บทที่ 9 สถิติเบื้องต้นสำหรับการวัดและประเมินผลการเรียนรู้

- 155 - บทที่ 9 สถิติทีเ่ กี่ยวข้องกบั การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ ได้ข้อมูลท้ังเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพ ซึ่งผลที่ได้ จากการวัดในเชิงปริมาณจะแสดงออกมาในลักษณะตัวเลข ที่ใช้แทนพฤติกรรมหรือ คุณลักษณะของผู้เรียน เพื่อตรวจสอบว่าเป็นไปตามจุดประสงค์หรือไม่ ตัวเลขเหล่าน้ันจาเป็น ที่จะต้องแปลความหมายหรืออธิบายให้มีความชัดเจนขึ้น จึงต้องอาศัยวิธีการทางสถิติมาช่วย ในการอธิบาย โดยการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณโดยใช้สถิติ และนาเสนอข้อมูลสารสนเทศ ความรเู้ รื่องสถิตทิ ี่เกี่ยวข้องกบั การวดั และประเมินผลการเรียนรู้ จงึ จาเป็นต่อครูผู้สอน 1. ความหมายของสถติ ิ สถิติ (Statistics) มีความหมายอยู่หลายประการ ดังน้ี 1.1 สถิติ หมายถึง “ข้อมูลสถิติ” ตัวเลขที่ใช้แทนข้อเท็จจริงในสิ่งที่สนใจจะศึกษา เช่น จานวนนักเรียนทีเ่ ข้าเรียนในแตล่ ะปีการศึกษา จานวนนักเรียนที่มาเรียนในแตล่ ะวนั เปน็ ต้น 1.2 สถิติ หมายถึง “สถิติศาสตร์” เป็นความรู้ที่เกี่ยวข้องกับวิธีการในการศึกษาข้อมูล หรือ ระเบียบวิธีทางสถิติ ประกอบด้วย การเก็บรวบรวมข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล การตคี วามหมายข้อมูล และการนาเสนอข้อมูล 1.3 สถิติ หมายถึง “วิชาสถิติ” เป็นแขนงหนึ่งของวิชาทางวิทยาศาสตร์ ที่มีเนื้อหา ความรรู้ ากฐานมากจากคณิตศาสตร์ 1.4 สถิติ หมายถึง “ค่าสถิติ” เป็นค่าตัวเลขที่มีการคานวณจากกลุ่มตัวอย่าง เช่น ค่าเฉลีย่ ของกลุ่มตัวอย่าง ( x ) และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง (S.D.) เปน็ ต้น 2. ประเภทของสถติ ิ สถิตแิ บ่งออกเปน็ 2 ประเภท ดังนี้ 2.1 สถิติเชิงบรรยาย (Descriptive Statistic) หรือสถิติพรรณา เป็นสถิติที่มุ่ง บรรยายลักษณะของข้อมูลชุดหนึ่งๆ ทีเก็บรวบรวมได้จาก ประชากร หรือการเลือก กลุ่มเป้าหมาย โดยไม่นาผลที่ได้ไปอ้างสรุปถึงกลุ่มอื่น เช่น ครูผู้สอนทาการทดสอบก่อนเรียน กับนักศึกษาสาขาวิชาภาษาไทย กลุ่ม 1 จานวน 30 คน โดยมีคะแนนเฉลี่ยทั้งห้อง 12.50 คะแนน จากคะแนนเต็ม 20 คะแนน นั่นหมายถึง คะแนนนเี้ ปน็ ของนักศึกษาสาขาวิชาภาษาไทย กลุ่ม 1 เท่านั้น ไม่สามารถนาคะแนนก่อนเรยี นไปอ้างองิ ถึงนกั ศึกษากลุ่มอ่นื ๆ ได้ เปน็ ต้น

- 156 - การวิเคราะหข์ ้อมลู โดยใช้สถิตบิ รรยาย ได้แก่ 2.1.1 การนาเสนอข้อมูลรปู แบบการบรรยาย ตาราง กราฟ แผนภมู ิ รูปภาพ 2.1.2 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง ได้แก่ ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนยิ ม 2.1.3 การวัดการกระจายเพื่อดูการกระจายของข้อมูล ได้แก่ พิสัย ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน ความแปรปรวน 2.1.4 การจัดตาแหน่งเปรียบเทียบ เช่น ความถี่ ร้อยละ สัดส่วน อัตราส่วน เปอร์เซ็นไทล์ ควอไทล์ เป็นต้น 2.1.5 การวัดการแจกแจง เชน่ ความโด่ง ความเบ้ เป็นต้น 2.2 สถิติเชิงอ้างอิง (Inferential Statistic) เป็นสถิติที่ศึกษากับกลุ่มตัวอย่าง แล้วสรุปผลที่ได้อ้างอิงถึงกลุ่มประชากร เนื่องจากการศึกษาประชากรมีขนาดใหญ่ ซึ่งไม่สามารถศึกษาได้ทั้งหมด จึงสุ่มกลุ่มตัวอย่าง แล้วนาผลการวิเคราะห์ไปอ้างอิงประชากร เชน่ การทดสอบความรภู้ าษาไทยของนักเรียนจังหวัดหนึ่ง ครูผสู้ อนจะทดสอบความรู้ภาษาไทย จากผู้เรียนกลุ่มหนึ่งในจังหวัด ซึ่งเป็นตัวแทนของนักเรียนทั้งจังหวัด แล้วสรุปผลที่ได้จากกลุ่ม นกั เรียนกลุ่มน้ีไปยงั นกั เรียนท้ังจงั หวดั เปน็ ต้น สาหรับเอกสารประกอบการสอนนี้ ขอนาเสนอสถิติบรรยายเพือ่ การวัดและประเมินผล การเรียนรขู้ องผู้เรยี น 3. มาตรการวดั ข้อมูลหรือระดบั การวัด การวิเคราะห์ข้อมูลที่ได้จะมีลักษณะแตกต่างกันออกไป ซึ่งครูผู้สอนจะต้องทราบว่า ข้อมูลที่รวบรวมได้ อยู่ในระดับใด แล้วเลือกใช้สถิติให้เหมาะสมกับระดับนั้น ๆ มาตรการวัด (Scale of Measurement) แบ่งออกเป็น 4 ระดับ (อิทธิพันทธ์ สุวทันพรกูล, 2557; Stevens, 1945) ดงั ต่อไปนี้ 3.1. มาตรนามบัญญัติ (Nominal Scale) เปน็ การกาหนดตัวเลขให้กบั สิ่งต่าง ๆ ทีจ่ ะ วัด และตัวเลขที่กาหนดขึ้นเป็นตัวแทนของสิ่งที่ถูกวัดเท่านั้น เช่น เพศ (หญิง/ชาย) ภูมิภาค (เหนือ/กลาง/ใต้/ออก/ตก/อีสาน) อาชีพ (รับราชการ/ธรุกิจส่วนตัว/รับจ้าง/ค้าขาย) ศาสนา (พุทธ/คริสต์/อิสลาม เบอร์โทรศัพท์ เลขที่บ้าน หมายเลขประจาตัวผู้เรียน เป็นต้น ยกตัวอย่าง เช่น การกาหนดตัวเลข โดยกาหนดเลข 1 แทน เพศหญิง เลข 2 แทน เพศชาย ตัวเลขเหล่านี้ ไม่มีความหมายทางจานวน จะนามาบวก ลบ คูณ หาร กันไม่ได้ สถิติเบื้องต้นที่ใช้ ได้แก่ ความถี่ ร้อยละ ฐานนยิ ม โดยใช้วธิ ีการแจกแจงความถี่ หรอื การนบั

