การแยกตัวประกอบของพหุนาม

1หน่วยการเรียนร้ทู ่ี การแยกตวั ประกอบของพหุ นาม ตวั ชี้วดั • เขา้ ใจและใชก้ ารแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องในการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์ (ค 1.2 ม.2/2)

ควรร้กู ่อนเรยี น

ควรรู้กอ่ นเรยี น พหนุ าม นพิ จนท์ ่อี ยู่ในเอกนามหรือเขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู การบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนาม ขน้ึ ไป เรยี กวา่ “พหุนาม”และดีกรีสงู สุดของ พหุนามทอี่ ยูใ่ นรปู ผลสาเรจ็ ท่ไี ม่มพี จน์ท่ี คล้ายกนั เรียกวา่ “ดกี รขี องพหนุ าม”

ควรรู้กอ่ นเรยี น การบวกและการลบพหนุ าม 1. การหาผลบวกของพหุนาม ทาได้โดยนาพหนุ ามมาเขยี นในรูปการ บวกจากนั้นบวกพจน์ทคี่ ล้ายกันในแต่ละพหนุ ามเข้าด้วยกนั ตวั อย่าง พจน์ที่คล้ายกนั (4x2 + 5y2) + (6x2 + 8y2) = (4x2 + 6x2) + (5y2 + 8y2) = 10x2 + 13y2 พจนท์ ่ีคล้ายกนั

ควรรูก้ อ่ นเรยี น การบวกและการลบพหุนาม 2. การหาผลลบของพหุนาม ใช้หลกั การ ดังนี้ พหนุ ามตัวต้ัง – พหนุ ามตวั ลบ = พหนุ ามตัวตั้ง + พหุนามตรงขา้ มของตวั ลบ พหุนามตวั ตั้ง พหุนามตรงข้ามของตัวลบ ตวั อย่าง (3x2y + 9y2) - (8x2y + 5y2) = (3x2y + 9y2) + [-(8x2y + 5y2)] พหุนามตัวตง้ั พหนุ ามตวั ลบ = 3x2y + 9y2 - 8x2y - 5y2 = -5x2y + 4y2

ควรรู้กอ่ นเรียน การคณู พหุนาม 1. การคณู ระหวา่ งเอกนามกบั พหุนาม ทาไดโ้ ดยใช้สมบัติการแจกแจง ตัวอยา่ ง 4x(5x - 3y) = (4x)(5x) + (4x)(-3y) = 20x2 + (-12xy) = 20x2 - 12xy มาดูตวั อยา่ งกันค่ะนักเรียน

ควรร้กู ่อนเรยี น การคูณพหนุ าม 2. การคูณระหวา่ งพหนุ ามกบั พหุนาม ทาใหไ้ ดโ้ ดยนาแต่ละพจน์ ของพหุนามหน่งึ มาคณู กับทุก ๆ พจนข์ องอกี พหุนามหนึ่ง จากน้ัน นาผลคูณทั้งหมดมาบวกกัน ตัวอย่าง (3x + 2)(4x - 3) = 3x(4x - 3) + 2(4x - 3) = 12x2 - 9x + 8x - 6 = 12x2 - x - 6 มาดตู ัวอย่างกนั ค่ะนกั เรยี น

ควรร้กู ่อนเรยี น การหารพหนุ าม การหารพหนุ ามด้วยเอกนาม ทาได้โดยหารแตล่ ะพจน์ของพหุนาม ตัวตั้งดว้ ยเอกนามท่เี ปน็ ตวั หาร จากน้นั นาผลหารแตล่ ะพจน์มาบวก หรือมาลบกนั ถา้ ได้ผลหารเป็นพหุนาม จะกลา่ วได้วา่ การหารน้ัน เปน็ การหารลงตัว ตวั อยา่ ง 6x3 − 4x 6x3 4x 2x 2x 2x = - มาดตู วั อย่างกันคะ่ นกั =เร3ยี xน2- 2

การหารพหนุ าม

การหารพหุนาม พิจารณาหาผลลพั ธ์ของการหาร x2 + 4 - 5x ด้วย x - 1 พร้อมตรวจสอบคาตอบ วธิ ที า 1) เรยี งลาดับพจนใ์ นพหนุ ามท้ังตวั ตัง้ และตัวหาร จากพจน์ ทม่ี ีดีกรมี ากไปพจน์ทมี่ ดี ีกรีนอ้ ยแลว้ นามาตงั้ หาร

