บทท่ี 17. ฟงั ก์ชัน n จุด สำหรับพลศาสตร์ไฟฟ้าเชิงควอนตมั โดยในที่นเ้ี ราใช้การยอ่ (Sxy)αβ ≡ SF (x − y; m1)αβ ในขนั้ ตอ่ มา เราจะต้องคำนวณฟังกช์ ัน 3 จุด ท่ีปรากฏ อยูท่ างดา้ นขวามือของสมการข้างตน้ จากสมการท่ี (15.152) และ (15.144) จะได้ Ω|T (A/(z)Ψ(z))α′ Ψ¯ β(y)|Ω Ze e1(γµ)α′ α′′ d4w ∆zµwµ′ Ω|T jµ′ (w)Ψα′′ (z)Ψ¯ β (y)|Ω (17.4) ZAZψ = i โดยเราใช้การย่อ ∆µzwµ′ ≡ ∆Fµµ′(z − w) เม่ือนำสมการท่ี (17.4) แทนกลับเขา้ ไปในสมการท่ี (17.3) จะได้ Ω|T Ψα(x)Ψ¯ β(y)|Ω = 1 (Sxy )α β Zψ (17.5) (Zee1)2 d4z d4w (Sxzγµ)αα′ ∆Fµµ′ (z − w) Ω|T jµ′ (w)Ψα′ (z)Ψ¯ β (y)|Ω − ZAZψ2 d4z (Sxz)αα′ Ω|T Ψ(z)α′ Ψ¯ β (y)|Ω −i Zm −1 m1 Zψ เราต้องการกระจายสมการท่ี (17.5) ถึงอันดับของ e21 โดยเราจะเรม่ิ จากการกระจายฟังก์ชนั 4 จดุ ในพจน์ที่ สองจนถงึ อนั ดับของ e01 ซง่ึ เราอาจใช้แนวคดิ ทอ่ี ธบิ ายไวใ้ นบทยอ่ ยที่ 16.1 ได้ ซ่งึ จะไดว้ ่า Ω|T jµ′ (w)Ψα′ (z)Ψ¯ β(y)|Ω = 1 (Szw γµ′ Swy )α′ β − 1 (Sww γµ′ )γ γ (Szy )α′ β + O(e1) (17.6) Zψ Zψ หลังจากแทนค่าลงในสมการท่ี (17.5) และดำเนนิ การเพ่ิมเตมิ ในทส่ี ุดจะได้ Ω|T Ψα(x)Ψ¯ β(y)|Ω = 1 (Sxy )α β Zψ − (Zee1)2 d4z d4w (Sxz γµ)αα′ ∆µzwµ′ (Szwγµ′ Swy )α′ β (17.7) Zψ3 ZA + (Zee1)2 d4z d4w (Sxz γµ)αα′ ∆µzwµ′ (Swwγµ′ )γ γ (Szy )α′ β Zψ3 ZA −i Zm −1 m1 1 d4z (SxzSzy)αβ + O(e13) Zψ Zψ โดยหลกั การแล้วเราอาจกระจาย Zψ, ZA, Zm, Ze ในเลขชี้กำลงั ของ e1 เช่นกัน แต่เพอ่ื ความสะดวกเราจะไม่ กระจายปริมาณเหล่านี้ 410 410
ส่วนที่ 5 ทิศทางการพัฒนา ทฤษฎีสนามควอนตัม
บทท่ี 18 18ตัวอยา่ งทิศทางการพัฒนา ทฤษตฎัวอีสย่านงทาิศทมาคงกาวรพอัฒนนาตทฤัมษฎสี นามควอนตมั ทฤษฎี สนาม ค วอน ตมั เปน็ ทฤษฎี ท่ี พัฒนา มา อย่าง ยาวนาน แนวคิด และ การ คำนวณ ใน หวั ขอ้ ต่าง ๆ ที่อภิปรายไปกอ่ นหน้าในหนังสือเล่มน้ีลว้ นมีประโยชน์ในการศึกษาทฤษฎีสนามควอนตมั อย่างไรก็ดี เนื่องจาก หนงั สอื เล่มนอี้ ภปิ รายประเดน็ ต่าง ๆ โดยละเอยี ด เพ่ือหวงั ให้เปน็ ประโยชน์ต่อผู้อ่านทไี่ ม่เคยมพี ื้นฐานทางด้าน ทฤษฎีสนามควอนตมั มาก่อน ดังนั้น จึงยงั มหี ัวขอ้ อีกเป็นจำนวนมากท่หี นงั สือเล่มนีไ้ มไ่ ดก้ ล่าวถึง บทน้ีจะเสนอ ตัวอย่างทิศทางการพฒั นาทฤษฎีสนามควอนตมั ซึง่ จะเป็นการกล่าวโดยยอ่ ถงึ บางหวั ขอ้ ท่ีหนังสือเลม่ นี้ ยังไม่ได้อภปิ ราย ซงึ่ หากตอ้ งการอธิบายแตล่ ะหวั ขอ้ เหล่าน้ีโดยละเอียด จะต้องอธิบายในหลายบทของหนงั สอื หรือเป็นหวั ข้อสำหรบั หนังสอื ทั้งเลม่ ได้ ในอนาคตผเู้ ขยี นอาจเขียนหนังสอื ทอี่ ภปิ รายหัวขอ้ เหล่านี้ ผู้อ่านควรมีความรู้พ้ืนฐานมาจากทุกบทกอ่ นหน้านี้ในหนังสือเลม่ นี้ อย่างไรก็ดี เนอ่ื งจากบทนี้เป็นเชงิ บรรยาย จงึ มวี ธิ ีการอ่านไดห้ ลากหลาย เชน่ ผอู้ า่ นอาจอ่านบทน้ีทันทที ตี่ ้องการ แลว้ ย้อนกลับไปอา่ นบทตา่ ง ๆ ก่อนหน้านี้เพือ่ ทำความเขา้ ใจคำศัพท์บางคำ แล้วจงึ ย้อนกลับมาอ่านบทน้ใี หม่ 18.1 วิธีการอ่ืนในการคำนวณฟังก์ชนั n จุด ในหนงั สือเลม่ น้ีเราเสนอวธิ ีการคำนวณฟงั กช์ นั n จดุ โดยใช้สมการไดสันชวิงเกอร์ ท่ีจริงแลว้ การคำนวณ ฟังก์ชนั n จดุ สามารถทำได้โดยใช้วธิ ีอื่นเช่นกัน ในท่ีนี้เราจะเสนอสองวิธีอันไดแ้ ก่ รูปนัยนิยมตวั ดำเนินการ (operator formalism) และ รูปนัยนยิ มปริพันธ์ตามวถิ ี (path integral formalism) โดยเราจะกล่าวถึงสอง วธิ ีนโี้ ดยยอ่ เทา่ นน้ั ในการศกึ ษาการวิวัฒนข์ องสถานะในกลศาสตรค์ วอนตัมมกั ใชม้ ุมมองสองมมุ มอง มุมมองแรกเรยี กว่า ภาพ ชโรดิงเจอร์ (Schrödinger picture) โดยมองวา่ เคท็ เปลยี่ นไปตามเวลาโดยอาศัยฮามลิ โทเนียนของระบบ ขณะ ทตี่ วั ดำเนนิ การไม่เปล่ยี นไปตามเวลา อีกมมุ มองหน่งึ เรยี กวา่ ภาพไฮเซนเบริ ์ก (Heisenberg picture) โดยมอง ว่าเค็ทไมเ่ ปลี่ยนไปตามเวลา ขณะที่ตัวดำเนินการเปล่ยี นไปตามเวลาโดยอาศยั ฮามลิ โทเนียนของระบบ สำหรับ ในทฤษฎีสนามควอนตมั มีอีกมมุ มองหนง่ึ ท่ีเรยี กวา่ ภาพอันตรกิรยิ า (interaction picture) ในมุมมองน้ีแบ่ง 437
