ������̅ = ������̅ ���̅��� ���̅��� + ������̅ เวกเตอรล์ บกนั ได้ ใหก้ ลบั ทิศตวั ลบ แลว้ โยงตอ่ กนั กลา่ วคือ ���̅��� − ������̅ = ���̅��� + (−������̅) เช่น ���̅��� ���̅��� − ������̅ = ���̅��� − ������̅ −������̅

เวกเตอร์ 3 บางคนนยิ มทอ่ งวา่ ���̅��� − ������̅ ใหเ้ อา โคนลกู ศรมาตอ่ กนั แลว้ ลากจาก “ตวั ลบ” ไปหา “ตวั ตงั้ ” เช่น ������̅ ���̅��� − ������̅ ���̅��� − ������̅ = ���̅��� เวกเตอรท์ ีข่ นานกนั มาบวกลบกนั ใหเ้ อาตวั เลขหนา้ เวกเตอรม์ าบวกลบกนั ไดเ้ ลย เช่น ���̅��� + ���̅��� = 2���̅��� 5���̅��� − 1 ���̅��� = 9 ���̅��� ���̅��� − ���̅��� = 0̅ 22 ตวั อยา่ ง สามเหลยี่ ม ABC มี A⃗⃗⃗⃗B⃗ = ���̅��� และมี ⃗A⃗⃗⃗⃗C = ������̅ ให้ CD เป็นเสน้ มธั ยฐานของสามเหลย่ี ม ABC จงหา C⃗⃗⃗⃗D⃗ ใน รูปของ ���̅��� และ ������̅ วิธีทา C วาดรูปไดด้ งั รูป ������̅ มธั ยฐาน คอื เสน้ ทลี่ ากไปแบง่ ครงึ่ ฐาน ดงั นนั้ AD = DB # D น่นั คอื จะไดว้ า่ ⃗A⃗⃗⃗D⃗ = 1 ���̅��� A ���̅��� 2 B จะได้ C⃗⃗⃗⃗D⃗ = ⃗A⃗⃗⃗D⃗ − A⃗⃗⃗⃗⃗C = 1 ���̅��� − ������̅ 2 เราสามารถนาความรูเ้ รอื่ งเวกเตอร์ ไปพิสจู นก์ ฤษฎีทางเรขาคณิตได้ โดยเราจะสมมตุ ใิ หด้ า้ นพนื้ ฐานของรูปท่ีจะพสิ จู น์ เป็น ���̅��� , ������̅ แลว้ เปลย่ี นเวกเตอรท์ ตี่ อ้ งการพสิ จู นใ์ หอ้ ยใู่ นรูป ���̅��� , ������̅ จากนนั้ จงึ ใชค้ วามรูเ้ รอื่ งเวกเตอร์ มาสรุปเกี่ยวกบั ดา้ นที่ตอ้ งการพิสจู นน์ นั้ ๆ ตวั อยา่ ง จากรูป จงพสิ จู นว์ า่ DE ขนาน และยาวเป็นครง่ึ หนงึ่ ของ AB C D E A B วิธีทา กาหนดให้ ⃗C⃗⃗⃗D⃗ = ���̅��� และ C⃗⃗⃗E⃗ = ������̅ ถดั มา เราจะเปลย่ี นดา้ นท่ีตอ้ งการพสิ จู น์ ใหอ้ ยใู่ นรูป ���̅��� และ ������̅ # D⃗⃗⃗⃗E⃗ = D⃗⃗⃗⃗⃗C + C⃗⃗⃗E⃗ = −���̅��� + ������̅ C⃗⃗⃗⃗A⃗ = 2���̅��� , ⃗C⃗⃗⃗B⃗ = 2������̅ A⃗⃗⃗⃗B⃗ = ⃗A⃗⃗⃗⃗C + ⃗C⃗⃗⃗B⃗ = −2���̅��� + 2������̅ จะเหน็ วา่ A⃗⃗⃗⃗B⃗ กบั D⃗⃗⃗⃗E⃗ คลา้ ยๆกนั น่นั คอื A⃗⃗⃗⃗B⃗ = −2���̅��� + 2������̅ = 2(−���̅��� + ������̅) = 2⃗D⃗⃗⃗E⃗ เนอ่ื งจาก A⃗⃗⃗⃗B⃗ = 2D⃗⃗⃗⃗E⃗ ดงั นนั้ DE ขนาน และยาวเป็นครง่ึ หนง่ึ ของ AB ตวั อยา่ ง จงพิสจู นว์ า่ เสน้ ทแยงมมุ ของสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนานแบง่ ครง่ึ ซงึ่ กนั และกนั วิธีทา D ������ E ������ C วาดรูปสเี่ หลยี่ มดา้ นขนาน และกาหนดความยาว ดงั รูป เราจะพสิ จู นว์ า่ ������ = ������ และ ������ = ������ ������ ������ กาหนดให้ A⃗⃗⃗⃗D⃗ = ���̅��� และ A⃗⃗⃗⃗B⃗ = ������̅ จะได้ ⃗B⃗⃗⃗⃗C = ���̅��� ดว้ ย และ D⃗⃗⃗⃗⃗C = ������̅ ดว้ ย AB

4 เวกเตอร์ ดงั นนั้ A⃗⃗⃗⃗⃗C = A⃗⃗⃗⃗B⃗ + B⃗⃗⃗⃗⃗C = ������̅ + ���̅��� และ ⃗B⃗⃗⃗D⃗ = ⃗B⃗⃗⃗A⃗ + ⃗A⃗⃗⃗D⃗ = −������̅ + ���̅��� และจะได้ A⃗⃗⃗⃗E⃗ = (���������+���������) ⃗A⃗⃗⃗⃗C = (���������+���������) (������̅ + ���̅���) B⃗⃗⃗⃗E⃗ = ( ������ ) ⃗B⃗⃗⃗D⃗ = ( ������ ) (−������̅ + ���̅���) ������+������ ������+������ และเน่อื งจาก ⃗A⃗⃗⃗E⃗ + E⃗⃗⃗⃗B⃗ = ⃗A⃗⃗⃗B⃗ ดงั นนั้ ( ������ ) (������̅ + ���̅���) − ( ������ ) (−������̅ + ���̅���) = ������̅ ������+������ ������+������ เพอื่ ความสะดวกในการแกส้ มการ จะเปลย่ี นตวั แปรโดยให้ ������ = ������ และ ������ = ������ จะได้ ������+������ ������+������ ������(������̅ + ���̅���) − ������(−������̅ + ���̅���) = ������̅ ������������̅ + ���������̅��� + ������������̅ − ���������̅��� = ������̅ ���������̅��� − ���������̅��� = ������̅ − ������������̅ − ������������̅ (������ − ������)���̅��� = (1 − ������ − ������)������̅ แต่ ���̅��� กบั ������̅ ไมข่ นานกนั ดงั นนั้ (������ − ������)���̅��� กบั (1 − ������ − ������)������̅ จะไมม่ ีทางเทา่ กนั ได้ ยกเวน้ เพียงกรณเี ดยี ว คอื ������ − ������ = 0 และ 1 − ������ − ������ = 0 ������ − ������ = 0 (1) (2) 1 − ������ − ������ = 0 (1) + (2): 1 − 2������ = 0 ������ = 1 2 ������ = 1 → (2): 1 − ������ − 1 = 0 2 2 1 2 ������ = เปลย่ี น ������ กบั ������ กลบั เป็น ������, ������, ������, ������ จะได้ ������ = 1 และ ������ = 1 ������+������ 2 ������+������ 2 2������ = ������ + ������ 2������ = ������ + ������ ������ = ������ ������ = ������ จะไดว้ า่ ������ = ������ และ ������ = ������ น่นั คอื เสน้ ทแยงมมุ ทงั้ สอง แบง่ ครง่ึ ซงึ่ กนั และกนั น่นั เอง # แบบฝึกหดั C 1. จากรูป กาหนดให้ A⃗⃗⃗⃗B⃗ = ���̅��� และ ⃗A⃗⃗⃗⃗C = ������̅ 3 2 จงเขยี นเวกเตอรต์ อ่ ไปนี้ ในรูปของ ���̅��� และ ������̅ D F E 1. A⃗⃗⃗⃗⃗F 1 1 2B A2 2. A⃗⃗⃗⃗D⃗ 3. D⃗⃗⃗⃗⃗C 4. C⃗⃗⃗⃗A⃗ 5. B⃗⃗⃗⃗F 6. B⃗⃗⃗⃗⃗C

เวกเตอร์ 5 7. B⃗⃗⃗⃗E⃗ 8. ⃗C⃗⃗E⃗ 9. C⃗⃗⃗⃗F 10. F⃗⃗⃗⃗D⃗ 11. A⃗⃗⃗⃗E⃗ 12. ⃗D⃗⃗⃗E⃗ 2. จากรูป กาหนดให้ A⃗⃗⃗⃗B⃗ = ���̅��� และ ⃗A⃗⃗⃗D⃗ = ������̅ D 1F 3 C จงเขยี นเวกเตอรต์ อ่ ไปนี้ ในรูปของ ���̅��� และ ������̅ 2H 1 1. ⃗B⃗⃗⃗⃗C E 1 A 2G2 B 2. ⃗A⃗⃗⃗⃗C 3. ⃗D⃗⃗⃗B⃗ 4. ⃗A⃗⃗⃗⃗F 5. ⃗G⃗⃗⃗F 6. ⃗H⃗⃗⃗G⃗ 7. A⃗⃗⃗⃗H⃗ 8. H⃗⃗⃗⃗E⃗ 3. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอรท์ ่ีไมข่ นานกนั ถา้ ������(���̅��� + ������̅) − ���̅��� = ������(���̅��� − ������̅) แลว้ จงหาคา่ ของ ������ − ������

6 เวกเตอร์ 4. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มทม่ี ี D เป็นจดุ บนดา้ น AC และ F เป็นจดุ บนดา้ น BC ถา้ ⃗A⃗⃗⃗D⃗ = 1 A⃗⃗⃗⃗⃗C , 4 ⃗B⃗⃗⃗F = 1 ⃗B⃗⃗⃗⃗C และ ⃗D⃗⃗⃗⃗F = ������A⃗⃗⃗⃗B⃗ + ������B⃗⃗⃗⃗⃗C แลว้ ������ มีคา่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-12] 3 ������ 5. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หลยี่ มดา้ นขนาน M เป็นจดุ บนดา้ น AD ซง่ึ ⃗A⃗⃗⃗M⃗⃗ = 1 ⃗A⃗⃗⃗D⃗ 5 และ N เป็นจดุ บนเสน้ ทแยงมมุ AC ซงึ่ A⃗⃗⃗⃗N⃗ = 1 A⃗⃗⃗⃗⃗C ถา้ M⃗⃗⃗⃗⃗N⃗ = ������A⃗⃗⃗⃗B⃗ + b⃗A⃗⃗⃗D⃗ แลว้ ������ + ������ เทา่ กบั เทา่ ใด 6 [PAT 1 (มี.ค. 52)/24]

เวกเตอร์ 7 6. กาหนดจดุ A(3, 0) , B(3 + √3 , 1) และ C(������, ������) โดยท่ี C อยใู่ นจตภุ าคท่ี 4 A⃗⃗⃗⃗B⃗ กบั A⃗⃗⃗⃗⃗C ทามมุ กนั 60° และ |⃗A⃗⃗⃗⃗C| = 2√3 |⃗A⃗⃗⃗B⃗ | จงหาคา่ ของ ������2 + ������2 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/33] 7. จากรูป ������ + ���⃗��� + ������ = ⃗0 Y ������ ���⃗��� 110° 125° X ������ 2. |������| cosec 20° = |������| (1 + cot 35°) cot 20° ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู [PAT 1 (ธ.ค. 54)/12] 1. |������| cosec 35° = |������| (1 + cot 20°) 4. |������| cosec 20° = |������| (1 + tan 35°) tan 20° cot 35° 3. |������| cosec 35° = |������| (1 + tan 20°) tan 35°

8 เวกเตอร์ เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉาก ที่ผา่ นมา เราจะแทนเวกเตอรด์ ว้ ย “รูปลกู ศร” ซง่ึ ไมส่ ะดวกในการนาไปคานวณ เราจะมีอกี วธิ ีในการเขยี นเวกเตอร์ โดยใช้ “ระยะทางแกน X” กบั “ระยะทางแกน Y” เช่น ���̅��� มีระยะทางแกน X เทา่ กบั 1 และมรี ะยะทางแกน Y เทา่ กบั 2 ���̅��� 2 1 เราจะเขยี นแทน ���̅��� ในรูปสญั ลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น [12] เวลาวดั ระยะทางแกน X หรอื แกน Y ใหว้ ดั จากจดุ เรมิ่ ตน้ ไปหาจดุ สนิ้ สดุ การวดั ระยะทางแกน X ถา้ วดั ไปทางขวาเป็นจะเป็นบวก วดั ไปทางซา้ ยจะเป็นลบ การวดั ระยะทางแกน Y ถา้ วดั ขนึ้ เป็นจะเป็นบวก วดั ลงจะเป็นลบ 2 ������̅ −1 ���̅��� −2 1 −2 ���̅��� ���̅��� = [−22] ���̅��� = [−−21] −2 ������̅ = [−12] โจทยน์ ยิ มนาเวกเตอรไ์ ปวางในระบบแกน XY และบอกพิกดั จดุ ตงั้ ตน้ (������1, ������1) กบั จดุ สนิ้ สดุ (������2, ������2) มาให้ ในกรณีนี้ เราจะใชส้ ตู ร เวกเตอรท์ ่ีชจี้ าก (������1, ������1) ไปยงั (������2, ������2) คือ [������������22 − ������1 ] เอาจดุ ปลายตงั้ − ������1 ลบดว้ ยจดุ เรม่ิ เชน่ เวกเตอรจ์ าก (1, 3) ไปยงั (4, 9) คือ [94 − 13] = [63] − เวกเตอรจ์ าก (1, −2) ไปยงั (−1, 0) คอื [0−−1(−−12)] = [−22] เป็นตน้ เวกเตอรท์ เ่ี ราพบมาจนถงึ ขณะนี้ จะเป็นเวกเตอรแ์ บบ “สองมติ ิ” เรยี กแบบเต็มยศวา่ เป็น กลา่ วคอื เป็นเวกเตอรท์ ี่สามารถบอกดว้ ยระยะทางแกน X กบั ระยะทางแกน Y ได้ เวกเตอรใ์ น “ปรภิ มู สิ ามมติ ิ” เพราะเวกเตอรแ์ บบสองมิติ จะมแี คค่ วามกวา้ งกบั ความยาว ในกรณีทเี่ วกเตอร์ มี “ความลกึ ” (หรอื บางที เรยี กวา่ “ความสงู ”) ดว้ ย จะถือเป็นเวกเตอรแ์ บบ “สามมิติ” Z เชน่ เวกเตอรท์ ่ีลากจากมมุ ฝ่ังในกลอ่ งดา้ นลา่ ง ไปยงั มมุ ตรงขา้ มดา้ นบน เวกเตอรน์ ี้ จะมีทงั้ กวา้ ง ยาว และสงู ���̅��� 3 ในกรณีนี้ เราจะมี “ระยะทางแกน Z” เขา้ มารวมดว้ ย 1 Y 1 4 เชน่ จากรูป จะได้ ���̅��� = [4] X3

เวกเตอร์ 9 สตู รสาหรบั หาเวกเตอรใ์ นปรภิ มู สิ ามมิตจิ ะคลา้ ยกบั สตู รของสองมติ ิ คือ เอาจดุ ปลายตงั้ ลบดว้ ยจดุ เรมิ่ เวกเตอรท์ ช่ี จี้ าก (������1, ������1, ������1) ไปยงั (������2, ������2, ������2) คือ ������2 − ������1 [������2 − ������1] ������2 − ������1 5−0 5 เชน่ เวกเตอรจ์ าก (0, 2, 5) ไปยงั (5, 4, 2) คอื [4 − 2] = [ 2 ] 2 − 5 −3 0−1 −1 เวกเตอรจ์ าก (1, −2, 0) ไปยงั (0, 2, −3) คือ [2 − (−2)] = [ 4 ] −3 − 0 −3 เวกเตอรศ์ นู ย์ เวกเตอรศ์ นู ย์ แทนไดด้ ว้ ยสญั ลกั ษณ์ 0̅ คอื เวกเตอรท์ ่มี ขี นาดเป็นศนู ย์ ในระบบพกิ ดั ฉาก เวกเตอรศ์ นู ย์ จะเขียนแทนไดเ้ ป็น [00] 0 (หรอื [0] ในพิกดั ฉากแบบ 3 มิติ) 0 การเทา่ กนั เวกเตอรส์ องเวกเตอร์ จะเทา่ กนั เมื่อ ขนาดเทา่ กนั และ ชีไ้ ปทางทศิ เดยี วกนั ในระบบพิกดั ฉาก เวกเตอรส์ องเวกเตอร์ จะเทา่ กนั เมื่อ ระยะของแตล่ ะแกน เทา่ กนั หมดทกุ แกน กลา่ วคอื [������������11] = [������������22] ก็ตอ่ เมอื่ ������1 = ������2 และ ������1 = ������2 ������1 ������2 [������1] = [������2] ก็ตอ่ เมอ่ื ������1 = ������2 และ ������1 = ������2 และ ������1 = ������2 z1 z2 เชน่ ถา้ [2������] = [������ + 1] เราจะสามารถสรุปไดว้ า่ 2 = ������ +1 และ ������ =3 3 ������ 2 เป็นตน้ ถา้ [������ + ������] = [ ������ ] เราจะสามารถสรุปไดว้ า่ ������ = 2 , ������ + ������ = ������ , −3 = ������ + ������ −3 ������ + ������ ขนาดของเวกเตอร์ 345 ในระบบพิกดั ฉาก เราหาขนาดของเวกเตอรไ์ ดจ้ ากสตู รพีทากอรสั 5 12 13 7 24 25 ขนาดของ [������������] จะเทา่ กบั √������2 + ������2 8 15 17 9 40 41 ������ ขนาดของ [������] จะเทา่ กบั √������2 + ������2 + ������2 ������ เช่น ขนาดของ [34] คอื √32 + 42 = 5 ขนาดของ [−125] คอื √(−5)2 + 122 = 13 1 ขนาดของ [−1] คือ √12 + (−1)2 + 22 = √6 2

