math3

 ⌫

    ⌫             จากความหมายทจ่ี ะอธบิ ายถงึ สง่ิ ทเ่ี กดิ ตามธรรมชาตใิ นรปู ของคณติ ศาสตร์ นกั คณติ ศาสตรพ์ ยายามคน้ สตู ร รปู แบบ จำนวน ซง่ึ อาจจะชว่ ยในการบอกถงึ สง่ิ ทเ่ี กดิ ขน้ึ ตามธรรมชาติ ตามทเ่ี รารกู้ นั อยธู่ รรมชาติไมไ่ ดเ้ กดิ ขน้ึ เปน็ คณติ ศาสตรเ์ สมอแตค่ ณติ ศาสตรจ์ ะเกดิ อยเู่ สมอตามธรรมชาติ เชน่ เรอ่ื งของ Triple Functionซึ่งเป็นจุดพิเศษที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ จุดที่เส้นมาตัดกัน 3 เส้นเกิดมุมตรงฐานที่ตัดกันนั้นเป็น 120 องศา พอดี รปู แบบทเ่ี หน็ เปน็ Triple Function จะมใี นกลว้ ย สบั ปะรด ขา้ วโพด รงั ผง้ึ แมแ้ ตใ่ นลายของ ยรี าฟปลา และ ขนนกกระจอกเทศ รปู ขา้ วโพด

    ⌫           ปลา รงั ผง้ึ กลว้ ยหอม

    ⌫             ถา้ ศกึ ษาในสง่ิ ทอ่ี ยใู่ นธรรมชาติ จะเหน็ วา่ มสี ง่ิ เลก็ ๆทแ่ี ปลกประหลาดอยใู่ นใบไมแ้ ละในตน้ ไมม้ ากมายสง่ิ ทแ่ี ปลก กค็ อื สง่ิ ทแ่ี ตกแยกเปน็ รอ่ งรอยมลี กั ษณะเปน็ เรขาคณติ ทม่ี สี มมาตร (Symmetry) เจรญิ ออกไปเปน็แบบรปู (Pattern) เชน่ ทก่ี ง่ิ กา้ นตน้ ไม้ ซง่ึ แตกแยกเปน็ แบบรปู ไมม่ ที ส่ี น้ิ สดุ แบบรปู จะอยใู่ นฟอรม์ เดยี วกนั แต่จะเลก็ ลง ลองพจิ ารณาดู การเจรญิ ของเฟริ น์ เฟริ น์ จากทก่ี ลา่ วมาแลว้ เรามองเหน็ ความสมั พนั ธ์ ตา่ ง ๆ เหลา่ นไ้ี ดอ้ กี ในธรรมชาตซิ ง่ึ แตกแยกและ สมมาตรกนั เชน่ การเจรญิ เตบิ โตของตน้ ไมม้ ี ลักษณะเป็น โครงสร้างภายในธรรมชาติมีการเริ่ม ตน้ ของ แนวทางเรขาคณติ ทไ่ี มม่ ที ่ี สน้ิ สดุ โครงสร้างต้นไม้

    ⌫            ในธรรมชาตทิ ว่ั ไปลกั ษณะการสมมาตรจะมอี ยใู่ นตวั ของมนั เองเปน็ เอกลกั ษณ์ ไมไ่ ดเ้ ปน็ รปูงดงาม ถา้ สงั เกตแลว้ การสมมาตรจะมอี ยู่ ในพชื ในสตั ว์ ในหนิ แรธ่ าตตุ า่ ง ๆ และการสะทอ้ นของน้ำก็มีรูปทรงที่สมมาตรกัน รูปหน้าสัตว์ แมลงเตา่ ทอง ผเี สอ้ื

    ⌫           รปู การสะทอ้ น รูปแร่ธาตุในงานที่เป็นการประดิษฐ์ เช่น ในกระดาษติดฝาผนังจะมีลักษณะเป็นการสมมาตร เช่นกัน กระดาษติดฝาผนัง

