การให้เหตุผลเกี่ยวกับการสร้างทางเรขาคณิต

5หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ การใหเ้ หตุผลเกย่ี วกบั การสรา้ งทางเรขาคณติ ตวั ชวี้ ัด • ใช้ความรู้ทางเรขาคณิตและเครือ่ งมือ เช่น วงเวียนและสันตรง รวมทงั้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หรอื โปรแกรมเรขาคณติ พลวัตอ่นื ๆ เพื่อสร้าง รปู เรขาคณิต ตลอดจนนาความรู้เกยี่ วกับการสร้างนี้ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการแก้ปัญหาในชีวิตจรงิ (ค 2.2 ม.2/1)

คาถามกระตุน้ ความคิด อาทิตย์ได้สร้างรูปเรขาคณิตรูปหนึ่งโดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) ข้ึนมา 1 รูป ซ่ึงเขา บอกว่าส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นนั้นขนานกัน แต่เมื่อเพ่ือน ๆ ของเขาได้เห็นรูปน้ี ทุกคนบอกเป็นเสียงเดียวกันว่า สว่ นของเสน้ ตรงแตล่ ะเสน้ ไม่ขนานกัน อาทิตย์ จะแสดงไดอ้ ย่างไร วา่ ส่วนของเส้นตรงทุกเสน้ ขนานกนั

ควรรูก้ ่อนเรยี น การสรา้ งสว่ นของเสน้ ตรงให้มคี วามยาวเท่ากับสว่ นของเส้นตรงท่ีกาหนดให้ AB C DX จะได้ AB มีความยาวเทา่ กับ CD

ควรรู้กอ่ นเรยี น B การแบง่ คร่ึงสว่ นของเส้นตรงท่กี าหนดให้ C M A D จะได้ CD แบง่ ครงึ่ AB ทีจ่ ุด M

ควรรกู้ อ่ นเรียน การสร้างมมุ ให้มีขนาดเท่ากับขนาดของมมุ ท่ีกาหนดให้ A E D B F C จะได้ DEොF มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ ABොC

ควรรู้กอ่ นเรียน การแบง่ ครง่ึ มมุ ที่กาหนดให้ A BX C จะได้ ABොX และ XBොC มขี นาดเป็นครึง่ หนึง่ ของขนาดของ ABොC

ควรรกู้ ่อนเรยี น การสรา้ งเสน้ ตัง้ ฉากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรงที่กาหนดให้ P ������ X B A O จะได้ OP ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรง ������ ที่จดุ X

ควรรกู้ ่อนเรยี น การสรา้ งเสน้ ตัง้ ฉากท่จี ุดจดุ หนง่ึ บนเสน้ ตรงทก่ี าหนดให้ O ������ A PB OP ตั้งฉากกับเสน้ ตรง ������ ทจ่ี ดุ P

ประโยคเง่อื นไขและบทกลบั 1. ประโยคเง่ือนไข พิจารณาข้อความต่อไปน้ี 1) ถ้า n เปน็ จานวนนบั ใด ๆ แลว้ 2n เป็นจานวนคู่ 2) ถ้า ∆ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มหนา้ จ่วั แล้ว ∆ABC มีด้านยาวเท่ากัน 2 ด้าน 3) ถ้า x เปน็ จานวนคี่ แลว้ x+1 เป็นจานวนคู่ 4) ถา้ x+1 เป็นจานวนคู่ แล้ว x เปน็ จานวนค่ี

จากข้อความข้างตน้ จะเห็นวา่ ข้อความแตล่ ะขอ้ ความ เปน็ ข้อความท่มี ปี ระโยคบอกเล่า 2 ประโยค 1) ถ้า n เป็นจานวนนับใด ๆ แล้ว 2n เป็นจานวนคู่ 2) ถ้า ∆ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมหน้าจ่ัว แล้ว ∆ABC มดี า้ นยาวเท่ากนั 2 ดา้ น 3) ถา้ x เปน็ จานวนคี่ แล้ว x+1 เปน็ จานวนคู่ 4) ถ้า x+1 เป็นจานวนคู่ แล้ว x เปน็ จานวนค่ี

