สรุปคณิต ม.ปลาย

อาจารย์ณัชพล พนั ธมุ นตรี (อ.ชาย) อาจารยส์ ิทธิพงศ์ บญุ คง (อ.บอล) อาจารย์วราภรณ์ สัจจะบุรษุ (อ.รุ่ง) อาจารยไ์ กรเลศิ ลาภไพบลู ยพ์ งษ์ อาจารยบ์ ุญรตั น์ ขจรพัฒน์วรกลุ (อ.ย้ยุ ) อาจารยท์ รงชอบ วัฒนะจนิ ดา

ประมวลรายวิชากลมุ่ สาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ เซต 1. ความรู้พ้นื ฐานเก่ียวกับเซต เชน่ สับเซต เพาเวอร์เซต 2. การปฏิบัติการของเซต เช่น ยูเนียน อนิ เตอรเ์ ซกชัน คอมพลเี มนต์ 3. การหาสมาชกิ ของเซต การใหเ้ หตุผล 1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (จากเหตุยอ่ ยไปหาขอ้ สรุปใหญ)่ 2. การให้เหตุผลแบบอุปนัย เลขยกกำลงั 1. คณุ สมบัตขิ องเลขยกกำลงั 2. การแก้สมการและอสมการเลขยกกำลงั 3. การแก้สมการทตี่ ดิ กรณฑ์ จำนวนจริง 1. การแกส้ มการและอสมการ 2. การแก้สมการและอสมการคา่ สัมบูรณ์ ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน 1. ชนิดของ function 2. โดเมนและเรนจ์ 3. กราฟชนิดต่างๆ 4. การหาค่า function อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ 1. สามเหล่ียมและการประยกุ ต์ 2. การแก้สมการตรโี กณ ลำดบั และอนุกรม 1. ลำดับเลขคณติ และเรขาคณติ 2. อนกุ รมเลขคณติ และเรขาคณิต การเรียงสบั เปล่ียนและความนา่ จะเป็น 1. กฎการนบั เบ้อื งต้น เชน่ กฏการคูณและกฎการบวก 2. ความน่าจะเปน็ 3. ความน่าจะเปน็ ที่ใชเ้ ซต สถิติ 1. ค่ากลางทางสถติ ิ 2. การหาตำแหนง่ 3. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ 4. แผนภาพกล่อง

สรุปเน้ือหาคณิตศาสตร์ O-NET เซต ความรพู้ ้นื ฐานเกย่ี วกบั เซต 1. เซตเขียนได้ 2 แบบคือ แบบแจกแจงสมาชกิ และแบบบอกเง่ือนไข 2. เซตจำกัด คอื เซตทม่ี จี ำนวนสมาชกิ เทา่ กับจำนวนเตม็ บวกหรอื 0 เชน่ C = { 13 , 5 } เซตอนันต์ คอื เซตทไี่ ม่ใชเ่ ซตจำกัด เชน่ D = { 1 , 2 , 3 , ... } เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เขียนแทนด้วย ∅ หรือ {} เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตท่ีกำหนดข้ึนโดยมีข้อตกลงว่าจะไม่กล่าวถึงสิ่งใด นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตท่ี กำหนดข้นึ เขยี นแทนเอกภพสมั พัทธ์ดว้ ย U สับเซตและการเท่ากนั  A เปน็ สบั เซตของ B กต็ ่อเมือ่ สมาชิกทกุ ตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขยี นแทนดว้ ย A ⊂ B และเราจะเรียก สับเซตทกุ ตวั ท่ีไม่ใช่เซตเดมิ วา่ สบั เซตแท้  A เทา่ กบั B ก็ตอ่ เม่อื 1. สมาชิกทกุ ตัวของ A เป็นสมาชกิ ของ B 2. สมาชกิ ทุกตวั ของ B เป็นสมาชิกของ A น่ันคือ A = B ก็ตอ่ เม่อื A ⊂ B และ B ⊂ A ขอ้ สังเกต : สำหรบั เซต A ใดๆ 1. ∅ ⊂ A 2. A ⊂ A 3. A ⊂ U 4. เรยี กสบั เซตของ A ทไ่ี ม่เท่ากับ A ว่า สับเซตแท้ ของ A 5. ถ้า A เปน็ เซตจำกดั ท่ีมจี ำนวนสมาชิกเทา่ กับ n แล้ว A จะมจี ำนวนสบั เซต ทงั้ หมด 2n เซต เพาเวอร์เซต เพาเวอร์เซตของ A เขยี นแทนด้วย P(A) นิยามโดย P(A) = { B⏐B ⊂ A } ข้อสงั เกต : สำหรับเซต A ใดๆ 1. P(A) คอื เซตทีป่ ระกอบด้วยสับเซตท้ังหมดของ A 2. ถา้ A เป็นเซตจำกัดท่ีมจี ำนวนสมาชิกเท่ากบั n แล้ว P(A) จะมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 2n ตวั 3. ∅ ∈ P(A) และ A ∈ P(A) 4. ถ้า A ⊂ B แลว้ P(A) ⊂ P(B) 5. P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B) 6. P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B) คณติ ศาสตร์ O-NET 3

การดำเนินการของเซต B 1. ยูเนียน ใชส้ ัญลักษณ์ ∪ A U B A U 2. อินเตอร์เซกชนั ใชส้ ญั ลักษณ์ ∩ AB U 3. คอมพลีเมนต์ ใช้สัญลักษณ์ ʹ ′ A U 4. ผลต่าง ใชส้ ญั ลักษณ์ − AB A B UU สตู รเกี่ยวกับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด สำหรับเซตจำกัด A , B , C ใดๆ 1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 2. n( A ∪ B ∪ C ) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C ) 4 คณิตศาสตร์ O-NET

การใหเ้ หตุผล การใหเ้ หตผุ ลแบบอุปนัย (จากเหตุยอ่ ยไปหาขอ้ สรปุ ใหญ)่ คือ การใหเ้ หตุผลโดยอาศยั ความจริงจากส่วนย่อยๆ ทเ่ี กิดจากการสังเกตหรือทดลองหลายๆ ครง้ั แลว้ นำมาสรปุ เป็น ความจรงิ หรือความรู้โดยรวม ส่ิงทีค่ วรทราบ การให้เหตุผลประกอบดว้ ยส่วนสำคัญ 2 อย่างคือ 1. เหตุ คือส่งิ ทถี่ กู กำหนดใหซ้ ง่ึ คอื ความจริงจากสว่ นย่อยๆ ทเี่ กิดจากการสงั เกตหรอื ทดลองหลายๆ ครั้ง 2. ผล คือสง่ิ ที่สรุปจากเหตุ ขอ้ ควรระวงั !! การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นวิธีการสรุปผลเกินไปจากลักษณะข้อมูลหลักฐานและข้อเท็จจริงท่ีนำมาเป็นข้อสังเกต หรือข้ออ้างอิง จึงทำให้การหาข้อสรุปหรือหาความจริงที่ได้ไม่จำเป็นต้องถูกต้องเสมอไป ดังนั้นการที่ข้อสรุปจะมีความ น่าเช่ือถือมากน้อยเพียงใดจะข้ึนอยู่กับการพิจารณาถึงลักษณะของข้อมูล หลักฐานและข้อเท็จจริงที่นำมาเป็นข้อสังเกตหรือ ขอ้ อ้างอิง ดังน้ี 1. พิจารณาจำนวนข้อมูลว่าลักษณะของข้อมูล หลักฐานและข้อเท็จจริงที่เป็นข้อสังเกตหรือข้ออ้างอิงมีมากพอกับ การสรปุ หรือไม่ 2. พิจารณาลกั ษณะของขอ้ มลู หลักฐานหรือขอ้ เท็จจริงว่าเป็นตัวแทนท่ีดีในการหาขอ้ สรุปหรอื ไม่ 3. พิจารณาลักษณะของข้อมลู หลกั ฐานหรอื ขอ้ เท็จจริงว่าเปน็ ความคดิ ซง่ึ เปน็ เหตผุ ลส่วนตวั ของแตล่ ะคนหรอื ไม่ ตัวอยา่ งการให้เหตุผลแบบอปุ นัย 1. จาก 1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 เราจึงสรปุ ไดว้ ่า จำนวนนับค่ี n ตัวแรก มีผลบวกเท่ากับ n2 2. ลำดบั 1, 3, 7, 15, 31, ... สงั เกตไดว้ ่า ผลตา่ งของแต่ละพจน์ท่ตี ิดกนั เป็น 2, 4, 8, 16, ... ดงั นน้ั พจน์ถดั ไปของลำดบั คอื 63 (มีผลต่างเป็น 32) การใหเ้ หตุผลแบบนริ นัย (จากความเป็นจรงิ ไปหาข้อสรุปย่อย) เปน็ การนำความรพู้ นื้ ฐานสงิ่ ทร่ี มู้ ากอ่ นแลว้ และเปน็ ทย่ี อมรบั วา่ เปน็ จรงิ ซงึ่ อาจเปน็ ความเชอ่ื ขอ้ ตกลง กฎ หรอื บทนยิ าม ตา่ งๆ เพ่ือหาเหตุผลนำไปสขู่ ้อสรปุ สง่ิ ท่ีควรรู้ การให้เหตผุ ลประกอบดว้ ยส่วนสำคญั 2 อย่างคือ 1. เหตุ คือสิง่ ทีถ่ ูกกำหนดให้ 2. ผล คอื ส่ิงท่สี รุปจากเหตุ แต่การที่จะบอกว่าการให้เหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่น้ันต้องตรวจสอบให้ดี ซึ่งจริงๆ แล้วการตรวจสอบว่าการ ใหเ้ หตุผลน้นั สมเหตสุ มผลหรอื ไม่น้ันมหี ลายวธิ ี แตใ่ นระดบั นม้ี วี ิธีหนึ่งท่ีน่าสนใจคือการใชแ้ ผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ ช่วย ตัวอยา่ งการใหเ้ หตุผลแบบนริ นยั 1. เหตุ (1) นกั เรียนทุกคนต้องทำการบ้าน (2) สดุ าเปน็ นกั เรียน ผล สุดาตอ้ งทำการบา้ น 2. เหต ุ (1) นกเทา่ นั้นท่บี ินได้ (2) คนบนิ ไม่ได้ ผล คนไมใ่ ช่นก หมายเหตุ การใหเ้ หตผุ ลแบบนริ นยั บางทจี ะขดั กบั ความเปน็ จรงิ แตเ่ มอ่ื ใหเ้ หตผุ ลกนั ทางตรรกศาสตรแ์ ลว้ กจ็ ะเปน็ จรงิ ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัยทั้ง 3 ข้อเป็นการให้เหตุผลท่ีสมเหตุสมผลทั้งหมด แต่ในข้อสอบอาจมีการให้เหตุผลที่ไม่ สมเหตุสมผลด้วย น้องๆ ต้องระวังใหด้ ี ถ้าจะให้ดีเขียนเปน็ แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ไดก้ ็จะเปน็ การดี คณิตศาสตร์ O-NET 5

เลขยกกำลัง บทนิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจรงิ และ n เปน็ จำนวนเต็มบวกแลว้ an = (คณู กัน n ตวั น่ะ ไม่ใช่ n ครัง้ ) สมบตั ิของเลขยกกำลัง ให้ a, b เปน็ จำนวนจริงท่ีไม่เปน็ 0 และ m, n เป็นจำนวนตรรกยะ ถา้ am , an, bn เป็นจำนวนจรงิ 1. am × an = am + n 2. am ÷ an = am – n 3. ( am )n = amn 4. ( ab )n = an bn 5. ( a )n = an 6. a0 = 1 7. b bn 8. a– n = a1n a1 = a รากที่ n ของจำนวนจริง บทนิยาม ถ้า a และ x เป็นจำนวนจรงิ และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่มี ีคา่ มากกวา่ 1 x เปน็ รากท่ี n ของ a กต็ อ่ เม่ือ xn = a เลขยกกำลังทมี่ ีเลขช้กี ำลงั เปน็ จำนวนตรรกยะ บทนิยาม ให้ a เปน็ จำนวนจรงิ ซึง่ m และ nnเaป็น=จำaน1nวนเตม็ บวกทมี่ ากกว่า 1 ถา้ a มีรากที่ n แล้ว กำหนดให้ หมายเหต ุ 1. amn = (a1n)m = (am)1n = ( n a)m = (n am) 2. (a + b) ± 2 ab = a + b การทำใหส้ ว่ นเป็นจำนวนเตม็ กรณที ี่ 1 ส่วนอย่ใู นรูป k ให้คูณด้วย k ทั้งเศษและสว่ น เชน่ 2 = 2 x 2 = 2 2 = 2 a+ b กรณที ี่ 2 2 2 22 สว่ นอยใู่ นรปู ใหค้ ณู ดว้ ย conjugate นนั่ คือ การแก้สมการเลขยกกำลงั ในการแก้สมการเลขยกกำลัง พ้ืนฐานในการแก้สมการเลขยกกำลังที่สำคัญที่สุดคือเราจะต้องพยายามทำให้ ตัวฐานของเลขชกี้ ำลังใหเ้ ทา่ กัน จากน้ันเราจะสามารถสรุปได้วา่ เลขชก้ี ำลงั ของเลขยกกำลงั ทง้ั สอง จะตอ้ งเท่ากันด้วย 6 คณติ ศาสตร์ O-NET