บทท่ี 18. ตวั อย่างทิศทางการพฒั นาทฤษฎสี นามควอนตมั ฮามิลโทเนียนออกเปน็ สองสว่ น H = H0 + H1 (18.1) โดยท่ี H0 เปน็ ส่วนทตี่ รงกับฮามิลโทเนยี นของระบบอสิ ระ ขณะท่ี H1 เปน็ สว่ นอันตรกิริยา ในมมุ มองน้ีมองวา่ ทั้งเคท็ และตัวดำเนินการเปล่ียนไปตามเวลา โดยท่ีการวิวัฒน์ของตวั ดำเนินการเกดิ ข้นึ จาก H0 เท่านนั้ ขณะที่ การวิวัฒน์ของเค็ทต้องใช้ H1 เขา้ ร่วมด้วย ตัวดำเนนิ การและเคท็ ในภาพอันตรกิริยาสามารถเขยี นได้ในรูปของ ตัวดำเนินการและเคท็ ในภาพชโรดิงเจอร์หรอื ภาพไฮเซนเบริ ์กไดเ้ สมอ สตู รการคำนวณฟงั กช์ ัน n จดุ โดยใชร้ ูปนัยนยิ มตวั ดำเนนิ การคอื 0|T ϕI (x1) · · · ϕI (xn) exp −i τ dtHI (t) |0 (18.2) −τ Ω|T ϕ(x1) · · · ϕ(xn)|Ω = lim τ →∞(1−iϵ) 0|T exp −i τ |0 −τ dtHI (t) โดยท่ี ϕI(x) คือ สนามในภาพอันตรกริ ิยา, |0 คือ สถานะสุญญากาศสำหรับทฤษฎีที่มีฮามลิ โทเนียนคอื H0 และ HI(t) คือ ฮามิลโทเนยี นส่วนอนั ตรกิริยาในภาพอันตรกริ ิยา เราอธบิ ายแนวคิดของการคำนวณตามวิธีการ น้ีโดยใช้ตวั อยา่ งของทฤษฎี ϕ3 ซึง่ ทฤษฎีที่นอกเหนือจากน้ีก็ใช้การคำนวณโดยอาศยั หลักการที่คล้ายคลงึ กัน สำหรบั ทฤษฎี ϕ3 จะได้ว่า (เราพิจารณากรณอี ย่างงา่ ยโดยไมใ่ ช้การทำใหเ้ ป็นบรรทดั ฐานใหม)่ HI (t) = 1 g d3⃗xϕI3(t, ⃗x) (18.3) 3! ดงั นนั้ 0|T ϕI (x1) · · · ϕI (xn) exp − ig τ dz 0 d3 ⃗z ϕI3 (z ) |0 3! −τ Ω|T ϕ(x1) · · · ϕ(xn)|Ω = lim τ →∞(1−iϵ) 0|T exp − ig τ dz 0 d3 ⃗z ϕI3 (z ) |0 3! −τ (18.4) การคำนวณดา้ นขวามือของสมการข้างตน้ เราต้องคำนวณ 0|T ϕI (x1) · · · ϕI (xn)|0 (18.5) โดยมีหลักการคือ ϕI(x) สามารถเขยี นได้ในรปู ของตัวดำเนนิ การสร้างและตัวดำเนนิ การทำลายเทียบกับ สถานะสุญญากาศ |0 ได้ ซึง่ ในทส่ี ดุ แลว้ จะได้ว่า (18.6) 0 n เปน็ จำนวนค่ี 0|T ϕI(x1) · · · ϕI(xn)|0 = การหดตวั n/2 ครงั้ ท้ังหมดท่เี ปน็ ไปได้ n เป็นจำนวนคู่ โดยในที่น้ี การหดตวั หมายถงึ การหดตวั แบบวคิ ยกตัวอยา่ งเช่น 0|T ϕI (x1)ϕI (x2)|0 = 0|T ϕI (x1)ϕI (x2)|0 (18.7) = DF (x1 − x2; m2) ซงึ่ จากการใช้สมการที่ (18.4) และสมการที่ (18.6) แล้วกระจายในเลขช้ีกำลังของ g จะได้ฟังกช์ นั n จดุ ท่ีสอดคล้องกับวิธีท่ใี ช้สมการไดสนั ชวงิ เกอร์ 438 438
ภาคผนวก
ก กอนพุ ันธ์เทียบเวลาของฟั งก์ชนั n จุด อนุพนั ธ์เทยี บเวลาของฟงั กช์ นั n จุด ในข้นั ตอนหนง่ึ ของการหาสมการไดสนั ชวิงเกอร์ เราพบว่า เราต้องคำนวณอนุพันธ์เทียบเวลาของฟงั กช์ นั n จุด ซ่ึงอนุพันธ์เทยี บเวลานี้จะกระทำกบั สนามและฟังก์ชนั ขั้นบันไดของเฮฟวิไซด์ ซงึ่ มาจากนิยามของผลคณู จัดลำดับเวลา การหาอนุพนั ธ์ของสนามเทยี บกับเวลาน้ันทำได้โดยง่าย แต่การหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชันขั้นบันได ของเฮฟวิไซด์เทียบเวลาจะค่อนขา้ งซบั ซ้อนโดยเฉพาะกรณี n > 2 ในภาคผนวกนี้ เราจะหาสูตรสำหรับอนุพนั ธเ์ ทียบเวลาของฟังกช์ นั n + 1 จุด ∂0 Ω|T A(x)A1(x1) · · · An(xn)|Ω (ก.1) โดยท่ี A(x), A1(x1), · · · , An(xn) คือตวั ดำเนนิ การสนาม ซง่ึ แต่ละตัวดำเนนิ การอาจจะเป็นโบซอนหรือ เฟอร์มิออนก็ได้ สำหรับในหนังสือเลม่ น้ี สนามสเกลาร์และสนามเกจเป็นตัวดำเนนิ การโบซอน ในขณะที่สนาม สปินเนอร์เปน็ ตัวดำเนินการเฟอร์มิออน เราจะเขียน A(x) โดยย่อว่า A และเขยี น Ai(xi) โดยย่อว่า Ai เราจะยอ่ Θ(x0i − x0j ) เปน็ θij ย่อ Θ(x0 − x0i ) เป็น θ0i และย่อ Θ(x0i − x0) เป็น θi0 นอกจากนีเ้ ราจะย่อ δ(x0i − xj0) เปน็ ∆ij และยอ่ δ(x0 − xi0) เป็น ∆0i เราจะเรมิ่ พิจารณาจากกรณีทต่ี ัวดำเนินการสนามทั้งหมดเปน็ โบซอน ก.1 กรณที ีส่ นามท้งั หมดเป็นโบซอน พจิ ารณา กรณี ท่ี สนาม ทัง้ หมด เป็น โบ ซอน และ ใน กรณี ท่ี [A(x0, ⃗x), Aj(x0, ⃗xj)] แปรผนั ตรง กบั ตัว 465
ข ขการใชส้ มการไดสัน-ชวิงเกอร์ กสารำ�ใชหส้ มรกาบั รไสดสรนั า้ ชวงิงเแกอผร์สนำหภรับาสรพา้ งแไผฟนภยาพนไฟแ์ ยมนแ์ นมน ข.1 ทฤษฎี ϕ3 โดยใชส้ นามเปลือย พจิ ารณาทฤษฎี ϕ3 ท่มี ลี ากรางเจียน L = − 1 ∂µϕ∂ µ ϕ − 1 m2 ϕ2 − 1 gϕ3 (ข.1) 2 2 3! (ข.2) (ข.3) สมการการเคลือ่ นทีส่ ำหรบั ลากรางเจียนนค้ี อื ( x − m2)ϕ(x) = 1 gϕ2 (x) 2 ฟงั ก์ชนั ของกรีน Dxy สอดคลอ้ งกบั ( x − m2)Dxy = iδ(4)(x − y) นอกจากนี้ฟังกช์ ันของกรีนยงั มสี มบัติคือ Dxy = Dyx เราจะเขยี นฟงั ก์ชนั n จุดว่า G(x1, · · · , xn) ≡ Ω|T ϕ(x1) · · · ϕ(xn)|Ω (ข.4) เมอ่ื นำ ( x − m2) มากระทำกับ G(x1, · · · , xn) จะไดส้ มการไดสันชวิงเกอร์ คือ 1 n 2 ( x − m2)G(x, x1, · · · , xn) = gG(x, x, x1 , · · · , xn) + i δ(4)(x − xj )G(x1, · · · , xˆj , · · · , xn) j=1 (ข.5) พิจารณา G(x, x1, · · · , xn) = d4y δ(4)(x − y)G(y, x1, · · · , xn) (ข.6) = d4y (−i)( y − m2)DxyG(y, x1, · · · , xn) = d4y (−i)Dxy( y − m2)G(y, x1, · · · , xn) 470
ค ค เฉลยโจทยป์ ั ญหา เฉลยโจทย์ปญั หา ค.1 เฉลยบทท่ี 2 2.2 Θ(2x) = Θ(x) 2.4 f (x) = g(x)Θ(x − 3) + h(x)Θ(3 − x) 2.6 สำหรับฟังกช์ นั ประพฤติตวั ดใี ด ๆ เชน่ f(x) พจิ ารณา ∞ dxxnδ′(x)f (x) = xnδ(x)f(x) ∞−∞:−0 ∞ −∞ dx(nxn−1f (x) + xnf ′(x))δ(x) −∞ = −(nxn−1f (x) + xnf ′(x)) (ค.1) x=0 =0 โดยในขนั้ สุดท้ายเราใชผ้ ลท่วี ่า xn−1|x=0 = 0 เม่ือ n > 1 2.8 (ค.2) ∞ dx δϵ(x)e2ax = ea2ϵ2 (ค.3) −∞ (ค.4) ∞ lim dx δϵ(x)e2ax = 1 ϵ→0+ −∞ 2.10 จากสมการที่ (2.38) โดยที่ f(x) = x2 − a2 จะได้ δ(x2 − a2) = δ(x − a) + δ(x + a) |f ′(a)| |f ′(−a)| = δ(x − a) + δ(x + a) 2a ตามท่ตี ้องการ 477
ดัชนี ดัชนี กฎของไฟยน์แมน, 261, 285, 297–298, การกำหนดพารามิเตอรข์ องชวิงเกอร์, 309, 300–302, 324–325, 332–333, 320, 323 379–380, 387, 411–413, 420, (ดเู พม่ิ เตมิ พารามเิ ตอร์ของชวงิ เกอร์) การควอนไทซ์ของกุปตาบลอเลอร์, 244 471, 475 การควอนไทซค์ ร้ังที่สอง, 8–9 การควอนไทซแ์ บบบัญญัต,ิ 8–10, 141–146, กระแสอนรุ ักษ์, 134–135, 137, 141, 212, 243–254, 261–268 237, 255, 349 การควอนไทซ์แบบปริพันธต์ ามวิถี (ดทู ี่ รปู นัย กราวติ อน, 455 นยิ มปรพิ ันธ์ตามวิถี) กลไกฮิกส,์ 5, 442, 444–445, 447, 449, การแจกแจงปวั ซง, 40 451–452, 459 การตรึงเกจ, 234–236, 349 การตอ่ เนอื่ งวเิ คราะห,์ 313 กลศาสตร์คลาสสคิ , 3–4, 122–123, 130 การแตกตัวเกิดเองของสมมาตร, 442–444 กลศาสตรค์ วอนตัม, 3–9, 27–50, 400 การทำให้เป็นบรรทัดฐานใหม่, 10, 364, 414, เชิงสมั พัทธภาพ, 119–121, 146, 165 416 กลอู อน, 447 การกระจายโหมด, 127, 238–242, 245, 360, การทำให้เป็นแบบบรรทดั ฐาน, 30 การทำใหเ้ ปน็ ปกติเชงิ มติ ,ิ 309, 311, 321 457 การประมาณบอรน์ , 110, 112, 402 การกระเจงิ คอมป์ตัน, 376–386 การกระเจงิ ภาภา, 386–393 การกระเจิงโมลเลอร,์ 398–400 513