ประโยคแรกอยู่หลงั คาว่า ถ้า เรียกประโยคน้ีวา่ เหตุ ประโยคท่สี องอยู่หลังคาว่า แล้ว เรียกประโยคนี้วา่ ผล 1) ถ้า n เปน็ จานวนนับใด ๆ แลว้ 2n เป็นจานวนคู่ 2) ถ้า ∆ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มหน้าจ่ัว แล้ว ∆ABC มดี า้ นยาวเท่ากนั 2 ด้าน 3) ถา้ x เปน็ จานวนค่ี แลว้ x+1 เป็นจานวนคู่ 4) ถา้ x+1 เป็นจานวนคู่ แลว้ x เปน็ จานวนคี่

เรียกข้อความทีเ่ ขยี นในรปู ถ้า... แล้ว... วา่ ประโยคเงือ่ นไข (conditional statement) 1) ถา้ n เปน็ จานวนนับใด ๆ แล้ว 2n เป็นจานวนคู่ 2) ถ้า ∆ABC เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จัว่ แลว้ ∆ABC มดี า้ นยาวเทา่ กนั 2 ดา้ น 3) ถา้ x เป็นจานวนคี่ แลว้ x+1 เปน็ จานวนคู่ 4) ถา้ x+1 เป็นจานวนคู่ แลว้ x เป็นจานวนคี่

สามารถสรุปเก่ยี วกับประโยคเงอื่ นไขท่เี ป็นจรงิ และ ประโยคเงอ่ื นไขที่ไมเ่ ป็นจริงได้ ดงั นี้ 1) ประโยคเงื่อนไขท่ีเป็นจริง เมื่อเหตุเป็นจริง แล้วส่งผลให้ เกิดผลท่ีเปน็ จริงเสมอ หรือกล่าวอกี อย่างหน่ึงวา่ เหตทุ าให้ เกิดผลที่ระบุไวเ้ สมอ 2) ประโยคเงื่อนไขที่ไม่เป็นจริง เม่ือเหตุเป็นจริง แล้วไม่ ส่งผลที่ให้เกิดผลเป็นจริงเสมอ หรือกล่าวอีกอย่างหน่ึงว่า เหตไุ ม่ทาให้เกิดผลทรี่ ะบไุ ว้เสมอ

ประโยคเง่ือนไขและบทกลับ ตัวอยา่ งท่ี 1 จงเขียนขอ้ ความในแต่ละข้อต่อไปนใ้ี ห้เปน็ ประโยคเงื่อนไขในรปู ถ้า... แลว้ ... 1) a และ b เปน็ จานวนนับใด ๆ ท่เี ปน็ จานวนคี่ ซ่งึ ทาให้ a + b เปน็ จานวนคู่ ถา้ a และ b เป็นจานวนนับใด ๆ ที่เป็นจานวนค่ี แลว้ a + b เปน็ จานวนคู่ 2) n เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ซง่ึ ทาให้ 2n จะเปน็ จานวนคู่ ถา้ n เปน็ จานวนจริงใด ๆ แล้ว 2n เป็นจานวนคู่

ประโยคเงื่อนไขและบทกลบั ตวั อยา่ งที่ 2 จงแสดงวา่ ประโยคเง่ือนไขที่ได้ในตัวอย่างที่ 1 เป็นจรงิ หรือไม่ เพราะอะไร 1) ถา้ a และ b เป็นจานวนนับใด ๆ ท่เี ป็นจานวนคี่ แลว้ a + b เป็นจานวนคู่ วิธที า จากประโยคเงอ่ื นไข จะได้ว่า เหตุ คือ a และ b เปน็ จานวนนบั ใด ๆ ทเ่ี ปน็ จานวนคี่ ผล คือ a + b เป็นจานวนคู่ จะเหน็ ว่า ถา้ เหตุเป็นจรงิ จะสรุปไดว้ ่า a = 2n + 1 และ b = 2m + 1 ซ่ึง n และ m เป็นจานวนนบั ใด ๆ เน่ืองจาก จานวนค่เู ปน็ จานวนทีห่ ารด้วย 2 ลงตวั จะได้ a + b = 2(n + m + 1) ซ่ึงหารดว้ ย 2 ลงตัว ดังนั้น a + b เป็นจานวนคู่ นน่ั คอื ประโยคเงอื่ นไขนเี้ ป็นประโยคท่เี ป็นจรงิ

