พื้นที่ผิวและปริมาตร

3หน่วยการเรยี นรู้ท่ี พน้ื ทผ่ี ิวและปริมาตร ตวั ชว้ี ดั • ประยุกตใ์ ช้ความรเู้ รอ่ื งพ้นื ท่ผี วิ ของปริซึมและทรงกระบอกในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวติ จริง (ค 2.1 ม.2/1) • ประยุกต์ใช้ความร้เู รอ่ื งปรมิ าตรของปรซิ ึมและทรงกระบอกในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตรแ์ ละปัญหาในชวี ติ จรงิ (ค 2.1 ม.2/2)

สวัสดคี ะ่ คุณลกู คา้ วันน้รี บั อะไรดคี ะ ส่งั เคก้ ชอ็ กโกแลตขนาด 2 ปอนดค์ ะ่

เค้กกอ้ นนี้เป็นรูปทรงกระบอกทม่ี ีรัศมี 9.1 เซนติเมตร และ สูง 6.5 เซนติเมตร อยากทราบว่าพื้นท่ีผิวของ เค้กท่ีต้องเคลือบช็อกโกแลต โดยไม่เคลือบด้านล่าง ของเค้กมคี า่ เท่าใด

ควรรกู้ อ่ นเรยี น ความยาวรอบรปู และพน้ื ทข่ี องรปู เรขาคณติ 2 มิติ

ควรร้กู อ่ นเรียน รปู คล่ีของรปู เรขาคณิต 3 มติ ิ

ปรซิ มึ ความหมายและลักษณะของปรซิ มึ ปรซิ มึ (prism) เป็นรูปเรขาคณติ 3 มิติ หรอื ทรง 3 มติ ิท่ีมีฐานทง้ั สองดา้ น เป็นรปู หลายเหล่ียมที่เทา่ กนั ทกุ ประการและอยูบ่ นระนาบท่ีขนานกนั รวมถึงด้านข้างของแต่ละดา้ นเป็นรูปส่เี หล่ยี มดา้ นขนาน ปรซิ ึมตรง ปริซมึ ตรง ปริซึมเอยี ง ปรซิ ึมเอยี ง เป็นปริซึมท่มี ี เปน็ ปริซึมทมี่ ี ดา้ นขา้ งของ ดา้ นขา้ งแตล่ ะด้าน แตล่ ะด้าน ไมต่ ั้งฉากกับฐาน ตงั้ ฉากกับฐาน

ปรซิ มึ ความหมายและลกั ษณะของปรซิ มึ สว่ นประกอบของปรซิ ึม มีดงั นี้ ฐานหรอื หน้าตัด ด้านขา้ ง สว่ นสูง ฐานหรือหนา้ ตัด ปรซิ มึ ตรง ปรซิ มึ เอียง

ปรซิ มึ ความหมายและลกั ษณะของปรซิ ึม การเรียกชื่อของปริซมึ จะเรยี กตามลักษณะของรปู เหลี่ยมที่เปน็ ฐาน หรอื หน้าตัดหวั ท้ายของปริซึมน้ันๆ ปรซิ ึมสามเหลยี่ ม ปริซึมห้าเหลย่ี ม ปริซึมหกเหลี่ยม

ปริซึม พ้นื ที่ผิวของปริซมึ การหาพื้นท่ผี ิวของปริซมึ ทาไดโ้ ดยคลีป่ รซิ มึ ออกเป็นรปู เรขาคณิต 2 มติ ิ แลว้ คานวณหาพื้นท่ีของรูปเรขาคณิต 2 มติ แิ ตล่ ะรปู จากนั้นนาพื้นท่ีของ ทุกรปู รวมกนั จะได้พน้ื ทีผ่ วิ ของปรซิ ึมรปู นน้ั ๆ ปรซิ มึ สามเหล่ยี ม ปรซิ ึมสี่เหลย่ี ม ปริซึมสเี่ หลีย่ ม ปรซิ มึ หกเหล่ยี ม ผืนผา้ ดา้ นเท่ามุมเท่า มมุ ฉาก จตั รุ สั