การหารพหุนาม พจิ ารณาหาผลลพั ธข์ องการหาร x2 + 4 - 5x ด้วย x - 1 พรอ้ มตรวจสอบคาตอบ วิธีทา ตวั ตั้ง ดีกรเี ท่ากับ 0 ตัวหาร ดีกรีเทา่ กับ 0 x2 + 4 - 5x ดีกรเี ท่ากับ 1 x-1 ดีกรีเท่ากับ 2 ดีกรเี ท่ากบั 1 เรียงลาดบั พจน์ในพหนุ ามของตัวต้ัง เรียงลาดับพจน์ในพหนุ ามของ จากพจน์ทม่ี ีดกี รมี ากไปพจนท์ ่มี ดี กี รี ตวั หารจากพจนท์ ม่ี ดี กี รีมากไป นอ้ ย จะได้ x2 - 5x + 4 พจน์ทม่ี ีดีกรีนอ้ ย จะได้ x - 1 เม่ือนามาตัง้ หาร จะได้ x - 1 x2 - 5x + 4

การหารพหนุ าม พิจารณาหาผลลพั ธข์ องการหาร x2 + 4 - 5x ดว้ ย x - 1 พร้อมตรวจสอบคาตอบ วิธที า 2) หารพจน์ท่ี 1 ของตวั ต้งั ด้วยพจนท์ ่ี 1 ของตัวหาร จะได้พจน์ท่ี 1ของผลหาร

การหารพหุนาม พจิ ารณาหาผลลัพธข์ องการหาร x2 + 4 - 5x ดว้ ย x - 1 พร้อมตรวจสอบคาตอบ วธิ ที า x2 ÷ x = x พจนท์ ี่ 1 พจน์ท่ี 2 พจนท์ ่ี 3 x ตัวตงั้ x - 1 x2 - 5x + 4 ตัวหาร

การหารพหุนาม พจิ ารณาหาผลลัพธข์ องการหาร x2 + 4 - 5x ดว้ ย x - 1 พรอ้ มตรวจสอบคาตอบ วิธที า x2 ÷ x = x พจน์ที่ 1 พจน์ท่ี 2 พจนท์ ่ี 3 x ตัวตัง้ x - 1 x2 - 5x + 4 ตวั หาร 3) คูณตวั หารดว้ ยพจนท์ ี่ 1 ของผลหารทไ่ี ด้ แล้วนาไปลบ ออกจากตวั ต้งั โดยพจน์ท่ีมดี ีกรีเทา่ กนั ให้วางในตาแหน่ง ตรงกนั

การหารพหนุ าม พิจารณาหาผลลพั ธข์ องการหาร x2 + 4 - 5x ดว้ ย x - 1 พรอ้ มตรวจสอบคาตอบ วธิ ีทา x2 ÷ x = x x (x – 1) × x = x2 - x x - 1 x2 - 5x + 4 (x2 - 5x + 4) – (x2 – x) = -4x + 4 x2 - x -4x + 4

การหารพหุนาม พิจารณาหาผลลพั ธ์ของการหาร x2 + 4 - 5x ด้วย x - 1 พรอ้ มตรวจสอบคาตอบ วธิ ที า x2 ÷ x = x x (x – 1) × x = x2 - x x - 1 x2 - 5x + 4 (x2 - 5x + 4) – (x2 – x) = -4x + 4 x2 - x -4x + 4 4) หารพจนท์ ี่ 1 ของผลลบทไ่ี ด้จากขอ้ 3) ดว้ ยพจน์ที่ 1 ของตัวหาร จะได้พจนท์ ี่ 2 ของผลหาร