- 157 - 3.2 มาตรเรียงอันดับ (Ordinal Scale) เป็นการจัดอันดับข้อมูลที่แบ่งกลุ่มได้ และ บอกได้ว่าอะไรมาก่อนหลังหรือดีกว่ากัน แต่มีช่วงที่ไม่เท่ากัน จึงไม่สามารถบอกได้ว่า ความแตกต่างระหว่างช่วงเท่ากันหรือไม่ เช่น ลาดับการสอบได้ที่ 1 2 3 หรือการประกวด สุนทรพจน์ ได้ลาดับที่ 1 2 3 ซึ่งเราทราบว่าคนที่ได้ที่ 1 เก่งกว่าคนที่ได้ที่ 2 และคนที่ได้ที่ 2 เก่งกว่าคนที่ได้ที่ 3 แต่ไม่สามารถทราบได้ว่าคนที่ 1 เก่งกว่าคนที่ 2 เท่าไร เพราะช่วง ของคะแนนอาจไม่เท่ากัน ตัวเลขในการวัดระดับนี้ จะนามาบวก ลบ คูณ หาร กันไม่ได้ สถิตเิ บอื้ งตน้ ทีใ่ ช้ ได้แก่ ความถี่ ร้อยละ ฐานนยิ ม มัธยฐาน 3.3 มาตรอันตรภาค (Interval Scale) เป็นการวัดที่แบ่งกลุ่มได้ บอกได้ว่าอะไร มาก่อนหลัง ความห่างแต่ละช่วงเท่ากัน แต่การวัดในระดับนี้ ไม่มี “0” (ศูนย์) แท้ หรือเรียกว่า “0” (ศูนย์) เทียม เชน่ อณุ หภูมิวนั นี้ 35 องศาเซลเซียส ซึ่งอุหภูมิสามารถบอกช่วงทีเ่ ท่ากันและ บอกร้อน-เย็นได้ หากมีอุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียส ก็ไม่ได้หมายความว่าไม่มีอุณหภูมิหรือไม่มี อากาศ หรือ คะแนนของนักศึกษาที่สอบวิชาการวัดและประเมินผลการเรียนรู้ได้ 0 คะแนน ก็ไม่ได้หมายความว่านักศึกษาคนน้ันไม่มีความรู้ใด ๆ เลย เป็นต้น ผลการวัดในระดับนี้ สามารถนามาบวก ลบ กันได้ เช่น วินัยสอบวิชาคณิตศาสตร์ได้ 30 คะแนน วีรชัยสอบได้ 15 คะแนน บอกได้ว่าวินัยได้คะแนนมากกว่าวีรชัย 15 คะแนน และได้มากกว่าเป็น 2 เท่าของวีรชัย สถิติเบื้องต้นที่ใช้ ได้แก่ ความถี่ ร้อยละ ฐานนิยม มัธยฐาน ค่าเฉลี่ย พิสัย ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน 3.4 มาตรอัตราส่วน (Ratio Scale) เป็นมาตรการวัดที่สมบูรณ์ที่สุด มีคุณสมบัติ เหมือนกับมาตรอันตรภาค คือ สามารถบอกลาดับก่อนหลังได้ มีช่วงระยะห่างที่เท่ากัน แต่มาตรอัตราส่วนมี “0” (ศูนย์) ที่แท้จริง เช่น น้าหนัก 0 กิโลกรับ แปลว่า ไม่มีน้าหนักเลย มีเงิน 0 บาท แปลว่า ไม่มีเงินเลย สถิติเบื้องต้นที่ใช้ ได้แก่ ความถี่ ร้อยละ ฐานนิยม มัธยฐาน ค่าเฉลี่ย พิสัย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ข้อมูลระดับนี้สามารถบวก ลบ คุณ หารกันได้ และ มักจะเป็นข้อมูลของการวัดทางกายภาพ เช่น ความสูง ความยาว น้าหนกั อายุ เวลา ความเร็ว เปน็ ต้น โดยกล่าวได้ว่า การวัดที่อยู่ในมาตรนามบัญญัติและมาตรเรียงอันดับ จะได้ข้อมูล เชิงคุณภาพ ส่วนการวัดที่อยู่ในมาตรอันตรภาคและมาตรอัตราส่วนจะได้ข้อมูลเชิงปริมาณ และสามารถสรุปได้ตารางต่อไปนี้

- 158 - ตารางที่ 9.1 มาตรการวัด มาตรการวัด คุณสมบตั ิ ตวั อยา่ ง สถิติทใ่ี ช้ เพศ (ชาย/หญิง) ความถี่ ร้อยละ ฐานนิยม 1. นามบัญญัติ บอกความแตกต่าง ลาดบั ในการสอบ ความถี่ ร้อยละ ฐานนิยม (Nominal Scale) (ที่ 1/ ที่ 2/ ที่ 3) มธั ยฐาน คะแนนการสอบ ความถี่ ร้อยละ ฐานนิยม 2. เรียงอนั ดบั บอกความแตกต่าง ได้ 0 คะแนนไม่ได้ มธั ยฐาน ค่าเฉลี่ย พิสัย แปลว่าไม่มคี วามรู้ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Ordinal Scale) เรียงก่อนหลัง เลย น้าหนัก ความถี่ ร้อยละ ฐานนิยม 3. อนั ตรภาค บอกความแตกต่าง ส่วนสูง มธั ยฐาน ค่าเฉลี่ย พิสยั รายได้ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน (Interval Scale) เรียงก่อนหลงั ช่วงห่างเท่ากนั ไม่มศี นู ย์แท้ (ศูนย์เทียม) 4. อตั ราส่วน บอกความแตกต่าง (Ratio Scale) เรียงก่อนหลัง ช่วงห่างเท่ากนั มีศูนย์แท้ 4. สถิตเิ บื้องตน้ ในการวัดและประเมินผลการเรียนรู้ ส ถิ ติ เบื้ อ งต้ น ที่ ใ ช้ ใน ก า ร วั ด แ ล ะ ป ร ะ เมิ น ผ ล ก าร เรีย น รู้ มี ห ล าย ลั ก ษ ณ ะ ขึ้ น อ ยู่ กั บ จดุ มงุ่ หมายทีจ่ ะใช้ โดยสามารถแบ่งได้ 3 กลุ่ม (พิชิต ฤทธิ์จรญู , 2553; อนุวตั ิ คูณแก้ว, 2558; สมนึก ภัททิยธนี, 2558) ดงั น้ี 4.1 สถิติทีใ่ ช้ในการบรรยายลักษณะของขอ้ มูล ได้แก่ 1) การแจกแจงความถี่ 2) การวัด แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง (ฐานนิยม มัธยฐาน ค่าเฉลี่ย) 3) การวัดการกระจาย (พิสัย ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน) 4) การวัดตาแหน่งและ การเปรียบเทียบ (ความถี่ ร้อยละ สัดส่วน อตั ราส่วน เปอร์เซ็นไทล์) 4.2 สถิติที่ใช้ในการแปลความหมายคะแนน ได้แก่ คะแนนมาตรฐานแบบต่าง ๆ เช่น 1) คะแนนซี (Z-Score) 2) คะแนนที (T-Score) 3) คะแนนสเตไนน์ (Stanine) เปน็ ต้น 4.3 สถิติที่ใช้ในการตรวจสอบคุณภาพของแบบสอบ ได้แก่ 1) ค่าความยากง่าย ของ ข้อสอบ (Level of difficulty) 2) ค่าอานาจจาแนกของข้อสอบ (Power of Discrimination) 3) ค่าความเที่ยงตรง/ความตรง (Validity) 4) ค่าความเชื่อมั่น/ความเที่ยง (Reliability) ซึ่งสถิติ ที่ใชใ้ นการตรวจสอบคุณภาพของแบบสอบ รายละเอียดได้กล่าวไว้ในบทที่ 8