ประโยคเง่อื นไขและบทกลับ ตวั อย่างท่ี 2 จงแสดงว่าประโยคเงือ่ นไขทไ่ี ดใ้ นตัวอย่างท่ี 1 เปน็ จรงิ หรือไม่ เพราะอะไร 2) ถ้า n เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ แล้ว 2n เป็นจานวนคู่ วิธีทา จากประโยคเง่อื นไข จะไดว้ ่า เหตุ คือ n เปน็ จานวนจริงใด ๆ ผล คอื 2n เปน็ จานวนคู่ ถา้ ให้ n = 1.2 ซ่ึงเป็นจานวนจริง จะได้ 2n = 2.4 เน่ืองจาก จานวนคู่ คอื จานวนเตม็ ที่หารดว้ ย 2 ลงตวั ดงั น้ัน 2n ไม่เปน็ จานวนคู่ น่ันคือ ประโยคเง่ือนไขน้เี ปน็ ประโยคทีไ่ มเ่ ปน็ จรงิ

ประโยคเงือ่ นไขและบทกลับ โดยทัว่ ไปบทกลับ 2. บทกลบั ของประโยคเงื่อนไข ของประโยคเง่อื นไข ไจมาจ่กาขเ้อปคน็ วตา้อมงขเปอ้ น็ 3จ)รแิงเลสะมอ4) 3) ถ้า x เปน็ จานวนคี่ แลว้ x+1 เปน็ จานวนคู่ 4) ถา้ x+1 เปน็ จานวนคู่ แล้ว x เป็นจานวนค่ี จะเห็นวา่ เหตุ ของข้อความในขอ้ 3) เปน็ ผล ของขอ้ ความในขอ้ 4) และ ผล ของขอ้ ความในขอ้ 3) เปน็ เหตุ ของขอ้ ความในข้อ 4) จะเรยี กประโยคเงอื่ นไขในข้อความข้อ 4) วา่ บทกลบั ของประโยคเงอ่ื นไข

ประโยคเงื่อนไขและบทกลับ ตัวอยา่ งท่ี 3 จงแสดงบทกลับของประโยคเงื่อนไขในแต่ละข้อต่อไปน้ี 1) ถ้า ΔABC เป็นรปู สามเหลย่ี มหนา้ จัว่ แล้ว ΔABC มดี า้ นยาวเท่ากัน 2 ด้าน ถ้า ΔABC มีด้านยาวเทา่ กัน 2 ด้าน แล้ว ΔABC เปน็ รูปสามเหล่ียมหน้าจ่วั 2) ถ้ารูปสามเหลยี่ ม 2 รูปทเ่ี ท่ากนั ทกุ ประการ แล้วรปู สามเหลี่ยม 2 รูป นนั้ จะมีพื้นที่เทา่ กัน ถา้ รปู สามเหลยี่ ม 2 รูป มีพื้นทเ่ี ทา่ กัน แล้วรูปสามเหล่ียม 2 รูป นัน้ จะเท่ากนั ทกุ ประการ

ถา้ ประโยคเงื่อนไขเป็นจรงิ และบทกลบั ของประโยคเง่อื นไขก็เป็นจรงิ จะเขียนเชอ่ื มประโยคเงอ่ื นไขท่ีเป็นจริงและมี บทกลบั เป็นจริงโดยใชค้ าว่า “กต็ ่อเมอื่ ” เป็นตวั เชอื่ ม