การหารพหนุ าม พิจารณาหาผลลัพธข์ องการหาร x2 + 4 - 5x ด้วย x - 1 พรอ้ มตรวจสอบคาตอบ วิธีทา x2 ÷ x = x x (x – 1) × x = x2 - x x - 1 x2 - 5x + 4 (x2 - 5x + 4) – (x2 – x) = -4x + 4 x2 - x -4x + 4 5) คณู ตวั หารดว้ ยพจนท์ ี่ 2 ของผลหารทไ่ี ด้ แล้วนาไป ลบออกจากตวั ต้งั โดยพจนท์ ี่มดี ีกรีเทา่ กันใหว้ างใน ตาแหน่งตรงกนั จะเห็นไดว้ า่ ผลลบที่ได้เปน็ พหนุ าม 0 น่ันคือ ไม่มีจานวนให้หารต่อแล้ว จึงหยดุ การหาร

การหารพหนุ าม พจิ ารณาหาผลลัพธข์ องการหาร x2 + 4 - 5x ด้วย x - 1 พร้อมตรวจสอบคาตอบ วิธที า (x – 1) × x = x2 - x x- 4 (x2 - 5x + 4) – (x2 – x) = -4x + 4 x - 1 x2 - 5x + 4 x2 - x -4x + 4 -4x + 4 (x – 1) × (-4) = -4x + 4 0 (-4x + 4) - (-4x + 4) = 0 ดังนนั้ x2 +ม4า-ด5ูวxธิ หกี าารรดตว้ ยรวxจ-ส1อไบดค้ผลาหตาอรเบทกา่ กันับคxะ่ - 4

การหารพหนุ าม พจิ ารณาหาผลลัพธข์ องการหาร x2 + 4 - 5x ด้วย x - 1 พร้อมตรวจสอบคาตอบ ตรวจสอบคาตอบ สามารถตรวจสอบคาตอบได้โดยใช้ความสมั พนั ธ์ ตวั ตั้ง = (ตัวหาร  ผลหาร ) + เศษ (x – 1)(x – 4) = x(x- 4) - 1(x - 4) = x2 - 4x - x + 4 = x2 - 5x + 4 สรุปได้ว่า x - 4 เปน็ ผลหารของ x2 - 5x + 4 หารดว้ ย x - 1

ตวั ประกอบของพหนุ าม นกั เรียนเคยทราบมาแล้ววา่ ตัวประกอบของจานวนนบั ใด ๆ คือ จานวนนบั ทีห่ ารจานวนนับน้นั ได้ลงตัว เชน่ 2 เปน็ ตวั ประกอบของ 10 เพราะ 2 หาร 10 ลงตัว 7 เปน็ ตวั ประกอบของ 21 เพราะ 7 หาร 21 ลงตัว ในทานองเดียวกัน ตัวประกอบของพหนุ ามใด ๆ คือ พหุนามที่หารพหนุ ามนัน้ ลงตวั เชน่ 4 เป็นตวั ประกอบของ 4x เพราะ 4 หาร 4x ลงตัว 5y เป็นตวั ประกอบของ 5xy เพราะ 5y หาร 5xy ลงตัว

ตวั ประกอบของพหนุ าม พจิ ารณาวา่ 5x เป็นตวั ประกอบของ 10x2 และ 15xy หรอื ไม่ เพราะเหตุใด วธิ ที า พจิ ารณา 10x2 ÷ 5x = 2x และ 15xy ÷ 5x = 3y ดงั นนั้ 5x เป็นตัวประกอบของ 10x2 และ 15xy เพราะ 5x หาร 10x2 และ 15xy ลงตัว

ตัวประกอบของพหุนาม พิจารณาหาตัวประกอบรว่ มของ 3x2 และ 9xy วิธที า ตัวประกอบรว่ มของ 3x2 ได้แก่ 1 , 3 , x , x2, 3x , 3x2 ตัวประกอบร่วมของ 9xy ไดแ้ ก่ 1 , 3 , 9, x , 3x , 9x, y, 3y, 9y, xy, 3xy, 9xy ดังนน้ั ตัวประกอบรว่ มของ 3x2 และ 9xy คือ 1, 3, x, 3x

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามโดยใชส้ มบตั ิแจกแจง ถา้ a, b และ c เปน็ พหุนาม แลว้ สามารถ แยกตัวประกอบของพหนุ าม ab + ac โดยใช้ สมบัติการแจกแจงไดเ้ ป็น a(b + c) นนั่ คือ ab + ac = a(b + c)