- 159 - 4.1 สถิติที่ใชใ้ นการบรรยายลกั ษณะของข้อมูล 4.1.1) การแจกแจงความถ่ี เป็นการนาข้อมูลหรือคะแนนที่ได้จากการวัด มาจัดเรียงใหม่จากคะแนนสูงไปต่าหรือต่าไปสูง เพื่อช่วยให้สะดวกในการพิจารณาและคานวณ ค่าสถิติ ซึ่งการแจกแจงความถี่ แบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ 1) แบบไม่จัดหมวดหมู่ เป็นการแจกแจงความถี่ได้โดยเรียงลาดับข้อมูล แล้วขดี รอยคะแนน (Tally) เพือ่ หาความถีข่ องข้อมูลแต่ละตัว ดังน้ี ตวั อย่างการแจกแจงความถีแ่ บบไม่จัดหมวดหมู่ ในการสอบวิชาวิทยาศาสตร์ มีผู้เข้าสอบ 30 คน ได้คะแนนดังนี้ 39 38 44 45 36 43 47 49 36 43 50 41 44 43 36 42 41 44 43 45 49 35 39 48 41 40 40 45 48 43 โดยเรียงคะแนนจากสงู ไปหาต่า ขีดรอยคะแนนและนับรอยคะแนนใส่ตัวเลขในช่องความถี่ คะแนน (x) รอยขีด ความถ่ี (f) คะแนน (x) รอยขีด ความถ่ี (f) 50 / 1 42 / 1 49 // 2 41 /// 3 48 // 2 40 // 2 47 / 1 39 // 2 45 /// 3 38 / 1 44 /// 3 36 /// 3 43 ///// 5 35 / 1 2) แบบจัดหมวดหมู่ เป็นการแจกแจงความถี่ได้โดยจัดข้อมูลที่เหมือนกัน หรือใกล้เคียงกันเข้าเป็นกลุ่ม/ชั้นเดียวกัน ในกรณีที่มีข้อมูลจานวนมาก การแจกแจงความถี่ จะต้องใช้ตารางที่มบี รรทดั มาก ไม่กะทดั รดั จงึ นยิ มจดั ข้อมลู เปน็ ชว่ งคะแนน ดงั น้ี 1. หาพิสัย (range) คือ ความแตกต่างระหว่างคะแนนสูงกับคะแนนต่า ดังนนั้ พสิ ัย = คะแนนสูงสดุ – คะแนนต่าสุด 2. กาหนดจานวนชั้นคะแนนที่ตอ้ งการ 3. หาช่วงความกว้าง (อันตรภาคชั้น) interval จากสูตร อัตรภาคชั้น = พิสัย / จานวนชนั้ 4. เขียนขีดจากดั ของคะแนนโดยช้ันของคะแนนสงู ไปถึงตา่ 5. ขีดรอยคะแนนแล้วนับจานวนรอยขีดใส่ในชอ่ งความถี่

- 160 - จากข้อมูลในตัวอย่างการแจกแจงความถีแ่ บบไม่จดั หมวดหมู่ มีวธิ ีทาดังน้ี 1. หาพิสัย (range) = 50 – 35 = 15 2. กาหนดจานวนช้ัน 6 ช้ัน 3. หาช่วงความกว้าง (อันตรภาคช้ัน) interval 15/6=2.5 ได้แก่ 50-48,47-45,44-42,41-39,38-36,35-33 4. เขียนขีดจากดั ของคะแนนโดยชั้นของคะแนนสงู ไปถึงตา่ 5. ขีดรอยคะแนนแล้วนับจานวนรอยขีดใส่ในชอ่ งความถี่ ดงั ตารางต่อไปนี้ คะแนน (X) รอยขีด ความถ่ี (f) 50-48 ///// 5 47-45 //// 4 44-42 ///// //// 9 41-39 ///// // 7 38-36 //// 4 35-33 / 1 4.1.2) การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง เป็นการคานวณหาค่ากลางที่เหมาะสม ที่สุดที่จะเป็นตวั แทนของข้อมูลท้ังหมด แบ่งออกเป็น 3 ประเภท ดงั น้ี 4.2.1 ฐานนิยม (Mode) คือ ข้อมูลที่มีค่าซ้ากันมากที่สุด หรือข้อมูลที่มี ความถี่สูงสุดในข้อมูลชุดน้ัน ๆ 1) กรณที ข่ี อ้ มลู ไมม่ ีการแจกแจงความถี่ วิธีการหาฐานนิยม โดยพิจารณาว่าข้อมูลตัวใดซ้ากนั มากทีส่ ดุ เช่น ข้อมูลชดุ ที่ 1 6578974 ข้อมูลชดุ ที่ 2 6578924 ข้อมูลชุดที่ 3 6578754 ฐานนยิ ม คือ ข้อมลู ชุดที่ 1 ฐานนิยม คือ 7 ข้อมลู ชดุ ที่ 2 ฐานนิยม คือ ไม่มีฐานนิยม ข้อมูลชุดที่ 3 ฐานนิยม คือ 7 และ 5

- 161 - 2) กรณที ข่ี อ้ มลู การแจกแจงความถ่ี 2.1) กรณที ไ่ี ม่มีการจดั หมวดหมู่ ตวั อยา่ งการแจกแจงความถี่แบบไมจ่ ดั หมวดหมู่ จงหาฐานนยิ มจากข้อมลู ต่อไปนี้ คะแนน (X) ความถ่ี (f) 12 1 13 3 14 9 15 2 16 3 17 5 18 2 รวม 25 ดงั นน้ั ฐานนิยม คือ 14 เพราะมีความถีส่ ูงสดุ เท่ากับ 9 2.2) กรณที ม่ี กี ารจัดหมวดหมู่ สตู ร mod  L  i d d1  d2 เมื่อ mod แทน ฐานนยิ ม L แทน ขีดจากดั ล่างของช้ันที่มฐี านนิยมอยู่ i แทน อนั ตรภาคชนั้ d1 แทน ผลตา่ งของความถี่ช้ันที่มีฐานนิยมกับชั้นคะแนนต่ากว่าถัดไป d2 แทน ผลตา่ งของความถี่ช้ันที่มีฐานนิยมกบั ชั้นคะแนนสูงกว่าถดั ไป