จำนวนจรงิ จำนวนจรงิ ( R ) จำนวนอตรรกยะ ( Q' ) จำนวนตรรกยะ ( Q′ ) จำนวนที่ไม่ใชจ่ ำนวนเตม็ ( I'′ ) จำนวนเตม็ ( I ) จำนวนเตม็ ลบ ( I- ) จำนวนเตม็ ศนู ย์ ( I0 ) จำนวนเตม็ บวก ( I+ ) การแก้สมการกำลงั สอง วธิ ที ี่ 1 ใชว้ ิธีแยกตวั ประกอบ วิธีที่ 2 ใชส้ ตู ร ถ้าเราไม่สามารถแยกตวั ประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c ได้ เราสามารถใชส้ ตู ร x = b ± b2 4ac 2a เอกลักษณแ์ ละอินเวอร์สของการบวกและการคูณ เอกลักษณก์ ารบวก คอื การทน่ี ำจำนวนใดจำนวนหนง่ึ มาบวกกบั เอกลกั ษณก์ ารบวก แลว้ จะมคี า่ เทา่ กบั จำนวนเดมิ ซึ่งเอกลกั ษณก์ ารบวกของจำนวนจรงิ คือ 0 เอกลักษณก์ ารคณู คือ การท่ีนำจำนวนใดจำนวนหน่ึงมาคูณกับเอกลักษณ์การคูณแล้วจะมีค่าเท่ากับจำนวนเดิม ซง่ึ เอกลกั ษณก์ ารคูณของจำนวนจรงิ คือ 1 อนิ เวอร์สการบวก คือ การท่ีนำจำนวนใดจำนวนหน่ึงมาบวกกับอินเวอร์สการบวกแล้วจะมีค่าเท่ากับเอกลักษณ์ การบวก (ซ่งึ ในระบบจำนวนจริงคือ 0) ซง่ึ อนิ เวอรส์ การบวกของ a คือ – a อินเวอรส์ การคูณ คือ การท่ีนำจำนวนใดจำนวนหนึ่งมาคูณกับอินเวอร์สการคูณ แล้วจะมีค่าเท่ากับเอกลักษณ์ การคูณ (ซึง่ ในระบบจำนวนจรงิ คอื 1) ซง่ึ อนิ เวอร์สการบวกของ a คอื 1 หมายเหตุ 0 ไม่มอี ินเวอร์สการคูณ เพราะ 1 ไมม่ ีความหมาย a 0 ช่วง สำหรับจำนวนจรงิ a และ b ใดๆ ซงึ่ a < b 1. ช่วงเปิด (a, b ) = { x ⏐ a < x < b } 2. ช่วงปิด [ a, b ] = { x ⏐ a ≤ x ≤ b } 3. ชว่ งกึ่งปิดก่งึ เปดิ ( a, b ] = { x ⏐ a < x ≤ b } [ a, b ) = { x ⏐ a ≤ x < b } 4. ชว่ งกึ่งอนนั ต ์ ( a, ∞ ) = { x ⏐ x > a } [ a, ∞∞) = { x ⏐ x ≥ a } ( - ∞,∞ a ) = { x ⏐ x < a } ( - ∞, a ] = {x ⏐ x ≤ a } คณิตศาสตร์ O-NET 7

สมบัตขิ องอสมการ ให้ a, b, c, d เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ 1. ถา้ a < b และ b < c แล้ว a < c 2. ถ้า a < b แลว้ a + c < b + c 3. ถา้ a < b และ 3.1 c > 0 แล้ว ab < ac 3.2 c < 0 แลว้ ab > ac 4. ถา้ a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d 5. ถ้า 0 < a < b และ 0 < c < d แลว้ 0 < ac < bd 6. ถ้า 0 < a < b แล้ว 0 < 1 < 1 b a คา่ สัมบูรณ์และสมบตั ขิ องคา่ สัมบูรณ ์ ⏐a ⏐ = เมือ่ a ≥ 0 เม่อื a < 0 ข้อสงั เกต สำหรบั จำนวนจริง a ใดๆ 1. a2 =⏐a⏐ 2. ⏐a⏐≥ 0 3. ⏐a⏐=⏐-a⏐ 4. ⏐ab⏐=⏐a⏐⏐b⏐ 5. a = a ; b ≠ 0 6. ⏐a⏐2 = a2 b b 8. ⏐a – b⏐≥⏐a⏐-⏐b⏐ 7. ⏐a + b⏐≤⏐a⏐+⏐b⏐ 9. ถ้า a > 0 แล้ว 9.1 ⏐x⏐< a กต็ ่อเม่อื -a<x<a 9.2 ⏐x⏐≤ a ก็ต่อเมือ่ -a≤x≤a 9.3 ⏐x⏐> a ก็ตอ่ เมอ่ื x < -a หรือ x > a 9.4 ⏐x⏐≥ a กต็ อ่ เม่อื x ≤ - a หรือ x ≥ a การแกอ้ สมการทีแ่ ยกตวั ประกอบได ้ 1. จัดข้างใดขา้ งหน่งึ ของอสมการเป็น 0 2. จำนวนจริงท่ียกกำลังค่ีจะมีเคร่ืองหมายเหมือนเดิม และจำนวนจริงที่ยกกำลังคู่จะมีค่าเป็น 0 หรือบวกเท่าน้ัน จงึ สามารถพจิ ารณาอสมการทีแ่ ยกตัวประกอบแลว้ บางวงเลบ็ มีเลขยกกำลังได้ดังนี้ 2.1 ถา้ วงเล็บใดยกกำลงั ด้วยเลขคี่ ให้แก้อสมการเสมือนวา่ วงเลบ็ น้ันยกกำลงั หน่งึ 2.2 ถ้าวงเล็บใดยกกำลงั ด้วยเลขคู่ ใหต้ ัดวงเล็บน้นั ออกไปจากการพจิ ารณาก่อน แตเ่ มื่อได้คำตอบแล้ว จะต้อง พจิ ารณาอีกครงั้ ว่าวงเลบ็ ทต่ี ดั ออกไปกอ่ นน้ันมผี ลต่อเซตคำตอบหรอื ไม่ แล้วจงึ ปรบั คำตอบให้ถกู ต้อง 8 คณิตศาสตร์ O-NET

ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน ผลคูณคารท์ ีเซียน กำหนดให้ A และ B เปน็ เซตใดๆ ผลคูณคารท์ ีเซียน ของ A และ B คือ A x B = {( a, b ) | a ∈ A และ b ∈ B} ข้อสังเกต 1. n( A x B ) = n(A) x n(B) 2. โดยท่ัวไปแลว้ A x B ≠ B x A แต่ A = B เม่อื A = B หรอื A = ∅ หรอื B = ∅ ความสมั พันธ์ (relation : r) สำหรบั เซต A และ B ใดๆ ความสมั พันธ์จาก A ไป B คือ สบั เซตของ A x B และความสัมพันธ์ใน A หมายถึง ความสมั พนั ธ์ทเี่ ป็นสับเซตของ A x A ข้อสงั เกต 1. ถา้ A และ B เป็นเซตจำกดั แลว้ จำนวนความสัมพนั ธ์จาก A ไป B เทา่ กบั 2n(AxB) 2. ∅ เปน็ ความสัมพนั ธเ์ สมอ เพราะ ∅ เป็นสับเซตของทกุ เซต โดเมนและเรนจ ์ กำหนดให้ r เปน็ ความสัมพันธจ์ าก A ไป B 1. โดเมน ( Domain ) ของความสัมพันธ์ r คอื Dr = {x ∈ A | มี y ∈ B ทีท่ ำให้ ( x , y ) ∈ r} 2. เรนจ์ ( Range ) ของความสัมพนั ธ์ r คือ Rr = {y ∈ B | มี x ∈ A ท่ีทำให้ ( x , y ) ∈ r} หรอื โดเมน คือ สมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ และ เรนจ์คือ สมาชิกตัวหลังของความสัมพันธ์ ในกรณีที่ r เป็นความสมั พนั ธใ์ น R เงื่อนไขตา่ งๆ ทใ่ี ชใ้ นการพจิ ารณาโดเมนและเรนจ์ 1. ถ้าเจอ xจะไดว้ า่ x ≥ 0 และ x≥ 0 |AABx=จ|ะจไBcะดไว้ดโา่ ้วด่าBยท|≠ี่xc 2. ถ้าเจอ 0 0 จะได้ว่า A ≠ 0 และ B ≠ 0 3. ถ้าเจอ เปน็ ค่าคงตวั ทไี่ ม่เทา่ กับ 4. ถ้าเจอ | ≥ 0 และ x ∈ R 5. ถา้ เจอ จำนวนเตม็ บวกคู่ จะไดว้ ่า ≥จำนวนเตม็ บวกคู่ 0 ฟังกช์ นั เราจะเรียกความสัมพันธ์ r ว่าฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์นั้นไม่มี สมาชิกตำแหน่งแรกซ้ำกัน (หนา้ ซ้ำหลังซ้ำด้วย) ฟังกช์ ันเชิงเส้น คอื ฟงั ก์ชันทอี่ ยใู่ นรปู y = mx + b โดยท่ี a, b เปน็ จำนวนจรงิ โดยท่ี m คือ ความชันของเสน้ ตรง และ b คือระยะตดั แกน Y (Y – Intercept) ซ่งึ คา่ ของค่า m มีได้ท้ังหมด 4 แบบคือ 1. m > 0 2. m < 0 L L คณติ ศาสตร์ O-NET 9

3. m = 0 4. m หาคา่ ไมไ่ ด้ L ฟังกช์ ันกำลงั สอง คือ ฟงั ก์ชนั ที่อยูในรปู y = ax2 + bx + c โดยท่ี a, b, c เป็นจำนวนจรงิ และ a ≠ 0 (1) ถ้า a > 0 (2) ถ้า a < 0 แต่ฟังก์ชันกำลังสอง (ฟังก์ชันพาราโบลา) มีส่ิงท่ีน่าสนใจคือพาราโบลาจะมีจุดยอดซ่ึงจุดยอดนั้นจะให้ค่าได้ 2 ค่าคอื จดุ สูงสดุ และจดุ ตำ่ สุด ซ่ึงพจิ ารณาได้จากค่า a จากฟังก์ชนั ƒ (x) = ax2 + bx + c ซึ่งถา้ คา่ a เป็นบวก จะได้ว่า ฟงั ก์ชันกำลังสองนีใ้ ห้คา่ ต่ำสดุ แต่ถ้าคา่ a เปน็ ลบ จะไดว้ ่าฟงั กช์ ันกำลงั สองนีใ้ ห้คา่ สงู สุด ซึ่งค่าสูงสดุ หรอื ค่าตำ่ สดุ เกดิ ข้ึนท่ี x = - b และคา่ สงู สดุ หรอื คา่ ตำ่ สุดมคี า่ เท่ากับ 4ac - b2 2a 4a ฟงั ก์ชันเอกซโ์ พเนนเชยี ล คอื ฟงั กช์ ันทอี่ ย่ใู นรปู y = ax เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 (1) ถ้า a > 1 (2) ถา้ 0 < a < 1 Y y = ax y = ax Y (0, 1) X (0, 1) X 0 0 ลกั ษณะของกราฟ ลกั ษณะของกราฟ เปน็ ฟงั ก์ชนั เพ่ิม เปน็ ฟังกช์ นั ลด โดเมนคอื R เรนจค์ อื R+ โดเมนคอื R เรนจ์คือ R+ ฟงั กช์ ันค่าสัมบูรณ์ คือ ฟงั ก์ชันท่อี ยใู่ นรูป y =⏐x – a⏐+ c เมอื่ a, c เป็นจำนวนจริง แบบที่ 1 y =⏐x – h⏐ y y =⏐x + 1⏐ y =⏐x⏐ y =⏐x - 2⏐ -1 0 1 2 x 10 คณิตศาสตร์ O-NET