ปริซึม พจิ ารณาปริซึมสามเหลี่ยมมมุ ฉาก จากรูปคลีข่ องปริซึมสามเหล่ยี มมมุ ฉาก พื้นท่รี ูปส่ีเหล่ยี มผนื ผ้ารูปท่ี 2 เท่ากับ ch จะได้ พน้ื ทห่ี น้าตดั หวั ทา้ ยเท่ากบั สองเท่าของพ้ืนท่ีรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก เนอ่ื งจาก 1 ac b a a bb ดงั น้ัน สองเทา่ ของพน้ื ท่ีรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก = 2 × 2 × a × b c พนื้ ท่หี นา้ ตัดหวั ท้าย = ab ตารางหนว่ ย เน่ืองจาก พน้ื ทร่ี ูปสี่เหลี่ยมผนื ผา้ เทา่ กบั ความกวา้ งคูณความยาว h 1 2 3h พ้ืนที่ผวิ ขา้ งเทา่ กบั พ้นื ทรี่ ูปสเี่ หลีย่ มผืนผ้ารปู ท่ี 1 รปู ท่ี 2 และ รูปท่ี 3 รวมกัน a c ดงั นน้ั พ้นื ท่ผี วิ ข้าง = ah + ch + bh a bb ความยาวเส้นรอบฐาน พ้นื ทรี่ ปู สเี่ หลีย่ มผืนผ้ารูปท่ี 1 เท่ากบั ah พ้ืนทผี่ ิวขา้ ง = (a + c + b) h ความสูงของปรซิ ึม พ้ืนท่รี ูปส่ีเหลี่ยมผืนผา้ รปู ที่ 3 เทา่ กับ bh จะได้ พ้นื ท่ีผิวขา้ งเท่ากับความยาวเสน้ รอบฐานคูณความสงู ตวั อยา่ ง ดงั นนั้ พื้นท่ผี วิ ของปริซึมสามเหลยี่ มมุมฉากเทา่ กบั พ้นื ทห่ี นา้ ตดั หัวท้ายรวมกับ พืน้ ทผ่ี ิวข้าง = ab + (a + b + c)h ตารางหนว่ ย

ปรซิ ึม พจิ ารณาปรซิ มึ ส่ีเหลย่ี มจัตรุ สั พืน้ ทีร่ ปู สี่เหล่ียมผนื ผ้ารูปท่ี 2 จากรูปคลข่ี องปริซึมสีเ่ หลยี่ มจัตรุ ัส จะได้ พืน้ ที่หน้าตัดหวั ท้ายเท่ากบั สองเทา่ ของพื้นท่รี ปู สเี่ หล่ียมจัตุรสั a aa aa h 1 2 34h พ้ืนทหี่ นา้ ตดั หัวทา้ ย = 2a2 ตารางหนว่ ย พ้ืนทผี่ วิ ข้าง = ah + ah + ah + ah ความยาวเสน้ รอบฐาน a พ้นื ทผี่ ิวขา้ ง = (a + a + a + a) × h = 4ah ตารางหนว่ ย พนื้ ท่รี ปู สเ่ี หลี่ยมผืนผา้ รปู ท่ี 1 พน้ื ท่ผี ิวข้าง = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง พื้นทีร่ ปู ส่ีเหลย่ี มผืนผ้ารปู ที่ 3 พน้ื ที่รูปสี่เหล่ยี มผนื ผ้ารูปท่ี 4 ดงั นัน้ พื้นทผี่ ิวของปริซมึ สเี่ หลี่ยมจตั ุรสั เทา่ กับพ้ืนทหี่ นา้ ตดั หัวท้ายรวมกับ พืน้ ท่ีผวิ ขา้ ง = 2a2 + 4ah ตารางหนว่ ย ตวั อยา่ ง

ปรซิ ึม พจิ ารณาปริซมึ ส่เี หล่ียมผืนผา้ พน้ื ทร่ี ปู สเ่ี หล่ียมผนื ผา้ รูปท่ี 2 จากรปู คลข่ี องปรซิ ึมสเี่ หล่ยี มผนื ผ้า ba จะได้ พ้นื ท่หี น้าตัดหัวท้ายเทา่ กับสองเทา่ ของพน้ื ท่รี ูปส่เี หลย่ี มผืนผา้ พ้ืนทห่ี นา้ ตัดหัวทา้ ย = 2ab ตารางหน่วย aba b พื้นที่ผิวขา้ ง = ah + bh + ah + bh ความยาวเสน้ รอบฐาน พ้ืนทีผ่ วิ ขา้ ง = (a + b + a + b) × h h 1 2 3 4h พ้นื ทีผ่ ิวข้าง = (2a + 2b)h ตารางหน่วย b = ความยาวเสน้ รอบฐาน × ความสงู a ดังน้ัน พนื้ ท่ผี วิ ของปริซึมสี่เหล่ียมผนื ผ้าเทา่ กับพ้นื ท่ีหน้าตดั หัวท้ายรวมกบั พ้นื ท่รี ปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ รูปท่ี 1 พนื้ ท่ีผวิ ขา้ ง = 2ab + (2a + 2b)h ตารางหน่วย พน้ื ทร่ี ูปสี่เหล่ียมผนื ผา้ รปู ท่ี 3 พน้ื ทรี่ ปู สเี่ หลี่ยมผนื ผา้ รปู ที่ 4 ตัวอยา่ ง