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยใช้สมบัตแิ จกแจง จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ พจน์ท่คี ล้ายกนั x เปน็ ตวั ประกอบร่วyมขเปอน็ง ตaัวxปแรละะกอbบxรว่ มของ ay และ by ax + by + bx + ay = (ax + bx) + (ay + by) พจน์ทค่ี ล้ายกนั = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b) (a + b) เปน็ ตวั ประกอบรว่ มของ x(a + b) และ y(a + b) ดังนน้ั ax + by + bx + ay = (x + y)(a + b) มาดูตัวอย่างกนั คะ่ นักเรยี น

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชส้ มบตั แิ จกแจง จงแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปนี้ 3x เป็นตัวประกอบของ 63x2เป+น็ 3ตxวั ประกอบของ 6x + 3 6x2+ 3x + 6x + 3 = (6x2 + 3x) + (6x + 3) = 3x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (3x + 3)(2x + 1) (2x + 1) เป็นตวั ประกอบรว่ มของ 3x(2x + 1) และ 3(2x + 1) ดงั นั้น 6x2+ 3x + 6x + 3 = (3x + 3)(2x + 1) มาดูตวั อย่างกนั คะ่ นักเรยี น

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตวั แปรเดยี ว พหนุ ามทีเ่ ขยี นไดใ้ นรปู ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เปน็ คา่ คงตัว ท่ี a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร เรยี กวา่ พหนุ ามดกี รสี อง ตัวแปรเดยี ว

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b เปน็ จานวนเตม็ และ c = 0 ตวั อย่าง 4x2 + 2x = 2x(2x + 1) 2x เปน็ ตัวประกอบรว่ มของ 4x2 + 2x 3x2 + 2x = x(3x + 2 ) x เปน็ ตัวประกอบร่วมของ 3x2 + 2x มาดูตัวอย่างกนั คะ่ นกั เรยี น

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดยี ว การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1, b และ c เปน็ จานวนเตม็ และ c ≠ 0 x2 + bx + c = (x + m)(x + n) เมอื่ b, c, m, n เปน็ จานวนเต็ม และ c ≠ 0 โดยท่ี b = m + n และ c = m × n

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองในรปู ax2 + bx + c เมอ่ื a = 1, b และ c เปน็ จานวนเตม็ และ c ≠ 0 m×n=c x2 + bx + c = (x + m)(x + n) x × x = x2

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองตวั แปรเดยี ว การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมือ่ a = 1, b และ c เปน็ จานวนเตม็ และ c ≠ 0 m × x = mx x2 + bx + c = (x + m)(x + n) nx + mx = bx x × n = nx

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตวั แปรเดยี ว จงหาจานวนเต็ม m และ n ทที่ าให้ m + n = b และ m × n = c เมื่อกาหนด b และ c ดังต่อไปนี้ b = 8 และ c = 12 วธิ ที า b = 8 และ c = 12 c = 12 = 1 × 12 แยกตวั ประกอบของ 12 =2×6 =3×4 เน่อื งจาก 2 + 6 = 8 และ 2 × 6 = 12 ดงั นน้ั m = 2 และ n = 6

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว จงหาจานวนเตม็ m และ n ที่ทาให้ m + n = b และ m × n = c เมอ่ื กาหนด b และ c ดงั ตอ่ ไปน้ี b = 6 และ c = -27 วธิ ีทา b = 6 และ c = -27 c = -27 = 1 × (-27) แยกตัวประกอบของ -27 = (-1) × 27 = 3 × (-9) = (-3) × 9 เนื่องจาก -3 + 9 = 6 และ -3 × 9 = -27 ดังน้ัน m = -3 และ n = 9

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว จงหาจานวนเต็ม m และ n ที่ทาให้ m + n = b และ m × n = c เมือ่ กาหนด b และ c ดังตอ่ ไปนี้ b = -12 และ c = 35 วธิ ที า b = -12 และ c = 35 c = 35 = 1 × 35 แยกตวั ประกอบของ 35 =5×7 = (-5) × (-7) เนื่องจาก (-5) + (-7) = -12 และ (-5) × (-7) = 35 ดงั น้ัน m = -5 และ n = -7