- 162 - ตวั อยา่ งการแจกแจงความถี่แบบจัดหมวดหมู่ จงหาฐานนยิ มจากข้อมูลต่อไปนี้ คะแนน (X) ความถ่ี (f) 7-13 4 14-20 9 21-27 3 28-34 4 35-41 7 42-48 3 N=30 วิธีทา 1. พิจารณาชั้นทีม่ ฐี านนิยม (ช้ันที่มคี วามถีส่ ูงสุด) คอื คะแนน 14 – 20 2. mod  L  i d d1  d2 3. L คือ 13.5, i คือ พิสัยหารจานวนช้ัน  48  7  6.8  7 6 4.  13.5  7 5 5 6  =16.68    ดังนนั้ ฐานนิยม คือ 16.68 เพราะมีความถี่สูงสดุ เท่ากับ 9 4.2.2 มัธยฐาน (Median) เป็นค่ากึ่งกลางของคะแนนท้ังหมด การหา ค่ามัธยฐานต้องเรียงข้อมูลจากน้อยไปหามากหรือมากไปหาน้อย ค่าที่อยู่ตาแหน่งกึ่งกลางจะ เป็นค่ามธั ยฐาน สตู ร mdn  n  1 เมื่อ mdn แทน มัธยฐาน n แทน จานวนข้อมลู ท้ังหมด 2 1) กรณที ข่ี ้อมลู ไม่มีการแจกแจงความถี่ ข้อมูลชุดที่ 1 10 11 12 13 15 16 ข้อมลู ชดุ ที่ 2 10 11 12 13 15 15 16 ข้อมลู ชดุ ที่ 1 ข้อมูลมี 6 ตาแหน่งกึ่งกลาง คือ 6 1 = 3.5 2 ค่าที่อยู่กึง่ กลาง ก็คือ 12 13 =12.5 ดังนั้น Median = 12.5 2 ข้อมูลชดุ ที่ 2 ข้อมลู มี 7 ตาแหน่งกึง่ กลาง คือ 7 1 (7+1)/2 = 4 2 ค่าทีอ่ ยู่กึง่ กลาง ก็คือ ตาแหน่งที่ 4 ดังนนั้ Median = 13

- 163 - 2) กรณที ข่ี ้อมลู การแจกแจงความถ่ี 2.1) กรณที ไ่ี ม่มีการจัดหมวดหมู่ ตัวอยา่ งการแจกแจงความถี่แบบไม่จดั หมวดหมู่ จงหาค่ามัธยฐานจากคะแนนวิชาวิทยาศาสตรต์ ่อไปนี้ คะแนน (X) ความถ่ี (f) ความถ่สี ะสม (cf) 35 5 72 33 5 67 32 9 62 30 13 53 29 18 40 25 15 22 24 7 7 n = 72 วิธีทา 1. ตาแหน่งของมธั ยฐาน = mdn  n 1 = 30 1 =15.5 22 2. พิจารณาค่า ความถี่สะสม (cf) ค่ามัธยฐานจะอยู่ในชั้น cf=40 3. ตรงกบั คะแนน 29 ด้ังน้ันคา่ มัธยฐานของขอ้ มูลคะแนนวิชาวิทยาศาสตร์ คือ 29 2.2) กรณที ม่ี ีการจดั หมวดหมู่ สูตร mdn  L   n  F   2 f  i    เม่อื mdn แทน มธั ยฐาน L แทน ขีดจากดั ล่างในชั้นที่มมี ัธยฐานอยู่ i แทน ความกว้างของอัตรภาคชน้ั n แทน จานวนข้อมูลท้ังหมด F แทน ความทีส่ ะสมในช้ันคะแนนก่อนถึงช้ันที่มมี ธั ยฐานอยู่ f แทน ความถีใ่ นชนั้ ที่มีมธั ยฐานอยู่

- 164 - ตัวอยา่ งการแจกแจงความถี่แบบจดั หมวดหมู่ จงหาค่ามัธยฐานจากคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ตอ่ ไปนี้ คะแนน (X) ความถ่ี (f) ความถ่สี ะสม (cf) 9 – 13 1 1 14 – 18 4 5 19 – 23 6 11 24 - 28 12 23 29 - 33 10 33 34 - 38 5 38 39 - 48 2 n = 40 วิธีทา 1. ตาแหน่งของมธั ยฐาน = mdn  n 1 = 40 1 =20.5 22 2. พิจารณาค่า ความถีส่ ะสม (cf) ค่ามธั ยฐานจะอยู่ในช้ัน cf=23 n  F    3. ตรงกับคะแนน 24 – 28 4. mdn  L  i 2    f  5. L = 23.5, i คือ พิสยั หารจานวนช้ัน  48  9  5.57  6 , F=11, f=12, n=40 7 6.  23.5   40  11  23.5  6 20  11  23.5  4.5  28  2  12  6   12   ด้ังนั้นคา่ มัธยฐานของขอ้ มูลคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ คือ 28 4.2.3 ค่าเฉลี่ย (Mean หรือ Average) เป็นนาข้อมูลทั้งหมดมารวมกันแล้ว หารด้วยจานวนข้อมลู โดยใช้สัญลักษณ์ คือ x อ่านว่า เอก็ ซ์บาร์ มดี ังน้ี 1) กรณขี ้อมลู ไม่ได้การแจกแจงความถ่ี สตู ร x   x n เมื่อ x แทน ค่าเฉลีย่  x แทน ผลรวมของคะแนนท้ังหมด n แทน จานวนข้อมลู ทั้งหมด

- 165 - ตวั อย่างการหาค่าเฉลี่ย กรณขี ้อมูลไมไ่ ด้การแจกแจงความถ่ี (แบบเรยี งคะแนนแต่ละจานวน) จงหาค่าเฉลี่ยของคะแนนต่อไปนี้ อายขุ องนักศกึ ษามีดังน้ี 20 22 23 27 19 23 20 วิธีทา x   x n  20  22  23  27  19  23  20 7  154 = 22 7 ดังนนั้ ข้อมลู เฉลี่ยของอายนุ ักศึกษา คอื 22 2) กรณขี อ้ มูลมีการแจกแจงความถ่ี 2.1) แบบจัดหมวดหมู่ สตู ร x   fx n เมื่อ x แทน ค่าเฉลี่ย f แทน ความถี่  fx แทน ผลรวมของคะแนนท้ังหมด n แทน จานวนข้อมูลทั้งหมด จงหาค่าเฉลี่ยจากข้อมลู ต่อไปนี้ 452348678834565 364556784426774 วิธีทา - สร้างตารางแจกแจงความถี่แบบเรียงคะแนนแตะ่ จานวน) คะแนน (X) ความถ่ี (f) fx 224 339 4 7 28 5 5 25 6 5 30 7 4 28 8 4 32 รวม 30 156