ดัชนี การประลัยคู่, 393–397 ความยาวคลน่ื คอมป์ตัน, 385 การแปลงเกจ, 228, 440–441, 450–451 ความยืนยงเชงิ การเล่ือนท,ี่ 262, 264, 290 การแปลงแพรติ ี, 62, 178, 183–184, ความเร็วทวั่ ไป, 122 ความสมมาตรเชิงสงั ยคุ , 30 187–189 ความสัมพันธเ์ ชงิ การสลับท,่ี 45, 141–143, การแปลงลอเรนทซ์ 243, 441, 469 ทเี่ หมาะสมและถกู เวลา, 61–69, ความสัมพันธ์บ่งความสมบูรณ์, 34, 37, 39–44, 148–149, 175–178, 187, 190, 267 218, 266, 423 ความสัมพันธ์เวียนเกิด, 276, 471 น้อยยง่ิ , 63, 66, 176, 199–200 ความหนาแนน่ กระแสความน่าจะเปน็ , การแปลงเลอจองด์, 128, 131 การผนั กลับของเวลา, 62, 178–180, 182–189 105–107, 120 การวิเคราะห์เชิงซ้อน, 77–86, 316 การวิเคราะหฮ์ ามิลตัน, 128–133 ความหนาแนน่ โมเมนตมั , 137–138, 212, 237 การสง่ เชงิ เสน้ , 29 ความหนาแนน่ ลากรางเจียน, 9, 124–125, การสลายตวั ใหอ้ นภุ าคบีตา, 439 การหดตวั แบบวคิ , 277, 359–360, 363, 211, 243 374–375, 378, 438 ความหนาแนน่ ฮามลิ โทเนยี น, 131, 137, 212, การหมนุ ของวิค, 309–310, 321, 324, 417, 237, 350 424 ควารก์ , 5, 7, 447, 453 คอนทวั ร,์ 83, 87–89, 100–101, 310 กาลอวกาศ, 4, 7, 9, 12, 55, 61–62, คา่ คงตัวของการคู่ควบ, 283 123–126, 241, 440, 455 บรรทัดฐานใหม่, 294, 454 เปลอื ย, 294 เกจโบซอน, 5 คา่ คงตวั ของโครงสร้างละเอียด, 386 เกจไฟยน์แมน, 243, 361 คา่ คงตวั ของพลังค,์ 12 เกจยูนแิ ทรี, 449 คา่ คงตวั เชิงโครงสร้าง, 441 คล่นื ทรงกลม, 94, 104–106 ค่าคงตัวออยเลอร์มาสเคโรน,ี 313 คลนื่ ระนาบ, 104–106, 127 ค่าคาดหมาย, 37–39, 41, 144–146, 253 ความเฉพาะท่ี, 149–152 ในสถานะสญุ ญากาศ, 264, 363, 401, ความเปน็ สากล, 3 ความเปน็ อสิ ระเชิงเสน้ , 28 411, 443, 448 ความแปรปรวนร่วมเก่ยี ว, 151 ความพัวพัน, 150 คา่ ลักษณะเฉพาะ, 34–41, 45, 147, 202, 217 ความไม่เฉพาะท่ี, 150–152 เค็ท, 27–31 เคท็ ลกั ษณะเฉพาะ, 34–46, 142, 147, 220, 265, 267 514 514
ดดััชัชนนีีี แคลคลู ัสของการแปรผัน, 122 ตวั ดำเนนิ การเชิงเสน้ , 32–38 โครเนกเกอร์เดลตา, 56, 69 ตัวดำเนนิ การเชงิ เส้นสังยคุ , 180–182 เงอ่ื นไขเกจคลู อมบ,์ 234–235 ตัวดำเนนิ การทำลาย, 142, 158, 214–217, เง่ือนไขเกจลอเรนซ,์ 235–236, 238, 243–244 เงื่อนไขเริ่มต้น, 76 245, 263 จดุ ภายนอก, 285, 325, 379 จุดภายใน, 285 ตัวดำเนินการเพ่ิมคา่ , 46 จดุ ยอดสำหรบั พจนต์ า้ น, 298, 302, 325–326, ตวั ดำเนินการโมเมนตมั เชงิ มุมวงโคจร, 200 ตัวดำเนนิ การโมเมนตัมเชงิ มุมส่มี ติ ิ, 68, 199 411, 474 ตวั ดำเนนิ การลดคา่ , 46 ตัวดำเนินการศนู ย์, 32 จดุ ยอดสำหรับอนั ตรกริ ิยา, 298, 302, 325 ตวั ดำเนินการสปิน, 200, 203 จุดแยกสาขา, 316–317 ตัวดำเนนิ การสรา้ ง, 142, 158, 214–217, ช่องทางที, 334 ช่องทางย,ู 334 245, 263 ช่องทางเอส, 334 ชิ้นประกอบปริมาตร, 93, 311, 341 ตวั ดำเนนิ การเอกลักษณ,์ 32 เชิงเสน้ สงั ยคุ , 30 ตัวดำเนนิ การเฮอร์มิเชยี น, 36, 45, 68, 164 ซกิ เนเจอร,์ 12, 55, 166 ตัวทำทวนสลับที่, 164 เซตยอ่ ยเปดิ เชื่อมโยงเดีย่ ว, 83–84 ตัวทำสลับท,่ี 9, 32–33 แซดโบซอน, 449–450 ตัวแทนดิแรก, 165 ฐานหลกั , 28, 169, 241 ตัวแทนปริภมู ิพกิ ดั , 44, 403 ฐานหลักเชงิ ตัง้ ฉากปรกต,ิ 31, 37, 39, 169, ตวั แทนปริภูมโิ มเมนตัม, 42, 44 ตวั แทนมาโยรานา, 166 180, 361 ตวั แทนมลู ฐาน, 440 ตัวแทนไวย์ล, 165, 189–190 ดับเบลิ ยูโบซอน, 449–450, 452 ตัวแทนสเปกตรมั ของคาลเลนและลหี ์มาน, ไดเวอรเ์ จนซ์รวม, 133 ตดั ขา, 319, 322, 334–335, 425, 427, 432 302–306, 414–415, 421–422 ตวั ก่อกำเนดิ , 129–130, 441, 448 ตัวแกว่งฮารม์ อนกิ เชิงควอนตัม, 39, 44–46, ตัวประกอบจากความสมมาตร, 285–286 ตัวแปรแมนเดลสแตม, 333, 383, 392–393 179 ตัวแผก่ ระจายของไฟยน์แมน, 153–155, 221, ตวั คงคา่ , 76, 98, 231–232 254 ตัวคณู จขี องแลนเด, 405, 433 ตัวดำเนนิ การจดั ลำดบั เวลา, 153, 272 ตัวเลขกราสแมน, 458, 468 ตัวดำเนินการจำนวน, 45, 143–144 ทรงกลมมิตสิ ูง, 311 ทรงไฮเพอรโ์ บลา, 271 ทฤษฎคี วามโนม้ ถ่วงยวดยิ่ง, 205, 458–460 515 515
ดัชนี ทฤษฎีบทของเนอเธอร์, 133–141 ประจอุ นรุ ักษ์, 133–134, 137, 140–141, 212 ทฤษฎบี ทปริพันธโ์ คชี, 83 ปริพทั ธ,์ 13, 52 ทฤษฎแี มกซ์เวลล,์ 229 ปริภูมิคูก่ ัน, 29 ทฤษฎเี ศษเหลือโคชี, 95 ปริภูมิผลคูณภายใน, 31 ทฤษฎีสตรงิ , 5, 205, 454–460 ปรภิ ูมฟิ อค, 142, 217, 245, 350, 361 ทฤษฎสี นามเกจแบบไม่อาบเี ลยี น, 439–442, ปริภูมเิ ฟส, 128 ปรภิ ูมยิ คุ ลิดสี่มติ ,ิ 310 459 ปรมิ าณเชงิ เส้นคูเ่ ฟอรม์ อิ อน, 185, 188 ปรมิ าณทส่ี งั เกตได,้ 37, 149–150 ทฤษฎีสมมาตรยวดยง่ิ , 5, 205 ปญั หาค่าเริม่ ตน้ , 230–231 ทฤษฎสี ัมพัทธภาพพเิ ศษ, 3 เปลือกมวล, 271 (ดเู พมิ่ เตมิ การแปลงลอเรนทซ์) อย่นู อกเปลอื กมวล, 271, 429 ทฤษฎอี เิ ลก็ โทรวีค, 447–452 อย่บู นเปลือกมวล, 270, 429 ทฤษฎเี อม็ , 5, 205, 455, 458 ผลของอฮาโรนอฟโบฮม์ , 228 ทฤษฎโี ฮลของดแิ รก, 9 ผลคณู ภายนอก, 33, 37, 197–199 ทะเลดิแรก, 204–205 ผลคูณภายใน, 29–31, 40–44, 67–68, ทัศนศาสตรเ์ ชิงควอนตัม, 40 เทนเซอรค์ วามเขม้ สนาม, 229, 441, 460 169–170, 197–199, 310 เทนเซอร์พลังงานโมเมนตัม, 137, 212, 237 เทนเซอรเ์ ลวี ชีวติ า, 69, 168, 460 ผลเฉลยเฉพาะ, 76 นอรม์ , 30 ผลเฉลยเติมเต็ม, 76 นมั บุ โกลดส์ โตนโบซอน, 443–444, 460 ผลเฉลยทัว่ ไป, 76 บทตั้งของจอร์แดน, 85 ผลรวมเชิงเสน้ , 28 บทตั้งของรมี ันน์และเลอเบก, 268 แผนการทำใหเ้ ปน็ บรรทัดฐานใหม่, 453 บรา, 29 แบบจำลองมาตรฐานของฟสิ ิกสอ์ นภุ าค, 4–5, แบบบนเปลอื กมวล, 453 แบบเอ็มเอส, 453 446–453 แผนภาพไฟยน์แมน, 261, 285 แผนภาพลดทอนไมไ่ ดเ้ ชิงอนุภาคเดย่ี ว, 299, แบบจำลองอาบีเลยี นฮกิ ส์, 444 แบบเฉพาะท,่ี 348 413, 420 แบบทว่ั ปรภิ มู ิ, 347 แบบบรรทัดฐาน, 30 แผนภาพลกู ออ๊ ด, 287 แบบบรรทดั ฐานใหม่ของสนาม, 267 พลศาสตรไ์ ฟฟ้าคลาสสคิ , 4 ปฏยิ านภุ าค, 5–6, 204, 221–222, 350–357 พลศาสตร์ไฟฟา้ เชิงควอนตัม, 4, 347–434 ปฏิอเิ ลก็ ตรอน, 205 พลงั งานในตวั , 10, 307, 315, ของอิเล็กตรอน, 416, 418 516 516
ดดััชัชนนีีี พลงั งานลักษณะเฉพาะ, 45–46, 180 ฟังกช์ ันประพฤตติ วั ด,ี 21, 25 พารามเิ ตอร์ของชวิงเกอร์, 309, 428 ฟงั ก์ชนั ลดทอนไม่ได้เชงิ อนุภาคเด่ยี ว, 301 พกิ ัดทรงกลมมติ สิ ูง, 311 ฟังก์ชนั หลายคา่ , 316–317 พกิ ดั ทว่ั ไป, 122–124 ฟิสิกสส์ สารควบแนน่ , 4, 442 โพลาไรเซชัน, 241, 376, 379, 381, 446 ฟิสกิ สอ์ นภุ าค, 4, 270, 442 ภาคตัดขวางการกระเจงิ , 11, 335, 340–341, เชงิ สเกลาร,์ 242, 248 ตามขวาง, 242, 251, 253, 256, 446 392, 398, 402 ตามยาว, 242, 248, 446 โพลาไรเซชนั สญุ ญากาศ, 10, 422 ภาคตดั ขวางเชงิ อนุพันธ,์ 109, 340 โพสิตรอน, 6–7, 205, 380, 388, 393 ภาพชโรดงิ เจอร,์ 437 ฟองสุญญากาศ, 285–286 ภาพอนั ตรกิริยา, 437 ฟอร์มแฟกเตอร์, 431 ภาพไฮเซนเบิร์ก, 437 ฟงั กช์ ัน n จุด, 11, 261, 278–280, 284, 299, มวลบรรทดั ฐานใหม่, 279, 294 มวลเปลือย, 279, 294 325, 