ฟิสิกส์

231 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 10 รายวชิ า ฟิสกิ สท์ ั่วไป General Physics หวั ขอ้ เนือ้ หา 10.1 ประจไุ ฟฟา้ และการเหนย่ี วนาทางไฟฟา้ 10.2 กฎของคลู อมบ์ 10.3 สนามไฟฟา้ 10.4 ฟลกั ซไ์ ฟฟา้ และกฎของเกาส์ 10.5 ศักยไ์ ฟฟา้ 10.6 แมเ่ หลก็ และสนามแม่เหล็ก 10.7 แรงทีส่ นามแมเ่ หล็กกระทาตอ่ อนุภาคที่มีประจุ 10.8 แรงที่สนามแมเ่ หลก็ กระทาต่อเส้นลวดตวั นา 10.9 แรงทสี่ นามไฟฟา้ และสนามแมเ่ หล็กกระทาต่อประจุ วตั ถปุ ระสงค์เชงิ พฤติกรรม เมื่อสิน้ สดุ การเรียนการสอน ผเู้ รียนสามารถ 1. อธบิ ายการเหน่ียวนาทางไฟฟา้ ได้ 2. คานวณหาค่าปริมาณตา่ งๆ ทเี่ ก่ียวข้องกบั กฎของคลู อมบ์ได้อย่างถูกตอ้ ง 3. เขา้ ใจและอธิบายความแตกต่างระหวา่ งตัวเกบ็ ประจุและไดอิเล็กตริกไดอ้ ย่างถกู ต้อง 4. คานวณหาค่าสนามแม่เหล็กและแรงกระทาในสนามแม่เหลก็ ไดอ้ ยา่ งถูกต้อง 5. เข้าใจและคานวณหาปริมาณตา่ งๆ ของปรากฎการณฮ์ อลล์ได้อย่างถกู ต้อง วิธีสอนและกจิ กรรมการเรียนการสอนประจาบท 1. บรรยายเนอื้ หาในแตล่ ะหวั ข้อ พรอ้ มยกตัวอยา่ งประกอบ 2. ศึกษาจากเอกสารประกอบการสอน และภาพเล่อื น (slide) 3. รว่ มอภิปรายเนื้อหา และทาแบบฝึกหัดในชั้นเรยี น 4. ผสู้ อนสรปุ เนอ้ื หา 5. ผสู้ อนทาการซกั ถาม 6. นกั ศกึ ษาถามข้อสงสยั

232 สือ่ การเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวชิ าฟิสกิ ส์ทัว่ ไป 2. บทความจากหนงั สือ หรือเว็บไซตต์ ่างๆ 3. ภาพเลอ่ื น (slide) 4. คอมพวิ เตอรพ์ รอ้ มเครอ่ื งฉาย LCD projector การวัดผลและการประเมนิ ผล 1. ประเมนิ จากการซกั ถามในชน้ั เรยี น 2. ประเมินจากความร่วมมอื หน้าชนั้ เรียน 3. ประเมนิ จากการทาแบบฝึกหัดทบทวนท้ายบทเรยี น

233 บทที่ 10 ไฟฟ้าสถติ และแมเ่ หลก็ ไฟฟา้ 10.1 ประจุไฟฟา้ และการเหน่ียวนาทางไฟฟา้ ประจุไฟฟ้า (electric charge) คือปริมาณทางไฟฟ้าที่มีอยู่ในธรรมชาติของสสาร ท่ี ประกอบด้วยหน่วยย่อย ๆ ท่ีมีลักษณะและมีสมบัติเหมือนกัน ที่เรียกว่า อะตอม (atom) ภายใน อะตอมจะประกอบดว้ ยอนุภาคมูลฐาน 3 ชนิดได้แก่ โปรตอน (proton) นิวตรอน (neutron) และ อิเล็กตรอน (electron) โดยท่ีโปรตอนมีประจุไฟฟ้าบวกกับนิวตรอนที่เป็นกลางทางไฟฟ้ารวมกันอยู่ เป็นแกนกลางเรียกวา่ นิวเคลยี ส (nucleus) ส่วนอิเลก็ ตรอนมปี ระจไุ ฟฟ้าลบโคจรอยู่รอบๆ นิวเคลียส ดังรูปที่ 10.1 ซึ่งมีสมบตั ิพนื้ ฐานคือประจุที่เหมือนกันจะผลักกัน และประจุที่ตา่ งกันจะดึงดูดกัน วตั ถุ ส่วนใหญ่จะมีสภาพเป็นกลางทางไฟฟ้าคือประจุไฟฟ้าสุทธขิ องวัตถุเป็นศูนย์ ทาให้วัตถุน้ันไม่นาไฟฟ้า (ปริมาณอเิ ล็กตรอนเทา่ กบั ปรมิ าณโปรตอน) เรยี กว่า ฉนวน เช่น ไม้ กระดาษ พลาสตกิ ยาง และแก้ว สาหรับวัตถุที่มีประจุไฟฟ้าสุทธิไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า ตัวนา เช่น ถ้าวัตถุมีสถานะเป็นประจุลบจะเกิด จากวตั ถุน้ันมีอิเล็กตรอนมากกว่าโปรตอน โดยท่ีประจุไฟฟ้าของวตั ถุใดๆจะมีค่าเปน็ จานวนเต็มของ อเิ ลก็ ตรอน เชน่ -1e หรอื -5e และมหี น่วยเป็นคลู อมบ์ (C) สมบตั ขิ องอนุภาคมลู ฐาน 3 ชนดิ แสดงดงั ตารางที่ 10.1 นิวเคลียส   อเิ ลก็ ตรอน รูปที่ 10.1 แสดงองค์ประกอบของอะตอม ตารางท่ี 10.1 แสดงสมบัตขิ องอนภุ าคมูลฐาน อนุภาคมลู ฐาน ประจุ (C) มวล (kg) - 1.6 x 10-19 9.1 x 10-31 อิเล็กตรอน (e) + 1.6 x 10-19 1.67 x 10-27 โปรตอน (p) 1.67 x 10-27 นวิ ตรอน (n) 0

234 ไฟฟ้าสถิต (Static electricity) เป็นปรากฏการณ์ที่ปริมาณประจุบวกและประจุลบบนผิว วัตถุมีไม่เท่ากัน จะแสดงในรูปของการดึงดดู กัน การผลักกัน และเกิดประกายไฟ ปรากฏการณ์น้ีเกิด กบั วัตถปุ ระเภททไี่ มน่ าไฟฟ้าทาให้มโี อกาสนาไฟฟ้าได้ โดยใช้วิธกี ารขดั สหี รอื การถู เมื่อนาวัตถุ 2 ชนิด มาขัดสีหรือถูกัน จะทาให้มีการถ่ายเทของประจุไฟฟ้า (อิเล็กตรอน) ระหว่างวัตถุทั้งสอง หากวัตถุใด ไดร้ ับอิเลก็ ตรอนมากกวา่ ที่เสียไป จะทาให้มีประจไุ ฟฟ้าสะสมเป็นลบ ส่วนวตั ถุท่ีสูญเสียอิเล็กตรอนไป มากกว่าวัตถุนั้นจะมีประจุไฟฟ้าสะสมเป็นบวก ประจุท่ีสะสมตรงนี้เรียกว่า ไฟฟ้าสถิต โดยที่จานวน ประจุไฟฟ้ารวมที่เกิดขึ้นบนวัตถุทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แต่มีประจุไฟฟ้าเป็นชนิดตรงข้ามกัน เช่น แท่ง พลาสติกและผ้าสักหลาด เดิมจะเป็นกลางทางไฟฟ้า แต่เม่ือนามาถูกันปรากฏว่าหลังจากถูแท่ง พลาสติกได้รับอิเล็กตรอนมากกว่าที่เสียไปทาให้แท่งพลาสติกมีประจุสะสมเป็นลบ แสดงว่าแท่ง พลาสตกิ มปี ระจไุ ฟฟา้ -1.6 x 10-19 คลู อมบ์ และผา้ สักหลาดจะมีประจุไฟฟ้า +1.6 x 10-19 คูลอมบ์ การเหน่ียวนาทางไฟฟ้า (Electrical Induction) เป็นการนาวัตถุท่ีเป็นไฟฟ้าสถิตเข้าใกล้กับ วัตถุท่ีเป็นกลางทางไฟฟ้า ทาให้ประจุไฟฟ้าท่ีอยู่ในวัตถุที่เป็นกลางเกิดการจัดเรียงตัวใหม่ โดยประจุ ไฟฟ้าท่ีเกิดข้ึนตรงด้านใกล้กับวัตถุที่นามาวางใกล้ๆจะเป็นชนิดตรงกันข้ามกัน และด้านไกลจะเกิด ประจุชนิดเดียวกัน ตัวอย่างเชน่ เม่ือนาหวีไปถูกับเส้นผมแล้วเกิดไฟฟ้าสถิตท่ีมีประจุลบท่ีตัวหวี และ หากนาหวีน้ีไปไว้ใกล้ๆกระดาษ ประจุลบบนหวีจะดูดประจุบวกในกระดาษให้เคลื่อนเข้ามาอยู่ฝ่ังใกล้ หวี เหลือประจุลบในฝ่ังตรงกันข้าม และจะทาให้เกิดแรงดึงดูดระหว่างประจุลบบนหวีกับบวกบน กระดาษ ทาให้กระดาษเคล่ือนที่เข้ามาหาหวีให้เห็นได้ดังรูปที่ 10.2 หรือเครื่องกาเนิดไฟฟ้าสถิต (เรียกวา่ Van de graaff generator) ใช้หลักการคือนาสายพานไปขัดถูกับทรงกลม ทาให้ทรงกลมมี ประจุไฟฟ้าเป็นบวก เม่ือคนไปแตะทรงกลมจะทาให้คนเกิดประจุบวกที่เส้นผม ก็จะเกิดแรงผลักกัน ทางไฟฟ้าสถิต ทาใหเ้ สน้ ผมชีข้ ้ึน รูปที่ 10.2 แสดงการเหนีย่ วนาทางไฟฟ้าของหวีและกระดาษ

235 อิเลก็ โทรสโคป (Electroscope) เป็นเครื่องมอื สาหรับตรวจหาไฟฟ้าสถติ มี 2 ชนิด คือ 1. อิเล็กโทรสโคปแบบลกู พธิ เปน็ อิเลก็ โทรสโคปซึ่งทาจากเม็ดโฟมฉาบผวิ เอาไว้ด้วย อลูมิเนียมแขวนด้วยเชือกด้าย หรือไหมเส้นเล็กๆ จากปลายเสาท่ีตั้งบนแท่นฉนวนไฟฟ้า เร่ิมจากการ ทาให้ทรงกลมมีไฟฟ้าสถิตท่ีทราบชนิดประจุเสียก่อน จากนั้นนาวัตถุที่มีประจุไฟฟ้าซ่ึงต้องการตรวจ ชนดิ ประจุนัน้ เขา้ มาใกล้ทรงกลม จะเกิดการเหนยี่ วนาทางไฟฟา้ ทาให้อิเล็กโทรสโคปเอียง หากปรากฏ ว่าเกิดแรงผลักโดยทรงกลมเคล่ือนที่หนีห่างวัตถุ แสดงว่าประจุไฟฟ้าบนวัตถุนั้นเป็นชนิดเดียวกันกับ ประจุไฟฟ้าบนทรงกลม แต่ถ้าปรากฏว่าเกิดแรงดูด คือทรงกลมเคล่ือนท่ีเข้าหาวัตถุน้ัน ก็แสดงว่า ประจไุ ฟฟา้ บนวตั ถนุ ้นั เปน็ ประจตุ า่ งชนดิ กันกับประจุไฟฟา้ บนทรงกลม ดังรูปที่ 10.3        รูปที่ 10.3 แสดงอิเล็กโทรสโคปแบบลูกพธิ 2. อิเล็กโทรสโคปแบบแผน่ โลหะบาง เปน็ การตรวจประจุไฟฟ้าโดยสงั เกตการกางของ แผ่นโลหะบาง ๆ ของอเิ ล็กโทรสโคป โดยเมื่อนาวัตถุท่ีมีประจุมาใกล้จานโลหะของอิเล็กโทรสโคป จะ เกิดการเหนี่ยวนาทาให้ท่ีจานโลหะจะมีประจุชนิดตรงกันข้ามกับประจุบนวัตถุ ทาให้แผ่นขนาน ข้างล่างเป็นประจุชนิดเดียวกันทั้งสองแผ่น แผ่นโลหะบางของอิเล็กโทรสโคปจะกางออก เป็นผลมา จากการผลกั กันของประจชุ นิดเดยี วกันของแผน่ โลหะบาง ดังรปู ที่ 10.4      รูปที่ 10.4 แสดงอิเล็กโทรสโคปแผ่นโลหะบาง