แบบที่ 2 y =⏐x⏐+ k Y y=⏐x⏐+ 2 y=⏐x⏐+ 1 2 y=⏐x⏐ 1 y=⏐x⏐- 1 X 0 1 ฟังกัชันข้ันบันได คือ ฟังก์ชันที่กราฟมีลักษณะคล้ายข้ันบันได กล่าวคือ ค่าของฟังก์ชันจะเป็นค่าคงตัวเป็นช่วงๆ มากกวา่ 2 ช่วงข้นึ ไป ตรโี กณมติ ิ 1 -2 อัตราสว่ นตรีโกณมิต ิ ถ้า a, b, c เป็นความยาวด้านทอี่ ยตู่ รงขา้ มมุม A, B, C ตามลำดับ เรยี กอัตราส่วน a , b , a วา่ อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ และเรยี กอัตราสว่ นเหล่าน้ดี ังน้ี c c b ใชส้ ัญลักษณ์ sin a เรียกวา่ ไซน์ของมมุ A A c b เรียกว่า โคไซนข์ องมมุ A ใชส้ ัญลักษณ์ cos A ca เรียกวา่ แทนเจนตข์ องมมุ A ใช้สญั ลกั ษณ์ tan A b นอกจากฟังก์ชัน sin, cos, tan แล้ว ยงั มฟี งั ก์ชันท่ีเปน็ เพ่ือนกันอกี 3 ฟังก์ชัน คือ cosec A= 1 sec A = 1 A cot A= 1 sin A cos tan A คณติ ศาสตร์ O-NET 11

อัตราส่วนตรโี กณของมมุ พน้ื ฐานทีค่ วรร ู้ 0 องศา 30 องศา 45 องศา 60 องศา 90 องศา sin 0 1 23 1 cos 1 0 tan 0 222 หาคา่ ไม่ได้ แนวระดบั 3 21 222 3 1 3 1 เอกลกั ษณ์พ้ืนฐาน 1 1. sin θ = 1 และ θ = cosec θ cosec sin θ 2. = 1 และ = 1 cos θ sec θ sec θ cos θ 3. tan θ = 1 และ cot θ = 1 cot θ tan θ 4. tan θ = sin θ และ cot θ = cos θ cos θ sin θ 5. sin (- θ) = - sin θ และ cosec (- θ ) = - cosec θ 6. cos (- θ) = cos θ และ sec (- θ ) = sec θ 7. tan ( - θ) = - tan θ และ cot (- θ ) = - cot θ 8. sin2 θ + cos2 θ = 1 9. 1 + tan2 θ = sec2 θ 10. 1 + cot2 θ = cosec2 θ π 11. 180 องศา = π เรเดียน และ 1 องศา = เรเดยี น 180 การประยุกตต์ รีโกณมิติ มมุ ก้มและมุมเงย เปน็ มุมท่ีเกิดจากแนวเส้นระดบั สายตากบั แนวเส้นจากตาไปวตั ถุ มมุ กม้ มุมเงย แนวระดบั 12 คณิตศาสตร์ O-NET

ลำดับ และอนุกรม ลำดบั คือ ค่าของฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก แบ่งตามจำนวนพจน์ได้เป็น 2 ประเภทคือ ลำดับจำกัด (คือ ลำดับทร่ี ้วู า่ จบทีพ่ จน์ท่ี n เชน่ 2, 5, 8, …, 3n – 1) และลำดับอนนั ต์ (คือลำดับทม่ี จี ำนวนพจนเ์ ป็นอนันต์ เชน่ 1, 4, 7, 10, …) ขอ้ ตกลง ในการเขียนลำดับ เรานิยมเขยี นเป็น a1, a2, a3, a4, …, an เรียก an ว่าพจนท์ ่ัวไป ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับซึ่งผลต่างของพจน์ที่อยู่ติดกัน (เอาพจน์หลังลบพจน์หน้า) มีค่าคงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว เรียกค่าคงตัวน้ีว่า ความแตกต่างร่วม ใช้สัญลักษณ์ d แทน ลำดับเลขคณิตซึ่งมีพจน์ท่ี 1 เป็น a1 และมีความแตกต่าง ร่วมเป็น d เขยี นไดด้ งั นี้ a1, a1, + d, a1, + 2d, a1 + 3d, …, a1 + (n -1)d โดยทพี่ จน์ที่ n ของลำดบั น้ีคอื an = a1 + (n-1)d หมายเหตุ การหาจำนวนพจนข์ องลำดับเลขคณิตคือ n = an -a1 +1 d ลำดบั เรขาคณติ คือ ลำดับซึ่งผลหารของพจน์หลังหารด้วยพจน์ที่อยู่ติดกัน มีค่าคงตัว สำหรับจำนวนเต็มบวก n ทกุ ตวั เรยี กคา่ คงตวั นวี้ ่า อัตราสว่ นร่วม ใช้สัญลักษณ์ r แทน ลำดบั เรขาคณิตซง่ึ มีพจนท์ ี่ 1 เป็น a1 และมอี ตั ราสว่ นร่วมเป็น r เขยี นไดด้ งั น ี้ a1, a1r, a1r2, a1r3, …a1rn-1 โดยท่พี จนท์ ่ี n ของลำดับนีค้ อื an = a1rn−1 ลำดบั ฮาร์โมนิก h2, h3, …, hn ≠ 0 กำหนดให้ h11, ,h21, h,3,1…,, เ1ป็นเลปำ็นดลบั ำฮดาับรเโ์ ลมขนคิกณโิตดยดทังนี่ h้ัน1, พจนท์ ั่วไปของลำดับฮารโ์ มนกิ คือ แลว้ hn an = 1 h1 h2 h3 hn a1 + (n-1)d อนกุ รม …, ให้ a1 , a2 , a3 , … , an เปน็ ลำดับจำกัด ถ้านำแต่ละพจนม์ าบวกกนั a1 + a2 + … + an เราจะเรยี กผลบวกดงั กล่าวว่า อSนn กุ=รaม1จ+ำกaัด2 +ถa้า3ส+มม…ต+ิใหa้ Snn แทนผลบวก พจน์แรกของอนกุ รม ดังนัน้ จะไดว้ ่า = n อนกุ รมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิต n เทอม เป็น = + (n-1)d จะได้ว่า ผลบวก อนุกรมเลขคณิตเป็นอนุกรมท่ีเกิดจากลำดับเลขคณิตท่ีมีพจน์ท่ี พจน์แรกของลำดับเลขคณติ เรยี กว่า .อ..น+ุกรaมn เ=ลข2nคณ[ 2ิตa1เข+ียน(แnทน-ด1้วย)d n an an a1 n Sn ซึง่ Sn = a1 + a2 + a3 + ] = n [ a1 + ] 2 อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมเรขาคณิตเป็นอนุกรมที่เกิดจากลำดับเรขาคณิตท่ีมีพจน์ท่ี n เป็น an = a1 r n-1 จะได้ว่าผลบวก n พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต เรียกวา่ อนกุ รมเรขาคณิต เขยี นแทนดว้ ย Sn ซ่งึ Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an = a1(1- r n) = a1(rn- 1) a1- anr 1- r r-1 คณติ ศาสตร์ O-NET 13

ความน่าจะเปน็ กฎเกณฑเ์ บือ้ งตน้ เกีย่ วกับการนบั เรยี กว่า หลกั มลู ฐานเก่ียวกับการนบั ( Fundamental Principle of Counting ) กฎข้อท่ี 1 ถ้ามีการทำงาน 2 อย่าง โดยท่ีทำงานอย่างแรกได้ k1 วิธี และแต่ละวิธีในการทำงาน อย่างแรกน้ัน มีวธิ ีทำงานอยา่ งท่ี 2 ได้ k2 วธิ ี ดงั นัน้ จะมจี ำนวนวิธที ำงานทง้ั สองอยา่ งต่อเน่อื งได้ท้ังหมด k1k2 วิธี ถ้ามีการทำงาน n อย่าง โดยท่ีทำงานอย่างแรกได้ k1 วิธี และแต่ละวิธีในการทำงาน อย่างแรกน้ัน มีวิธีทำงานอย่างที่ 2 ได้ k2 วิธีและแต่ละวิธีในการทำงานอย่างแรก และ การทำงานอย่างท่ี 2 กฎข้อท่ี 2 จะทำงานอย่างท่ี 3 ได้ k3วิธี เชน่ นไี้ ปเร่อื ยๆ ไปจนถงึ งาน อย่างที่ n ซง่ึ มวี ิธี ทำได้ kn วธิ ี ดังน้นั จะมี จำนวนวธิ ีทำงานทั้งสองอย่างต่อเนอื่ งได้ท้งั หมด k1 k2 ... kn วิธี หลักการลบ หลักการลบ = จำนวนวิธีท้ังหมด – จำนวนวิธีทเ่ี ราไมต่ อ้ งการ ส่มุ หยบิ ลูกบอลข้นึ มาจากกลอ่ งครัง้ ละ 1 ลูก (แล้วไม่ใสค่ นื ) จำนวน 3 คร้งั แซมเปิลสเปซ (S) แซมเปิลสเปซคือเซตของผลลัพธ์ท้ังหมดที่อาจเกิดข้ึนได้จากการทดลองสุ่มและเป็นส่ิงท่ีเราสนใจ เรานิยมใช้ สัญลกั ษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ ความนา่ จะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เขยี นแทนด้วย P(E) ซ่ึง P(E) = nn((ES))= เหตุการณท์ ่ีเราสนใจ เหตกุ ารณท์ งั้ หมดทเี่ กดิ ขน้ึ ได้ ซึง่ มคี ุณสมบตั ดิ ังนี้ 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(Eʹ′ ) = 1 – P(E) สถติ ิ การแจกแจงความถ่ ี 1. ความถี่ (frequency) คือ จำนวนครงั้ ที่คา่ จากการสงั เกตปรากฏในข้อมูล เขยี นแทนด้วย f 2. ส่ิงท่ีเกี่ยวข้องกบั ตารางแจกแจงความถี่ ขอบลา่ ง = 1 (คา่ นอ้ ยท่สี ุดของชั้นนน้ั + คา่ มากท่สี ุดของชนั้ ท่อี ยตู่ ำ่ กว่า 1 ช้นั ) 2 1 ขอบบน = 2 (ค่ามากทีส่ ดุ ของชน้ั น้นั + คา่ นอ้ ยท่สี ุดของช้ันทีอ่ ยู่สงู กว่า 1 ชัน้ ) จุดก่งึ กลางช้ัน = ขอบล่าง 2+ ขอบบน ความกว้างของอนั ตรภาคชั้น = ขอบบน - ขอบลา่ ง 3. ความถี่สะสม คือ ผลรวมความถ่ีของอันตรภาคชั้นน้ันกับความถ่ีของอันตรภาคช้ันท่ีมีช่วงคะแนนต่ำกว่า ทง้ั หมดหรือสงู กวา่ ท้ังหมด นยิ มเขียนแทนดว้ ย F 14 คณิตศาสตร์ O-NET

4. ความถ่สี ัมพัทธ์ = ความถีข่ องอนั ตรภาคช้ันนัน้ = ผลรวมความถท่ี ั้งหมด ซง่ึ จะไดว้ า่ ความถีส่ ะสมในอนั ตรภาคชน้ั สดุ ทา้ ยจะเท่ากบั จำนวนขอ้ มลู ทง้ั หมดนน่ั เอง 5. ร้อยละของความถ่ีสมั พทั ธ์ = x 100 6. ความถี่สะสมสมั พัทธ์ = ความถี่สะสมของอันตรภาคชนั้ น้นั = ผลรวมความถ่ที งั้ หมด ซงึ่ จะไดว้ า่ ความถสี่ ะสมชัน้ สดุ ทา้ ยของอนั ตรภาคช้นั จะมีคา่ เท่ากับ 1 เสมอ 7. ร้อยละของความถี่สะสมสัมพทั ธ์ = x 100 8. ขีดจำกัดบนและขีดจำกัดลา่ ง คอื ค่าทมี่ ากที่สุดและนอ้ ยทีส่ ุดในอันตรภาคชน้ั นน้ั 1 (ขีดจำกดั บน + ขีดจำกัดล่าง) = 9. จดุ กง่ึ กลางชัน้ = 1 (ขอบบน + ขอบล่าง) 2 2 10. ขีดจำกัดบน คือ ค่าท่ีมากที่สดุ ของอนั ตรภาคชน้ั นนั้ ๆ 11. ขีดจำกัดลา่ ง คอื ค่าท่ีน้อยท่สี ุดของอนั ตรภาคช้นั น้ันๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (ใช้สญั ลกั ษณ์ x หรอื μ) แบบที่ 1 ขอ้ มลู ไมแ่ จกแจงความถี่ ถา้ เรามีข้อมลู x1, x2, x3, …, xn (ทงั้ หมด n จำนวน) แล้วค่าเฉลีย่ เลขคณติ คือ x = x1 + x2 + x3 + … + xn = n แบบที่ 2 ค่าเฉล่ียเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แต่ไม่เป็นอันตรภาคชั้นในกรณีที่ข้อมูลท่ีเราเก็บมาได้มีข้อมูล ที่ซ้ำๆ กันเป็นจำนวนมาก เรานิยมท่ีจะนำเสนอ ในรูปแบบตารางที่ประกอบด้วยค่าที่เราสังเกต (x) และความถี่ของ ข้อมูล (f ) ซ่ึงจะได้ว่าคา่ เฉลีย่ เลขคณติ คือ x = f1 x1 + f2 x2 + f3 x3 +…+ fn xn = f1 + f2 + f3 + … + fn แบบที่ 3 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลท่แี จกแจงความถ่ีเป็นอันตรภาคชนั้ จะไดว้ า่ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตคือ x = A + I เมื่อ A = จุดก่ึงกลางชน้ั ของชัน้ ท่ีมีความถี่มากทส่ี ุด I = ความกว้างอันตรภาคชั้น d = xi - A ซึ่งจะได้ว่า d จะเปน็ จำนวนเตม็ เสมอ I xi คอื จุดกง่ึ กลางชั้นของแต่ละชนั้ หมายเหตุ วิธนี ใี้ ชไ้ ดเ้ ฉพาะกรณีท่คี วามกว้างอนั ตรภาคชัน้ เท่ากัน แบบท่ี 4 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม ในบางกรณที ่ีเราต้องการหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ รวมของข้อมลู หลายๆ ชุดเราไมจ่ ำเปน็ ทจ่ี ะตอ้ งมารวม ข้อมลู ทง้ั หมดใหม่ แลว้ หาค่าเฉลยี่ เลขคณิตอกี คร้ัง เราสามารถหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ รวมไดจ้ าก x รวม = n1 x1 + n2 x 2 +…+ nk xk n1 + n2 +… + nk คณิตศาสตร์ O-NET 15

แบบท่ี 5 ค่าเฉล่ยี เลขคณติ แบบถว่ งนำ้ หนกั ค่าเฉลย่ี ของข้อมลู ที่ได้จากการคำนวณโดยใหน้ ้ำหนักของค่าแต่ละคา่ ในขอ้ มูลนัน้ ต่างกัน เรยี กวา่ คา่ เฉลีย่ เลขคณติ แบบถ่วงน้ำหนัก ซงึ่ ถ้าขอ้ มูลท่เี รามเี ป็น x1, x2, x3, …, xn และแตล่ ะค่ามี ค่าถ่วงนำ้ หนักเป็น w1, w2, w3, …, wn แลว้ คา่ เฉลยี่ เลขคณิตแบบถว่ งน้ำหนกั หาได้จาก สมบตั ขิ องคา่ เฉล่ยี เลขคณิต x= w1 x1 + w2 x2 + w3 x3 +… + wn xn w1 + w2 + w3 +… + wn 1. xmin ≤ x ≤ xmax 2. ถ้าเรามขี อ้ มลู x1, x2, x3, …, xn มีคา่ เฉลยี่ เลขคณติ เป็น x และมีขอ้ มูลชดุ Y ซ่งึ สัมพนั ธ์กบั ขอ้ มลู ชุด x เปน็ ไปดังสมการ Y = aX + b แล้วจะไดว้ า่ Y = ax+ b มัธยฐาน (Median : Med) คือ คา่ สถติ ิของขอ้ มลู ทอี่ ย่ตู รงกลางของขอ้ มลู ทงั้ หมด ข้นั ตอนการหาคา่ มธั ยฐาน 1. หตห้อาาคตงเา่ำรขแียหองงนขม้อง่ ัธขมยอูลฐงจามานัธกจยนาฐ้อกายตนไำปซแมห่ึงานตก่งำกแ่อหนน*่ง*มสธั ำยคฐัญานมเาทกา่ กถับ้าไมn่ท+2ำจ1ะผดิ อย่างมหันต์** 2. 3. ** ในกรณที ่ีตำแหนง่ ของมธั ยฐานไมล่ งตวั เชน่ ตำแหนง่ มัธยฐานเทา่ กบั 5.5 จะไดว้ ่าคา่ มัธยฐานเท่ากับ คา่ ในตำแหน่งท่ี 5 + คา่ ในตำแหน่งที่ 6 ฐานนยิ ม (Mode) เปน็ คา่ ของขอ้ มลู ท่ีมคี วามถ่ีมากที่สดุ 2 ควอรไ์ ทล์ (Qk) เปน็ คา่ ท่ีแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆ กัน เมอ่ื ขอ้ มลู เรียงจากคา่ นอ้ ยไปหาค่ามาก 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 10% เดไซล์ (Dk) เป็นคา่ ทแ่ี บ่งข้อมูลออกเป็น 10 ส่วนเทา่ ๆ กนั เม่ือขอ้ มูลเรียงจากคา่ น้อยไปหาค่ามาก 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 เปอรเ์ ซน็ ไทล์ (Pk) เปน็ ค่าทีแ่ บ่งข้อมูลออกเปน็ 100 ส่วนเท่าๆกนั เม่อื ข้อมูลเรยี งจากคา่ น้อยไปหาค่ามาก 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% P1 P2 P3 P50 P96 P97 P98 P99 ข้ันตอนการหาค่าควอรไ์ ทล์ เดไซล์ เปอรเ์ ซ็นไทล์ 1. ต้องเรียงขอ้ มูลจากน้อยไปมากก่อน ** สำคัญมาก** 2. หาตำแหนง่ ของควอร์ไทล์ เดไซล์ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ ซ่ึง ตำแหน่งควอรไ์ ทลเ์ ทา่ กับ k(n + 1) 4 ตำแหน่งเดไซลเ์ ท่ากับ k(n + 1) 10 ตำแหน่งเปอรเ์ ซ็นไทลเ์ ท่ากบั k(n + 1) 100 3. หาคา่ ของควอร์ไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์ จากตำแหนง่ ** ในกรณที ีต่ ำแหนง่ ของควอร์ไทล์ เดไซล์ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ ไมล่ งตัวให้เทยี บบญั ญตั ไิ ตรยางค์ 16 คณติ ศาสตร์ O-NET

การวดั การกระจายของข้อมูล การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ เปน็ การวดั การกระจายของขอ้ มลู เพยี งชดุ เดยี ว เพอื่ ดวู า่ คา่ ของขอ้ มลู มคี วามแตกตา่ งกนั มากน้อยเพยี งใด ซึ่งในการวดั การกระจายนีจ้ ะมที น่ี ยิ มอยู่ 2 คา่ คือ 1. พสิ ัย = xmax −xmin (สำหรบั ขอ้ มูลทไี่ มเ่ ป็นอนั ตรภาคชน้ั ) 2. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน (ใช้สญั ลักษณ์ S.D. หรือ σ) S.D. = หรอื S.D. = (สำหรบั ขอ้ มูลทีไ่ ม่เปน็ อนั ตรภาคช้ัน) สมบัติของส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกว่าหรอื เทา่ กบั 0 เสมอ และมีหนว่ ยเดียวกับค่าของข้อมูล 2. ถ้าคำนวณส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานโดยใช้คา่ กลางของขอ้ มูลอ่นื (มธั ยฐานหรือฐานนยิ ม) แทนที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คา่ ของสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานทไ่ี ดจ้ ะมีค่ามากกว่าสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานท่ีใช้คา่ เฉลีย่ เลขคณติ คิดเสมอ 3. กำลงั 2 ของสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเรียกว่า ความแปรปรวน ซ่งึ ไม่มหี นว่ ย 4. ข้อมูลโดยทั่วไปหากไม่มีการรบกวนทางด้านวิทยาศาสตร์ ด้านการแพทย์ หรือ ด้านเทคโนโลยีแล้ว ข้อมูล ส่วนใหญ่จะอยใู่ นชว่ ง (x − 2s, x + 2s) อยู่ร้อยละ 95 เราจงึ เรียกวา่ 95% Rule ซึ่งจะไดค้ วามสัมพนั ธ์อกี วา่ “ 4 เท่าของสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากบั พสิ ัย” ความสมั พันธร์ ะหว่างการแจกแจงความถี่ คา่ กลางของขอ้ มลู และการกระจายของข้อมลู ลกั ษณะของการกระจายของขอ้ มูลอาจแบ่งได้ 3 ลักษณะ ดงั นี้ 1. การกระจายแบบปกติ เปน็ การกระจายที่ ค่าเฉลยี่ เลขคณติ = มัธยฐาน = ฐานนยิ ม 2. การกระจายแบบเบข้ วา เป็นการกระจายที่ ฐานนิยม < มัธยฐาน < คา่ เฉลย่ี เลขคณิต 3. การกระจายแบบเบ้ซา้ ย เป็นการกระจายท่ี คา่ เฉลีย่ เลขคณติ < มธั ยฐาน < ฐานนยิ ม ff f ค่าเฉลย่ี เลขคณิต x ฐานนิยม x ฐานนิยม x มธั ยฐาน มัธยฐาน ฐานนิยม มธั ยฐาน คา่ เฉลยี่ เลขคณติ คา่ เฉลยี่ เลขคณติ แผนภาพกล่อง (Box – Plot) นอกจากการวัดการกระจายโดยใช้พิสัยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้ว เรายังสามารถใช้ความรู้เรื่องควอร์ไทล์และ การสร้างแผนภาพท่เี รียกวา่ แผนภาพกลอ่ ง (Box – Plot) มาชว่ ยในการอธิบายเร่อื งการกระจายขอ้ มูลได้อกี หนึง่ วธิ ี ตัวอย่างของแผนภาพกลอ่ ง Q1 Q2 Q3 0 2 4 6 8 10 12 14 จากตัวอยา่ งแผนภาพกลอ่ งจะไดว้ า่ 1. ข้อมูลทนี่ ้อยท่สี ดุ เทา่ กับ 0, ข้อมลู ท่ีมากท่สี ดุ เท่ากับ 14 2. ควอรไ์ ทลท์ ่ี 1 เทา่ กับ 3, ควอร์ไทล์ที่ 2 เทา่ กับ 5, ควอรไ์ ทลท์ ี่ 3 เทา่ กับ 6 3. Q2 อยู่ห่างจาก Q1 มากกวา่ ระยะหา่ งระหวา่ ง Q3 กับ Q2 แสดงว่า ระหว่าง Q1 กับ Q2 มีการกระจายมากกว่า ระหว่าง Q2 กบั Q3 คณติ ศาสตร์ O-NET 17

เซต (SET) ความรู้พนื้ ฐาน 1. ใหเ้ ซต และ A = {1, 2, 3, {1, 2, 3}} และ B = {1, 2, {1, 2,}} ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูก 1. A∩B = {{1, 2}} 2. A∪ B = {{1, 2}, {1, 2, 3}} 3. A- B = {{1, 2, 3,}3,} 4. B - A = φ 2. ให้ U = {2, 3, 4, …, 10} A = {2, 4, 6} B = {3, 4, 5, 6, 7,} C = {3, 5, 7, 9} แล้ว (A - C)ʹ ∩ B คือข้อใดต่อไปน้ี (Ent 43 มนี าฯ) 1. {4, 6} 2. {3, 5, 7} 3. {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 4. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} 3. กำหนดให้ E = {{φ}, {{φ}}} ขอ้ ความใดตอ่ ไปน้ีผิด (ม. เชยี งใหม่) 1. φ⊂ E 2. {φ}∈ E 3. {φ}⊂ E 4. {{φ}}⊂ E 4. กำหนดให้ A = {a, b, c, {a, b}, {c}}ขอ้ ความใดตอ่ ไปนีผ้ ิด (สมาคมปี 36) 1. {a, b} ∈ A 2. {a, b}⊂ A 3. {a}⊂ A 4. {a} ∈ A 5. กำหนด A = {2, {4, 6}}ข้อความใดต่อไป นี้ถกู (ม. เชียงใหม่) 1. P(A) = {φ, 2, {4, 6} , {2, {4, 6}}} 2. P(A) = {φ, {2}, {4, 6}, {2, {4, 6}}} 3. P(A) = {φ, 2, {{4, 6}}, {2, {4, 6}}} 4. P(A) = {φ, {2}, {{4, 6}}, {2, {4, 6}}} 6. กำหนดให้ A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4}และ P(X) แทนเพาเวอร์เซตของเซต X พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ ก. {1, 2} ∈ P (A∩B) ข. P (A - B) = P (A) - P (B) ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูก (Ent 44 มีนาฯ) 1. ก ถูก และ ข ถกู 2. ก ถกู และ ข ผดิ 3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด 18 คณติ ศาสตร์ O-NET

7. จงพิจารณาข้อความต่อไปน ้ี (ก) ถ้า A = {x⏐x ∈ R และ 2x4 + x2 – x – 2 = 0} แล้ว {{1}}∈ P ( P ( A ) ) (ข) ถ้า B = {0, x {0}} แล้ว P (B) - B มสี มาชิก 2 ตัว ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง (สมาคมฯ ปี 43) 1. ข้อ (ก) และ (ข) เปน็ จริง 2. ขอ้ (ก) เทา่ น้นั เปน็ จรงิ 3. ข้อ (ข) เทา่ นั้นเป็นจริง 4. ข้อ (ก) และ (ข) เปน็ เทจ็ 8. ถ้า A – B = {2, 4, 6}, B – A = {0, 1, 3} และ A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว้ A ∩ B เป็น สับเซตของเซตในขอ้ ใดต่อไปน ้ี 1. {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2. {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3. {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4. {0, 2, 4, 5, 6, 8} 9. กำหนดให้ A, B, C เป็นเซต โดยท ี่ A∩B = {6, 8} A∪B = {4, 6, 7, 8, 9} A∩C = {6, 7} A∪B = {4, 5, 6, 7, 8} B - C คือเซตในข้อใดต่อไปนี้ (Ent 47 มีนาฯ) 1. {8} 2. {9} 3. {8, 9} 4. {4, 8} การหาสมาชิก 10. นักเรียนกล่มุ หน่ึงจำนวน 46 คน แตล่ ะคนมีเสอ้ื สเี หลอื งหรอื เส้อื สีฟ้าอย่างนอ้ ยสลี ะหนึง่ ตัว ถ้านักเรยี น 39 คน มเี สื้อ สีเหลือง และ 19 คนมีเสื้อสีฟ้า แล้วนักเรียนกลุ่มนี้ท่ีมีทั้งเสื้อสีเหลืองและเสื้อสีฟ้ามีจำนวนเท่ากับข้อใดต่อไปน ี้ (Ent 50 มนี าฯ) 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 11. กำหนดให้ A และ B เปน็ เซต ซึ่ง n(A∪B) = 88 และ n[(A-B) ∪ (B-A)] = 76 ถา้ n(A) = 45 แล้ว n(B) เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (Ent 50 มีนาฯ) 1. 45 2. 48 3. 53 4. 55 12. กำหนดใหเ้ อกภพสมั พทั ธ์คอื เซต U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A, B, C เปน็ เซต ซง่ึ มเี งื่อนไขวา่ n(A) = n(B) = n(C) = 3 และ n(A ∩ B) = n(B∩ C) n(A ∩C) = 2 ถ้า A ∪ B∪C = U แล้ว ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ผิด (Ent 45 มีนาฯ) 1. n(A ∪B) = 4 2. n(A ∪(B∩ C)) = 3 3. n(A ∩(B∪C) = 2 4. n(A ∩ B∩ C) = 1 13 สำหรบั เซต X ใดๆ ให้ n(X) แทนจำนวนสมาชกิ ของเซต X กำหนดให้ U เปน็ เอกภพสัมพัทธท์ ่ีมสี มาชิก 240 ตัว และ A, B, C เป็นเซตท่ีมสี มบตั ิดงั นี้ n(A) = 5x, n(B) = 5x, n(C) = 4 x n(A ∩ B) = n(B∩ C) = n(A ∩ C) = y n(A ∩ B ∩ C) = x, n[(A∪B∪C)ʹ] = 60 ถ้า y - x = 20 แลว้ x เปน็ จริงตามข้อใดตอ่ ไปนี้ (Ent 47 มีนาฯ) 1. 18 ≤ x < 21 2. 21 ≤ x < 24 3. 24 ≤ x < 27 4. 27 ≤ x < 30 คณิตศาสตร์ O-NET 19

ลำดบั และอนุกรม (SEQUENCE & SERIES) เรขาคณิต 1. ลำดบั ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี เปน็ ลำดับเรขาคณติ (Ent 50 มนี าฯ) 1. 2. an = 2n + 4n 3. an = 2n · 32n 4. an = (2n)n an = 3n2 2. ให้ x, y, z, w เป็นพจน์ 4 พจนเ์ รียงกนั ในลำดับเรขาคณิต โดยท่ี x เปน็ พจนแ์ รก ถา้ y + z = 6 และ z + w = -12 จงหาค่าสมั บูรณข์ องพจน์ที่ 5 ของลำดับน ี้ 3. ให้ an เป็นพจนท์ ี่ n ของลำดบั เรขาคณติ โดยมี r เป็นอตั ราสว่ นร่วม a1 a2 a3 a+3 a4 +… an ถา้ a1 + a2 + a2 + a3 + + an + an+1 = 2n แล้ว r คอื ข้อใด 1. -12 2. 1 3. -2 2 4. 2 4. ถ้า a เปน็ จำนวนจริงลบ และ a20 + 2a – 3 = 0 แล้ว 1 + a + a2 +…+ a19 มคี า่ เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี (Ent 49 มีนาฯ) 1. -2 2. -3 3. -4 4. -5 เลขคณติ 5. ถ้า a1, a2, a3 , a4 เป็นลำดับเลขคณติ ซ่งึ ผลตา่ งรว่ มเป็นจำนวนจริงบวก และพจน์ท่มี ีคา่ มากทสี่ ดุ เท่ากบั 110 และ ผลบวกของท้งั 4 พจนม์ ีค่าเทา่ กบั 116 จงหาพจน์ท่ัวไปของลำดับน้ ี 6. ถา้ a1, a2, a3, … เปน็ ลำดบั เลขคณิต ซง่ึ a30 – a10 = 30 แลว้ ผลตา่ งร่วมของลำดับเลขคณติ นม้ี ีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใด ต่อไปนี้ (Ent 50 มีนาฯ) 1. 1.25 2. 1.5 3. 1.75 4. 2.0 20 คณติ ศาสตร์ O-NET

7. จำนวนสมาชิกในเซต {100, 101, 102, … , 600} ซงึ่ หารดว้ ย 8 หรือ 12 ลงตวั เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี ้ 1. 84 2. 92 3. 100 4. 125 8. กำหนดให้ a, b, c เป็น 3 พจนเ์ รียงตดิ กันในลำดบั เรขาคณติ และมีผลคณู เป็น 27 ถา้ a, b + 3, c + 2 เปน็ 3 พจน ์ เรยี งตดิ กันในลำดับเลขคณติ แล้ว a + b + c มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด (Ent 44 มีนาฯ) 9. ผลบวก 10 พจนแ์ รกอนกุ รมเลขคณิตอนุกรมหนง่ึ เท่ากบั 430 ถ้าพจน์ท่ี 10 ของอนุกรมนค้ี ือ 79 แล้วผลบวก 3 พจน์ แรกมคี ่าเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี ้ 1. 44 2. 45 3. 46 4. 47 ทา้ ประลอง 10. ให้ a เปน็ จำนวนจริง ถา้ พจน์ที่ m คอื แลว้ ผลบวก m พจนแ์ รกของอนกุ รมน้มี ี กำหนดพจนท์ ่ี n ของอนุกรมคอื 2. คา่ เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี (Ent 42 ตลุ าฯ) 4. 1. 3. จำนวนจรงิ (REAL NUMBER) แกส้ มการ 1. จงหาคา่ x ของสมการ 2x2 -14x + 24 = 0 (โควตา’ มช.) 2. ถ้า x = – 1 เปน็ รากของสมการ แล้ว รากอีกรากหน่ึงของสมการนมี้ คี ่าเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี (Ent 50 มนี าฯ) 2 1. -5 2. -51 3. 1 4. 5 5 คณิตศาสตร์ O-NET 21

แก้อสมการ 3. ถา้ A {x⏐x(x+1) ≥0}, B = {x⏐x2(x+1) ≥ 0}และ C = {x⏐x(x+1)2 ≥ 0} แล้ว A- (B∩ C) = ............................................. (โควตา’ มช.) 4. เซตคำตอบของอสมการ x 1 < 2 เทา่ กับข้อใด (โควตา’ มช.) + 1 3x - 1 1. {x⏐x< -1} 2. {x⏐x< 3} 3. x⏐ 1 < x < 3 4. {x⏐x < -1}∪ x⏐ 1 < x < 3 3 3 5. เซตใดตอ่ ไปนเี้ ปน็ เซตอนันต์ (Ent 41) 1. {x⏐⏐x⏐= x -5} 2. {x⏐⏐x⏐= x + 5} 3. {x⏐x2 -2⏐x⏐-3 = 0} 4. 6. กำหนดให้ A{x⏐x2 -3x + 1 ≥ 0} และ B = {x⏐⏐2x -5| ≤ 2} ถา้ A ∩ B = [a, b] แลว้ a + b มีคา่ เทา่ กับข้อใด ตอ่ ไปน้ี (Ent 47 ตุลาฯ) 1. 2. 3. 4. 10 + 5 2 7. กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจรงิ ซ่ึง a > 0 ถ้าเซตคำตอบของอสมการ⎟ ax + b⎟ < 9 คือช่วงเปิด แลว้ a + b เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ (Ent 48 มนี าฯ) 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 ทา้ ประลอง 8. ให้ f(x) = 2 x + 2 และ g (x) = ถา้ {x⏐f (x) ≤ g(x)} เท่ากบั ชว่ งปดิ [a, b] แลว้ a+b มีคา่ เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. -2 2. - 58 3. -1 4. 0 9. จำนวนเตม็ ที่เปน็ คำตอบของสมการ ≤ 0 มจี ำนวนทง้ั หมดกี่ตวั (โควตา’ มอ.) 22 คณิตศาสตร์ O-NET

เลขยกกำลงั (EXPONENTIAL) พ้ืนฐาน 1. มคี ่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (Ent 50 มีนาฯ) 1. - 32 2. - 24 3. - 32 - 16 2 4. - 24 - 16 2 2. มคี ่าเทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ (Ent 50 มีนาฯ) 1. 2 2. 3 3 2 3. 2 4. 3 3. รปู อยา่ งง่ายและมีดัชนีเป็นบวกของคา่ ต่อไปนี้เป็นเท่าใด 2 ! 22n +3 \" 24 ! 22(n \"1) ! (Ent 20) 10(2n )2 1. 8 -32n 2. 4 5 � 4. 25 , 2 2n . 5 2 2n 2 2n 3. 1 2 n2 4. ถา้ x = 6 + 3 และ y = แลว้ ค่าของ x2 - 4 xy + y2 จะมคี ่าเทา่ กับ (Ent 20) 63 แก้สมการ 5. เซตคำตอบของสมการ คือเซตใด 1. { 121 } 2. {-123 } 3. { -121 , 123 } 4. φ คณติ ศาสตร์ O-NET 23

6. ถา้ x เป็นรากของสมการ 23x!1 • 6x • 255x!1 = 75x !แล้ว x มีค่าเท่ากับเทา่ ใด (Ent 43 มีนา) � 7. ผลบวกของคำตอบของสมการ 2x+2 + 22-x -17 = 0 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (ดัดแปลงจาก Ent 47 ตุลาฯ) 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 8. พิจารณาขอ้ ความต่อไปน ้ี ก. ถ้า ( 3 + )x 3! 2 !แล้ว 2x < 3x ! ข. ถา้ 2x ! 22!x ! 3 = 0!แล้ว x + 1 = 3! 2= ข้อใดต่อไปนี้ถกู (ดัดแปลงจาก Ent 47 มนี าฯ) 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผดิ � 3. ก. ผดิ และ ข. ถกู � � 4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ � แก้อสมการ 9. เซตคำตอบของอสมการ 4(2x2 !4x!5) \" 1 ! คือเซตในข้อใดตอ่ ไปนี้ (Ent 50 มีนาฯ) 32 1. 2. 3. � 4. 10. เซตคำตอบของอสมการ #!\" 1 &$% x2 + 2x + 8 #\"! 1 $&% x +12 เทา่ กบั เซตคำตอบของอสมการในข้อใดต่อไปนี้ (ดดั แปลงจากEnt 45) 2 4 > ! 1. [-4, 4] 2. [-3, 3] 3. [-2, 2] � 4. [-1, 1] ทา้ ประลอง 11. กำหนด A เป็นเซตคำตอบของสมการ 6(4x) !13(6x) + 6(9x) = 0 ! Aเปน็ สบั เซตของเซตในขอ้ ใด (สมาคมฯ ปี 34) 1. [-3, -2] � 2. [0, 3] 3. -2, 3 4. - 1 , 2 2 2 12. กำหนดให้ 2x ! 2 \" 3y = 2! และ 2 ! 2x \" 3! 3y = 5! ถ้าระบบสมการข้างบนนี้มีคำตอบแล้ว คา่ ของ x เท่ากับขอ้ ใด ต่อไปนี้ (Ent 41 ตลุ าฯ) �� 24 คณิตศาสตร์ O-NET

ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชนั (RELATION & FUNCTION) พื้นฐาน 1. กำหนดเซต A, B, C ดังน้ี A = {4, 5, 6, 7}, B = {4, 6, 8}, C = {3, 6, 9} พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. (6, 6) เป็นสมาชกิ ของ [(A∩B) x C] แ ล ะ A x (B∩C) ข. (5, 9) เป็นสมาชกิ ของ [(A-B) x C] ห รื อ A x (B-C) ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี กู ตอ้ ง (Ent 45 มนี าฯ) 1. ก. ถูก และ ข. ถกู 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผดิ และ ข. ผิด 2. ถ้า A = {1, 2, 3, 4}, และ r = {(m, n) ∈ A x A ⎟ m ≤ n} แล้ว จำนวนสมาชกิ ในความสัมพันธ์ r เท่ากบั ข้อใด ตอ่ ไปนี้ (Ent 50 มนี าฯ) 1. 8 2. 10 3. 12 4. 16 3. กำหนดให้ A = {a,b,c} และ B = {0,1} ฟังกช์ ันในข้อใดตอ่ ไปนี้ เป็นฟังก์ชนั จาก B ไป A (Ent 49 มีนาฯ) 1. {(a,1),(b,0),(c,1)} 2. {(0,b),(1,a),(1,c)} 3. {(b,1),(c,0)} 4. {(0,c),(1,b)} 4. กำหนดให้ r = {(a,b)⎟a ∈ A, b ∈ B และ b หารดว้ ย a ลงตวั } ถา้ A = {2, 3, 5} แลว้ ความสัมพนั ธ์ r จะเป็น ฟงั ก์ชนั เมือ่ B เท่ากบั เซตใดตอ่ ไปนี้ (Ent 50 มนี าฯ) 1. {3, 4, 10} 2. {2, 3, 15,} 3. {0, 3, 10} 4. {4, 5, 9} 5. ให้ A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} ฟงั กช์ ัน 1-1 จาก A ไปบน B คอื (Ent 20) 1. {(1, 3), (2, 4), (3, 3)} 2. {(2, 2), (3, 3), (4, 1)} 3. {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} 4. {(1, 2), (3, 3), (2, 3)} 5. ไมม่ คี ำตอบที่ถกู ต้องในขอ้ 1. ถงึ ข้อ 4. คณิตศาสตร์ O-NET 25

6. ความสัมพันธท์ มี่ กี ราฟต่อไปนี้ ข้อใดเปน็ ฟงั กช์ ัน 2. 4. 1. 3. 7. ความสมั พันธท์ ี่มกี ราฟต่อไปนี้ ข้อใดเปน็ ฟงั ก์ชนั หน่ึงตอ่ หนึ่ง การหาคา่ f(x) 8. กำหนดฟงั กช์ ัน ดังนี้ f = {(1-1,2), (3, 4), (2, 7), (-2, 9)} จงหา f(f(-1)) 1. 3 2. 5 3. 7 4. 9 ถา้ x < 0 9. กำหนดให้ f (x) = ถ้า x ≥ 0 คือของ f (!3) + f (0) !คอื ข้อใด (โควตา้ มอ.) 1. 5 2. 7 3. 11 4. 21 � 10. กำหนดให้ f (3x !1) = 4 x2 + 3x !1!แล้ว f(2) มคี ่าเท่าใด 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 � 11. ถา้ g(x !1) = x2 + 2!แล้ว g(x) !เท่ากบั ขอ้ ใด (สมาคมฯ ปี 34) 1. x2 - 2x + 3 2. x2 + 2x + 3 3. x2 - 3x + 2 4. x2 + 2 �� 26 คณติ ศาสตร์ O-NET

ชนดิ ของฟงั กช์ นั 12. กำหนดให้ f(x) = -x2 + 4x – 10 ข้อความในขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ ูกต้อง (Ent 49 มนี าฯ) 1. f มีคา่ ตำ่ สดุ เทา่ กบั -6 2. f ไม่มคี ่าสงู สดุ 3. f มีค่าสงู สุดเท่ากบั 6 4. f ( 9 ) < -6 2 13. ถ้ากราฟของ y = x2 ! 2x ! 8!ตดั แกน X ทีจ่ ุด A, B และมี C เป็นจุดวกกลับแลว้ รูปสามเหลี่ยม ABC มพี นื้ ท่ี เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (Ent 50 มีนาฯ) 1. 21 ตารางหนว่ ย 2. 24 ตารางหน่วย 3. �27 ตารางหน่วย 4. 30 ตารางหนว่ ย 14. พาราโบลารูปหน่งึ มีเสน้ สมมาตรขนานกบั แกน Y และมีจดุ สูงสุดอยูท่ ี่จดุ (a, b) ถา้ พาราโบลารปู นตี้ ัดแกน X ทจี่ ดุ (-1, 0) และ (5, 0) แลว้ a มคี า่ เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ (Ent 50 มนี าฯ) 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 15. ฟงั ก์ชัน y = f(x) ในข้อใดมกี ราฟดงั รปู ตอ่ ไปน้ี (Ent 49 มนี าฯ) Y y = f (x) (0, 1) X -1 0 1 1. f(x) = 1- | x| 2. f(x) = 1+ | x| 3. f(x) = | 1– x| 4. f(x) = | 1+ x | 16. กราฟของฟังกช์ ันในข้อใดตอ่ ไปนี้ตดั แกน X มากกวา่ 1 จดุ (Ent 50 มีนาฯ) 1. y = 1+x2 2. y = | x | – 2 3. y = | x – 1| 4. คณิตศาสตร์ O-NET 27

สถติ ิ (STATISTICS) ค่ากลาง 1. ถ้าขอ้ มลู ชุดหนงึ่ ประกอบดว้ ย 10, 12, 15, 13, และ 10 ขอ้ ความในขอ้ ใดตอ่ ไปนเี้ ป็นเท็จ สำหรบั ข้อมูลชดุ นี้ (Ent 49 มีนาฯ) 1. มธั ยฐาน เทา่ กับ 12 2. ฐานนยิ ม นอ้ ยกว่า 12 3. ฐานนิยม นอ้ ยกว่า คา่ เฉล่ยี เลขคณิต 4. ค่าเฉลยี่ เลขคณิต มากกวา่ 12 2. ถ้านำ้ หนัก (คดิ เปน็ กิโลกรมั ) ของนกั เรยี น 2 กลมุ่ ๆ ละ 6 คน เขยี นเป็นแผนภาพ ตน้ – ใบ ไดด้ ังนี้ นักเรยี นกล่มุ ที่ 1 นักเรยี นกลุ่มที่ 2 8 6 4 3 4 9 4 8 6 6 2 2 4 5 0 ขอ้ สรปุ ในข้อใดตอ่ ไปน้ถี กู ตอ้ ง (Ent 49 มีนาฯ) 1. น้ำหนักเฉล่ยี ของนกั เรยี นกลุ่มท่ี 2 มากกวา่ นำ้ หนักเฉลี่ยของนักเรยี นกลุม่ ท่ี 1 2. ฐานนยิ มของนำ้ หนักของนกั เรยี นกล่มุ ท่ี 2 มากกวา่ ฐานนิยมของนำ้ หนักของนกั เรียนกลุม่ ท่ี 1 3. มัธยฐานของนำ้ หนกั ของนักเรยี นกลุ่มท่ี 2 มากกวา่ มัธยฐานของนำ้ หนกั ของนกั เรยี นกลุ่มที่ 1 4. มธั ยฐานของน้ำหนักของนกั เรยี นท้ังหมด มากกว่ามัธยฐานของน้ำหนกั ของนักเรยี นกลมุ่ ที่ 1 3. ในการสอบครง้ั หน่ึง มผี ูเ้ ข้าสอบ 3 คน ปรากฏว่าคา่ เฉลย่ี เลขคณิตเท่ากับ 67 มธั ยฐานเทา่ กับ 65 และพสิ ยั เท่ากับ 16 ผู้ทส่ี อบไดค้ ะแนนสูงสดุ ได้คะแนนเท่าใด (Ent 43 ตลุ าฯ) 4. ตัวกลางที่เหมาะสมกบั คะแนนตอ่ ไปน้ี มากท่ีสุดคือค่าใด (สมาคมฯ ปี 31) 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 100, 100, 100 1. คา่ เฉลีย่ เลขคณติ มคี ่า 20.88 2. ค่าเฉลยี่ เลขคณติ มคี ่า 23.86 3. มธั ยฐาน มคี า่ 3.5 4. ฐานนิยม มคี ่า 100 28 คณิตศาสตร์ O-NET

5. กำหนดให้ x1, x2, …, x10 มคี า่ เป็น 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลำดบั โดยที่ a < 15 ถา้ พสิ ัย ของข้อมลู ชุดนีเ้ ทา่ กับ 12 b เปน็ จำนวนจริงท่ที ำให้ มีค่านอ้ ยท่ีสดุ มคี า่ นอ้ ยท่ีสดุ และ c เปน็ จำนวนจริงที่ทำให้ แลว้ a + b + c มีคา่ เทา่ ใด (Ent 44 มนี าฯ) 6. อายุเฉลย่ี ของคนกลุม่ หน่ึงเท่ากบั 31 ปี ถา้ อายุเฉลี่ยของผหู้ ญงิ ในกลุ่มน้เี ท่ากบั 35 ปี และอายเุ ฉลี่ยของผู้ชายในกลุ่ม น้เี ท่ากับ 25 ปี แลว้ อัตราสว่ นระหว่างจำนวนผูห้ ญิงตอ่ จำนวนผ้ชู ายในกลุม่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (Ent 50 มีนาฯ) 1. 2 : 3 2. 2 : 5 3. 3 : 2 4. 3 : 5 7. ตารางแจกแจงความถ่ี แสดงจำนวนนักเรยี นในช่วงอายุต่างๆ ของนกั เรยี นกลมุ่ หนงึ่ เป็นดงั นี ้ ชว่ งอายุ ความถี่ (คน) (ป)ี 1 – 5 4 6 – 10 9 11 – 15 2 16 – 20 5 อายเุ ฉลย่ี ของนกั เรียนกลมุ่ น้ีเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (Ent 50 มีนาฯ) 1. 9 ป ี 2. 9.5 ป ี 3. 10 ป ี 4. 10.5 ปี 8. ถา้ ตารางแจกแจงความถีข่ องขอ้ มูลชดุ หนง่ึ ซ่งึ มคี วามกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคช้ันเท่ากัน เป็นดังตอ่ ไปนี ้ ช้นั ที ่ จดุ กึ่งกลางของอนั ตรภาคชั้น ความถส่ี ะสม 1 - - - 8 2 - - - 16 3 - - - 36 4 25 40 5 30 50 ให้ X เป็นคา่ เฉล่ียเลขคณติ และ med เป็นมธั ยฐานของขอ้ มูล ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูก (Ent 44 ตลุ าฯ) 1. X=19 และ med = 19.75 2. X=19 และ med = 17.5 3. และ med = 19.75 4. และ med = 17.5 ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์ 9. กำหนดขอ้ มูลดงั น้ี 52 42 57 55 43 39 55 33 46 ขอ้ มลู นี้ มคี า่ ควอรไ์ ทล์ที่ 3 (Q3) เทา่ กับเท่าไร (ชุดที่ 19 ม. เชียงใหม)่ คณิตศาสตร์ O-NET 29

10. ข้อมูลชุดหนงึ่ ประกอบด้วย 19 จำนวน ตอ่ ไปน ้ี 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 ควอไทล์ท่ี 3 มีค่าต่างจากเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 45 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (Ent 50 มีนาฯ) 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 11. ตารางตอ่ ไปน้เี ปน็ ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนักเรียน 100 คน คะแนน ความถ่ี 20-29 2 30-39 9 40-49 13 50-59 20 60-69 30 70-79 15 80-89 10 90-99 1 จงหาเปอรเ์ ซนต์ไทลท์ ี่ 80 ของคะแนนของนักเรียน (Ent 42 มนี าฯ) 12. คะแนนสอบของนักเรยี นกลุ่มหน่งึ มกี ารแจกแจงดังน้ี คะแนน จำนวนนักเรยี น 21-30 2 31-40 5 41-50 8 51-60 24 61-70 6 71-80 9 81-90 6 สุมิตรและนารีรัตน์ เป็นนักเรียนในกลุ่มนี้สุมิตรได้คะแนนตำแหน่งควอไทล์ที่ 3 และนารีรัตน์ได้คะแนนตำแหน่ง เดไซล์ที่ 9 ถ้าคะแนนเต็ม 100 คะแนน นารรี ตั น์ไดค้ ะแนนมากกว่าสุมติ รกเี่ ปอร์เซน็ ต์ 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20 13. กำหนดตารางแจกแจงความถข่ี องคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึง่ ดังน ี้ คะแนน ความถ่ี 16 – 18 19 – 21 a 22 – 24 2 3 25 –27 6 4 28 – 30 ถ้าควอร์ไทล์ท่ีหน่ึง (Q1) เท่ากับ 18.5 คะแนนแล้ว มัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องนี้ เทา่ กับเท่าใด (Ent 46 มีนาฯ) 30 คณิตศาสตร์ O-NET

การกรจายสัมบูรณ์ 14. ข้อมลู ชุดหนง่ึ ประกอบด้วยค่าสงั เกต 6, 5 ,4 ,3, 7, 3, 4 และ a ถ้าให้ x1 คอื ค่าสงั เกตตวั ท่ี i ของขอ้ มูลชุดน้ี และ ค่านอ้ ยสดุ เมือ่ M = 4 แล้ว ความแปรปรวนของขอ้ มลู ชดุ น้มี คี ่าเท่ากับเทา่ ใด (Ent 47 ตุลาฯ) 15. ในการชงั่ น้ำหนกั กระเปา๋ เดนิ ทาง 4 ใบ ปรากฎว่าได้น้ำหนักเป็น 15.5, 14.8, 14.5 และ 15.2 กโิ ลกรัม ถา้ ชั่งน้ำหนัก ของกระเป๋าเดินทาง 4 ใบนร้ี วมกับกระเป๋าเดนิ ทางอีกใบหนึง่ ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของน้ำหนกั ของกระเปา๋ 5 ใบนีเ้ ป็น 16 กิโลกรัม แล้วค่ามัธยฐานและความแปรปรวนของน้ำหนักของกระเป๋าเดินทางท้ังห้าใบนี้ตามลำดับ เท่ากับขอ้ ใด ต่อไปนี้ (Ent 45 มีนาฯ) 1. 15, 4.58 2. 15.2, 4.58 3. 15, 4.116 4. 15.2, 4.116 16. เมื่อสองปีก่อน นักเรียนห้องหน่ึงมี 30 คน แบ่งออกได้เป็นสองกลุ่ม กลุ่มท่ีหนึ่งมี 10 คน ทุกคนมีอายุ 10 ปี และ กลุ่มท่ีสองมี 20 คน มีอายุเฉล่ีย 8.5 ปี ถ้าความแปรปรวนของอายุนักเรียนในกลุ่มท่ีสองเทา่ กับ 0 แล้ว ในปัจจุบัน ความแปรปรวนของอายุนักเรียนห้องน้เี ทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ (Ent 50 มีนาฯ) 1. 1 2. 2 2 3 3. 5 4. 8 2 3 17. ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนกั เรยี น 2 หอ้ งได้ผลดังน ี้ คา่ เฉลีย่ เลขคณิต ผลรวมของคะแนนกำลังสอง หอ้ ง จำนวนนักเรยี น (n) ห้องท่ี 1 53 50,800 20 ห้องที่ 2 48 75,000 30 ให้ x = คา่ เฉลีย่ เลขคณติ และ S = สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ านข้ี องนักเรยี นทั้งสองหอ้ งรวมกนั ขอ้ ใดต่อไปนถี้ ูกตอ้ ง (Ent 44 ตลุ าฯ) 1. = 50 S = 4 2. = 50 S = 5 3. = 50.5 S = 4 4. = 50.5 S = 5 BOX-PLOT 18. จากแผนภาพกลอ่ งของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรยี นจำแนกตามเพศเปน็ ดังน้ ี ขอ้ สรปุ ในขอ้ ใดต่อไปน้ถี กู ต้อง (Ent 49 มีนาฯ) คะแนนสอบของนักเรยี นหญงิ คะแนนสอบของนกั เรยี นชาย 0 คะแนนสอบ 100 1. คะแนนสอบเฉล่ยี วิชาคณิตศาสตรข์ องนักเรยี นชาย สูงกว่าคะแนนสอบเฉลี่ยวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นหญิง 2. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนักเรยี นชายมกี ารกระจายเบ้ขวา 3. คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นหญงิ มกี ารกระจายมากกวา่ คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นชาย 4. คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นหญิงมกี ารกระจายเบ้ขวา คณิตศาสตร์ O-NET 31

19. จากการทดสอบนกั เรียนจำนวน 100 คน ใน 2 รายวชิ า แต่ละรายวิชามคี ะแนนเตม็ 150 คะแนน ถา้ ผลการทดสอบ ท้ังสองรายวิชา เขียนเป็นแผนภาพกลอ่ งได้ดงั นี้ คะแนนสอบรายวชิ าท่ี 1 คะแนนสอบรายวชิ าที่ 2 0 20 40 60 80 100 120 140 แล้ว ข้อสรปุ ในขอ้ ใดต่อไปนี้ถูก (Ent 50 มนี าฯ) 1. คะแนนสอบท้ังสองรายวิชามีการแจกแจงแบบปกต ิ 2. จำนวนนักเรยี นทีไ่ ดค้ ะแนนไม่เกนิ 80 คะแนน ในรายวชิ าท่ี 1 มากกว่าจำนวนนักเรยี นทไ่ี ด้คะแนนไม่เกนิ 80 คะแนน ในรายวชิ าที่ 2 3. คะแนนสูงสุดท่ีอยู่ในกลุ่ม 25% ต่ำสุด ของผลการสอบรายวิชาที่ 1 น้อยกว่าคะแนนสูงสุดท่ีอยู่ในกลุ่ม 25% ต่ำสุด ของผลการสอบรายวิชาท่ี 2 4. จำนวนนกั เรียนทีไ่ ด้คะแนนระหวา่ ง 60 – 80 คะแนน ในการสอบรายวชิ าท่ี 2 น้อยกวา่ จำนวนนกั เรียนทไ่ี ด้คะแนนใน ช่วงเดยี วกัน ในการสอบรายวิชาที่ 1 ความนา่ จะเปน็ (PROBABILITY) พื้นฐาน 1. กำหนดใหใ้ ชต้ วั เลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 สร้างจำนวนท่ีมี 3 หลกั โดยแตล่ ะหลกั ไม่มตี ัวเลขซำ้ กัน จงหาวา่ คำตอบ ของข้อใดถูกตอ้ ง (Ent ) 1. จำนวนทสี่ ร้างไดท้ ้งั หมด 120 จำนวน 2. จำนวนทม่ี เี ลขคที่ ั้งหมด 48 จำนวน 3. จำนวนท่ีมีค่ามากกว่า 350 มที งั้ หมด 40 จำนวน 4. จำนวนท่ี 10 หารลงตวั มีทั้งหมด 30 จำนวน 32 คณติ ศาสตร์ O-NET

2. จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, และ 5 จะสร้างจำนวนทมี่ ี 3 หลกั โดยแต่ละหลักมตี วั เลข ซ้ำกนั ได้จากตวั เลขข้างตน้ และ จำนวนเหล่านห้ี ารลงตวั ด้วย 5 ได้ทั้งหมดกจี่ ำนวน (Ent 44 ตลุ าฯ) 3. ถ้าต้องการเขียนจำนวนท่ีมี 7 หลัก โดยใชต้ ัวเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และใหม้ ีเลขโดด 3, 4, 5, อยูต่ ดิ กันตรง กลางระหว่างเลขโดดคู่และเลขโดดคี่ โดยแต่ละจำนวนไม่มีเลขซ้ำ แล้วจะเขียนได้ท้ังหมดเป็นจำนวนเท่ากับข้อใด ต่อไปนี้ (Ent 43 มนี าฯ) 1. 8 2. 16 3. 24 4. 48 4. ในการเลอื กคณะกรรมการชุดหนง่ึ ซ่งึ ประกอบด้วยประธาน รองประธาน เหรญั ญกิ และเลขานกุ าร โดยใหก้ รรมการ แต่ละคนดำรงตำแหน่งได้เพียงตำแหน่งเดียว ถ้ามีผู้สมัครรับเลือกต้ัง 6 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการชุดนี้ อาจมี แตกต่างกนั ได้ท้งั หมดกวี่ ธิ ี (Ent 21) 1. 360 2. 240 3. 120 4. 24 5. จากการสอบถามเพอ่ื นสนทิ 3 คน ถงึ การท่เี ขาไปเลือกผู้แทนว่า เขาเลอื กนาย A เปน็ ผแู้ ทนหรอื ไม่คำตอบท่ีแต่ละ คนให้มีเพียง 2 อย่างเท่าน้ันคือ เลือกหรือไม่เลือก ดังน้ัน คำตอบที่ได้จากเพ่ือน 3 คนนี้ จะแตกต่างกันได้เป็น (Ent 22) 1. 3! แบบ 2. 2 แบบ 3. 3 แบบ 4. 23 แบบ 6. การเขียนเครื่องหมาย O หรือ X ลงในตารางขนาด 2 x 3 โดยให้มีเครื่องหมายเต็มทุกช่องและต้องมีเคร่ืองหมาย อยา่ งนอ้ ยอย่างละ 1 เครอ่ื งหมาย แลว้ จำนวนวิธีเขียนเทา่ กบั เทา่ ไร (Ent 37) 7. ความน่าจะเป็นท่ีรางวัลเลขท้าย 2 ตัว ของสลากกินแบ่งรัฐบาลจะออกเลขทั้งสองหลักเป็นเลขเดียวกัน เท่ากับข้อใด ตอ่ ไปนี้ (Ent 50 มนี าฯ) 1. 1 2. 2 10 10 3. 1 4. 2 9 9 8€. ในการออกรางวลั แตล่ ะงวดของกองสลาก ความนา่ €จะเป็นที่รางวลั เลขทา้ ย 2 ตัว จะออกหมายเลขท่ีมีหลักหนว่ ยเปน็ € เลขค่ี และหลกั สิบมากกวา่ หลักหนว่ ยอยู่ 1 เทา่ กบั ข€้อใดต่อไปนี้ (Ent 49 มนี าฯ) 1. 0.04 2. 0.05 3. 0.20 4. 0.25 9. ทอดลูกเต๋า 2 ลูกสองคร้ัง ความน่าจะเป็นท่ีจะได้แต้มรวมเป็น 7 ในคร้ังแรก และได้แต้มรวมเป็น 10 ในครั้งท่ีสอง เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (Ent 45 ตุลาฯ) 1. 1 2. 1 72 108 3. 1 4. 1 144 216 €10. สมมติว่ามีถนน 4 สาย เชือ่ มอำเภอ A กับอำเภอ €B และมถี นน 5 สายเช่ือมอำเภอ B กับอำเภอ C ความนา่ จะเปน็ อทำ่ีชเาภยอคนAหโนดงึ่ ยจไะมเดซ่ นิ ้ำทเสา้นงจทาากงเอดำิมเภทองั้ ในAกาผรา่ เนดอินำทเภางอจ€าBกอไำปเอภำอเภCอ C และเดนิ ทางกลับจากอำเภอ C ผ่านอำเภอ B ไป € ไปอำเภอ B และอำเภอ B ไปอำเภอ A มคี ่าเท่ากับ ข้อใดตอ่ ไปน้ี (Ent 45 ตลุ าฯ) 2. 0.4 1. 0.2 3. 0.6 4. 0.8 คณติ ศาสตร์ O-NET 33