    ⌫             การสมมาตรสามารถมองเหน็ ไดใ้ นสง่ิ ตา่ ง ๆ สมมาตรทเ่ี ปน็ ทรงกลมหมายถงึ ทกุ สง่ิ เทา่ กนั ในทกุทิศทาง ไม่มีรูปแบบที่แตกต่างกัน สิ่งที่อยู่ในส่วนบนของทรงกลมจะไหลไปในทิศทางเดียวกันโดยมีลักษณะที่เท่ากัน รูปสมมาตรในทรงกลม

    ⌫             ลำดับฟีโบนักซี ในธรรมชาตเิ ชน่ รปู ดอกไมต้ า่ ง ๆ จะมลี กั ษณะตามรปู จำนวนของกลบี ดอกไมจ้ ะเปน็ 3 , 5 , 8 ,...ซึ่งเป็นจำนวนในลำดับในฟีโบนักซีดอกกล้วยไม้ ดอกจำปี ดอกลำดวน ดอกชบา

    ⌫             ฟีโปนักชี รูปฟีโปนักชี ลโี อนาโด ฟโิ บนกั ซี (Leonado Fibonacci) อยใู่ นประเทศอติ าลชี ว่ ง ค.ศ. 1170 – 1240 เปน็ ผู้คดิ คน้ ลำดบั ฟโี ปนกั ชี ซง่ึ เปน็ ลำดบั ทก่ี ำหนดใหเ้ ทอมท่ี 1 คอื a1 = 1 เทอมท่ี 2 คอื a2 = 1 เทอมท่ี 3คอื a3 = 2 เทอมท่ี n = an โดยท่ี an = an-2 + an-1 n จะเปน็ จำนวนนบั และ n ³ 3 จะไดล้ ำดบั 1 ,1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 ,… ผลบวกของสองจำนวนในลำดับฟีโปนักชีจะเป็นฟีโปนักชี ดังตัวอย่างต่อไปนี้ จำนวน ผลบวก 1+1 2 1+2 3 2+3 5 5 + 6 11 8 + 5 13

    ⌫             ฟีโปนักชีและอัตราส่วนทอง อัตราส่วนทอง ถา้ c แบง่ สว่ นของเสน้ ตรง AB เปน็ สองสว่ นคอื AC และ BC AC B ทำใหเ้ กดิ A B = A C = 1 + 5 =1.618... AC BC 2เรยี ก อตั ราสว่ น A B = A C วา่ อตั ราสว่ นทองคำ AC BC นยิ าม ถา้ a , b เปน็ จำนวนจรงิ a จะเปน็ อตั ราสว่ นทองคำกต็ อ่ เมอ่ื a = a+b b b a ทฤษฏบี ท ให้ a เปน็ อตั ราสว่ นทองคำกต็ อ่ เมอ่ื a = 1 + 5 b b 2พสิ จู น์ a จะเปน็ อตั ราสว่ นทองคำ a = a + b b b a a 2 = ab + b 2 a 2 − ab − b 2 = 0 a2 − a −1 = 0 b2 b a = 1 + 1+4 b 2 a = 1 + 5 ,และa ,bเปน จาํ นวน จรงิ b 2

    ⌫          การสร้างเส้นตรงให้มีอัตราส่วนทองคำ C1. จาก AB สรา้ งสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ABCD2. ลากเส้นทะแยงมุมบนสี่เหลี่ยมจัตุรัส3. ตรงจดุ ตดั ของเสน้ ทะแยงมมุ จะแบง่ ครง่ึ AB ทจ่ี ดุ E4. ลาก CF5. กางวงเวยี นรศั มเี ทา่ กบั CE ตดั AB ทต่ี อ่ ไปทจ่ี ดุ F D AB DC 1 AE B F จะได้ AB = AF = 1+ 5 = 1.618... BF AB 2

    ⌫          พสิ จู น์ ใหส้ เ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ABCD มคี วามยาวดา้ นละ 1 หนว่ ยจากรูป AF = AE + EF = 1 5 2+ 2จะได้ AF = 1 2+ 5 AB = 1 1+ 5 AF 2 1+ 5 AB = 1 =2 1 2และ BF = 5 - 1 = 5-1 2 2 2 AB = 1 BF 5-1 2 =2 5 -1 = 2 ( 5 + 1) 52 - 1 = 2 ( 5 + 1) 4 = 5 +1 2

