KELOMPOK 3_PPM

SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) DENGAN PENDEKATAN SCIENTIFIC Kelas X SMA/SMK/MTs 1 3 DISUSUN OLEH : AULIYA RAHMATUL ULYA (A410190133) 4LIKA SETYANINGRUM (A410190134) VIONITA FITRI CAHYANI (A410190135) ANGGUN TRIYUSTININGSIH (A410190147)

KATA PENGANTAR Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, atas curahan rahmat, nikmat, dan karunia- 1Nya sehingga Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) dengan Pendekatan Scientific untuk siswa kelas X SMA/SMK/MTs ini dapat terselesaikan dengan baik dan lancar. Tujuan dari penyusunan Modul ini adalah untuk pemenuhan tugas Mata Kuliah Perencanaan Pengajaran Matematika yang diampu oleh Nuqthy Faiziyah M.Pd. Penulis mengucapkan terima kasih atas saran dan bimbingan beliau, sehingga penulis dapat menyelesaikan Modul ini. Modul ini disusun berdasarkan kurikulum 2013. Semoga dengan adanya Modul ini dapat membantu peserta didik untuk belajar dengan mudah, mandiri, kreatif, dan praktis. Dalam penyusunan Modul ini, segala kritik dan saran yang bersifat membangun penulis terima agar 3Modul ini dapat menjadi lebih baik dan dimanfaatkan untuk meningkatkan ilmu pengetahuan. Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Purwodadi, 24 November 2021 Penulis, Lika Setyaningrum 4 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) i dengan Pendekatan Scientific

DAFTAR ISI Kata Pengantar ................................................................i Daftar Isi ..............................................................................ii Pendahuluan ....................................................................iii 1Petunjuk Penggunaan Modul ................................iv Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel .........1 Peta Konsep .......................................................................3 Menyusun dan Menemukan Konsep SPLTV...5 Penyelesaian SPLTV ...................................................13 Latihan 1 ............................................................................15 Latihan 2 ............................................................................18 Latihan 3 ............................................................................20 Latihan 4 ............................................................................25 Laris ......................................................................................26 Proyek .................................................................................30 Rangkuman ......................................................................31 Refleksi Diri ......................................................................32 3Penilaian Diri ..................................................................32 Daftar Pustaka ..............................................................33 4 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) ii dengan Pendekatan Scientific

PENDAHULUAN Modul pembelajaran matematika ini disusun berdasarkan kurikulum 2013. Ruang lingkup Modul ini meliputi materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel kelas X semester I. Modul disusun berdasarkan kegiatan 1belajar yang meliputi langkah-langkah Pendekatan Scientific. Setiap kegiatan pembelajaran dalam Modul ini terdiri dari uraian materi, lembaran kerja, soal evaluasi, dan rangkuman. Modul pembelajaran matematika ini juga memuat nilai- nilai pendidikan karakter yang ingin dikembangkan pada diri peserta didik. Modul ini juga di lengkapi dengan proyek yang akan membawa siswa untuk belajar secaranyata di lapangan dan sesuai dengan proses pembelajaran Scientific. Selanjutnya, pada akhir kegiatan belajar terdapat LARIS (Latihan Mandiri Siswa) dalam bentuk soal-soal yang dapat dikerjakan siswa, serta kunci jawaban dan penilaian diri yang berguna untuk mengetahui tingkat pemahaman peserta didik terhadap materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel kelas X semester I. 4\"Matematika itu seperti konsep yang cocok untuk anak muda, tidak terlalu sulit, lucu, dan tanpa membahayakan negara.\" -Plato Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) iii dengan Pendekatan Scientific