- 166 - x   fx n  156 30  154 = 5.2 7 ดงั นนั้ ข้อมูลเฉลี่ย คือ 5.2 2.2) แบบไมจ่ ดั หมวดหมู่ การหาค่าเฉลีย่ ของขอ้ มลู ที่มีการแจกแจงความถี่แบบไม่จดั หมวดหมู่ โดยให้ X เปน็ คะแนนจุดกลางช้ัน (Midpoint) ซึ่งหาได้โดยเอาขดี จากัดล่าง และขีดจากัดบนรวมกนั แล้วหารด้วย 2 แล้วหาค่าเฉลี่ยโดยใช้สูตรเดิม ตวั อย่างการหาค่าเฉลีย่ กรณขี อ้ มลู ไมไ่ ด้การแจกแจงความถ่ี (แบบเรยี งคะแนนเป็นกลมุ่ ) จงหาค่าเฉลี่ยจากข้อมูลต่อไปนี้ 12 5 10 3 14 18 16 17 8 19 13 22 23 14 15 7 8 13 16 14 3 15 4 7 24 20 1 6 9 2 8 17 9 19 21 25 23 4 9 10 วิธีทา - สร้างตารางแจกแจงความถี่แบบเรียงคะแนนเป็นกลุ่ม คะแนน ความถ่ี (f) จดุ กึ่งกลางคะแนน (X) fx 21 – 25 6 23 138 16 -20 8 18 144 11 – 15 8 13 104 6 – 10 11 8 88 1–5 7 3 21 รวม 40 495 จุดกึ่งกลางของขอ้ มูลชนั้ บนสุด คือ 21 25  23 2 x   fx n  495 = 12.375 40 ดงั นน้ั ข้อมูลเฉลี่ย คือ 12.375

- 167 - ตัวอย่างการหาค่าเฉลี่ยของข้อมลู ที่มีการถ่วงนา้ หนัก (The weighted mean) สูตร x  W1X1  W2X2  W3X3  ... WnXn  WX W1  W2  W3  ... Wn W เมื่อ x แทน ค่าเฉลีย่ X แทน คะแนน W1 W2 W3 … Wn แทน น้าหนกั ของขอ้ มูล จงหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้าหนกั จากข้อมูลต่อไปนี้ วนิดาเปน็ นักศึกษาคณะครุศาสตร์ สาขา คอมพิวเตอร์ ในภาคเรียนที่ 1 เขาได้เกรดแต่ละวิชาดังน้ี ที่ วิชา หนว่ ยกิต เกรด 1 การจัดการเรียนรแู้ ละการจัดการชั้นเรยี น 3 B+ 2 การบริหารและการใชเ้ ทคโนโลยีสารสนเทศ 3 B 3 ระบบบริหารการเรียนการสอน 3 C+ 4 สถิตเิ พื่อการวิเคราะหข์ ้อมูลทางการศกึ ษา 2 C+ 5 การวดั และประเมินผลการเรียนรู้ 3 B+ 6 ภาษาอังกฤษเฉพาะกิจ 3A 7 ระบบฐานขอ้ มูล 3B 8 การเขียนโปรแกรมเชิงวตั ถุ 3C วิธีทา - แปลงเกรดให้เปน็ คะแนน (X) และคานวณหาคะแนนถ่วงนา้ หนกั โดยนา หนว่ ยกิตคูณกบั คะแนน แล้วนามาหาผลรวม หารด้วยผลรวมของหน่วยกิต วิชาท่ี เกรด หน่วยกิต (W) คะแนน (X) คะแนนถว่ งน้าหนกั (WX) 1 B+ 3 3.5 10.5 2B 3 3 9 3 C+ 3 2.5 7 4 C+ 2 2.5 5 5 B+ 3 3.5 7 6A 3 4 12 7B 3 3 9 8C 3 2 2 รวม  W =23  WX =61.5

- 168 - สูตร x  W1X1  W2X2  W3X3  ... WnXn  WX W1  W2  W3  ... Wn W = 61.5  2.67 23 ดงั นนั้ เกรดเฉลี่ยของวนิดา คือ 2.67 การเลือกใช้การวดั แนวโน้มเข้าสสู่ ว่ นกลางกับข้อมูลต้องคานึงถึงหลกั การดังนี้ 1) การพิจารณาระดบั ข้อมูล 1.1) ระดับข้อมลู เปน็ มาตรนามบัญญตั ิ ใช้ได้เฉพาะฐานนิยม 1.2) ระดบั ข้อมลู เปน็ มาตรเรียงอันดบั ใช้ฐานนิยมหรอื มธั ยฐาน 1.3) ระดับข้อมลู เป็นมาตรอันตรภาคหรอื อัตราส่วน ใช้ค่าเฉลีย่ มธั ยฐาน หรอื ฐานนิยม 2) การพิจารณาการแจกแจงขอ้ มูล 2.1) ถ้าการแจกแจงเป็นโค้งปกติ รูปกราฟมีลักษณะคล้ายระฆงั คว่า ค่าเฉลี่ย มธั ยฐาน ฐานนยิ ม จะมีค่าเท่ากนั ใช้ค่าเฉลี่ย 2.2) ถ้าการแจกจงขอ้ มูลไม่เป็นโค้งปกติ ค่าเฉลีย่ มัธยฐาน ฐานนิยม จะไม่เท่ากัน 2.2.1) ถ้าการแจกแจงข้อมูลเบ้ทางบวก ค่าฐานนิยม < ค่ามัธยฐาน < ค่าเฉลี่ย นั่นคือ คนส่วนใหญ่สอบได้คะแนนน้อย ใชม้ ธั ยฐาน 2.2.2) ถ้าการแจกแจงขอ้ มูลเบ้ทางลบ ค่าเฉลีย่ < ค่ามัธยฐาน < ค่าฐานนิยม นั่นคือ คนส่วนใหญ่สอบได้คะแนนมาก ใช้มัธยฐาน ดังภาพต่อไปนี้ ภาพที่ 9.1 แสดงการแจกแจงความถี่แบบโค้งปกติและไม่เป็นโค้งปกติ (ทีม่ า: Fabian van den Berg, 2017)

- 169 - 4.1.3) การวัดการกระจาย (Dispersion) เป็นการดกู ารกระจายของข้อมลู ดังน้ี 1) พิสยั เป็นค่าความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่าสุดของข้อมลู ชุดหนึ่ง ๆ ดงั น้ี โดยมีสูตร คือ พิสยั = ค่าสูงสดุ – ค่าต่าสดุ ตวั อยา่ งการหาพิสยั ข้อมูลชดุ ที่ 1 10 20 30 40 50 ข้อมูลชุดที่ 2 10 15 18 20 50 พิสัยของข้อมูลชดุ ที่ 1 คือ 50 – 10 =40 พิสยั ของข้อมูลชุดที่ 2 คือ 50 – 10 = 40 จะเหน็ ได้ว่าข้อมูลแตล่ ะชุดไม่เหมือนกัน แตม่ ีการกระจายของข้อมูลเท่ากนั พิสัยจึงเป็น การวัดการกระจายที่หยาบและไม่ค่อยคงที่ 2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดการกระจายหรือเบี่ยงเบนของ คะแนนตา่ ง ๆ จากค่าเฉลีย่ 2.1) กรณขี ้อมลู ไมม่ ีการแจกแจงความถี่ 2.2.1) กรณีข้อมูลมาจากประชากร    X   หรอื   N x 2   x2 N N2 2.2.2) กรณีข้อมลู มาจากกลุ่มตัวอย่าง  s  n x 2   x2  XX หรอื s  nn  1 n 1 2.2) กรณขี ้อมลู ไม่มีการแจกแจงความถี่ 2.2.1) กรณีข้อมูลมาจากประชากร    f X   หรอื   N fx 2   fx2 N N2 2.2.2) กรณีข้อมลู มาจากกลุ่มตวั อย่าง  s  ท fx2   fx2 f XX หรอื s  nn 1 n 1 3) ความแปรปรวน) คือ กาลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน การหาค่า ความแปรปรวน คือ นาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทีไ่ ด้มายกกาลังสอง