ปรซิ มึ พจิ ารณาปริซึมหกเหลยี่ มดา้ นเท่ามมุ เทา่ พ้ืนทรี่ ูปสเี่ หลีย่ มผนื ผา้ รูปที่ 2 จากรปู คล่ขี องปรซิ ึมหกเหลย่ี มดา้ นเท่ามุมเท่า a aa a a a a จะได้ พน้ื ทห่ี น้าตดั หัวท้ายเท่ากบั สองเทา่ ของพื้นทร่ี ปู หกเหลย่ี มดา้ นเทา่ มุมเท่า h 1 2 3 4 5 6h พนื้ ทหี่ นา้ ตัดหัวท้าย =2× 33 × a2 2 = 3 3a2 ตารางหน่วย พน้ื ทีผ่ วิ ข้าง = ah + ah + ah + ah + ah + ah ความยาวเสน้ รอบฐาน พน้ื ทผ่ี ิวขา้ ง = (a + a + a + a + a + a) × h = 6ah ตารางหนว่ ย พนื้ ทร่ี ปู สเ่ี หลี่ยมผนื ผ้ารูปท่ี 1 พ้นื ทผ่ี ิวข้าง = ความยาวเสน้ รอบฐาน × ความสงู พ้ืนท่ีรปู ส่เี หลยี่ มผืนผ้ารปู ที่ 3 ดังนนั้ พน้ื ทผี่ ิวของปริซึมหกเหลี่ยมดา้ นเท่ามมุ เท่าเทา่ กบั พื้นท่ีหนา้ ตดั หวั ทา้ ย พื้นทร่ี ปู สเี่ หลี่ยมผืนผ้ารปู ที่ 4 รวมกบั พื้นท่ผี ิวขา้ ง = 3 3a2 + 6ah ตารางหนว่ ย พน้ื ท่ีรูปส่เี หลยี่ มผืนผ้ารูปที่ 5 พน้ื ทรี่ ูปส่เี หล่ียมผนื ผ้ารูปท่ี 6 ตัวอยา่ ง

ปรซิ มึ พนื้ ทีผ่ วิ ของปรซิ ึม ตวั อย่าง จงหาพนื้ ทผ่ี ิวของปรซิ ึมสามเหลย่ี มมมุ ฉากท่มี ีด้านประกอบมมุ ฉากยาว 5 นวิ้ และ 12 นวิ้ เมอื่ ปริซึมแท่งนีม้ ีความสูง 20 นวิ้ วธิ ที า จากโจทย์ พื้นที่ผิวของปริซึมประกอบดว้ ย พื้นทฐ่ี านซึง่ เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก 2 รปู และพ้ืนทผี่ ิวข้าง จะได้ 1 5 12 พ้ืนทฐ่ี าน = 2 × 5 × 12 20 = 30 ตารางน้ิว จากฐานเป็นรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก หาความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก (x) โดยใชท้ ฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได้ x2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 x = 13

ปรซิ ึม พน้ื ที่ผวิ ของปรซิ ึม ตวั อยา่ ง จงหาพืน้ ท่ผี ิวของปรซิ มึ สามเหลยี่ มมุมฉากที่มีดา้ นประกอบมมุ ฉากยาว 5 น้ิว และ 12 น้ิว ปรซิ ึม เมือ่ ปรซิ ึมแทง่ น้มี คี วามสูง 20 นิ้ว 5 12 วธิ ที า เนอ่ื งจาก พืน้ ทีผ่ ิวข้าง = ความยาวเสน้ รอบฐาน × ความสูง พน้ื ที่ผิวข้าง = (15 + 12 + 13) × 20 = 30 × 20 20 = 600 เน่อื งจาก พนื้ ท่ผี ิวของปรซิ มึ = พ้นื ทผ่ี วิ ข้าง + 2(พื้นที่ฐาน) = 600 + 2(30) = 600 + 60 = 660 ตารางน้ิว ดงั นัน้ พื้นทผ่ี วิ ของปรซิ มึ สามเหล่ยี มมุมฉากเท่ากับ 660 ตารางนว้ิ ปริซมึ สามเหล่ยี มมมุ ฉาก

ปรซิ มึ พ้นื ทผ่ี วิ ของปริซึม ตวั อยา่ ง จงหาพื้นท่ผี วิ ของปรซิ มึ สเี่ หลยี่ มจตั ุรัสทม่ี ดี ้านแต่ละด้านยาว 10 เซนติเมตร เม่ือปรซิ มึ แทง่ นมี้ ีความสูง 25 เซนติเมตร 10 10 วิธีทา จากโจทย์ พ้นื ทผี่ วิ ของปริซึมประกอบด้วย พ้นื ทฐ่ี านซง่ึ เป็นรปู สี่เหล่ยี มจัตรุ สั 2 รปู และพืน้ ท่ผี ิวขา้ ง เน่อื งจาก พน้ื ทผี่ ิวของปริซมึ = (ความยาวเสน้ รอบฐาน × ความสงู ) + 2(พืน้ ทฐี่ าน) = [(10 + 10 + 10 + 10) × 25] + 2(10 × 10) = (40 × 25) + 2(100) 25 = 1,200 ตารางเซนตเิ มตร ดงั นั้น พ้ืนทผี่ ิวของปริซมึ ส่เี หลีย่ มจัตุรัสเทา่ กับ 1,200 ตารางเซนติเมตร ปรซิ มึ ส่เี หลย่ี มจตั ุรัส ปรซิ มึ