236 10.2 กฎของคลู อมบ์ เม่ือประจุไฟฟ้า 2 ประจุอยู่ห่างกันขนาดหน่ึง จะมีแรงกระทาซ่ึงกันและกันเสมอ หากเป็น ประจุชนิดเดียวจะมีแรงผลักกัน หากเป็นประจุตา่ งชนิดกันจะมีแรงดึงดูดกัน ดงั รูปที่ 10.5 โดยที่แรง เป็นไปตามกฎของคูลอมบ์ (Coulomb’s Law) ซึ่ง ชาร์ล ออกุสติน เดอ คูลอมบ์ เป็นผู้คิดค้นกฎของ คลู อมบ์น้ขี ้ึนมา โดยกลา่ วว่า แรงระหว่างประจุไฟฟ้าสองจุดประจุจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับขนาดของ ประจุไฟฟ้าท้ังสองและเป็นสัดส่วนผกผันกับกาลังสองของระยะห่างระหวา่ งประจุทั้งสองน้ัน สามารถ นยิ ามสมการไดเ้ ป็น F= kq1q2 rˆ (10.1) r2 เมื่อ F คอื แรงกระทาระหวา่ งประจุ มีหนว่ ยเป็น N q1, q2 คือ ขนาดของประจุตวั ที่ 1 และ 2 มหี นว่ ยเป็น C r คือ ระยะหา่ งระหวา่ งประจทุ ง้ั สอง มีหนว่ ยเป็น m k คอื ค่าคงทขี่ องคลู อมบ์ มหี นว่ ยเป็น N.m2/C2 มีคา่ เทา่ กับ 1 หรอื 9 109 N.m2 /C2 4πε0 เมอ่ื ε0 คือ คา่ สภาพยอยทางไฟฟ้าของอากาศมคี ่าเทา่ กบั 8.8542 10 12 C2 N.m2 F21  r  F12  F21 r F12  q1 q2 q1 q2 F21   F12 q1 r q2 รูปที่ 10.5 แสดงทิศของแรงไฟฟ้าของจุดประจุบวกและลบ

237 ตัวอย่างท่ี 10.1 วางจุดประจุ 3 ตามแนวแกน x ดังรูปท่ี 10.6 กาหนดให้ q1 = 15 µC และ q3 = 6 µC ถ้าให้แรงลัพธ์ท่ีกระทาบนจุดประจุ q2 มีค่าเป็นศูนย์ จงหาระยะห่างระหว่าง q2 และ q3 เม่ือ ระยะหา่ งระหวา่ ง q1 และ q3 เท่ากบั 2 m 2m r  F12  F32  รูปที่ 10.6 แสดงแรqง1ไฟฟา้ ท่กี ระทาบqน2จุดประจุ q2 ตามแนวแกqน3 x วิธที า จากรูปจะได้ F2 = F12 +F32 จาก 0 = F12ˆi + F32ˆi จะได้ F12ˆi = F32ˆi kq1q2 = kq2q3 (2 r)2 r2 15 10 6 C = 6 10 6 C 4 4r+r2 r2 15r2 = 6(4 4x+r2) 15r2 = 24 24r + 6r2 9r2 + 24r 24 = 0 3r2 +8r 8 = 0 x= b b2 4ac 2a r= 8 82 (4 3 ( 8)) 23 r = 0.775 m

238 ตวั อย่างท่ี 10.2 กาหนดให้ q1 = q3 = 2 µC และ q3 = 4 µC โดยทีม่ ีระยะหา่ งระหว่างประจุดังรูปท่ี 10.7 จงหาแรงลพั ธ์ที่กระทาบนจดุ ประจุ q3 q1  5m y F23 x 0.3 m F13 0.3 m  q3 4m   q2  รูปที่ 10.7 แสดงแรงไฟฟ้าจากจดุ ประจุ q3 ประจุตามแนวแกน x และ y วิธีทา จากรปู จะไดผ้ ลรวมตามแนวแกน y F3y = F13y + F23y = F32sinθ ˆj F12sinθˆj =0N จากรปู จะไดผ้ ลรวมตามแนวแกน x F3x = F13x + F23x = F32cosθ ˆi F12cosθ ˆi = 2F32cosθ ˆi = 2 kq1q3 cosθ ˆi r2 = 2 (9 109 N.m2 /C2 ) (2 10 6 C) (4 10 6 C) (0.4 m) ˆi (0.5 m)2 (0.5 m) = 0.46 N ˆi

239 10.3 สนามไฟฟา้ สนามไฟฟา้ (Electric field) คือ บรเิ วณโดยรอบประจไุ ฟฟา้ สง่ แรงไปถึง หรือ แรงกระทาบน ประจุไฟฟ้าทดสอบ สนามไฟฟ้าเปน็ ปริมาณเวกเตอร์ โดยทิศทางของสนามไฟฟ้าจะมีทิศออกจาก ประจบุ วก และมที ิศเข้าหาประจลุ บ ดงั รปู ท่ี 10.8 สามารถนิยามสมการไดเ้ ปน็ FqQ = kQq rˆ r2 F = kQ rˆ (10.2) q r2 เมื่อนิยามให้ E คอื อัตราสว่ นระหวา่ งแรงกระทาตอ่ หนึ่งหน่วยประจทุ ดสอบ จะได้วา่ E = kQ rˆ (10.3) r2 เมื่อ E คือ สนามไฟฟา้ มีหนว่ ยเป็น N/C หรือ V/m มหี นว่ ยเปน็ N.m2/C2 k คอื ค่าคงทขี่ องคลู อมบ์ q คอื ขนาดของประจุทดสอบ มหี น่วยเป็น C r คือ ระยะหา่ งระหว่างประจุ มหี น่วยเป็น m F คอื แรงทีก่ ระทาต่อประจุทดสอบ มีหนว่ ยเปน็ N EE พงุ่ ออก พุ่งเข้า   รูปที่ 10.8 แสดงทิศทางของสนามไฟฟ้า (a) มีทศิ ออกจากประจบุ วก (b) มีทิศเข้าหาประจลุ บ

240 Q + + + r E F + q + r FE Q +++ q รูปที่ 10.9 แสดงทิศทางของสนามไฟฟา้ มีทิศเดียวกบั ทิศแรงท่ีกระทาตอ่ ประจุ +q และมีทศิ ตรงกัน ขา้ มกบั ทิศแรงท่กี ระทาต่อประจุ –q ตัวอยา่ งท่ี 10.3 กาหนดใหจ้ ดุ A อยหู่ า่ งจากประจุ 5 nC เป็นระยะ 3 m จงหาสนามไฟฟ้า ณ จดุ A 2m r  F12 F32  q1 P q3 รูปที่ 10.10 แสดงแรงไฟฟ้าท่กี ระทาบนจดุ ประจุ q2 ตามแนวแกน x วธิ ที า จากรูปจะได้ F2 = F12 +F32 0 = F12ˆi + F32ˆi F12ˆi = F32ˆi kq1q2 = kq2q3 (2 r)2 r2 15 10 6 C = 6 10 6 C 4 4r+r2 r2 15r2 = 6(4 4x+r2) 15r2 = 24 24r + 6r2 9r2 + 24r 24 = 0 3r2 +8r 8 = 0

241 จาก x = b b2 4ac 2a จะได้ r = 8 82 (4 3 ( 8)) 23 r = 0.775 m ตวั อยา่ งที่ 10.4 จากรปู ท่ี 10.11 กาหนดให้ q1 = 7 µC และ q2 = -5 µC จงหาสนามไฟฟ้าท่จี ดุ p y E1 E P E2 0.5 m 0.4 m    x q1 q2 0.3 m รูปที่ 10.11 แสดงสนามไฟฟ้าทจ่ี ดุ p วธิ ที า จากรูปจะไดผ้ ลรวมตามแนวแกน y Ey = E1y + E2y = E1ˆj E2sinθˆj = kq1 ˆj kq2 sinθˆj r2 r2 = (9 109 N.m2 /C2 )(7 10 9 C) ˆj (0.4 m)2 ... (9 109 N.m2 /C2 )(5 10 9 C) (0.4 m) ˆj (0.5 m)2 (0.5 m) = 393.75ˆj 144ˆj = 249.75ˆj

242 จากรปู จะไดผ้ ลรวมตามแนวแกน x Ex = E2x = E1ˆj E2sinθˆj = kq1 ˆj kq2 sinθˆj r2 r2 = (9 109 N.m2 /C2 )(7 10 9 C) ˆj (0.4 m)2 ... (9 109 N.m2 /C2 )(5 10 9 C) (0.4 m) ˆj (0.5 m)2 (0.5 m) = 393.75ˆj 144ˆj = 249.75ˆj

243 10.4 ฟลักซไ์ ฟฟา้ และกฎของเกาส์ ฟลักซ์ไฟฟ้า (Electrical flux, E ) คือ จานวนเส้นแรงไฟฟ้าที่พงุ่ ผ่านพื้นท่ีผิวใดๆ โดยเส้น แรงไฟฟา้ มีทิศตง้ั ฉากกบั พ้นื ทผี่ วิ ดงั รปู ที่ 10.12 สามารถเขยี นสมการได้เปน็ E = E.A (10.4) (10.5) หรือ E = EAcos เม่อื E คอื ฟลกั ซ์แมเ่ หลก็ มีหน่วยเป็น N.m2/C E คือ ความเขม้ สนามแม่เหลก็ มหี น่วยเป็น w/m2 หรอื เทสลา (T) มีหนว่ ยเปน็ m2 A คือ พ้นื ท่ี  คือ มุมระหว่างสนามแมเ่ หลก็ กบั พ้ืนทีร่ องรับ A A dA eA  eA  eA E E E รูปที่ 10.12 แสดงทศิ ของสนามแม่เหล็ก เมือ่ มีเสน้ แรงไฟฟา้ ท่ีพุง่ ผา่ นพ้ืนทผ่ี วิ ไมส่ มา่ เสมอใดๆสามารถหาฟลักซ์ไฟฟ้า ได้โดยแบ่งพืน้ ผิวออกเป็น ส่วนย่อย dA จะได้ปริมาณเส้นแรงไฟฟ้าที่พุ่งผ่านพ้ืนย่อยๆนั้นเป็น d ดังรูปท่ี 10.12 สามารถ เขียนสมการไดเ้ ป็น dE = E.dA (10.6) จะได้ฟลกั ซ์ไฟฟ้ ารวมเป็น E = E.dA (10.7) (10.8) E =  E.dA S เมื่อทาการอนิ ทริเกรตรอบผิวปิดจะได้ฟลกั ซ์ไฟฟ้ ารวมเป็น E =  E.dA

244 ตัวอย่างท่ี 10.5 กล่องลูกบาศก์ใบหนึ่งยาว L วา่ งบนปริภูมิ x, y และ z ท่ีมีสนามไฟฟ้าสม่าเสมอใน ทิศทางแนวแกน z ดังรูปที่ 10.13 จงหาฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิท่พี ุ่งผา่ นผิวของกลอ่ งลูกบาศก์ z A6 A1 E A2 A3 x A4 y A5 รูปที่ 10.13 แสดงกล่องลกู บาศก์ วา่ งบนปรภิ ูมิ x, y และ z ท่มี ีสนามไฟฟ้าสม่าเสมอ วธิ ที า จากรูปจะไดฟ้ ลกั ซไ์ ฟฟ้าท่พี ุ่งผา่ นผวิ ของกลอ่ งลูกบาศก์ A1, A4, A5 และ A6 เป็น  =E(A1, 4, 5, 6 ) E.dA1,4,5,6 A1, 4, 5, 6 = EcosdA1,4,5,6 A1,4 ,5 ,6 = Ecos90o dA1,4,5,6 A1,4 ,5 ,6 =0 E(A2 ) = E(cos180o )dA 2 A2 =  EA 2 =  EL2 E(A3 ) = E(cos0o )dA 3 A3 = EA3 = EL2 จะไดฟ้ ลักซ์ไฟฟา้ สุทธทิ ่ีพ่งุ ผา่ นผวิ ของกล่องลกู บาศก์ เป็น E(A1, 2, 3, 4, 5, 6 ) = +0+0+0  EL2 +EL2 =0