ประโยคเงือ่ นไขและบทกลบั ตัวอยา่ งที่ 4 จงตรวจสอบประโยคเงือ่ นไขในแตล่ ะข้อต่อไปนส้ี ามารถเขียนในรปู ...กต็ อ่ เมอ่ื ... ได้หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด ถา้ เขียนได้ ให้เขียนประโยคน้ัน 1) ถ้า ΔABC เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จั่ว แล้ว ΔABC มีดา้ นยาวเทา่ กัน 2 ดา้ น เน่ืองจาก “ถา้ ΔABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหน้าจว่ั แลว้ ΔABC มดี า้ นยาวเท่ากนั 2 ดา้ น” เปน็ ประโยค เง่อื นไขที่เปน็ จรงิ และ “ถา้ ΔABC มดี ้านยาวเท่ากนั 2 ด้าน แลว้ ΔABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จว่ั ” เป็นบทกลบั ของ ประโยคเงอ่ื นไขทเ่ี ปน็ จรงิ ดังนั้น ประโยคเงือ่ นไขนีเ้ ขียนโดยใช้คาเชื่อม กต็ อ่ เมอื่ ไดเ้ ปน็ “ΔABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมหน้าจัว่ กต็ ่อเมอ่ื ΔABC มดี ้านสองด้านยาวเท่ากัน”

ประโยคเงอื่ นไขและบทกลบั ตวั อยา่ งท่ี 4 จงตรวจสอบประโยคเง่ือนไขในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้สามารถเขยี นในรปู ...กต็ อ่ เม่อื ... ได้หรือไม่ เพราะเหตุใด ถา้ เขียนได้ ใหเ้ ขียนประโยคน้นั 2) ถา้ รูปสามเหลย่ี ม 2 รปู เทา่ กนั ทุกประการ แลว้ รปู สามเหล่ียม 2 รูป นั้นจะมพี ื้นทเ่ี ทา่ กนั เนอ่ื งจาก “ถ้ารปู สามเหลย่ี ม 2 รปู เทา่ กันทุกประการ แล้วรปู สามเหล่ียม 2 รปู นน้ั จะมีพนื้ ทเ่ี ทา่ กนั ” เป็นประโยคเงือ่ นไขทเ่ี ป็นจรงิ และ “ถา้ รูปสามเหล่ียม 2 รูป มพี นื้ ที่เท่ากนั แลว้ สามเหลยี่ ม 2 รูป น้ันจะเท่ากนั ทุกประการ” เปน็ บทกลับของประโยคเง่อื นไขท่ไี ม่เปน็ จรงิ ดงั นั้น ประโยคเงอ่ื นไขนเ้ี ขียนโดยใช้คาเชอ่ื ม ก็ตอ่ เม่อื ไมไ่ ด้

การให้เหตผุ ลเก่ยี วกับการสร้างทางเรขาคณิต นักเรียนได้เรยี นเก่ยี วกบั การสร้างพ้นื ฐานทางเรขาคณติ โดยใชส้ ันตรงและ วงเวียน หรือโปรแกรมเรขาคณติ พลวตั อนื่ ๆ เชน่ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) มาแลว้

การใหเ้ หตผุ ลเก่ยี วกบั การสร้างทางเรขาคณิต ในระดบั ชัน้ นี้นักเรียนจะไดเ้ รียนเกย่ี วกับ การใหเ้ หตผุ ลว่า รปู เรขาคณิตท่ีสรา้ ง เป็นจริงตามที่กาหนดหรือไม่ การสรา้ งรูปเรขาคณิตท่ีสร้างจากเง่อื นไข รปู เรขาคณิตทส่ี รา้ งจาก รูปเรขาคณิตที่สรา้ งจาก เง่ือนไขไดเ้ พยี งรปู เดียว เงอ่ื นไขได้หลายรูป ตวั อยา่ งท่ี 5 ตัวอย่างท่ี 6

ตวั อย่างที่ 5 จงสร้าง ΔABC ท่มี ีดา้ น AB เป็นฐานยาว a หน่วย มสี ว่ นสูงเท่ากบั b หนว่ ย และ ABොC = 120° พร้อมทงั้ แสดงการพิสจู น์ วิธสี ร้าง a b E D F C PA BQ