10 เวกเตอร์ คณู เวกเตอรด์ ว้ ยตวั เลข ���������̅��� คอื เวกเตอรใ์ นทศิ เดมิ ทีย่ าวเป็น ������ เทา่ ของ ���̅��� (ถา้ ������ เป็นลบ จะเปลยี่ นเป็นทิศตรงขา้ ม) ในระบบพิกดั ฉาก ใหก้ ระจายตวั เลขที่มาคณู เขา้ ไปคณู ระยะแตล่ ะแกนไดเ้ ลย (ไมว่ า่ ������ เป็นบวกหรอื ลบก็ทาเหมอื นกนั ) เช่น 2 × [−31] = [−62] [−21] × (−3) = [−36] −1 2 (−2) × [−2] = [4] −3 6 การขนานกนั ���̅��� กบั ������̅ จะขนานกนั เมือ่ สามารถเขียน ���̅��� = ������������̅ ได้ เมื่อ ������ เป็นตวั เลขซกั ตวั โดย ถา้ ������ > 0 → ขนานแบบ “ทศิ เดยี วกนั ” ถา้ ������ < 0 → ขนานแบบ “ทิศตรงขา้ ม” เช่น [23] กบั [64] ขนานแบบทิศเดียวกนั เพราะ 2 × [23] = [46] และ 2 เป็นบวก [−−24] กบั [12] ขนานแบบทศิ ตรงขา้ ม เพราะ [−−24] = −2 × [21] และ −2 เป็นลบ −1 3 −1 3 [ 2 ] กบั [−6] ขนานแบบทิศตรงขา้ ม เพราะ −3 × [ 2 ] = [−6] และ −3 เป็นลบ −3 9 −3 9 −1 2 [ 1 ] กบั [−2] ไมข่ นานกนั เพราะหาตวั มาคณู ไหเ้ ทา่ กนั ไมไ่ ด้ (X กบั Y ตอ้ งคณู −2 แต่ Z คณู −2 จะไมเ่ ทา่ ) −2 −4 −1 2 −1 2 [ 1 ] กบั [−2] ขนานแบบทิศตรงขา้ ม เพราะ −2 × [ 1 ] = [−2] และ −2 เป็นลบ 00 00 [03] กบั [50] ขนานแบบทิศเดยี วกนั เพราะ 5 × [30] = [50] และ 5 เป็นบวก 3 3 [03] กบั [61] ไมข่ นานกนั เพราะหาตวั มาคณู ใหเ้ ทา่ กนั ไมไ่ ด้ (แกน X จะไมม่ อี ะไรมาคณู แลว้ เทา่ ได)้ การบวกลบเวกเตอร์ เวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉาก สามารถนามาบวกลบกนั ได้ โดยใหเ้ อาระยะแตล่ ะแกนมาบวกลบกนั ไดเ้ ลย เชน่ [21] + [53] = [65] [12] − [35] = [−−14] 10 1 −1 −5 4 [−2] + [−1] = [−3] [ 0 ] − [ 2 ] = [−2] 2 −3 −1 2 −3 5 หมายเหต:ุ เราไมส่ ามารถเอาเวกเตอรบ์ วกกบั ตวั เลขได้ เชน่ [21] + 3 จะถือวา่ ไมม่ คี วามหมายทางคณิตศาสตร์ แตเ่ วกเตอรค์ ณู กบั ตวั เลขได้ เชน่ [12] × 3 = [36] และเวกเตอร์ คณู กบั เวกเตอรก์ ็ได้ (จะไดเ้ รยี นในหวั ขอ้ หนา้ )

เวกเตอร์ 11 ตวั อยา่ ง ใหจ้ ดุ A(0, −1, 1) , B(1, 1, 1) และ C(3, 5, −1) เป็นจดุ ในปรภิ มู สิ ามมิติ จงหา 3⃗B⃗⃗⃗A⃗ − 2A⃗⃗⃗⃗⃗C วธิ ีทา หาเวกเตอร์ ⃗B⃗⃗⃗A⃗ และ C⃗⃗⃗⃗A⃗ ในระบบพกิ ดั ฉากกอ่ น โดยใชส้ ตู ร จดุ ปลายลบจดุ ตน้ 0−1 −1 3−0 3 จะได้ ⃗B⃗⃗⃗A⃗ = [−1 − 1] = [−2] และ A⃗⃗⃗⃗⃗C = [5 − (−1)] = [ 6 ] 1−1 0 −1 − 1 −2 −1 3 −3 6 −9 ดงั นนั้ 3B⃗⃗⃗⃗A⃗ − 2⃗A⃗⃗⃗C⃗ = 3 [−2] − 2 [ 6 ] = [−6] − [12] = [−18] # 0 −2 0 −4 4 # ตวั อยา่ ง ให้ ���̅��� = [−12] และ ������̅ = [−63] ขอ้ ใดตอ่ ไปนผี้ ดิ 1) 4���̅��� + ������̅ = ���̅��� 2) ���̅��� + ������̅ ขนานกบั ���̅��� − ������̅ 3) |���̅���| + |������̅| < |���̅��� + ������̅| 4) ไมม่ ขี อ้ ผดิ วธิ ีทา 1) 4���̅��� + ������̅ = 4 × [−12] + [−63] = [−48] + [−63] = [−12] = ���̅��� จรงิ 2) ���̅��� + ������̅ = [−42] และ ���̅��� − ������̅ = [−48] จะเห็นวา่ เอา −2 คณู แลว้ เทา่ ดงั นนั้ ���̅��� + ������̅ ขนานกบั ���̅��� − ������̅ จรงิ 3) |���̅���| = √12 + (−2)2 = √5 และ |������̅| = √(−3)2 + (6)2 = √45 = 3√5 ดงั นนั้ |���̅���| + |������̅| = √5 + 3√5 = 4√5 และจากขอ้ 2) ���̅��� + ������̅ = [−42] ดงั นนั้ |���̅��� + ������̅| = √(−2)2 + (4)2 = √20 = 2√5 จะเหน็ วา่ 4√5 > 2√5 ดงั นนั้ ขอ้ 3 ผิด แบบฝึกหดั 2. จาก (1, −1) ไปยงั (−1, 1) 1. จงหาเวกเตอรท์ ี่ลากระหวา่ งจดุ ตอ่ ไปนี้ 1. จาก (1, 3) ไปยงั (3, 9) 3. จาก (2, −1, 0) ไปยงั (0, −2, 3) 4. จาก (0, 3, 0) ไปยงั (−1, 3, 1) 2. จงหาคา่ ������ , ������ และ ������ ที่ทาใหข้ อ้ ความตอ่ ไปนเี้ ป็นจรงิ 1. [������ + 3] = [−2���1��� ] 2 ������ + ������ ������ 2. [������ + ������] = [ −1 ] ������ − 3 ������ + ������

12 เวกเตอร์ ������ −4 3. [���3���] ขนานกบั [−69] 4. [−1] มที ิศตรงขา้ มกบั [4������] 2 ������������ 3. จงหาขนาดของเวกเตอรต์ อ่ ไปนี้ 3 1. [−43] 2. [−4] 3. 2∙[−34] − [14] 0 2 −4 4. 3∙[ 2 ] + 2∙[−3] −3 5 4. กาหนดใหจ้ ดุ A, B และ C(3, 1) เป็นจดุ บนเสน้ ตรงเดยี วกนั ถา้ AB = 3 AC และ ⃗B⃗⃗⃗⃗C = [−24] แลว้ จงหา พิกดั ของ A 5

เวกเตอร์ 13 เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย # # เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ย คอื เวกเตอรท์ ี่มีความยาวเทา่ กบั 1 # สตู รสาหรบั หาเวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย มดี งั นี้ เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยในทิศเดียวกบั ���̅��� หาไดจ้ าก 1 ∙ ���̅��� |���̅���| เวกเตอรใ์ นทิศเดยี วกบั ���̅��� ทม่ี คี วามยาวเทา่ กบั ������ หาไดจ้ าก ������ ∙ ���̅��� |���̅���| หมายเหตุ : ถา้ อยากไดเ้ วกเตอรใ์ นทิศตรงขา้ มกบั ���̅��� ก็ไดค้ ณู −1 เขา้ ไป ตวั อยา่ ง จงหาเวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในทิศเดียวกบั [34] วธิ ีทา จากดา้ นชดุ พีทากอรสั 3, 4, 5 จะไดค้ วามยาวของ [43] คอื 5 ดงั นนั้ เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในทศิ เดียวกบั [43] คอื 1 [43] 5 ∙ ตวั อยา่ ง จงหาเวกเตอรใ์ นทศิ เดยี วกนั กบั [−11] ที่มีความยาวเทา่ กบั 3 หนว่ ย วิธีทา ความยาวของ [−11] คือ √12 + (−1)2 = √2 [−11] ท่ียาว 3 หนว่ ย คือ 3 [−11] ดงั นนั้ เวกเตอรใ์ นทศิ เดียวกนั กบั √2 ∙ ทาใหส้ ว่ นไมต่ ิดรูท โดยคณู √2 ไดเ้ ป็น 3 ∙ √2 ∙ [−11] = 3√2 ∙ [−11] √2 2 √2 √2 ตวั อยา่ ง จงหาเวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในทิศตรงขา้ มกบั [−21] วิธีทา หาเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยในทศิ เดยี วกนั ก่อน แลว้ คอ่ ยเอามาทาใหเ้ ป็นทิศตรงขา้ ม โดยการคณู −1 ความยาวของ [−21] คือ √(−1)2 + 22 = √5 [−21] [−21] [−21] ดงั นนั้ เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในทศิ เดยี วกนั คอื 1 ∙ = 1 ∙ √5 ∙ = √5 ∙ √5 √5 √5 5 ดงั นนั้ เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยในทศิ ตรงขา้ ม คือ คอื − √5 ∙ [−21] 5 มีเวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยพเิ ศษ ท่เี ราตอ้ งรูจ้ กั และใชใ้ หค้ ลอ่ ง 3 ตวั คือ ������,̅ ������̅ และ ���̅���  ������̅ คือเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยทช่ี ีไ้ ปทางแกน X ฝ่ังทเ่ี ป็นบวก Y Z ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ ������̅ สามารถเขียนไดเ้ ป็น [10] ������̅ Y X ������̅ 1 X ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ ������̅ สามารถเขียนไดเ้ ป็น [0] 0