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 9x + 14 วธิ ที า เนื่องจาก 2 × 7 = 14 b = 9 และ c = 14 และ 2+7=9 ดังนัน้ x2 + 9x + 14 = (x + 2)(x + 7) จงแยกตัวประกอบของ x2 - 8x - 33 วธิ ที า เนอื่ งจาก 3 × (-11) = -33 b = -8 และ c = -33 และ 3 + (-11) = -8 ดังน้นั x2 - 8x - 33 = (x + 3)(x - 11)

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดยี ว จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 9x + 18 วธิ ที า เนื่องจาก (-3) × (-6) = 18 b = -9 และ c = 18 และ (-3) + (-6) = -9 ดงั นัน้ x2 - 9x + 18 = (x - 3)(x - 6) จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 8x - 48 วธิ ีทา เนอ่ื งจาก (-4) × 12 = -48 b = 8 และ c = -48 และ (-4) + 12 = 8 ดงั นั้น x2 + 8x - 48 = (x - 4)(x + 12)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองในรปู ax2 + bx + c เมอื่ a , b, c เปน็ จานวนเตม็ และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0 เช่น 3x2 + 8x + 4 5x2 + 12x + 4 พิจารณา 3x2 + 8x + 4 เราจะเขียนแทนพจน์แต่ละพจนใ์ นพหนุ ามได้ ดงั นี้ พจนห์ นา้ 3x2 + 8x + 4 พจนห์ ลงั พจน์กลาง

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดยี ว พิจารณาหาผลคณู ของพหนุ ามสองพหนุ ามตอ่ ไปนี้ (2x + 3)(3x + 4) 3 × 4 = 12 พจนห์ น้า (2x + 3)(3x + 4) = 6x2 +12 (2x)(3x) = 6x2 พจน์หลงั

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดยี ว พิจารณาหาผลคูณของพหนุ ามสองพหุนามตอ่ ไปนี้ (2x + 3)(3x + 4) 2x × 4 = 8x พจน์กลาง (2x + 3)(3x + 4) = 6x2 + 9x + 8x +12 3 × 3x = 9x พจน์กลาง = (ใกล้ × ใกล้) + (ไกล × ไกล)

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดยี ว จงแยกตวั ประกอบของพหนุ าม 8x2 + 22x + 12 8x2 + 22x + 12 8 อาจแยกตวั ประกอบเปน็ 1 × 8 12 อาจแยกตัวประกอบเปน็ 1 × 12 หรอื 2 × 4 หรอื 3 × 4 ลองจบั คู่จานวนทแ่ี ยกกนั ได้ 2×4 เลือก 8 แยกตัวประกอบเปน็ 3×4 เลอื ก 12 แยกตัวประกอบเป็น ถ้าให้ 2 คณู คกู่ ับ 3 จะได้ 6 ถ้าให้ 4 คณู คกู่ ับ 4 จะได้ 16

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดียว จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม 8x2 + 22x + 12 จะเห็นไดว้ า่ 6 + 16 = 22 เทา่ กบั สมั ประสทิ ธิ์ของพจน์กลางพอดี จงึ นาไปใสใ่ นวงเล็บโดยให้ (ใกล้ × ใกล)้ + (ไกล × ไกล) เท่ากับ 22 อาจใสเ่ ปน็ ข้ันตอนดงั นี้ (2x )(4x ) ใส่พจน์หน้าก่อน (2x + 4)(4x + 3) ใส่พจนห์ ลัง 16x (2x + 4)(4x + 3) ตรวจสอบพจนก์ ลาง 16x + 6x = 22x 6x ดังน้ัน 8x2 + 22x + 12 = (2x + 4)(4x + 3)

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องที่เปน็ กาลังสองสมบรู ณ์ จากหัวข้อทผี่ ่านมา นักเรยี นไดเ้ รียนรเู้ กยี่ วกบั การแยกตวั ประกอบ ของพหุนามดกี รสี องในรปู ax2 + bx + c เมอื่ a , b, c เปน็ จานวนเต็ม และ a ≠ 0 ถา้ ตัวประกอบที่ไดอ้ ยใู่ นรปู ผลคณู ของ พหนุ ามทเ่ี หมอื นกันสองพหนุ าม จะเรียก ax2 + bx + c ว่า พหนุ ามดีกรีสองท่เี ป็นกาลังสองสมบูรณ์