245 เม่ือว่างประจุบวก q ไว้จุดก่ึงกลางวงกลมรัศมี r ดังรูปที่ 10.14 จะไดส้ นามไฟฟา้ ท่ีผิวใดๆของทรง กลม เท่ากับ kq/r2 และฟลักซ์ไฟฟ้าที่เส้นแรงไฟฟ้าท่ีพุ่งผ่านพื้นที่ผิวย่อยใดๆ สามารถเขียนสมการ ได้เปน็ dE = E.d A และจะได้ฟลกั ซไ์ ฟฟา้ สทุ ธทิ ่ีพ่งุ ผ่านผวิ ของทรงกลมเป็น E = E(cos0o )dA A = EA  kq   r 2   = 4πr 2 q  =  4π 0r 2  4πr 2   E = q (10.9) 0 จะได้ว่าฟลักซ์ไฟฟ้าท่ีพ่งุ ผ่านพนื้ ท่ีผิวปิดทรงกลม เรียกผิวปิดน้ีว่า ผิวเกาส์เซียน (Gaussian surface) มีค่าเท่ากับอัตราส่วนของประจุต่อค่าสภาพยอยทางไฟฟ้าของอากาศ ซ่ึงเรียกว่า กฎของเกาส์ (Gauss’s low) y E A +q x r รูปที่ 10.14 แสดงประจบุ วก q ไวจ้ ุดกงึ่ กลางวงกลมรัศมี r

246 นอกจากนี้ยังพบว่า ค่าเท่ากับอัตราส่วนของประจุต่อค่าสภาพยอยทางไฟฟ้าของอากาศ ไม่ข้ึนกับ รูปร่างของผิว ดงั รูปที่ 10.15 จะเห็นวา่ จานวนเส้นแรงไฟฟ้าพุ่งผ่านผิว S1 ซึ่งเป็นผิวปิดทรงกลมย่อม เท่ากบั จานวนเส้นแรงไฟฟา้ พุง่ ผา่ นผิว S2 ที่ไม่เปน็ ทรงกลม ดงั นนั้ ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธมิ ีเท่ากับ q/0 และ เม่ือประจุอยู่นอกผิวปิด จานวนเส้นแรงไฟฟ้าพุ่งเข้าผิวปดิ S ใดๆ ย่อมเท่ากับจานวนเส้นแรงไฟฟ้าพุ่ง ออกจากผิวปิดนั้น ดังนั้นฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิมีค่าเป็นศูนย์ ดงั รูปที่ 10.15 และพบว่าถ้ามีมากกวา่ หน่ึงผิว ปิดอยู่ใกล้กันฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิจะขึ้นกับผิวปิดท่ีรอบล้อมจุดประจุนั้นเอาไว้ ไม่ขึ้นกับผิวปิดอ่ืนๆ ดังรูป ที่ 10.15 เช่น ผิวปิด S2 ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิมีเท่ากับ q/0 ส่วนผิวปิด S2 และ S3 ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิมี เท่ากบั ศูนย์ E +q E S1 S1 S2 +q S2 S3 q S1 +q +q q รูปที่ 10.15 แสดงประจใุ นและนอกผิวปดิ ใดๆ

247 10.5 ศักย์ไฟฟา้ ศักย์ไฟฟ้า (Electric potential) ณ จุดใดๆ คือ งานท่ีใชใ้ นการเคลื่อนย้ายประจุจากระยะ อนันตม์ ายังตาแหน่งใดๆ (A) ในสนามไฟฟ้า ซ่ึงงานท่ีได้เกิดจากแรง Fext เป็นแรงภายนอกที่ใช้ในการ เคลื่อนย้ายประจุทดสอบ q (1 คูลอมบ์) จะมีค่าเท่ากับแรงภายในคือแรงเน่ืองจากแรงประจุ Q กระทาต่อประจุ q คือ FqQ เน่ืองจากแรงภายนอกไม่คงที่ข้ึนกับระยะทางระหว่างประจุ Q และq สามารถเขียนสมการไดเ้ ป็น W = Fext .r =  FQ.r = FQr cos180o =  FQr ถา้ งานในชว่ งระยะทางส้ันๆ dW =  FQdr dW =   kQq  dr  r2  A 1 r2 kQq  W =  dr W = kQ  1  rA q  r   = kQ  1  1   rA     W = kQ (10.10) q rA (10.11) เมอื่ นยิ ามให้ V คอื อัตราส่วนระหว่างงานในการเคลือ่ นย้ายตอ่ ประจทุ ดสอบจะไดว้ า่ V = kQ มหี น่วยเป็น J/C หรอื โวลต์ (V) r มีหนว่ ยเปน็ N.m2/C2 มหี นว่ ยเป็น C เมื่อ V คือ ศกั ยไ์ ฟฟ้าตาแหนง่ ใดๆ มหี นว่ ยเปน็ m k คือ คา่ คงทีข่ องคลู อมบ์ Q คอื ขนาดของประจุ r คอื ระยะห่างระหว่างประจุ

248 Q + + + A Fext B FQq r +   rq E rA rB dr รูปที่ 10.16 แสดงการเคลอื่ นยา้ ยประจจุ ากตาแหน่ง B มายงั ตาแหนง่ A ความต่างศักย์ไฟฟ้า (electric potential) คือ ผลต่างของศักย์ไฟฟ้าระหว่างตาแหน่งสอง ตาแหน่งในสนามไฟฟ้า หรือ งานที่ใช้ในการเคล่ือนย้ายประจุจากตาแหน่ง B มายังตาแหน่ง A ใน สนามไฟฟ้า ดงั รปู ท่ี 10.16 จะได้วา่ W = kQ  kQ q rA rB W = VA  VB = V (10.12) q จากสมการท่ี (10.11) และ (10.12) สามารถเขียนความสัมพันธร์ ะหว่าง สนามไฟฟ้า และศักย์ไฟฟ้า เมอ่ื ประจุทดสอบอย่ภู ายในสนามไฟฟา้ สม่าเสมอ ดงั รูปท่ี 10.16 ไดเ้ ปน็ V = W (10.13) q ถา้ งานในช่วงระยะทางส้ันๆ dV = F.dr q A0 (10.14) (10.15) V =  E.dr Bd A0 =  Ecos(180o )dr Bd  = A0 E r Bd V = Ed

249 พลังงานศักย์ไฟฟา้ (Electric potential energy) สามารถพิจารณาไดจ้ ากงานท่ีใช้ในการ เคลอ่ื นยา้ ยประจุจากตาแหนง่ B มายงั ตาแหนง่ A ในสนามไฟฟ้า ดงั รูปท่ี 10.17 จะได้ว่า W = F.r (10.16) = qErcos180o (10.17) =  qEr =  qE(rB  rA ) =  (qErB  qErA ) W =  (UB  UA ) เมื่อนยิ ามให้ U = qEr คอื พลงั งานศักยไ์ ฟฟา้ ที่ตาแหน่งใดๆ + Fext B FQq  +   +A q  +  + E  +  +  d รูปที่ 10.17 แสดงการเคลื่อนย้ายประจจุ ากตาแหนง่ B มายงั ตาแหนง่ A ในสนามไฟฟา้ สม่าเสมอ

250 ตวั อย่างที่ 10.6 ใหป้ ระจุ q1 = 2 µC และ q2 = -6 µC ดังรูปที่ 10.18 จงหา (a) ศักยไ์ ฟฟา้ รวมที่จดุ p (b) งานเม่ือย้ายประจุ q3 = 3 µC จากระยะอนนั ต์มาที่จดุ p y q1  2 C 3m 4m P q2  6 C x รูปที่ 10.18 แสดงสนามไฟฟา้ ทจ่ี ดุ p วธิ ีทา (a) VP = kq1 + kq2 (b) r1 r2 = 9 109 N.m2 C2  2 106 C + 6 106 C  4m 5m    =  6.3103 N.m C W = (VP  V ) q = q(VP  V ) = (3106C)(  6.3103  0) N.m C =  0.0189 J

251 10.6 แมเ่ หลก็ และสนามแมเ่ หล็ก แม่เหล็ก (Magnetic) คือสารท่ีสามารถดูดเหล็กหรือสารท่ีมีออกไซด์ของเหล็กเป็น ส่วนประกอบได้ เช่น คริปหนีบกระดาษ หรือตะปู แม่เหล็กมีรูปร่างหลายรูปแบบ สาหรับแบบที่พบ บอ่ ยๆ ได้แก่ แม่เหล็กรูปแท่ง (Bar) และแม่เหล็กรูปเกือกม้า (Horseshoe) แม่เหล็กทุกๆ รูปแบบมี ข้ัวอยู่สองขั้วเสมอ คือข้ัวเหนือ (North pole, N) และข้ัวใต้ (South pole, S) โดยท่ีข้ัวชนิดเดยี วกัน จะผลักกัน และขั้วต่างกันจะดูดกัน เมื่อนาแม่เหล็กมาผูกห้อยในแนวด่ิง แล้วปล่อยให้หมุนได้อย่าง อิสระ จะพบว่าแม่เหล็กจะหยุดนิ่งและวางตัวในแนวทิศเหนือใตเ้ สมอ จึงเรียกด้านท่ีชไี้ ปทางทิศเหนือ ว่าข้ัวเหนอื และดา้ นทช่ี ีไ้ ปทางทิศใต้วา่ ขั้วใต้ โดยท่ีขว้ั แมเ่ หล็กแตกต่างจากประจุไฟฟ้า คือประจุไฟฟ้า สามารถแยกออกจากกันได้ระหว่างประจุบวกและประจุลบ แต่ขั้วแม่เหล็กจะไม่สามารถอยู่อย่างโดด เดี่ยวได้ ถ้าเราตดั แท่งแม่เหล็กออกเปน็ สองช้ิน ช้ินแม่เหล็กท่ีถูกตัดออกจะมีสองขั้วเสมอ ซึ่งยังไม่เคย พบแม่เหล็กท่ีมีข้ัวเดียวได้ ดังรูปที่ 10.19 ในปัจจุบันแม่เหล็กมีบทบาทอย่างมาก เช่น ลาโพง หน่วยความจาของคอมพิวเตอร์ หรือเคร่ืองกาเนิดไฟฟ้า แม้กระทั่งสามารถถ่ายภาพอวัยวะภายใน ร่างกายคน เพื่อเป็นประโยชน์ทางการแพทย์ หรือสามารถวัดค่าสภาพความเป็นแม่เหล็ก (Magnetism) ของโลกและดาวเคราะหอ์ ื่นๆ เพื่อศกึ ษาโครงสรา้ งภายในของโลกและดาวเคราะห์นั้นๆ ได้ นอกจากนอ้ี านาจแม่เหล็กโลกยงั สร้างเกาะป้องกันไม่ให้อนุภาคที่มีประจุไฟฟ้าที่มาจากดวงอาทิตย์ ซ่ึงเรียกว่าพายุสุริยะ (Solar wind) ลงมาทาอันตรายต่อส่ิงมีชีวิตบนพื้นโลก โดยโลกจะสร้าง สนามแม่เหล็กเป็นช้ันหรือแถบรอบโลกเป็นกับดักไว้เรียกว่า แถบเข็มขัดแวนอัลเลน (Van Allen belts) เปน็ ต้น NS NS NS NS รูปที่ 10.19 แสดงแท่งแม่เหลก็ ทถ่ี ูกตดั ออกจะมีสองขั้วเสมอ