    ⌫             เรารวู้ า่ 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21,… เปน็ ลำดบั ฟโี ปนกั ชี ถา้ ทำจำนวนทต่ี ดิ กนั ใหเ้ ปน็ อตั ราสว่ นอยา่ งตำ่ โดยใชจ้ ำนวนนอ้ ยเปน็ ตวั หารจะเหน็ วา่ อตั ราสว่ นอยา่ งตำ่ ทอ่ี ยตู่ ดิ กนั ในลำดบั ฟโี ปนกั ชจี ะมคี า่ประมาณ 1 : 1.6 ถา้ เปน็ สว่ นของจำนวนทอ่ี ยหู่ ลงั 3 แลว้ จะมคี า่ ใกลเ้ คยี งกบั 2 คอื ประมาณ 1:1618…อตั ราสว่ นของจำนวนทอ่ี ยตู่ ดิ กนั อัตราส่วน 5:3 1:1.666666 8:5 1:1.600000 13 : 8 1:1.625000 21 : 13 1:1.6153846 34 : 21 1:1.6190476 55 : 34 1:1.617647 . . . . . .

    ⌫           สเ่ี หลย่ี มทองคำ (Golden Rectangular) ในการสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้วหารความยาวด้วยความกว้างจะได้อัตราส่วนทองคำ ดังรูป ตามรปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ซง่ึ มลี กั ษณะเปน็ สเ่ี หลย่ี มทองคำจะมคี ณุ สมบตั ทิ ว่ี า่ y / x = 1.618...หรอื ดา้ นยาวหารดว้ ย ดา้ นกวา้ ง = 1.618... รปู a จะเปน็ สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ทอ่ี ยใู่ นสเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ดว้ ยอตั ราสว่ น x / x และสว่ นทเ่ี ปน็ รปู b จะเปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มทองคำอกี รปู ดว้ ยอตั ราสว่ น x / (y – x ) หรอื จะพดู อกี อยา่ งวา่ อตั ราสว่ นของ ดา้ นยาวของรปู b กบั ความสงู ซง่ึ เปน็ ดา้ นอกี ดา้ นหนง่ึ ของรปู สเ่ี หลย่ี มจะเปน็ อตั ราสว่ นทองคำ นน่ั คอื บนดา้ นทม่ี ีอัตราส่วนทองคำถ้าสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาวด้านที่เหลือจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีอัตราส่วน เท่ากับรูปเดิม ฟโี ปนกั ชแี ละเกลยี วทองคำ (Fibonacci and Spiral Golden)ถ้าหาอัตราส่วนของสองจำนวนในลำดับฟีโปบักชีโดยหารแต่ละเทอมด้วยจำนวนที่มาก่อนด้วยจำนวนนั้นเสมอแล้วเขียนกราฟแสดงอัตราส่วน ดังนี้ 1 =1, 2 = 2 , 3 =1, 5 = 1.66... , 8 5 = 1.6 , 13 8 = 1.62 , 21 = 1.615 1 1 3 23 2

    ⌫           อัตราส่วนของเทอมของฟีโปนักชีที่อยู่ติดกัน 2 จำนวนฟิโบนักซี 1.5 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233อตั ราสว่ น 1 0.5 0อตั ราสว่ นทไ่ี ดเ้ ขา้ ใกลอ้ ตั ราสว่ นทองคำคอื ประมาณ 1.6 นน่ั คอื ถา้ ให้ เทอมท่ี n ของลำดบั ฟโี ปนกั ชีทเ่ี ขา้ ใกล้ infinity จะได้ lnim = Fn+1 = 1.618033988749… Fn ∞รูปเกลียวจากลำดับฟิโบนักซี เราสามารถสรา้ งรปู ทแ่ี สดงจำนวนในลำดบั ฟโี ปนกั ชี (1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ,… )โดยเรม่ิ ทจ่ี ำนวนสองจำนวนทม่ี ขี นาด 1 และจำนวนตอ่ ไปจะสรา้ งสเ่ี หลย่ี มรปู จตั รุ สั ทม่ี พี น้ื ท่ี 2(1 + 1) ดงั รปู