14 เวกเตอร์  ������̅ คือเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยท่ชี ีไ้ ปทางแกน Y ฝ่ังท่เี ป็นบวก Y Z ������̅ ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ ������̅ สามารถเขียนไดเ้ ป็น [01] ������̅ Y X 0 X ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ ������̅ สามารถเขียนไดเ้ ป็น [1] 0  ���̅��� คอื เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยท่ีชีไ้ ปทางแกน Z ฝ่ังท่เี ป็นบวก Z ในระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ จะไมส่ ามารถมี ���̅��� อยไู่ ด้ ���̅��� Y 0 X ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ ���̅��� สามารถเขยี นไดเ้ ป็น [0] 1 เวกเตอรใ์ ดๆกต็ าม จะสามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรูปของผลบวกของ ������̅ , ������̅ และ ���̅��� ไดเ้ สมอ เช่น [21] คอื เวกเตอรท์ ่มี ีระยะทางแกน X คือ 2 และ ระยะทางแกน Y คอื 1 [21] ������̅ ดงั นนั้ [12] = 2������̅ + ������̅ 2������̅ ซง่ึ สรุปเป็นสตู รไดว้ า่ [������������] สามารถเขยี นในรูป ������̅ , ������̅ ไดเ้ ป็น ������������̅ + ������������̅ ������ [������] สามารถเขียนในรูป ������̅ , ������̅ และ ���̅��� ไดเ้ ป็น ������������̅ + ������������̅ + ���������̅��� ������ 1 ตวั อยา่ ง ให้ ���̅��� = [−1] , ������̅ = 2������̅ − ���̅��� จงหาเวกเตอรท์ ่ียาวเทา่ กบั ������̅ และมีทิศตรงขา้ มกบั ���̅��� − ������̅ 0 1 วธิ ีทา เพื่อความสะดวก จะเปลยี่ น [−1] ใหอ้ ยใู่ นรูป ������̅ , ������̅ , ���̅��� ไดเ้ ป็น (1)������̅ + (−1)������̅ + (0)���̅��� = ������̅ − ������̅ 0 ดงั นนั้ ���̅��� − ������̅ = (������̅ − ������)̅ − (2������̅ − ���̅���) = ������̅ − ������̅ − 2������̅ + ���̅��� = ������̅ − 3������̅ + ���̅��� เนอ่ื งจาก |���̅��� − ������̅| = √12 + (−3)2 + 12 = √11 ดงั นนั้ เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยในทิศของ ���̅��� − ������̅ คอื 1 (������̅ − 3������̅ + ���̅���) √11 เนอื่ งจาก |������̅| = √22 + (−1)2 = √5 ดงั นนั้ เวกเตอรท์ ี่ยาวเทา่ กบั |������̅| ในทศิ ของ ���̅��� − ������̅ คอื √5 (������̅ − 3������̅ + ���̅���) √11 ดงั นนั้ เวกเตอรท์ ย่ี าวเทา่ กบั |������̅| ในทิศตรงขา้ มกบั ���̅��� − ������̅ คอื − √5 (������̅ − 3������̅ + ���̅���) √11 ทาสว่ นใหไ้ มต่ ดิ รูท ไดเ้ ป็น − √5 ∙ √11 ∙ (������̅ − 3������̅ + ���̅���) = − √55 (������̅ − 3������ ̅ + ���̅���) # √11 √11 11

เวกเตอร์ 15 แบบฝึกหดั 1. จงเขยี นเวกเตอรใ์ นรูปของ ������̅ , ������̅ , ���̅��� ทส่ี อดคลอ้ งกบั เงื่อนไขตอ่ ไปนี้ 1. จาก (0, −1) ไปยงั (5, 0) 2. จาก (−1, 3, 1) ไปยงั (0, 0, 0) 3. จาก (0, 1, −1) ไปยงั (−2, 1, 1) 4. จาก (√2, − 1) ไปยงั (0, 3) 2 2 5. เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย ในทศิ เดยี วกบั [−34] 6. เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย ในทศิ ตรงขา้ มกบั [11] 1 8. เวกเตอรท์ ีย่ าว √5 หนว่ ย และขนานกบั [21] 7. เวกเตอรท์ ่ยี าว 2 หนว่ ย ในทศิ เดยี วกบั [−1] 2 2. กาหนดให้ ���̅��� = ������̅ − 2������̅ และ ������̅ = 2������̅ + ������̅ ถา้ A⃗⃗⃗⃗B⃗ = 3���̅��� − 2������̅ และ พกิ ดั ของจดุ A คือ (−1, 0) จงหาพกิ ดั ของ B

16 เวกเตอร์ 3. กาหนดให้ A, B, C เป็นจดุ ยอดของสามเหลยี่ ม P เป็นจดุ กง่ึ กลางของ AC Q อยบู่ น AB ทาให้ AQ : QB = 1 : 2 ถา้ A⃗⃗⃗⃗B⃗ = 6������ − 3������ และ B⃗⃗⃗⃗⃗C = 2������ + 3������ จงหา ⃗P⃗⃗⃗Q⃗ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/13] 4. กาหนดให้ ���̅��� = 3������̅ + 4������̅ ถา้ ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ โดยที่ ���̅��� มีทศิ เดยี วกนั กบั ���̅��� และ |���̅���| =10 แลว้ ������ + ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/2-4] 5. กาหนดให้ A(������, ������) , B(4, −6) และ C(1, −4) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลย่ี ม ABC ถา้ P เป็นจดุ บนดา้ น AB ซง่ึ อยหู่ า่ งจากจดุ A เทา่ กบั 3 ของระยะระหวา่ ง A และ B และเวกเตอร์ C⃗⃗⃗⃗P = ������̅ + 2������̅ แลว้ ������ + ������ เทา่ กบั เทา่ ใด 5 [PAT 1 (มี.ค. 54)/36]

เวกเตอร์ 17 ผลคณู เชิงสเกลาร์ ในหวั ขอ้ นี้ จะพดู ถงึ การคณู เวกเตอร์ กบั เวกเตอร์ ซง่ึ สามารถทาได้ 2 แบบ  แบบแรกเรยี กวา่ “ผลคณู เชงิ สเกลาร”์ หรอื เรยี กสนั้ ๆวา่ “ดอท”  แบบท่ีสองเรยี กวา่ “ผลคณู เชิงเวกเตอร”์ หรอื เรยี กสนั้ ๆวา่ “ครอส” การดอท จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นตวั เลข สว่ นการครอส จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นเวกเตอร์ ในหวั ขอ้ นี้ จะพดู ถงึ การดอท ก่อน ผลคณู เชิงสเกลารข์ อง ���̅��� กบั ������̅ เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ���̅��� ∙ ������̅ อา่ นวา่ “ยดู อทวี” ซง่ึ จะหาไดจ้ ากสตู ร ในระบบพกิ ดั ฉากสองมติ ิ [������������11] ∙ [������������22] = ������1������2 + ������1������2 ������1 ������2 ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ [������1] ∙ [������2] = ������1������2 + ������1������2 + ������1������2 ������1 ������2 เชน่ [23] ∙ [45] = (2)(4) + (3)(5) = 23 [−01] ∙ [−32] = (−1)(3) + (0)(−2) = −3 13 [−2] ∙ [1] = (1)(3) + (−2)(1) + (−1)(2) = −1 −1 2 −2 0 [ 3 ] ∙ [0] = (−2)(0) + (3)(0) + (5)(0) = 0 50 (������ + 2������) ∙ (−������ − ������) = (1)(−1) + (2)(−1) = −3 (2������ − ������ − ������) ∙ (������ + ������ + ������) = (2)(1) + (−1)(1) + (−1)(1) = 0 การดอท มีสมบตั ิการสลบั ท่ี ���̅��� ∙ ������̅ = ������̅ ∙ ���̅��� และยงั สามารถกระจายในการบวกลบเวกเตอรไ์ ด้ ���̅��� ∙ (������̅ ± ���̅���) = (���̅��� ∙ ������̅) ± (���̅��� ∙ ���̅���) สง่ิ ท่ตี อ้ งระวงั ก็คือ ดอท จะใชก้ บั เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ และไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นตวั เลข ดงั นนั้ เราไมส่ ามารถนาเวกเตอร์ 3 เวกเตอรม์ าดอทกนั ได้ (เพราะพอดอทสองตวั แรก จะผลลพั ธเ์ ป็นตวั เลข ซงึ่ เอาไปดอทตอ่ ไมไ่ ด)้ จะมีก็แต่ (���̅��� ∙ ������̅)���̅��� ซงึ่ หมายถึง เอาตวั เลขท่ไี ดจ้ าก ���̅��� ∙ ������̅ ไปคณู ���̅��� (คณู แบบตวั เลขคณู เวกเตอร)์ ในกรณีที่ โจทยใ์ ห้ ���̅��� กบั ������̅ เป็น “รูปลกู ศร” เราจะมสี ตู รทีใ่ ชห้ าผลดอทคือ ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ ������̅ ���̅��� ������̅ ������ ������ ���̅��� เมอื่ ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง ���̅��� และ ������̅ เมอื่ เอาจดุ ตงั้ ตน้ ของ ���̅��� และ ������̅ มาตอ่ กนั จะเห็นวา่ ������ จะไมม่ ีทางเกิน 180° (เพราะถา้ เกิน ก็วดั จากอีกฝ่ังทม่ี มุ เลก็ กวา่ )