252 สนามแม่เหล็ก (Magnetic field, B ) คือ อานาจที่แสดงออกมาบริเวณรอบๆแท่งแม่เหล็ก ซึ่งจะมีอานาจไม่เท่ากัน บริเวณข้ัว (Pole) แม่เหล็กจะมีอานาจแม่เหล็กรุนแรงมากที่สุด ซึ่งการบอก ความรุนแรงของอานาจแม่เหล็ก จะใช้เส้นสนามแม่เหล็ก (Magnetic field line) ซ่ึงพุ่งออกจากข้ัว เหนือไปยังขั้วใต้สาหรับภายนอกแท่งแม่เหล็ก และมีทิศจากข้ัวใต้ไปยังข้ัวเหนือสาหรับภายในแท่ง แม่เหล็ก ดังรูปที่ 10.20 บริเวณที่มีเส้นสนามแม่เหล็กหนาแน่นบริเวณนั้นจะมีอานาจแม่เหล็กรุนแรง สามารถทดลองหาสนามแม่เหล็กไดจ้ ากการนาผงเหล็กมาโรยรอบบริเวณแม่เหล็ก แล้วพบว่าผงเหล็ก จัดเรียงกันเป็นแนวเส้นโค้ง จากปลายหนึ่งของแท่งแม่เหล็กไปอีกปลายหนึ่ง ดังรูปท่ี 10.20 สนามแม่เหล็กเป็นปริมาณเวกเตอร์ ใช้สัญลักษณ์เป็น B และจานวนเส้นแรงแม่เหล็กเรียกว่า ฟลักซ์ แม่เหล็ก (  ) ซึง่ มหี น่วยเป็น เวเบอร์ (w) โดยสามารถคานวณหาฟลกั ซแ์ ม่เหล็ก ซึ่งตกบนพน้ื ทร่ี องรับ หนึง่ ไดจ้ ากสมการ B = B.A (10.18) หรือ B = BAcosθ (10.19) เม่อื B คอื ฟลักซแ์ ม่เหลก็ มีหน่วยเปน็ w B คือ ความเข้มสนามแมเ่ หล็ก มหี นว่ ยเปน็ w/m2 หรอื เทสลา (T) มหี นว่ ยเปน็ m2 A คือ พืน้ ท่ี  คือ มุมระหวา่ งสนามแม่เหลก็ กับเวกเตอร์หน่ึงหนว่ ยพื้นท่ี A A dA eA  eA  eA BB B รูปที่ 10.20 แสดงทศิ ของสนามแม่เหล็ก

253 10.7 แรงที่สนามแม่เหล็กกระทาต่ออนุภาคที่มปี ระจุ ถ้าอนุภาคที่มีประจุ q วง่ิ เคล่ือนท่ีเข้าไปในบริเวณท่ีมีสนามแม่เหล็ก B ดว้ ยความเร็ว v โดย เวกเตอร์ของความเร็ว v ทามุม  กับสนามแม่เหล็ก B จะทาให้เกิดแรงกระทาต่ออนุภาคน้ัน ซ่ึงมี ขนาดเทา่ กับ FB = q(v B) (10.20) (10.21) หรอื FB = qvBsinθ เม่อื FB คอื แรงกระทาบนประจุ มีหนว่ ยเป็น N q คือ ประจุ มหี นว่ ยเปน็ C v คือ ความเรว็ ของประจุ มีหนว่ ยเปน็ m/s B คือ สนามแมเ่ หลก็ มหี นว่ ยเปน็ T  คือ มุมระหว่างทิศของความเรว็ และสนามแมเ่ หล็ก จากการทดลองพบว่า แรงกระทาบนประจุ (FB) จะมีทิศต้ังฉากกับสนามแม่เหล็ก (B) เสมอ ดังรูปที่ 10.21 สาหรับการหาทิศทางของแรงที่กระทาต่ออนุภาค หาโดยใช้ “กฎมือขวา” ซึ่งใช้ สาหรับอนุภาคท่ีมีประจุบวกเท่าน้ัน โดยกางมือขวาออก ให้น้ิวท้ังส่ีเรียงชิดติดกัน นิ้วหัวแม่มือ (แทน ทิศของแรง F) ช้ีขึ้นตั้งฉากกับน้ิวท้ังส่ี แล้วให้น้ิวทั้งส่ีช้ีไปในทิศของความเร็ว v และฝ่ามือ (แทนทิศ ของ สนามแม่เหล็ก B) หันเข้าหรือออกตามทิศทางของสนามแม่เหล็ก ดงั รูปท่ี 10.21 ซ่ึงกาหนดให้ ทิศทางของสนามแมเ่ หลก็ ท่ีเป็นจุดแทนสนามแม่เหล็กท่ีพุ่งออก และกากบาทแทนสนามแม่เหล็กที่พงุ่ เข้า ดงั รูปท่ี 10.21 ถ้าเป็นประจุลบจะใช้กฎมือซ้ายและแรงที่กระทาต่อประจุลบจะมีทิศตรงกันข้าม ดงั รูปที่ 10.21 FB B  v v FB รูปที่ 10.21 แสดงจดุ แทนสนามแม่เหลก็ ทพ่ี ุง่ ออก และกากบาทแทนสนามแมเ่ หล็กทพี่ ุง่ เขา้

254 B FB vv FB B FB v B v FB B         B         B                 รูปที่ 10.22 (a) แสดงทิศทางตั้งฉากของ FB B และ v (b) แสดงกฎมือขวาตามทิศทางของ FB B และ v จากสมการ 10.21 พบว่า แรงกระทาบนประจุ ( FB ) จะมีคา่ เปน็ ศูนย์ ก็ตอ่ เม่ือ 1. เปน็ อนภุ าคนวิ ตรอน (q = 0) เคลอ่ื นท่ีผา่ นเขา้ ไปในบรเิ วณสนามแม่เหล็ก 2. ความเรว็ ของอนุภาค ( v ) มีคา่ เปน็ ศูนย์ 3. อนภุ าคที่มีประจเุ คลอื่ นทข่ี นานกับทศิ สนามแม่เหลก็ (   0o จะได้ sin 0o  0 ทาใหแ้ รง กระทามคี ่าเปน็ ศนู ย)์

255 B +q v          v   FB r      r       q  FB     v  y P vx v x B +q vz z รูปที่ 10.23 แสดงทิศของแรงทก่ี ระทาตอ่ ประจลุ บและประจบุ วกในทิศตรงกนั ข้าม เมื่ออนุภาคท่ีมีประจุว่ิงเข้าไปในสนามแม่เหล็ก B โดยความเร็ว v มีทิศตั้งฉากกับ สนามแม่เหล็ก B จะมีแรงกระทาตั้งฉากตลอดเวลาจะทาให้อนุภาคเคล่ือนที่เป็นวงกลม ดังรูปที่ 10.23 ซึ่งจะได้แรงกระทาตอ่ ประจุจากสนามแม่เหล็ก มีค่าเท่ากับแรงเข้าสู่ศูนย์กลาง แต่ถ้าอนุภาคท่ี มีประจุว่ิงเข้าไปในสนามแม่เหล็ก B โดยความเร็ว v มีทิศทามุมน้อยกวา่ 90 o กับสนามแม่เหล็ก B ประจุน้ันจะเคลือ่ นเปน็ เกลยี วสปริง ดังแสดงในรปู ท่ี 10.23 ทาให้สามารถหารัศมีวงกลมไดจ้ ากสมการ จาก F = ma FC = mv2 (10.22) r FB = mv2 r แทนคา่ FB จากสมการที่ 10.22 จะได้วา่ qvBsinθ = mv2 r

256 qBsinθ = mv (10.23) r r = mv qBsinθ เม่ือความเร็ว v มีทศิ ตั้งฉากกบั สนามแมเ่ หล็ก B จะได้sin90o ได้สมการเป็น r = mv (10.24) qB และเมือ่ ω = v ,T = 2π และ f = 1 จะได้ r ω T v = qBsinθ rm  = qBsinθ m T = 2m (10.25) qBsinθ f = qBsinθ (10.26) 2m เมื่อความเรว็ v มที ิศไมต่ ง้ั ฉากกับสนามแมเ่ หลก็ B จะได้   90o ได้สามารถหาระยะห่างของเกลียว (Pitch, P) เปน็ จาก s = vt P = vcosθ  2m  (10.27)  qBsinθ    จากสมการท่ี 10.26 จะเห็นว่าค่าความถ่ีไม่ข้ึนกับขนาดของความเร็วและขนาดของวงกลม (รัศม)ี ดงั นั้นอนุภาคท่ีมีประจุชนิดเดยี วกันเคล่ือนที่เข้าไปในสนามแม่เหล็ก B ที่มีค่าเท่ากันแตม่ ีขนาด ของวงกลมไม่เทา่ กัน (เล็กและใหญ่) จะไดก้ ารเคลื่อนที่ครบรอบที่มีความถ่ีท่ีเท่ากันเสมอ เรียกความถ่ี ทเ่ี ทา่ กนั นี้ว่า ความถไ่ี ซโคลตรอน (Cyclotron frequency)

257 ตัวอย่างท่ี 10.7 ประจุโปรตอนเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 3.2x105 m/s ในแนวต้ังฉากกับสนามแม่เหล็ก ที่มีค่า 1.00 mT ดังรูปท่ี 10.24 จงหา (a) ขนาดของแรงและทิศทางท่ีกระทาต่อประจุโปรตอนตวั น้ี (b) รศั มีของวงโคจร (c) ความถใ่ี นการเคลือ่ นที่ B     +q              รูปที่ 10.24 แสดงการเคลอื่ นทข่ี องประจอุ เิ ลก็ ตรอนเขา้ ไปบรเิ วณสนามแมเ่ หล็ก วธิ ที า (a) จาก FB = qvBsinθ = (1.61019C)(3.2105m / s)(1.0103T)(sin 90o ) FB = 5.121017 N และเคล่ือนท่เี ป็นวงกลมโดยมีทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ า (b) จาก r = mv (c) จาก qB = (9.11031kg)(3.2105m / s) (1.6 1019C)(1.0 103T) r = 18.2104 m f = qB 2m = (1.61019 C)(1.0103 T) 2π(9.11031 kg) f = 3107 Hz

258 10.8 แรงที่สนามแม่เหล็กกระทาตอ่ เส้นลวดตัวนา ถ้ามีเส้นลวดวางอยู่ในสนามแม่เหล็ก และมีกระแสไฟฟา้ ไหลผ่าน จะทาให้เกิดแรงกระทาต่อ เส้นลวดนั้นได้โดยใชก้ ฎมือขวาในการหาทิศทางของแรง ซ่ึงให้นิ้วหัวแม่มือแทนทิศของแรง F นิ้วท้ังส่ี แทนทิศของกระแส I และฝ่ามือแทนทิศของสนามแม่เหล็ก B ดงั รูปที่ 10.25 และหาขนาดของแรง กระทานน้ั ได้จากสมการ FB = I L B (10.28) หรอื FB = I L Bsin θ (10.29) เมื่อ FB คอื แรงกระทาบนเสน้ ลวด มีหนว่ ยเป็น N I คือ กระแสไฟฟ้า มหี นว่ ยเป็น A L คอื ความยาวของเส้นลวด มีหน่วยเป็น m B คือ สนามแมเ่ หลก็ มีหนว่ ยเป็น T  คือ มุมระหวา่ งสนามแม่เหล็กกบั กระแสไฟฟ้า                         B                         I=0 I I รูปที่ 10.25 แสดงทศิ ของแรงท่ีกระทาตอ่ เสน้ ลวดท่ีมีกระแสไฟฟ้าไหลผา่ น

259 ตัวอย่างที่ 10.8 ลวดทองแดงมวล 0.02 kg และยาว 0.5 m แขวนไวใ้ นแนวระดับด้วยลวดตวั นาเบา ตง้ั ฉากกับสนามแม่เหล็กสม่าเสมอ 3.6 T ดังรูปท่ี 10.26 เม่ือจ่ายกระแสไฟฟ้าให้เส้นลวดทาให้เกิด แรงยกทมี่ ีขนาดเท่ากบั น้าหนักของเสน้ ลวด จงหาปรมิ าณของกระแสไฟฟา้ จา่ ยให้กบั เส้นลวด I          FB    B             mg รูปที่ 10.26 แสดงแรงท่กี ระทาตอ่ เสน้ ลวดที่มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่าน วธิ ีทา จาก FB = I L Bsin θ mg = I L Bsin θ I = mg L Bsin θ = 0.02 kg  9.8 m/s2 0.5 m 3.6 Tsin90o = 0.108 A

260 10.9 แรงที่สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหลก็ กระทาตอ่ ประจุ สาหรับบริเวณท่ีมีทั้งสนามไฟฟ้า E และสนามแม่เหล็ก B เมื่ออนุภาคท่ีมีประจุเคลื่อนที่ เขา้ ไปในบรเิ วณนี้ อนุภาคน้ันจะถกู กระทาด้วยแรงทีเ่ กิดจากสนามทงั้ สองนี้ เรียกแรงนว้ี า่ แรงลอเรนซ์ (Lorentz force) มคี ่าเท่ากับ F = qE + q(v B) (10.30) ซึ่งเมื่ออยู่ในสภาพสมดุลจะได้แรงเนื่องจากสนามไฟฟ้า (FE) มีค่าเท่ากับแรงเนื่องจาก สนามแมเ่ หล็ก (FB) ดังรูปท่ี 10.27 คือ FE = FB (10.31) qE = q(v B) (10.32) จะได้สมการทาให้ได้ v= E (10.33) B เมือ่ v คือ ความเรว็ ของอนภุ าค มีหน่วยเป็น m/s E คือ สนามไฟฟ้า มีหนว่ ยเปน็ N/C B คือ สนามแมเ่ หลก็ มหี นว่ ยเป็น T สาหรบั เครือ่ งมือทมี่ กี ารนาไปใช้ประโยชน์จากบรเิ วณทมี่ ีทง้ั สนามไฟฟา้ E และสนามแม่เหล็ก B คือ เครื่องแยกอิออนในอนุภาคท่ีมีมวลต่างกัน ที่เรียกว่าสเปกโทรมิเตอร์มวล ( Mass spectrometer) ++++++ FB       B       +q +q             FE E      รูปที่ 10.27 แสดงแรงลอเรนซ์ เมอ่ื ประจอุ ย่บู ริเวณท่มี ที งั้ E และ B