ปริซมึ พ้ืนท่ผี ิวของปริซมึ ตวั อยา่ ง จงหาพื้นที่ผวิ ของปรซิ ึมสเ่ี หล่ยี มผืนผ้าที่มคี วามกว้าง 4 นิว้ และความยาว 6.6 นิ้ว เมอ่ื ปริซมึ แทง่ นมี้ คี วามสูง 15 น้ิว 6.6 4 วิธที า จากโจทย์ พน้ื ทผี่ ิวของปริซมึ ประกอบดว้ ย พ้นื ท่ีฐานซึง่ เป็นรปู สีเ่ หล่ยี มผนื ผ้า 2 รปู และพืน้ ท่ผี ิวข้าง เนื่องจาก พืน้ ท่ีผิวของปรซิ มึ = (ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง) + 2(พนื้ ที่ฐาน) = [(4 + 4 + 6.6 + 6.6) × 15] + 2(4 × 6.6) 15 = (21.2 × 15) + 2(26.4) = 370.8 ตารางน้วิ ดังน้ัน พื้นท่ผี วิ ของปริซึมสีเ่ หลี่ยมผืนผา้ เทา่ กับ 370.8 ตารางนวิ้ ปรซิ มึ สเ่ี หล่ยี มผืนผา้ ปรซิ ึม

ปริซมึ พนื้ ท่ผี วิ ของปริซึม ตวั อยา่ ง จงหาพ้นื ท่ผี วิ ของปรซิ มึ หกเหลยี่ มด้านเทา่ มุมเทา่ ท่มี ีด้านแต่ละด้านยาว 12 เซนตเิ มตร เม่ือปริซมึ แทง่ นม้ี คี วามสูง 25 เซนติเมตร 12 วธิ ที า จากโจทย์ พ้นื ท่ีผิวของปรซิ ึมประกอบด้วย พื้นทฐ่ี านซ่ึงเปน็ รูปหกเหลย่ี มด้านเท่ามมุ เท่า 2 รูปและพืน้ ทผี่ วิ ข้าง เน่อื งจาก พ้นื ท่ผี วิ ของปริซึม = (ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง) + 2(พ้นื ทฐี่ าน) 33 = [(12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12) × 25] + 2 2 × 122 25 = [(6 × 12) × 25] + (3 3 × 144) = 1,800 + 432 3 ตารางเซนตเิ มตร ดังนัน้ พ้นื ทผ่ี ิวของปริซมึ หกเหลยี่ มดา้ นเทา่ มุมเทา่ เท่ากับ 1,800 + 432 3 ตารางเซนตเิ มตร ปริซึมหกเหลีย่ มด้านเทา่ มมุ เท่า

ปรซิ ึม ปรมิ าตรของปริซมึ : ปรซิ ึมสเี่ หล่ียมมุมฉาก ปรมิ าตรของทรงลกู บาศกแ์ ละ ปริมาตรของทรงสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉากทม่ี ี 1 ความยาวดา้ นละ 1 เซนตเิ มตร จะมคี า่ เท่ากบั 1 × 1 × 1 = 1 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร 11

ปริซึม พจิ ารณาทรงสเี่ หลยี่ มมมุ ฉาก ปริมาตรของทรงสเี่ หล่ียมมุมฉาก = (a × b) × h ลกู บาศก์หนว่ ย หรอื ปรมิ าตรทรงสีเ่ หลย่ี มมุมฉาก = พืน้ ที่ฐาน × ความสูง h ซ่งึ ทรงสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉากนี้ คือ ปริซึมสี่เหลย่ี มมุมฉาก ดังนน้ั ปริมาตรของปรซิ ึมสเ่ี หล่ียมมมุ ฉาก = พืน้ ท่ฐี าน × ความสงู ของปรซิ ึม V=A×h b เมอื่ V แทน ปรมิ าตรของปรซิ ึม a A แทน พน้ื ที่ฐานของปรซิ มึ และ h แทน ความสงู ของปริซมึ

ปรซิ มึ ปรมิ าตรของปรซิ ึม : ปริซึมสเ่ี หลีย่ มมุมฉาก ตวั อยา่ ง จงหาปรมิ าตรของปรซิ มึ ส่เี หลี่ยมมุมฉากทีม่ หี นา้ ตัดเปน็ รปู สีเ่ หล่ียมผืนผ้ามีความกวา้ ง 5 เซนติเมตร ความยาว 12 เซนตเิ มตร และปริซึมแท่งน้มี ีความยาว 25 เซนติเมตร วธิ ีทา เนอ่ื งจาก ฐานของปริซมึ เป็นรูปสเ่ี หลีย่ มผืนผา้ และ พน้ื ที่ฐาน = ความกว้าง × ความยาว จะได้ พ้ืนท่ีฐาน = 5 × 12 = 60 ตารางเซนตเิ มตร 12 เนอื่ งจาก ปริมาตรของปรซิ ึม = พื้นท่ีฐาน × ความสงู ของปรซิ มึ 5 25 จะได้ ปริมาตรของปรซิ ึม = 60 × 25 = 1,500 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร ดังน้นั ปรมิ าตรของปรซิ ึมสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากที่มีหน้าตัดเปน็ รปู ส่ีเหลยี่ มผืนผ้าเทา่ กับ 1,500 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

