بحث الرياضيات .

‫اﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ‬ ‫ﻏﻨﻰ ﺟﺎﺑﺮ ﻣﻘﻨﻊ اﻟﺸﮭﺮاﻧﻲ‬ ‫ﺛﺎﻟﺚ ﺛﺎﻧﻮي ﻃﺒﯿﻌﻲ‬ ‫رﯾﺎﺿﯿﺎت‬

‫اﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‬ ‫اﻟﺤﻤﺪ ' اﻟﻮاﺣﺪ اﻟﺬي ﻟﯿﺲ ﻛﻤﺜﻠﮫ ﺷﻲء‪ ،‬اﻟﺬي ﻋﻤﺖ ﺑﺤﻜﻤﺘﮫ‬ ‫اﻟﻮﺟﻮد‪ ،‬وﻧﺸﮭﺪ أﻧﮫ ﻻ إﻟﮫ إﻻ ھﻮ وﺣﺪه ﻻ ﺷﺮﯾﻚ ﻟﮫ اﻟﺤﻤﺪ وﻟﮫ‬ ‫اﻟﻤﻠﻚ وھﻮ اﻟﻐﻔﻮر اﻟﻮدود‪ ،‬وﻋﺪ ﺳﺒﺤﺎﻧﮫ وﺗﻌﺎﻟﻰ ﻣﻦ اطﺎﻋﮫ‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﺰة‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﺗﻮﻋﺪ ﻣﻦ ﻋﺼﺎه ﺑﺠﮭﻨﻢ‪ ،‬اﻣﺎ ﺑﻌﺪ‪ ،‬ﻧﻘﺪم ﻟﺴﯿﺎدﺗﻜﻢ ھﺬا‬ ‫اﻟﺒﺤﺚ‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ‬ ‫إن اﻟﺪاﻟﺔ آﻟﺔ ﺑﮭﺎ ﻣﺪﺧﻼت وأﯾ ًﻀﺎ ﻣﺨﺮﺟﺎت‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﻧﮫ ﯾﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻹﺧﺮاج ﺑﺸﻜﻞ ﻣﺎ ﺑﺎﻟﻤﺪﺧﻼت‪ ،‬وھﻲ‬ ‫ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ وﺟﻮد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﯿﻦ وھﻤﺎ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷوﻟﻰ ھﻲ اﻟﻤﺠﺎل‪ ،‬ﻛﻤﺎ أن ﻛﻞ‬ ‫ﻋﻨﺼﺮ ﺑﮭﺎ ﯾﻜﻮن ﻋﻨﺼﺮ ُﻣﻨﻔﺼﻞ‪ ،‬أﻣﺎ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ وھﻲ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ وﯾُﻤﻜﻦ أن ﯾُﻄﻠﻖ‬ ‫ﻋﻠﯿﮭﺎ اﻟﻤﺪى‪.‬‬ ‫ﻻ ﯾُﻤﻜﻦ ﻷي ﻋﻨﺼﺮ أن ﯾﻜﻮن ُﻣﻨﻔﺼﻞ ﻣﻠﺘﺤﻖ ﺑﺎﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﺄن ﯾﺮﺗﺒﻂ ﺑﻌﻨﺎﺻﺮ ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أن اﻟﻤﺪى ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺘﻲ ﻟﮭﺎ ﻓﻌﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﻧﮫ ﻻﺑﺪ ﻣﻦ ﻋﺪم‬ ‫اﻟﻤﺰج ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ وھﻤﺎ اﻟﻤﺪى واﻟﺜﺎﻧﻲ اﻟﻤﺠﺎل‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﻧﮫ ﻻ ﯾُﻤﻜﻦ ﻟﻠﺪاﻟﺔ أﻻ ﺗﻘﻮم ﺑﺘﻐﻄﯿﺔ ﻛﺎﻓﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺘﻲ‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ ﺑﺎﻟﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫ﻣﺎ ھﻲ اﻟﺪوال؟‬ ‫إن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟ ُﻤﺸﺘﻘﺔ ھﻲ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﻤﺎس اﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ ق ﻟﺪى أي ﻧﻘﻄﺔ وﻟﻜﻦ ﺑﺸﺮط وﺟﻮد‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪ ،‬ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ أﻧﮫ ﻻ ﯾُﻤﻜﻦ اﻟﻘﻮل ﺑﺄﻧﮭﺎ ﻣﻮﺟﻮدة إﻻ إن ﻛﺎﻧﺖ ﻧﮭﺎﯾﺘﮭﺎ ﺗﻮﺟﺪ ﺑﺎﻟﯿﻤﯿﻦ أو‬ ‫ﺗﻮﺟﺪ ﺑﺎﻟﯿﺴﺎر ﺑﻨﻘﻄﺔ ﻣﻌﯿﻨﺔ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أن ﻧﺴﺒﺔ ﺗﻐﯿﺮ اﻻﻗﺘﺮان اﻷوﻟﻰ ﯾﻜﻮن ق “س”‪ ،‬ﻓﺈن س=س‪١‬‬ ‫وھﻮ ﯾﺮﻣﺰ ق” س‪.”١‬‬ ‫إن ق” س‪ ″١‬ھﻮ رﻣﺰ ﻣﻦ أﺟﻞ اﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ اﻻﻗﺘﺮان ق “س”‪ ،‬ﺣﯿﺚ أن اﻟﺮﻣﺰ ن ﺧﺎص‬ ‫ﺑﺎﻻﻗﺘﺮان وھﻮ ق “س” ﻟﺪى س=س‪ ،١‬ﻛﻤﺎ أن ن = ‪ ،١،٢،٣،٤‬ﻛﻤﺎ أﻧﮫ ﺗﻢ اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﯾﻜﻮن ﻟﻮﻗﺖ طﻮﯾﻞ ﻣﻦ أﺟﻞ إﯾﺠﺎدھﺎ‪ ،‬وﯾﻜﻮن ﺑﻌﺪ ﺟﮭﻮد ﻛﺜﯿﺮة وﻣﻨﮭﺎ ﯾﺘﻢ ﺗﺴﮭﯿﻞ اﻟﻮﺻﻮل ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫أﺛﻨﺎء ﺗﺪوﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻘﻮاﻋﺪ وﺗُﺴﻤﻰ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪوال‪.‬‬ ‫ﻣﺠﺎل اﻟﺪوال‬ ‫‪٣‬‬