261 ตัวอย่างท่ี 10.9 ให้อนุภาคท่ีมีประจุชนิดโปรตอน (q = 1.6x10-19 C, m = 1.67x10-27 kg) เคล่ือนที่ อยู่ภายใต้สนามแม่เหล็ก 0.5 T ท่ีมีทิศทางตามแกน +x ที่ t = 0 โปรตอนนี้มีองค์ประกอบของ ความเร็วคือ vx = 1.5x105 m/s, vy = 0 และ vz = 2x105 m/s จงหาว่าท่ี t = 0 มีแรงที่กระทาบน ประจุโปรตอนและความเร่งของโปรตอนเทา่ ไร วิธที า กาหนดให้ B = Bˆi และ v = vxˆi+vzkˆ จาก FB = q(v B) = q (vxˆi+vzkˆ)  Bˆi = qvzBˆj = (1.61019C)(2105 m s)(0.5T) ˆj FB = 1.6x10-14 j N และ a = FB m = 1.6 1014 N ˆj 1.67 1027kg a = 9.581012ˆj m s2

262 บทสรุป กฎของคลู อมบ์ เมอ่ื ประจุไฟฟา้ 2 ประจอุ ยหู่ ่างกนั ขนาดหน่งึ จะมีแรงผลักกันถา้ เป็นประจุชนิด เดียวกนั และจะมีแรงดงึ ดดู กันหากเปน็ ประจุตา่ งชนดิ กนั F= kq1q2 r2 สนามไฟฟา้ คอื บรเิ วณโดยรอบประจไุ ฟฟา้ สง่ แรงไปถึง F= kQ r2 กฎของเกาส์ คือ ฟลกั ซไ์ ฟฟา้ ทพ่ี งุ่ ผา่ นพน้ื ท่ีผิวปดิ ทรงกลม มีคา่ เทา่ กบั อตั ราส่วนของประจุต่อค่า สภาพยอยทางไฟฟา้ ของอากาศ E = q 0 ศักยไ์ ฟฟ้า คอื งานทใี่ ช้ในการเคลื่อนย้ายประจจุ ากระยะอนนั ต์มายังตาแหน่งใดๆ (A) ในสนามไฟฟา้ V = kQ r ความต่างศกั ยไ์ ฟฟา้ คอื ผลต่างของศักย์ไฟฟา้ ระหว่างตาแหนง่ สองตาแหนง่ ในสนามไฟฟา้ V = W q แม่เหลก็ คอื สสารมขี ัว้ อยูส่ องขั้วคือข้วั เหนอื และขัว้ ใต้ โดยท่ีขั้วชนดิ เดียวกันจะผลกั กัน และขั้ว ต่างกันจะดูดกนั สนามแมเ่ หล็ก คือ อานาจทแ่ี สดงออกมาบริเวณรอบๆ แท่งแม่เหล็กจะเรยี กว่าซึ่งมที ิศพุง่ ออกจากข้วั เหนือไปยงั ข้ัวใต้ แรงกระทาต่ออนุภาค เม่อื อนภุ าคท่มี ีประจุและมีความเร็วเคลื่อนท่ีเขา้ ไปในบริเวณทีม่ ีสนามแมเ่ หลก็ จะทาใหเ้ กดิ แรงขนาดเท่ากบั FB =qvBsinθ แรงกระทาตอ่ เสน้ ลวด เมอื่ วางเส้นลวดท่ีมกี ระแสไหลผ่านบรเิ วณสนามแม่เหล็ก จะเกดิ เส้นน้ีดว้ ย ขนาด F=ILBsinθ แรงลอเรนซ์ สาหรับบรเิ วณที่มีทง้ั สนามไฟฟา้ และสนามแมเ่ หลก็ เมื่ออนภุ าคท่ีมปี ระจเุ คลื่อนที่เขา้ ไป ในบริเวณนี้ อนุภาคนนั้ จะถูกกระทาดว้ ยแรงทเ่ี กิดจากสนามทงั้ สองน้ี มคี า่ เทา่ กบั F = qE + q(v B)

263 แบบฝึกหดั ทบทวน 1. อิเลก็ ตรอนและโปรตอนของไฮโดรเจนอยหู่ า่ งกันดว้ ยระยะทางประมาณ 5.3x10-11 m จงหา ขนาดของแรงไฟฟ้าระหวา่ งสองประจนุ ี้ 2. จุดประจุ 3 จุดวางอยู่บนแกน x โดยที่ q1 = +1 nC ตาแหน่ง x = +2 cm, q2 = -3 nC ตาแหนง่ x = +4 cm และ q3 = +5 nC ตาแหนง่ x = 0 จงหาแรงไฟฟา้ ทั้งหมดท่กี ระทาต่อประจุ q3 3. ทรงกลมมีประจุ 2 อัน แต่ละอันมมี วล 3x10-2 kg ผูกด้วยเชอื กยาว 0.15 m และแรงทางไฟฟ้าทา ใหท้ รงกลมกางออกเป็นมุม 5 องศา ดงั รูปท่ี 10.34 จงหาขนาดประจขุ องแตล่ ะทรงกลม 4. จุดประจุ q = -8 nC วางที่จุด x = 0, y = 0 จงหาสนามไฟฟา้ ท่จี ดุ P (x = 1.2 m, y = -1.6 m) 5. จากรูปที่ 10.35 ให้อิเล็กตรอนเคลอื่ นทีเ่ ข้าไปในบริเวณสนามไฟฟ้าขนาด 200 N/C ด้วยความเร็ว 3 x 106 m/s และ l = 0.1 m จงหา (a) ความเร่งของอเิ ล็กตรอนเมื่ออย่ใู นสนามไฟฟา้ (b) เวลา ในการเคลอื่ นทเ่ี มื่ออย่ใู นสนามไฟฟ้า ถ้าให้เริม่ ที่ t = 0 6. วางจุดประจุ q1 = +12 nC และ q2 = -12 nC ดังรูปท่ี 10.36 จงหาสนามไฟฟา้ จากจดุ ประจุ q1, q2 และทั้ง 2 ประจุท่ี (a) จุด a (b) จดุ b (c) จดุ c 7. จากรูปที่ 10.37 วางประจุ 3 จุดตามยอดของสามเหลย่ี ม จงหาศกั ย์ไฟฟ้าที่จดุ กึง่ กลางของ สามเหล่ยี ม กาหนดให้ q = 7 µC 8. ตัวเกบ็ ประจุแบบแผน่ ตัวนาคน่ั กลางดว้ ยอากาศมพี ืน้ ท่ี A = 2 x 10-4 m2 และมีระยะหา่ งระหวา่ ง แผน่ 1 mm จงหาความจุไฟฟ้าของแผน่ ตวั นาน้ี 9. โปรตอนเคลอ่ื ที่ดว้ ยความเรว็ v = 2ˆi  4ˆj + kˆ m/s เข้าไปบริเวณสนามแม่เหลก็ B = ˆi + 2j 3kˆ T จงหาขนาดของแรงแม่เหลก็ ที่กระทาต่อโปรตอนน้ี

265 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 11 รายวชิ า ฟสิ กิ สท์ ัว่ ไป General Physics หวั ข้อเน้อื หา 11.1 ทฤษฎกี ารแผ่รงั สขี องวัตถดุ า 11.2 ปรากฏการณโ์ ฟโตอิเลก็ ตรกิ 11.3 รงั สีเอก็ ซ์ 11.4 ปรากฏการณ์คอมปต์ ัน วัตถปุ ระสงคเ์ ชงิ พฤติกรรม เมือ่ สิ้นสดุ การเรยี นการสอน ผเู้ รยี นสามารถ 1. อธบิ ายการการแผร่ งั สขี องวัตถดุ าได้ 2. เข้าใจและคานวณหาค่าปรมิ าณตา่ งๆของปรากฏการณโ์ ฟโตอิเลก็ ตริกได้อย่างถูกตอ้ ง 3. เขา้ ใจและอธบิ ายรังสเี อก็ ซ์ได้อยา่ งถูกตอ้ ง 4. เขา้ ใจและคานวณหาปรมิ าณตา่ งๆของปรากฏการณ์คอมปต์ ันได้อยา่ งถกู ต้อง วธิ ีสอนและกจิ กรรมการเรยี นการสอนประจาบท 1. บรรยายเนอื้ หาในแตล่ ะหวั ขอ้ พรอ้ มยกตัวอย่างประกอบ 2. ศึกษาจากเอกสารประกอบการสอนและภาพเลื่อน (slide) 3. ร่วมอภปิ รายเนอื้ หา และทาแบบฝึกหัดในชน้ั เรียน 4. ผู้สอนสรุปเน้อื หา 5. ผู้สอนทาการซักถาม 6. นกั ศึกษาถามข้อสงสัย สอ่ื การเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวชิ าฟสิ ิกส์ทัว่ ไป 2. บทความจากหนงั สือ หรอื เว็บไซตต์ ่างๆ 3. ภาพเลื่อน (slide) 4. คอมพวิ เตอรพ์ รอ้ มเคร่อื งฉาย LCD projector

266 การวัดผลและการประเมินผล 1. ประเมนิ จากการซกั ถามในชน้ั เรยี น 2. ประเมินจากความร่วมมือหนา้ ช้นั เรยี น 3. ประเมนิ จากการทาแบบฝึกหดั ทบทวนทา้ ยบทเรยี น

267 บทที่ 11 ฟิสิกสย์ คุ ใหม่ เน่ืองจากการใช้ทฤษฎีฟิสิกส์แผนเดิมและทฤษฏีสัมพัทธภาพไม่สามารถใช้อธิบายการ เปล่งแสงและการกระจดั กระจายของแสงจากอะตอมของก๊าซต่างๆท่ีอณุ หภูมสิ ูงได้ นกั ฟิสกิ สห์ ลายคน พยายามหาแนวทางใหม่ๆเพื่ออธิบาย จนในช่วงปี 1900-1930 ได้เกิดเป็นทฤษฎีควอนตัม (Quantum theory) ซึ่งใช้อธิบายพฤติกรรมของอนุภาคได้ดีเช่นเดียวกันกับการใช้ทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ ซ่ึง อธิบายคร้ังแรก โดย มักซ์ พลัง (Max Planck) และนักวิทยาศาสตร์ท่ีมีช่ือเสียงอย่าง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (Albert Einstein) นีลส์ บอร์ ( Niels Bohr) เดอ เบรย (de Broglie) ชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger) และ ไฮเซนเบิก (Heisenberg) ในบทนี้จะได้กล่าวถึงปรากฏการณ์ท่ีมีผลการทดลอง ยนื ยันอันนาไปส่แู นวคิดพ้ืนฐานบางประการของทฤษฎคี วอนตมั 11.1 ทฤษฎกี ารแผร่ งั สขี องวัตถุดา วัตถุทมี่ อี ณุ หภูมิสงู กว่าศูนยอ์ งศาสมั บูรณ์ (Absolute zero) จะแผ่คล่ืนแมเ่ หล็กไฟฟ้าออกมา ตามทฤษฎีคล่ืนแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ (Max well) โดยความร้อนจะเป็นผลให้เกิดความเร่งของ ประจุภายในวัตถุ และเกิดการแผ่รังสีออกมา วัตถุอาจจะดูดกลืนรังสีความร้อนจากสิ่งแวดล้อม ถ้า ขณะนั้นวัตถุมีอุณหภูมิสูงกว่าสิ่งแวดล้อม อัตราการแผ่รังสีจะมากกว่าอัตราการดูดกลืนรังสี และถ้า วัตถุมีอุณหภูมิต่ากว่าสิ่งแวดล้อม อัตราการดูดกลืนรังสีจะมากกว่าอัตราการแผ่รังสี และเม่ือวัตถุมี อุณหภูมิเท่ากับส่ิงแวดล้อม อัตราการแผ่รังสีและอัตราการดูดกลืนรังสีจะเท่ากัน วัตถุจะมีอุณหภูมิ คงท่เี รียกวา่ การเกดิ สมดลุ ความรอ้ น (Thermal equilibrium) ในการทดลองเผาแท่งเหล็กให้ร้อนเพ่อื วัดรังสีความร้อนที่แผ่ออกมา พบว่าที่อณุ หภูมิต่าๆจะ สังเกตไม่เห็นการเปลี่ยนแปลงใดๆ แต่เม่ือเหล็กร้อนถึง 1500 K จะเริ่มสังเกตเห็นเหล็กเปลี่ยนเป็นสี แดง และเมื่อเหล็กร้อนขึ้นไปอีก จะสังเกตเห็นเหล็กเปลี่ยนเป็นสีส้ม สีเหลือง ลุกสวา่ ง และกลายเป็น สีขาวในที่สุด หรือถ้าให้แสงขาวผ่านไปในเคร่ืองวัดสเปคตรัมปริซึม หรือเกรติง เครื่องวัดสเปคตรัมจะ แยกแสงขาวออกเป็นแถบสีต่าง ๆ จากแถบแดงไปจนถึงแถบสีม่วงติดต่อกันเป็นสเปคตรัม แบบต่อเน่ือง (Continuous spectrum) ในกรณีของสสารที่อยู่ในสถานะก๊าซ เมื่อถูกกระตุ้นด้วย ความร้อนหรือกระตุ้นด้วยไฟฟ้าจะให้สเปคตรัมท่ีไม่ต่อเน่ือง เป็นเฉพาะความยาวคล่ืนแน่นอน เฉพาะตัวของสสารน้ัน ในการศึกษาการแผ่รังสีความร้อนของของแข็งหลายชนิดพบว่าอัตราการแผ่พลังงานรังสี ความร้อนขึ้นอยู่กับอุณหภูมิและชนิดของผิววัตถุวัตถุตา่ งชนิดกันจะมีความสามารถในการแผ่รังสีและ