    ⌫             สรา้ งรปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ใหมใ่ หส้ ว่ นทแ่ี ตะกบั ขอบของทง้ั 2 รปู สเ่ี หลย่ี มมคี า่ เปน็ 3 หนว่ ยและอกี รปูหนง่ึ จะแตะกบั ดา้ นทง้ั 2 ทม่ี คี า่ เทา่ กบั 5 หนว่ ย เราสามารถสรา้ งรปู สเ่ี หลย่ี มไปรอบ ๆ รปู โดยทด่ี า้ นของรปู สเ่ี หลย่ี มใหมม่ คี วามยาวเทา่ กบั ดา้ นของรปู สเ่ี หลย่ี มเกา่ 2 รปู บวกกนั จะเหน็ วา่ สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ทไ่ี ดซ้ ง่ึมดี า้ น 2 ดา้ นเปน็ จำนวนในลำดบั ฟโี ปนกั ชี 2 จำนวนตดิ กนั ซง่ึ เราอาจจะเรยี กวา่ สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ของฟีโปนักชี จะเหน็ วา่ สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ในรปู เปน็ สเ่ี หลย่ี มทองคำ เราสรา้ งเกลยี วไดโ้ ดยนำหนง่ึ ในสข่ี องวงกลมมาตอ่ กบั สว่ นหนง่ึ จะเปน็ รปู ของสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั รปู เกลยี วทองคำนเ้ี รยี กอกี อยา่ งหนง่ึ วา่ Fibonacci Spiralจะมสี ว่ นของโคง้ ทเ่ี หมอื น ๆ กนั ทเ่ี กดิ ในธรรมชาติ เชน่ ในรปู ของหอยทะเล ไดแ้ ก่ หอย ChamberedNautillus , หอย Ammouite Ammouite Chambered Nautillus

    ⌫             จำนวนฟิโบนักซีธรรมชาติ ถ้าดูจากการจัดการของเมล็ดที่อยู่ในดอกไม้ จะเห็นจำนวนฟิโบนักซีในเมล็ด เช่น ดอกทานตะวัน มีการจัดการแบบเกลียวทองคำดูจากกลีบดอกตามรูป ถ้านับเกลียวที่เกิดขึ้นทั้งทางซ้ายและทางขวา จะเห็นว่าถ้านับตามเข็มนาฬิกามี 55กลบี ถา้ นบั ทวนเขม็ นาฬกิ าจะมี 34 กลบี จำนวนทง้ั คจู่ ะเปน็ ฟโิ บนกั ซที อ่ี ยตู่ ดิ กนั

    ⌫             ทำนองเดยี วกนั ลกู สน (Pine Cone) ทแ่ี สดงเซตของเกลยี ว ฟโิ บนกั ซี มเี ซตของเกลยี วเปน็ สองสว่ น ส่วนหนึ่งที่มีทิดทางที่หมุนตามเข็มนาฬิกา และอีกส่วนหนึ่งจะหมุนทางตรงข้าม ถ้านับตามเกลียวทั้งสอง เราจะพบว่าจำนวนที่ได้จะเป็นจำนวนฟีโบนักซีที่ติดกัน รูปเซตของเกลียวแสดง 2 ทิศทาง