ตวั อย่างท่ี 5

VDO

ตวั อย่างท่ี 5 จงสรา้ ง ΔABC ทมี่ ดี ้าน AB เปน็ ฐานยาว a หน่วย มีสว่ นสูงเท่ากบั b หน่วย และ ABොC = 120° พรอ้ มทั้งแสดงการพสิ จู น์ พสิ ูจน์ เนอ่ื งจาก FG // AQ, AF = b หน่วย, (จากการสรา้ ง) AB = a หนว่ ย และ ABොC = 120° จะไดว้ ่า แต่ละจุดท่อี ยู่บน FG จะอย่หู ่างจาก (ถ้าเสน้ ตรงสองเสน้ ขนานกนั AQ เป็นระยะ b หน่วย แล้วระยะห่างระหวา่ งเส้นตรงคู่น้ันจะเทา่ กนั ดังนน้ั ความสงู ของ ΔABC เท่ากบั b หนว่ ย น่นั คอื ΔABC มดี า้ น AB เป็นฐานยาว a หนว่ ย มีสว่ นสงู เท่ากบั b หน่วย และ ABොC = 120°

ตวั อย่างที่ 6 จงสร้างรูปสามเหล่ยี มหนา้ จั่ว ABC ทมี่ ีฐานยาว a หนว่ ย มา 3 รปู พร้อมทง้ั แสดงการพสิ จู น์ a เปลย่ี นรัศมแี ลว้ สรา้ ง วธิ ที า ΔABC อีก 2 รปู C C C AB X

ตวั อย่างท่ี 6

VDO

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจ่ัว ABC ที่มฐี านยาว a หน่วย มา 3 รปู พร้อมทัง้ แสดงการพสิ จู น์ พิสูจน์ เน่อื งจาก AB = a หนว่ ย (จากการสรา้ ง) และ AC = BC (รศั มขี องวงกลมเดยี วกนั ยาวเท่ากัน) จะไดว้ า่ ABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มหนา้ จั่ว (รูปสามเหลี่ยมที่มีดา้ นยาวเท่ากันสองดา้ น เป็นรูปสามเหลีย่ มหนา้ จ่ัว) ดงั น้นั ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มหน้าจว่ั ทม่ี ฐี านยาว a หน่วย

การนาความร้เู กี่ยวกบั การสรา้ งทางเรขาคณติ และการใหเ้ หตุผลไปใชใ้ นชวี ติ จริง การให้เหตผุ ลเกี่ยวกับการสร้างทางเรขาคณติ ทาความ เขียนอธบิ ายการพิสจู น์และให้เหตผุ ล สรปุ ส่ิงทไี่ ด้ เข้าใจกับ โดยใชบ้ ทนิยาม ทฤษฎบี ท และสมบัติต่าง ๆ จากการ ปัญหา พสิ ูจน์

คาถามกระตนุ้ ความคิด จากอสามทบิตัตยขิ ์ไดอ้สงเรส้าน้ งขรูปนเารนขา: คเสณน้ ิตตรรูปงสหอนงึ่งเโสดน้ ยขในชา้โนปกรนัแกกรต็ มอ่ เTมhอื่ eรGะยeะoหm่าeงรteะrห’sว่าSงเkสeน้ tตchรงpคaูน่ dนั้ (จGะSเทPา่ )กนัขเ้ึนสมมาอ1 รูป ซึ่งเขา ถบา้ออกาวท่าติ สย่วส์ นาขมอารงถเสแ้นสดตงรไงดแว้ ต่า่ลระะเยสะ้นหนา่ ั้นงรขะนหาวน่ากงสันว่ นแขตอ่เมงเื่อสเน้พต่ือรนงสๆองขเสอน้งใเขดๆาไเดท้เา่หก็นนั รเูปสมนอี้ ทจุกงึ คจนะสบาอมกาเรปถ็นบเอสกียไงดเ้วด่าียวกันว่า ส่วนขขอองงเเสสน้ ้นตตรรงงสแอตง่ลเสะ้นเสนน้ ้ันไขมนข่ านนากนนั กนั อาทติ ย์ จะแสดงไดอ้ ยา่ งไร วา่ สว่ นของเส้นตรงทุกเส้น ขนานกนั