268 การดูดกลืนรังสีได้ต่างกัน และพบว่าวัตถุใดแผ่รังสีได้ดีก็จะดูดกลืนรังสีได้ดีด้วยเช่นกัน สาหรับวัตถุท่ี เป็นตัวแผแ่ ละดูดกลืนรงั สีได้อย่างสมบรู ณ์และดที ่สี ุดเรียกว่าวตั ถุดา (Black body) รูปที่ 11.1 แสดงการสมมุตริ ะบบเปน็ วตั ถุดา เมื่อแสงผ่านเขา้ ไปแล้วจะมกี ารสะท้อนของรังสีภายใน โพรง (Cavity radiation) และถูกดูดกลืนในทส่ี ดุ จากรูปที่ 11.1 เม่ือให้รังสีผ่านรูเข้าไปในช่องว่าง รังสีจะสะท้อนกลับไปกลับมาท่ีผนังด้านใน และถูกดูดกลืนในที่สุดตามทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ ท่ีกล่าวว่า อะตอมซ่ึง ประกอบด้วยอนุภาคไฟฟ้าเม่ือมีอุณหภูมิสูงข้ึนอนุภาคไฟฟ้าจะส่ันและแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าออกมา โดยพลังงานท่ีแผ่ออกมาจะแปรผันตรงกับกาลังส่ีของความถี่ของการส่ัน ซึ่งอนุภาคไฟฟ้าใดสั่นด้วย ความถ่ีสูง (ความยาวคลื่นสั้น) จะมีพลังงานมาก วัตถุดาสามารถดูดกลืนและแผ่รังสีได้ทุกความยาว คลื่น ทาให้เขียนค่าความเข้มของการแผ่รังสีท่ีความยาวคล่ืนต่าง ๆ ได้ ในการทดดลองเพ่ือศึกษาการ แผ่รังสีของวตั ถุดา พบวา่ ค่าพลังงานคลื่นแม่เหล็กไฟฟา้ ท่ีแผ่ออกมาจากวัตถุที่อณุ หภูมิต่างๆ แสดงดัง รูปที่ 11.2

269 Intensity 4000 K 3000 K 2000 K Wavelengh (m) รูปที่ 11.2 แสดงการแผร่ งั สขี องวัตถดุ า ที่คลนื่ แมเ่ หล็กไฟฟ้าทแี่ ผ่ออกมาจากวัตถุท่ีอุณหภมู ติ ่างๆ จากการทดลองการแผร่ งั สีของวตั ถุดาพบว่า 1. สเปคตรัมของการแผ่รังสขี องวตั ถุดา ไมข่ น้ึ อยู่กบั ชนิดของสารที่ใชท้ าวตั ถุดา 2. ที่อณุ หภูมคิ งทคี่ ่าหนึ่ง ในช่วงความถี่เพ่ิมขึ้น ค่า P จะเพ่มิ ข้นึ จนถึงจุดสงู สุดแล้วลดลง 3. ที่ความยาวคลื่นใดๆ P จะมีคา่ เพ่มิ ข้ึน เมือ่ อุณหภมู สิ งู ข้นึ ถา้ พลังงานทงั้ หมดเป็น P โดย P = σAeT4 (11.1) เม่อื P คอื กาลงั ของการแผ่รังสี  คอื คา่ คงที่ มีค่าเท่ากับ 5.6996108 W/m2K4 e คอื คา่ การแผ่รงั สี (emissivity) มีค่าเทา่ กับ 1 เรยี กสมการท่ี 11.1 วา่ กฎของสเตฟาน-โบลตซ์มานน์ (Stefan-Boltzmann’s law) ซึ่งกล่าว ว่า พลังงานที่แผ่ออกมาจากวัตถุดา จากพ้ืนท่ี 1 ตารางเมตร แปรผันตรงกับกาลังส่ีของอุณหภูมิ สัมบรู ณ์ของวัตถดุ า 4. เมือ่ อณุ หภมู ิของวัตถดุ าสงู ขึน้ การแผ่รงั สสี ่วนใหญจ่ ะอยู่ในชว่ งความยาวคลื่นต่าลง ความ ยาวคล่ืนที่ตรงกับจุดสูงสุดของสเปคตรัมของการแผ่รังสีของวัตถุดาจะแปรผกผันกับอุณหภูมิสัมบูรณ์ ของวตั ถดุ าคือ

270 λmaxT = คา่ คงที่ (11.2) λmaxT = 0.2898 10 2 m.K เมอื่ λmax คือความยาวคลนื่ ท่ีตรงกับจุดสงู สดุ ของสเปคตรัมของการแผ่รงั สขี องวัตถดุ า จากสมการที่ 11.2 เรียกว่ากฎการขจัดของวีน (Wien’s displacement law) เม่ือ นากฎของสเตฟาน-โบลตซม์ านน์ และการกระจดั ของวนี มาใช้อธิบายการแผร่ ังสีของวัตถุดาไดถ้ กู ตอ้ ง ตรงกบั ผลการทดลองแตเ่ ฉพาะทีค่ วามยาวคล่ืนที่มคี า่ มากแต่ไม่สามารถอธิบายการแผ่รังสีท่คี วามยาว คลนื่ ของวัตถุดามีคา่ นอ้ ยได้ ต่อมา พลังค์ (Planck) ได้แก้ไขโดยพิจารณาอะตอมท่ีกวดั แกวง่ สามารถดดู กลืน หรือปล่อย พลังงานออกมาอย่างไม่ต่อเนื่อง หรือมีพลังงานในการสั่นเป็นข้ันๆ เรียกว่า ควอนตัม (Quantum) การท่ีพลังงานมีค่าต่างกันเป็นข้ันๆ เรียกว่า ควอนไตเซชัน (Quantization) และค่าพลังงานที่ตัวแผ่ รังสีปล่อยหรือดดู กลืน เรียกว่า โฟตอน (photon) โดยได้อธบิ ายว่า ผนังกลวงท่ีเจาะรูเล็กๆ บนผนัง ด้านหน่ึงประกอบด้วยอะตอมท่ีทาหน้าท่ีเป็นออสซิลเลเตอร์ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า โดยแต่ละ ออสซิลเลเตอร์สามารถปล่อยหรือดูดกลืน ซึ่งเม่ือปลดปล่อยพลังงานออกมาระดับพลังงานจะลดลง และในทางกลับกันเม่ือดูดกลืนพลังงานเข้าไประดับพลังงานจะสูงข้ึน โดยพลังงานคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ของอะตอมข้ึนกับความถ่ี f ถา้ ความถ่ีสูงพลังงานจะสูงด้วย เป็นปริมาณจานวนเต็มบวกกับปริมาณมูล ฐานของพลงั งาน hf ดงั สมการ En = nhf (11.3) เมื่อ En คือ พลังงานทส่ี ถานะตา่ งๆ มหี นว่ ยเปน็ J n คอื เลขควอนตมั (quantum number) มคี า่ เท่ากับ 1, 2, 3, …. h คอื คา่ คงที่พลงั ค์ (Planck , s constant) มคี า่ เทา่ กับ 6.626x10-34 มีหน่วยเป็น J.s f คือ ความถ่ี มหี นว่ ยเป็น Hz จากการแจกแจงเชิงเส้นสเปคตรัมของการแผ่รังสขี องวตั ถดุ า ซ่งึ เปรียบเทียบระหวา่ งทฤษฎี การแผ่รังสขี องพลงั คก์ ับผลการทดลอง ซง่ึ สอดคล้องกับขอ้ มูลการทดลองเป็นอย่างดี ดงั รปู ที่ 11.3

271 Intensity Experimental data Classical theory Wavelengh (m) รูปที่ 11.3 แสดงการเปรยี บเทยี บสเปกตรมั การแผ่รงั สที ีค่ านวณโดยกฎของพลงั ค์ ตวั อย่างท่ี 11.2 มวล 2 kg ถูกอดั ใหเ้ ข้าชนกับสปริงท่มี คี ่าคงที่สปริงเทา่ กับ 25 N/m โดยสปริงหดไป 0.4 m จากตาแหนง่ สมดลุ จงหา (a) พลงั งานท้งั หมดและความถท่ี ่เี กดิ จากการส่นั ของสปรงิ โดยใช้ ฟสิ กิ ส์ยคุ เกา่ ในการคานวณ (b) เลขควอนตัมของระบบนี้ โดยใช้พลังงานจากฟสิ ิกส์ยคุ เก่า (c) พลังงานทใี่ ชใ้ นการเปลี่ยนหนง่ึ สถานะ วธิ ที า (a) จาก E = 1 kx2 2 = 1 (N/ m)(0.4 m)2 2 E=2J และ f= 1 k 2π m = 1 25N/m 2π 2kg (b) จาก f = 0.563 Hz (c) จาก En = nhf n = En hf 2 (6.63 10 34 J.s)(0.563Hz) n = 5.36 1033 En = nhf En = (1)(6.63 10 34J.s)(0.563Hz) En = 3.73 1034 J

272 11.2 ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตรกิ ปรากฏการณ์โฟโตอเิ ล็กตริก (Photoelectric effect) ค้นพบโดยเฮิร์ตซ์ (Heinrich Hertz) ในปีค.ศ. 1887 ระหว่างทาการทดลองเพื่อสนับสนุนทฤษฎีคล่ืนแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริก คือ ปรากฎการณ์ที่มีอิเล็กตรอนหลุดออกมาจากผิวโลหะเม่ือมีแสงตก กระทบ ซึ่งอิเล็กตรอนท่ีหลุดออกมาจะมีพลังงานข้ึนอยู่กับความถ่ีของแสงท่ีตกกระทบ เรียก อิเล็กตรอนที่หลุดออกมาว่า โฟโตอิเล็กตรอน (Photo electrons) จากรูปท่ี 11.4 หลอดโฟโตอเิ ล็ก ตริกเป็นหลอดสุญญากาศ E เป็นแผ่นโลหะ เม่ือให้แสงตกกระทบ จะทาให้อิเล็กตรอนหลุดออกมา และเคล่ือนที่ไปยังแผ่นโลหะ C ท่ีมีศักย์เป็นบวกเมื่อเทียบกับ E ทาให้เกิดกระแสอิเล็กตรอนไหลผ่าน แอมมิเตอร์ A เม่ือมีการเพิ่มศักย์ไฟฟ้า กระแสอิเล็กตรอนจะค่อยๆ เพ่ิมขึ้นจนถึงค่าคงที่เรียกว่า กระแสอิ่มตัว (Saturation current) การที่อิเล็กตรอนเคล่ือนท่ีไปถึงคอลเล็กเตอร์ได้ จะต้องมี พลงั งานจลนเ์ ท่ากับหรือมากกว่าพลังงานศักย์ไฟฟา้ ทีไ่ ดร้ ับในการเคลอ่ื นท่ีจาก E ถึง C คือ Photoelectrons CE Light A (11.4) V power supply รูปที่ 11.4 แสดงวงจรการศึกษาปรากฏการณโ์ ฟโตอเิ ลก็ ตริก 1 mv2 = eV 2 เม่ือ mคือ มวลของอิเล็กตรอนมหี นว่ ยเปน็ kg v คือ ความเรว็ อิเลก็ ตรอนมีหนว่ ยเป็น m/s e คอื ขนาดประจุของอเิ ลก็ ตรอนมหี นว่ ยเป็น C V คอื ความตา่ งศักย์ไฟฟ้ามีหนว่ ยเป็น V