ปรซิ ึม ปรมิ าตรของปริซมึ : ปริซึมสามเหลย่ี มมมุ ฉาก h ถ้าตดั ทรงส่เี หล่ยี มมมุ ฉากตามแนวเสน้ ทแยงมุม b ของหน้าตดั จะไดป้ ริซมึ สามเหลี่ยมมุมฉาก สองแทง่ ทมี่ ขี นาดเทา่ กัน a

ปรซิ ึม ปรมิ าตรของปริซึม : ปรซิ ึมสามเหลย่ี มมุมฉาก ปริมาตรของปริซึมสามเหล่ียมมมุ ฉาก = 1 ของปริมาตรของปริซมึ ส่เี หลยี่ มมมุ ฉาก 2 h 1 = 2 × (ความกว้าง × ความยาว × ความสงู ) = 1 × ความกวา้ ง × ความยาว × ความสงู 2 b 1 a = 2 × a × b ×h = พ้นื ท่ีของรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก × h ดงั นัน้ ปรมิ าตรของปรซิ มึ สามเหลีย่ มมมุ ฉาก = พน้ื ทขี่ องรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก × ความสูง

ปรซิ ึม ปริมาตรของปริซมึ : ปรซิ มึ สามเหล่ยี มมุมฉาก ตวั อยา่ ง จงหาพน้ื ท่ผี วิ ของปริซึมสามเหลีย่ มมมุ ฉากที่มหี นา้ ตัดเปน็ รูปสามเหล่ียมหน้าจ่วั มฐี านยาว 6 เซนตเิ มตร ความสงู 3 เซนตเิ มตร และปรซิ ึมแทง่ น้มี ีความยาว 15 เซนตเิ มตร วธิ ที า เนอื่ งจาก ฐานของปริซึมเปน็ รูปสามเหลย่ี มหนา้ จวั่ และ พน้ื ทฐี่ าน = 1 × ความยาวฐาน × ความสงู 2 1 จะได้ พนื้ ท่ฐี าน = 2 × 6 × 3 =9 15 เนื่องจาก ปริมาตรของปริซึม = พ้นื ท่ฐี าน × ความสูงของปริซึม 3 จะได้ ปริมาตรของปรซิ มึ = 9 × 15 = 135 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร 6 ดงั นน้ั ปริมาตรของปริซมึ เทา่ กบั 135 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ปรซิ มึ ปรมิ าตรของปรซิ มึ : ปริซมึ สามเหลยี่ มมมุ ฉาก สามารถหาปรมิ าตรของปริซมึ ท่ีมฐี านเป็นรูปสามเหลย่ี มใดๆ ไดโ้ ดยแบ่งปริซมึ ออกเปน็ ปริซึมสามเหลย่ี มมุมฉากสองแทง่ B BB A D C A DD C

ปริซึม การนาความรเู้ กยี่ วกบั พ้นื ทีผ่ ิวและปริมาตรของปริซึมไปใชใ้ นชวี ติ จริง ในหอ้ งน้มี ีปริซมึ แบบต่างๆ อยตู่ รงไหนบา้ งนะ

ปรซิ ึม การนาความรเู้ ก่ียวกบั พ้นื ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ ไปใชใ้ นชวี ติ จรงิ ตวั อย่าง ไมโลนากระดาษสฟี า้ มาห่อกล่องของขวญั ใหก้ ับลโี อ โดยกลอ่ งของขวัญมลี ักษณะเปน็ ปรซิ มึ ส่เี หล่ยี มผนื ผา้ ซึง่ มคี วามกวา้ ง 20 เซนตเิ มตร ความยาว 35 เซนตเิ มตร และกล่องของขวญั สงู 14 เซนตเิ มตร จงหาวา่ ไมโลต้องใช้กระดาษสฟี ้าห่อกล่องของขวญั อย่างน้อยเทา่ ใด วธิ ีทา จากโจทย์ ฐานเป็นรปู ส่ีเหลี่ยมผืนผ้ามีความกว้าง 20 เซนตเิ มตร ความยาว 35 เซนตเิ มตร เนื่องจาก พื้นทีฐ่ าน = ความกว้าง × ความยาว จะได้ พ้นื ทฐี่ าน = 20 × 35 = 700 ตารางเซนติเมตร เนื่องจาก พ้ืนท่ผี ิวขา้ ง = ความยาวเสน้ รอบฐาน × ความสูง จะได้ พืน้ ที่ผวิ ข้าง = (35 + 35 + 20 + 20) × 14 = 1,540 ตารางเซนตเิ มตร ดงั นน้ั ไมโลต้องใชก้ ระดาษสีฟา้ ห่อกล่องอยา่ งน้อย 1,540 ตารางเซนติเมตร