- 170 - ตัวอย่างการหาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนกรณีขอ้ มลู ไม่มีการแจกแจงความถ่ี จงหาค่าส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานและความแปรปรวน 4,5,6,8,9 โดยมีวิธีทาดังนี้ X X2 4 16 5 25 6 36 8 64 9 81  X = 32  X2 = 222 s n x2   x2 nn 1 s 5(222)  (32)2  11101024  4.3  2.0736 20 55 1 s2  (2.0736)2  4.2998 ดังนน้ั สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 2.0736 และความแปรปรวนเท่ากับ 4.2998 ตวั อยา่ งการหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนกรณีขอ้ มลู มีการแจกแจงความถ่ี จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน จากผลสอบวิชาภาษาองั กฤษ ดงั น้ี คะแนน ความถ่ี (f) จดุ กึง่ กลาง (X) X2 fX fX2 3–5 4 4 16 16 64 6-8 3 7 49 21 147 9 -11 12 10 100 120 1200 12 – 14 10 13 169 130 1690 15 -17 11 16 256 176 2816 รวม 40 590 463 5917 s ท fx2   fx2 nn 1 s 40(5917)  4632  236680  214369  14.3019  3.7818 4040 1 1560 s2  (3.7818)2  14.3020 ดังนนั้ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 3.7818 และความแปรปรวนเท่ากับ 14.3020

- 171 - 4.1.4) การวัดตาแหน่งและการเปรียบเทียบ เป็นการวัดตาแหน่งและการ เปรียบเทียบมีหลายวิธี ทีน่ ยิ มใช้กนั มาก ได้แก่ รอ้ ยละ อตั ราส่วน เปอร์เซ็นไทล์ 1) อัตราส่วน (Ratio) คือ การเปรียบเทียบข้อมูล 2 จานวน ว่าจานวนหนึ่ง เป็นกีเ่ ท่าของจานวนหน่งึ ตัวอยา่ งการหาอัตราส่วน ในการสอบวิชาสังคมศึกษา มนัสนันท์ได้ 30 คะแนน ธัญ ชนกได้ 15 คะแนน จงหาอตั ราส่วนของคะแนนมนสั นันท์กบั ธัญชนก วิธีทา คะแนนของมนสั นนั ท์ : คะแนนของธญั ชนก = 30 : 15 = 2:1 2) รอ้ ยละ (Percentage) คือ อตั ราส่วนที่เทียบจากจานวนเตม็ 100 ตัวอย่างการหาร้อยละ ในการสอบวิชาวิทยาศาสตร์ สมานสอบได้ 30 คะแนนจากคะแนนเต็ม 40 คะแนน จงหาว่าสมานสอบได้รอ้ ยละเท่าใดของคะแนนเต็ม วิธีทา สมานสอบได้ = 30x100  300  75 40 40 ดังนน้ั สมานสอบได้ 75% หรอื ร้อยละ 75 ของคะแนนเต็ม 3) เปอร์เซ็นไทล์ (Percentile) เป็นตาแหน่งที่บอกให้ทราบว่ามีคะแนนต่า กว่าคะแนนตัวนั้นเป็นร้อยละเท่าใด เช่น นวพรสอบได้ 85 คะแนน คิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 72 หมายความว่า ในจานวนผู้เรียน 100 คน มีคนที่ได้คะแนนต่ากว่าคะแนนของนวพร หรือ 85 คะแนน อยู่ 72 คน เป็นต้น และต้องเรียงคะแนนจากน้อยไปหามากหรอื มากไปหาน้อย การหาตาแหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ของค่าในข้อมลู การหาค่าข้อมลู ของตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ Prx  100r Prx  (N  1) r N 1 100 r แทน ตาแหน่งของขอ้ มลู ตัวที่ตอ้ งการหา r แทน ตาแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ของขอ้ มลู เปอร์เซน็ ไทล์ เมือ่ เรยี งข้อมูลจากน้อยไปมาก ต้องการหา เมอ่ื เรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก n แทน จานวนข้อมลู ท้ังหมด n แทน จานวนข้อมูลท้ังหมด ตัวอยา่ งการหาเปอร์เซน็ ไทล์ จากผลการสอบของนักเรียน 7 คน มคี ะแนนดังน้ี 13 15 24 17 22 16 25 1) จงหาตาแหน่งเปอร์เซน็ ไทล์ของนกั เรียนคนทีไ่ ด้ 22 2) จงหาคะแนนของนกั เรียนที่ได้ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40

- 172 - วิธีทา 1. เรียงคะแนนจากน้อยไปหามาก 13 15 16 17 22 24 25 2. หาตาแหน่งเปอร์เซน็ ไทล์และหาตาแหน่งของข้อมลู -การหาตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ -การหาคะแนนของนักเรียน ของนกั เรียนคนทีไ่ ด้ 22 ที่ได้ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40 -ตาแหน่งของ 22 คือ ตาแหนง่ ที่ 5 -r คือ ตาแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมลู ดงั นนั้ r = 5 ต้องการหา r = 40 - Prx  100r - Prx  (N  1) r N 1 100 - Prx  100(5)  500  62.50 - Prx  (7  1) x40  3.2 7 1 8 100 ดังนนั้ ตาแหนง่ เปอร์เซน็ ไทล์ของนักเรียนคน ดังนนั้ ตาแหนง่ ขอ้ มูลอยู่ทีต่ าแหน่งที่ 3.2 คือ ที่ 22 คือ 62.50 16.2 ตัวอย่างการหาเปอร์เซ็นไทล์กรณขี ้อมลู มกี ารแจกแจงความถ่ี สูตร P  100 cf  1 f  หรอื P  100 cf  f  N 2  N  2 คะแนน ความถ่ี (f) ความถ่ี ความถ่สี ะสมกึง่ กลางชั้น เปอร์เซน็ ไทล์ สะสม (cf) (cf – f/2) (cf – f/2)(100/N) 30 1 40 39.5 98.75 28 2 39 38 95.00 26 3 37 35.5 88.75 25 4 34 32.0 80.00 24 5 30 27.5 68.75 23 8 25 21.0 52.50 22 6 17 14.0 35.00 20 4 11 9.0 22.50 18 3 7 5.5 13.75 16 2 4 3.0 7.50 15 1 2 1.5 3.75 14 1 1 0.5 1.25