273 ถ้าให้ศักย์ไฟฟ้าที่ C เป็นลบเม่ือเทียบกับ E อิเล็กตรอนจะถูกผลักให้ไปถึง C ไดย้ ากขึ้น และ ถ้าเทียบศักย์ไฟฟ้าท่ี C เป็นลบมากพอ จะทาให้ไม่มีอเิ ล็กตรอนมาถึง C ทาให้ไม่มีกระแสอเิ ล็กตรอน ผ่านแอมมิเตอร์ เรียกศักย์ที่ทาให้กระแสเป็นศูนย์ว่า ศักย์หยุดยั้ง (Stopping potential) ทาให้โฟโต อิเล็กตรอนที่มีพลังงานจลน์มากท่ีสุดไม่สามารถเคลื่อนที่ผ่านสนามไฟฟ้าไปต้านการเคล่ือนท่ีของ อเิ ล็กตรอนได้ นั่นแสดงว่าพลังงานอันเนื่องมาจากความต่างศักย์หยุดย้ังเท่ากับพลังงานจลน์มากท่ีสุด ของโฟโตอิเลก็ ตรอน KE(max) = eV0 (11.5) เมือ่ KE(max) คือ พลังงานจลน์ มหี นว่ ยเปน็ J e คือ ขนาดประจขุ องอเิ ลก็ ตรอน มหี นว่ ยเปน็ C V0 คือ ความตา่ งศกั ย์ไฟฟา้ มหี นว่ ยเป็น V ในการทดลองเมื่อเพิ่มความเข้มแสงแตใ่ ช้ความถ่ีเดิม พบวา่ กระแสอิเล็กตรอนจะเพ่ิมตามไป ด้วยแต่ความต่างศักย์ยังคงเท่ากับ V0 แสดงว่าความเข้มของแสงไม่ทาให้พลังงานจลน์ของโฟโต อเิ ลก็ ตรอนเพมิ่ ขึ้น แตจ่ ะเพมิ่ เฉพาะจานวนโฟโตอเิ ลก็ ตรอนท่หี ลดุ ออกมาต่อวินาทีเท่านั้น ในการทดลองเมื่อใช้แสงความถี่เดิมแต่เปลี่ยนความเข้มของแสง แล้วบันทึกค่าความต่าง ศักย์ไฟฟ้าที่เกิดขึ้นท่ีความต่างศักย์ต่าๆ กระแสอิเล็กตรอนจะไม่มากนัก เนื่องจากกระแสอิเล็กตรอน บางตัวยังไปไม่ถงึ จดุ C ได้หมด สามารถเขียนเปน็ กราฟแสดงไดด้ ังรปู ท่ี 11.5 Current high intensity low intensity V Applied voltage รูปที่ 11.5 แสดงกระแสโฟโตอเิ ลก็ ตริกเมอื่ ให้ความถแี่ สงคงท่ี แต่เปลีย่ นความเข้มแสง

274 เม่ือฉายแสงที่มีความถ่ีต่างๆ กันไปท่ี E และนาข้อมูลความต่างศักย์หยุดย้ัง และความถี่ (f) ของแสง จะเห็นว่าถ้าความถี่ของแสงต่ากว่าความถ่ีต่าสุด (f0) จะไม่มีโฟโตอิเล็กตรอนหลุดออกมา เรยี กความถีต่ ่าสดุ น้ีว่า ความถ่ี (Threshold frequency) ถ้าเปลี่ยนชนิดของโลหะE ก็จะทาให้ความถ่ี ขีดเริ่มเปลี่ยนไปและเม่ือฉายแสงความถี่สูงไปยังโลหะโฟโตอิเล็กตรอนที่หลุดจะมีพลังงานจลน์สูงไป ดว้ ย จากการทดลอง สรปุ ไดว้ ่า 1. พลังงานจลน์ของโฟโตอิเล็กตรอนไม่ขึ้นกับความเข้มของแสงแตข่ ั้นอยู่กับความถ่ีของแสง และเป็นปฏิภาคตรงกับความถี่แสง และจะมีโฟโตอิเล็กตรอนเกิดข้ึนเม่ือแสงมีความถ่ีตกกระทบ มากกว่าความถ่ขี ีดเริ่มของโลหะ 2. ถ้าแสงมีความถี่สูงกว่าความถี่ขีดเร่ิม จานวนอิเล็กตรอนที่หลุดจะเป็นปฏิภาคตรงกับ ความเข้มของแสง ในฟิสิกส์แผนเดิม จะอธิบายปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริกได้เฉพาะกรณีของแสงท่ีมีความเข้ม มาก จะส่งผ่านพลังงานให้แก่พื้นผิวได้มาก ทาให้จานวนโฟโตอิเล็กตรอนหลุดออกมาจากพื้นผิวมาก ตามค่าความเขม้ แสง ส่วนกรณีอน่ื ๆไมส่ ามารถอธิบายได้ ในปีค.ศ. 1905 ไอน์สไตน์ (Albert Einstein) ได้เสนอทฤษฎีโฟตอนท่ีอธิบาย ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริกได้สาเร็จและได้รับรางวัลโนเบล (Nobel Prize) เป็นคร้ังแรก โดยใช้ ทฤษฏีควอนตัมของรังสีท่ีพลังค์ในการใช้อธิบายการแผ่รังสีของวัตถุดา ซึ่งไอน์สไตน์ เสนอว่า แสง ประกอบด้วยกลุ่มก้อนของพลังงานเรียกวา่ โฟตอน (Photon) โดยโฟตอนท่ีมีความถี่ (f) จะมีพลังงาน ของโฟตอน (E) ดงั สมการ E = hf = hc (11.6) λ เม่ือ E คือ พลังงาน มีหนว่ ยเปน็ J h คือ คา่ คงทข่ี องพลังค์ (Planck ,s constant) มีค่าเท่ากบั 6.625 x 10-34 J.s f คอื ความถี่ มีหนว่ ยเปน็ Hz c คือ ความเรว็ แสง มีหนว่ ยเปน็ m/s λ คือ ความยาวคลื่น มีหนว่ ยเปน็ m โฟตอนซึ่งมีลักษณะเป็นอนุภาคท่ีประกอบด้วยก้อนพลังงานเม่ือตกกระทบโลหะ พลังงาน ของโฟตอนจะถ่ายทอดให้กับอิเล็กตรอนในโลหะตัวต่อตัว ทาให้อิเล็กตรอนหลุดออกมาจากอะตอม โดยพลังงานส่วนหนึ่งจะจ่ายพลังงานให้กับอะตอม เท่ากับพลังงานยึดเหน่ียวหรือฟังก์ชันงาน (Work function) ทย่ี ึดอะตอมไวส้ ว่ นพลังงานที่เหลอื จะกลายเปน็ พลังงานจลน์ ตามสมการ

275 hf = KE(max) + (11.7) เมื่อ คือ พลังงานยดึ เหนย่ี วของโลหะ จากสมการท่ี 11.7 แสดงให้เห็นว่า แสงท่ีมีความถี่สูงโฟตอนก็จะมีพลังงานสูง และให้กรณีท่ี ฉายแสงท่ีมีความถ่ีเท่ากับความถ่ีขีดเร่ิม (f0) อิเล็กตรอนก็จะมีพลังงานจลน์เป็นศูนย์ ดัง ความสมั พนั ธ์ hf0 (11.8) จากสมการที่ 11.8 จะเห็นว่า ถ้าพลังงานของโฟตอนน้อยกว่า แสงจะไม่สามารถทาให้ อเิ ล็กตรอนหลดุ จากผวิ โลหะได้ไม่วา่ จะมคี วามเข้มมากเพยี งใดก็ตาม เรยี กสมการท่ี 11.7 ว่าสมการโฟโตอเิ ล็กตริกของไอน์สไตน์ (Einstein ,s photoelectric equation) และไอนส์ ไตน์ใช้กฎอนุรกั ษ์พลงั งานหาไดว้ า่ พลังงานจลน์สูงสดุ ของอิเล็กตรอนทถี่ กู ปล่อย ออกมามีค่าเทา่ กับพลงั งาน hf ท่ีได้รับจากโฟตอนลบออกด้วยฟงั ก์ชนั ของงาน คือ KE(max) hf (11.9) เม่ือแทนค่า KE(max)  eV0 ลงในสมการท่ี 11.9 จะได้ว่า eV0 hf (11.10) เรียกสมการที่ 11.10 วา่ ปรากฎการณโ์ ฟโตอเิ ลก็ ตริก ในปี ค.ศ. 1914 มิลลิแกน (R.A. Milikan) นักฟิสิกส์ชาวอเมริกันไดท้ าการทดลองและพิสูจน์ สมการโฟโตอิเล็กตริกของไอน์สไตน์และหาค่า h จากการทดลองไดเ้ ป็นครั้งแรก โดยฉายแสงความถ่ี ต่าง ๆ ไปทโี่ ลหะและนาปรมิ าณทีเ่ กี่ยวข้องมาเขียนกราฟ ดงั รูปท่ี 11.6

276 EK(max) f fC fC รูปที่ 11.6 แสดงกราฟเมื่อฉายแสงท่ีความถตี่ า่ งๆ ไปท่โี ลหะ จากสมการที่ 11.6 จะไดว้ ่า V0 hf (11.11) ee เม่ือนามาเขียนกราฟของ V0ในรูปของฟังก์ชัน f เป็นเส้นตรง ในรูปที่ 11.6 จะได้ความชัน (Slope) เป็นค่าของ h เม่ือแกน y เป็นแกนของความต่างศักย์หยุดยั้ง และแกน x เป็นค่าของ e ความถี่ของแสงและทาใหม้ ิลลิแกนวดั ประจุ e ไดแ้ ละเมอ่ื แทนค่า e จะได้ h มคี า่ เทา่ กบั 6.626 10 34 J.s พลังงานงานของอิเล็กตรอนและฟังก์ชันงาน มักเขียนในหน่วยของ eV ซึ่งมี ความสัมพันธ์คือ 1 eV = 1.603 10 19 J และ h = 6.626 10 34 J.s = 4.136 10 15 eV.s