18 เวกเตอร์ ในกรณีที่ ���̅��� กบั ������̅ ตงั้ ฉากกนั จะได้ ������ = 90° ���̅��� กบั ������̅ ตงั้ ฉากกนั ก็ตอ่ เมือ่ ���̅��� ∙ ������̅ = 0 ดงั นนั้ ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos 90° = |���̅���||������̅|(0) = 0 ในกรณีที่ ���̅��� กบั ������̅ มีทศิ เดยี วกนั จะได้ ������ = 0° ดงั นนั้ ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos 0° = |���̅���||������̅|(1) = |���̅���||������̅| ในกรณีที่ ���̅��� กบั ������̅ มีทิศตรงขา้ ม จะได้ ������ = 180° ดงั นนั้ ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos 180° = |���̅���||������̅|(−1) = −|���̅���||������̅| ในกรณีที่เอา ���̅��� มาดอทกบั ตวั เอง (���̅��� ∙ ���̅���) จะได้ ������ = 0° ���̅��� ∙ ���̅��� = |���̅���|2 ดงั นนั้ ���̅��� ∙ ���̅��� = |���̅���||���̅���| cos 0° = |���̅���||���̅���|(1) = |���̅���|2 และจากความรูใ้ นเรอ่ื งตรโี กณมติ ิ เราสามารถหา “ระยะเงา” ของ ������̅ บน ���̅��� ได้ |������̅| cos ������ ������̅ ������ แตเ่ นือ่ งจาก ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ ดงั นนั้ ระยะเงา = ���̅��� ∙ ���̅��� ดว้ ย |���̅���| |������̅| cos ������ ตวั อยา่ ง สเ่ี หลยี่ มดา้ นขนาน ABCD มี AB = 5 , BC = 2 และมมุ A = 60° จงหา D⃗⃗⃗⃗⃗C ∙ C⃗⃗⃗⃗B⃗ วธิ ีทา D ���̅��� C ขอ้ นใี้ หม้ าเป็นรูป ซงึ่ จะวาดรูปไดด้ งั รูป ������̅ ถา้ มาเป็นรูปแบบนี้ ตอ้ งหาผลดอทดว้ ยสตู ร ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ 60° โดยมมุ ������ ทีใ่ ชใ้ นสตู ร ตอ้ งเป็นมมุ ท่เี กิดจากการเอาจดุ ตงั้ ตน้ ของ ⃗D⃗⃗⃗⃗C กบั ⃗C⃗⃗⃗B⃗ มาตอ่ กนั A B ���̅��� จะเห็นวา่ ถา้ เอาจดุ ตงั้ ตน้ ของ D⃗⃗⃗⃗⃗C กบั C⃗⃗⃗⃗B⃗ มาตอ่ กนั จะไดม้ มุ ระหวา่ งเวกเตอรค์ อื 120° ������̅ 120° ดงั นนั้ D⃗⃗⃗⃗⃗C ∙ ⃗C⃗⃗⃗B⃗ = |D⃗⃗⃗⃗⃗C||⃗C⃗⃗⃗B⃗ | cos 120° = 5 × 2 × (− 1) = −5 # 2 12 # ตวั อยา่ ง [−2] กบั [ 2 ] ตงั้ ฉากกนั หรอื ไม่ −1 −2 วธิ ีทา จากความรูเ้ รอื่ งการดอท เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ จะตงั้ ฉากกนั เม่ือ ดอทกนั ได้ 0 12 เนื่องจาก [−2] ∙ [ 2 ] = (1)(2) + (−2)(2) + (−1)(−2) = 2 − 4 + 2 = 0 −1 −2 ดงั นนั้ เวกเตอรท์ งั้ สอง ตงั้ ฉากกนั ตวั อยา่ ง จงหาขนาดของมมุ ท่ี −√3������̅ + 3������̅ ทากบั ������̅ + √3������̅ วิธีทา จากสตู ร ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ ยา้ ยขา้ งสตู ร เพอื่ หามมุ ������ จะได้ cos ������ = ���̅���∙���̅��� |���̅���||���̅���| ดงั นนั้ จะได้ cos ������ = (−√3������+̅ 3������̅)∙(������+̅ √3������̅) = (−√3)(1)+(3)(√3) = −√3+3√3 = 2√3 = 1 |−√3������+̅ 3������̅||������+̅ √3������̅| √(−√3)2+32 × √12+(√3)2 √12×√4 4√3 2 เลอื กมมุ บวกไมเ่ กิน 180° ที่ cos ������ = 1 จะได้ ������ = 60° # 2

เวกเตอร์ 19 ตวั อยา่ ง จงหาขนาดของมมุ ท่ี −√3������̅ + 3������̅ ทากบั แกน Y # วธิ ีทา เนอื่ งจาก ������̅ เป็นเวกเตอรท์ ชี่ ีไ้ ปทางแกน Y ดงั นนั้ ถา้ จะหามมุ ท่ี −√3������̅ + 3������̅ ทากบั แกน Y ก็ใหห้ ามมุ ท่ี −√3������̅ + 3������̅ ทากบั ������̅ จากสตู ร ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ จะได้ cos ������ = ���̅���∙���̅��� |���̅���||���̅���| จะได้ cos ������ = (−√3������+̅ 3������̅)∙(������̅) = (−√3)(0)+(3)(1) = 3 = 3 × √3 = 3√3 = √3 |−√3������+̅ 3������̅||������̅| √(−√3)2+32 × 1 √12 2√3 √3 2×3 2 เลอื กมมุ บวกไมเ่ กิน 180° ท่ี cos ������ = √3 จะได้ ������ = 30° 2 สตู รสดุ ทา้ ยทตี่ อ้ งทอ่ งในหวั ขอ้ การดอท คอื “กฎของโคไซน”์ ในแบบของเวกเตอร์ เนอ่ื งจาก ���̅��� + ������̅ และ ���̅��� − ������̅ สามารถประกอบกบั ���̅��� และ ������̅ เป็นรูปสามเหลย่ี มได้ ���̅��� + ������̅ ������̅ ������̅ ���̅��� − ������̅ ���̅��� ���̅��� ถา้ เราใชก้ ฎของโคไซน์ กบั สามเหลย่ี มเหลา่ นี้ รว่ มกบั สตู ร ���̅��� ∙ ������̅ = |���̅���||������̅| cos ������ จะไดก้ ฎของโคไซน์ ในรูปการดอทไดเ้ ป็น |���̅��� + ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2 + 2 ���̅��� ∙ ������̅ |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2 − 2 ���̅��� ∙ ������̅ และถา้ นาสตู รทงั้ สองมาบวกลบกนั จะไดส้ ตู รใหมอ่ กี 2 สตู ร คือ |���̅��� + ������̅|2 + |���̅��� − ������̅|2 = 2|���̅���|2 + 2|������̅|2 |���̅��� + ������̅|2 − |���̅��� − ������̅|2 = 4 ���̅��� ∙ ������̅ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ |���̅���| = 3 , |������̅| = 5 และ |���̅��� − ������̅| = 4 จงหา ���̅��� ∙ ������̅ # วธิ ีทา ใชส้ ตู ร |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2 − 2 ���̅��� ∙ ������̅ # 42 = 32 + 52 − 2 ���̅��� ∙ ������̅ 2 ���̅��� ∙ ������̅ = 9 + 25 − 16 ���̅��� ∙ ������̅ = 18 = 9 2 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ |���̅���| = 2 , |������̅| = 5 และ |���̅��� + ������̅| = 4 จงหา |���̅��� − ������̅| วธิ ีทา ใชส้ ตู ร |���̅��� + ������̅|2 + |���̅��� − ������̅|2 = 2|���̅���|2 + 2|������̅|2 42 + |���̅��� − ������̅|2 = 2 ∙ 22 + 2 ∙ 52 |���̅��� − ������̅|2 = 8 + 50 − 16 = 42 |���̅��� − ������̅| = √42

20 เวกเตอร์ ตวั อยา่ ง กาหนดให้ |���̅���| = 3 , |������̅| = 1 และ ���̅��� ทามมุ 60° กบั ������̅ จงหา |2���̅��� − ������̅| เนื่องจาก |���̅���| = 3 วธิ ีทา จากสตู ร จะได้ |2���̅��� − ������̅|2 = |2���̅���|2 + |������̅|2 − 2(2���̅��� ∙ ������̅) ดงั นนั้ |2���̅���| = 6 = |2���̅���|2 + |������̅|2 − 2(2|���̅���||������̅| cos ������) # = 62 + 12 − 2(2 ∙ 3 ∙ 1 ∙ cos 60°) = 31 |2���̅��� − ������̅| = √31 แบบฝึกหดั 2. (2������̅ − ������̅ + ���̅���) ∙ (������̅ − 2������̅ − 3���̅���) 1. จงหาผลดอทของเวกเตอรต์ อ่ ไปนี้ 1. [−53] ∙ [32] 3. (2������̅ − 3������)̅ ∙ (2������̅ + ������)̅ 1 4. [−2] ∙ (������̅ − ���̅���) 2 2. เวกเตอรใ์ นขอ้ ใด ตงั้ ฉากกนั 2. ������̅ − ������̅ และ ������̅ + ������̅ −1 1 1. [ 1 ] และ [−2] 21 3. [√3] และ √3������̅ − √2������̅ 4. 2������̅ − ������̅ + ���̅��� และ ������̅ − 2���̅��� √2 3. จงหาคา่ ������ ท่ีทาใหเ้ วกเตอรต์ อ่ ไปนี้ ตงั้ ฉากกนั ������ ������ − 3 1. [���6���] และ [−32] 2. [ −2 ] และ [������ + 1] ������ + 5 1

เวกเตอร์ 21 4. กาหนดให้ |���̅���| = 2 , |������̅| = 3 และ ���̅��� ทามมุ 60° กบั ������̅ จงหาคา่ ของ 1. |���̅��� + ������̅| 2. |���̅��� − ������̅| 3. |���̅��� + 2������̅| 4. |2������̅ − 3���̅���| 5. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ โดยที่ |���̅���| = 1 , |������̅| = 3 และ ���̅��� ทามมุ 60° กบั ������̅ คา่ ของ |���̅���+���̅���| เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 54)/15] |2���̅���−���̅���| 6. กาหนด ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ โดยท่ี ���̅��� = ������̅ + √3������̅ , |������̅| = 3 และ |���̅��� − ������̅| = 4 คา่ ของ |���̅��� + ������̅| เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/16] 7. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอรท์ มี่ ีขนาดหนงึ่ หนว่ ย ถา้ เวกเตอร์ ���̅��� + 2������̅ ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ 2���̅��� + ������̅ แลว้ ���̅��� ∙ ������̅ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/25]

22 เวกเตอร์ 8. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอรท์ ม่ี ขี นาดหนง่ึ หนว่ ย ถา้ เวกเตอร์ 3���̅��� + ������̅ ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅��� + 3������̅ แลว้ เวกเตอร์ 5���̅��� − ������̅ มีขนาดเทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/24] 9. กาหนดให้ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ ง [PAT 1 (ต.ค. 53)/15] 1. (���̅��� ∙ ������̅)2 ≥ (���̅��� ∙ ���̅���)(������̅ ∙ ������̅) 2. ถา้ (���̅��� ∙ ������̅)2 = (|���̅���||������̅|)2 แลว้ ���̅��� ตงั้ ฉากกบั ������̅ 3. ถา้ ���̅��� + ������̅ + ���̅��� = 0̅ , |���̅���| = 3 , |������̅| = 4 และ |���̅���| = 7 แลว้ ���̅��� ∙ ������̅ = 12 4. |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 − |������̅|2 10. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ ซง่ึ ไมใ่ ชเ่ วกเตอรศ์ นู ย์ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ ง [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/14] 1. |���̅��� − ������̅|2 < |���̅���|2 − |������̅|2 2. ถา้ ���̅��� ตงั้ ฉากกบั ������̅ แลว้ |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2

