การแปลงทางเรขาคณิต

การเลอื่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมุน การหมนุ รปู เรขาคณิตบนระนาบ ตวั อยา่ ง จงสร้างภาพทไี่ ดจ้ ากการหมุนรูป ∆PQR ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬิกาด้วยมุม 90° โดยให้ M(1, -1) เป็นจดุ หมนุ Y วิธที า P΄ 1) ลาก PM และหมุน PM ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ าดว้ ย R มุม 90° ถงึ จดุ P΄ 2) ในทานองเดียวกันหมนุ QM และ RM จะไดจ้ ดุ Q΄ และจุด R΄ P Q Q΄ R΄ 3) ลาก P′Q′ , Q′R′ และ R′P′ O X จะไดร้ ปู ∆P΄Q΄R΄ เป็นภาพท่ไี ดจ้ ากการหมนุ รูป ∆PQR โดยมีจุด M เป็นจุดหมุนและหมุนในทศิ ทางตามเข็มนาฬิกาดว้ ย M(1, -1) มุม 90°

การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ การหมุนรูปเรขาคณติ บนระนาบ ตัวอยา่ ง กาหนดรปู ∆MON เปน็ รูปตน้ แบบและรูป ∆M΄O΄N΄ เป็นภาพที่ไดจ้ ากการหมุน จงหาจุดหมุน ทศิ ทาง และ ขนาดของมมุ ท่ใี ชใ้ นการหมุน วิธที า Y N 1) ลาก MM′ กาหนด S เป็นจดุ กง่ึ กลาง 2) ลากเส้นแบ่งครึ่งและต้งั ฉาก MM′ M΄ 3) ลาก OO′ กาหนด T เปน็ จดุ กง่ึ กลาง MS 4) ลากเส้นแบ่งครงึ่ และต้ังฉาก OO′ และตัดกบั เส้นที่แบ่งครึ่งและ N΄ ตั้งฉากกับ MM′ ในข้อ 2) ท่ีจดุ P T O΄ 5) วัดขนาดของ M���෡���M΄ และ O���෡���O΄ ได้ 90° จะได้วา่ จดุ P เป็นจุดหมนุ หมนุ ไปในทิศตามเขม็ นาฬกิ าดว้ ย OP X มุม 90°

แมน่ าง ตกลงเจา้ ทราบแล้วหรอื ยงั วา่ พดั เก่ยี วขอ้ งกบั ทราบแล้วเจา้ คะ่ เวลาท่คี ลีพ่ ัดออกหรือพบั เกบ็ การแปลงทางเรขาคณิตอย่างไร โครงพัดจะเคล่อื นที่โดยอาศยั จุดหมนุ เป็นหลัก ซง่ึ การหมุนเกี่ยวข้องกบั การแปลงทาง เรขาคณิตน่ันเอง

ความสมั พนั ธ์ของการเล่อื นขนาน การสะท้อน และการหมนุ พจิ ารณารูปต่อไปน้ี กาหนดใหร้ ูปสามเหลย่ี ม A เปน็ รปู ต้นแบบและรูปสามเหลย่ี ม B และ C เป็นภาพที่ได้จากการสะทอ้ น รูปสามเหล่ียม A โดยมเี ส้นตรง L1 และเสน้ ตรง ������������ เปน็ เสน้ ตรงสะทอ้ น ตามลาดับ Y ������������ นกั เรยี นคดิ ว่าสามารถใชว้ ิธกี ารแปลง B วธิ ีใดได้บ้าง A OX ������������ C

ความสมั พันธข์ องการเลอ่ื นขนาน การสะท้อน และการหมุน พจิ ารณารูปต่อไปนี้ กาหนดใหร้ ูปสามเหล่ียม A เปน็ รูปต้นแบบและรูปสามเหล่ียม B และ C เปน็ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะท้อน รปู สามเหลยี่ ม A โดยมเี ส้นตรง L1 และเส้นตรง L2 เปน็ เส้นตรงสะทอ้ น ตามลาดับ Y 1) การแปลงจาก ∆������ → ∆������ สามารถทาไดห้ ลายวธิ ี เชน่ ������������ หมนุ ∆������ ไปในทศิ ตามเขม็ นาฬกิ าดว้ ยมุม 180° B โดยจุด O เป็นจดุ หมนุ A เมอื่ สะทอ้ น ∆������΄ ดว้ ยเสน้ ตรง ������������ จะได้ ∆������ จึงกลา่ วไดว้ ่า O X A΄ ถ้าหมุนรูปต้นแบบไปในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ าด้วยมุมทมี่ ขี นาด 180° โดยมี จุดกาเนดิ เปน็ จุดหมุนแล้วสะทอ้ นรูปนน้ั โดยมีเสน้ ตรง ������������ เปน็ เสน้ สะทอ้ น จะทาใหภ้ าพทีไ่ ด้จากการสะทอ้ นครัง้ ทีส่ องเป็นภาพที่ได้จากการสะทอ้ น รูปตน้ แบบเดมิ โดยมเี สน้ สะทอ้ นตง้ั ฉากกบั เส้นสะทอ้ นเส้นเดิม ������������

ความสัมพนั ธข์ องการเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน พิจารณารปู ตอ่ ไปนี้ กาหนดให้รูปสามเหลี่ยม A เปน็ รปู ต้นแบบและรปู สามเหล่ียม B และ C เปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการสะทอ้ น รปู สามเหล่ยี ม A โดยมีเส้นตรง ������������ และเสน้ ตรง ������������ เป็นเสน้ ตรงสะทอ้ น ตามลาดบั Y 2) การแปลงจาก ∆������ → ∆������ สามารถทาไดห้ ลายวิธี เช่น ������������ A΄ สะท้อน ∆������ ดว้ ยเสน้ ตรง ������������ หมุนภาพ ∆������΄ ที่ไดจ้ ากการสะทอ้ นไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา A ด้วยมมุ 180° โดยจดุ O เปน็ จุดหมุนจะได้ ∆������ จงึ กลา่ วไดว้ า่ O X ถา้ สะทอ้ นรูปตน้ แบบโดยมเี ส้นตรง ������������ เปน็ เส้นสะท้อนแลว้ หมนุ ภาพทีไ่ ดจ้ าก การสะทอ้ นไปในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬกิ าดว้ ยมุมท่มี ีขนาด 180° โดยมีจดุ กาเนดิ ������������ C เปน็ จดุ หมนุ จะทาให้ภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมุนคร้ังทสี่ องเป็นภาพที่ไดจ้ าก การสะท้อนรปู ต้นแบบเดมิ โดยมเี สน้ สะทอ้ นตั้งฉากกับเส้นสะท้อนเสน้ เดมิ

ความสัมพนั ธ์ของการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมนุ พิจารณารปู ต่อไปน้ี A สามารถอธิบายความสมั พนั ธ์ของ ∆������ กับ ∆������ ได้ ดังนี้ ������������ (1) ∆������΄ เกดิ จากการสะทอ้ น ∆������ โดยมีเสน้ ตรง ������������ A΄ เป็นเส้นสะทอ้ น ซ่ึง ������������ // ������������ ������������ (2) ∆������ เกดิ จากการสะท้อน ∆������΄ โดยมเี ส้นตรง ������������ B เปน็ เสน้ สะทอ้ น จะพบวา่ ∆������ เปน็ ภาพทไี่ ด้จากการเล่อื นขนาน ∆������

ความสมั พนั ธ์ของการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุน พิจารณารูปต่อไปน้ี AA P สามารถอธบิ ายความสมั พันธ์ของ ∆������ กับ ∆������ ได้ ดงั น้ี ������������ (1) เมอ่ื ทาการสะท้อน 2 คร้งั โดยมีเส้นตรง ������������ และ ������������ A΄ เป็นเส้นสะท้อนจะได้รูป ∆������ ������������ BB (2) เม่ือทาการหาจุดหมนุ จากรปู ∆������ ไปยงั รูป ∆������ จะพบวา่ มี จุด P เป็นจดุ หมุน ซง่ึ หมนุ ด้วยมุมขนาด  องศา ในทิศทาง ทวนเข็มนาฬิกา

