Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore Техничка механика - радни материјал и питања

Техничка механика - радни материјал и питања

Published by ssgbzpmtadam, 2023-02-15 09:21:32

Description: Техничка механика - радни материјал и питања

Search

Read the Text Version

ŽELEZNIČKA TEHNIČKA ŠKOLA BEOGRAD Mr Snežana Knežević TEHNIČKA MEHANIKA RADNI MATERIJAL ZA VANREDNE UČENIKE KANDIDAT

KLJUČNA TEORIJSKA PITANJA Aksiome statike Veze, crtanje reakcije veza Projekcije sile Moment sile Varinjonova teorema Spreg Redukcija sile na tačku Uslovi ravnoteže *Navedeni sadržaji su neophodni za izradu zadatih vežbi i grafičkih radova. To ipak ne znači da će se na ispitnim ceduljama pojaviti samo ova pitanja – sva teorijska pitanja su ravnomerno raspoređena. Svaki naslov ili podnaslov, pojam ili postupak može da bude teorijsko pitanje na cedulji. Međutim, za uspešno polaganje ispita iz ovog predmeta, navedene teme su apsolutno neophodne.

1. UVOD . D PREDMET PROUČAVANJA MEHANIKE Pre nego počnemo da razmatramo šta je sve predmet proučavanja mehanike, bilo bi dobro najpre uvesti neku jednostavnu definiciju. Najprostije rečeno, Definicija: mehanika je deo fizike koji proučava uslove mirovanja, zakone kretanja i mehaničkog dejstva između tela. Mehanika proučava sve vrste tela – i čvrsta, i tečna i gasovita. U skladu sa tim, mehanika se deli na: - Mehaniku čvrstih tela - Mehaniku fluida - Mehaniku gasova Čvrsto telo može biti deformabilno (ono koje može da se deformiše*) i kruto (koje ne može da se deformiše*).  Deformacija je bilo kakva promena oblika ili veličine tela. Deformabilno telo Kruto telo Naravno, jasno je da kruta tela ne postoje u prirodi. Svako telo može da se deformiše – treba samo delovati dovoljno jakom silom. Ipak, pojam krutog tela je važan za mehaniku. Razlog je jednostavan – lakše je računati i razmatrati kruto telo. Prema vrsti tela koji proučava, mehanika čvrstih tela deli se na: - Mehaniku krutog tela - Mehaniku deformabilnog tela Mehanika krutog tela obuhvata: - Statiku (proučava uslove mirovanja odnosno ravnoteže tela) - Kinematiku (proučava geometriju kretanja tela) - Dinamika (proučava kretanje tela određene mase pod dejstvom sila) Ovu podelu zapamtite na sledeći način:  statika proučava samo sile,  kinematika proučava brzine, ubrzanja i putanje  dinamika proučava i sile i brzine ali i masu tela U predmetu Tehnička mehanika proučavaće se mehanika krutog tela (statika, kinematika i dinamika) i to manje teorijski a mnogo više praktično. Tehnička mehanika je u stvari primenjena mehanika (mehanika primenjena u praksi). U nekim poglavljima predmeta Vučna vozila razmatraće se deformabilno telo a u nekim poglavljima i mehanika fluida. KRETANJE Sva tela u prirodi se kreću. Može se reći da je kretanje prirodno stanje. Ljudi se kreću u odnosu na Zemlju, Zemlja se kreće u odnosu na Sunce, Sunce se kreće u odnosu na središte Galaksije... U Njutnovoj klasičnoj mehanici Zemlja se smatra nepokretnim telom (u smislu tla, podloge) a sva kretanja se posmatraju u odnosu na nju. Brzine kretanja su ograničene (v <<< 300 000 km/s), realne, merljive i lako uočljive. Tela koja su čvrsto vezana za Zemlju smatraju se nepokretnim. Definicija: Kretanje je promena položaja tela tokom vremena u prostoru. 1

Promena položaja se uočava u odnosu na neko drugo telo. To drugo telo se zove referentno telo. Referentno telo je telo u odnosu na koje se izučava kretanje (ili mirovanje) posmatranog tela. U tehničkoj praksi to drugo telo je običan koordinatni sistem.  Uzrok svakog kretanja je sila. SILA Definicija: Sila je mera mehaničkog dejstva jednog tela na drugo.. Sila je vektorska veličina, meri se u Njutnima (N) a obeležava se sa ���⃗���. Smer Napadna linija Napadna tačka Intenzitet  U slučaju da se označava samo intenzitet sile, ne piše se strelica (na primer, F=3 kN)  Ali, ako se sila crta, obavezno se piše vektorski (sa strelicom, kao na slici)  Ako pri crtanju sile treba da dočaramo njen intenzitet, onda je crtamo u razmeri. Najčešće se usvaja da se 1N ili 1kN pretstavlja dužinom od 1cm.  Ovako definisana razmera za silu piše se na sledeći način ������������ = 1 ������ 1 ������������ Na tela retko deluje samo jedna sila. Najčešće ih ima više. To je naročito izraženo u tehnici, kod mašina i njihovih delova. Kada na telo deluje više sila onda se postavlja pitanje kakve su one, u kojim pravcima deluju, koliki su im intenziteti i slično. Sile mogu biti: - Aktivne: to su sile koje mogu da izazovu kretanje (sila tezine, vučna sila, elektromagnetna sila…) - Pasivne: to su sile koje ne izazivaju kretanje (reakcije veza, sila trenja…) Da bi se istakla različita priroda sila, aktivne sile će se crtati plavom bojom a pasivne crvenom Prema mestu dejstva sile se dele na: - Spoljašnje: sile kojima druga tela deluju na posmatrano telo - Unutrašnje: sile međusobnog dejstva delića jednog istog tela Prema dejstvu sila može biti: - Koncentrisana sila: deluje samo u jednoj tački - Kontinualna sila: deluje u neprekidnom nizu tačaka Kontinualno raspoređena sila može biti: - Površinska: deluje na površini kontakta između dva tela - Zapreminska: deluje na svaki delić posmatranog tela 2

SILA TEŽINE  Na svako telo na Zemlji uvek deluje bar jedna sila – sila zemljine teže.  Obeležava se sa ���⃗���, a računa pomoću II Njutnovog zakona ���⃗��� = ������ ∙ ���⃗��� gde je ���⃗��� − ������������������������������������������������ ������������������������������������������������ ������������ž������  Gravitacija je pojava da Zemlja privlači tela, mera gravitacije je gravitaciono ubrzanje ���⃗��� . Gravitacija vuče svako telo ka zemlji sve dok ne dodirne površinu. Na površinu tada deluje sila težina tela ���⃗���.  Dakle, težina tela je sila, meri se u Njutnima. KRETANJE, MIROVANJE I RAVNOTEŽA Šta će se desiti kada na neko telo deluje (jedna ili više) sila, zavisiće od toga da li to telo uopšte može da se kreće. Prema mogućnosti kretanja tela se mogu podeliti na: - Slobodna: mogu da se pomeraju slobodno; (primer slobodnog tela je avion) - Vezana: njihovo kretanje u prostoru je ograničeno nekim drugim telima (primer vezanog tela je voz) Definicija: Tela koja ograničavaju kretanje zovu se veze. Ako jedna ili više sila deluje na slobodno telo – ono će se kretati. Ako jedna ili više sila deluje na vezano telo onda će ono mirovati ili se čak i deformisati. Da li će se I koliko telo deformisati zavisiće od jačina sila ali i od izdržljivosti materijala od koga je telo napravljeno. Podelu tela na slobodna i vezana treba shvatiti samo uslovno jer i slobodna tela mogu da miruju a vezana da se kreću. Slobodno telo će mirovati ako su sile koje deluju na njega u ravnoteži. Vezano telo će se kretati ako je veza takva da ograničava kretanje u nekim pravcima a dozvoljava kretanje u nekim drugim pravcima. Ovo je naročito čest slučaj u tehničkoj praksi gde su tela koja se posmatraju delovi mašina. Delovi mašina se sklapaju, ugrađuju, povezuju – tako da zajedno čine auto, lokomotivu, avion... To znači da su delovi mašina vezana tela. A ipak, neki delovi se kreću (na primer klip motora, osovina lokomotive...) Telo može da se kreće pravolinijski u tri pravca (duž x, y ili z ose) i da se obrće oko x, y ili z ose. To je ukupno šest kretanja. Koliko kretanja (od šest navedenih) telo može da izvede pod dejstvom sile – to je njegov broj stepeni slobode kretanja.  Kako da znamo da li će se neko telo pod dejstvom sila kretati ili će mirovati (ili čak deformisati)?  Treba posmatrati telo ali i druga tela koja ga okružuju – ako ih ima. Ako ta druga tela ometaju kretanje posmatranog tela onda je ono vezano. Druga tela koja smetaju su veze.  Ako ni jedno drugo telo ne sprečava kretanje, telo je slobodno.  Mehanika je jednostavna nauka, proučava idealizovane slučajeve. Razmatra kruta tela, zanemaruje deformabilnost. 3

AKSIOME STATIKE Aksiome su osnovne postavke neke nauke koje se ne dokazuju. Nastaju kao rezultat eksperimenata ili opažanja ili iz određenih zakona. Mehanika se zasniva na šest aksioma. AKSIOMA 1 – o ravnoteži sila Definicija: Ako na neko slobodno kruto telo dejstvuju dve sile, onda je to telo u ravnoteži ako i samo ako su te sile istog pravca, intenziteta, a suprotnog smera. Uravnotežene sile  Ako na neko telo deluju uravnotežene sile onda kažemo da je i telo (kao sile) u ravnoteži.  Ako na telo deluje samo jedna sila, ono ne može biti u ravnoteži.  Problem možemo da posmatramo i obrnuto: ako je telo u ravnoteži, sile koje deluju na njega moraju biti istog intenziteta i pravca a suprotnog smera.  Uoči da na slikama imamo jedno telo na koje deluju dve sile. AKSIOMA 2 – o sili kao klizećem vektoru Definicija: Dejstvo sila na kruto telo neće se promeniti ako dodamo (ili oduzmemo) konačan broj uravnoteženih sila. Posmatrajmo sledeći primer: Ako analiziramo prethodne slike izgleda kao da smo silu ���⃗��� pomerili iz tačke A u tačku B – kao da smo je proklizali duž njene napadne linije. Posledica Aksiome 2 su sledeće tvrdnje: - Sila koja deluje na kruto telo može se pomerati duž napadne linije a da se ne promeni njeno dejstvo na telo. - Sila je klizeći vektor, odnosno vektor koji je vezan za pravu ukoliko deluje na kruto telo. - Silu ne možemo posmatrati kao klizeći vektor ukoliko ona deluje na čvrsto (deformabilno) telo. Kruto telo Deformabilno telo AKSIOMA 3 – o rezultanti Definicija: Kada na kruto telo deluju dve (ili više) sila, njihovo dejstvo na telo neće se promeniti ako sile zamenimo njihovom rezultantom. 4

Rezultanta je takođe sila koja može da zameni više sila. Računa se kao vektorski zbir sila: ���⃗��������� = ���⃗���1 + ���⃗���2  Rezultantu uvek crtamo duplom linijom – da bi se razlikovala od ostalih sila.  Za vektorsko sabiranje sila koriste se pravilo paralelograma ili pravilo trougla. AKSIOMA 4 – III Njutnov zakon Definicija: Dva tela deluju jedno na drugo silama koje su istog pravca I intenziteta a suprotnog smera. Međusobno dejstvo dva tela: ���⃗���12 = −���⃗���21 Primeri iz prakse: ! Iako sile ���⃗���12 i −���⃗���21 imaju isti pravac I intenzitet a suprotni smer (kao sile u A1) one ne čine uravnotežen sistem sila jer ne deluju na jedno telo – nego na dva tela. 5

AKSIOMA 5 – o deformabilnosti Definicija: Ako se deformabilno telo nalazi u ravnoteži pod dejstvom nekih sila, ravnoteža se neće poremetiti ako pretpostavimo da je telo kruto. Obrnuto ne važi! Princip ukrućivanja omogućava nam da deformabilno tela ili bilo kakvu konstrukciju posmatramo kao kruto telo prilikom postavljanjauslova ravnoteže.Za deformabilna tela mogu se koristiti isti zakoni i metode kao i za kruta. AKSIOMA 6 – o vezama Definicija: Svako vezano telo može se smatrati slobodnim ako se veze uklone a njihovo dejstvo zameni reakcijama veza. Ova aksioma je u stvari praktična primena III Njutnovog zakona Reakcija veze je sila kojom veza deluje na telo. Ona je odraz kretanja koje je sprečeno. Zato je uvek usmerena u smeru suprotnom od kretanja koje bi se javilo kada veza ne bi postojala. To je pasivna sila – ne može da izazove kretanje. Obeležavaju se prema tački u kojoj deluju, na primer ���⃗���������, ���⃗���������, ���⃗��������� … VRSTE VEZA 1. Glatka površ Glatka površ je površina bez trenja. U praksi ne postoji glatka površ, ali su neke površine “vrlo blizu” (na primer ledena površina). Glatka površ se (zbog odsustva trenja) ne opire silom kada telo klizi po njoj. Kod ovakvih površina, reakcija veze je sila koja ima pravac normale na dodirnu površinu. Hrapava površ se ponaša malo drugačije – ona kao reakciju ima i silu trenja. Trenje će se učiti u jednom od sledećih poglavlja. 2. Nerastegljivo uže Uže se smatra da je lako (bez težine), idealno savitljivo i nerastegljivo. Uže može da posluži kao veza samo ako ga posmatrano telo zateže. Reakcija veze je uvek u pravcu užeta, usmerena ka tački vešanja. 3. Cilindrični zglob Cilindrični zglob je veza dva tela preko osovine. Ovakva veza dozvoljava obrtanje oko te osovine. 6

Cilindrični zglob može biti pokretan i nepokretan. Nepokretan cilindrični zglob ometa kretanja u pravcu osa x i y pa se stoga reakcija sastoji iz dve komponente ���⃗��������������� ili ���⃗��������� i ���⃗��������������� ili ���⃗⃗���������. Te dve komponente (prema A3) mogu da se zamene jednom silom – rezultantom ���⃗��������� koja je ukupna reakcija nepokretnog zgloba. Dakle, reakcija u nepokretnom zglobu je kosa sila ���⃗���������. Pokretan cilindrični zglob ima mogućnost kretanja u pravcu x ose (što je na slici predstavljeno valjcima po kojima se oslonac kotrlja levo-desno). Pošto kretanje u pravcu x-ose nije onemogućeno, reakcija ima samo jednu komponentu ���⃗��������������� ili ���⃗⃗���������. Ona je ukupna reakcija pokretnog zgloba ���⃗���������. 4. Laki štap Nepokretni i pokretni cilindrični zglob Štap čija je težina zanemarljiva u odnosu na ostale delove je laki štap. Reakcije štapa koji je opterećen samo u krajnjim tačkama su sile čija se napadna linija poklapa sa pravcem koji spaja krajnje tačke štapa. PRIMER . Svako rešavanje vezanog tela započinje oslobađanjem od veza. Oslobađanje od veza podrazumeva najpre posmatranje i analiziranje i vezanog tela ali i njegovih veza. U zavisnosti od vrste veze, primenjuje se jedno od prethodno navedenih pravila pri ucrtavanju reakcija. U ovom primeru imamo više tela koja deluju jedno na drugo, imamo više vrsta veza pa će reakcije biti brojne. 7

PITANJA I ZADACI ZA VEŽBANJE . 1. Znajući kolika je tvoja masa, izračunaj kolika je tvoja sila težine: a. Na Zemlji . b. Na Mesecu . c. Na Jupiteru . Za rešavanje ovog zadatka potrebno je da, koristeći Internet ili neki drugi izvor, pronađeš kolika su gravitaciona ubrzanja g na našoj planeti, na Mesecu i na Jupiteru. 2. Vezana tela na slici oslobodi od veza i ucrtaj odgovarajuće reakcije. 8

3. Odgovori na sledeća pitanjai: 15. O čemu govori i kako glasi A1? 16. O čemu govori i kako glasi A2? 1. Šta je mehanika? 17. Šta znači „klizeći vektor“? 2. Za kakvo telo kažemo da je kruto? 18. Skiciraj dokaz da je sila klizeći vektor 3. Kako se zove telo koje nije kruto? 19. O čemu govori i kako glasi A3? 4. Šta proučavaju statika, kinematika i dinamika? 20. Kako se izračunava rezultanta? 5. Šta je kretanje? 21. Skiciraj A3 na nekom proizvoljnom telu. 6. Šta je referentno telo? 22.Objasni pravilo paralelograma i trougla 7. Koji je uzrok svakog kretanja? 23. O čemu govori i kako glasi A4? 8. Definiši silu. 24. U čemu se razlikuju A1 i A4? 9. Kako se sila predstavlja? 25. Kako glasi A5? 10. Šta je ���⃗��� a šta ���⃗���? 26. O čemu govori i kako glasi A6? 11. Šta je gravitacija? 27. Šta je reakcija veze? Kako se crta? 12. Objasni slobodna i vezana tela. 28. Nabroj vrste veza; nacrtaj vezu i reakciju u njoj. 13. Šta su to veze? 14. Objasni broj stepeni slobode kretanja. 2. SISTEMI SILA . VRSTE SISTEMA SILA Kada na telo deluje više sila (što je u tehničkoj praksi skoro uvek slučaj) tada kažemo da na telo deluje sistem sila. Postoje sledeći sistemi sila: - Sistem kolinearnih sila (sve sile leže duž jedne napadne linije); - Sistem ravanskih sila (sve sile leže u jednoj ravni); - Sistem prostornih sila (sile leže u više ravni). Sistem kolinearnih sila Sistem ravanskih sila Sistem prostornih sila Sistem kolinearnih sila je trivijalan i za razumevanje i za rešavanje pa se neće proučavati. Sistem ravanskih i prostornih sila deli se na: - Sistem sučeljnih sila (sve sile – odnosno njihove napadne linije) prolaze kroz jednu tačku); - Sistem paralelnih sila (napadne linije svih sila su paralelne); - Sistem proizvoljnih sila. Sistem sučeljnih sila Sistem paralelnih sila Sistem proizvoljnih sila 9