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองท่เี ป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ พจิ ารณาวา่ พหนุ ามในแต่ละข้อตอ่ ไปนเ้ี ปน็ พหนุ ามดกี รสี องท่ีเป็น กาลังสองสมบูรณห์ รอื ไม่ x2 + 8x + 16 = (x + 4)(x + 4) = (x + 4)2 ดังนัน้ x2 + 8x + 16 เป็นพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ป็นกาลังสองสมบูรณ์ x2 + 14x + 49= (x + 7)(x + 7) = (x + 7)2 ดังนั้น x2 + 14x + 49 เป็นพหุนามดกี รีสองท่ีเป็นกาลงั สองสมบูรณ์

การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองท่ีเปน็ กาลงั สองสมบูรณ์ พิจารณา (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 จะเรยี กแทนพจน์แตล่ ะพจนข์ อง (x + a)2 ดงั น้ี พจน์หน้า (x + a)2 พจนห์ ลัง

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองท่ีเป็นกาลังสองสมบูรณ์ สามารถเขยี นความสัมพันธข์ อง x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 ได้ว่า (พจนห์ นา้ )2 + 2(พจนห์ นา้ )(พจน์หลงั ) + (พจน์หลงั )2 = (พจนห์ นา้ + พจนห์ ลัง)2 สามารถเขียนความสมั พันธข์ อง x2 - 2ax + a2 = (x - a)2 ไดว้ า่ (พจน์หนา้ )2 - 2(พจน์หน้า)(พจน์หลัง) + (พจน์หลงั )2 = (พจนห์ น้า - พจนห์ ลัง)2

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องที่เปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ นักเรียนอาจจาง่ายๆ วา่ (หนา้ )2 + 2(หน้า)(หลงั ) + (หลัง)2 = (หนา้ + หลงั )2 (หน้า)2 - 2(หน้า)(หลัง) + (หลงั )2 = (หนา้ - หลงั )2

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกาลงั สองสมบูรณ์ จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ x2 + 4x + 4 = x2 + 2(2)x + (2)2 = (x + 2)2 x2 - 12x + 36 = x2 - 2(2)x + (2)2 = (x - 2)2 4x2 + 6x + 9 = (2x)2 + 2(3)x + (3)2 = (2x + 3)2 9x2 - 8x + 16 = (3x)2 - 2(4)x + (4)2 = (3x - 4)2

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องที่เปน็ ผลตา่ งกาลงั สอง จากหัวขอ้ ท่ผี ่านมา นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของ พหนุ ามต่อไปน้ีได้วา่ x2 - 9 = (x + 3)(x - 3) 4x2 - 49 = (2x + 7)(2x - 7) เมอ่ื พจิ ารณาพหนุ ามดงั กลา่ วจะเห็นวา่ x2 - 9 = x2 - 32 4x2 – 49 = (2x)2 - 72 เรียกพหุนามดีกรสี องที่มลี กั ษณะเช่นน้วี า่ พหุนามดีกรีสองทเ่ี ปน็ ผลตา่ งกาลงั สอง

การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องที่เป็นผลต่างกาลงั สอง สามารถเขยี นความสัมพันธ์ของ x2 - a2 ไดว้ ่า (พจนห์ น้า)2 - (พจนห์ ลัง)2 = (พจนห์ น้า + พจนห์ ลงั )(พจน์หนา้ - พจนห์ ลัง) นักเรยี นอาจจาง่าย ๆ ไดว้ า่ หน้า2 - หลงั 2 = (หนา้ + หลงั )(หน้า - หลงั )

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองทเี่ ป็นผลต่างกาลงั สอง จงแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี (x - 4)2 - 64 = (x - 4)2 - (8)2 = [(x - 4) + 8][(x - 4) - 8] = (x + 4)(x - 12) ดงั นนั้ (x - 4)2 - 64 = (x + 4)(x - 12) (x + 5)2 - 81 = (x + 5)2 - (9)2 = [(x + 5) + 9][(x + 5) - 9] = (x + 14)(x - 4) ดังน้ัน (x + 5)2 - 81 = (x + 14)(x - 4)