เวกเตอร์ 23 11. กาหนดให้ ���̅��� และ ���̅��� เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ ทไ่ี มเ่ ป็นเวกเตอรศ์ นู ย์ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (ต.ค. 58)/27] 1. ถา้ ���̅��� ขนานกบั ���̅��� แลว้ |���̅��� − ���̅���| = |���̅���| − |���̅���| 2. ถา้ |���̅��� + ���̅���|2 = |���̅���|2 + |���̅���|2 แลว้ ���̅��� ตงั้ ฉากกบั ���̅��� 3. ถา้ เวกเตอร์ ���̅��� + ���̅��� ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅��� − ���̅��� แลว้ |���̅���| = |���̅���| 12. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอรท์ ่ีไมเ่ ทา่ กบั เวกเตอรศ์ นู ยซ์ ง่ึ ���̅��� ตงั้ ฉากกบั ������̅ และ ���̅��� + ������̅ ตงั้ ฉากกบั ���̅��� − ������̅ ขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นจรงิ [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-13] 1. |���̅���| = |������̅| 2. ���̅��� + 2������̅ ตงั้ ฉากกบั 2���̅��� − ������̅ 13. กาหนดให้ ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอรซ์ ง่ึ |���̅��� ∙ ������̅| ≠ |���̅���||������̅| ถา้ ������(������̅ − 2���̅���) + 3���̅��� = ������(2���̅��� + ������̅) แลว้ คา่ ของ ������ อยใู่ นชว่ งใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (ก.ค. 52)/25] 1. [0, 12) 2. [21 , 1) 3. [1, 32) 4. [23 , 2)

24 เวกเตอร์ 14. กาหนดให้ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบและ ������ , ������ เป็นจานวนจรงิ โดยท่ี ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ , ������̅ = 4������̅ − 3������̅ และ ���̅��� = 2������̅ + ������̅ ถา้ |���̅��� − ������̅|2 = |���̅���|2 + |������̅|2 และ 5������ + 5������ = 21 แลว้ คา่ ของ ���̅��� ∙ ���̅��� เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/14] 15. ให้ ���̅��� และ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ กาหนดโดย ���̅��� = ������̅ + 1 ������̅ − 3���������̅��� และ ���̅��� = −2������������̅ + 2������̅ + ���������̅��� เม่อื ������ เป็นจานวนจรงิ 2 ถา้ ���̅��� ตงั้ ฉากกบั ���̅��� และ ขนาดของ ���̅��� เทา่ กบั 3 แลว้ คา่ ของ ������ อยใู่ นช่วงขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 53)/14] 1. (−3, − 3 ) 2. (− 3 , 0) 3. (0, 3 ) 4. ( 3 , 3) 2 2 2 2 16. กาหนดให้ ���̅���, ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอรบ์ นระนาบซง่ึ กาหนดโดย ���̅��� = ������������̅ + 12 ������ ̅ , ���̅��� = 6������̅ + ������������̅ และ ������̅ = 2������̅ + ������̅ 5 เมื่อ ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ ถา้ |���̅��� − ������|̅ = 5 , เวกเตอร์ ���̅��� ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅��� และ ���̅��� ∙ ������̅ > 0 แลว้ คา่ ของ |5���̅��� + ���̅���|2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 56)/45]

เวกเตอร์ 25 17. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (มี.ค. 56)/15] 1 ใหเ้ วกเตอร์ ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ + ���������̅��� เมื่อ ������, ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ และใหเ้ วกเตอร์ ���̅��� = ������̅ + 2������̅ + ���̅��� และ ������̅ = ������̅ − ������̅ + ���̅��� ถา้ เวกเตอร์ ���̅��� ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅��� และเวกเตอร์ ������̅ แลว้ ������ + ������ + ������ = 1 2 ใหเ้ วกเตอร์ ���̅��� = 2������̅ + ������̅ และ ������̅ = ������������̅ + ������������̅ เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ ถา้ |������̅| = 3 และ ���̅��� ∙ ������̅ = 3 √5 แลว้ เวกเตอร์ ���̅��� ทามมุ 60° กบั เวกเตอร์ ������̅ 18. กาหนดให้ ������������������ เป็นรูปสามเหลยี่ ม โดยทดี่ า้ น ������������ ยาว 5 หนว่ ย ดา้ น ������������ ยาว 12 หนว่ ย และมมุ ���������̂��������� เทา่ กบั 60° ถา้ เวกเตอร์ ���̅��� = ̅���̅���̅���̅��� เวกเตอร์ ������̅ = ���̅̅���̅���̅��� และเวกเตอร์ ���̅��� = ̅���̅���̅���̅��� แลว้ (2���̅��� − ������̅) ∙ ���̅��� เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/12] 19. กาหนดให้ จดุ A(−1, 1), B(2, 5) และ C(2, −3) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลย่ี ม ABC ให้ L เป็นเสน้ ตรงทผี่ า่ น จดุ A และจดุ B ลากสว่ นเสน้ ตรง ̅C̅̅D̅ ตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรง L ที่จดุ D แลว้ เวกเตอร์ ⃗A⃗⃗⃗D⃗ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 55)/12]

26 เวกเตอร์ 20. กาหนดให้ ���̅��� = 2������̅ − 5������̅ และ ������̅ = ������̅ + 2������̅ ให้ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ โดยท่ี ���̅��� ∙ ���̅��� = −11 และ ������̅ ∙ ���̅��� = 8 ถา้ ������ เป็นมมุ แหลมท่ีเวกเตอร์ ���̅��� ทามมุ กบั เวกเตอร์ 5������̅ + ������̅ แลว้ tan ������ + sin 2������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/32] 21. ให้ ������, ������ และ ������ เป็นเวกเตอร์ ซงึ่ |������| = 3, |������| = 2 และ |������| = 1 ถา้ ������ + ������ + 4������ = 0 แลว้ ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ + ������ ∙ ������ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 51/1-14] 22. กาหนดให้ ���̅���, ���̅��� และ ������̅ เป็นเวกเตอร์ ซงึ่ ���̅��� + ���̅��� + ������̅ = 0̅ , |���̅��� + ���̅���| = 5 , |���̅��� + ������|̅ = 3 และ |���̅���| = √10 ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (เม.ย. 57)/14] 1. ถา้ เวกเตอร์ ���̅��� ทามมุ ������ กบั เวกเตอร์ ���̅��� เมอ่ื 0 ≤ ������ ≤ ������ แลว้ tan ������ = 3 2. ���̅��� ∙ ������̅ = −12

เวกเตอร์ 27 23. ให้ ���̅���, ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอร์ กาหนดโดย ���̅��� = ������̅ + 2������̅ + 3���̅��� , ������̅ = 2������̅ − ������������̅ + ���̅��� , ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ + ���������̅��� เมอ่ื ������, ������, ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ ถา้ ���̅��� ∙ ���̅��� = 2 , ���̅��� ∙ (������̅ + ���̅���) = 3 , ������̅ + ���̅��� = ������̅ + ������������̅ + ���������̅��� เมือ่ ������, ������ เป็นจานวนจรงิ และ ���̅��� ขนานกบั − 2 ������̅ + 1 ������̅ + 1 ���̅��� แลว้ คา่ ของ ������ + 4������ + 2������ เทา่ กบั เทา่ ใด 323 [PAT 1 (มี.ค. 53)/33] 24. กาหนดให้ ���̅���, ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอรบ์ นระนาบซงึ่ ���̅��� + ������̅ − ���̅��� = 0̅ , ���̅��� ∙ ���̅��� = 8 และ ������̅ ∙ ���̅��� = −2 ถา้ เวกเตอร์ ���̅��� ทามมุ arcsin 1 กบั เวกเตอร์ ���̅��� แลว้ คา่ ของ |���̅���|2 + |������̅|2 เทา่ กบั เทา่ ใด √3 [PAT 1 (ต.ค. 55)/15*]

28 เวกเตอร์ 25. กาหนดให้ P(−8, 5), Q(−15, −19), R(1, −7) เป็นจดุ บนระนาบ ถา้ ������̅ = ������������̅ + ������������̅ (������, ������ เป็นจานวนจรงิ ) เป็นเวกเตอรซ์ ง่ึ มีทศิ ทางขนานกบั เสน้ ตรงซงึ่ แบง่ ครง่ึ มมุ QP̂R แลว้ ������ มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-11] ������ 26. กาหนดให้ ������ และ ���⃗��� เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ โดยท่ี ������ = 16������̅ + ������������̅ และ ���⃗��� = 8������̅ + ������������̅ เมือ่ ������ และ ������ เป็น จานวนจรงิ ถา้ |������| = |���⃗���| และเวกเตอร์ ���⃗��� ทามมุ 60° กบั เวกเตอร์ ������ แลว้ คา่ ของ (������ + ������)2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/16]