SISTEM SUČELJNIH SILA Osnovna karakteristika sistema sučeljnih sila je da se njihove napadne linije seku u jednoj tački. Na osnovu A3 dejstvo dve sile može da se zameni jednom silom – rezultantom. Isto se može tvrditi i ako sila ima više od dve. Rezultanta sistema sučeljnih sila može da se odredi grafički (crtanjem) i analitički (računanjem). 1. Grafičko određivanje rezultante sistema sučeljnih sila Kada sistem sučeljnih sila ima malo sila onda se rezultanta jednostavno određuje vektorskim sabiranjem komponenti (primenom pravila paralelograma ili trougla). Međutim, kada sila ima više, praktičnija je metoda poligona sila. Postupak grafičkog određivanja rezultante sistema sučeljnih sila (kraće: “rešavanje sistema”) objašnjen je postupno, korak po korak, na sledećem primeru: y ���⃗���2 ���⃗���1 POSTUPAK ���⃗���3 Suština postupka je u paralelnom prenošenju i “ređanju” ���⃗���4 sila jedne iza druge. Sile najpre treba nacrtati u razmeri. d ���⃗���3 c x Prvo se prenese sila ���⃗���1 i označe se njena početna i ���⃗���4 krajnja tačka a i b. Sledeća sila ���⃗���2 se prenosi paralelno ali e ���⃗���1 ���⃗���2 tako da se nadoveže na prethodnu silu. Označi se njena krajnja tačka c. Postupak se ponovi za sve ostale sile. b Kada se sve sile prenesu, dobija se poligon sila (niz sila koje se nadovezuju jedna na drugu). a c Rezultanta ovog sistema sila je sila koja spaja prvu tačku poligona a i poslednju tačku e. Smer reultante je od d ���⃗���3 ���⃗���2 prve ka poslednjoj tački. Ovim je određen pravac i smer rezultante. Preostaje još da se utvrdi njen intenzitet. ���⃗���4 b Pošto su sile sistema crtane u razmeri, intenzitet e ���⃗���1 rezultante će se takođe utvrditi pomoću razmere. Izmeri se ���⃗��������� dužina ������������ i pomnoži sa razmerom: a ���⃗��������� = ������������ ∙ ������������ Prisetimo se da je statika nauka koja proučava uslove ravnoteže tela. Telo je u ravnoteži ako na njega deluju uravnotežene sile. Sile su uravnotežene ako je njihova rezultanta jednaka 0. Može se stoga reći da je opšti uslov ravnoteže: ���⃗��������� = 0 Pošto rezultanta može da se odredi grafički i analitički, različite su formulacije opšteg uslova ravnoteže za grafičku i za analitičku metodu. No, iako formulacije izgledaju drugačije, u suštini one govore o istoj stvari – za ravnotežu je potrebno da rezultanta bude 0. 10

Kada se rešava sistem sučeljnih sila mogu se desiti dva slučaja: 1. Ako između prve i poslednje sile u poligonu sila 2. Ako se poslednja tačka u poligonu sila poklopi sa ostane “rastojanje (rupa)” ona se popunjava prvom, kažemo da je poligon sila zatvoren. Tada ne postoji “rastojanje” u koje bi mogla da se ucrta rezultantom ���⃗��������� i tada sistem sučeljnih sila nije u rezultanta, rezultanta je: ravnoteži. Ne zaboraviti da je rezultanta sila čije dejstvo može da zameni dejstva svih ostalih sila. ���⃗��������� = 0 Dakle, ako sistem sučeljnih sila ima rezultantu: ���⃗��������� ≠ 0, Takav sistem sila je u ravnoteži. Telo na koji deluje takav (uravnotežen) sistem sila takođe je u ravnoteži onda će se telo na koje deluje taj sistem sila (ili i neće se kretati - bez obzira da li je telo slobodno ili njegova rezultanta – svejedno) kretati. Ako je telo vezano sa odgovarajućom slobodom kretanja. slobodno - sigurno će se kretati, a ako je vezano - kretaće se ako ima odgovarajuću slobodu kretanja. Kada je grafička metoda u pitanju, rezultanta sistema sila je 0 ako se poslednja tačka poligona poklopi sa prvom. Poligon sila je tada zatvoren pa se opšti uslov ravnoteže transformiše u grafički uslov ravnoteže koji glasi: Da bi sistem sučeljnih sila bio u ravnoteži potrebno je da poligon sila bude zatvoren. Grafička metoda određivanja rezultante je jednostavna i pregledna ali zahteva pribor za crtanje i preciznost. Kada primena pribora nije moguća, primenjuje se analitička metoda – rezultanta se određuje računanjem. Za određivanje rezultante računskim putem potrebno je znati kako se sila razlaže na komponente – u stvari, potrebno je znati kako se određuju projekcije sile. ZADACI ZA VEŽBANJE . Grafičkom metodom odredi rezultantu sledećih sistema sila : Sistem 1 ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ������������ = ������° ������������ = ������������������° ������������ = ������������������° Sistem 2 ������������ = 6 ������ ������������ = 2 ������ ������������ = 4 ������ ������������ = 6������° ������������ = 18������° ������������ = 24������° 2. Projekcije sile na ose Prema aksiomi 3 moguće je dejstvo dve sile zameniti jednom silom – rezultantom. Rezultanta je vektorski zbir te dve sile. Intenzitet, pravac i smer rezultante se grafičkom metodom jednostavno određuje (metoda paralelograma ili metoda trougla). Takođe, ne treba zaboraviti činjenicu da pri sabiranju, dve sile mogu zaklapati bilo koji ugao (oštar, tup, prav). Međutim, za računsko određivanje rezultante dve sile koje zaklapaju bilo koji ugao potrebno je poznavanje matematičkih sadržaja koji su planom i programom matematike predviđeni kasnije. Ipak, ako je ugao između dve sile prav, rezultantu je jednostavno izračunati primenom Pitagorine teoreme. Proces zamene dve sile jednom silom moguće je posmatrati i obrnuto, odnosno jednu silu je moguće razložiti na dve komponente. Pri tome je potrebno znati pravce komponenti na koje se data sila razlaže. Pri određivanju projekcija date sile posmatra se specijalni slučaj kada su pravci komponenti poznati – to su pravac x i y ose, a ugao između njih je prav. Ako je sila ���⃗��� u nekom proizvoljnom položaju (ako je kosa u odnosu na koordinatne ose x i y) onda se obavezno razlaže na komponente koje imaju pravac osa a koje se zovu projekcije sile na osu (kraće – projekcije sile). Projekcije sile mogu da se obeleže na razne načine. Jedan od načina je ���⃗��������� i ���⃗���������, drugi (kraći) je ���⃗��� i ���⃗⃗���. Kao kod određivanja rezultante, i određivanje projekcija sile grafičkom metodom je jednostavno: data sila se nacrta u razmeri, razloži se na komponente u pravcu x i y ose (projekcije) – čime je definisan pravac i smer projekcija. Intenzitet se određuje merenjem dužine komponenti i množenjem unapred usvojenom razmerom crtanja. OVAJ POSTUPAK JE VEĆ POZNAT! 11

Za računsko određivanje projekcija sile potrebno je poznavanje trigonometrijskih funkcija. Stoga posmatrajmo pravougli trougao abc. Ako su stranice trougla a i b poznate, hipotenuzu c je lako odrediti pomoću Pitagorine teoreme. Međutim, ako je poznata hipotenuza c a potrebno je odrediti katete a i b onda problem ne može da se reši bez poznavanja vrednosti ugla  i sledećih trigonometrijskih funkcija: ������ ������ ������������������ ∝ = ������ ������������������ ∝ = ������ c b Odavde sledi da su:  ������ = ������ ∙ ������������������ ∝ ������ ������ = ������ ∙ ������������������ ∝ a Za uglove = 30o , 60o i 45o vrednosti sin i cos su poznate, kako je prikazano u sledećoj tabeli. Da bi objasnili kako se pomoću trigonomertijskih funkcija izračunavaju projekcije sile, silu i njene projekcije treba „prepakovati“ tako da formiraju pravougli trougao (kao na slici). = 30o = 60o = 45o ���⃗��� ���⃗⃗��� 1 √3 √2 sin 2 22  cos √3 1 √2 2 2 2 ���⃗��� Sila ���⃗��� i njene projekcije ���⃗��� i ���⃗⃗��� takođe formiraju pravougli trougao gde je sila ���⃗��� hipotenuza a projekcije ���⃗��� i ���⃗⃗��� katete. Poredeći dva trougla, moguće je gornje jednačine primeniti za izračunavanje projekcija sile ���⃗��� kao: ������ = ������ ������������������ ∝ ������ = ������ ������������������ ∝ Dakle, projekcije sile se dobijaju množenjem te sile i odgovarajuće trigonometrijske funkcije. Ako ugao naleže na projekciju koju tražimo, primenjuje se cos a ako je naspraman projekciji, onda uzimamo sin. ZADACI ZA VEŽBANJE . Nacrtaj i izračunaj projekcije sledećih sila : ������(N) ������ ������(N) ������ ������(N) ������ 20 30° 10 60° 30 150° 30 0° 20 90° 10 180° 10 45° 30 120° 20 210° 40 240° 15 300° 25 330° 3. Analitičko određivanje rezultante sistema sučeljnih sila Kada se zna kako se izračunavaju projekcije sile, moguće je izračunati rezultantu sistema sučeljnih sila. Osnovna ideja ovog postupka je da se sve sile sistema koje su „kose“ razlože na horizontalne i vertikalne projekcije. Time se dobijaju dva sistema kolinearnih sila: jedan koji čine cele sile i projekcije u pravcu x ose i drugi koji se sastoji od celih sila i projekcija u pravcu y ose. Oba sistema se jednostavno rešavaju. (Sile koje su cele horizontalne ili vertikalne se ne razlažu). 12

y POSTUPAK ���⃗���2 ���⃗���1 Posmatrajmo jedan sistem sučeljnih sila. Sa slike vidimo ���⃗���3 da treba da razložimo sile ���⃗���1 i ���⃗���4. ���⃗���3 je već horizontalna a ���⃗���2 je vertikalna – njih ne razlažemo. x Projekcije sila ���⃗���1 i ���⃗���4 se crtaju i obeležavaju kao na slici. ���⃗���4 Može se primetiti da posle razlaganja „kosih“ sila, sistem sučeljnih sila ima samo horizontalne sile (u pravcu x ose) i vertikalne sile (u pravcu y ose). Od horizontalnih sila neke su pozitivne, neke negativne. Isto važi i za vertikalne sile. Projekcije razloženih sila se računaju kao: y ������1 = ������1 ∙ cos 30 ������1 = ������1 ∙ sin 30 ������4 = ������4 ∙ cos 45 ������4 = ������4 ∙ sin 45 ���⃗���2 ���⃗⃗���1 ���⃗���1 Ako saberemo sve horizontalne sile (cele i projekcije) dobijamo horizontalnu komponentu rezultante sistema ���⃗���3 300 sučeljnih sila ���⃗���R. 450 ���⃗���4 ���⃗���1 x Ako saberemo sve vertikalne sile dobijamo vertikalnu ���⃗⃗���4 ���⃗���4 komponentu rezultante sistema sučeljnih sila ���⃗⃗���R To se matematički piše na sledeći način ������ ������ y ������������ = ∑ ������������ ������������ = ∑ ������������ ���⃗��������� 1 1 ���⃗⃗��������� Odnosno, kada se opšti izrazi razlože, dobije se: ���⃗��������� x ������������ = ������1 + ������4 − ������3 ������������ = ������1 + ������2 − ������4 Kada se znaju ������������ i ������������, rezultanta sistema sučeljnih sila se računa kao: ������������ = 2√(������������)2 + (������������)2 REZULTAT DOBIJEN RAČUNOM (ANALITIČKI) MORA DA SE „SLOŽI“ SA GRAFIČKOM METODOM – MORA DA SE DOBIJE ISTI REZULTAT. AKO SE KOJIM SLUČAJEM REZULTATI NE POKLOPE, NEGDE POSTOJI GREŠKA KOJU TREBA OTKLONITI. 4. Uslovi ravnoteže sistema sučeljnih sila Već smo utvrdili da je uslov da sistem sučeljnih sila bude u ravnoteži: ���⃗��������� = 0 Iz ovog (opšteg) uslova slede grafički i analitički uslovi ravnoteže. Grafički uslov ravnoteže (da poligon sila treba da bude zatvoren) smo utvrdili i objasnili u prethodnim lekcijama. Analitički (računski) uslovi ravnoteže se utvrđuju na sledeći način. Rezultanta se računa kao ������������ = 2√(������������)2 + (������������)2 Da bi FR bila jednaka 0 moraju i XR i YR biti jednake 0, odnosno: ������������ = ∑1������ ������������ = 0, ������������ = ∑1������ ������������ = 0 Praktično, to znači sledeće: zbir (suma) svih horizontalnih sila treba da je 0 i zbir svih vertikalnih sila treba da je 0. Tada će i rezultanta FR biti 0. Sistem sučeljnih sila koji ima FR = 0 je uravnoteženi sistem. 13

Grafička Uslovi ravnoteže Neravnoteža metoda da poligon sila bude zatvoren Izmeri se rastojanje između od prve tačke poligona do poslednje, nacrta se rezultanta a intenzitet se izračuna Analitička ������ metoda množenjem nacrtane dužine i razmere ������������ = ∑ ������������ = 0 ������ 1 ������ ������������ = ∑ ������������ ������������ = ∑ ������������ = 0 1������ 1 ������������ = ∑ ������������ 1 ������������ = 2√(������������)2 + (������������)2 PRIMER . 1. Rešiti sledeći sistem sučeljih sila F1 = 50 N F2 = 30 N F3 = 10 N F4 = 20 N F5 = 40 N 1 = 300 2 = 1350 3 = 1800 4 = 2700 5 = 3300 y ���⃗���2 ���⃗���1 10 (������) ���⃗���3 450 ������������ = ������������ ∙ ������������ = 1,4 ������������ ∙ 1������������ = 14 (������) ���⃗���4 300 x 600 ���⃗��������� ���⃗���5 ������1 = ������1 ∙ cos 30 = 50 ∙ √3 = 42,5 (������) 2 d ���⃗���3 c 1 ���⃗���4 ���⃗���2 ������1 = ������1 ∙ sin 30 = 50 ∙ 2 = 25 (������) b √2 ������2 = ������2 ∙ sin 45 = 30 ∙ 2 = 21 (������) e ���⃗���1 √2 ������2 = ������2 ∙ cos 45 = 30 ∙ 2 = 21 (������) a ���⃗���5 1 ���⃗��������� f ������5 = ������5 ∙ cos 60 = 40 ∙ 2 = 20 (������) ������5 = ������5 ∙ sin 60 = 40 ∙ √3 = 34,6 (������) 2 y ������������ = ������1 + ������5 − ������2 − ������3 = = 42,5 + 20 − 21 − 10 = 31,5 (������) ���⃗���1 ���⃗���2 ���⃗⃗���1 ������������ = 11,5(������) ������������ = −8,6 (������) ���⃗���2 ���⃗⃗���2 ���⃗���1 ������������ = ������1 + ������2 − ������5 − ������4 = = 25 + 21 − 34,6 − 20 = −8,6 (������) ���⃗���3 ���⃗���5 x ���⃗���4 ���⃗⃗���5 ���⃗���5 ������������ = 2√���������2��� + ���������2��� == 2√11,52 + (−8,6)2 = 14,36 (������) 14

ZADACI ZA VEŽBANJE . 1. Računskom metodom odrediti rezultantu sledećih sistema sila Sistem 1 ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ������������ = ������° ������������ = ������������������° ������������ = ������������������° Sistem 2 ������������ = 6 ������ ������������ = 2 ������ ������������ = 4 ������ ������������ = 6������° ������������ = 18������° ������������ = 24������° Sistem 3 ������������ = ������������������ ������ ������������ = ������������������ ������ ������������ = ������������������ ������ ������������ = ������������° ������������ = ������������������° ������������ = ������������������° Sistem 4 ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������° ������������ = ������������������° ������������ = ������������������° SISTEM PARALELNIH SILA Karakteristično za sistem paralelnih sila je da se one ne seku ni u jednoj tački. Sasvim je svejedno da li su sve sile sistema horizontalne, vertikalne ili proizvoljno kose – ako su same sile međusobno paralelne, one čine sistem paralelnih sila. U zadacima sile su najčešće verikalne ali u praksi ima primera i kada su one horizontalne ili kose. Pravac sila (koji je za sve sile sistema isti) ne utiče na postupak rešavanja sistema paralelnih sila. 1. Grafičko određivanje rezultante sistema paralelnih sila Određivanje rezultante sistema paralelnih sila grafičkom metodom je složeniji nego kod prethodnog sistema (sučeljnih sila). Posmatraćemo jedan sistem paralelnih sila. Sistem sila se najpre (i obavezno) nacrta u razmeri. Za određivanje pravca, smera i intenziteta rezultante primenjuje se poznata metoda –poligon sila. Međutim, pošto su sve sile vertikalne, crtanje poligona može da dovede do nepregledne slike jer se sile preklapaju. Zato je potrebno crtati precizno i označavati svaku tačku redom. Takođe, dobro rešenje ovog problema jesu mala pomeranja sila kao što je na slici ilustrovano. 12345 ���⃗��������� 4(N) 3(N) 6(N) 2(N) 3(N) li 2m 2m 2m 2m y l2 l3 l4 a l1 ���⃗���2 ���⃗���3 ���⃗���4 ���⃗���5 x ���⃗���3 d ���⃗���1 ���⃗��������� ���⃗���4 ���⃗���1 e b ���⃗���5 ���⃗���2 f c Intenziteti rezultante se računa na poznat način: ������������ = ������������ ∙ ������������ 15

Kod sistema paralelnih sila brže i lakše je odrediti rezultantu analitičkom metodom nego grafičkom – grafička metoda je složenija nego kod sistema sučeljnih sila. Poligonom sila je određena rezultanta – njen intenzitet, pravac i smer. Ono što nije određeno, a neophodno je, jeste položaj rezultante u sistemu sila. Kod sistema sučeljnih sila je određivanje intenziteta, smera i pravca rezultante bilo dovoljno za njeno ucrtavanje u sistem sila – napadna tačka rezultante je bila poznata, ista je kao i za sile/komponente sistema. Kod sistema paralelnih sila poznavanje intenziteta, pravca i smera rezultante niije dovoljno za njeno postavljanje u sistem. POTREBNO JE JOŠ ODREDITI NJENU NAPADNU TAČKU. Za određivanje napadne tačke rezultante sistema paralelnih sila služi verižni poligon. POSTUPAK Verižni poligon se crta na sledeći način: Pored poligona sila izabere se (proizvoljno) tačka P. Tačke a, b, c, d,… poligona sila spoje se (obavezno tankim linijama) sa tačkom P. Te linije se zovu « zraci » i svaki mora da se obeleži brojem. Sledeći korak je paralelno prenošenje zraka do napadnih linija sila i to : zrak 1 do pravca sile F1, zrak 2 do pravca sile F2, zrak 3 do F3 i tako redom dok se ne prenesu svi zraci. Poslednji zrak se nanosi iza poslednje sile. Treba primetiti da prvi i poslednji zrak « izlaze » iz sistema sila. Ta dva zraka treba produžiti tako da se preseku. Tačka preseka je tačka kroz koju prolazi napadna linija rezultante. Pošto su sve sile sistema vertikalne – i rezultanta će biti vertikalna. Potrebno je preneti paralelno rezultantu do njene napadne linije. Pošto je sila klizeći vektor rezultanta FR može da se nacrta bilo gde na njenoj napadnoj liniji. y l2 l3 l4 a 1 l1 ���⃗���2 ���⃗���3 ���⃗���4 ���⃗���5 x ���⃗���3 d 4 ���⃗���1 ���⃗��������� ���⃗���4 ���⃗���1 12 e5 P 3 4 6 b2 5 ���⃗��������� ���⃗���5 ���⃗���2 6 f3 c Na opisan način su rešena dva problema od kojih se sastoji rešavanje sistema paralelnih sila: 1. Određivanje intenziteta rezultante (pomoću poligona sila) 2. Određivanje položaja rezultante (pomoću verižnog poligona) Analitičko rešavanje sistema paralelnih sila se takođe sastoji od rešavanja navedena dva problema. Prvi problem (intenzitet rezultante) se računa na poznat način. Međutim, za određivanje položaja napadne linije rezultante potrebno je poznavanje još jednog načina dejstva sile - momenta sile. Takođe, potrebno je poznavanje i Varinjonove teoreme 16

2. Moment sile U tehničkoj praksi (ali i u prirodi) čest je slučaj da sila deluje na jednom mestu a da se njeno dejstvo ispoljava na drugom mestu – izgleda kao da je tačka dejstva sile „pomerena“ u odnosu na napadnu tačku sile. Na slici su prikazani primeri takvog dejstva. Treba primetiti da ovakvo „pomereno“ dejstvo sile izaziva rotaciju. Posmatramo loptu i silu ���⃗��� koja deluje na nju (kada neko šutne loptu). Tačka B je napadna tačka sile a tačka A je težište lopte. Pošto je sila klizeći vektor, njenim pomeranjem moguće je „preklopiti“ tačke A i B. Ako se silom ���⃗��� deluje tako da sila prolazi kroz tačku A (kroz sredinu lopte), lopta će se kretati translatorno brzinom ���⃗���, kao kada se lopta šutne direktno. Međutim, ako se silom ���⃗��� deluje tako da se pomeranjem sile tačke A i B ne poklope (sila ne prolazi kroz sredinu lopte - sila je „pomerena“ u odnosu na tačku dejstva A), onda će lopta da dobije rotaciju kao kada se felšira, zbog čega joj putanja postaje zakrivljena kao kod slobodnog udarca. Takvo dejstvo sile zove se moment sile. yy ���⃗��� ���⃗⃗��� A x A x B h ���⃗��� B ���⃗��� Tačka A u kojoj se pokazuje dejstvo sile se zove momentna tačka a rastojanje h od momentne tačke A do napadne tačke sile B je krak sile. Kada na telo deluje moment sile – telo se kreće rotaciono, obrtno. Moment sile se obeležava kao ���������������⃗���, a čita se „moment sile ���⃗��� za tačku A“. Računa se na sledeći način: ���������������⃗��� = ������ ∙ ℎ Definicija: Moment sile je mehaničko dejstvo sile koje izaziva rotaciju. Izračunava se kao proizvod sile i rastojanja od momentne tačke. Moment sile zavisi od tačke u odnosu na koju se posmatra dejstvo sile (od momentne tačke). Krak je najkraće rastojanje od napadne linije sile od momentne tačke. S obzirom na smer rotacije koju izaziva, moment sile može biti pozitivan ili negativan. Moment koji „obrće“ u pozitivnom matematičkom smeru je + a u suprotnom smeru je -. 17

3. Varinjonova teorema Moment sile može da se izračuna za bilo koju silu, bez obzira da li je sila aktivna ili reakcija, ili rezultanta. Ako na telo deluje sistem sila, rezultanta se računa na poznat način: ������ ���⃗��������� = ∑ ���⃗��������� 1 Sile sistema koje deluju na telo mogu da izazovu različite efekte – mogu da izazovu i translaciju i rotaciju. Kada je rotacija u pitanju, onda moramo razmatrati momente sila sistema. Stoga se posmatra sledeća analogija: Ako je rezultanta jednaka zbiru sila sistema, onda njen moment takođe mora biti jednak zbiru momenata komponenti. To je Varinjonova teorema: Definicija: ������ ���������������⃗��������� = ∑ ���������������⃗��������� 1 Moment rezultante sistema sila jednak je zbiru momenata komponenti za istu momentnu tačku. Moment sile zavisi od izbora momentne tačke. Zato je za primenu Varinjon-ove teoreme važno da se momenti rezultante i komponenti razmatraju za istu momentnu tačku. ZADACI ZA VEŽBANJE . Izračunaj sledeće momente sila ���⃗���2 ���⃗���3 ������ 1) Odrediti intezitet momenta u tački A od zadatih sila koje deluju na ���⃗���1 ������ pravougaonu ploču stranice a = 8 dm i b = 6 dm. F1 = 40 N ������ ������ F2 = 30 N α = 30 ° ������ F3 = 50 N ���⃗���4 F4 = 20 N ������ 4. Analitičko određivanje rezultante sistema paralelnih sila Pod dejstvom sistema paralelnih sila, telo može da se kreće translatorno a može i da rotira. Čista translacija će se javiti samo ako su sile sistema jednake i ravnomerno raspoređene. Ako to nije slučaj, telo će pored translacije imati i rotaciju. Ovo praktično znači da u razmatranje sistema paralelnih sila mora da se uključi i uzrok rotacije – moment sile. Posmatrajmo sistem paralelnih sila. l4 Kao i kod grafičke metode, y analitičko rešavanje sistema paralelnih sila podrazumeva re- l1 l2 l3 A šavanje dva problema: x 1) Određivanje intenziteta rezu- ltante ���⃗���1 ���⃗���2 ���⃗���3 ���⃗���4 ���⃗���5 2) Određivanje napadne tačke njenog dejstva Za ilustraciju rešavanja ova dva problema koristićemo sle- ������������ deće podatke za sistem sila: 12345 ���⃗��������� ���⃗��������� 4(N) 3(N) 6(N) 2(N) 3(N) li 2m 2m 2m 2m 18

Prvi problem se rešava na poznat način. ������ ���⃗��������� = ∑ ���⃗��������� 1 ������������ = −������1 − ������2 + ������3 − ������4 − ������5 = −4 − 3 + 6 − 2 − 3 = −6 ������������ = −6 (������) (znak „–„ označava da je smer rezultante „na dole“) Drugi problem se rešava na sledeći način: Pošto je napadna tačka rezultante nepoznata, njeno rastojanje od koordinatnog početka ćemo označiti sa ������������. Primenjujemo Varinjon-ovu teoremu za momentnu tačku A. ���������������⃗��������� = ∑���1��� ���������������⃗��������� Smerovi momenata su: ili u razvijenom obliku: + - ���������������⃗��������� = ���������������⃗���1 + ���������������⃗���2 + ���������������⃗���3 + ���������������⃗���4 + ���������������⃗���5 Posmatrajući sliku vidi se da, u odnosu na tačku A, rezultanta i sile 2, 4 i 5 imaju negativan moment a sila 3 pozitivan. Sila 1 prolazi kroz momentnu tačku A, njen krak je 0 pa je i moment od sile 1 jednak 0. U odnosu na tačku A, momenti su: + ���������������⃗��������� = ������������ ∙ - ������������ ���������������⃗���1 = ������1 ∙ 0 = 0 ������⃗������⃗������2 = ������2 ∙ - ������1 ���������������⃗���3 = ������3 ∙ + (������1 + ������2) ���������������⃗���4 = ������4 ∙ (������1 + ������2 + - ������3) ���������������⃗���5 = ������5 ∙ (������1 + ������2 + ������3 + - ������4) Kada se zamene brojne vrednosti, Varinjon-ova teorema postaje: −������������ ∙ ������������ = 0 − ������2 ∙ 2 + ������3 ∙ 4 − ������4 ∙ 6 − ������5 ∙ 8 −6 ∙ ������������ = −3 ∙ 2 + 6 ∙ 4 − 2 ∙ 6 − 3 ∙ 8 −6 ∙ ������������ = −6 + 24 − 12 − 24 = −18 6������������ = 18 ⇒ ������������ = 3 Dobijeno rešenje može da se proveri sa rezultatom grafičke metode. 5. Uslovi ravnoteže sistema paralelnih sila Sistem paralelnih sila izaziva translatorno i rotaciono kretanje. Da bi telo ostalo u stanju mirovanja, potrebno je da rezultanta sistema sila bude 0 ali i da zbir svih momenata (koji izazivaju rotaciju) bude 0. Matematički, to se piše na sledeći način: ������ ������ Drugi uslov sledi iz Varinjon-ove ∑ ���⃗��������� = 0, ∑ ���������������⃗��������� = 0 teoreme. Ako je rezultanta ���⃗��������� = 0, onda je i ���������������⃗��������� = 0. Onda Varinjon- 1 1 ova teorema postaje: ������ ������ ���������������⃗��������� = ∑ ���������������⃗��������� ⟹ 0 = ∑ ���������������⃗��������� 11 19

PRIMER . 1. Rešiti sledeći sistem sila 123 456 ���⃗��������� 2(N) 1(N) 3(N) 2(N) 4(N) 1(N) y 3.5 2 3 li 3m 1m 3,5m 2m 3m 31 ���⃗���1 ���⃗���2 ���⃗���3 ���⃗���4 ���⃗���5 x a 1 ���⃗��������� ���⃗���6 3 ���⃗���1 2, 6 P c 7 ���⃗��������� ���⃗���3 4 b f ���⃗���6 g 1 5 6 7 ���⃗���5 d 5 4 2 3 3 x ���⃗���4 3.5 2 ���⃗���6 y 1 e 3 ������ A ���⃗��������� = ∑ ���⃗��������� 1 ���⃗���1 ���⃗���2 ���⃗���3 ���⃗���4 ���⃗���5 ������������ = −������1 + ������2 − ������3 − ������4 + ������5 − ������6 ���⃗��������� ������������ = −2 + 1 − 3 − 2 + 4 − 1 = −3 ������������ = −3 ������������ = 3↓ xR ������ Za rešavanje drugog problema pretpostavlja se ���������������⃗��������� = ∑ ���������������⃗��������� da je rezultanta na nekom rastojanju ������������ od tačke A. To rastojanje se računa iz Varinjonove 1 teoreme na poznat način. ���������������⃗��������� = ���������������⃗���1 + ���������������⃗���2 − ���������������⃗���3 − ���������������⃗���4 + ���������������⃗���5 − ���������������⃗���6 Rešenja dobijena računskom metodom odgovaraju rešenjima dobijenim grafičkom −������������ ∙ ������������ = 0 + ������2 ∙ 3 − ������3 ∙ 4 − ������4 ∙ 7,5 + ������5 ∙ 9,5 − ������6 metodom. ∙ 12,5 Potrebno je naglasiti da napadna linija −3 ∙ ������������ = 1 ∙ 3 − 3 ∙ 4 − 2 ∙ 7,5 + 4 ∙ 9,5 − 1 ∙ 12,5 rezultante ne mora obavezno da bude unutar sistema sila. Gde će biti rezultanta, zavisi od −3 ∙ ������������ = 3 − 12 − 15 + 38 − 12,5 = 41 − 39,5 = 1,5 intenziteta, smera i rasporeda sila. −3 ∙ ������������ = 1,5 ⇒ ������������ = −0,5 ZADACI ZA VEŽBANJE . Grafički i analitički odrediti rezultantu sledećih sistema sila ������������ = ������ ������3 = 4 Sistem 1 ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ������������ = ������������ ������ ������������ = ������ ������������ = ������ ������3 = 3 Sistem 2 ������1 = 6 ������ ������2 = 2 ������ ������3 = 4 ������ ������3 = 4 ������ ������1 = 4 ������2 = 1 ������3 = 4 Sistem 3 ������1 = 4 ������ ������2 = 2 ������ ������3 = 2 ������ ������3 = 4 ������ ������1 = 1 ������2 = 4 ������3 = 3 Sistem 4 ������1 = 10 ������ ������2 = 30 ������ ������3 = 40 ������ ������3 = 30 ������ ������1 = 2 ������2 = 3 Sistem 5 ������1 = 20 ������ ������2 = 10 ������ ������3 = 30 ������ ������3 = 10 ������ ������1 = 4 ������2 = 1 20

SISTEM PROIZVOLJNIH SILA Sistem sučeljnih sila je imao jednu dobru osobinu koja je olakšavala proračun – sve sile su se sekle u jednoj tački, čime je i napadna tačka rezultante bila poznata (ista ta tačka). Rešavanjem sistema preoslajalo je da se odredi pravac, smer i intenzitet rezultante. To se radilo izraču-navanjem projekcija rezultante ���⃗��������� i ���⃗⃗���������. Kod sistema paralelnih sila stvar je obrnuta. Pošto su sve sile paralelne (istog pravca) i rezultanta će imati taj pravac. Smer i intenzitet rezultante se određivao računom. Međutim, za rezultantu sistema paralelnih sila se nije znala napadna tačka pa je rešavanjem sistema ovakvih sila moralo i to da se odredi. To se računalo pomoću Varinjonove teoreme. Kod sistema proizvoljnih sila sile nisu ni paralelne niti se sučeljavaju u jednoj tački već su razbacane na sve strane, kao na slici. To praktično znači da kod sistema proizvoljnih sila y treba da odredimo sve – i pravac, smer iI intenzitet rezultante i njenu napadnu tačku, a da pri tom ���⃗���1 nemamo nikakve olakšice kao kod prethodnih ���⃗���2 600 sistema. 450 300 ���⃗���5 Bilo bi korisno kada bi jedan ovakav sistem mogli da “prepakujemo” tako da postane jedan od sistema koje poznajemo i koji se lakše rešava (na primer, x sistem sučeljnih sila). Sistem sila sa slike bi mogao da postane sistem ���⃗���3 sučeljnih sila ako bi sile ���⃗���1, ⃗⃗���⃗⃗���2, ⃗⃗���⃗⃗���3 pomerili do ���⃗���4 koordinatnog početka. Međutim, pošto je sila klizeći vektor, dozvoljeno je samo njeno pomeranje duž napadne linije. Svako drugačije pomeranje sile menja njene efekte na telo. Na sledećem primeru ćemo ilustrovati kako paralelno pomeranje sile menja efekte dejstva te sile. Posmatramo ploču koja je na sredini zakucana za nešto. Na telo deluje sila, kao na slici. A ���⃗���⃗ A ���⃗���⃗ ���⃗��� B B ���⃗��� Sa slike se vidi da ovakvo prosto paralelno pomeranje sile iz tačke A u tačku B menja menja smer obrtanja tela pa je stoga apsolutno zabranjeno. Međutim, pod određenim uslovima i na određeni način moguće je silu paralelno pomeriti. Da bi se objasnili ti uslovi potrebno je poznavanje još jednog načina dejstva sile – potrebno je poznavanje sprega sila. 1. Spreg sila Definicija: Spreg sila su dve paralelne sile na određenom rastojanju h, istog intenziteta a suprotnih smerova ���⃗��� ���⃗⃗⃗⃗���⃗ Spreg sila se obeležava sa ⃗���⃗⃗⃗���⃗ a računa se kao: h ������ = ������ ∙ ℎ (isto kao i moment) . Sličnosti između momenta sile i sprega sila su: oba dejstva sile izazivaju isti efekat – obrtanje tela. Moment sile i spreg sila se isto ���⃗⃗���⃗⃗′ računaju. Razlike između sprega i momenta su: moment sile čini jedna sila, spreg ima dve sile; moment zavisi od momentne tačke; spreg nema momentnu tačku pa ne zavisi od nje. 21

2. Redukcija sile na tačku (paralelno prenošenje sile) Prema A2, kada deluje na kruto telo, sila može da se pomera duž napadne linije bez promene njenog dejstva ali ne sme prosto da se pomera paralelno jer se tada njeno dejstvo na telo menja. Međutim, postoji način da se sila pomeri paralelno. Posmatrajmo telo na koje deluje sila u tački A. A ���⃗���⃗ POSTUPAK ���⃗��� B Prema A2, dejstvo sile na kruto telo neće se promeniti ako dodamo uravnoteženi sistem sila. Stoga telu dodajemo jedan takav sistem koji deluje u tački B. Uravnoteženi sistem sila čine sile ���⃗��� i ���⃗���. A ���⃗��� Sile ���⃗��� i ���⃗��� su na rastojanju ̅���̅���̅���̅���, istog pravca i intenziteta a B suprotnog smera – stoga formiraju spreg ⃗���⃗⃗⃗���⃗ a preostala sila ���⃗��� ���⃗��� deluje u tački B i identilna je sili ���⃗���. Zato izgleda kao da je ���⃗��� prva sila pomerena paralelno iz tačke A u B. ���⃗���⃗ Opisani postupak se zove redukcija sile na tačku ili paralelno A prenošenje sile. ���⃗⃗⃗⃗���⃗ ���⃗��� DA SE PRI PARALELNOM POMERANJU SILE NE BI POREMETILO B NJENO DEJSTVO NA TELO (UZROKOVANO TIM POMERANJEM), DODAJE SE SPREG. 3. Rešavanje sistema proizvoljnih sila Redukciju sile na tačku ćemo primeniti da bi dati sistem sila „redukovali“ na sistem sučeljnih sila. Da bi y ���⃗���1 zadati sistem sila postao sistem sučeljnih sila, sile ���⃗���1, ���⃗���2 i ���⃗���3 treba paralelno da pomerimo u koordinatni 600 ���⃗���5 početak. Pri paralelnom pomeranju svake sile dodajemo x odgovarajući spreg. Na kraju postupka dobijamo sistem ���⃗���2 sučeljnih sila i sistem spregova. 45 Radi preglednosti, ova dva sistema ćemo crtati zasebno. Sistem sučeljnih sila se rešava na poznat 0 način, određivanjem ���⃗��������� i ���⃗⃗��������� odnosno sile ���⃗��������� pomoću Pitagorine teoreme. 300 Sistem spregova se računa na sledeći način. Najpre ���⃗���3 ���⃗���4 se izračunaju pojedinačni spregovi nastali paralelnim y pomeranjem sila ���⃗���1, ���⃗���2 i ���⃗���3 i onda rezultujući spreg. ���⃗���2 ���⃗���1 - ������1 = ������1 ∙ ������1 45 60 ���⃗���5 + ������2 = ������2 ∙ ������2 y - ������3 = ������3 ∙ ������3 00 ������������ = −������1 + ������2 − ������3 30 ���⃗���4 Može se zaključiti sa se dati sistem sučeljnih sila može zameniti jednom silom i jednim vektorom, kao na 0 y ���⃗���3 slici. l2 . l1 ⃗���⃗⃗⃗���⃗3 ���⃗⃗⃗⃗���⃗������ ���⃗⃗⃗⃗���⃗2 l3 ���⃗��������� ���⃗⃗⃗⃗���⃗1 Budući da je rezultanta u opštem smislu “nešto” što zamenjuje dejstvo celog sistema sila, može se zaključiti da ezultanta sistema sučeljnih sila ima dva elementa koji se zajedno zovu rezultanta a pojedinačno: ���⃗��������� – glavni vektor, ⃗���⃗⃗⃗���⃗������ – glavni moment 22

4. Uslovi ravnoteže sistema proizvoljnih sila Pri rešavanju sistema proizvoljnih sila kao rezultat se može dobiti jedan od sledećih slučajeva: 1 ���⃗��������� ≠ 0 ⃗���⃗⃗⃗���⃗������ ≠ 0 Pod dejstvom sistema sila telo će se kretati translatorno i obrtno 2 ���⃗��������� ≠ 0 ⃗���⃗⃗⃗���⃗������ = 0 Pod dejstvom sistema sila telo će se kretati translatorno 3 ���⃗��������� = 0 ⃗���⃗⃗⃗���⃗������ ≠ 0 Pod dejstvom sistema sila telo će se kretati obrtno 4 ���⃗��������� = 0 ⃗���⃗⃗⃗���⃗������ = 0 Pod dejstvom sistema sila telo se neće kretati ni translatorno ni obrtno Dakle, slučaj 4 u tabeli su u stvari uslovi ravnoteže sistema sučeljnih sila. PRIMER . 1. Sistem proizvoljnih sila je često takav da ga je lakše prevesti u sistem paralelnih sila nego u sistem sučeljnih sila. Sledeći primer je ilustracija takvog slučaja y ���⃗���4 12345 600 ���⃗���5 Fi 20 N 15 N 15 N 10 N 20 N ���⃗���1 ���⃗���2 li 1 3 2 2 45 Koristeći A2 (da je sila klizeći vektor) sile ćemo najpre poravnati. 0 Sa slike se vidi da bi sistem sila bio paralelan da ���⃗���3 nema sila ���⃗���2 i ���⃗���3 koje su kose. Međutim, ako kose l3 l4 sile razložimo na projekcije, dobićemo dva sistema ���⃗���4 ���⃗���5 sila – sistem paralelnih sila (sve vertikalne sile, i cele i projekcije) i sistem kolinearnih sila (sve horizontalne x sile). Oba sistema se rešavaju na poznat način. Projekcije sila: y l2 √2 ������2 = 10,6 ������2 = ������2 cos 45 = 15 ∙ 2 = 10,6 l1 ���⃗���3 ���⃗���2 1 ���⃗���1 ������3 = ������3������������������60 = 15 ∙ 2 = 7,5 45 600 √3 0 ������3 = ������3 sin 60 = 15 ∙ 2 = 13 Sistem horizontalnih sila: ������ ������������ = ∑ ������������ 1 ������������ = −������2 + ������3 = −10,6 + 7,5 = −3,1 ���⃗���1 ���⃗���2 ���⃗���3 ���⃗���4 ���⃗���5 Sistem paralelnih sila: ������ ���⃗⃗���2 ���⃗⃗���3 x ������������ = ∑ ������������ A ���⃗���2 ���⃗���3 1 ���⃗��������� A ������������ = −������1 − ������2 − ������3 + ������4 − ������5 = −20 − 10,6 − 13 + 10 − 20 = −53,6 ������������������������ = ∑������������������������������ 1 −������������ ∙ ������ = −������2 ∙ 1 − ������3 ∙ 4 + ������4 ∙ 6 − ������5 ∙ 8 ⟹ −10,6 − 13 ∙ 4 + 10 ∙ 6 − 20 ∙ 8 ������ = −53,6 = 3,03 ������������ deluje na rastojanju ������ = 3,03 od tačke A ���⃗⃗��������� 23

PITANJA I ZADACI ZA VEŽBANJE . 1. Nacrtaj sledeće spregove i izračunaj njihov intenzitete: 123456789 F -3 3 3 6 1 2 -2 -6 -3 h 354175614 Identifikuj identične spregove. 2. Odgovori na sledeća pitanja: 1. Šta je sistem sila? 2. Koji sistemi sila postoje? Nacrtaj svaki. 3. Šta je poligon sila? 4. Kako se crta poligon sila? 5. Analiziraj moguće slučajeve pri crtanju poligona. 6. Opiši određivanje rezultante sistema sučeljnih sila (SSS) grafičkom metodom. 7. Kako glasi uslov ravnoteže sistema sila, u opštem slučaju? 8. Kako glasi grafički uslov ravnoteže? 9. Kako se izračunavaju projekcije sile na ose? 10. Opiši postupak određivanja rezultante SSS analitičkom metodom. 11. Izvedi analitičke uslove ravnoteže SSS iz opšteg uslova 12. Analiziraj problematiku rešavanja sistema paralelnih sila (SPS) 13. Opiši crtanje Verižnog poligona. 14. Šta je moment sile, kakvo dejstvo izaziva, kako se računa? 15. Šta je momentna tačka? 16. Kako se određuje krak sile? 17. Kako glasi Varinjonova teorema? 18. Opiši postupak rešavanja SPS analitičkom metodom. 19. Napiši i objasni uslove ravnoteže SPS. 20. Šta je spreg sila, kako se crta, kako se računa i označava? 21. Kako sve sila može da se pomera (bez posledica) a kako ne sme? 22. Opiši redukciju sile na tačku. 23. Uporedi moment sile i spreg i utvrdi sličnosti i razlike 24. Šta je glavni vektor, šta je glavni moment? Kako se označavaju. 25. Analiziraj slučajeve pri rešavanju sistema proizvoljnih sila. 24

3. TEŽIŠTA A Sistemi sila koji su do sada razmatrani (sistem sučeljnih, paralelnih i proizvoljnih sila) spadaju u ravanske sisteme jer sve sile leže u jednoj ravni. y ���⃗���3 y ���⃗���3 y ���⃗���3 −���⃗���1 ���⃗���2 x ���⃗���2 ���⃗���2 ���⃗���1 ���⃗���4 ���⃗���1 ���⃗���4 x x SISTEM KOLINEARNIH SILA SISTEM SUČELJNIH SILA SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U praksi postoji međutim, čitava grupa praktičnih problema u kojima su tela, delovi mašina, uređaji, opterećeni prostorno raspoređenim silama. Takvi sistemi se zovu PROSTORNI sistemi sila. zz ���⃗���5 ���⃗���2 ���⃗���2 ���⃗���4 ���⃗���1 ���⃗���3 ���⃗���4 ���⃗���5 y ���⃗���1 ���⃗���3 y x x ! SISTEM PARALELNIH PROSTORNIH SILA SISTEM PROSTORNIH PROIZVOLJNIH SILA Jedna od važnih posledica Aksiome 2 je da sila može da se posmatra kao klizeći vektor. To znači da se njeno dejstvo na telo neće promeniti ako se ona pomera duž sopstvene napadne linije. MEĐUTIM! Postoje sile koje ne smeju da se pomeraju duž napadne linije jer se onda menja njihov smisao, odnosno, menja se njihovo dejstvo na telo. Takve sile su „vezane“ za svoju napadnu tačku; zato se zovu „vezane“ sile. Primer vezanih sila su sile težine. Uobičajeno je i logično da silu težine tela smeštamo u težište tela. Težište je napadna tačka sile težine. Nikakvog smisla nema takvu silu proklizavati jer nije normalno da težina deluje van tela Sila težine je vezana sila, ima napadnu tačku u težištu tela. Težište je mesto (tačka sa koordinatama x i y u nekom koo. sistemu) u kojoj deluje sila težine. Položaj težišta prostih tela i ravanskih figura (valjak, kupa, kvadar...) se određuje pomoću poznatih matematičkih obrazaca. To su trivijalni problemi koji se rešavaju u osnovnoj školi. Problemi nastaju kada je potrebno odrediti položaj težišta nekog složenog tela, a takva preovladavaju u praksi. Svako složeno telo je sastavljeno iz više prostih tela, od kojih svako ima sopstvenu silu težine i njeno težište. Pitanje je onda gde je središte svih sila težine elementarnih delova složenog tela, odnosno, gde je težište celog složenog tela. Taj problem se rešava po sledećem algoritmu – postupku: 25

POSTUPAK ODREĐIVANJA TEŽIŠTA SLOŽENOG TELA 1. Telo se precizno nacrta u razmeri, prema zadatim merama. 2. Postavi se koordinatni sistem, po mogućnosti tako da ima što manje računanja. 3. Složeno telo se razloži na proste komponente. 4. Za svaku komponentu se ucrta položaj težišta T1, T2, T3, … U odnosu na postavljeni koordinatni sistem, pročitaju se koordinate tačaka T1, T2, T3, … . Rezultat predstaviti tabelom. 5. Primeniti odgovarajući obrazac za izračunavanje koordinata težišta složenog tela / ploče / linije. 6. Na sliku složenog tela ucrtati težište T sa izračunatim koordinatama. Ako je problem trodimenzionalan (složeno telo) koordinate težišta su xT, yT i zT. Ako se rešava dvodimenzionalan problem (ploča), koordinate težišta koje se izračunavaju su xT i yT. Složena tela koja će se proučavati su obavezno homogena, i obavezno su napravljena od istog materijala. . ZADATAK: Odrediti težište složenog tela na slici: z Rešavanje zadatka započinje razlaganjem složenog tela na elementarna, prosta tela. Zadato telo se sastoji od kocke, polulopte i kupe. Sva tri prosta tela su homogena i napravljena od istog materijala. Svako prosto telo ima svoju silu težine (���⃗���1, ���⃗���2, ���⃗���3) koja deluje u sopstvenom težištu (tačke T1, T2 i T3). Kocka: Težište kocke je u tački T1. Tačka T1 ima koordinate x1, y1, z1. y Polulopta: Težište je u tački T2, ima koordinate x2, y2, z2. Kupa: Težište je u tački T3, ima koordinate x3, y3, z3. Slika položaja težišta i sila težine može da se pojednostavi ako se x prikažu samo sile i koordinate (izostavlja se sve nepotrebno, ono z što komplikuje sliku sa previše linija; prostije rečeno, ne crtaju se tela;). U koordinatnom sistemu ostaju samo sile težine, tačke T2 težišta i njihove koordinate položaja. ���⃗���2 Položaj težišta celog tela T će zavisiti od položaja tačaka T1, T2 i T3 i veličina sila ���⃗���1, ���⃗���2, ���⃗���3. Najveća (i najteža) komponenta složenog tela je kocka. Logički rezonujući, očigledno je da će ona T1 T3 najviše da utiče na položaj težišta T celog tela. Svojom težinom ���⃗���1 ���⃗���3 y kupa će težište T da pomeri desno, a polulopta gore. Dakle, logično je očekivati da težište celog tela T bude malo desno i malo gore u odnosu na T1. Tačan položaj tačke T će se odrediti računski. Određivanje težišta x T celog tela znači izračunavanje njenih koordinata xT, yT, zT. z Sile težine ���⃗���1, ���⃗���2, ���⃗���3 čine sistem paralelnih čije su napadne tačke T1, T2 i T3 . Ukupna težina celog tela je sila ���⃗��� i deluje i y2 napadnoj tački T. x2 T2 z2 ���⃗���2 Za sistem ravanskih paralelih sila je važno gde deluje y1 y3 rezultanta. Kod takvih sistema rešavaju se dva problema: 1- izračunava se intenzitet rezultante, x1 T1 T x3 2- određuje se položaj njene napadne linije. ���⃗���1 z1 3 z3 ���⃗���3 y Rešavanje sistema prostornih paralelnih sila je analogno x rešavanju sistema ravanskih paralelnih sila. 26

Izračunavaju se: Dakle, imamo: 1 - ukupna sila težine ���⃗⃗⃗��� i 2 - položaj njene napadne tačke T . 1. ���⃗��� = ∑ ���⃗��������� = ���⃗���1 + ���⃗���2 + ���⃗���3, 2. Drugi problem se (kao kod ravanskog sistema) izračunava pomoću Varinjonove teoreme. Moment rezultante (sile ���⃗���) je ���������������⃗��� = ������ ∙ ������������, gde je ������������ krak sile ���⃗���; istovremeno je to koordinata težišta celog tela – ono što upravo težimo da izračunamo. Momentna tačka O je koo. početak. Momenti ostalih (komponentnih) sila za istu momentnu tačku O su: ������������⃗���⃗���⃗⃗1⃗ = ������1 ∙ ������1, Varinjonova teorema tada postaje: ���������������⃗��� = ������������⃗���⃗���⃗⃗1⃗ + ���������⃗������⃗���⃗⃗2⃗ + ���������⃗������⃗���⃗⃗3⃗ ���������⃗���⃗������⃗⃗2⃗ = ������2 ∙ ������2, . ������ ∙ ������������ = ������1 ∙ ������1 + ������2 ∙ ������2 + ������3 ∙ ������3 ������������⃗���⃗���⃗⃗3⃗ = ������3 ∙ ������3  ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ………………………. 1) ������ Na isti način se dobijaju i ostale koordinate težišta:  ������������ = ������1 ∙������1 +������2 ∙������2 +������3 ∙������3 ………………………. 2) ������  ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ……………………….. 3) ������ Iz 2. Njutnovog zakona (���⃗��� = ������ ∙ ���⃗���) sledi da sila težine može da se računa kao ���⃗��� = ������ ∙ ���⃗���, gde su m masa tela i ���⃗��� gravitaciono ubrzanje, konstanta koja za planetu Zemlju iznosi 9,81 m/s2. Kada ovu činjenicu uvrstimo u obrazac 1), on se transformiše u: ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ………………………. 1’) ������ Jedna od polaznih pretpostavki je homogenost tela. Ako je telo homogeno, onda je njegova gustina ravnomerna, ista, odnosno ρ=const. Pošto je m=ρ∙V, obrazac 1) postaje: ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 …………………………. 1”) ������ V, V1, V2, i V3 su zapremine celog tela i njegovih komponenti. Zapremina je karakteristika tela koja zavisi samo od njegovog oblika. Lako se računa pomoću poznatih matematičkih formula. Na isti način mogu da se dobiju i ostale koordinate težišta. Dakle: ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 KOORDINATE TEŽIŠTA ������ SLOŽENOG HOMOGENOG TELA ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ������ ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ������ Iz obrazaca se vidi da se određivanje položaja težišta tela svodi na računanje zapremina komponenti i na određivanje koordinata njihovih težišta. Koordinate mogu da se računaju, ali se češće čitaju sa slike. Zato je potrebno da slika bude precizno nacrtana i pregledna. 27

Takođe, radi bržeg i preciznijeg rada i smanjenja mogućnosti grešaka u računu, preporučuje se formiranje sledeće tabele: Vi xi yi zi Vi xi yi zi Telo 1  kocka V1 x1 y1 z1 Telo 2 polulopta V2 x2 y2 z2 … kupa V3 x3 y3 z3 Telo n Pomoću tabele, izračunavanje težišta se svodi na množenje njenih odgovarajućih kolona. Obrazasci mogu dalje da se razvijaju za homogenu ploču i liniju. Ploča je telo iste (male) visine h. Zapremina takvog tela se generalno računa kao P ∙ h (A je površina). Pošto je h = const, obrasci se transformišu. Sličnom analizom mogu da se dobiju obrasci za određivanje težišta linije. ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ������ ������ ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ������ ������ ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ������������ = ������1∙������1+������2∙������2+������3∙������3 ������ ������ KOORDINATE TEŽIŠTA KOORDINATE TEŽIŠTA SLOŽENE HOMOGENE PLOČE SLOŽENE HOMOGENE LINIJE TEŽIŠTA PROSTIH TELA, PLOČA I LINIJA 28

PRIMER . y PRIMER 1 – Izračunati težište složene ploče na slici r Složena ploča se sastoji iz tri elementa: kvadrata iz koga je isečena četvrtina kruga poluprečnika 2r i dodat je polukrug poluprečnika r. R=2r Težišta komponenti: komponente su kvadrat (2rx2r), četvrtina kruga (2r) i polovina kruga (r). Njihova težišta su T1, T2 i T3, kao na slici. Ploča 1: 2r x1=r ������1 = ������, ������1 = ������ ������1 = (2������)2 = 4������2 T1 2r y1=r x y Ploča 2 2r ������2 = 2������ − 4������ = 2������ − 4(2������) = 2������ − 8������ 4������ 3������ 3������ 3������ T3 3������ y2=4R/3π ������2 = 4������ = 4∙2������ = 8������ 4������ T2 3������ 3������ 3������ 3������ T x2=2r-4R/3π 1 1 1 2r 4 4 4 ������2 = ������2������ = (2������)2������ = 4������2������ = ������2������ T1 y3 Ploča 3 T3 y1 4������ y2 4������ ������3 = ������ 3������ 3������ x T2 2r 4������ ������ ≈ 3 y3=2r+4r/3π 3������ 4������ ������3 = 2������ + 3������ ������3 = 1 ������2������ x1, x3 2 x2 x3=r ������������ = 4������2 ∙ ������ − ������2������ ∙ (2������ − 38������������) + 1 ������2������ ∙ ������ = 4������3 − 2������3������ + 8������3 + 1 ������3������ = 2 3 2 Pi xi yi 1 1 4������ 2 − ������ 2������ + 2 ������ 2 ������ 4������2 − ������2������ + 2 ������ 2 ������ 4������ 2 r r 2������ − 8������ = ������3 (4−2������+38+���2���) = ������ ∙ 24−36+16+9 = 13∙2 ������ = 13 ������ ≈ 0,8������ ������ 2������ 8������ ������2 (4−������+21������) 6 1 ������2������ 3������ 3������ 6∙5 15 8−6+3 2 r 2������ + 4������ 2 3������ 4������2 ∙ ������ − ������2������ ∙ 8������ + 1 ������2 ������ ∙ (2������ + 34������������) 4������3 − 8������3 + ������3������ + 2������3 4������2 3������ 2 4������2 3 3 ������������ = 1 = 1 = Koordinate težišta T složene ploče su: 2 2 − ������ 2 ������ + ������ 2 ������ − ������ 2������ + ������ 2 ������ ������������ = ������, ������������, ������������ = ������������ = ������3 (4−38+������+32) = ������ 12−8+9+2 = ������ 15∙2 = 30 ������ = 2������ ������2 (4−������+���2���) 3 3∙5 15 8−6+3 2 y r PRIMER 2 – Izračunati težište složene linije na slici r T2 r ������ ≈ 3 ������������ = ������2������ ∙2������������+������ ∙1,5������ +2������ ∙2������ +������ √2∙1,5������ +������ ∙���2���+2������ ∙0 = 2������ ������2������+������ +2������ +������√2+������ +2������ ������ T1 2������ T3 T������ = ������2+1,5������2+4������2+2,1������2+0,5������2+0 = ������2(1+1,5+4+2,1+0,5) = 1,5������ +������ +2������ +1,4������ +������ +2������ ������(1,5+1+2+1,4+1+2) r T6 T4 = 9,1������2 = ������, ������������ ������ T5 xi 8,9������ r Li 2������ ������ ������������ x ������������ = ������2������∙(3������−2������������ )+������∙3������+2������∙2������+������√2∙0,5������+������∙0+2������∙������ = 2 1,5r ������2������+������+2������+������√2+������+2������ 2r yi r 1,5r = 3������22 ������−22������2������������+3������ 2+4������ 2 +0,7������ 2+0+2������ 2 = 4,5������ 2 −������ 2 +9,7������ 2 = 2r r/2 3������ − 2������ ������2������+������+2������+������√2+������+2������ 1,5������ +������+2������ +1,4������ +������ +2������ ������√2 0 r ������ = ������2 (4,5−1+9,7) = ������ 13,2 = ������, ������������ ������ 2r ������(1,5+1+2+1,4+1+2) 8,9 3r 2r r/2 0 r 29

PAPAS-GULDENOVE TEOREME Postoji postupak za izračunavanje površine i zapremine tela “čudnih” i “nemogućih” oblika koja se dobijaju rotacijom ploče ili konture za neki ugao, primenom proste matematike. Posmatrajmo homogenu ploču na slici. y Ako ovakvu ploču zarotiramo pun krug, dobićemo telo kao na slici. Postavlja se pitanje da li postoji neki jednostavan način da se izračunaju zapremina i xT T T površina ovakvog tela. Elementarna xT matematika ne daje rešenje, ali meha- nika daje. φT Obrasci pomoću kojih se izračunavaju = zapremina i površina tela složenih 2r π x oblika (bez primene više matematike) zovu se Papas-Guldenove teoreme. Kada se rotira ploča pun krug, dobija se puno telo (kao kada bi na svaki stepen (360o) rasporedili po jednu površinu; tih 360 površina, gusto sabijenih jedna pored druge, formiraju puno telo). Potrebno je izračunati njegovu zapreminu. Ona je jednaka zbiru sabijenih 360 površina. Ili, množenjem obima punog kruga i površine koja rotira. Treba napomenuti da ugao rotacije ne mora da bude pun krug, može da bude bilo koji drugi ugao. U tehnici obim kruga se ne izražava u stepenima već u radijanima. Obim kruga je 2rπ. Kao poluprečnik može da se uzme udaljenost bilo koje tačke površine od ose rotacije. Ako je tako, onda je vrlo zgodno uzeti udaljenost težišta od ose rotacije. Ispada da je poluprečnik u stvari koordinata težišta, a obrazac za izračunavanje zapremine ovakvog tela je: ������ = 2������ ∙ ������������ ∙ ������ ……..……1) površina koja se rotira koordinata težišta xT T ugao obrtanja φ=2π Na analogan način može da se dobije obrazac za izračunavanje površine tela koje T se dobija rotacijom konture. Ako liniju (konturu) rotiramo pun krug dobija se šuplje telo površine P koja može da se izračuna kao: ������ = 2������ ∙ ������������ ∙ ������ ……..……2) Obrasci 1) i 2) su Papas-Guldenove teoreme. kontura (linija) koja se rotira koordinata težišta ugao obrtanja PRIMER 3 – Izračunati zapreminu tela nastalog rotacijom date ploče za 60o. y ������ = = = ������������24������∙34������������+������2∙2������−������24������∙(������−34������������) ������ ������24������+������2−������24������ ������33+������23−������34������+������33 5 xT 12 xT T ������2 T φ=60o=π/3 x T ������������ = 0,42 ������ ������ = ������2������ + ������2 − ������2������ = ������2 ������ = ������ ∙ ������������ ������ 4 0,14 ∙ 4 ������3������ ������ = 3 ∙ 0,42������ ∙ ������2 = 30

PRIMER 4 – Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom ravanske figure iz PRIMERA 2. y U PRIMERU 2 je izračunato: r T xT ������������ = 0,8������, ������ = 2,5������2 R=2r ������ = ������ ∙ ������������ ∙ ������ = 2������ ∙ 0,8������ ∙ 2,5������2 = 12������2 x PRIMER 5 – Izračunati površinu tela koje nastaje rotacijom ravanske figure iz PRIMERA 3. y ������������ = 1,02 ������, ������������ = 1,48 ������ ������ ≈ 3 r r T2 ������ = ������������ + ������ + 2������ + ������√2 + ������ + 2������ = ������������+2������+4������+2,8������+2������+4������ 2 2 r 2������ T1 = ������(3+2+4+2,8+2+4) = 17,8 ������ = 8,9������ ������2������ 22 T������ T3 r Kontura na slici može da rotira oko x ose i oko y ose. U oba slučaja, površina se računa na isti način. Samo je koordinata težišta drugačija: T6 r T4 ������1 = ������ ∙ ������������ ∙ ������ = 2������ ∙ 1,02������ ∙ 8,9������ = 18,15������2 - rotacija oko y ose T5 x ������2 = ������ ∙ ������������ ∙ ������ = 2������ ∙ 1,48������ ∙ 8,9������ = 26,34������2- rotacija oko x ose ZADACI ZA VEŽBANJE . За сложену плочу и линију са слике израчунати положај тежишта. 4r 4r 4r 4r 4r 4r 4r 4r 4r 4r 4r 4r 4r 4r 31

4. NOSAČI A RAVANSKI NOSAČI Nosač je konstrukcija namenjena da nosi opterećenje i da ga predaje osloncima. U praksi, to može biti most, građevinska greda, ekser u zidu, stub dalekovoda, osovina, vratilo reduktora.... sve što ima oslonce i nosi opterećenje. Nosači mogu biti ravanski ili prostorni, prosti ili složeni. rešetke ramovi Najvažnija podela je ipak prema konstrukciji: 1- Puni nosači (osnocni oblik je cilindrični štap punog preseka) 2- Rešetkasti nosači (više zglobno vezanih štapova) 3- Ramovi (više greda spojenih pod nekim uglom PUNI NOSAČI - GREDE Ravanski nosači mogu biti:  Prosta greda;  Greda sa prepustima;  Konzola . Nosač mora da ima oslonce. Može da ima jedan oslonac (uklještenje), dva (od kojih jedan mora da bude pokretan a drugi nepokretan da bi zadatak mogao da se reši u mehanici za početnike) ili više (to su statički neodređeni zadaci koji se rešavaju pomoću jednačina više mehanike i otpornosti materijala). Rešavanje svakog nosača počinje Aksiomom 6 – aksioma o vezama. Greda se oslobađa od veza (oslonaca) a umesto njih se crtaju njegove reakcije. Reakcije oslonaca: Nepokretan zglob – Reakcija veze je neka kosa sila koja se obavezno razlaže na X i Y komponentu. Ovakav oslonac sprečava kretanje u dva pravca, x i y. Pokretan zglob – Reakcija je sila F normalna na podlogu. Oslonac sprečava kretanje normalno na podlogu ali ne sprečava kretanje po njoj. Uklještenje (kod konzole) – Reakcija je kosa sila (koja se razlaže na X i Y komponentu) i spreg ���⃗⃗⃗⃗���⃗. Ovakvim reakcijama uklještenje sprečava kretanje grede u x i y pravcu i obrtanje oko oslonca. ���⃗��������� ���⃗���1 ���⃗��������� ���⃗��������� ���⃗���2 ���⃗��������� A B A B GREDA SA PREPUSTIMA PROSTA GREDA ���⃗⃗��������� ���⃗���3 ⃗���⃗⃗⃗���⃗������ ���⃗��������� A KONZOLA 32

Opterećenje nosača Opterećenja ravanskih nosača se razlikuju po načinu dejstva, vremenu trajanja i po obliku. Po načinu dejstva opterećenja mogu biri neposredna i posredna (ekscentrična). Po vremenu trajanja, mogu biti stalna (statička) i promenljiva (dinamička). Po obliku, opterećenja mogu biti koncentrisane sile (sile koje deluju u jednoj tački) i kontinualno opterećenje (opterećenje koje deluje na nekoj dužini l. Primer kontinualnog opterećenja je zid neke dužine koji se oslanja na betonsku gredu, oplata lokomotive koja se oslanja na postolje… Ono se definiše specifičnim opterećenjem po jedinici dužine q (J/m). Kontinualno opterećenje se crta u obliku pravougaonika, kome je jedna stranica dužina opterećenja l a druga (visina) vrednost specifičnog opterećenja q. ������ ���⃗���1 ���⃗���2 ���⃗���1 ������ A BA B ���⃗��������� ���⃗��������� ���⃗��������� ���⃗��������� KONCENTRISANE SILE KONTINUALNO OPTEREĆENJE ������ Kontinualno opterećenje q koje deluje na nekoj dužini l može ���⃗���1 ������ ���⃗⃗���2 B da se pretvori u koncentrisanu silu Q na sledeći način: A ������(������) = ������(������/������) ∙ ������(������) Sila Q deluje u težištu pravougaonika. ���⃗��������� ���⃗��������� POSTUPAK REŠAVANJA PUNOG NOSAČA Svi puni nosači (bez obzira da li su prosta, greda sa prepustima ili konzola) imaju isti postupak rešavanja koji se sastoji iz sledećih koraka: 1. Crtanje nosača: nosač se nacrta u razmeri; ispod svake sile i oslonca povuku se pomoćne linije. 2. Oslobađanje od veza: radi preglednosti nosač se ponovo nacrta, ali bez oslonaca; umesto njih crtaju se reakcije u njima (crvene). Ucrtaju se i aktivne (plave) sile; ako je neka od njih kosa, treba je razložiti na X i Y komponentu. 3. Izračunavanje nepoznatih sila koje deluju na nosač: nepoznate su reakcije oslonaca koje su ucrtane prili- kom oslobađanja od veza. Nepoznate sile se računaju iz uslova ravnoteže sistema sila koje deluju na nosač. 4. Crtanje statičkih dijagrama: svako opterećenje izaziva naprezanje u nosaču. U zavisnosti kako i gde deluju sile, naprezanja na nosač su različita. Aksijalne sile izazivaju aksijalna naprezanja, transferzalne – smicanje, moment savijanja – savijanje i moment uvijanja – uvijanje. Naprezanja su na neki način raspoređena duž nosača, njihov raspored odgovara rasporedu opterećenja. Zato je korisno nacrtati raspored opterećenja po nosaču. Crtaju se sledeći dijagrami opterećenja: a) Dijagram aksijalnog opterećenja b) Dijagram transverzalnog opterećenja c) Dijagram momenata savijanja d) Dijagram momenata uvijanja . Ovde se mehanika krutog tela završava a započinje proučavanje deformabilnog tela. Opterećenje može da izazove deformaciju, ili čak i lom tela. Da se to ne bi desilo, nosač mora da ima potrebnu debljinu (geometriju) ili dobar, izdržljiv materijal. Dalji rad na nosaču je obrađen u VUČNIM VOZILIMA 1 – Osnove proračuna i proračun osovina i vratila. 33