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL Dalam bagian ini penulis akan mencoba memaparkan teknik penggunaan modul. Hal ini sangat berguna agar maksud dan tujuan modul dapat tercapai, sehingga peserta didik dapat dengan mudah mempelajari dan memahami pelajaran yang disampaikan guru.Ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1.Bacalah terlebih dahulu judul dan daftar isi modul yang akan kamu pelajari.Hal ini bertujuan agar kamu 1 dapat mengetahui isi buku secara garis besarnya. 2.Mulailah membaca teks pelajaran dengan teliti. Perhatikan pula gambar atautabel-tabelnya. Tujuannya adalah untuk mulai menganalisa guna memahamiisi yang tertera maupun tersirat pada gambar atau tabel-tabel. 3.Pahamilah setiap kata atau kalimat pada setiap materi yang terdapat dalam modul, sehingga kamu bisa membangun konsep matematika baik menggunakan bahasa didalam modul maupun bahasa sendiri. 4.Jangan malas untuk mengulang setiap materi yang telah kamu pelajari. Hal ini berguna agar kamu bisa mengingat inti-inti pokok pelajaran pada setiap pertemuan. 5.Biasakan untuk menjawab pertanyaan dan memecahkan masalah yang ada di dalam modul baik secara pribadi maupun kelompok, serta biasakan juga untuk belajar kreatif dengan membuat atau mencari permasalahan dalam kehidupan sehari-harimu terkait dengan materi pelajaran yang disajikan didalam modul. Demikianlah petunjuk penggunaan modul ini, semoga peserta didik atau guru pembimbing bidang studi matematika dapat memfungsikan modul ini sebagai 4salah satu sumber belajar yang baik. Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) iv dengan Pendekatan Scientific

SPLTV (SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL) 1 Kompetensi Dasar : 3.3 Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah kontekstual. 4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel. 4 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 1 dengan Pendekatan Scientific

PENGALAMAN BELAJAR Melalui pembelajaran materi sistem persamaan linear tiga variabel, siswa memperoleh 1pengalaman belajar sebagai berikut : Menjelaskan karakteristik masalah otentik yang penyelesaiannya terkait dengan model Matematika sebagai sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang merupakan SPLTV. Menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan. Menginterpretasikan hasil penyelesaian masalah yang diberikan. Menemukan ciri-ciri SPLTV dari model matematika. Menuliskan konsep SPLTV berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri. 4 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 2 dengan Pendekatan Scientific

PETA KONSEP SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 1 Penyelesaian Menyusun dan SPLTV Menemukan Konsep SPLTV Metode Substitusi Bentuk Umum Metode SPLTV Eliminasi Metode Gabungan (Substitusi dan Eliminasi) Metode Determinan 4 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 3 dengan Pendekatan Scientific

INSIPIRASI (STIMULUS) 1 Pernahkan Anda berbelanja di pasar, supermarket atau tempat perbelanjaan lainnya? Apa yang Anda beli di sana? Bagaimana cara Anda melakukan transaksi jual beli tersebut? Sebenarnya, proses jual beli dan beberapa kegiatan lainnya yang Anda lakukan merupakan penerapan dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Apa yang dimaksud dengan sistem? Apa yang dimaksud dengan persamaan linear tiga variabel? Setelah mempelajari materi ini, Anda diharapkan dapat menjawab beberapa pertanyaan di atas. Tidak hanya pertanyaan tersebut, tetapi Anda juga dapat menyelesaikan permasalahan lain dalam 4kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan SPLTV. Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 4 dengan Pendekatan Scientific

Menyusun dan Menemukan Konsep SPLTV PENDAHULUAN Masih ingatkah kamu, jika dulu dibangku SMP kamu pernah mempelajari tentang x dan y, ax + by = c, [(a1x + b1y = c1) + (a2x + b2y = c2)]. 1Jika Anda lupa, Mari kita mengingat kembali! Bentuk umum dari a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2 merupakan bentuk umum dari sistem persamaan dua variabel (SPLDV). Lalu, apa hubungannya dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)? Jelas ada hubungannya, karena SPLTV dan SPLDV merupakan dua saudara yang tidak bisa dipisahkan. Hanya saja ada sedikit perbedaan diantara mereka, dan perbedaan tersebut terletak pada banyaknya persamaan dan variabel yang digunakan. Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 5 dengan Pendekatan Scientific

Konsep SPLTV Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan SPLTV, seperti permasalahan yang ada di bawah ini. Masalah dan Penyelesaian Suatu ketika Hani, Hera, dan Hari berbelanja di sebuah toko buku. Hani membeli tiga komik, dua buku tulis, dan dua spidol. Hera membeli dua komik, dua buku tulis, dan empat spidol. Hari membeli sebuah komik, tiga buku tulis, dan tiga spidol. Masing- masing dari mereka harus membayar Rp. 49.000,- ; Rp. 48.000,- ; Rp. 35.000,-. Jadi berapa harga untuk sebuah komik, sebuah buku tulis, dan sebuah spidol di toko tersebut? Permasalahan di atas dapat kamu selesaikan dengan cara merubah permasalahan tersebut dalam bentuk model matematika, seperti berikut. Diketahui: - Hani membeli 3 komik, 2 buku tulis, 2 spidol, dengan harga Rp. 49.000 - Hera membeli 2 komik, 1 buku tulis, 4 spidol, dengan harga Rp. 48.000 - Hari membeli 1 komik, 3 buku tulis, 3 spidol, dengan harga Rp. 35.000 Ditanya: Harga sebuah komik, sebuah buku tulis, dan sebuah spidol ? Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 6 dengan Pendekatan Scientific

Misalkan: x adalah sebuah komik y adalah sebuah buku tulis z adalah sebuah spidol Berdasarkan informasi dari permasalahan di atas, kita memperoleh hubungan dengan persamaan berikut: →Hani : 3x + 2y + 2z = . . . Persamaan 1 →Hera : 2x + 2y + 4z = . . . Persamaan 2 →Hari : x + 3y + 3z = 35.000 Persamaan 3 →x = … – 3y – 3z Persamaan 4 Untuk menyelesaikan persamaan diatas, ada beberapa langkah yang harus kamu lakukan:. LANGKAH 1 Substitusikan persamaan 3 kedalam persamaan 1, sehingga diperoleh: x = 35.000 – 3y – 3z dan 3x + 2y + 2z = 49.000 3( . . . – 3y – 3z) + . . . + 2z = 49.000 105.000 – . . . – 9z – 2y + . . . = 49.000 →-9y – . . .+ 2z – 9z = . . . – 105.000 -7y – . . . = -56.000 kedua ruas dikali dengan negatif (-) . . . + 7z = 56.000 →y + z = . . . kedua ruas dibagi dengan 7 ∴ →y + z = 8.000 Persamaan 5 LANGKAH 2 Substitusikan persamaan 4 ke dalam persamaan 2, sehingga diperoleh: x = 35.000 – 3y – 3z dan 2x + 2y + 4z = 48.000 2(35.000 - . . . – 3z) + 2y + 4z = 48.000 70.000 – 6y - . . . + 2y + . . . = 48.000 -6y + . . . – 6z +4z =. . . – 70.000 →-4y – 2z=-22.000 kedua ruas dikali dengan negative (-) →. . . + 2z = . . . 2y + . . . = 11.000 kedua ruas dibagi 2 ∴ →2y + z = 11.000 Persamaan 6 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 7 dengan Pendekatan Scientific

LANGKAH 3 Gunakan metode eiminasi terhadap persamaan 5 dan 6, sehingga diperoleh: y + z = 8.000 2y + z = 11.000 _ -y = -3000 y = 3000 ∴ y = 3.000 Kemudian substitusikan nilai y kedalam persamaan 6, sehingga diperoleh: y = 3.000 dan 2y + z = 11.000 2( . . . ) + z = 11.000 6.000 + z = . . . z = 11.000 - . . . z = 5.000 ∴ z = 5.000 Karena nilai y dan z telah kita ketahui dengan masing- masing nilai 3.000 dan 5.000 , maka untuk mengetahui nilai x kita harus mensubstitusikan y dan z kedalam persamaan 3, sehingga diperoleh: y = 3.000 , z =5.000 dan x + 3y + 3z = 35.000 x + 3( . . . ) + 3( . . . ) = 35.000 x + 9.000 + 15.000 = . . . x + . . . = 35.000 x = 35.000 - . . . ∴x = 11.000 x = 11.000 Jadi, nilai x = 11.000, y = 3.000, dan z .=. 5.000, atau harga untuk sebuah komik adalah Rp. 11.000,00 ; harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp. 3.000,00 ; dan harga untuk sebuah spidol adalah Rp. 5.000,00. Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 8 dengan Pendekatan Scientific

Ayo berlatih sendiri! MASALAH 2 Tari, Leni, dan Rani sedang membeli makanan di mini market. Tari membeli satu chitato, tiga permen, dan satu minuman botol dengan harga Rp. 8.000,00. Leni membeli satu chitato, satu permen dan minuman botol dengan harga Rp. 6.000,00. Rani membeli dua chitato, satu permen, dan satu minuman botol dengan hharga Rp. 9.000,00. Tentukan harga untuk sebuah chitato, sebuah permen, dan sebuah minuman botol. PENYELESAIAN : LANGKAH 1 Identifikasikan tiga besaran yang belum diketahui nilai (harganya), ketiga besaran itu adalah harga chitato, harga permen, dan harga minimum. LANGKAH 2 Kita nyatakan besaran tersebut sebagai variabel, kita misalkan: Harga chitato = . . . Harga permen = y Harga minuman = . . . LANGKAH 3 Kita rumuskan model matematika berd.a.sarkan soal. Dari soal kita ketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel sebagai berikut: persamaan 1 persamaan 2 →Barang belanjaan Tari: x + 3y + z = 8.000 →Barang belanjaan Lani: x + y + z = 6.000 →Barang belanjaan Rani: 2x + y + z = 9.000 persamaan 3 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 10 dengan Pendekatan Scientific