เวกเตอร์ 29 ผลคณู เชิงเวกเตอร์ ในหวั ขอ้ นี้ เราจะเรยี นวิธีคณู เวกเตอรอ์ ีกแบบ เรยี กวา่ “ผลคณู เชงิ เวกเตอร”์ หรอื เรยี กสนั้ ๆวา่ “ครอส” ซงึ่ คราวนี้ เวกเตอร์ ครอส เวกเตอร์ จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นเวกเตอร์ โดย การครอส ทาไดก้ บั เวกเตอร์ “แบบสามมติ เิ ทา่ นนั้ ” ผลคณู เชิงเวกเตอรข์ อง ���̅��� กบั ������̅ เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ���̅��� × ������̅ อา่ นวา่ “ยคู รอสวี” สตู รการหาคือ ������1 ������2 ������1������2 − ������1������2 [������1] × [������2] = [������1������2 − ������1������2 ] ������1������2 − ������1������2 ������1 ������2 2 3 (−1)(−1) − (1)(2) −1 เชน่ [−1] × [ 2 ] = [ (1)(3) − (2)(−1) ] = [ 5 ] 1 −1 (2)(2) − (−1)(3) 7 −1 2 (2)(1) − (−3)(−1) −1 (−������̅ + 2������̅ − 3���̅���) × (2������̅ − ������̅ + ���̅���) = [ 2 ] × [−1] = [(−3)(2) − (−1)(1)] = [−5] −3 1 (−1)(−1) − (2)(2) −3 = −������̅ − 5������̅ − 3���̅��� หมายเหต:ุ จะเห็นวา่ สตู รการครอสเวกเตอร์ จะคลา้ ยๆการหา det ในเรอ่ื งเมทรกิ ซ์ ������1 ������2 ������̅ ������̅ ���̅��� บางคนนยิ มทอ่ งวา่ [������1] × [������2] = det [������1 ������1 ������1] ������1 ������2 ������2 ������2 ������2 เนอ่ื งจากการครอส เกย่ี วกบั การลบ ดงั นนั้ ถา้ สลบั ท่ีตวั ครอส ผลลพั ธจ์ ะเป็นลบของเดมิ กลา่ วคือ ���̅��� × ������̅ = −(������̅ × ���̅���) แตย่ งั คงสามารถกระจายครอสในการบวกลบเวกเตอรไ์ ดเ้ หมอื นดอท กลา่ วคือ ���̅��� × (������̅ ± ���̅���) = (���̅��� × ������̅) ± (���̅��� × ���̅���) ในกรณีที่ ���̅��� กบั ������̅ ไมไ่ ดม้ าเป็นตวั เลขในระบบพกิ ดั ฉาก แตม่ าเป็น “รูปลกู ศร” เราจะมวี ธิ ีหาอกี แบบ ���̅��� × ������̅ จะเป็น “เวกเตอร”์ ท่ีมขี นาด |���̅��� × ������̅| = |���̅���||������̅| sin ������ เมื่อ ������ คือมมุ ท่ี ���̅��� ทากบั ������̅ และ ���̅��� × ������̅ จะมที ศิ พงุ่ ออกในแนวตงั้ ฉากกบั ระนาบที่ ���̅��� กบั ������̅ วางอยู่ วิธีหาทศิ ของ ���̅��� × ������̅ มดี งั นี้ ���̅��� × ������̅ 1. ยกแขนทงั้ สอง ตงั้ ฉากกบั แนวลาตวั 2. ใหต้ วั ตงั้ (���̅���) เป็นแขนขวา ������̅ ���̅��� ตวั ครอส (������̅) เป็นแขนซา้ ย 3. จะได้ ���̅��� × ������̅ จะชีไ้ ปทางเดยี วกบั ศรี ษะ เช่น ������̅ × ������̅ = ���̅��� ������̅ × ������̅ = −���̅��� ���̅��� ������̅ ���̅��� × ������̅ = −������̅ ������̅ ������̅ × ���̅��� = ������̅ ������̅ × ���̅��� = −������̅ ���̅��� × ������̅ = ������̅

30 เวกเตอร์ ในกรณีท่ี ���̅��� กบั ������̅ ขนานกนั จะได้ ������ = 0° หรอื 180° ซงึ่ sin 0° = sin 180° = 0 เอาไปคณู กบั อะไรก็ได้ 0 0 ดงั นนั้ ถา้ ���̅��� กบั ������̅ ขนานกนั จะได้ ���̅��� × ������̅ = เวกเตอรท์ ่ีมขี นาดเป็น 0 = [0] = 0̅ 0 และในกรณีทีเ่ อา ���̅��� มาครอสกบั ตวั มนั เอง จะได้ ������ = 0° ดว้ ย → ดงั นนั้ จะได้ ���̅��� × ���̅��� = 0̅ เสมอ ตวั อยา่ ง ให้ ���̅��� = 2������̅ + ������̅ + ���̅��� และ ������̅ = −������̅ + 2������̅ + ���̅��� ถา้ ให้ ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง ���̅��� และ ������̅ จงหา sin ������ วธิ ีทา ขอ้ นจี้ ะใชส้ ตู ร ขนาดของ ���̅��� × ������̅ เทา่ กบั |���̅���||������̅| sin ������ เพอื่ โยงไปหา sin ������ 2 −1 (1)(1) − (1)(2) −1 เนือ่ งจาก ���̅��� × ������̅ = [1] × [ 2 ] = [(1)(−1) − (2)(1)] = [−3] 1 1 (2)(2) − (1)(−1) 5 แทนในสตู ร |���̅��� × ������̅| = |���̅���||������̅| sin ������ √(−1)2 + (−3)2 + 52 = √22 + 12 + 12 ∙ √(−1)2 + 22 + 12 ∙ sin ������ # √35 = √6 ∙ √6 ∙ sin ������ ดงั นนั้ sin ������ = √35 = √35 √6∙√6 6 แบบฝึกหดั 1 −2 1. จงหาผลครอสตอ่ ไปนี้ 2. [ 2 ] × [ 1 ] 21 −1 −2 1. [ 1 ] × [3] −1 0 3. (������̅ − ������̅ + ���̅���) × (������̅ + ������̅ − ���̅���) 4. (������̅ + ������̅ − ���̅���) × (������̅ + ������̅ − ���̅���) 2. กาหนดให้ A(1, 2, 3) , B(2, 3, 1) และ C(2, 4, 2) ถา้ ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง A⃗⃗⃗⃗B⃗ กบั A⃗⃗⃗⃗⃗C แลว้ จงหาคา่ sin ������

เวกเตอร์ 31 3. กาหนดเวกเตอร์ ���̅��� = ������������̅ + 2������̅ + ���������̅��� เมอ่ื ������ และ ������ เป็นจานวนจรงิ ถา้ |���̅��� × ������|̅ = 2 แลว้ |���̅���|2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/26] 4. ให้ ���̅��� = ������������̅ + ������������̅ + 2���̅��� และ ������̅ = 2������������̅ − 3������������̅ โดยท่ี ������, ������ เป็นจานวนเตม็ บวก และ ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง ���̅��� และ ������̅ ถา้ |���̅���| = 3 และ cos ������ = 1 แลว้ ���̅��� × ������̅ มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-10] 3

32 เวกเตอร์ พนื้ ท่ีและปรมิ าตร สเ่ี หลยี่ มดา้ นขนานท่เี กิดจากเวกเตอร์ ���̅��� และ ������̅ ดงั รูป ������̅ จะมพี นื้ ท่ี = |���̅��� × ������̅| ���̅��� ครอสไดเ้ ป็นเวกเตอร์ ขนาดของเวกเตอร์ จะเห็นวา่ สตู รนตี้ อ้ งครอสเวกเตอร์ ดงั นนั้ ���̅��� และ ������̅ ตอ้ งถกู เขยี นในระบบสามมิติ ในกรณีที่ ���̅��� และ ������̅ ถกู กาหนดมาในระบบสองมติ ิ เราสามารถทาใหเ้ ป็นสามมติ ไิ ด้ โดยเติม 0 ลงไปเป็นคา่ ทางแกน Z ทรงสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนานทเี่ กิดจากเวกเตอร์ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� ดงั รูป ���̅��� จะมปี รมิ าตร = |���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���)| ������̅ ���̅��� ดอทไดเ้ ป็นตวั เลข คา่ สมั บรู ณ์ โดยจะสลบั ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� ยงั ไงก็ได้ จะไดค้ า่ เทา่ กนั หมายเหตุ : ผล ดอท & ครอส จะไดเ้ ทา่ เดิมเสมอ ตราบใดทต่ี าแหนง่ ���̅��� , ������̅ , ���̅��� ยงั คงเรยี งเป็นวงกลมแบบเดยี วกนั แบบตามเขม็ ���̅��� ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = ������̅ ∙ (���̅��� × ���̅���) = ���̅��� ∙ (���̅��� × ������̅) = (���̅��� × ������̅) ∙ ���̅��� = (������̅ × ���̅���) ∙ ���̅��� = (���̅��� × ���̅���) ∙ ������̅ ���̅��� ������̅ ���̅��� แบบทวนเขม็ ���̅��� ������̅ ���̅��� ∙ (���̅��� × ������̅) = ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = ������̅ ∙ (���̅��� × ���̅���) = (���̅��� × ���̅���) ∙ ������̅ = (������̅ × ���̅���) ∙ ���̅��� = (���̅��� × ������̅) ∙ ���̅��� โดย แบบตามเข็ม = −แบบทวนเขม็ น่นั คอื ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = −���̅��� ∙ (���̅��� × ������̅) ตวั อยา่ ง จงหาพนื้ ทีส่ เี่ หลยี่ มดา้ นขนาน ABCD ซง่ึ มพี ิกดั A(2, 3) , B(−1, 2) , C(1, −1) วิธีทา จากสตู ร จะได้ พนื้ ทส่ี เ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน ABCD = |B⃗⃗⃗⃗A⃗ × B⃗⃗⃗⃗⃗C| A(2, 3) B(−1, 2) ⃗B⃗⃗⃗A⃗ = [2 −3 −(−21)] = [13] เติม 0 ใหเ้ ป็นสามมติ ไิ ดเ้ ป็น 3 [1] C(1, −1) 0 2 ⃗B⃗⃗⃗⃗C = [1(−−1)(−−12)] = [−23] เติม 0 ใหเ้ ป็นสามมิติไดเ้ ป็น [−3] 3 2 (1)(0) − (0)(−3) 0 0 จะได้ B⃗⃗⃗⃗A⃗ × ⃗B⃗⃗⃗⃗C = [1] × [−3] = [ (0)(2) − (3)(0) ] = [ 0 ] 0 0 (3)(−3) − (1)(2) −11 ดงั นนั้ พนื้ ทส่ี เี่ หลยี่ มดา้ นขนาน ABCD = |⃗B⃗⃗⃗A⃗ × B⃗⃗⃗⃗⃗C| = √02 + 02 + (−11)2 = 11 #

เวกเตอร์ 33 ตวั อยา่ ง จงหาปรมิ าตรของรูปทรงสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนานทเ่ี กิดจาก ���̅��� = ������̅ − ������̅ − ���̅��� , ������̅ = ������̅ + 2���̅��� และ ���̅��� = ������̅ − ���̅��� 1 10 วธิ ีทา ปรมิ าตร = |���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���)| = |[−1] ∙ ([0] × [ 1 ])| −1 2 −1 1 (0)(−1) − (2)(1) 1 −2 = |[−1] ∙ [(2)(0) − (1)(−1)]| = |[−1] ∙ [ 1 ]| −1 (1)(1) − (0)(0) −1 1 = |(1)(−2) + (−1)(1) + (−1)(1)| = |−4| = 4 # นอกจากนี้ ปรมิ าตรของรูปทรงสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนาน ยงั สามารถนาไปใชต้ รวจสอบ “ระนาบ” ของเวกเตอรไ์ ดด้ ว้ ย จะเหน็ วา่ ถา้ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� อยบู่ นระนาบเดยี วกนั แลว้ รูปทรงสเ่ี หลยี่ มดา้ นขนานทเี่ กิดจากเวกเตอร์ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� จะ กลายเป็นแผน่ แบนราบ ซง่ึ ทาใหป้ รมิ าตรของรูปทรง = 0 ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� อยบู่ นระนาบเดยี วกนั ก็ตอ่ เมือ่ ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = 0 ตวั อยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ������̅ + ������̅ + ���̅��� , 2������̅ + ������̅ + 2���̅��� และ 3������̅ + 4������̅ + 3���̅��� อยบู่ นระนาบเดยี วกนั หรอื ไม่ # 1 23 วิธีทา ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = [1] ∙ ([1] × [4]) 1 23 1 (1)(3) − (2)(4) = [1] ∙ [(2)(3) − (2)(3)] 1 (2)(4) − (1)(3) 1 −5 = [1] ∙ [ 0 ] = (1)(−5) + (1)(0) + (1)(5) = 0 15 ดงั นนั้ ������̅ + ������̅ + ���̅��� , 2������̅ + ������̅ + 2���̅��� และ 3������̅ + 4������̅ + 3���̅��� อยบู่ นระนาบเดียวกนั แบบฝึกหดั 1. จงหาพนื้ ท่ขี องสเ่ี หลย่ี มดา้ นขนานที่เกิดจากเวกเตอรต์ อ่ ไปนี้ 12 2. ������̅ + ������̅ และ ������̅ − ������̅ 1. [−1] และ [ 1 ] 2 −1

34 เวกเตอร์ 2. จงหาปรมิ าตรของรูปทรงสเี่ หลย่ี มดา้ นขนานท่เี กดิ จากเวกเตอรต์ อ่ ไปนี้ 01 2 2. ������̅ + ������̅ , ������̅ + ���̅��� และ ������̅ + ���̅��� 1. [ 1 ] , [−1] และ [ 0 ] −2 1 −1 3. เวกเตอรใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ อยบู่ นระนาบเดยี วกนั 2 −3 0 1. [0] , [ 1 ] และ [1] 2. ������̅ − ������̅ + ���̅��� , ������̅ + ������̅ − ���̅��� และ −������̅ + ������̅ + ���̅��� 6 −1 8 4. กาหนดให้ A(1, 0, −2) , B(0, −1, 0) , C(2, 1, −1) จงหาพนื้ ทส่ี เ่ี หลย่ี มดา้ นขนานท่ีเกิดจาก A⃗⃗⃗⃗B⃗ และ A⃗⃗⃗⃗⃗C

เวกเตอร์ 35 5. กาหนดให้ A(−2, 1, 1) , B(2, 2, −1) , C(1, 1, 0) จงหาพืน้ ทสี่ ามเหลย่ี ม ABC 12 3 6. ถา้ รูปทรงสเ่ี หลยี่ มหนา้ ขนานทเ่ี กดิ จาก [−1] , [ ������ ] และ [ 2 ] มีปรมิ าตรเทา่ กบั 3 แลว้ จงหาคา่ ������ 2 −1 −1 7. กาหนดให้ ���̅��� , ������̅ และ ���̅��� เป็นเวกเตอรใ์ ดๆในสามมติ ิ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (ม.ี ค. 57)/13] 1. ���̅��� ∙ (������̅ × ���̅���) = ���̅��� ∙ (���̅��� × ������̅) 2. ถา้ |���̅���| = |���̅���| , |���̅��� − ������̅| = |������̅ + ���̅���| และเวกเตอร์ ���̅��� ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ ������̅ แลว้ เวกเตอร์ ������̅ ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร์ ���̅���

36 เวกเตอร์ 8. กาหนดให้ ���̅��� = ������̅ + 3���̅��� ������̅ = 2������̅ + ���������̅��� เม่อื ������ เป็นจานวนจรงิ และ ���̅��� = −3������̅ + ������̅ − ���̅��� ถา้ ���̅���, ������̅ และ ���̅��� อยบู่ นระนาบเดยี วกนั แลว้ ������ มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/1-13] 9. กาหนดทรงสเี่ หลยี่ มหนา้ ขนาน มจี ดุ ยอดอยทู่ ีจ่ ดุ O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2������, − ������, − 1) และ C(������, 3������, 2) โดยที่ ������ และ ������ เป็นจานวนเตม็ ถา้ ⃗O⃗⃗⃗A⃗ ตงั้ ฉากกบั ฐานทีป่ ระกอบดว้ ย ⃗���⃗���⃗⃗B⃗ และ ⃗O⃗⃗⃗⃗C และ ������ เป็นมมุ ระหวา่ ง ⃗���⃗���⃗⃗B⃗ และ O⃗⃗⃗⃗⃗C แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู [A-NET 51/1-15] 1. sin ������ = 5 3√7 2. |���⃗⃗���⃗⃗B⃗ | |���⃗⃗⃗���⃗⃗C| = √21 3. พนื้ ท่ฐี านของทรงสเ่ี หลย่ี มหนา้ ขนาน เทา่ กบั 5√3 ตารางหนว่ ย 2 4. ปรมิ าตรของทรงสเี่ หลยี่ มหนา้ ขนาน เทา่ กบั 75 ลกู บาศกห์ นว่ ย

เวกเตอร์ 37 ปรมิ าณเวกเตอร์ 1. 1. 1 ���̅��� 2. 1 ������̅ 3. 3 ������̅ 4. −������̅ 2 4 4 1 1 2 5. − 2 ���̅��� 6. −���̅��� + ������̅ 7. 3 (−���̅��� + ������̅) 8. 3 (���̅��� − ������̅) 9. −������̅ + 1 ���̅��� 10. − 1 ���̅��� + 1 ������̅ 11. 2 ���̅��� + 1 ������̅ 12. 2 ���̅��� + 1 ������̅ 2 24 33 3 12 4. ������̅ + 1 ���̅��� 2. 1. ������̅ 2. ���̅��� + ������̅ 3. −������̅ + ���̅��� 4 5. ������̅ − 1 ���̅��� 6. − 1 ������̅ + 1 ���̅��� 7. 3 ���̅��� + 1 ������̅ 8. 5 ���̅��� 4 2 8 8 2 8 5. 2 3. 1 4. 9 15 6. 93 7. 4 เวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉาก 1. 1. [62] 2. [−22] −2 −1 2. 1. ������ = −1 , ������ = 1 3. [−1] 4. [ 0 ] 4. ������ = 1 , ������ = −8 3. 1. 5 3 1 4. (−2, 11) 2. ������ = 0 , ������ = −1 , ������ = 2 3. ������ = −2 2. 5 3. 13 4. √5 เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ย 1. 1. 5������̅ + ������̅ 2. ������̅ − 3������̅ − ���̅��� 3. −2������̅ + 2���̅��� 4. −√2������̅ + 2������̅ 5. 1 (−4������̅ + 3������)̅ 6. − √2 (������̅ + ������)̅ 7. √6 (������̅ − ������ ̅ + 2���̅���) 8. ±(������̅ + 2������)̅ 5 2 3 4. 14 5. 3 2. (−2, −8) 3. −2������ − ������ ผลคณู เชิงสเกลาร์ 1. 1. 9 2. 1 3. −4 4. −1 2. 2, 3, 4 4. 6 8. 4√2 3. 1. 9 12. 1, 2 ตงั้ ฉากกนั แสดงวา่ ดอทกนั ได้ 0 → จะได้ [6������] ∙ [−32] = 0 (������)(−2) + (6)(3) = 0 −2������ = −18 ������ = 9 2. 1 , 3 2. √7 3. 2√13 4. 1. √19 5. √13 6. √10 7. − 4 7 10. 2 5 9. 3 11. 2, 3

38 เวกเตอร์ 13. 2 14. 6 15. 2 16. 200 18. 124 20. 2 17. - 22. 1, 2 19. − 7 (3������̅ + 4������)̅ 24. 22 26. 192 25 5 21. − 2 −3 23. 3 25. − 2 2. [ 4 ] 11 5 ผลคณู เชิงเวกเตอร์ 3. 8 3 3. 2������̅ + 2���̅��� 4. 0̅ 2. 2 1. 1. [−1] 2. 2 4. 6������̅ + 8������̅ − 10���̅��� 4. 3√2 5 8. 16 2. √11 6 พนื้ ทีแ่ ละปรมิ าตร 1. 1. √35 5. √14 6. 2 , 8 2. 1. 1 2 7 3. 1 9. 4 7. 1, 2 เครดิต ทชี่ ่วยตรวจสอบความถกู ตอ้ งของเอกสารครบั ขอบคณุ คณุ POaty Destiny และ คณุ Gunta Serikijcharoen และ คณุ Pawarit Karusuporn


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook