Matemática 6 Unidad 2-G2: Desigualdades SECUNDARIA Lineales, cuadráticas y grado superior 2º TRIMESTRE ¿Qué aprenderás? Inecuación cuadrática, Inecuación de grado superior, Inecuación con fracciones, Inecuaciones con valor absoluto Inecuación: es toda desigualdad condicional que contiene a una o más cantidades desconocidas llamadas variables, y que solo es verdadera para determinados valores de dichas variables. La solución de una inecuación (desigualdad) es, en general, un conjunto de números reales, los cuales satisfacen la desigualdad. - Inecuación cuadrática Una inecuacion de segundo grado es del tipo P(x) ≥ 0 y P(x) ≤ 0, siendo P(x) = ax2 + bx + c. para resolver una inecuación de segundo grado se debe descomponer en factores lineales si es posible o recurrir a otro método que mostraremos a continuación “” se lee o; “” se lee y Método por factorización: aplicamos los siguientes teoremas 1) ������, ������ > 0 ↔ [(������ > 0 ∨ ������ > 0) ∨ (������ < 0 ∧ ������ < 0)] 2) ������, ������ < 0 ↔ [(������ > 0 ∨ ������ < 0) ∨ (������ < 0 ∧ ������ > 0)] Ejemplo. Resolveremos la inecuación aplicando análisis de posibilidades ������(3������ + 2) ≤ ������2 + 4������ + 4 Se distribuyendo “x” en el primer miembro y reducir términos semejantes 2������2 − 2������ − 4 ≤ 0 2 ������2 − 2 ������ − 4 ≤ 0 Dividiendo a los miembros entre en 2 2 2 22 Factorizamos aplicamos ������, ������ ≤ 0 ↔ [(������ > 0 ∨ ������ < 0) ∨ (������ < 0 ∧ ������ > 0)] ������2 − ������ − 2 ≤ 0 [(������ − 2 ≥ 0 ∨ ������ + 1 ≤ 0) ∨ (������ − 2 ≤ 0 ∧ ������ + 1 ≥ 0)] [(������ ≥ 2 ∨ ������ ≤ −1) ∨ (������ ≤ 2 ∧ ������ ≥ −1)] (������ − 2)(������ + 1) ≤ 0 (������ − 2)(������ + 1) ≤ 0 (������ − 2)(������ + 1) ≤ 0 Cs1 {������ ∈ ℝ ������ ≥ 2 ∧ ������ ≤ −1} Cs1 {������ ∈ ℝ ������ ≥ 2 ∧ ������ ≤ −1} Método de complementos de cuadrado: el algoritmo se desarrolla en los siguientes pasos veámoslo en el ejemplo Teoremas: 1. ������������ ������ > 0 → ������2 < ������ ↔ −√������ < ������ < √������ 2. ������������ ������ > 0 → ������2 > ������ ↔ ������ > √������ ∨ ������ < −√������ 2������2 − 5������ − 12 < 0 * EL término de la independiente debe ir al segundo miembro, el coeficiente de la ������2 − 5 ������ < 6 variable al cuadrado siempre debe ser 1, para el ejemplo 2 2 * A cada miembro de la inecuacion sumamos la midat del coeficiente de “x” 52 52 ������2 − 5 ������ + ( 2 ) < 6 + ( 2 ) 22 2 (������ − 5)2 < 6 + 25 * Se factorizó el trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro 4 16 1
������ − 5 < √121 * Aplicamos el teorema ������2 < ������ ↔ −√������ < ������ < √������ 4 16 −√11261 < ������ − 5 < √121 * Sacamos las raices tambien eliminamos - 5/4 4 16 − 6 < ������ < 16 * también x > -1.5 y x < 4 44 −1.5 < ������ < 4 ������������������ ������ = −3 (−) ������������������ ������ = 0 (+) ������������������ ������ = 6 (−) Observando los valores para “x” se puede apreciar que se cumple la ley del signo - Inecuaciones de grado superior Son aquellas que se presentan la siguiente forma general ������������������������ + ������������������������−������ + ������������������������−������+. . . +������������ > ������ ������������������������������������ ������ ∈ ℤ ∧ ������ > ������ Para resolver una inecuación polinómica, seguiremos los siguientes pasos: 1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias para que toda la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el otro lado. 2. Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el polinomio es igual a cero. 3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta numérica. 4. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo. jemplo Ahora te toca a ti ������1 = −1 ������������������ − ������������������������ + ������������������ + ������������ − ������ < ������ aplicamos Ruffini ������2 = −2 6 – 17 + 7 + 8 – 4 6������2 + ������ − 2 < 0 aplicamos uno de los métodos 1 + 6 – 11 – 4 +4 6 – 11 – 4 + 4 0 ������3 =. … .. 2 6 + 12 + 2 – 4 ������4 =. … .. 6+1 –2 0 ������������������ ������ = −1 (−) ������������������ ������ = 0 (+) ������������������ ������ = 3⁄2 (+) ������������������ ������ = 3 (−) Observado los valores para “x” se puede ������������������ ������ = 4⁄5 (−) apreciar que se cumple la ley del signo - Inecuaciones con valor fracciones Las inecuaciones fraccionarias o racionales tienen la incógnita en el denominador. Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. Saldrá de https://www.minedu.gob.bo/ lo Para profundizar Ejemplo cual le generará consumo de sus megas o el tema, escanea tenga costo. o haz clic → 1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. x−2=0 x=2 x−4=0 x=4 2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en 4º La solución está compuesta por los cuenta que las raíces del denominador, independientemente intervalos (o el intervalo) que tengan del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. el mismo signo que la fracción Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el polinómica. S = ]-∞, 2] ∪ ]4, ∞ signo en cada intervalo 2
- Inecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo). Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los reales en los reales, y se define como una función a trozos: • si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número. • si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con signo positivo). • si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo. Para resolver las inecuaciones usaremos las dos siguientes propiedades: ✓ Si tenemos la desigualdad (menor o igual) |������| ≤ ������ podemos escribir −������ ≤ ������ ≤ ������ que es lo mismo que decir −������ ≤ ������ ∧ ������ ≤ ������, O bien, usando intervalos: ������ ∈ [−������, ������] ✓ si tenemos la desigualdad (mayor o igual) |������| ≥ ������ podemos escribir ������ ≤ −������ ∪ ������ ≤ ������ O bien, usando intervalos: ������ ∈ ]−∞, −������] ∪ [������, +∞[ Ejemplo 1 aplicamos la proiedad |������| ≤ ������ y podemos escribir −������ ≤ ������ ≤ ������ |������ − 1| ≤ 3 resolvemos la inecuaion −3 ≤ ������ − 1 ≤ 3 −3 + 1 ≤ ������ − 1 + 1 ≤ 3 + 1 Por tanto, la solución es ������ ∈ [−2,4] −2 ≤ ������ ≤ 4 Ejemplo 2 ∪ ������ + 5 ≥ 3 aplicamos la proiedad |������| ≥ ������ y podemos escribir ������ ≤ −������ ∪ ������ ≤ ������ |������ + 5| ≥ 3 ∪ ������ ≥ 3 − 5 resolvemos cada inecuación ������ ≥ −2 ������ + 5 ≤ −3 Por tanto, la solución es ������ ∈ ]−∞, −8] ∪ [−2, +∞[ ������ ≤ −3 − 5 ������ ≤ −8 ∪ Ejemplo 3 en el siguiente ejericicio completa la procedimientos para hallar la solucion Aplicamos la propiedad 1: Conjunto solución Obten dos inecuaciones de ésta: 3
APLICAMOS LO APRENDIDO Empleando las propiedades resuelve los siguientes ejerciciso AHORA TE TOCA A TI Opten el conjunto solución CS de las siguientes gráficas 1. |3������ + 2| > 4 7. R:…………………… 2. ������2 − 3������ − 10 < 0 R:…………………… 3. ������+1 < 7 8. ������−6 9. R:…………………… 10. R:…………………… 4. ������+3 ≥ 2 ������−2 5. ������3 + 2������2 − 5������ − 6 ≥ 0 6. |������ − 3| ≤ 12 4
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