Selesaikan SPLTV yang terbentuk dengan metode substitusi atau metode eliminasi. Kamu juga bisa menggunakan metode gabungan atau metode lainnya yang kamu anggap lebih mudah. Proses penyelesaian ! Eliminasikan persamaan 1 dan 2, sehingga diperoleh: x+...+...=... x+...+...=... _ ...=... ...=... ∴y=... Selanjutnya persamaan 2 di eliminasikan dengan persamaan 3, sehingga diperoleh: x+...+...=... 2x+ . . . + . . . = . . . _ ...=... ...=... ∴x=... Langkah selanjutnya yang kamu lakukan yaitu mensubstitusikan nilai x dan y ke salah satu persamaan, sehinga kamu memperoleh nilai z. **substitusikan x dan y kedalam persamaan 1, sehingga diperoleh: x = . . . y = . . . dan x + 3y + z = 8.000 x + 3y + z = 8.000 ...+3(...)+...=... ...+...+...=... ... + z=... z=... karena nilai x, y, z sudah diperoleh. Langkah terakhir yang kamu lakukan yaitu mengembalikan ke pemisalan semula. x = harga chitato = Rp ... y = harga permen = Rp ... z = harga minuman botol = Rp ... Jadi, harga untuk sebuah chitato, permen dan minuman botol masing-masing adalah. . . Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 11 dengan Pendekatan Scientific

Dari dua permasalahan yang telah disajikan di atas, apa yang dapat kamu simpulkan tentang SPLTV? Sistem persamaan Linear Tiga Variabel adalah ____________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ Dan bentuk umum dari SPLTV adalah sebagai berikut : dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan real. Dan dari permasalahan serta kesimpulan dan bentuk umum SPLTV, sudah dapatkah kamu menemukan serta membedakan antara SPLTV dengan bukan SPLTV? Jika sudah, maka 100 point untuk kamu! Selamat! Tapi jika belum, mari kita analisa beberapa persamaan di bawah ini. Apakah persamaan-persamaan berikut membentuk SPLTV atau tidak? Jelaskan alasanmu! 1) 2x + y +5z = 2 4) x + y + (1/z )= 5 2x + 3z = 1 p – q + 2r = 1 5z = 5 p + 2q + r = 6 Alasan : Alasan : 2) a + b + c= 0 5) 2p – r = 2 2a + 3b = 5 p+q+z=1 a + 2b + 6c = 10 2x + 3q – z = 2 Alasan : Alasan : 3) 3p + 2q + r = 1 p – 3q + r = 3 2p + q – r = 4 Alasan: Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 12 dengan Pendekatan Scientific

Penyelesaian SPLTV Pada materi sebelumnya, disaat kamu menyelesaikan permasalahan tentang SPLTV, kamu telah menggunakan beberapa langkah atau metode untuk menyelesaikan SPLTV. Dan pada pembahasan ini kamu akan mengenal satu persatu dari metode tersebut. Adapun metode- metode yang akan digunakan untuk penyelesaian system persamaan linear tiga variabel, yaitu metode substitusi, metode eliminasi, metode gabungan [eliminasi dan substitusi], dan metode determinan. 1. Metode Substitusi Adapun langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode substitusi adalah: 1. Pilihlah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x, y, z dalam dua variabel yang lainnya. 2. Substitusikan persamaan yang diperoleh dari langkah 1 ke kedua persamaan lainnya, sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel. 3. Selesaikan system persamaan linear dua variabel yang ada pada langkah 2 diatas dengan menggunakan metode substitusi. 4. Substitusikan nilai-nilai dua variabel pada langkah 3 ke dalam satu persamaan semula sehingga diperoleh nilai variabel yang ketiga. 5. Tentukan himpunan penyelesaiannya. Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 13 dengan Pendekatan Scientific

Soal dan Penyelesaiannya Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan menggunakan metode substitusi ! x + 3y – z = 5 ..... (persamaan 1) 2x – 5z = 6 ..... (persamaan 2) y=8 ...... (persamaan 3) Persamaan 3 di Persamaan 4 di substitusikan substitusikan pada pada persamaan 2: persamaan 1 : 2(z – 19) – 5z = 6 x + 3(8) – … = 5 … – … – 5z = … x + ... – z = 5 -18 - … = 6 x–z=... -3z = 6 + 18 x – … = -19 -3z = … x = . . . pers. 4 … = 24/3 z=… Untuk y = 8 dan z = -8 disubstitusikan ke persamaan 1 : x + 3y – z = 5 x + 3(…) – (…) = 5 … + 24 + 8 = … x=5–… x=… Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {( -27, …)} Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 14 dengan Pendekatan Scientific

Latihan 1 Dengan menggunakan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut ini! 1 2x + y – 3z = 8 x – 2y + z = 5 y + z = 10 2 3x – 5y + z = 3 2x + 3z = 4 z = -2 3 x - 5y + 2z = -3 x + 2y – 2z = 5 3x + 3y = 10 4 0,1x + 0,2y + 0,3z = 1,1 0,2x – 0,1y – 0,1z = 0,4 0,3x – 0,4y + 0,2z = 2,3 5 3y – z = 12 x + y + 3z = 5 2x – 3z = 6 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 15 dengan Pendekatan Scientific

2. Metode Eliminasi Adapun langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode eliminasi adalah: 1.Eliminasi sepasang-sepasang persamaan dengan mengalikan masing- masing persamaan dengan bilangan tertentu sehingga koefisien salah satu peubah (x, y, atau z) pada kedua persamaan sama. 2.Jumlahkan atau kurangkan persamaan yang satu dengan yang lain sehingga diperoleh system persamaan linear dua variabel. 3.Selesaikan system persamaan linear dua variabel yang diperoleh pada langkah 2 dengan metode eliminasi. 4.Tuliskan himpunan penyelesainnya. Soal dan Penyelesaiannya Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan Metode Eliminasi! 3p – 2q + 2r = 18 ..... (persamaan 1) 4p + 3q – 5r = 17 ...... (persamaan 2) 2p - q + r = 7 ...... (persamaan 3) Penyelesaian : Eliminasi variabel r dari persamaan 1 dan 3 : 3p + 2q + 2r = 18 |× 1| 3p + 2q + 2r = 18 2p − q + r = 7 |× 2| 4p − 2q + 2r = 14 − . . . + . . . = . . . pers. 4 Eliminasi variabel r dari persamaan 2 dan 3 : 4p + 3q – 5r = 17 |× 1 | 4p + . . . – 5r = 17 2p - q + r = 7 |× 5 | . . . - 5q + . . . = 35 + 14p - 2r = . . . pers. 5 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 16 dengan Pendekatan Scientific

Eliminasi variabel q dari persamaan 1 dan 3 : 3p – 2q + 2r = 18 |× 1| 3p – 2q + . . . = 18 2p - q + r = 7 |× 2| ...............+ 2r = 14 + . . . . - 4q = . . . pers. 6 Eliminasi variabel q dari persamaan 2 dan 3 : 4p + 3q – 5r = 17 |× 1 | . . . + 3q – 5r = . . . 2p - q + r = 7 | × 3| 6p – . . . + 3r = 21 + 10p – . . . = 38 . . . – r = 19 pers. 7 Eliminasi q dari persamaan 4 dan 5 : Eliminasi p dari persamaan 4 dan 5 : Eliminasi p dari persamaan 6 dan 7 : Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {4, ... , ...} Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 17 dengan Pendekatan Scientific

Latihan 2 Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut ini! 1 2a + b + 3c = 6 a – 2b + 3c =5 2a – 3b – c = 6 2 3y – z = 10 x + y + 3z = 3 2x – 3z = 6 3 5p – 2q + 3r = -1 2p + 5q – 2r = 35 3p + 4q + r = 27 4 0,1x + 0,2y + 0,3z = 1,1 0,2x – 0,1y – 0,1z = 0,4 0,3x – 0,4y + 0,2z = 2,3 5 2a – b + 3c = 15 3a + 2b - c = -4 4a – 3b – c = 11 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 18 dengan Pendekatan Scientific

3. Metode Gabungan Eliminasi & Substitusi Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan system persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi adalah sebagai berikut: 1.Eliminasi sepasang-sepasang persamaan dengan mengalikan masing- masing persamaan dengan bilangan tertentu sehingga koefisien salah satu peubah (x, y, z) pada kedua persamaan sama. 2.Jumlahkan atau kurangkan persamaan yang satu dengan yang lainnya, sehingga diperoleh system persamaan linear dua variabel. 3.Selesaikan system persamaan linear dua variabel yang diperoleh pada langkah 2 dengan metode gabungan eliminsi dan substitusi sehingga diperoleh nilai dua buah variabel. 4.Substitusi nilai dua buah variabel yang diperoleh pada langkah 3 ke salah satu persamaan semula sehingga diperoleh nilai variabel yang ketiga. 5.Tuliskan himpunan penyelesaiannya. Catatan : Contoh dan model soal SPLTV dengan metode gabungan, kamu dapat melihat kembali pada halaman 6-11. Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 19 dengan Pendekatan Scientific

Latihan 3 Dengan menggunakan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut ini! 1 3x + 2y − 5z = 12 4x − 3y + 2z = 24 2x + y − 3z = 11 2 5a + 2b – c = 5 2a – b – 3c = 6 5a – 3b + 2c = 12 3 p + q + r = 12 p – 2q – 5r = 10 2p – r = 8 4 2p – 5r = 12 2q = 10 2p + 3q + r = 9 5 2a – b + 3c = 15 3a + 2b - c = -4 4a – 3b – c = 11 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 20 dengan Pendekatan Scientific

4. Metode Derterminan Perhatikan bentuk umum system persamaan linear tiga variabel x, y, dan z berikut. dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan real, dan a, b, c, ketiganya tidak boleh nol (0). Adapun langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode determinan, sebagai berikut: LANGKAH 1 Determinan (D) didefinisikan sebagai determinan utama yaitu determinan dari koefisien-koefisien x, y, dan z. LANGKAH 2 Didefinisikan determinan variabel x (Dx) yaitu determinan yang diperoleh dengan mengganti koefisien-koefisien variabel x dari determinan utama dengan bilangan- bilangan ruas kanan. Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 21 dengan Pendekatan Scientific

LANGKAH 3 Didefinisikan determinan variabel y (Dy) yaitu determinan yang diperoleh dengan mengganti koefisien-koefisien variabel y dari determinan utama dengan bilangan- bilangan ruas kanan. LANGKAH 4 Didefinisikan determinan variabel z (Dz) yaitu determinan yang diperoleh dengan mengganti koefisien-koefisien variabel z dari determinan utama dengan bilangan-bilangan ruas kanan. Nilai x, y, dan z ditentukan dengan rumus: x= Dx/D y= Dy/D x= Dz/D Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 22 dengan Pendekatan Scientific

Soal dan Penyelesaiannya Dengan menggunakan metode determinan, tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi system persamaan berikut ! 5x – 2y + 2z = 2 2x + 5y – 2z = 21 3x + 3y + 4z = 11 Penyelesaian : LANGKAH 1 (Mencari D) x yz xy D= 5 -2 2 5 -2 5 -2 ..... ...... 2 34 ..... ...... 3 D = 5 (5) (4) + (-2) (…) (3) + 2 (2) (…) – 3 (5) (2) - 3 (-2) (5) – 4 (2) (…) = 100 + … + … - 30 + … + … = 140 LANGKAH 2 (Mencari Dx) d yz dy Dx = 2 -2 ...... ...... ..... 21 ...... 21 ..... -2 ..... 3 11 ...... ...... Dx = 2(…)(4) + (-2)(…)(11) + 2(…)(3) – 11(5)(…) – (…)(-2)(…) – 4(21)(-2) = … +44 + … - 110 + … + 168 =… Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 23 dengan Pendekatan Scientific

LANGKAH 3 (Mencari Dy) x dz xd Dy= ..... ...... ...... 5 ...... ..... 21 2 ...... -2 ..... ...... ...... 11 ...... Dy = (…)(5)(…) + 2(…)(3) + 2(2)(…) – (3)(21)(2) – (…)(…)(5) – (4)(…) (2) = … - 12 + … - … + 110 - … =... LANGKAH 4 (Mencari Dz) x yd xy Dz = ...... ..... ...... 5 .-2 ..... ..... 2 5 21 ..... 3 ...... ...... ...... Dz = 5(…)(…)+(-2)(…)(…)+ 2(…)(…)–(3)(…)(…)–(3)(…)(5)–(…)(2)(-2) = 275 - … + 12 - … - 315 + 44 =... Dari keempat langkah di atas, maka kita dapati nilai x, y, dan z sebagai berikut: x = ...../140 = ...... y = ...../140 = ...... z = ....../140 = ...... Jadi, nilai x= . . . , nilai y= . . . , dan nilai z= . . . Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 24 dengan Pendekatan Scientific

Latihan 4 Dengan menggunakan metode determinan tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut ini! 1 x+y+z=9 x+ y− z= 15 2x + 3y + z = 28 2 2x − 3y+ z= 7 x − 2y − 5z = 10 3x + y + z= 9 3 3x − y − z = 9 x + 2y − z = −10 2x + y + 2z = −8 4 x+ y + 2z = 12 2x − 3y + z = 9 x − 3y − z = 8 5 5x − y − z = 7 x + 2y − 8z = −11 x − y + 3z = 12 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 25 dengan Pendekatan Scientific

LARIS (Latihan Mandiri Siswa) A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat beserta lampirkan proses penyelesaiannya 1) Manakah yang dari 4) Himpunan penyelesaian persamaan berikut yang system persamaan: membentuk SPLTV? 5x – 2y + 2z = 2 a. 3x + 2y – 5z=0 ; x+3y ; 2x + 5y – 2z = 21 x=1 3x + 3y + 4z = 11 b. 2a-b=3 ; 4a+c=2 ; 2x – adalah {(x,y,z)}. Nilai dari 2x- y=1 5y-z = . . . c. 2x=4 ; 3c-a=2 ; 2p+y=2 a. 15 c. 8 e. -10 d. 2x-y-z=1 ; p-q=1 ; x-2z=3 b. 20 d. -5 e. a-b+c=0 ; a-b=2 ; q+r=3 5) Diketahui system 2)Nilai x2 yang memenuhi persamaan: persamaan: 3x +2y +2z = 18 2x + 3y +2z = 15 4x + 3y – 5z = 17 3x – 4y + z = 6 2x – y + z = 7 5x – 2y – 3z = -4 Nilai dari x2+2x = . . . adalah. . . a. 20 d. 18 a. 2 d. 6 b. 23 e. 16 b. 4 e. 3 c. 24 c. 1 6) Nilai (x^2)-2x-3z yang 3) Penyelesaian system memenuhi persamaan: persamaan: 3x +2y +2z = 18 2x + 3y +2z = 15 4x + 3y – 5z = 17 3x – 4y + z = 6 2x – y + z = 7 5x – 2y – 3z = -4 adalah. . . Adalah x, y, dan z. Nilai dari a. 2 d. 5 (x^2)- 2z= . . . b. 4 e. 3 a. 4 d. 2 c. 1 b. -4 e. 1 c. 0 Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 26 dengan Pendekatan Scientific

7) Himpunan penyelesaian 9) Penyelesaian system persamaan: {x,y,z} dari system x + 2y – 5z = 7 2x + y = 3 z = -2 persamaan berikut adalah x, y, dan z. Nilai dari √4(x^2) + 2y = . . . x + 2y – 5z = 7 2x + y = 3 a. 2 d. 1 b. 3 e. -2 z = -2 c. 0 adalah . . . a. {2, 3, -2} d. {3, -3, -2} b. {-3, 3, 2} e. {2, 2, 3} c. {3, -2, 3} 8) Jumlah tiga bilangan 10) Harga 2 kg pisang, 2 kg sama dengan 45. Bilangan manga, 1 kg pisang, 2 kg pertama ditambah 4 sama manga, 2 kg manggis dengan bilangan kedua, dan adalah Rp. 90.000,00. Jika bilangan ketiga dikurangi 17 harga 2 kg pisang, 2 kg sama dengan bilangan manga, 3 kg manggis Rp. pertama. Nilai dari masing - 130.000,00. Maka harga 1 masing bilangan kg manga adalah… tersebut adalah. . . .. a. Rp. 5.000,00 a. (8, 12, 25) b. Rp. 7.500,00 b. (7, 5, 10) c. Rp. 15.000,00 c. (25, 8, 12) d. Rp. 12.000,00 d. (5, 10, 7) e. Rp. 10.000,00 e. (-8, 12, 25) B. Jawablah soal-soal berikut ini dengan tepat serta lampirkan proses penyelesaiannya 1) Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan linear tiga variabel berikut dengan menggunakan metode determinan ! x+y−z=1 8x + 3y − 6z = 1 −4x − y + 3z = 1 Jawab : Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 27 dengan Pendekatan Scientific

2) Selesaikan system persamaan linear tiga variabel berikut dengan metode determinan ! x + y − 2z = 7 {x − 2y + z = 10 x − 3y − z = 1 Jawab : 3) Ani, Nia, dan Nina pergi bersama-sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 61.000,00. Nina membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk degan harga Rp. 80.000,00. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah. . . Jawab : 4) Cici, Ari, dan Sandi bersama-sama pergi ke koperasi sekolah. Cici membeli 4 buku, 2 pulpen, dan 3 pensil dengan harga Rp. 26.000,00. Ari membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga Rp. 21.000,00. Sedangkan Sandi membeli 3 buku, dan 1 pensil dengan hharga Rp. 12.000,00. Jika Moni membeli 2 pulpen dan 3 pensil, maka jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Moni adalah. . . Jawab: Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 28 dengan Pendekatan Scientific

5) Mela, Sisi dan Lani sedang membuat pesanan kue hias bersama-sama. Dalam satu hari mereka bertiga mampu menyelesaikan pesanan sebanyak 20 kotak. Jika Mela dan Sisi bekerja bersama-sama mereka hanya mampu menyelesaikan 15 kotak. Jika Sisi dan Lani yang bekerja bersama, mereka hanya mampu menyelesaikan 10 kotak. Jadi, berapa kotak pesanan kue yang bisa diselesaikan Mela, Sisi, dan Lani, jika mereka bekerja sendiri-sendiri? Jawab : Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 29 dengan Pendekatan Scientific

Proyek Kelompok Carilah contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dinyatakan dengan persamaan linear tiga variabel (SPLTV)! Uraikan proses penemuanmu dalam model matematika tersebut dan selesaikan sebagai pemecahan masalah tersebut! Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan hasilnya di depan kelas! Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 30 dengan Pendekatan Scientific

Rangkuman Setelah mempelajari materi tentang Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel yang melibatkan konsep real dalam kehidupan sehari-hari, ada beberapa hal penting yang perlu dirangkum, yaitu sebagai berikut : Konsep system persamaan linear didasari oleh konsep persamaan dalam system bilangan real, sehingga sifat- sifat persamaan linear dalam system bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam Dua persamaan linear atau lebih dikatakan membentuk system persamaan linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama Himpunan penyelesaian system persamaan linear adalah suatu himpunan semua pasangan terurut (x, y, z) yang memenuhi system tersebut. Apabila penyelesaian sebuah system persamaan linear semua nilai variabelnya adalah nol, maka penyelesaian tersebut dikatakan penyelesaian trivial. Misalkan, jika diketahui system persamaan linear 3x+ 5y + z = 0 ; 2x + 7y + z = 0 ; dan x – 2y + z = 0. System persamaan linear tersebut memiliki suku Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 31 dengan Pendekatan Scientific

Refleksi diri 1. Apa yang dapat kamu pahami setelah mempelajari materi SPLTV? 2. Apa manfaat dari materi SPLTV bagi kamu dalam kehidupan sehari-hari? Penilaian diri Setelah kamu mempelajari modul ini, bagaimana penguasaan kamu terhadap materi-materi berikut ? berilah centang ( √ ) pada kotak yang kamu anggap sesuai! No Materi Tidak Kurang Menguasai Sangat Menguasai Mampu Menguasai 1.Konsep Sistem. 2.Konsep Persamaan Linear Tiga Variabel. 3. Menyelesaikan permasalahan SPLTV dengan metode Substitusi. 4. Menyelesaikan permasalahan SPLTV dengan metode Eliminasi. 5. Menyelesaikan permasalahan SPLTV dengan metode gabungan. 6. Menyelesaikan permasalahan SPLTV dengan metode determinan. Modul SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) 32 dengan Pendekatan Scientific

Daftar Pustaka Maulana Aries, S.Si. (2016). Top Pocket Master Book Matematika SMA/MA IPA Kelas X, XI, & XII.Jakarta: PT Bintang Wahyu. Sinaga, Barnok, dkk. (2016). Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Edisi Revisi 2016.Jakarta: Kemdikbud. Sukino, M.Sc. (2014). Matematika Jilid 1A untuk SMA/MA Kelasn X Semester 1. Jakarta: Erlangga. 2 \"Don't be too hard on yourself, because it's OK to do something wrong.\" - Zhong Chenle 33