‫إن اﻟﺮﺑﻂ ﺑﯿﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﯾُﻄﻠﻖ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﻤﻨﻄﻠﻖ‪ ،‬وﯾﻜﻮن ﺑﻌﻨﺼﺮ ﻓﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ وھﻨﺎ‬ ‫ﯾُﻄﻠﻖ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﻨﻄﺎق اﻟﻤﺮاﻓﻖ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﻧﮫ اﻗﺘﺮان ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎت ﻛﻤﺎ أن ﻟﻼﻗﺘﺮان ‪ ٣‬ﻣﻜﻮﻧﺎت ھﻤﺎ‬ ‫اﻟﻨﻄﺎق واﻟﻨﻄﺎق اﻟﻤﺮاﻓﻖ واﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﺘﻲ ﺗﻘﻮم ﺑﺎﻟﺮﺑﻂ ﺑﯿﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ وﺗﺠﻌﻠﮭﻢ ﻋﻨﺼﺮ واﺣﺪ‪.‬‬ ‫إن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ﺑﺎﻟﻨﻄﺎق اﻟﻤﺮاﻓﻖ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻋﺪة ﺻﻮر ﻋﻨﺎﺻﺮ ﯾُﻄﻠﻖ ﻋﻠﯿﮭﺎ‬ ‫ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ أو ﺗُﺴﻤﻲ ﻣﺪى اﻻﻗﺘﺮان‪ ،‬وھﺬا ﯾﺪل ﻋﻠﻰ ﻣﺪى اﻻﻗﺘﺮان ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻓﻲ ھﺬا‬ ‫اﻟﻨﻄﺎق اﻟﺬي ﯾﻜﻮن ﻣﺮاﻓﻖ ﻟﻼﻗﺘﺮان‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﻧﮫ ﯾﻮﺟﺪ أﻧﻮاع ﻣﺘﺒﺎﯾﻨﺔ ﻋﺪﯾﺪة ﻟﻠﺪوال وھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‪ ،‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ وأﯾ ًﻀﺎ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟ ُﻤﺴﺘﻤﺮة ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ‪ ،‬وأﯾ ًﻀﺎ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘﻨﺎﻗﻀﺔ واﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ واﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﺮﯾﺤﺔ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻔﺮدﯾﺔ واﻟﻀﻤﻨﯿﺔ واﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫واﻟﺰوﺟﯿﺔ واﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺸﺎﻣﻠﺔ‪.‬‬ ‫أﻧﻮاع اﻟﺪوال‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‪ :‬إن اﻻﻗﺘﺮان ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻜﻮن ﺛﺎﺑﺖ وھﻲ ﺛﺒﺎت اﻟﺘﺎﺑﻊ وﻻ ﯾُﻤﻜﻦ ﺗﻐﯿﺮ ﻗﯿﻤﺘﮫ‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ‪ :‬إن اﻻﻗﺘﺮان ﻓﯿﮭﺎ ﯾﻜﻮن ُﻣﺮﻛﺐ‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ‪ :‬داﻟﺔ ﺑﮭﺎ ﻗﯿﻢ ﻋﻘﺪﯾﺔ ﻛﻤﺎ أﻧﮭﺎ داﻟﺔ ﺗﺎﻣﺔ‪ ،‬وﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ وأﯾ ًﻀﺎ‬ ‫اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ وھﻨﺎك دوال اﻟﺮﻓﻊ ﺑﮭﺎ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ أﻧﻮاع أﺧﺮى‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻀﻤﻨﯿﺔ‪ :‬داﻟﺔ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﻌﺪدة ﻓﻲ ﻣﺘﻐﯿﺮاﺗﮭﺎ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﻧﮭﺎ ذو اﻗﺘﺮان ﺗﻀﺎﻣﻨﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺰوﺟﯿﺔ‪ :‬داﻟﺔ ﺗﻤﺘﻠﻚ ﺷﺮﯾﻚ ﺑﺎﻟﺘﻤﺎﺛﻞ وﺑﮭﺎ اﻗﺘﺮان زوﺟﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‪ :‬ﺑﮭﺎ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻨﻄﻠﻘﺔ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﻜﻮﺳﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ﺑﺎﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪ ،‬ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻨﺎظﺮﯾﺔ أ ﻟـ ب ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﺳﻮف ﺗﻜﻮن ب ﻟـ أ‪.‬‬ ‫اﻟﺪوﻟﺔ اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ‪ :‬داﻟﺔ ﺗﺘﻌﻠﻖ ﻋﻨﺎﺻﺮھﺎ ﺑﻨﻔﺴﮭﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺸﺎﻣﻠﺔ‪ :‬إن ﻣﺠﻤﻠﮭﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﺑﺎﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﺮﯾﺤﺔ‪ :‬إن اﻻﻗﺘﺮان ﺑﮭﺎ ﯾﻜﻮن ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺪﻟﺔ اﻟﺼﺮﯾﺢ‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟ ُﻤﺴﺘﻤﺮة‪ :‬ھﻲ داﻟﺔ ﯾﻜﻮن ﺑﮭﺎ ﺗﻐﯿﺮ وﻟﻮ ﺑﺴﯿﻂ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أن ﺷﻜﻠﮭﺎ ﯾﻜﻮن رﯾﺎﺿﻲ‪.‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺘﻨﺎﻗﻀﺔ‪ :‬إن ﺗﻠﻚ اﻟﺪاﻟﺔ ﯾﻜﻮن ﺑﮭﺎ اﻗﺘﺮان ﻣﺘﻨﺎﻗﺾ‪.‬‬ ‫‪٤‬‬

‫ﺗﺘﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﯿﻦ‪ ،‬اﻷوﻟﻰ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺠﺎل وﯾﺘﻜﻮن ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﺑﮭﺎ ﻣﻨﻔﺼﻼً‪،‬‬ ‫أﻣﺎ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ﺗﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‪ ،‬وﻟﮭﺎ ﻣﺴﻤﻰ آﺧﺮ وھﻮ اﻟﻤﺪى‪ ،‬ﻛﻤﺎ أن‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻌﺘﺒﺮ آﻟﺔ ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻣﺪﺧﻼت وﻣﺨﺮﺟﺎت‪ ،‬ﺣﯿﺚ ﺗﺘﻌﻠﻖ اﻟﻤﺨﺮﺟﺎت ﺑﺎﻟﻤﺪﺧﻼت‪.‬‬ ‫ﯾﺠﺐ ﻋﺪم اﻟﺨﻠﻂ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺪى واﻟﻤﺠﺎل‪ ،‬ﺣﯿﺚ ﯾﻌﺮف اﻟﻤﺪى ﺑﺄﻧﮫ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﯿﻢ‬ ‫اﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ‪ ،‬ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن اﻟﻤﺪى ﺟﺰء ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل‪ ،‬وﻻ ﺗﻐﻄﻲ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﻘﯿﻢ‪.‬‬ ‫اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﻨﻔﺼﻠﺔ اﻟﺨﺎﺻﺔ ﺑﺎﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷوﻟﻰ ﻻ ﯾﻤﻜﻨﮭﺎ اﻻﻟﺘﺤﺎق ﺑﺎﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺠﺎل اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﺑﺄﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮ‪.‬‬ ‫‪٥‬‬

٦

‫اﻟﺨﺎﺗﻤﺔ‬ ‫وأرﺟﻮ ﻣﻦ ﷲ أن ﯾﻨﺎل اﺳﺘﺤﺴﺎﻧﻜﻢ‪ ،‬وﻓﻲ اﻟﻨﮭﺎﯾﺔ ﻣﺎ ﯾﺴﻌﻨﻲ إﻻ ﺗﻘﺪﯾﻢ اﻟﺸﻜﺮ‬ ‫ﻟﻤﺘﺎﺑﻌﺘﻜﻢ‪ ،‬وﺳﻌﺔ ﺻﺪورﻛﻢ ﻓﻲ ﻗﺮاءة اﻟﺒﺤﺚ‪ ،‬وأﺳﺄل ﷲ اﻟﺘﻮﻓﯿﻖ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ‬ ‫• ﻣﻮﻗﻊ ﻣﻮﺿﻮع‬ ‫• ﻣﻮﻗﻊ وﯾﻜﯿﺒﯿﺪﯾﺎ‬ ‫‪٧‬‬

‫اﻟﻔﮭﺮس‬ ‫اﻟﻤﻘﺪﻣﺔ‪١............................................................‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ‪٢....................................‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ‪٣................................‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺎت واﻟﺪوال اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ‪٤............................‬‬ ‫ﺻﻮر ‪٥..........................................‬‬ ‫اﻟﺨﺎﺗﻤﺔ‪٦....................................‬‬ ‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ‪٦........................‬‬ ‫اﻟﻔﮭﺮس‪٧.............‬‬ ‫‪٨‬‬