    ⌫             จำนวนฟโิ บนกั ซกี บั สดั สว่ นของรา่ งกาย ลองมองดูที่มือของเรา จะเห็นว่า เรามี 2 มอื แตล่ ะมอื มี 5 นว้ิ แตล่ ะนว้ิ มี 3 สว่ น แตล่ ะสว่ นมี 2 ขอ้ แตล่ ะขอ้ มกี ระดกู 1 ชน้ิ ถ้าเราวัดระยะของกระดูกในนิ้วมือ จะเห็นว่า อตั ราสว่ นความยาวระหวา่ งกระดกู สว่ นทย่ี าวทส่ี ดุ กบั สว่ นทม่ี ขี นาดกลางจะมคี า่ 1.618... อตั ราสว่ นความยาวระหวา่ งกระดกู สว่ นทม่ี ขี นาดกลางกบั สว่ นทส่ี น้ั ทส่ี ดุ จะมคี า่ 1.618... ด้วย ถา้ ดตู ามสดั สว่ นของรา่ งกายธรรมชาตจิ ะใหม้ าเปน็ อตั ราสว่ นทองคำเชน่ อตั ราสว่ นของ ความสงู จากระดบั เอวถงึ เทา้ กบั หวั ถงึ เอว เปน็ อตั ราสว่ นทองคำ อตั ราสว่ นของระยะ ศอกถงึ ปลายนว้ิ กบั ระยะ ตน้ แขนถงึ ศอก กเ็ ปน็ อตั ราสว่ นทองคำ เรานิยมนำอัตราส่วนทองคำไปใช้ในเรื่องทั่วไปเพราะ ทำให้มีสัดส่วนสวยงาม เช่นการทำไวโอลิน การทำเฟอร์นิเจอร์ ตา่ งๆ เชน่ การทำ เตยี ง โตะ๊ ทำงาน เกา้ อ้ี หรอื แมแ้ ตเ่ ตยี งสำหรบั นวดตัว

    ⌫             จำนวนฟิโบนักซีในรูปสามเหลี่ยมปาสคาล จำนวนในธรรมชาติเริ่มต้นจากการนับจำนวนต่างๆ การหาความยาวและ การหาพื้นที่ของสิ่งต่างๆจาก จำนวนนท้ี างคณติ ศาสตรไ์ ดส้ รา้ งหลกั เกณฑท์ างคณติ ศาสตรม์ ากมาย เชน่ การบวก การลบ การคณุการหาร หรือลำดับของเลขคณิต ลองมาดูจำนวนที่ได้จากสัมประสิทธ์ของพจน์ต่างๆ ที่ได้จากการกระจาย(a – b)n แลว้ นำมา เขยี นแสดงในรปู สามเหลย่ี ม เรยี กวา่ สามเหลย่ี มปาสคาล (Pascal’s Triangle) ปาสคาล (Blaise Pascal) อยใู่ นระหวา่ ง ค.ศ. 1623 - 1662 เปน็ ชาวฝรง่ั เศสเปน็ นกั คณติ ศาสตร์ทม่ี ี ชอ่ื เสยี ง และเปน็ ผคู้ ดิ คน้ สามเหลย่ี มปาสคาล (Pascal’s Triangle) ดงั รปู ปาสคาล (Blaise Pascal) ○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ รปู สามเหลย่ี มปาสคาล (Pascal’s Triangle)

    ⌫             ลองพจิ ารณาดผู ลบวกของจำนวนทอ่ี ยบู่ นสามเหลย่ี มปาสคาล จะเหน็ วา่ สามเหลย่ี มปาสคาลมขี อบสองขา้ งประกอบดว้ ย 1 และแตจ่ ำนวนของสามเหลย่ี มเกดิ จากการบวกของจำนวนทอ่ี ยเู่ หนอื ขน้ึ ไป ดงั รปู ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ จำนวนในแถวแสดงถงึ สมั ประสทิ ธข์ิ องพจนต์ า่ งๆ ทไ่ี ดจ้ ากการกระจาย (a – b)n ตามรปู เมอ่ืn เปน็ จำนวนนบั จากบนลงลา่ ง n = 0, 1, 2, 3,... ถา้ ไมน่ บั แถว 0 (a + b)3 เปน็ แถวท่ี 3 จะใหส้ มั ประสทิ ธ์ิของ (a + b)3 = a3+ 3 , ab2 + 3ab + b3 สมั ประสทิ ธข์ิ องพจนต์ า่ งๆ ทไ่ี ดจ้ ากการกระจายคอื13 3 1 ดงั นน้ั ในแถวท่ี 4 ท่ี 5 และตอ่ มาจะมสี มั ประสทิ ธอ์ิ ยา่ งไร(a + b)0 1(a + b)1 11(a + b)2 1 21(a + b)3 13 3 1(a + b)4 14 6 4 1(a + b)5 1 5 10 10 5 1 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

