ความเท่ากันทุกประการ

หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 3 คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 4 หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 5 หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 6 Slide PowerPoint_ส่ือประกอบการสอน บรษิ ทั อกั ษรเจริญทศั น์ อจท. จำกัด : 142 ถนนตะนำว เขตพระนคร กรุงเทพฯ 10200 Aksorn CharoenTat ACT.Co.,Ltd : 142 Tanao Rd. Pranakorn Bangkok 10200 Thailand โทรศพั ท์ : 02 622 2999 โทรสำร : 02 622 1311-8 [email protected] / www.aksorn.com

5หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี ความเท่ากันทุกประการ ตวั ช้ีวัด • เขำ้ ใจและและใชส้ มบัติของรปู สำมเหลย่ี มที่เท่ำกันทุกประกำร ในกำรแกป้ ญั หำคณิตศำสตร์และปัญหำในชีวติ จริง (ค 2.2 ม.2/4)

ควรรกู้ ่อนเรยี น มุมตรงขา้ ม มุมตรงข้าม คอื มุม 2 มมุ ท่มี ีขนาดเท่ากนั และเกดิ จากเสน้ ตรง 2 เส้นตดั กัน 1Ƹ = 3Ƹ 2Ƹ = 4Ƹ

ควรรกู้ อ่ นเรียน รปู สามเหลี่ยม รูปสามเหลยี่ มดา้ นเทา่ • ด้านทุกดา้ นยาวเท่ากัน • มมุ ทกุ มมุ มขี นาด 60๐ เทา่ กนั

ควรรกู้ อ่ นเรียน รปู สามเหลี่ยม รปู สามเหลยี่ มหนา้ จั่ว • ดา้ นยาวเท่ากนั สองด้าน • มมุ ทฐ่ี านมีขนาดเทา่ กนั

ควรรกู้ อ่ นเรียน รปู สามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก • มมุ ภายในมมุ หนึง่ เป็นมมุ ฉาก • ด้านตรงขา้ มมมุ ฉากเปน็ ดา้ นที่ยาวท่สี ดุ

ควรรู้ก่อนเรียน การแปลงทางเรขาคณติ การเล่อื นขนาน

ควรรู้กอ่ นเรยี น การแปลงทางเรขาคณิต การสะทอ้ น

ควรรกู้ ่อนเรียน การแปลงทางเรขาคณิต การหมุน จุดหมนุ

ความเทา่ กันทกุ ประการของรูปเรขาคณิต ความเท่ากนั ทกุ ประการของสว่ นของเสน้ ตรง A B จะเหน็ วสา่สม่วบAไนഥดตัBข้สิ อสนงาิทเมพสา้อนรดถตีเรลงอ่ื สนอขงนเาสน้นไปทับ CഥD น่นั คอื AเBท่า=กัCนDทุกประการ ก็ต่อเม่ือ กล่าวไดว้ สา่ ่วนAഥขBอเงทเสา่ ้นกตันรทงกุสปองรเะสก้นานรั้นกบั CഥD C D เขยี นแทมนีคดวว้ ายมสยญัาวลเทักา่ ษกณนั ์ AഥB ≅ CഥD

ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรูปเรขาคณิต ความเทา่ กันทกุ ประการของมุม จากรูป AB ตัดกับ CD จะเหน็ วส่ามบAัตOොิ D = COොB และ AOොC = DOොB กล่าวไดมว้ ุมา่ สAอOงොมDุมเเทท่าา่ กกันนั ททุกกุปประรกะากรารกบั COොB และ กต็ อ่ AเมOො่ือCมมุ เททงั้า่ สกอันงมทมุ กุ นปัน้ ระการกบั DOොB เขียนแทมนีขนดา้วดยเสทญั่ากลันักษณ์ AOොD ≅ COොB และ AOොC ≅ DOොB

ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิต ความเทา่ กันทกุ ประการของรปู เรขาคณิต จะเห็นว่า รูป A สามารถเล่ือนขนานไปทบั AB บทนยิ ามรูป B ไดส้ นทิ พอดี กลา่ รวูปไดเรว้ ขา่ าครณปู ิตAสอเงทราู่ปกเทนั ่าทกกุันปทุกรปะกระากรากรบั รูป B เขียนกแ็ตท่อนเดมื่ว้อยสเคญั ลล่ือักนษทณี่ร์ ูรปปู หนAึ่ง≅ไปรทปูับ B อีกรูปหนง่ึ ได้สนิท

ความเท่ากนั ทุกประการของรูปเรขาคณิต สมบัตขิ องความเท่ากนั ทกุ ประการของรปู เรขาคณิต สมบตั ิ ถ้ารูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้วรูปเรขาคณิตทั้งสองรูปนั้นมีรูปร่างเหมือนกัน และขนาดเท่ากัน ในทางกลับกัน ถ้ารูปเรขาคณิตสองรูปมีรูปร่างเหมือนกันและมีขนาดเท่ากัน แล้วรปู เรขาคณิตท้ังสองรูปนนั้ เทา่ กันทกุ ประการ สมบัติ กาหนดให้ A, B และ C เปน็ รูปเรขาคณติ ใด ๆ สมบัติการสะท้อน : รปู A  รปู A สมบตั สิ มมาตร : ถ้ารปู A  รูป B แล้วรปู B  รูป A สมบตั ถิ ่ายทอด : ถา้ รูป A  รปู B และรูป B  รปู C แลว้ รูป A  รูป C

ความเท่ากันทกุ ประการของรปู สามเหลีย่ ม พิจารณารูปสามเหล่ยี มสองรปู ตอ่ ไปน้ี เมอ่ื ∆ABC ≅ ∆DEF CF A BE D

ความเท่ากนั ทุกประการของรูปสามเหลี่ยม F เราจะหาดา้ นคทู่ สี่ มนยั กนั และมุมคู่ท่สี มนัยกนั ได้อย่างไร C A BE D

ความเท่ากนั ทกุ ประการของรูปสามเหลีย่ ม จะเหน็ วา่ เมื่อพลิก ∆ABC โดยมเี สน้ ตรง L เปน็ เส้นสะทอ้ น C รปู ท่ีเกิดจากการสะท้อนจะเหมือนกบั ∆DEF C A BB A L

ความเท่ากนั ทกุ ประการของรปู สามเหล่ยี ม C เนื่องจาก ∆ABC ≅ ∆DEF พจิ ารณาดา้ นคทู่ ี่สมนัยกนั และมมุ คู่ท่ีสมนยั กนั จะไดว้ า่ AB = DE B A BC = EF F AC = DF ABƸC = DEƸF BCƸA = EFƸD E D BAƸC = EDොF

ความเท่ากนั ทกุ ประการของรูปสามเหล่ียม จากตัวอยา่ งขา้ งตน้ สามารถสรุปสมบัตขิ องการเทา่ กนั ทุกประการได้ ดังนี้ สมบัติ รูปสามเหล่ียมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเม่ือ ด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ท่ีสมนัยกันของ รูปสามเหล่ยี มทง้ั สองรูปนนั้ มขี นาดเท่ากนั เปน็ คู่ ๆ การเขยี นสัญลกั ษณ์แสดงความเทา่ กันทุกประการของรปู สามเหลีย่ ม นิยมเขียนเรยี ง ตามลาดบั ของมมุ ค่ทู ส่ี มนยั กนั และดา้ นค่ทู สี่ มนัยกนั ดังน้ี ∆ABC ≅ ∆DEF

ความเทา่ กนั ทุกประการของรปู สามเหลย่ี มสองรปู ทีม่ คี วามสมั พนั ธแ์ บบตา่ ง ๆ รูปสามเหล่ยี มสองรปู ท่ีสัมพันธก์ นั แบบ ด้าน-มมุ -ด้าน ด.ม.ด. สมบตั ิ ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน มขี นาดเท่ากนั แลว้ รปู สามเหล่ียมสองรูปน้นั เท่ากันทกุ ประการ

ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู สามเหลี่ยมสองรปู ที่มคี วามสัมพันธแ์ บบต่างๆ ตวั อย่าง กาหนดใหร้ ูป MNOP เปน็ รูปส่ีเหลย่ี มจัตุรสั และ MQ = MR จงพิสจู น์วา่ ∆NOR ≅ ∆POQ พสิ ูจน์ 1. NO = PO (ดา้ นของส่ีเหลย่ี มจตั ุรัสยาวเทา่ กัน) 2. RNොO = QPƸO (มมุ ของรปู ส่ีเหลยี่ มจตั ุรสั มขี นาด 90๐) 3. MQ = MR (โจทยก์ าหนด) 4. MN = MP (ด้านของสี่เหล่ยี มจตั รุ ัสยาวเทา่ กนั ) 5. PQ = NR (จากข้อ 3. และ 4.) 6. ∆NOR ≅ ∆POQ (มีความสมั พันธแ์ บบ ด.ม.ด.)

ความเท่ากนั ทกุ ประการของรูปสามเหล่ยี มสองรูปทมี่ คี วามสัมพนั ธแ์ บบตา่ ง ๆ รูปสามเหลีย่ มสองรปู ทส่ี ัมพนั ธก์ ันแบบ มุม-ดา้ น-มุม ม.ด.ม. สมบัติ ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซ่ึงเป็นแขนร่วมของมุม ทง้ั สองยาวเท่ากัน แลว้ รปู สามเหล่ียมสองรูปนั้นเทา่ กนั ทุกประการ

ความเทา่ กันทกุ ประการของรปู สามเหลีย่ มสองรปู ทมี่ ีความสมั พนั ธ์แบบตา่ ง ๆ ตัวอย่าง จากรปู ที่กาหนดให้ จงพสิ จู น์ว่า ∆WXY ≅ ∆XWZ พิสจู น์ 1. YWෝZ = ZXොY (กาหนดให้) 2. WXොY = XWෝZ (กาหนดให้) 3. WX = XW (ดา้ นร่วม) 4. YWෝZ + XWෝZ = ZXොY + WXොY XWෝY = WXොZ (สมบัตขิ องการเท่ากัน) 5. ∆WXY ≅ ∆XWZ (มีความสมั พันธแ์ บบ ม.ด.ม.)

ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลยี่ มสองรูปที่มีความสมั พนั ธแ์ บบตา่ ง ๆ รปู สามเหลย่ี มสองรปู ทส่ี ัมพนั ธ์กนั แบบ ดา้ น-ดา้ น-ด้าน ด.ด.ด. สมบตั ิ ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปใด ๆ มีความยาวของด้านเท่ากันสามคู่ด้านต่อด้าน แล้วรูปสามเหลี่ยม สองรูปนน้ั จะเท่ากนั ทุกประการ

ความเทา่ กันทุกประการของรูปสามเหลยี่ มสองรปู ที่มคี วามสัมพันธ์แบบตา่ ง ๆ ตัวอยา่ ง กาหนดให้รูป ABCD เป็นรูปสเี่ หลย่ี มรปู วา่ ว จงพิสูจน์ว่า ∆ABC ≅ ∆ADC พิสจู น์ 1. AB = AD (ด้านท่ีอยูต่ ิดกันของรูปสีเ่ หล่ียมรปู วา่ วจะยาวเท่ากัน) 2. BC = DC (ด้านทีอ่ ยตู่ ดิ กนั ของรูปส่เี หลย่ี มรูปว่าวจะยาวเท่ากัน) 3. AC = AC (ดา้ นร่วม) 4. ∆ABC ≅ ∆ADC (มคี วามสมั พนั ธแ์ บบ ม.ด.ม.)