- 173 - จากตารางที่คานวณได้ นักเรียนที่สอบได้ 30 คะแนน ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 98.75 หมายความว่า ในจานวน 100 คน มนี กั เรียนทีไ่ ด้คะแนนตา่ กว่า 30 อยู่ประมาณ 98 คน นักเรียนที่ได้ 25 คะแนน ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80.00 หมายความว่า ในจานวน 100 คน มีนักเรียนที่ได้คะแนนต่ากว่า 25 คะแนน อยู่ประมาณ 80 คน 4.2 สถิติท่ีใช้ในการแปลความหมายคะแนน ได้แก่ คะแนนมาตรฐานแบบต่าง ๆ เชน่ 1) คะแนนซี (Z-Score) 2) คะแนนที (T-Score) 3) คะแนนสเตไนน์ (Stanine) 4.2.1 คะแนนมาตรฐาน Z (Z-Score) หมายถึง ผลต่างระหว่างคะแนนดิบกับ คะแนนเฉลี่ยในหน่งึ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรญาน หรอื เป็นกีเ่ ท่าของสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน ดงั น้ี สตู ร Z  X  X S เมื่อ Z แทน คแนนมาตรฐานของแตล่ ะคน X แทน คะแนนดิบของแต่ละคน X แทน คคคะแนนเฉลี่ยของกลุ่ม S แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่ม ผลของคะแนน Z-Score จะมีคา่ อยู่ระหว่าง -3 ถึง 3 ตัวอย่างการหาคะแนนมาตรฐาน Z (Z-Score) จานวน 1 วิชา นายพีระพลสอบได้ 20 คะแนน เปลี่ยนให้เป็นคะแนนมาตรฐานได้เท่าไร ถ้าพบว่า X =17 และ S=2 วิธีทา Z  X  X Z  20 17  3  1.5 S 22 ตวั อยา่ งการหาคะแนนมาตรฐาน Z (Z-Score) จานวนมากกว่า 1 วชิ า ณฐั นรีสอบวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทย ได้คะแนนเท่ากนั คือ 40 คะแนน อยาก ทราบว่าณฐั นรีเรียนเก่งทั้งสองวิชาเท่ากนั หรือ ดังนี้ วิชา คะแนนเตม็ คะแนนทไ่ี ด้ X S คณิตศาสตร์ 60 40 ภาษาไทย 60 40 35 3 วิทยาศาสตร์ 60 40 48 4 5 29

- 174 - วิธีทา Z  X  X S วิชาคณิตศาสตร์ Z  40  35  5  1.67 33 วิชาภาษาไทย Z  40  48   8  2.00 44 วิชาวิทยาศาสตร์ Z  40  29  11  2.20 55 ดังนนั้ ณัฐนเี รียนวิชาคณิตศาสตร์เก่งกว่าภาษาไทยและวิทยาศาสตร์ 4.2.2 คะแนนมาตรฐาน T (T-Score) เป็นคะแนนมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 ซึ่งคะแนนมาตรฐาน T หรือ T-Score มีค่าอยู่ ระหว่าง 20 -80 เน่ืองจากผลของคะแนน Z-Score จะมีค่าอยู่ระหว่าง -3 ถึง 3 จึงต้องมีการ แปลงคะแนนมาตรฐานเพื่อให้ช่วงคะแนนกว้างขึ้นและมีค่าเป็นบวกทาให้สื่อ ความหมายได้ ชัดเจนขึน้ สูตร T  50 10Z 4.2.3 คะแนนมาตรฐานสเตไนน์ (Stanine) มีค่าเฉลี่ยเป็น 5 ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน เปน็ 2 สามารถแปลงคะแนนมาตรฐานดังตวั อย่างตอ่ ไปนี้ สูตร  2Z  5 ตวั อยา่ งการหาคะแนนมาตรฐาน T (T-Score) และคะแนนมาตรฐานสเตไนน์ วีรวรรณมีผลคะแนนการสอบของแต่ละวิชาดังน้ี จงหาค่า T-Scoreและสเตไนน์ วิชา คะแนน คะแนน ส่วน Z- T-Score คะแนน ดิบ เฉลี่ย เบี่ยงเบน Score สเตไนน์ ภาษาไทย มาตรฐาน T  50 10Z 16 14 1  2Z  5 2 50+10(1)=60 2(1)+5=7 คณิตศาสตร์ 17 15 2.5 0.8 50+10(0.8)=58 2(0.8)+5=6.6 วิทยาศาสตร์ 13 11 1.5 1.33 50+10(1.33)=63.3 2(1.33)+5=7.66 ดังน้ันวีรวรรณสามารถแปลงคะแนนวิชาภาษาไทย = 60 คะแนน วิชาคณิตศาสตร์ = 58 คะแนน และวชิ าวิทยาศาสตร์ = 63.3 คะแนน สว่ นคะแนนมาตรฐานสเตไนน์ วิชาภาษาไทย = 7 คะแนน วิชาคณิตศาสตร์ = 6.6 คะแนน และวิชาวิทยาศาสตร์ = 7.66 คะแนน

- 175 - 34% 34% 14% 14% 2% 2% ภาพที่ 9.2 แสดงภาพโค้งปกติ คะแนนมาตรฐาน Z-Score T-Score สเตไนน์ และเปอร์เซน็ ไทล์ ที่มา : ปรับจาก Patrick U. Osadebe, 2014 จากภาพแสดงโค้งปกติของ คะแนนมาตรฐาน Z-Score T-Score และเปอร์เซ็นไทล์ โดยคะแนนมาตรฐาน Z-Score จะอยู่ระหว่าง -3 ถึง 3 และนามาแปลงเป็นคะแนน T-Score จะอยู่ระหว่าง 20 ถึง 80 และคะแนนสเตไนน์ อยู่ระหว่าง 1 ถึง 9 และเปอร์เซ็นไทล์ อยู่ระหว่าง 10 ถึง 100 โดยมีพืน้ ที่ใต้โค้งเปน็ 100% ดงั น้ี ถ้ากาหนดพื้นทีใ่ ต้โค้งเปน็ 100 % จะมีคุณสมบตั ิดังน้ี ค่า Z จาก 0 ถึง +1 หรอื 0 ถึง -1 มีพ้ืนที่ประมาณ 34 % ค่า Z จาก +1 ถึง +2 หรอื -1 ถึง -2 มีพ้ืนที่ประมาณ 14 % ค่า Z จาก +2 ถึง +3 หรอื -2 ถึง -3 มีพ้ืนที่ประมาณ 2 % หมายเหตุ ค่า T มีคณุ สมบัติทานองเดียวกับค่า Z เช่น ค่า T จาก 50 ถึง 60 หรือ 40 ถึง 50 มพี ืน้ ที่ประมาณ 34 %