    ⌫             ดรู ปู สามเหลย่ี มปาสคาล ถา้ เปน็ บวกตามแนวทะแยง (ตามแนวลกู ศร) จะไดผ้ ลลพั ธ์เปน็ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... ซง่ึ เปน็ ลำดบั ฟโิ บนกั ซดี ว้ ย ลำดับฟีโบนักซีลองหาจำนวนทเ่ี ปน็ ลำดบั ฟโี บนกั ซตี วั ตอ่ ไปอกี 3 ตวั

    ⌫          รูปสี่เหลี่ยมทองคำกับงานศิลปะเราทราบแลว้ วา่ รปู สเ่ี หลย่ี มทองคำจะไดจ้ ากดา้ นยาว ( L ) หารดว้ ยดา้ นกวา้ ง ( W )เมอ่ื L = 1.618 จะไดร้ ปู สเ่ี หลย่ี มทองคำ W W L/W = 1.618... L รูปสี่เหลี่ยมทองคำมีอัตราส่วนของด้านเป็นที่ชื่นชอบมาก นำมาใช้ในงานศิลปะตั้งแต่สมัยกรีก และโรมนั ในสมยั ศตวรรษท่ี 20 เชน่ โครงสรา้ งวหิ ารพาทนิ อน ภาพคนชรา และ ภาพโมนา ลซิ า่ ของลโี อนาโดดาวนิ ซี ซง่ึ สรา้ งใหม้ สี ว่ นตา่ งๆในใบหนา้ ทเ่ี ปน็ อตั ราสว่ นทองคำ ดงั รปู วิหารพาทินอน ภาพคนชราของ ลโี อนาโด ดาวนิ ซี

    ⌫             ภาพโมนา ลซิ า่ ของ ลโี อนาโด ดาวนิ ซี การสร้างรูปห้าเหลี่ยม ถา้ รปู หา้ เหลย่ี มทว่ั ไปถกู วาดโดยลากเสน้ ทะแยงมมุ จากมมุ หนง่ึ ไปอกี มมุ หนง่ึ โดยดา้ นของหา้ เหลย่ี มมรี ะยะ เทา่ กบั 1 หนว่ ย อตั ราสว่ นระหวา่ งดา้ นทะแยงและดา้ นจะมคี า่ 1.618…

    ⌫             หรอื ตามรปู สรา้ งรปู หนา้ เหลย่ี มดา้ นเทา่ จะไดอ้ ตั ราสว่ นทองคำเมอ่ื |AC|/ |AB|= |AB|/ |BC| เราจะพบวา่ รปู ห้าเหลย่ี มทีม่ ีอัตราสว่ นทองคำในสัตวท์ ะเลเชน่ ใน ปลาดาว หรือ Starfish บางทีเราเรยี กวา่ Golden Starfish

    ⌫             การสร้างรูปสามเหลี่ยมทองคำ นอกจากนี้เราสร้างรูปสามเหลี่ยมทองคำได้ โดยสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมที่ฐานเท่ากับ 72oและมมุ ยอดเทา่ กบั 36o ถา้ แบง่ ฐานสามเหลย่ี มเปน็ สองสว่ นจะใหส้ ามเหลย่ี มใหม่ 2 รปู ขบวนการนเ้ี ปน็ไปตอ่ เนอ่ื งกนั ขน้ึ อยกู่ บั ขาของรปู สามเหลย่ี ม อตั ราสว่ นทองคำทน่ี บั จำนวนไมไ่ ดจ้ ะปรากฏ เมอ่ื ไมไ่ ด้พับรูปสามเหลี่ยมและจะได้รูปที่เป็นอัตราส่วนทองคำด้วยโดย |AB|/ |BC|= 1.618... ตามการสร้างรูปนี้ แสดงให้เห็นว่า สามเหลี่ยมซึ่งสร้างส่วนโค้งให้แตะรูปสามเหลี่ยมที่มุมทำให้เกิดเกลียว

    ⌫             จากการสรา้ งรปู สามเหลย่ี มทองคำ 1 รปู จะสามารถสรา้ งตอ่ ไปภายในอยา่ งไมม่ ที ส่ี น้ิ สดุ และเราสามารถสร้างรูปห้าเหลี่ยมได้อีกโดยไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกัน ดูตามรูป จุดทั้ง 5 ของรูปห้าเหลี่ยมจะเป็นสามเหลี่ยมทองคำด้วย