ความสมั พันธข์ องการเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมนุ จากทง้ั 2 ตัวอย่าง สามารถสรุปไดว้ ่า ������������ A A P ������������ A΄ A΄ ������������ B ������������ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะท้อนรูปตน้ แบบโดยมีเสน้ สะทอ้ นสองเสน้ ทข่ี นานกนั จะเป็นภาพที่ได้จากการเลอ่ื นขนานรปู ต้นแบบเดิม และภาพทไ่ี ด้จาก B การสะท้อนรูปต้นแบบโดยมีเส้นสะทอ้ นสองเสน้ ทีไ่ มข่ นานกัน จะเป็น ภาพทีไ่ ดจ้ ากการหมนุ รปู ต้นแบบเดิม

การนาสมบตั ิของการเลอ่ื นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ ไปใช้ในชีวติ จริง ภาพเทสเซลเลชัน นกั เรียนทราบไหมวา่ “ภาพเทสเซลเลชัน” คอื อะไร? เป็นการนารปู ตน้ แบบมาจดั เรยี งต่อกันโดยไมใ่ ห้เกิดช่องวา่ งและทกุ รูปตอ่ กนั ไดส้ นิทพอดี การสรา้ งภาพเทสเซลเลชนั อาจทาได้หลายรูปแบบ ในทน่ี ี้จะขอยกตวั อยา่ งไว้ ดังน้ี แบบที่ 1 แบบท่ี 2 แบบท่ี 3 แบบท่ี 4 แบบท่ี 5

การนาสมบตั ขิ องการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมนุ ไปใชใ้ นชีวิตจรงิ ภาพเทสเซลเลชนั แบบที่ 1 ภาพเทสเซลเลชนั ของรูปเหลยี่ มด้านเท่ามุมเท่า (regular tessellation) แบบของรูปนเี้ กิดจากการนารูปเหล่ยี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ แบบใดแบบหน่งึ เพยี ง แบบเดียว วางเรยี งต่อกนั ไปเรอ่ื ยๆ จนเตม็ พ้นื ท่ี

การนาสมบตั ขิ องการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุนไปใช้ในชีวติ จรงิ ภาพเทสเซลเลชัน แบบท่ี 2 ภาพเทสเซลเลชนั ของรูปเหลีย่ มมากกวา่ หนง่ึ แบบ

การนาสมบตั ขิ องการเลอื่ นขนาน การสะท้อน และการหมุนไปใชใ้ นชวี ิตจรงิ ภาพเทสเซลเลชัน แบบที่ 3 ภาพเทสเซลเลชันท่ีเกิดจากการหมนุ ของรูปเหลี่ยมดา้ นไม่เทา่ เพยี งแบบเดยี ว

การนาสมบตั ขิ องการเล่อื นขนาน การสะท้อน และการหมุนไปใชใ้ นชวี ิตจรงิ ภาพเทสเซลเลชนั แบบที่ 4 ภาพเทสเซลเลชันของรูปสเ่ี หล่ยี มโดยการเล่ือนขนาน

การนาสมบตั ขิ องการเลอื่ นขนาน การสะท้อน และการหมุนไปใชใ้ นชวี ิตจรงิ ภาพเทสเซลเลชัน แบบที่ 5 ภาพเทสเซลเลชันท่ีเกิดจากการหมนุ ของรูปเหลี่ยมดา้ นไม่เทา่ เพยี งแบบเดยี ว

การสอ่ งกระจกจึงจัดเป็นการสะท้อนภาพที่อย่ดู า้ นหน้า ของกระจกทาให้เราสามารถมองเห็นตัวเอง