ปรซิ มึ การนาความรู้เกย่ี วกบั พ้นื ท่ผี ิวและปริมาตรของปรซิ มึ ไปใชใ้ นชวี ิตจริง ตัวอย่าง เจนตอ้ งการซื้อตู้เย็นไวท้ ร่ี ้าน เจนได้ศึกษามาแลว้ วา่ ขนาดท่เี หมาะสมกับการใชง้ านคอื 15 ควิ ขนึ้ ไป ถ้าตู้เยน็ ตู้ท่ี 1 มีความกวา้ ง 1.8 ฟตุ ความลกึ 1.5 ฟตุ และสงู 6 ฟตุ และตูเ้ ยน็ ตทู้ ่ี 2 มีความกวา้ ง 1.6 ฟุต ความลึก 1.5 ฟุต และความสูง 5.5 ฟุต เจนควรเลอื กตเู้ ย็นตูใ้ ดจงึ จะเหมาะสมกับการใช้งาน คิว คือ หน่วยวัดความจุของตู้เย็นซ่ึงมาจากคาว่า คิวบิกฟุต หรือลูกบาศก์ฟุต ขนาดของตู้เย็นคานวณ วธิ ีทา ต้เู ยน็ มีลักษณะเป็นปริซึมสี่เหลย่ี มผืนผา้ หาปรมิ าตรของตเู้ ย็นตทู้ ี่ 1 จากความจขุ องเนื้อท่ีภายในตู้เย็นโดยวัดความกว้าง เนอื่ งจาก ฐานของปรซิ ึมเปน็ รูปส่เี หลี่ยมผืนผ้า ความลกึ และความสูงภายในตู้เย็น ใช้หน่วยเป็นฟุต แล้วนามาคณู กนั จะได้ พ้ืนทีฐ่ าน = ความกวา้ ง × ความยาว พน้ื ทฐ่ี าน = 1.8 × 1.5 = 2.7 ตารางฟุต ในทนี่ ี้ คอื ความลกึ จาก ปริมาตรของปรซิ มึ = พน้ื ทฐ่ี าน × ความสงู ของปริซมึ ตู้ท่ี 1 จะได้ = 2.7 × 6 = 16.2 ลูกบาศก์ฟุต ดังน้ัน ตเู้ ยน็ ตทู้ ่ี 1 มีปรมิ าตร 16.2 ลกู บาศกฟ์ ตุ หรอื 16.2 คิว

ปรซิ มึ การนาความรู้เก่ียวกบั พ้ืนทผ่ี ิวและปริมาตรของปริซึมไปใชใ้ นชวี ติ จริง ตัวอยา่ ง เจนตอ้ งการซ้ือตู้เยน็ ไวท้ ี่รา้ น เจนไดศ้ ึกษามาแลว้ วา่ ขนาดท่ีเหมาะสมกับการใชง้ านคือ 15 ควิ ข้ึนไป ถา้ ตเู้ ย็นต้ทู ี่ 1 มีความกวา้ ง 1.8 ฟตุ ความลึก 1.5 ฟตุ และสูง 6 ฟตุ และตเู้ ย็นต้ทู ่ี 2 มคี วามกว้าง 1.6 ฟุต ความลกึ 1.5 ฟตุ และความสูง 5.5 ฟตุ เจนควรเลือกตเู้ ยน็ ตู้ใดจงึ จะเหมาะสมกบั การใช้งาน วธิ ีทา หาปรมิ าตรของตเู้ ยน็ ตู้ท่ี 2 จะได้ พนื้ ท่ฐี าน = 1.6 × 1.5 = 2.4 ตารางฟตุ จาก ปรมิ าตรของปรซิ ึม = พื้นท่ฐี าน × ความสงู ของปรซิ มึ ตู้ท่ี 2 จะได้ = 2.4 × 5.5 = 13.2 ลกู บาศกฟ์ ุต ดังนั้น ตู้เยน็ ตทู้ ่ี 2 มีปรมิ าตร 13.2 ลูกบาศก์ฟตุ หรอื 13.2 คิว สรุปไดว้ ่า เจนควรเลอื กต้เู ยน็ ตทู้ ่ี 1 จงึ จะเหมาะสมกับการใชง้ านมากทสี่ ุด