277 ตวั อยา่ งที่ 11.3 ถ้าวัดค่าพลงั งานจลน์ของโฟโตอเิ ลก็ ตรอนจากโลหะซเี ซยี มได้ 2 eV จงหาค่าความ ยาวคลื่นมากทสี่ ุดของแสงที่ทาใหเ้ กิดปรากฏการณโ์ ฟโตอิเล็กตริก (ใหพ้ ลังงานยดึ เหนีย่ วของซเี ซยี ม เท่ากับ 1.8 eV) วิธีทา จาก hf = KE(max) + = 2eV 1.8eV = 3.8eV E = hf = hc λ λ = hc E แทนคา่ E = 3.8eV = 3.8 1.6 10-19J λ= (6.626×10-34J.s×3×108 m s ) (3.8×1.6×10-19J) λ = 3,240×10-10 m o λ = 3,240 A m 11.3 รงั สีเอก็ ซ์ ในปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริก โฟตอนของแสงสามารถถ่ายเทพลังงานให้กับอิเล็กตรอน ทา ให้อิเล็กตรอนมีพลังงานจลน์ และหลุดออกมาจากโลหะได้ ปัญหาต่อไปนี้ที่น่าสนใจคือ จะมี กระบวนการกลับกันจะเกิดข้ึนได้หรือไม่ กล่าวคือพลังงานจลน์ของอิเล็กตรอนที่กาลังเคล่ือนท่ีน้ัน สามารถเปลี่ยนกลับเป็นโฟตอนได้หรือไม่ ทาให้มีการทดลองและยืนยันว่ามีกระบวนการดังกล่าวน่ัน คือ การค้นพบรังสีเอ็กซ์ (X–rays) ในปีค.ศ. 1895 โดยเรินท์เกน (Wilhelm Roentgen) นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน พบว่าถ้ายิงอิเล็กตรอนความเร็วสูงไปยังโลหะ จะเกิดคล่ืนแม่เหล็กไฟฟ้า ชนดิ หนงึ่ ท่มี ีอานาจทะลุทะลวงสูงแผ่ออกมาและเร็นทเ์ กน เรยี กรงั สีนว้ี ่า รังสีเอก็ ซ์ ในการศึกษาธรรมชาติของรังสีเอ็กซ์พบว่ารังสีเอ็กซ์เดินทางเป็นเส้นตรงไม่เบ่ียงเบนใน สนามไฟฟา้ และสนามแม่เหล็ก ไม่สามารถทะลุผ่านวัตถุที่มีเลขอะตอมสูงๆ เชน่ กระดูก ตะก่ัว ทาให้ เกิดภายบนแผ่นฟิล์มถ่ายรูปได้ รังสีเอ็กซ์ทาให้สารบางอย่างเรืองแสงได้ในท่ีมืด ทาให้แก๊สท่ีบรรจุใน หลอดแก้วสามารถนาไฟฟ้าได้หลังการค้นพบรังสีเอ็กซ์ได้ไม่นานก็เช่ือกันว่ารังสีเอ็กซ์เป็นคล่ืน แมเ่ หล็กไฟฟ้า แต่การทดลองเพื่อยืนยันวา่ รงั สีเอ็กซเ์ ปน็ คลื่นไม่ประสบความสาเรจ็ เนือ่ งจากรังสเี อ็กซ์ ไม่หักเหหรือเลี้ยวเบนเม่ือผ่านเกรตติงชนิดธรรมดา ท่ีใช้ในการทดลองเรื่องแสง จนกระท่ังปีค.ศ. 1907 บาร์ลา (Barkla) สามารถพสิ ูจน์ได้ว่ารังสีเอ็กซ์เป็นคลื่นตามขวาง จากการทดลองโฟลาไรเซซัน และในปี ค.ศ. 1913 เลาอี (Max Von Laue) ได้เสนอให้ฉายรังสีเอก็ ซ์ไปยังผลึกของสารโดยทาให้ อะตอมของผลึกในสารทาหน้าที่เป็นเกรตติง จากลักษณะการเล้ียวเบนของเกรตติง (x – rays

278 diffraction pattern) แสดงวา่ รังสีเอ็กซ์เป็นคล่ืนแม่เหล็กไฟฟ้าท่ีมีความยาวคล่ืนสั้นมากอยู่ระหวา่ ง 0.1 อังสตรอมถึง 100 อังสตรอมกล่าวคือมีความยาวคล่ืนสั้นกว่ารังสีอุลตร้าไวโอเลต แต่มีความยาว คลืน่ ยาวกวา่ รังสแี กมมา High voltage Filament voltage X-ray Cupper rod Tungsten targat Vacuum tube รูปที่ 11.7 แสดงการผลิตรงั สีเอ็กซจ์ ากหลอดรังสีเอ็กซ์ จากรูปท่ี 11.7 แสดงอิเล็กตรอนที่หลุดจากแคโทดในหลอดสุญญากาศ จะถูกเร่งผ่านความ ต่างศักย์สูงระหว่างแคโทดและแอโนด อิเล็กตรอนจะมีพลังงานจลน์ E ก่อนจะชนเป็นแอโนด ตาม ความสัมพันธ์ E = eV (11.12) เมอ่ื อิเลก็ ตรอนชนเป้า ความเร็วจะลดลงจนเป็นศูนย์เสียพลังงานจลน์ไปท้ังหมดประมาณ 98 % ของพลังงานกลายเป็นความร้อน จึงจาเป็นต้องมีระบบระบายความร้อน พลังงานส่วนน้อยจะ กลายเป็นรังสีเอ็กซ์ ปกติแคโทดและแอโนดจะทามาจากโลหะท่ีมีเลขอะตอมมากๆ เช่น ทังสแตน หรือโมลิบดินัม รังสีเอ็กซ์ที่เกิดจากประจุเช่น อิเล็กตรอนความเร็วสูง เคล่ือนท่ีในสนามไฟฟ้าของ นิวเคลียสของอะตอมท่ีเป็นเป้า อิเล็กตรอนจะเปล่ียนแนวการเคล่ือนท่ีเน่ืองจากมีแรงกระทาหรือมี ความเร่งจึงแผ่รังสีออกมาเป็นคล่ืนแม่เหล็กไฟฟ้าเรียกว่ารังสีเบรมสตราห์ลุง (Bremsstrahlung radiation) ดงั รปู ท่ี 11.8

279 Nucleus of Tungsten atom   Deflection low energy electron  Emitted Photron high energy electron รูปที่ 11.8 แสดงการเกิดรังสีเอก็ ซ์ จากรปู ท่ี 11.8 ตามทฤษฎีคลน่ื แม่เหลก็ ไฟฟา้ ท่ีอิเลก็ ตรอนแผ่คลน่ื แม่เหลก็ ไฟฟ้าออกมาในรปู ของโฟตอน 1 ตัว พลังงานของอิเล็กตรอนจะลดลงและความแตกต่างพลังงานจลน์ของอิเล็กตรอนก็ คือพลังงานของโฟตอนในที่น้คี อื รงั สเี อ็กซ์จากหลักการคงที่ของพลงั งาน 1 mv2 1 mv 2 = hf (11.13) 22 เม่อื m คือ มวลของอิเล็กตรอน (คดิ วา่ เปน็ มวลนิง่ เพราะความเร็วตา่ กวา่ แสงมาก) v คือ ความเร็วของอิเลก็ ตรอนก่อนชนกบั นวิ เคลยี ส v คอื ความเรว็ ของอิเล็กตรอนหลงั ชนกับนวิ เคลียส การชนแบบนี้ลักษณะเดียวกับการชนแบบอ่ืนๆแม้ว่าวัตถุท้ังสองจะไม่ชนกันจริงๆ แต่จะมี แรงกระทาระหว่างวัตถุ และอิเล็กตรอนเม่ือชนกับนิวเคลียสแล้วจะช้าลงและจะส่งรังสีเอ็กซ์ออกมา โดยรังสเี อก็ ซ์ท่ีเกดิ ขึ้นจะมหี ลายความถขี่ นึ้ อยกู่ บั 1. ระยะทางใกล้ที่สดุ ระหวา่ งอิเลก็ ตรอนกบั นิวเคลียสน้นั 2. ขนาดความเรว็ ของอเิ ลก็ ตรอนทเ่ี ปลี่ยนไป ในการหาค่าความถี่สูงสุดของรังสีเอ็กซ์ จะเกิดขึ้นเม่ือ v = 0 หรือกรณีที่อิเล็กตรอนถูก นวิ เคลียสดึงไว้จนหยดุ นงิ่ ในการชนเพยี งครั้งเดยี วเทา่ นน้ั นน่ั คือ hfmax = E= 1 mv2 (11.14) 2 แทนคา่ E จากสมการ (12.12) จะได้

280 hfmax = eV หรอื hc = eV λmin λmin = hc (11.15) eV เมอื่ h คือ ค่าคงทพ่ี ลังค์ c คอื ความเรว็ แสง e คอื ขนาดประจุของอิเล็กตรอน V คือ ความต่างศักยร์ ะหวา่ งขวั้ แอโนดและแคโทด จากการวเิ คราะห์ผลการทดลองพบวา่ รังสีเอก็ ซ์มีความถ่ีต่าง ๆ กันจนถึงความถ่ีสูงสุด fmax หรือมี ความยาวคลื่นต่างๆกันจนมีค่าต่าสุด λmin และเป็นสเปคตรัมแบบต่อเน่ือง(Continuous x-ray) ค่าความถ่ีสูงสุดข้ึนอยู่กับค่าความต่างศักย์ระหว่างแอโนดกับแคโทด ไม่ข้ึนอยู่กับชนิดของโลหะที่เป็น เปา้ ซ่ึงในการเกิด Vmax น้ัน ไม่สามารถอธิบายด้วยทฤษฎคี ลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าดั้งเดมิ แต่สามารถอธิบาย ได้ด้วยสมมุติฐานควอนตัม เพราะตามทฤษฎีคล่ืนแม่เหล็กไฟฟ้าด้ังเดิม อเิ ล็กตรอนท่ีถูกหน่วยให้หยุด จะแผร่ ังสคี วามยาวคล่ืนเท่าใดก็ได้ ตวั อยา่ งที่ 11.4 จงคานวณความยาวคลน่ื ที่ส้ันท่สี ุดของรงั สีเอก็ ซ์ทเี่ กดิ ขึน้ จากหลอดที่มีความตา่ งศักย์ 15x104V วธิ ีทา จาก λmin = hc eV = (6.626×10-34J.s)(3×108 m s) (1.6×10-19C)(1.5×104V) = 8.28×10-11m o λmin = 0.83 A m

281 11.4 ปรากฏการณค์ อมป์ตนั คอมป์ตัน (A.H. Compton) นักฟิสิกส์ชาวอเมริกันได้ทาการทดลองโดยการฉายรังสีเอ็กซ์ (X-ray) ความยาวคล่ืนเดียวลงบนแท่งของแกรไฟต์ (Graphite) แล้ววัดความยาวคล่ืนของรังสีเอ็กซ์ท่ี กระเจิงออกมาท่ีมุมต่างๆกับแนวเดิม คอมป์ตัน กล่าวว่า รังสีเอ็กซ์ที่กระเจิงออกมาจากแท่งแกรไฟต์ ส่วนหน่งึ จะมคี วามยาวคลืน่ เทา่ เดิม และอีกสว่ นหนึ่งจะมีความยาวคลื่นยาวเท่าเดมิ ท่ีขึ้นอยู่กับมุมของ การกระเจิง (Scattering angle) ย่ิงกระเจิงมากจะยิง่ มคี วามยาวคลนื่ มาก การกระเจิงของรังสีเอ็กซ์แล้วทาให้ความยาวคลื่นยาวกว่าเดมิ (ความถี่ตา่ กว่าเดิม)ไม่สามารถ อธบิ ายด้วยทฤษฎคี ลืน่ แม่เหล็กไฟฟา้ เพราะดว้ ยตามทฤษฎีคล่ืนแมเ่ หลก็ ไฟฟ้าเมื่อรังสีเอก็ ซ์ ตกกระทบแทง่ แกรไฟต์ อิเล็กตรอนจะถูกบังคับให้ส่ันด้วยความถี่เดียวกันกับรังสีเอ็กซ์ และอิเล็กตรอนที่ส่ันจะแผ่ คลื่นแมเ่ หลก็ ไฟฟา้ ดว้ ยความถีเ่ ดียวกัน เพื่ออธิบายผลการทดลอง คอมป์ตันได้อธิบายการกระเจิงของรังสีเอก็ ซ์โดยใชส้ มมุติฐานของ ทฤษฎีควอนตนั โดยคิดว่ารังสีเอ็กซ์เป็นโฟตอนที่มีลักษณะเปน็ อนุภาค และมีโมเมนตัม โดยคิดว่ารังสี เอ็กซ์เป็นโฟตอนท่ีมีลักษณะเป็นอนุภาค และมีโมเมนตัมตามทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์เพราะ ความเรว็ ของโฟตอนคอื ความเรว็ ของแสง ตามความสมั พนั ธ์ E = (m0c2 )2 (pc)2 (11.16) เมอ่ื E คอื พลงั งานของโฟตอนมหี นว่ ยเปน็ J m0 คือ มวลของโฟตอน (โฟตอนเป็นอนุภาคท่ปี ราศจากมวล) ทาให้มีค่าเทา่ กบั ศนู ย์ c คอื ความเรว็ แสงมีหน่วยเปน็ m/s p คือ โมเมนตัมของโฟตอนมีหนว่ ยเปน็ kg.m/s จากสมการ (12.16) จะได้ (11.17) (11.18) E = pc (11.19) E = mc2 (11.20) E = hf แทนสมการที่ 11.18 ในสมการท่ี 11.19 จะได้ mc2 = hf mc2 = hc λ p= h λ