366–367, 374, 379, มวลลดทอน, 399 มอดุลัส, 78 438–439, 465–475 มมุ ตนั , 108 มุมไวน์เบิรก์ , 448 ฟงั กช์ นั 2 จดุ , 10, 280–281, 286–288, เมเชอร์ของปริพนั ธ,์ 13, 128 เมตรกิ , 12, 55–56, 310 298–307, 409, 413–414, 418 เมทริกซแ์ กมมา, 164 เมทริกซซ์ เี คเอม็ , 452 ฟงั ก์ชนั 3 จุด, 280, 288, 426–433 เมทริกซ์ทแยงมมุ , 256, 452 ฟังกช์ ัน 4 จดุ , 288, 322, 331–335 เมทรกิ ซ์เพาล,ี 448 ฟงั กช์ ันแกมมา, 312–313 เมทริกซม์ วล, 452 ฟงั ก์ชันของกรีน, 76, 92, 98–103, 154, 224, เมทรกิ ซ์เอส, 11 โมเมนตัมท่ัวไป (ดูที่ โมเมนตมั สงั ยคุ ) 470 โมเมนตมั สงั ยคุ , 9, 128, 130–131, 156–157, แบบลว่ งหนา้ , 91–95 211, 237, 243, 262, 349, 443 แบบหนว่ ง, 90–95 ฟงั ก์ชันคลนื่ , 6–8, 40–42, 98, 103–106, ไม่สามารถจำแนกจากกนั ได้, 146, 396, 398 ไม่อาบีเลียน, 440–442 120–121, 126, 163, 174 ยนื ยงเชงิ ลอเรนทซ์, 120, 128, 150, 152, ฟงั กช์ นั จุดยอด, 10, 319, 323 203, 265–267 ฟังก์ชันเชงิ วิเคราะห,์ 81–85 ฟังกช์ ันนลั , 122 ฟังก์ชนั นลั กอ่ กำเนดิ , 289, 439 ฟังก์ชันบตี า, 313 ฟังก์ชนั บีตา (สำหรบั แบบบรรทัดฐานใหม)่ , 454 517 517
ดชั นี รงค์, 447 เวิลด์ไลน์, 455 รงค์พลศาสตร์ควอนตัม, 4, 447 ศกั ย์ยูกาวา, 446 รส, 447 ศักย์เวกเตอร,์ 227 รอยตัดแยกสาขา, 316–317 ศักย์สเกลาร,์ 228, 403 รอยเมทรกิ ซ์, 169 สเกลาร์เทียม, 186–188 สตริง, 455–457 (ดูเพ่ิมเติม สมบัตวิ ฏั จักรของรอยเมทรกิ ซ์) สเตอเรเดียน, 108 ระดับ 1 วง, 298, 422, 432–433 สถานะขนาดศูนย,์ 249 ระดบั 2 วง, 298 สถานะสญุ ญากาศ, 142, 152, 158, 217–219, ระดบั ข้ันความเสรี, 255, 446 ระดบั ตน้ ไม้, 299, 373–408 246, 264–267 ระนาบเชงิ ซ้อน, 78, 310 ระบบท่มี ขี ้อจำกัด, 128, 231–233 สถานะอาพันธ,์ 40 ระบบปดิ , 401 สนามเกจ, 10, 228 ระบบเปิด, 401 สนามบรรทดั ฐานใหม่, 279, 288, 293, รปู นยั นยิ มตัวดำเนินการ, 438 รูปนัยนิยมปริพนั ธต์ ามวถิ ี, 439 473–475 รปู แบบเชิงข้ัว, 79 รูปแบบมาตรฐาน (ของจำนวนเชงิ ซ้อน), 78 สนามเปลอื ย, 279, 470–473 ลากรางเจียน, 122 สนามสเกลาร,์ 4, 10, 123–126, 130–131 สนามสเกลารเ์ ชงิ ซอ้ น, 442 (ดเู พ่มิ เติม ความหนาแน่นลากรางเจียน) สนามสปินเนอร,์ 10, 211–257 ลากรางเจยี นพจนต์ ้าน, 294 ลิมติ ไมส่ ัมพัทธภาพ, 392, 398–399, 403, (ดเู พ่มิ เติม สปินเนอร)์ สปินเนอร์, 163–209 426, 432 มอื ขวา, 450 ลิมติ สมั พัทธภาพสงู ยงิ่ , 392 มอื ซ้าย, 450 เลปตอน, 5, 449–452 สังยุค, 173 วงเลบ็ ปวั ซง, 9, 129, 131–132 สมการกรปุ แบบบรรทัดฐานใหม่, 454 เวกเตอรแ์ กน, 188 สมการการเคลอื่ นท,่ี 123, 211, 230, 243, เวกเตอร์คลน่ื , 104 เวกเตอรเ์ ชงิ โพลาไรเซชัน, 241 262, 294, 349, 445, 470 เวกเตอร์เทยี ม, 187–188 เวกเตอรเ์ ทียมเพาลีลบู านสก,ี 201, 219 สมการของแมกซ์เวลล,์ 227, 229 เวลิ ด์ชีท, 455 สมการคา่ ลกั ษณะเฉพาะ, 34 สมการโคชีรมี นั น,์ 81 สมการไคลน์ กอรด์ อน, 6, 120 สมการชโรดิงเจอร์, 6–8, 97 สมการชโรดงิ เจอร์ท่ีไมข่ ึน้ กบั เวลา, 45 518 518
ดดััชัชนนีีี สมการเชงิ อนพุ ันธ์สามัญแบบไม่เอกพันธ,์ 75 อนพุ ันธ์รวม, 122, 125, 136 สมการดิแรก, 6, 164 อนุภาคโบซอน, 146 สมการไดสนั ชวิงเกอร์, 11, 261, 282, 295, อยใู่ นลำดบั ปกติ, 143, 217, 253 อนั ตรกริ ยิ ายูกาวา, 451 366, 370, 470–471 อนั ตรกริ ยิ าอยา่ งแรง, 439, 447 อันตรกริ ยิ าอย่างออ่ น, 439, 447 สมการออยเลอร์ลากรางจ์, 123 อาบีเลยี น, 440 สมการฮามลิ ตนั , 129 เอกลักษณก์ อรด์ อน, 431 สมบตั ิทวนสลับท่ี, 171 เอกลักษณ์จาโคบ,ี 48 สมบตั วิ ัฏจักรของรอยเมทริกซ์, 169 เอกลกั ษณ์วอร์ด, 381 สมมาตรการไขว,้ 395 แอคชัน, 9, 122 สมมาตรทุกสว่ น, 146 สมมาตรภายใน, 440 ของนัมบุ โกโตะ, 456 สมมาตรยวดยิ่ง, 457 ของโพรคา, 445 สลับเปลี่ยน, 181 ของโพลยาคอฟ, 456 สว่ นจริง, 78 สำหรับทฤษฎแี มกซเ์ วลลอ์ สิ ระ, 230 ส่วนจินตภาพ, 78 สำหรบั ทฤษฎสี นามสเกลารท์ ี่มีอนั ตรกิริยา สังยุคเชงิ ซ้อน, 78, 132, 141, 183, 239, 380 สังยคุ ดแิ รก, 173, 196–197 ในตวั , 261 สังยคุ เฮอร์มเิ ชยี น, 33, 43, 141, 164, 173, สำหรบั ทฤษฎีสนามสเกลารอ์ ิสระ, 125 สำหรับทฤษฎีสนามสปนิ เนอรอ์ ิสระ, 211 180–184, 452 สำหรับแบบจำลองมาตรฐานของฟสิ กิ ส์ สญั กรณส์ แลชของไฟยน์แมน, 191 อนุภาค, 446–453 สูตรคอมป์ตัน, 385 สำหรับพลศาสตร์ไฟฟ้าสปนิ เนอร์คลาสสิค, สตู รไคลน์นิชนิ ะ, 386 สตู รปริพันธโ์ คชี, 84 348 สตู รลดรปู แอลเอสแซด, 11, 261, 268–279, แอมพลิจดู การกระเจิง, 105, 111, 278 349–363 แอมพลิจดู การกระเจงิ เชื่อมต่อ, 278 แอมพลิจดู ความนา่ จะเปน็ , 37 หลักการกดี กันของเพาลี, 6, 204 ฮาดรอน, 447 หลกั การแอคชนั น้อยสุด, 9, 122 ฮามิลโทเนียน, 9 เหตุกภาพ, 90 เหตุกภาพจุลภาค, 149–150 (ดูเพ่มิ เตมิ ความหนาแน่นฮามิลโทเนียน) องศาอสิ ระ, 4 ฮิกสโ์ บซอน, 5 อนุกรมบอรน์ , 110 เฮสเซยี่ น, 233 อนุพันธ์โคแวเรียนต,์ 348, 440 โฮล, 204 อนุพันธ์แปรผัน, 130 519 519
การวิเคราะห์วงจรไฟฟา้ 1 3บ8าท0 3บ5าท0 ผแู้ ตง่ : ผศ. ดร.นพิ ัทธ์ จันทรมินทร์ ตำ�ำ ราเล่่มนี้้�อธิิบายกฎและทฤษฎีีต่่าง ๆ ที่่�ใช้้ ระบบควบคุม วิเิ คราะห์ว์ งจรไฟฟ้า้ โดยเรีียบเรีียงเนื้อ�้ หาอย่า่ งเป็น็ ลำำ�ดับั และเป็็นเหตุเุ ป็น็ ผล ในแต่ล่ ะบทมีีตัวั อย่่างโจทย์์ที่่แ� สดง ผแู้ ตง่ : ผศ. ดร.มฑุ ติ า สงฆ์จันทร์ วิิธีีทำ�ำ เป็็นขั้�้นตอนซึ่่�งอธิิบายอย่่างละเอีียดเพื่่�อให้้ผู้้�อ่่าน สามารถทำ�ำ ความเข้้าใจได้้ง่่าย รวมทั้้�งมีีแบบฝึึกหััดท้้าย หนังั สืือ “ระบบควบคุมุ ” เหมาะสำ�ำ หรับั นิสิ ิติ บทพร้้อมคำ�ำ ตอบให้้ผู้�้ อ่่านได้้ฝึึกฝนเพื่�่อเพิ่่�มทัักษะใน นัั กศึึ กษาหรืื อบุุ คคลทั่่� วไปที่่� สนใจเกี่ � ย วกัั บระบบ การวิเิ คราะห์ว์ งจรไฟฟ้า้ ตำำ�ราเล่ม่ นี้ม้� ีีเนื้อ้� หาครบถ้ว้ นตาม ควบคุุมเบื้�้องต้้น ภายในเล่่มประกอบไปด้้วยเนื้�้อหา ที่่�ระบุุโดยสภาวิิศวกรสำ�ำ หรัับวิิชา Electric Circuits สำำ�คััญที่่�ใช้้สำ�ำ หรัับการเรีียน การสอนในหลัักสููตร ซึ่ง่� เป็น็ หนึ่ง่� ในกลุ่�มวิชิ าพื้น้� ฐานทางวิศิ วกรรมในหลักั สููตร วิิศวกรรมศาสตรบััณฑิิต สาขาวิิศวกรรมไฟฟ้้า อาทิิ วิิศวกรรมศาสตรบััณฑิิต สาขาวิิชาวิิศวกรรมไฟฟ้้าของ การหาฟัังก์์ชัันถ่่ายโอนของระบบ แผนผัังบล็็อก คณะวิิศวกรรมศาสตร์์ทุกุ สถาบัันการศึึกษา เพื่่อ� ให้น้ ิิสิิต กราฟการไหลของสัญั ญาณการควบคุมุ แบบป้อ้ นกลับั นัักศึึกษามีีคุุณสมบััติิครบถ้้วนในการขอรัับใบประกอบ ผลตอบสนองของระบบอัันดัับหนึ่�่งและอัันดัับสอง วิิชาชีีพวิิศวกรรมควบคุุมในแขนงวิิศวกรรมไฟฟ้้ากำ�ำ ลััง วิิธีีทดสอบความมีีเสถีียรภาพของระบบ ทางเดิินราก และในแขนงวิิศวกรรมไฟฟ้้าสื่่�อสาร นอกจากนี้้�ยััง แผนภาพโบเด แต่่ละบทมีีตััวอย่่างการวิิเคราะห์์โจทย์์ สามารถใช้ก้ ับั รายวิชิ าในหลักั สููตรอื่น� ที่่เ� รีียนพื้�น้ ฐานทาง และแบบฝึึกหััดท้า้ ยบทมากกว่า่ ร้้อยข้อ้ รวมทั้้ง� การใช้้ วิิศวกรรมไฟฟ้้าเช่่น วิิศวกรรมอุุตสาหการ วิิศวกรรม คำ�ำ สั่�งโปรแกรม MATLAB ในการวิิเคราะห์์ระบบ เครื่�องกล วิิศวกรรมเคมีี และยัังเหมาะกัับผู้้�ที่�ต้้องการ ควบคุมุ ในทุุกบทอีีกด้้วย ศึึกษาด้ว้ ยตนเอง อณุ หพลศาสตร์ วา่ ดว้ ยหลกั การโครงสร้างและกระบวนทัศนย์ ุคใหม่ ผ้แู ต่ง: รศ. ดร.บุรินทร์ กำ�จดั ภัย 4บ2าท0 เปิิดประตูสู่�กระบวนทััศน์ย์ ุคุ ใหม่่ ทางอุณุ หพลศาสตร์์ แผนที่่ช� ่่วยเราไม่่ให้้ หลงทางและช่่วยให้้เห็็นภาพรวมของภููมิิประเทศ ภููมิิประเทศแห่่งวิิทยาศาสตร์์นั้้�น กำำ�หนดโดยธรรมชาติิมันั จึึงมีีความงามแฝงเร้น้ ในทุุกซอกส่่วนหนังั สืือเล่ม่ นี้�้
หนงั สือแนะน�ำ NUPH 2บ5าท0 “ทฤษฎีีตััวแทน มีีประโยชน์์ในวงกว้้างทั้้�งทาง ด้้านคณิิตศาสตร์์และทางด้้านวิิทยาศาสตร์์แขนงต่่าง ๆ ตำำ�รา ทฤษฎีตัวแทนของกรปุ จำ�กัด เล่ม่ นี้้ม�ุ่�งหวังั อธิิบายทฤษฎีีตััวแทนของกรุปุ จำำ�กัดั โดยใช้ค้ วามรู้�้ พื้�้นฐานทางพีีชคณิิตเชิิงเส้้นและทฤษฎีีกรุุปเบื้้�องต้้นอีีกทั้้�ง ผแู้ ต่ง: รศ. ดร.กิจติ รอดเทศ มุ่�งเน้้นให้้เห็็นถึึงแรงจููงใจในการนิิยามสิ่�งต่่าง ๆ อย่่างเป็็น ธรรมชาติิ และบทประยุกุ ต์ท์ างทฤษฎีีกรุุปที่่โ� ดดเด่่น” คณติ ศาสตร์ประกันชวี ิต ทฤษฎกี ารคำ�นวณ เบอื้ งต้น 3บ8าท0 รปู แบบการคำ�นวณและทฤษฎที เี่ ก่ียวข้อง ผ้แู ตง่ : ผศ. ดร.ชัยรัตน์ มดนาค 2บ3าท0 ผู้แตง่ : รศ. ดร.พงศ์พันธ์ กิจสนาโยธนิ คณิิตศาสตร์์และสถิิติิเป็็นหััวใจหลัักของ ทฤษฎีี มีีความสััมพัันธ์์โดยตรงกัับการปฏิิบััติิ อุุตสาหกรรมประกัันภััย การทำำ�ประกัันเป็็นข้้อตกลง การศึึกษาทฤษฎีีการคำำ�นวณจึึงมีีส่ว่ นสำ�ำ คัญั ในการเข้า้ ใจ ระหว่่าง “ผู้้�เอาประกััน” กัับ “ผู้้�ให้้ประกััน” โดยมีี การทำ�ำ งานของคอมพิิวเตอร์์โดยทั่่�วไป เราจะคิิดว่่า “กรมธรรม์์” เป็็นพัันธสััญญาที่่�ระบุุว่่าผู้้�เอาประกัันต้้อง คอมพิิวเตอร์์เป็็นเครื่ �องจัักรที่่�มีีความซัับซ้้อนและมีีการ จ่่ายเบี้�้ยประกัันเท่่าใด และจะได้้รัับผลประโยชน์์ใดบ้้าง ทำ�ำ งานยุ่่�งยาก ดังั นั้้น� เมื่อ� ต้อ้ งการแก้ป้ ัญั หาที่่ซ� ับั ซ้อ้ นด้ว้ ย ซึ่ง�่ รายละเอีียดต่า่ ง ๆ ที่่ร� ะบุจุ ะไม่ส่ ามารถแก้ไ้ ขได้ห้ ลังั จาก เครื่ �องมืือที่่�ซัับซ้้อนจึึงเป็็นเรื่ �องไม่่ง่่ายหนัังสืือเล่่มนี้�้นำำ� เซ็็นสััญญาร่่วมกัันแล้้ว สิ่่�งสำ�ำ คััญที่่�สุุดในกรมธรรม์์ คืือ เสนอรููปแบบที่่�เข้้าใจง่่าย ไม่่ซัับซ้้อนสำำ�หรัับการอธิิบาย เบี้้�ยประกัันเรีียกเก็บ็ และเงินิ ผลประโยชน์์ ซึ่่�งจะต้้องมีีการ การทำ�ำ งานของคอมพิวิ เตอร์เ์ พื่อ�่ ใช้ใ้ นการกำ�ำ หนดวิธิ ีีการ คำ�ำ นวณ อย่่างรอบคอบโดยใช้้หลัักสถิิติิและคณิิตศาสตร์์ ในการแก้้ปััญหาที่่�ซัับซ้้อนรวบรวมเนื้้�อหาเรื่ �องรููปแบบ ที่่�สำ�ำ คััญ หนัังสืือเล่่มนี้�้ รวบรวมหลัักคณิิตศาสตร์์ การคำ�ำ นวณและทฤษฎีีที่่�เกี่�ยวข้้อง ประกอบด้้วยเครื่�อง และสถิิติิพื้้�นฐานที่่�เกี่ �ยวข้้องเพื่่�อเป็็นประโยชน์์ต่่อการ สถานะจำ�ำ กััด นิิพจน์์พื้้�นฐาน ไวยากรณ์์ที่่�ไม่่มีีบริิบท ต่่อยอด องค์์ความรู้้�ให้้กัับผู้�้ อ่่าน โดยหลัักประกัันภััยใน เครื่�องสถานะจำ�ำ กััดแบบดัันลง และเครื่�องจัักรทััวร์์ริ่�ง การประกัันชีีวิิตเพีียงอย่า่ งเดีียว แต่่ละเนื้�้อหาจะอธิิบายทฤษฎีีที่่�เกี่ �ยวข้้องพร้้อมทั้้�ง การพิสิ ููจน์ท์ ฤษฎีี ตัวั อย่า่ งของปัญั หา และแนวคิดิ วิธิ ีีการ แก้้ปัญั หาอย่่างเป็น็ ระบบ
สำนักพมิ พ์ มหาวิทยาลัยนเรศวร สั่งซ้ือหนงั สอื ออนไลน์ จัดสง่ ถึงบา้ นสะดวกรวดเรว็ สัง่ ซ้ือทนั ที กรณตี อ้ งการสง่ั ซอื้ หนงั สอื ปรมิ าณมาก หรอื เขา้ ชนั้ เรยี นติดตอ่ ได้ท่ี ฝ่ายจัดจำหนา่ ยสำนักพมิ พม์ หาวิทยาลัยนเรศวร nu_publishing
Search