PRIMERI . PRIMER 1 – Rešiti gredu sa slike: F1=3(N), F2=6(N), F3=4(N) 11 31 ���⃗���1 ���⃗���3 Korak 3 – Izračunavanje reakcija iz uslova ravnoteže : ���⃗���2 30O Korak 1 ������2 = ������2 ∙ cos 30 = 6 ∙ √3 ≈ 5,1 Korak 2 2 A 1 B ������2 = ������2 sin 30 = 6 ∙ 2 = 3 ∑ Xi=0  ������������ − ������2 = 0  ������������ = ������2 ���⃗���3  ������������ = 5,1 ���⃗��������� ���⃗���1 3B ∑ Yi=0  ������������ − ������1 − ������2 − ������3 + ������������ = 0 A ⃗Y⃗2 ���⃗���������  ������������ + ������������ = ������1 + ������2 + ������3 ���⃗���2  ������������ + ������������ = 3 + 3 + 4 = 10 12 ���⃗⃗��������� ������������ + ������������ = 10 Dijagram aksijalnih sila ∑ ������������������������ =0 ���⃗��������� ���⃗���2  − ������1 ∙ 1 − ������2 ∙ 2 − ������3 ∙ 5 + ������������ ∙ 6 = 0 ���⃗��������� -- ���⃗���2 ������������������  − 3 ∙ 1 − 3 ∙ 2 − 4 ∙ 5 + ������������ ∙ 6 = 0  ������������ ∙ 6 = 3 + 6 + 20 = 29 O'  ������������ = 29 = 4,83 6 ������������ = 10 − ������������ = 10 − 4,83 = 5,17  ������������ = 5,17 Dijagram transverzalnih sila Korak 4 – Statički dijagrami Dijagrami aksijalnih i transverzalnih sila se crtaju grafičkom metodom ���⃗���1 O'' prikazanom na slici. Momenti savijanja se pre crtanja računaju. Tačnost ���⃗⃗��������� + računa se obezbeđuje računanjem momenata za karakteristične tačke na gredi i sa leve i sa desne strane. ⃗Y⃗2 ������������ ������������������ = 0 - ���⃗��������� ���⃗���3 ������������������ = ������������ ∙ 6 − ������3 ∙ 5 − ������2 ∙ 2 − ������1 ∙ 1 = 4,83 ∙ 6 − 4 ∙ 5 − 3 ∙ 2 − 3 ∙ 1 = 0 Dijagram momenata savijanja ������1������ = ������������ ∙ 1 = 5,17 ������1������ = ������������ ∙ 5 − ������3 ∙ 4 − ������2 ∙ 1 = 4,83 ∙ 5 − 4 ∙ 4 − 3 ∙ 1 = 5,15 ~ ������������ ������2������ = ������������ ∙ 2 − ������1 ∙ 1 = 5,17 ∙ 2 − 3 ∙ 1 = 7,34 0 O''' ������2������ = ������������ ∙ 4 − ������3 ∙ 3 = 4,83 ∙ 4 − 4 ∙ 3 = 7,32 ~ 0 + 4,83 ������3������ = ������������ ∙ 5 − ������1 ∙ 4 − ������2 ∙ 3 = 5,17 ∙ 5 − 3 ∙ 4 − 3 ∙ 3 = 4,85 ������3������ = ������������ ∙ 1 = 4,83 ∙ 1 = 4,83 ~ 5,17 7,34 ������������������ = ������������ ∙ 6 − ������1 ∙ 5 − ������2 ∙ 4 − ������3 ∙ 1 = 5,17 ∙ 6 − 3 ∙ 5 − 3 ∙ 4 − 4 ∙ 1 ≈ 0 ������������������ = 0 ZNAK MOMENTA Kada se računa moment, njegov znak je različit u računanju s leva i s desna. Objašnjenje je sledeće: sleva sdesna sleva - sdesna sleva sdesna -+ +- + + A- -B A+ B 34

PRIMER 2 – Rešiti gredu sa prepustima sa slike: F1=4(N), F2=2√2(N), F3=4(N) F4=5(N) 11 11 1 2 ������2 = ������2 ∙ cos 45 = 2√2 ∙ √2 = 2 2 ���⃗���1 ���⃗���3 ���⃗���4 ���⃗���5 ������2 = ������2 ∙ sin 45 = 2√2 ∙ √2 = 2 A 2 ���⃗���2 60O ������4 = ������4 ∙ cos 60 = 5 ∙ 1 = 2,5 45O 2 B √3 2 ������4 = ������4 ∙ sin 60 = 5 ∙ ≈ 4,3 ���⃗���1 ���⃗���3 ���⃗⃗���4 ���⃗���5 ∑ Xi=0  ������������ + ������2 − ������4 = 0 Y⃗⃗2 ���⃗���4 5  ������������ = ������4 − ������2 = 2,5 − 2 = 0,5 234 ���⃗��������� O' ������������ = 0,5 1A ���⃗���2 ���⃗���5 B O'' ∑ Yi=0  −������1 + ������������ − ������2 − ������3 − ������4 + ������������ − ������5 = 0 ���⃗���������  ������������ + ������������ = ������1 + ������2 + ������3 + ������4 + ������5 ���⃗⃗��������� O'''  ������������ + ������������ = 4 + 2 + 4 + 4,3 + 6 = 20,3 ������������������ ������������ + ������������ = 20,3 ���⃗��������� ∑ ������������������������ =0 -  ������1 ∙ 1 − ������2 ∙ 1 − ������3 ∙ 2 − ������4 ∙ 3 + ������������ ∙ 4 − ������5 ∙ 6 = 0 ���⃗���2 ���⃗���4  4 ∙ ������������ = −������1 ∙ 1 + ������2 ∙ 1 + ������3 ∙ 2 + ������4 ∙ 3 + ������5 ∙ 6  4 ∙ ������������ = −4 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + 4 ∙ 2 + 4,3 ∙ 3 + 6 ∙ 6 = 54,9  ������������ = 54,9 = 13,7 4 ������������ = 13,7 ������������ = 20,3 − ������������ = 20,3 − 13,7 = 6,6 ������������ = 6,6 + + Y⃗⃗2 ������������ ���⃗��������� ���⃗⃗��������� MOMENTI SAVIJANJA ���⃗���1 - ���⃗���3 - ������1������ = 0 ������1������ = −������5 ∙ 7 + ������������ ∙ 5 − ������4 ∙ 4 − ������3 ∙ 3 − ������2 ∙ 2 + ������������ ∙ 1 ≈ 0 ���⃗⃗���4 ������������������ = −������1 ∙ 1 = −4 -11,9 ������������������ = −������2 ∙ 1 − ������3 ∙ 2 − ������4 ∙ 3 + ������������ ∙ 4 − ������5 ∙ 6 ≈ −4 -4 ������������ -4,2 - ������2������ = −������1 ∙ 2 + ������������ ∙ 1 = −8 + 6,6 ≈ −1,4 ������2������ = −������3 ∙ 1 − ������4 ∙ 2 + ������������ ∙ 3 − ������5 ∙ 5 ≈ −1,4 - -1,4 -0,8 ������3������ = −������1 ∙ 3 + ������������ ∙ 2 − ������2 ∙ 1 ≈ −0,8 ������3������ = −������4 ∙ 1 + ������������ ∙ 2 − ������5 ∙ 4 ≈ −0,8 0 ������4������ = −������1 ∙ 4 + ������������ ∙ 3 − ������2 ∙ 2 − ������3 ∙ 1 ≈ −4,2 ������4������ = ������������ ∙ 1 − ������5 ∙ 3 ≈ −4,2 ������������������ = −������1 ∙ 5+������������ ∙ 4 − ������2 ∙ 3 − ������3 ∙ 2 − ������4 ∙ 1 ≈ −11,9 ������������������ = −������5 ∙ 2 = −12 ������5������ = −������1 ∙ 7 + ������������ ∙ 6 − ������2 ∙ 5 − ������3 ∙ 4 + ������������ ∙ 2 − ������4 ∙ 3 ≈ 0 ������5������ = 0 35

PRIMER 3 – Rešiti konzolu sa slike: F1=4(N), F2=3√2(N), F3=6(N) 2 12 ������1 = ������1 ∙ cos 60 = 4 ∙ 1 = 2 ���⃗���1 2 ���⃗���2 60O ���⃗���3 ������1 = ������1 ∙ sin 60 = 4 ∙ √3 = 2√3 = 3,46 45O 2 ������2 = ������2 ∙ cos 45 = 3√2 ∙ √2 = 3 2 A ������2 = ������2 ∙ sin 45 = 3√2 ∙ √2 = 3 ���⃗⃗⃗⃗���⃗������ 2 ���⃗��������� ⃗Y⃗1 Y⃗⃗2 ���⃗���2 ���⃗���3 A ⃗X⃗1 X⃗⃗2 ∑ Xi=0  ������������ + ������1 − ������2 = 0 ���⃗⃗��������� 1 2 3  ������������ = ������2 − ������1 = 3 − 2 = 1 ���⃗��������� ������������ = 1 ������������������ ∑ Yi=0  ������������ − ������1 − ������2 − ������3 = 0 O'  ������������ = ������1 + ������2 + ������3 - ���⃗���1  ������������ = 12,46 ���⃗���2 ������������ = 12,46 ���⃗⃗���1 ∑ ������������������������ =0 ������������  ������������ − ������1 ∙ 2 − ������2 ∙ 3 − ������3 ∙ 5 = 0  ������������ = ������1 ∙ 2 + ������2 ∙ 3 + ������3 ∙ 5 ���⃗⃗��������� Y⃗⃗2  ������������ = 45,92 ������������ = 45,92 Kada u nekoj tački deluje spreg (kao u tački A) postupak je sledeći: u toj tački se moment savijanja računa dva puta – najpre bez sprega a onda sa njim. Pri crtanju dijagrama u toj tački se crtaju dve vrednosti, zato dijagram ima skok. + ���⃗���3 -45,92 MOMENTI SAVIJANJA ������������������ = 0 − ������������������ ������������������������������������ O'' ������������������+������������ = −������������ = −45,92 − ������������ ������������������������������������������ ������������������ = −������������ + ������1 ∙ 2 + ������2 ∙ 3 + ������3 ∙ 5 = −45,92 + 45,92 = 0 ������1������ = −������������ + ������������ ∙ 2 = −45,92 + 24,92 = −21 ������1������ = −������3 ∙ 3 − ������2 ∙ 1 = −6 ∙ 3 − 3 ∙ 1 = −21 ������2������ = −������������ + ������������ ∙ 3 − ������1 ∙ 1 = −1,2 ������2������ = −������3 ∙ 2 = −12 ������3������ = −������������+������������ ∙ 5 − ������1 ∙ 3 − ������2 ∙ 2 ≈ 0 ������3������ = 0 ������������ Iako moment sile i spreg nastaju na različite načine, oni -21 ipak nisu „babe i žabe“. Oba mehanička dejstva se računaju na isti način i mere se istim jedinicama mere. -12 Zato mogu da se sabiraju u istoj jednačini, ravnopravno, - kako je to pokazano u prethodnom proračunu. Treba voditi računa da se u oznaci ������ već krije krak -ne sme 0 O''' se još jednom pisati. 36

ZADACI ZA VEŽBANJE . F1=7 kN F2=3√2 kN F1=2 kN F2=3√2 kN A 45o A 45o 2 B 2 32 B m m mm 32 mm F1=7 kN F2=2√2 kN F1=7 kN F2=2√2 kN B A 45o A 45o 2 B 2 32 m m mm 32 mm F1=4 kN F2=7 kN B F1=3√2 kN F2=7 kN F3=3√2 kN F3=4 kN A 45o 45o B 12 A mm 22 mm 2 2 21 m m mm F3=7 kN F1=7 kN F2=4 kN F3=3√2 kN F2=4 kN F1=3√2 kN A 45o A 45o 22 2 22 2 mm m mm m F1=7 kN q=2 kN/m F2=7 kN F1=3√2 kN q=2 kN/m F2=3√2 kN B A 45o B 45o 22 11 mm mm A 11 2 22 2 mm m mm m 37

5. REŠETKASTI NOSAČI . Rešetkasti nosač (rešetka) je kruta konstrukcija sastavljena od pravih, lakih štapova koji su zglobno spojeni na krajevima. U praksi se međutim zglobna veza često zavaruje ili zakiva. Spoj štapova se zove ČVOR. Spoljne sile obično deluju u čvorovima. Težina štapova se zanemaruje (laki štapovi). Rešetka može biti ravanska i prostorna. U praksi, rešetka može biti most, stub dalekovoda, krovna konstrukcija, dizalice i kranovi ... . Štapovi u rešetki moraju da grade trouglove da bi konstrukcija bila stabilna. Kada na štapove vezane zglobom deluje sila, oni teže da pobegnu. Ako konstrukcija ima oblik trougla, to je nemoguće. Konstrukcija u obliku trougla ne beži, ali štapovi zbog toga trpe dodatna naprezanja. Neki od njih će trpeti pritisak, neki zatezanje. Kada se rešava rešetka, ���⃗���1 ���⃗���1 zadatak je odrediti veličinu tog zatezanja i pritiska. U stvari, treba izračunati veličinu zatezanje aksijalnih sila u štapovima koje izazivaju pritisak i zatezanje. pritisak A BA B Zbog uslova da štapovi grade trougao (kada konstrukcija zadržava svoj oblik pod dejstvom sila), između broja štapova i broja čvorova mora da postoji sledeća zavisnost: ������ = ������������ − ������, gde su: s-broj štapova, n-broj čvorova. POSTUPAK REŠAVANJA REŠETKE Postupak je jednostavan, sastoji se od nekoliko koraka: 5. Crtanje rešetke: nosač se nacrta u razmeri; 6. Oslobađanje od veza: radi preglednosti nosač biu trebao se ponovo da se nacrta, bez oslonaca, sa reakcijama oslonaca A i B; međutim, nije velika greška ako se reakcije ucrtaju na početnoj slici jer se tako štedi i prostor i vreme. 7. Određivanje sila u štapovima: primenom jedne od metoda određuju se sile u štapovima a rezultat se proverava primenom druge metode. 8. Tabelarni prikaz rezultata: intenziteti i smerovi svih sila u štapovima prikazuju se u određenoj tabeli. Određivanje sila u štapovima Rešetkasti nosač se smatra krutim telom pa se nepoznate sile određuju iz poznatih uslova ravnoteže. Nepoznate sile su najpre sile u osloncima, ali i sile u štapovima. Sile u osloncima se izračunavaju na poznat način, iz uslova ravnoteže. Postupak je isti kao kod, recimo grede. Sile u štapovima su unutrašnje sile čiji je pravac unapred poznat – imaju pravac štapa. Ono što je nepoznato i što se zadatkom određuje je intenzitet tih sila i njihov smer (pritisak ili zatezanje). Za određivanje sila u štapovima ima više metoda: metoda štapova, Kremonin plan sila (grafička metoda) i Riterova metoda preseka (računska metoda). Svaki spoj štapova – ČVOR, označava se rimskim brojem; štapovi takođe ali arapskim ciframa. Na jednom primeru rešetke demonstriraće se sve tri metode. 38

PRIMERI . PRIMER 1- Odrediti sile u štapovima rešetke sa slike F1=4(N), F2=2(N) Određivanje reakcije oslonaca: ���⃗���2 2 ∑ Xi=0  −������������ + ������2 = 0  ������������ = ������2 = 2 ������������ = 2 A B ∑ Yi=0  ������������ − ������1 + ������������ = 0 ���⃗���1  ������������ + ������������ = 4 2 22 ∑ ������������������������ =0 ���⃗���2  − ������1 ∙ 2 − ������2 ∙ 2 + ������������ ∙ 6 = 0  ������������ ∙ 6 = ������1 ∙ 2 + ������2 ∙ 2 = 2 ∙ 2 + 4 ∙ 2  ������������ ∙ 6 = 4 + 8 = 12  ������������ = 12 = 2 6 ���⃗��������� B ������������ = 4 − ������������ = 4 − 2 = 2 ������������ = 2 A ���⃗���1 ������������ = 2 ���⃗⃗��������� ���⃗��������� Određivanje sila u štapovima 1) METODA ČVOROVA: Suština metode čvorova je da se rešetka razloži na čvorove i da se svaki čvor onda rešava posebno. U svakom čvoru mogu da deluju različite sile: aktivne (spoljašnje-plave), reakcije oslonaca (crvene) i obavezno sile u čvornim štapovima. Sile u štapovima imaju poznat pravac – pravac štapa, ali je smer i intenzitet predmet računanja. Sve sile koje deluju u jednom čvoru čine sistem sučeljnih sila koji se onda rešava na poznat način. Metoda se svodi na rešavanje niza “mini” sistema sučeljnih sila. Uvek se počinje od čvora u kome ima najviše poznatih a maksimalno dve nepoznate sile. III 4 IV ���⃗���2 ���⃗��������� I 1 5 8 Čvor može da se reši grafički (poligonom sila) i analitički (na A 3 7 poznat način) iz uslova ravnoteže. Od svih sučeljnih sila koje 9 VI deluju u čvoru, neke su poznate a neke treba izračunati. Da 2 II 6V bi čvor mogao da se reši, u njemu ne sme da bude više od B dve nepoznate sile (jer toliko ima jednačina ravoteže). Ako to ���⃗���1 nije ispunjeno,čvor je matematički nerešiv. ���⃗⃗��������� ���⃗��������� ČVOR I Za poligon, sile se paralelno prenose i ���⃗��������� Poligon sila pokazuje smer nastavljaju jedna na drugu po redosledu koji ���⃗���1 nepoznatih sila u štapovima 1 prati lučnu strelicu. Za ČVOR 1 redosled sila je: S1 i S2. (nadole i udesno) . YA-XA-S1-S2. Pravac sila S1 i S2 se prenose ���⃗���2 ���⃗⃗��������� ���⃗��������� 2 paralelno tako da zatvore poligon (sile u čvoru Pošto poligon zahteva ���⃗⃗��������� su u ravnoteži). Početna sila poligona se bira crtanje u razmeri, intenziteti tako da S1 i S2 ostanu na kraju. tih sila mogu da se izmere i izračunaju na poznat način. Kada se odrede smerovi ������ ∑ Xi=0  −������������ − ������1 ∙ sin 45 + ������2 = 0 sila S1 i S2, mogu se računski (precizno) odre- ���⃗⃗���������  −������������ − ������1 √2 + ������2 = 0 diti i njihovi intenziteti. ���⃗��������� ���⃗���2 2 Sistem sila u čvori 1 se ���⃗���1 45������ malo “klizanjem sila”  −������������ − √2 ������1 + ������2 = 0  ������2 = √2 ������1 +������������ dotera za račun, kao na 2 2 slici: ������ ∑ Yi=0  ������������ − ������1 ∙ cos 45 = 0  ������������ = ������1 ∙ √2  ������1 = ������������ 2 = 2√2 √2 2 ������2 = 0,7������1+������������ = √2 ∙ 2√2 + 2 = 4 2 39