ทรงกระบอก ความหมายและลกั ษณะของทรงกระบอก ทรงกระบอก (cylinder) เปน็ รปู เรขาคณิตสามมติ ิ หรอื ทรงสามมติ ทิ ี่มฐี าน ทั้งสองรปู เป็นวงกลมทเี่ ทา่ กันทกุ ประการและอยใู่ นระนาบทขี่ นานกนั เม่ือตัดด้วยระนาบทีข่ นานกับฐานแล้ว หนา้ ตดั ท่ไี ด้จะเป็นวงกลมที่เทา่ กนั ทุกประการกบั ฐานเสมอ ทรงกระบอกตรง ทรงกระบอกตรง ทรงกระบอกเอยี ง ทรงกระบอกเอยี ง เปน็ รปู เรขาคณิตสามมิติท่ี เป็นรูปเรขาคณิตสาม มี ห น้ า ตั ด ห รื อ ฐ า น เ ป็ น มิติท่ีมีหน้าตัดหรือฐาน ว ง ก ล ม ท่ี เ ท่ า กั น ทุ ก เ ป็ น ว ง ก ล ม ท่ี เ ท่ า กั น ประการ และอยู่ในระนาบ ทุกประการและอยู่ใน ท่ีข นา นกัน โดย ท่ีฐา น ระนาบท่ีขนานกัน แต่ แต่ละข้างตั้งฉากกับแกน ฐานไม่ตั้งฉากกับแกน ของทรงกระบอก ของทรงกระบอก

ทรงกระบอก ความหมายและลักษณะของทรงกระบอก ส่วนประกอบของทรงกระบอก มดี ังนี้ ฐานหรือหนา้ ตดั แกน ส่วนสงู ฐานหรือหนา้ ตัด ทรงกระบอกตรง ทรงกระบอกเอยี ง

ทรงกระบอก พนื้ ท่ผี วิ ของทรงกระบอก การหาพื้นที่ผวิ ของทรงกระบอก โดยการคล่รี ูปเรขาคณติ สามมติ ิออกเปน็ รปู เรขาคณติ สองมติ ิ และคานวณหาพ้นื ท่ีของรปู เรขาคณติ สองมิติแตล่ ะรูปนัน้ แล้วนาพนื้ ทขี่ องทกุ รูปรวมกนั เป็นพื้นทผ่ี ิวของทรงกระบอก 2πr hh

ปริซึม พน้ื ทผี่ วิ ของทรงกระบอก ตัวอยา่ ง จงหาพื้นท่ีผิวของทรงกระบอกทม่ี เี ส้นผ่านศนู ยก์ ลางของฐานเท่ากับ 8 เซนตเิ มตร และสงู 10 เซนตเิ มตร 22 (กาหนดให้ π ≈ 7 ) วธิ ีทา เนื่องจาก รัศมีเทา่ กบั 1 ของเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง ดงั นัน้ 2 1 รศั มี = 2 × 8 = 4 เซนตเิ มตร เนื่องจาก พ้นื ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh 10 cm จะได้ พนื้ ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก ≈ 2 22 42 +2 22 (4)(10) 7 7 ≈ 100.57 + 251.43 = 352 ตารางเซนติเมตร 8 cm ดังนนั้ พ้ืนท่ีผิวของทรงกระบอกประมาณ 352 ตารางเซนติเมตร

ทรงกระบอก จากคาถามในขา้ งตน้ เราสามารถหาคาตอบได้ ดงั น้ี เค้กกอ้ นนีเ้ ป็นรูปทรงกระบอกมรี ศั มี 9.1 เซนติเมตร สงู 6.5 เซนตเิ มตร อยากทราบว่าพ้ืนทผ่ี วิ ของเค้กทต่ี ้องเคลือบชอ็ กโกแลตโดยไม่เคลอื บด้านล่างของเคก้ มีค่าเทา่ ใด (กาหนด π ≈ 272) วธิ ีทา เน่ืองจาก ไมต่ ้องเคลือบชอ็ กโกแลตทีด่ ้านลา่ งของเค้ก จะได้ พื้นท่ผี ิวของทรงกระบอก = πr2+ 2πrh r = 9.1 ซม. จะได้ พน้ื ทผี่ ิวของทรงกระบอก = (π  9.1  9.1) + (2  π  9.1  6.5) 6.5 ซม. = 82.81π + 118.3π = 201.11π 22 7 ≈ 201.11  ≈ 632.06 ตารางเซนตเิ มตร ดังน้ัน พน้ื ท่ีผิวของเคก้ ท่ตี อ้ งเคลือบช็อกโกแลตประมาณ 632.06 ตารางเซนติเมตร

ทรงกระบอก ปรมิ าตรของทรงกระบอก นกั เรยี นทราบมาแล้ววา่ ปรมิ าตรของปรซิ ึมหาไดจ้ ากสูตร ปริมาตรของปริซึม = พื้นทฐ่ี าน × ความสงู เราจะหาปริมาตรของทรงกระบอกได้จากการพิจารณารปู หลายเหลีย่ ม ด้านเท่ามุมเท่าในวงกลม และวงกลมทกุ วงมรี ศั มีเทา่ กันกบั พื้นทสี่ ว่ นทแ่ี รเงา รปู หา้ เหลย่ี ม รูปหกเหล่ียม รูปเจ็ดเหล่ยี ม รูปแปดเหลยี่ ม รปู เกา้ เหลี่ยม รูปสบิ เหลยี่ ม