- 176 - 5. การนาเสนอข้อมูล การนาเสนอข้อมูลมีหลายรูปแบบ เช่น การบรรยาย ตาราง กราฟ แผนภูมิรูปภาพ เป็นต้น โดยจะนาเสนอหลังจากเก็บรวบรวมข้อมูล วิเคราะห์ข้อมูล และจัดระบบข้อมูลแล้ว โดยการนาเสนอใหส้ อดคล้องตามลกั ษณะของขอ้ มลู ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 5.1 การนาเสนอรูปแบบการบรรยายหรอื ข้อความ (Text) ปีการศึกษา 2558 ได้ผลิตบัณฑิตสาขาวิชาการศึกษา จานวน 12,359 คน คิด เป็นร้อยละ 47.22 ผลิตบัณฑิตสาขาวิชาวิทยาศาสตร์ 5,655 คน คิดเป็นร้อยละ 21.61 และ ผลติ บณั ฑิตสาขาวิชาศลิ ปะศาสตร์ 8,159 คน คิดเปน็ รอ้ ยละ 31.17 5.2 การนาเสนอรปู แบบกึง่ ตาราง (Semi-Tabula Presentation) ผลสารวจความต้องการศึกษาต่อระดับปริญญาตรี หลักสูตรครุศาสตรบัณฑิต มหาวิทยาลยั ราชภัฏลาปาง มีดงั นี้ จังหวัดลาปาง 2,500 คน จงั หวัดลาพูน 1,800 คน จงั หวัดเชียงใหม่ 1,200 คน รวม 5,500 คน 5.3 การนาเสนอรูปแบบตาราง (Tables) ภมู ิลาเนา/เพศ ชาย หญิง รวม จานวน รอ้ ยละ จานวน ร้อยละ จานวน ร้อยละ ลาปาง 1,250 14.42 1,850 21.34 3,100 35.75 ลาพนู 990 11.42 1,120 12.92 2,110 24.34 เชียงใหม่ 660 7.61 1,380 15.92 เชียงราย 320 3.69 720 8.30 760 8.77 แมฮ่ อ่ งสอน 365 4.21 440 5.07 675 7.78 อื่น ๆ 220 2.54 310 3.58 645 7.44 รวม 3,805 43.89 425 4.90 8,670 100 4,865 56.11

- 177 - 5.4 การนาเสนอรูปแบบกราฟ (Graphs) 5.5 การนาเสนอรูปแบบแผนภูมิรปู ภาพ (Pictogram)

- 178 - สรุป สถิตทิ ี่ใช้ในการวัดและประเมินผลการเรียนรู้ เปน็ การนาตัวเลขทีร่ วบรวมได้จากการวัด มาวิเคราะห์แล้วแปลความหมาย ซึ่งสถิติแบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ สถิติบรรยาย และสถิติ อ้างอิง ข้อมูลที่นามาหาค่าสถิติ ครูผู้สอนจะต้องรู้ว่าอยู่ในมาตรการวัดระดับใด ประกอบด้วย มาตรนามบัญญัติ มาตรเรียงอันดับ มาตรอันตรภาค และมาตรอัตราส่วน สถิติที่นิยมใช้ในการ วัดและประเมินผลการเรียนรู้ของผู้เรียน คือ สถิติบรรยาย แบ่งออกเป็น 1) สถิติที่ใช้ในการ บรรยายลักษณะของข้อมูล 2) ในการแปลความหมายคะแนน 3) สถิติที่ใช้ในการตรวจสอบ คุณภาพของแบบสอบ โดยสถิติที่ใช้ในการบรรยายลักษณะของข้อมูล ได้แก่ 1) การแจกแจง ความถี่ 2) การวดั แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง (ฐานนิยม มัธยฐาน ค่าเฉลี่ย) 3) การวัดการกระจาย (พิสัย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน) 4) การวัดตาแหน่งและการเปรียบเทียบ (ความถี่ ร้อยละ สัดส่วน อัตราส่วน เปอร์เซ็นไทล์) สถิติที่ใช้ในการแปลความหมายคะแนน ได้แก่ คะแนนมาตรฐานแบบต่าง ๆ เช่น 1) คะแนนซี (Z-Score) 2) คะแนนที (T-Score) 3) คะแนนสเตไนน์ (Stanine) ซึ่งการวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้สถิติขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล และการแปลผลของคะแนน แล้วนาผลมานาเสนอได้หลายรูปแบบ เช่น การบรรยาย ตาราง กราฟ แผนภูมิรปู ภาพ เปน็ ต้น แบบฝึกหดั 1. จงระบวุ ่าข้อความต่อไปเปน็ ข้อมูลมาตรวดั ระดับใด 1.1 ความรบั ผดิ ชอบในการเรียน 1.2 คะแนนจากผลการสอบปลายภาค 1.3 อันดับการประกวดภาพถ่าย 1.4 หอ้ งเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษา 1.5 ระยะทางจากบ้านมายงั โรงเรียน 2. จากข้อมูลต่อไปนี้ จงสร้างตารางแจกแจงความถีโ่ ดยกาหนดให้จานวนชั้นเท่ากบั 6 15 18 23 29 12 25 11 13 9 10 21 28 26 13 19 5 11 16 17 22 15 18 20 8 11 24 26 18 19 7

- 179 - 3. จงหาค่าฐานนิยม มัธยฐาน ค่าเฉลี่ย พิสัย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความ แปรปรวน จากข้อมลู ต่อไปนี้ 3.1 คะแนน 5 6 10 14 18 ความถี่ 3 5 6 5 1 3.2 คะแนน 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 -44 45 - 50 ความถี่ 4 9 11 7 6 3 4. จงใช้ขอ้ มลู คะแนนตอ่ ไปนี้ และตอบคาถามที่กาหนดให้ คะแนน คะแนน ส่วน คะแนน คะแนน คะแนน วิชา เบีย่ งเบน มาตรฐาน มาตรฐาน Stanine ดิบ เฉลี่ย มาตรฐาน Z-Score Z-Score ภาษาไทย 23 22.5 2.5 คณิตศาสตร์ 19 16 2 วิทยาศาสตร์ 18 18 1.5 สังคมศกึ ษา 27 21 2 สุขศึกษา 28 24.5 3.1 ศลิ ปะ 22 23.5 2.2 การงานอาชีพฯ 21 20 3 ภาษาองั กฤษ 17 19 1.5 4.1 จากคะแนนดิบจงเรียงลาดับคะแนนในแต่ละวิชาจากมากไปหาน้อย 4.2 จงหาค่าคะแนนมาตรฐาน Z-Score 4.3 จงหาค่าคะแนนมาตรฐาน T-Score 4.4 จงหาค่าคะแนน Stanine 4.5 จงเรียงลาดับคะแนนแตล่ ะวชิ าจากมากไปหาน้อย

- 180 - 5. จากข้อมูลที่กาหนดให้ จงหาค่าร้อยละของข้อมูล และออกแบบการนาเสนอข้อมูล รูปแบบใดรปู แบบหน่งึ ข้อมลู คอื วฒุ ิการศึกษของบุคลากรในโรงเรียนแหง่ หนึ่ง ดังน้ี - ประถมศึกษา 5 - มธั ยมศกึ ษาตอนตน้ 10 - มัธยมศกึ ษาตอนปลาย 15 - ปวส./อนุปริญญา 17 - ปริญญาตรี 60 - ปริญญาโท 42 - ปริญญาเอก 4 6. จงแสดงวิธีการคานวณเพื่อหาเกรดเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ยถ่วงน้าหนัก) ของนักศึกษาใน ภาคการศกึ ษานี้