ČVOR III III III Čvor II ima više od dve nepoznate (sile u štapovima 3, 5 i 6 a samo dve poznate: silu F1 i silu S2 u štapu 2 koja je određena proračunom prethodnog čvora. Zato se menja redosled i prvo se proračunava čvor 3. U njemu je jedna ���⃗���1 ���⃗���3 poznata sila (S1 u štapu 1) i dve nepoznate: u štapovima 3 i 4. Sila S1 određena analizom čvora I može da bude ili sila pritiska ili zatezanja. Koja je od njih, pokazaće strelice 1 3 kod čvorova I i III. Ako je u pitanju pritisak, strelice su usmerene jedna prema drugoj, a kod zatezanja, strelice kod čvorova su okrenure jedna od druge, kao na slici. Kada se posmatra čvor, gleda se samo ona strelica koja je I blizu njega. Druga strelica se posmatra pri analizi drugog čvora. To praktično znači da, kada se odredi smer strelice kod jednog čvora, na drugom kraju štapa može odmah da se ucrta strelica koja je suprotnog smera. II Redosled sila je ������ ∑ Xi=0  −������4 + ������1 ∙ cos 45 = 0 S1 – S4 – S3 III 4 ���⃗���1  ������4 = ������1 √2 = 2√2 ∙ √2 = 2 ���⃗���4 2 2 ���⃗���1 ���⃗���4 45������ ������ ���⃗���3 3 ���⃗���1 ���⃗���3 ������4 = 2 ∑ Yi=0  −������3 + ������1 ∙ sin 45 = 0  ������3 = ������1 ∙ √2 = 2√2 ∙ √2 = 2 2 2 ������3 = 2 ČVOR II Redosled sila je ������ ∑ Xi=0  −������2 + ������6 + ������5 ∙ cos 45 = 0 F1 – S2 – S3 – S5 – S6 ���⃗���3 5 ���⃗���5  ������6 + ������5 √2 = ������2 = 4 ���⃗���3 2 ���⃗���2 II ���⃗���2 ���⃗���6 ∑ Yi=0  −������1 + ������3 + ������5 ∙ sin 45 = 0 6 ���⃗���1 ���⃗���1 ������  ������5 √2 = ������1 − ������3 = 4 − 2 = 2 2 ���⃗���6 ������ ���⃗���5 ������5 √2 2 ���⃗���8 = 2 = 2√2 ���⃗���1 2 √2 ������5 = 2√2 ČVOR IV ���⃗���3 √2 √2 ���⃗���2 ������6 = 4 − ������5 2 = 4 − 2√2 ∙ 2 = 2 ������6 = 2 ∑ Xi=0  ������4 − ������8 ∙ cos 45 − ������5 ∙ cos 45 + ������2 = 0 ���⃗���4 IV ���⃗���2  ������4 − ������8 √2 − ������5 √2 + ������2 = 0 2 2 ���⃗���5 8 ���⃗���4 45������  2 − √2 ������8 − 2√2 √2 + 2 = 0 2 2 ������  ������8 √2 = 2 + 2 − 2 = 2 ���⃗���2 2 7 ���⃗���5 ���⃗���8 ������8 = 2√2 ���⃗���5 ���⃗���4 ���⃗���2 ∑ Yi=0  −������5 sin 45 + ������8 ∙ sin 45 = 0  ������5 ∙ √2 = ������8 ∙ √2 2 2 ������5 = ������8 ČVOR V 7 ���⃗���6 ������9 = ������6 = 2 ���⃗���6 V 9 Redosled sila je S6 – S9 , S7=0 ���⃗���9 ČVOR VI ������ ∑ Xi=0  −������9 + ������8 ∙ cos 45 = 0 ���⃗���8 ���⃗���9 ���⃗���������  ������9 = ������8 √2 = 2√2 ∙ √2 = 2 ���⃗���8 ���⃗��������� ���⃗���9 2 2 9 VI ���⃗��������� 45������ ������ ������9 = 2 ���⃗���8 ∑ Yi=0  ������������ − ������8 sin 45 = 0 2=2 40

2) KREMONIN PLAN SILA: Ovo je grafička metoda. Suština je u crtanju poligona sila u čvorovima. Razlika u odnosu na prethodnu metodu je u tome što se poligoni sila za sve čvorove crtaju zajedno, kao jedan zajednički plan sila. Metoda zahteva veliku preciznost u crtanju i označavanju nacrtanog. Nedostatak III 4 IV ���⃗���2 Osnova kremoninog plana sila je poligon spoljašnjih ���⃗��������� 1 5 8 sila i reakcija. Na njega će se nadograđivati poligoni 7 sila svakog čvora pojedinačno. Važno je raditi pažljivo ���⃗⃗��������� 3 i precizno i ne izgubiti redosled sila za čvorove. Najbolje je redosled sila napisati zasebno i svaku I 2 II 6V 9 VI uzastopnu tačku poligona označiti slovom. Smerovi sila koji se dobiju pomoću poligona ucrtavaju se na ���⃗��������� A ���⃗���1 B rešetku (crne velike strelice).Te strelice jasno pokazuju smer aksijalnog opterećenja u svakom h 69 ���⃗��������� štapu. d 8 Osnovni poligon: a-b-c-d-e 5 ���⃗��������� Čvor I - sile: FA-S1-S2, poligon: a-b-f-a g 4 b ���⃗���2 c Čvor III - sile: S1- S4-S3, poligon: f-b-g-f Čvor II - sile: F1-S2-S3-S5-S6, poligon: d-a-f-g-h-d 1 ���⃗��������� ���⃗���1 Čvor IV - sile: S5-S4-F2-S8-S7, poligon: h-g-b-c-h 3 Čvor V - sile: S6-S9, poligon: d-h-d f 2 a,e Čvor VI - sile: S6-S9, poligon: d-h-d metode je upravo u tome što poligon nekad izgleda vrlo komplikovano i teško ga je pratiti. KREMONIN PLAN SILA 3) RITEROVA METODA: Ovo je računska metoda. Zasniva se na računanju momenata sila za izabrani čvor. Na rešetki se postavi proizvoljni presek. Jedan deo rešetke se “ukloni” pa se pretpostave sile u presečenim štapovima. 4 IV ���⃗���2 Presek se postavlja tako da ne preseče više od tri štapa. U štapovima na preseku pretpostavljaju se sile, i to III ���⃗���4 5 smera koji je uvek “ka preseku” (pritisak). Ako to nije 1 3 ���⃗���5 8 slučaj, račun će pokazati – za silu u štapu će se dobiti negativna vrednost. To je znak da smer nije dobro 7 ���⃗��������� I pretpostavljen i da stvarna sila u štapu deluje na A 2 II 6 9 VI zatezanje. V B Izračunavanje sila u štapovima se sastoji u postavljanju ���⃗���6 ���⃗⃗��������� ���⃗���1 ���⃗��������� tri momentne jednačine. Momentne tačke su one kroz koje prolaze sile u preseku. Za primer na slici uzimaju se sledeće momentne tačke: ∑ ������������������������������ = 0 Momentna tačka je ČVOR IV: Kroz ČVOR IV prolaze sile ������6 ∙ 2 + ������1 ∙ 2 − ������������ ∙ 4 − ������������ ∙ 2 = 0 S4 i S5 (njihovi krakovi su 0  momenti su 0), pa se  ������6 ∙ 2 = ������������ ∙ 4 + ������������ ∙ 2 − ������1 ∙ 2 postavljanjem momentne jednačine izračunava nepo-  ������6 ∙ 2 = 2 ∙ 4 + 2 ∙ 2 − 4 ∙ 2 = 4 znata sila S6. Momentna tačka je ČVOR II: U ČVORU II se seku sile S5 ∑ ������������������������������ = 0 ������6 = 2 i S6, njihovi momenti za tu tačku su stoga 0. Iz momentne jednačine će se izračunati treća sila S4. −������4 ∙ 2 − ������������ ∙ 2 = 0 Pošto su izračunate S4 i S6 , sila S5 može da se izračuna uzimajući za momentnu tačku bilo koji zgodan čvor (na ⟹ ������4 ∙ 2 = −������������ ∙ 2 ⟹ ������4 = −������������ = −2 primer ČVOR III). Pri postavljanju momentnih jednačina posmatraju se sile Sila S4 nije pritisak već zatezanje. ������4 = −2 ∑ ������������������������������������ = 0 ������5 ∙ √2 + ������6 ∙ 2 − ������������ ∙ 2 − ������������ ∙ 2 = 0 ⟹ ������5 ∙ √2 = ������������ ∙ 2 + ������������ ∙ 2 − ������6 ∙ 2 = 4 samo sa jedne strane preseka (na primer levo od 4= preseka, kao na slici). ⟹ ������5 = 2√2 √2 ������5 = 2√2 41

6. TRENJE A NEIDEALNE VEZE I TRENJE U dosadašnjim analizama ravnoteže krutih tela pretpostavljalo se da su dodirne površine idealno glatke i da je stoga reakcija veze normalna na površinu. U realnom svetu mašina, površine nikad nisu idealno glatke, već više ili manje hrapave. Usled hrapavosti površina, pri pomeranju tela po njima javljaju se otpori tom kretanju. Ti otpori se zovu trenje. Trenje je složena fizička pojava pri kojoj dolazi do zagrevanja površina, loma neravnina i transfera materijala. Trenje je izuzetan fenomen sa kojim se svi rano upoznajemo i koristimo (trljanje ruku, klizanje na ledu..) Javlja se u mnogim oblicima ne samo tehnike već i života. Gimnastičari i atletičari povećavaju trenje nanošenjem posebnog praha, plivači ga smanjuju nošenjem posebno glatkih kostima (dok nisu postali zabranjeni). Trenje može da bude štetno i korisno. Kod većine mašina i uređaja je nepoželjno jer izaziva gubitke energije, dovodi do zagrevanja i oštećenja delova stvara teškoće pri pokretanju pod opterećenju. Međutim, kod kočnica, frikcionih spojnica, frikcionih prenosnika, trenje je u osnovi njihovog funkcionisanja, dakle poželjno (frikcija = trenje). Prateće pojave trenja su habanje i zagrevanje. Habanje je trošenje materijala usled trenja i predstavlja veliki problem kod meksploatacije mašina. Pohabani delovi moraju da se zamene, što košta. Trenje, habanje i zagrevaje se smanjuju podmazivanjem. Trenje je dakle pojava koja se javlja na dodiru dve hrapave površine koje se relativno kreću jedna u odnosu na drugu. Trenje je otpor tom kretanju. Postoji trenje kretanja i trenje mirovanja, pri čemu su otpori pri mirovanju uvek veći od otpora pri kretanju. Prema stanju tarnih površina može biti suvo (dodir tarnih površina bez maziva) i mokro (tarne površine su razdvojene mazivom). U zavisnosti od načina ostvarenja kretanja razlikuju se dve vrste trenja: trenje klizanja i trenje kotrljanja. Trenje klizanja je otpor translatornom kretanju, manifestuje se silom trenja klizanja. Trenje kotrljanja je otpor rotacionom kretanju i manifestuje se spregom. VRSTE I KARAKTER TRENJA TRENJE KLIZANJA Naučne osnove trenja je postavio Kulon (Coulomb) i definisao ih sledećim zakonima trenja. 1. Pri klizanju jednog tela po drugom, na dodirnoj površini se javlja sila trenja ������������������ ili ������������, čija vrednost ide od 0 do neke maksimalne vrednosti koja se zove granična sila trenja ������������������. ������ ≤ ������������ ≤ ������������������ Sila trenja je usmerena u suprotnom smeru od kretanja. 2. Intenzitet granične sile trenja proporcionalan je reakciji hrapave podloge ���⃗���⃗. Koeficijen proporcionalnosti je koeficijent trenja . Koeficijent trenja  iskazuje uticaj hrapavosti dodirnih površina na veličinu trenja. Dakle, sila tenja može da se iskaže kao: ������������ = ������������������ = ������ ∙ ������ Sila trenja 42

Sile ���⃗⃗⃗��� i ⃗���⃗⃗���⃗ (sila težine i reakcija na nju) su jednake po intenzitetu i pravcu a suprotnih su smerova (ravnoteža). Deluju tako da priljubljuju telo uz podlogu, odnosno stvaraju pritisak na podlogu. To praktično znači da je sila trenja zavisi od pritiska između dodirnih (tarnih) površina. Koeficijent trenja  se određuje eksperimentalno. MATERIJAL KOEFICIJENT TRENJA KLIZANJA Zavisi od vrste materijala, stanja dodirnih površina (hrapavosti), temperature. Postoje tablice sa metal - metal 0,150,25 čelik - čelik 0,15 vrednostima koeficijenta za različite kombinacije metal - led 0,027 površina. koža - metal 0,47 drvo - drvo 3. Veličina sile trenja ������������ ne zavisi od veličine dodirnih 0,540,62 površina. Zavisi od hrapavosti površina i pritiska koji ih priljubljuje jednu uz drugu. Sila trenja sprečava kretanje!!! Trenje nastaje zbog nesavršenosti površina na kojima uvek ima neravnina. Idealno glatka površina ne postoji. Ma koliko površina izgledala glatko, pod mikroskopom liči na planinski reljef. Zato je trenje univerzalna pojava koja ne može da se izbegne ili eliminiše. Postoji i kod vrlo glatkih površina ali mnogo manjeg intenziteta. Kada telo stoji na hrapavoj podlozi i na njega deluje vučna sila ���⃗���������, do kretanja će doći kada ta sila prevlada silu trenja mirovanja ( ���⃗���������������). Kada se telo jednom pokrene, sila trenja opada i uzima neku vrednost ���⃗��������� takvu da je ������������ ≤ ������������������ Sila trenja je najveća pri mirovanju. Zato je najteže telo pokrenuti. Kada se pokrene, sila trenja blago opada i onda je za njeno savlađivanje potrebna manja sila (ide lakše). TRENJE KOTRLJANJA Trenje kotrljanja je otpor koji se javlja kada se jedno telo kotrlja po drugom. Manifestuje se silom trenja kotrljanja koja je manja od sile trenja klizanja. Zato se u praksi generalno i kod mašina, klizanje zamenjuje kotrljanjem, kad je to moguće. To je naročito vidljivo kod vozila i mašina sa obrtnim delovima. Posmatra se cilindar poluprečnika r i težine ���⃗��� koji se kotrlja po hrapavoj horizontalnoj podlozi. Na cilindar u osi deluje sila ���⃗��� i izaziva njegovo kretanje po podlozi. Na kontaktnoj površini se javlja reakcija ���⃗���⃗ . Iz uslova ravnoteže sledi: ���⃗��������� = ���⃗��� i ���⃗��� = ���⃗���⃗. Sile ���⃗��������� ������ ���⃗��� obrazuju spreg koji izaziva kotrljanje. U realnosti, podloga po kojoj se vrši kotrljanje se pod težinom deformiše. Usled toga, napadna tačka sile ���⃗���⃗ se pomera za neko rastojanje e. Rastojanje e (koje ima dimenziju dužine) zove se koeficijent trenja kotrljanja. ������ ���⃗��� ������ ���⃗��� ���⃗��� ���⃗��� ������ ���⃗��������� ���⃗���⃗ ���⃗⃗��� ���⃗��������� Idealna podloga Realna podloga Sile ���⃗������������⃗���⃗ formiraju otporni spreg koji se suprotstavlja spregu kotrljanja i uravnotežava ga. Iz uslova ravnoteže ovih spregova dobija se sila trenja kotrljanja. ������������ = ������������ ������������ = ������ ∙ ������, ������������ = ������ ∙ ������, ������ ∙ ������ = ������ ∙ ������ ������ ������������������������ = ������ ∙ ������ Kada se uporede sila trenja klizanja ������������ i sila trenja MATERIJAL KOEFICIJENT TRENJA kotrljanja ������������������������, vidi se da u oba slučaja sila tenja zavisi od KOTRLJANJA normalnog pritiska N. Ukoliko se sila ⃗���⃗��� kojom se povlači čelik - čelik cilindar postepeno povećava mogu nastati dva slučaja: kaljeni Č –kaljeni Č e= 0,005 e = 0,001 a) ������ < ������ cilindar će početi da se kliza drvo - drvo e= 0,050,08 ������ b) ������ > ������ cilindar će početi da se kotrlja ������ Vrednost koeficijenta trenja kotrljanja e zavisi od materijala tela i određuje se eksperimentalno. 43