ทรงกระบอก ปรมิ าตรของทรงกระบอก จากภาพเราสรุปได้วา่ “ถา้ จานวนเหลี่ยมของรปู หลายเหลยี่ มดา้ นเทา่ มุมเท่าในวงกลมเพ่มิ ขึ้น เร่ือยๆ จนพืน้ ท่ีสว่ นทแ่ี รงเงามพี นื้ ท่นี ้อยลงและไม่สามารถนับจานวน เหลยี่ มได้ รูปที่ได้จะเปน็ รูปวงกลม” จงึ ใชแ้ นวคิดนี้เพอื่ หาปรมิ าตรของทรงกระบอก โดยใชส้ ูตร ปริมาตรของทรงกระบอก = พนื้ ท่ีฐาน × ความสูง หรือ V = πr2h เม่อื V แทน ปริมาตรของทรงกระบอก r แทน รัศมีของฐาน h แทน ความสูงของทรงกระบอก

ทรงกระบอก เพือ่ ความเขา้ ใจย่งิ ขึ้น เราไปดวู ิดีโอตัวอยา่ งกัน ปรมิ าตรของทรงกระบอก หรอื https://youtu.be/X1emnp3Pkns

VDO

ปริซมึ ปริมาตรของทรงกระบอก ตัวอย่าง จงหาพื้นทข่ี องทรงกระบอกทม่ี เี ส้นผ่านศูนย์กลางของฐานเทา่ กับ 5 เซนตเิ มตร และสงู 14 เซนติเมตร (กาหนดให้ π ≈ 272) วธิ ที า 1 เน่อื งจาก รัศมีเท่ากบั 2 ของเส้นผ่านศูนยก์ ลาง ดังนนั้ รศั มี = 5 เซนติเมตร 2 เน่ืองจาก ปรมิ าตรของทรงกระบอก = πr2h 5 ซม. จะได้ พ้นื ท่ีผิวของทรงกระบอก ≈ 22  5 2 14 ซม. 7 2  14 = 275 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร ดังนน้ั ปริมาตรของทรงกระบอกประมาณ 275 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

ทรงกระบอก การนาความรู้เกยี่ วกบั พน้ื ทผี่ วิ และปรมิ าตรของทรงกระบอกไปใชใ้ นชวี ติ จริง รอสักครู่นะคะ มารบั เค้กชอ็ กโกแลตทีส่ งั่ ไวค้ ่ะ ชว่ ยกันหาว่าสิ่งของในภาพน้มี ีอะไรเปน็ ทรงกระบอกบา้ ง

ปรซิ ึม การนาความรเู้ กยี่ วกบั พื้นทีผ่ วิ และปรมิ าตรของทรงกระบอกไปใชใ้ นชวี ติ จรงิ ตวั อย่าง เจนต้องการติดฉลากซ่งึ เป็นสตกิ เกอร์ท่ดี า้ นขา้ งกระปุกคกุ ก้ีทรงกระบอกทมี่ ีรัศมีของฐานยาว 7 เซนตเิ มตร และสงู 15 เซนติเมตร จานวน 200 กระปุก อยากทราบว่าเจนตอ้ งใชส้ ติกเกอร์คิดเปน็ พ้นื ท่อี ย่างนอ้ ยประมาณเท่าใด (กาหนด π ≈ 272) วิธีทา เนือ่ งจาก ตดิ ฉลากท่ีดา้ นข้างกระปกุ จะได้ สตกิ เกอร์ท่ใี ชต้ ดิ ดา้ นขา้ ง 1 กระปกุ = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง = 2πr  h 22 ≈2 7 (7)  15 15 ซม. = 660 ตารางเซนติเมตร ถา้ ติดฉลากจานวน 200 กระปกุ ≈ 660 × 200 7 ซม. = 132,000 ตารางเซนตเิ มตร ดงั น้นั เจนตอ้ งใช้สติกเกอร์คิดเป็นพ้ืนที่อย่างน้อยประมาณ 132,000 ตารางเซนติเมตร

ปรซิ ึม การนาความรูเ้ ก่ียวกับพน้ื ที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอกไปใชใ้ นชวี ติ จริง ตัวอยา่ ง กระป๋องน้าอัดลมมีลักษณะเปน็ ทรงกระบอก วดั เสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางภายในกระปอ๋ งได้ 7 เซนติเมตร และสงู 14 เซนติเมตร อยากทราบว่ากระป๋องน้าอดั ลมนม้ี คี วามจุเท่าใด (กาหนด π ≈ 272) วธิ ีทา กระปอ๋ งนา้ อดั ลมมีรศั มยี าว 7 เซนติเมตร 2 เนื่องจาก ปรมิ าตรของทรงกระบอก =πr2h 14 ซม. ≈ 22 7 2 7 ซม. 7 2 (14) ≈ 539 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร ดงั น้ัน กระปอ๋ งนา้ อดั ลมนม้ี ีความจปุ ระมาณ 539 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

เคก้ ช็อกโกแลตได้แล้วค่ะ ขอบคุณคะ่ จะจดั ใสก่ ลอ่ งใหน้ ะคะ