11. ทอดลูกเต๋า 2 ลูกสองคร้ัง ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวมเป็น 7 ในครั้งแรก และได้แต้มรวมเป็น 10 ในคร้ังที่สอง เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ (Ent 45 ตลุ าฯ) 1 1 108 1. 72 2. 3. 1 4. 1 144 216 € แยกกรณ ี € 1€2. สมชายมเี สอื้ 5 ตวั มีสีขาว 3 ตัว สฟี ้า 2 ตวั มกี าง€เกง 4 ตวั เปน็ สขี าว 1 ตัว และสเี ทา 3 ตัว ถ้าสมชายแตง่ ตัวออก จากบ้านโดยไม่เจาะจงแล้ว ความนา่ จะเป็นทีเ่ ขาสวมเสื้อและกางเกงสีตา่ งกันเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (Ent 45 มนี าฯ) 3 4 1. 4 2. 5 3. 9 4. 17 € 10 20 € คิดตรงข้าม €13. โยนลกู เต๋า 3 ลูก ความน่าจะเป็นท่ีลูกเต๋าจะขึน้ แตม้ €ค่อี ย่างนอ้ ย 1 ลูก เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (Ent 50 มีนาฯ) 1. 2 2. 5 3 8 3. 3 4. 7 4 8 14. ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกนั 1 คร้ัง ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูกจะเป็นเลขท่ีหาร ดว้ ย 4 ไม่ลงตัว มีคา่ เทา่ กับเท่าใด (Ent 43 มนี าฯ) ผสมบทอ่ืนๆ 15. ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ใดๆ โดยที่ P (A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P (A ʹ∩ Bʹ) = 0.2 P( A ∩ B ) เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (Ent 40) 1. 0.1 2. 0.3 3. 0.8 4. 0.9 16. จากการสำรวจนกั เรียนหอ้ งหนง่ึ จำนวน 30 คน พบว่า มีนกั เรยี นไมช่ อบรับประทานปลา 12 คน และชอบรบั ประทาน ปลาหรือกุ้ง 23 คน ถ้าสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความน่าจะเป็นท่ีจะได้นักเรียนท่ีชอบรับประทานกุ้งเพียงอย่างเดียวมี ค่าเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (Ent 50 มนี าฯ) 1 1 1. 2. 5 6 3. 2 4. 3 5 5 17. คะแนนสอบของนักเรยี นกลมุ่ หนงึ่ มีการแจกแจงความถส่ี ะสมดงั ตาราง ชว่ งคะแนน ความถี่สะสม 1-5 3 6-10 7 11-15 15 16-20 18 21-25 20 ถ้าสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความนา่ จะเปน็ ทนี่ ักเรียนคนนจ้ี ะไดค้ ะแนนอยรู่ ะหว่าง 11-15 คะแนนเท่ากับเทา่ ใด (Ent 43 มีนาฯ) 34 คณติ ศาสตร์ O-NET

18. จากการสำรวจนักเรียนห้องหน่ึง ซ่ึงแต่ละคนต้องเรียนวิชาภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์ หรือสังคม อย่างน้อย 1 วิชา ปรากฏว่ามผี ู้เรียนวชิ าต่างๆ ดังนี ้ อังกฤษ 25 คน คณติ ศาสตร์ 20 คน สงั คม 24 คน อังกฤษและคณติ ศาสตร์ 7 คน อังกฤษและสงั คม 9 คน คณติ ศาสตรแ์ ละสังคม 8 คน เรียนท้งั สามวชิ า 5 คน ถา้ สุ่มเลือกนกั เรียน 1 คน จากนกั เรียนหอ้ งน้ี ความนา่ จะเป็นทนี่ กั เรยี นคนนเ้ี รยี น คณิตศาสตร์ หรือภาษาอังกฤษ แต่ ไม่เรียนสงั คม เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี (Ent 46 ตุลาฯ) 1. 0.48 2. 0.52 3. 0.66 4. 0.76 19. แผนภาพต้น – ใบ ของข้อมูล แสดงนำ้ หนกั (กิโลกรมั ) ของนกั เรียนกล่มุ หน่งึ เป็นดงั น ้ี 4 2 1 0 5 0 8 3 2 2 6 0 3 1 4 เม่ือสุ่มเลือกนักเรียนมา 1 คนจากกลุ่มนี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่มีน้ำหนักน้อยกว่าฐานนิยมของกลุ่มมีค่า เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ (Ent 50 มีนาฯ) 1. 1 2. 1 4 3 3. 4. 1 2 ตรีโกณมติ พิ ื้นฐาน (BASIC TRIGONOMETRY) 1. สามเหล่ียม tan B = 3 ถ้า ABC เป็นสามเหลย่ี มมุมฉาก ซึ่งมี A เปน็ มมุ ฉาก และ 4 แลว้ คา่ ของ sec C cot B cosec A คือ ข้อใดตอ่ ไปน้ี (Ent 43 ตลุ าฯ) 1. 0 2. 3. 4. คณติ ศาสตร์ O-NET 35

2. กำหนด T เป็นจุดบน PQ ของรูปสเี่ หลีย่ มจัตุรัส PQRS ดังรูป ถ้า TQ มีความยาว 2 หนว่ ย และมุม RTQ เทา่ กับ 60°° แล้วพนื้ ทขี่ องสเี่ หล่ยี ม PQRS เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (Ent 43 มนี าฯ) S R 1. 2 3 ตารางหนว่ ย 2. 2 3 ตารางหน่วย 60 ํ 3 P T Q 2 3. 12 ตารางหนว่ ย 4. 8 ตารางหน่วย 3. กำหนดรปู สามเหล่ยี ม ABD ซงึ่ มมี ุม ABD = 30 ํ, มมุ ABD = 60 ํ ดังรปู และด้าน AC ต้งั ฉากกบั ด้าน BD โดยท่ี BC ยาว 12 หน่วย พ้ืนท่ขี องสามเหลย่ี ม ABD คอื ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (Ent 42 ตุลาฯ) 1. 16 ตารางหนว่ ย A 2. 21 ตารางหน่วย 3. 28 ตารางหนว่ ย 4. 32 ตารางหนว่ ย 30 60 B CD 4. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มหน้าจวั่ โดยทีม่ มุ ACB = 120°° และดา้ น AC = BC ดงั รปู A 120° B C ลากเส้นจาก A มาตงั้ ฉากกบั ด้าน BC ทต่ี อ่ ออกไปทจ่ี ดุ D ถ้า AD ยาว 3 หนว่ ย แลว้ ความยาวของเส้นรอบรูปของ รูปสามเหล่ยี ม ABC เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ (Ent 42 มนี าฯ) 1. 3 +3 3 2. 6 + 3 3 2 3. 3 +4 3 4. 6 + 4 3 2 5. จากรูปความยาวของดา้ น AD = (โควตา้ ’ มช.) A 45 ํ 60 ํ D B__40__C 6. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มท่มี ีมมุ C เปน็ มมุ ฉาก มีด้าน BC ยาวเท่ากบั 10 3 หน่วย และด้าน AB ยาว เทา่ กับ 20 หน่วย ถ้าลากเส้นตรงจากจดุ C ไปตัง้ ฉากกบั ด้าน AB ทจี่ ุด D แล้ว จะไดว้ ่าดา้ น CD ยาวเท่ากับขอ้ ใด ตอ่ ไปน้ี (Ent 49 มีนาฯ) 1. 5 2 หนว่ ย 2. 5 3 หน่วย € 3. 10 2 หนว่ ย 4. 10 3 หนว่ ย 36 คณิตศาสตร์ O-NET

7. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มท่ีมีมมุ B เปน็ มมุ ฉาก มีมมุ A เท่ากับ 30° และมีพืน้ ท่ีเท่ากบั 24 3 ตาราง หน่วย ความยาวของดา้ น AB เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี (Ent 49 มนี าฯ) 1. 12 หน่วย 2. 14 หนว่ ย 3. 16 หน่วย 4. 18 หน่วย € 8. วงกลมวงหนง่ึ มีรศั มี 6 หน่วย และ A, B, C เปน็ จุดบนเส้นรอบวงของวงกลม ถา้ AB เป็นเส้นผา่ นศูนย์กลางของ วงกลม และ CÂB = 60 ํ แล้ว พื้นทข่ี องรูปสามเหลี่ยม ABC เทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ (Ent 50 มนี าฯ) 1. 15 ตารางหน่วย 2. 16 ตารางหน่วย 3. 17 ตารางหนว่ ย 4. 18 ตารางหนว่ ย แกส้ มการ ให้ 0 < ! < \" ! ถ้า 9. (Ent 46 ตลุ า2ฯ) 9 cot2 θ = 18 cosec θ - 14 แล้ว sin θ + cos θ + tan θ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 41 2. 43 15 � 15 3. 41 4. 43 20 20 10. ผลรวมของคำตอบของสมการ 2 sin2 2x+3 cos 2x-3 = 0 เมื่อ 0 ≤ x < 2 π คอื ข้อใดตอ่ ไปน้ี (Ent 43 มนี าฯ) 1. π 2. π 6 3 π 3. 2 4. 2π 3 11. กำหนด 0 ! x ! 2\" !จงหาชว่ งของ x ที่ทำให้อสมการ sin x + cos x ! \"1!เปน็ จรงิ (Ent) 3π 3π 7π 1. 0 ! x ! \" !หรอื 2 ≤ x ≤ 2π 2. 0 ! x ! \" !หรอื 2 ≤ x ≤ 4 � 3. 0 ! x ! \" !หรือ 3π ≤ x ≤ 11π � 4. 0! x! 3\" !หรอื 7π ≤ x ≤ 2π 2 6 2 4 �� � � คณติ ศาสตร์ O-NET 37

การให้เหตผุ ล (REASONING) 1. เหตุ (1) ไม่มคี นขยนั คนใดเปน็ คนตกงาน (2) มีคนตกงานท่เี ป็นคนใช้เงนิ เก่ง (3) มีคนขยนั ท่ไี ม่เปน็ คนใช้เงินเกง่ ผล ในข้อใดต่อไปน้ีเปน็ การสรุปผลจาก เหตุ ขา้ งตน้ ที่เป็นไปอย่างสมเหตุสมผล (Ent 49 ตลุ าฯ) 1. มคี นขยนั ทเี่ ปน็ คนใช้เงนิ เก่ง 2. มคี นใชเ้ งนิ เก่งที่เป็นคนตกงาน 3. มคี นใช้เงนิ เกง่ ทเ่ี ป็นคนขยนั 4. มีคนตกงานท่ีเปน็ คนขยัน 2. จงพิจารณาขอ้ ความต่อไปน ี้ (2) คนที่มีสขุ ภาพดีบางคนเปน็ คนดี (1) นักกีฬาทกุ คนมีสุขภาพด ี (3) ภราดรเปน็ นกั กีฬา และเป็นคนดี แผนภาพในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี มีความเป็นไปไดท้ ีจ่ ะสอดคลอ้ งกับขอ้ ความท้ังสามขอ้ ข้างต้น เม่ือจดุ แทนภราดร (Ent 50 ตลุ าฯ) 1. 2. 3. 4 พช่ี าย 38 คณติ ศาสตร์ O-NET