7. KINEMATIKA A Kinematika je deo mehanike koja proučava geometriju kretanja, ne razmatrajući uzroke tog kretanja (sile). Pod geometrijum kretanja podrazumeva se putanja, odnosno zakon puta, brzina i ubrzanje. Već je rečeno da je kretanje promena položaja tela u prostoru tokom vremena. Da bi se promena položaja uočila, potrebno je neko drugo telo (referentno) u odnosu na koje se promena posmatra. Referentno telo je najčešće nepokretno. Najčešće je to koordinatni sistem. Kretanja mogu da se podele prema: 1) Obliku putanje: 2) Prema karakteru brzine:  pravolinijska  ravnomerno  krivolinijska  promenljivo DEFINISANJE KRETANJA Kretanje se posmatra u odnosu na koordinatni sistem. Postoji više različitih koordinatnih sistema pa stoga i više načina definisanja kretanja. Najčešće primenjivan je Dekartov pravougli koordinatni sistem. U ovom sistemu, kretanje se opisuje koordinatom – odnosno njenom promenom. y AM B Telo M se kreće od A do B. Njegov početni položaj je x određen koordinatom xA a krajnji sa xB. Svaki drugi položaj između A i B je definisan proizvoljnom koordinatom x. xA Osim promene položaja u prostoru, kretanje je definisano i x u vremenu. Proizvoljna koordinata x će se menjati tokom xB vremena. To se matematički piše na sledeći način: ������ ������ = ������(������) a čita se kao: x zavisi od vremena t . A B Praktično, obrazac govori da se koordinata ������ menja tokom vremena – što je pokazatelj kretanja. Na isti način mogu da se odrede i ostale koordinate. O U tehničkoj praksi je često slučaj da je putanja po kojoj se telo kreće poznata (zna se njen geometrijski oblik i matematička funkcija na osnovu koje može da se nacrta). Tada je umesto Dekartovih koordinata za opisivanje kretanja bolje primeniti tzv. prirodnu koordinatu. Kretanje se opisuje na sledeći način: ������ = ������(������) Svejedno koji način opisivaja kretanja se izabere. Izbor će zavisiti od problema koji se posmatra ili od zadatka koji se rešava. Treba zapamtiti da su i ������ = ������(������) i ������ = ������(������) funkcije vremena (menjaju se tokom vremena). PRAVOLINIJSKA KRETANJA 1) JEDNOLIKO PRAVOLINIJSKO KRETANJE Karakteristike ovakvog kretanja su: Putanja (trajektorija, put) je prava linija; Za iste vremenske intervale prelazi se isti put ������; Nema promene brzine, ������ = ������������������������������; Nema ubrzanja, ������ = 0. U matematičkom obliku ovo kretanje je: ������������, ������������ - već pređeni put ������ = ������������ + ������ ∙ ������, ������ = ������������ + ������ ∙ ������ ������������ - početna brzina ������ = ������������������������������ ������ = ������ ������ - vreme 2) JEDNAKO PROMENLJIVO KRETANJE Karakteristike ovakvog kretanja su: putanja: prava linija; brzina je promenljiva; za iste vremenske intervale brzina se menja (povećava ili smanjuje) za isti iznos; ubrzanje je isto, ������ = ������������������������������. U matematičkom obliku ovo kretanje je: ������������, ������������ - već pređeni put ������������������ ������������������ ������������ - početna brzina ������ = ������������ + ������������ ∙ ������ ± ������ , ������ = ������������ + ������������ ∙ ������ ± ������ ������ – vreme ������ = ������ ∙ ������, ������ = ������������ ± ������ ∙ ������ ������ = ������������������������������ “±“ ubrzano / usporeno kretanje 44

KRIVOLINIJSKA KRETANJA Kod pravolinijskog kretanja brzina i ubrzanje su poznatog pravca i smera, poklapaju se sa pravcem puta (koji je prava linija). Kod krivolinijskih kretanja situacija je složenija zato što putanja nije prava linija. A ���⃗��� ���⃗��� ������(������) Brzina ���⃗��� ima pravac tangente na krivu u datoj tački A. U nekoj drugoj tački B ima neki drugi pravac (iako je to i dalje pravac tangente), zbog krivine linije. ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� ���⃗⃗���⃗���⃗⃗��� ������(������) A B Brzina je vektorska veličina, definisana pravcom, smerom i intenzitetom. Da bi se ona promenila, potrebno je promeniti bar jedno od toga. ⃗���⃗���⃗⃗���⃗��� ≠ ������������ jer je pravac promenjen. Iz činjenice da pri krivolinijskom kretanju UVEK imamo promenu brzine po pravcu (nezavisno od toga da li se menja i intenzitet), i pošto je ubrzanje u stvari PROMENA BRZINE, to pri krivolinijskom kretanju uvek imamo jednu komponentu ubrzanja koja uzima u obzir promenu brzine po pravcu i koja uvek postoji. Druga komponenta ubrzanja uzima u obzir promenu brzine po intenzitetu i postoji samo kada se intenzitet menja. ⃗���⃗���⃗⃗���⃗��� - tangencijalno ubrzanje, javlja se kada brzina menja intenzitet; može da ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� bude 0, kod ravnomernog kretanja i ≠ 0 kod promenljivih kretanja. Ima pravac brzine. ⃗���⃗���⃗⃗���⃗��� ���⃗��� A ���⃗⃗���⃗���⃗⃗��� - normalno ubrzanje, javlja se kada brzina menja po pravcu; pošto je putanja kriva linija, pravac se uvek menja; zato ovo ubrzanje uvek postoji. ⃗���⃗���⃗���⃗⃗��� Ima pravac prečnika krivine. r ���⃗��� - ukupno ubrzanje, javlja dobija se kao vektorski zbir ove dve komponente. ������������ = ������ ������������ = ������2 ���⃗��� = √������2������ + ���������2��� C ������ ������ , , 3) JEDNOLIKO KRIVOLINIJSKO KRETANJE ������ = ������������ + ������ ∙ ������ To je takvo kretanje po krivoj liniji kada se za iste ������ = ������������������������������ vremenske intervale prelaze jednaki putevi. ������������ = ������, ������������ = ������������ ������ 4) JEDNAKO PROMENLJIVO KRIVOLINIJSKO KRETANJE To je kretanje po krivoj liniji kada za iste vremenske ������������∙ ������������ intervale intenzitet brzine raste / opada za jednake iznose. ������ ������ = ������������ + ������������ ∙ ������ ± ������ = ������������ ± ������������ ∙ ������ ������������ ������ ������������ = ������������������������������, ������������ = Do sada su razmatrani idealizovani slučajevi kretanja materijalne tačke. Međutim, dejstvo sile na realno telo je malo drugačije, jer može da izazove razne efekte. Na primer, može da deformiše telo, može da izazove razne vrste kretanja, čak i da se različiti delovi tela kreću različito (kao kod šlepera i njegove prikolice kada se ona pri kočenju zanosi). Pri kretanju tela razmatraju se njegovi delovi. Delovi tela mogu da imaju iste parametre (kao na primer kod translatornog kretanja) ili, mogu da imaju različite putanje, brzine i ubrzanja. Ali, pošto je telo neraskidiva celina, kretanja različitih delova tela ne mogu biti nepovezana, kretanje jednog dela tela utiče na kretanje drugog dela. OBRTNO KRETANJE (ROTACIJA) Telo se obrće oko nepokretne ose ako bilo koje dve njegove tačke ostaju nepokretne. Kroz dve nepokretne tačke prolazi osa obrtanja. Položaj tela u celini se definiše uglom φ. Ugao φ se pri obrtanju menja tokom vremena, tako da može da se napiše: ������ = ������(������) - zakon puta pri obrtnom kretanju Ugao se ne meri u stepenima nego u radijanima: 45

Pri obrtanju, pun krug (pun obrtaj) je put od 2������ radijana. Ako je broj obrtaja veći od 1 (neko broj n) onda je put: ������ = 2������ ∙ ������ zakon puta u zavisnosti od broja obrtaja, gde je ������ [ ������ ] ������������������ Pri obrtnom kretanju celo telo ima istu brzinu obrtanja. Ta brzina je ugaona brzina. ������ = ������ [1] - ugaona brzina ������ ������ Kada se posmatra zakon puta u obliku ������ = 2������ ∙ ������, ������ [ ������ ], moguće je (za ������ = 1������������������ = 60������), ������������������ izvesti vezu ugaone brzine i broja obrtaja na sledeći način: ������ = ������ = 2������∙������ = 2������∙������ = ������∙������ ������ ������ 60 30 ������ = ������∙������ - veza ugaone brzine i broja obrtaja 30 Ako obrtanje nije ujednačeno, ugaona brzina nije konstantna, onda telo ima ugaono ubrzanje : ������ = ������ [������12] - ugaono ubrzanje ������ 5) JEDNOLIKO OBRTNO KRETANJE ������ = ������������ + ������ ∙ ������ ������ = ������������������������������ Jednoliko obrtanje je kretanje kada se za jednake vremenske intervale ugao ������ = ������, povećava za istu vrednost – opisuju se isti uglovi. Kretanje se često javlja u tehničkoj praksi, tada se primenjuje obrazac ������ = ������∙������ 30 6) JEDNAKO PROMENLJIVO OBRTANJE ������������������ ������ = ������������ + ������������ ∙ ������ ± ������ To je kretanje kada se za jednake vremenske intervale ugaona brzina menja za isti iznos. Taj iznos je ugaono ubrzanje ������. ������ = ������������ ± ������ ∙ ������ ������ = ������������������������������, BRZINE I UBRZANJA TAČAKA NA TELU KOJE SE OBRĆE Posmatra se proizvoljno telo koje se obrće i jedna njegova tačka M. Kada se telo obrće, tačka M opisuje kružnice. Dok se telo obrne za ugao φ, tačka M pređe put s. s je odsečak kruga, računa se kao: ���⃗���⃗ ������ = ������ ∙ ������, Oφ r gde je ������ = ������(������) funkcija vremena, pa je zakon puta: s ���⃗��������� s a ������ = ������ ∙ ������(������) - zakon puta a O s M O ���⃗��������� Brzina tačke M ima pravac tangente. Iz: s ���⃗��� ������ = ������ ⇒ ������ = ������∙������(������) = ������ ∙ ������ a ������ ������ O ������ = ������ ∙ ������ - obimna brzina Kod tela koje se obrće, brzina obrtanja ������ je za celo telo ista (konstantna). Zato se obimna brzina ������ neke tačke ne menja u zavisnosti od ������ već od r - udaljenosti od ose obrtanja. Tačke koje su bliže osi imaju manju brzinu a one dalje od ose – veću. Tačke na osi miruju. Pošto je putanja tačke M kriva linija (kružnica), ubrzanje se razlaže na dve komponente ������������ i ������������ koje su: ������������ = ������ ∙ ������, ������������ = ������ ∙ ������������ 46

8. DINAMIKA A Dinamika je deo mehanike kopi proučava zakone kretanja pod dejstvom sila. U dinamici se proučavaju dva tipa problema: 1- poznato je kretanje (s, v, a) a izračunavaju se sile, i 2- poznate su sile a izračunavaju se parametri kretanja (s, v, a). NJUTNOVI ZAKONI 1. NJUTNOV ZAKON – ZAKON INERCIJE Telo zadržava stanje mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok ga neka sila ne prinudi da to stanje promeni. Prostije rečeno, ako telo miruje, mirovaće sve dok ga neka sila ne pokrene; ako se kreće ravnomerno pravolinijski, kretaće se tako sve dok ga neka sila ili ne zaustavi ili ubrza, ili skrene. Praktično, to znači da ako ne deluje nikakva sila, telo će neometano raditi ono što je radilo i ranije – mirovaće ili se kretati ravnomerno pravolinijsko. Da bi se telo pokrenulo, potrebno je dejstvo neke sile. Da bi se telo zaustavilo, takođe. 2. NJUTNOV ZAKON Ako na telo deluje neka sila, ona onda to više nije kretanje po inerciji, već prinudno kretanje koje zavisi od dejstva sile. Pod dejstvom sile (a u zavisnosti od sopstvene mase) telo će se kretati ubrzano, ubrzanjem a. Sila, masa i ubrzanje su povezani sledećim obrascem: ���⃗��� = ������ ∙ ���⃗��� Sila i ubrzanje moraju da imaju isti smer. Ako na neko telo deluje više sila, primenjuju se principi statike; odnosno: ∑ ���⃗��������� = ������ ∙ ���⃗��� Jedna od posledica 2. Njutnovog zakona je razmatranje mase tela kao mere njegove inertnosti. Telo veće mase koje miruje teže će se pokrenuti, prinuditi na kretanje nego telo manje mase. Za pokretanje tela veće mase biće potrebna veća sila. Tela veće mase su inertnija, teže menjaju stanje. Isto važi i za kretanje. 3. NJUTNOV ZAKON Sile akcije i reakcije su sile istog pravca i intenziteta a suprotnog smera. Nastaju kada jedno telo deluje na drugo, (zato ne čine sistem uravnoteženih sila jer ne deluju na jedno telo). ���⃗���1 = −���⃗���2 OPŠTI ZAKONI DINAMIKE Da bi se realni tehnički problemi u dinamici jednostavnije rešavali i odredile potrebne veličine u određenim vremenskim intervalima, izvedeni su opšti zakoni dinamike. Opšti zakoni su u stvari izvedeni iz Njutnovih zakona a njihovom primenom izbegava se upotreba više matematike. Opšti zakoni dinamike oslikavaju dinamiku (kao nauku koja proučava zakone kretanja pod dejstvom sila) tako što povezuju dinamičke veličine koje karakterišu kretanje (kinetička energija, moment količine kretanja) sa veličinama koje karakterišu dejstvo sile (rad sile, moment sile). 47

KOLIČINA KRETANJA: Karakter kretanja tela ne zavisi samo od njegove brzine nego i od njegove mase. Vektorska veličina koja predstavlja proizvod mase i brzine je količina kretanja. Ima pravac i smer brzine, označava se sa K a računa kao: ���⃗⃗��� = ������ ∙ ���⃗��� IMPULS SILE:Efekti dejstva sile na neko telo ne zavise samo od jačine sile nego i od vremena njenog dejstva. Tu činjenicu opisuje vektorska veličina koja se zove impuls sile. Ima pravac i smer sile, označava se sa I a računa kao: ���⃗��� = ���⃗��� ∙ ������ ZAKON O PROMENI KOLIČINE KRETANJA:Često se u praktičnim problemima postavlja pitanje kolika je količina kretanja posle nekog perioda, vremenskog intervala. Taj problem se rešava pomoću zakona o promeni količine kretanja. Promena količine kretanja tokom nekog vremenskog intervala jednaka je impulse sile u istom interval. Zakon se izvodi iz II Njutnovog zakona. intervala ∆t ���⃗⃗���2 − ���⃗⃗���1 = ∆���⃗���, gde su K2 i K1 količine kretanja na početku i kraju ZAKON O ODRŽANJU KOLIČINE KRETANJA:Ako je u nekom vremenskom intervalu impuls sile nula, onda nema promene količine kretanja u tom intervalu. ∆���⃗��� = 0 ⇒ ���⃗⃗���2 = ���⃗⃗���1 MOMENT KOLIČINE KRETANJA:Moment količine kretanja je veličina analogna količini kretanja ali se u osnovi odnosi na obrtanje ili krivolinijsko kretanje po putanji poluprečnika r. Računa se u odnosu na tačku i u odnosu na osu. ���⃗⃗��������� = ���⃗��� × ���⃗⃗��� = ���⃗��� × ���������⃗��� ZAKON O PROMENI MOMENTA KOLIČINE KRETANJA:Promena količine kretanja pri kretanju oko ose ili tačke jednaka je zbiru momenata svih sila za istu tačku ili osu. ���⃗⃗���������2−���⃗⃗���������1 = ∑ ���⃗��� × ���⃗⃗⃗��������� = ∑ ���⃗⃗���⃗���������⃗��������� ∆������ ZAKON O ODRŽANJU MOMENTA KOLIČINE KRETANJA:Ako je pri kretanju tokom nekog vremenskog intervala zbir momenata svih sila koje deluju tokom tog intervala jednak nuli, nema promene momenta količine kretanja. RAD SILE:Ako se napadna tačka sile pomera duž putanje, onda je proizvod sile i tog pomeranja ∆������ jednak radu sile. ������ = ���⃗��� ∙ ∆���⃗��� Postoji klasa sila kod kojih rad ne zavisi od oblika putanje nego samo od početnog i krajnjeg m položaja. Takve sile se zovu konzervativne sile. Primeri za konzervativne sile su sila Zemljine teže i elektromagnetna sila u elektro-magnetnom polju. Vrednost konzervativne sile zavisi samo h2 od njenog položaja. Rad konzervativne sile je potencijalna energija (sa negativnim predznakom). m Na primer, posmatra se promena porencijalne energije u polju sile Zemljine teže: h1 ∆������������ = ������������2 − ������������1 = ������������ℎ2 − ������������ℎ1 KINETIČKA ENERGIJA:Kinetička energija (ili “živa sila”) jednaka je poluproizvodu mase i kvadrata brzine. ������������ = 1 ������������2 2 ZAKON O PROMENI KINETIČKE ENERGIJE:Promena kinetičke energije pri pomeranju između dva položaja jednak je zbiru radova svih sila koje deluju duž tog pomeranja. ∆������������ = ������������2 − ������������1 = ∑ ������������ ������ = ������������ + ������������ = ������������������������������ - zakon o održanju mehaničke energije SNAGA: Snaga je rad sile u jedinici vremena; može da se definiše i kao brzina vršenja rada. ������ = ������ = ������∙������ = ������ ∙ ������ ������ ������ KRETANJE TELA: Pod dejstvom sila, telo se kreće u prostoru. To kretanje može biti slobodno - ako druga tela ne ograničavaju kretanje, i prinudno – ako druga tela sprečavaju to kretanje. Tela koja sprečavaju kretanje se zovu veze. Pri kretanju, telo deluje na vezu, ali (u skladu sa III Njutnovim zakonom) i veza deluje an telo. Sile kojima veza deluje na telo su reakcije veze. Prema tipu, veze mogu biti idealne i realne (veze sa trenjem). 48


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook