คณิตศาสตร์ พค31001

44 3.1 การหาจาํ นวนสมาชกิ ของเซตจาํ กดั  ถาเซต A และ B ไมมสี มาชกิ รวมกันจะได n (A  B) = n (A) + n (B)  ถาเซต A และ B มสี มาชิกบางตวั รว มกนั จะได n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) พิจารณาจากรปู ตวั เลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกเซต จะได 1) n (A) = 16 2) n (B) = 18 2) n (A  B) = 6 4) n (A  B) = 28 5) n ( A/ ) = 12 6) n ( B / ) = 10 7) n (A  B)/ = 22 8) n ( A/  B/ ) = 22 ตัวอยางที่ 3 กําหนดให A มีสมาชิก 15 ตัว B มีสมาชิก 12 ตวั A  B มสี มาชกิ 7 ตวั จงหาจํานวนสมาชิกของ A  B วิธีทํา n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A  B ) = 7 จากสูตร n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B) = 15 + 12 – 7 = 20 ดงั น้นั จํานวนสมาชกิ ของ A  B เทา กบั 20 ตวั

45 ตัวอยางท่ี 4 กําหนดให A และ B เปนสับเซตของ U โดยท่ี U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 } ถา n (A/  B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A  B) / วิธที ํา จาก n ( U ) = 10 , n (A/  B/ ) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 n (A  B) = n (A  B/)  n ( A  B) = 10 – 5 = 5 n (A) = 10 – 3 = 7 n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B) n(A  B) = 7+6–5 = 8  n ( A  B) / = 10 - 8 = 2  ถา เซต A เซต B และเซต C มสี มาชิกบางตัวรวมกนั n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n (A  C) + n (A  B  C) ตัวอยางท่ี 5 พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชกิ ของเซต จะได = 60 1) n (U) = 26 2) n (A) =7 3) n (B  C) =8 4) n (A  C) =3 5) n (A  B  C )

46 3.2 การนาํ เซตไปใชในการแกป ญ หา การแกป ญ หาโจทยโดยใชค วามรูเ ร่ืองเซต สิง่ ท่ีนาํ มาใชประโยชนม ากกค็ อื การเขียนแผน ภาพเวนน - ออยเลอร และนําความรเู รอ่ื งสมาชิกของเซตจาํ กดั ดงั ที่จะศกึ ษารายละเอียดตอไปนี้ ตัวอยา งท่ี 1 บริษัทแหง หนง่ึ มีพนักงาน 80 คน พบวา พนักงาน 18 คนมีรถยนต พนกั งาน 23 คน มบี า นเปน ของตวั เอง และพนกั งาน 9 คน มบี านของตัวเองและรถยนต จงหา 1) จาํ นวนพนกั งานทงั้ หมดทีม่ รี ถยนตห รือมีบานเปนของตวั เอง 2) จํานวนพนกั งานทีไ่ มม รี ถยนตห รือบา นของตวั เอง วธิ ีทาํ ให A แทนเซตของพนกั งานท่ีมีรถยนต B แทนเซตของพนักงานทีม่ บี านเปน ของตวั เอง เขยี นจาํ นวนพนักงานที่สอดคลองกบั ขอมลู ลงในแผนภาพไดดังน้ี 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A  B) = 9 พิจารณา n (A  B) = n(A) + n(B) - n (A  B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดังน้นั จาํ วนพนักงานที่มรี ถยนตหรอื มีบานของตวั เองเปน 32 คน 2) เนือ่ งจากพนักงานท้งั หมด 80 คน นนั่ คอื พนกั งานทไี่ มมรี ถยนตห รือบา นของตวั เอง = 80 - 32 = 48 คน ดงั นนั้ พนกั งานทไี่ มมรี ถยนตห รือบานของตัวเองเปน 48 คน

47 ตวั อยางท่ี 2 ในการสํารวจเกย่ี วกับความชอบของนักศกึ ษา 100 คน พบวา นกั ศึกษาท่ีชอบเรยี น คณติ ศาสตร 52 คน นกั ศกึ ษาที่ชอบเรยี นภาษาไทย 60 คน นกั ศกึ ษาทไ่ี มชอบเรยี น คณติ ศาสตรและไมชอบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานักศกึ ษาทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตร และภาษาไทย วธิ ีทํา แนวคดิ ท่ี 1 ให A แทนเซตของนักศกึ ษาทีช่ อบเรียนคณิตศาสตร B แทนเซตของนกั ศกึ ษาท่ีชอบเรียนภาษาไทย จาก n (A) = 52 , n(B) = 60 n ( A/  B/ ) = 14 = n ( A  B )/ [A/  B/ = ( A  B ) / ]  n ( A  B ) = 100 n ( A  B ) = n(A) + n(B) - n (A  B) 100 – 14 = 52 + 60 - n (A  B) 86 = 52 + 60 - n (A  B) n (A  B) = 112 - 86 = 26 ดังนั้น จํานวนนกั ศกึ ษาท่ีชอบเรยี นคณติ ศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน แนวคดิ ท่ี 2 ให x แทนจาํ นวนนกั ศกึ ษาทช่ี อบเรยี นคณติ ศาสตรและภาษาไทย จากแผนภาพเขยี นสมการไดด งั น้ี ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26 ดังน้นั จาํ นวนนักศกึ ษาที่ชอบเรยี นคณิตศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน

48 ตวั อยางท่ี 3 นกั ศึกษาสาขาหนงึ่ มี 1,000 คน มนี กั ศกึ ษาเรยี นภาษาอังกฤษ 800 คน เรยี น คอมพวิ เตอร 400 คน และเลือกเรียนทง้ั สองวชิ า 280 คน อยากทราบวา 1) มนี ักศกึ ษากคี่ นทเี่ รยี นภาษาอังกฤษเพยี งวชิ าเดียว 2) มีนักศกึ ษากค่ี นที่เรยี นคอมพวิ เตอรเพียงวชิ าเดยี ว 3) มนี ักศกึ ษากค่ี นที่ไมไดเรียนวชิ าใดวิชาหนึง่ เลย 4) มีนักศกึ ษากคี่ นทไี่ มไดเ รียนท้ังสองวชิ าพรอ มกัน วธิ ีทาํ ให U แทนเซตของนกั ศกึ ษาท้ังหมด A แทน เซตของนักศกึ ษาทเี่ รียนวชิ าภาษาอังกฤษ B แทน เซตของนักศึกษาทเ่ี รียนวิชาคอมพวิ เตอร A  B แทน เซตของนกั ศกึ ษาทีเ่ รียนทั้งสองวชิ า n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A  B) = 280 เขยี นแผนภาพไดดงั น้ี 1) นักศกึ ษาทเ่ี รยี นภาษาอังกฤษเพยี งวชิ าเดียวมจี าํ นวน 800 - 280 = 520 คน 2) นักศกึ ษาทเ่ี รียนคอมพวิ เตอรเพียงวชิ าเดียวมีจํานวน 400 - 280 = 120 คน 3) นักศกึ ษาทีไ่ มไดเรยี นวชิ าใดวชิ าหน่งึ เลย คือสว นที่แรเงาในแผนภาพซงึ่ มีจํานวน เทากับ 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

49 4) นักศกึ ษาทไ่ี มเรยี นทงั้ สองวชิ าพรอมกนั คอื นกั ศกึ ษาท่ีเรียนวชิ าใดวิชาหนงึ่ เพยี งวชิ า เดยี ว รวมกบั นกั ศกึ ษาทไ่ี มเรียนวชิ าใดเลย คอื สวนที่แรเงาในแผนภาพ ซึง่ มจี าํ นวน เทากบั 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คน ตัวอยางที่ 4 ในการสํารวจผใู ชสบู 3 ชนดิ คือ ก , ข , ค พบวา มผี ใู ชชนดิ ก. 113 คน, ชนดิ ข. 180 คน, ชนิด ค. 190 คน, ใชช นิด ก . และ ข. 45 คน, ชนดิ ก. และ ค. 25 คน, ชนดิ ข. และ ค. 20 คน, ท้ัง 3 ชนิด 15 คน, ไมใ ชท ั้ง 3 ชนดิ 72 คน จงหาจาํ นวนของผเู ขา รับการสาํ รวจทง้ั หมด วิธที ํา แนวคิดท่ี 1 ให A แทนผใู ชสบูช นิด ก. B แทนผใู ชสบูชนิด ข. C แทนผูใ ชส บูช นดิ ค. จาก n (A  B  C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n ( A  C ) + n (A  B  C) โดยที่ n (A) = 113 n (B) = 180 n (C) = 190 n (A  B) = 45 n (A  C) = 25 n (B  C) = 20 n (A  B  C) = 15 n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n (A  C) + n (A  B  C)  n (A  B  C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

50 จาํ นวนผูท ใี่ ชสบู ก. หรือ ข. หรือ ค. = 408 คน จํานวนผทู ี่ไมใ ชท้ัง 3 ชนิด = 72 คน ดังนั้น จํานวนของผเู ขารับการสาํ รวจทงั้ หมด 408 + 72 = 480 คน แนวคิดท่ี 2 ให A แทนผใู ชส บูช นิด ก. B แทนผใู ชสบชู นิด ข. C แทนผใู ชสบูชนิด ค. จาํ นวนผูท ใี่ ชสบู ก. หรอื ข. หรือ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130 = 408 คน จํานวนผทู ี่ไมใ ชท งั้ 3 ชนิด = 72 คน ดังนัน้ จาํ นวนของผเู ขา รับการสาํ รวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน

51 แบบฝกหดั ท่ี 3 1. จงแรเงาแผนภาพที่กาํ หนดใหเ พอื่ แสดงเซตตอไปน้ี 1) B 2) A  B 3) A 4) A  B 5) A  B 2. จากแผนภาพท่ีกาํ หนดให จงหาคา 1) A 2) A  B 3) AU B 4) A  B

52 3. จากแผนภาพ กาํ หนดให U , A, B และ AB เปน เซตทม่ี จี าํ นวนสมาชกิ 100 ,40,25, และ 6 ตามลําดบั จงเตมิ จํานวนสมาชกิ ของเซตตา ง ๆ ลงในตารางตอ ไปน้ี เซต A-B B-A AB A B ( A  B จํานวนสมาชกิ 4. จากการสอบถามผเู รยี นชอบเลนกฬี า 75 คน พบวา ชอบเลนปง ปอง 27 คน ชอบเลนแบตมนิ ตัน 34 คน ชอบเลนฟุตบอล 42 คน ชอบท้งั ฟุตบอลและปง ปอง 14 คน ชอบทง้ั ฟตุ บอลและ แบตมนิ ตัน 12 คน ชอบทัง้ ปงปองและแบดมนิ ตนั 10 คน ชอบท้งั สามประเภท 7 คน จงหาวานกั ศกึ ษาท่ชี อบเลนกฬี าประเภทเดยี วมกี คี่ น

53 บทท่ี 4 การใหเ หตผุ ล สาระสําคญั 1. การใหเหตุผลแบบอปุ นัยเปนการสรุปผลภายหลังจากคน พบความจริงทไ่ี ดจ ากการสงั เกต หรอื การทดลองหลาย ๆ ครัง้ จากทกุ ๆ กรณยี อ ยแลว นําบทสรุปมาเปน ความรูแบบทั่วไปเรา เรียกขอ สรุปแบบนี้วา “ ขอ ความคาดการณ” 2. การใหเหตุผลแบบนิรนยั ไมไ ดค าํ นึงถึงความจริงหรอื ความเท็จแตจะคํานงึ เฉพาะขอ สรปุ ที่ ตองสรปุ ออกมาไดเทานั้น ผลการเรียนรูทคี่ าดหวัง 1. อธบิ ายและใชก ารใหเหตุผลแบบอปุ นยั และนิรนยั ได 2. บอกไดวา การอางเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอรได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 การใหเหตผุ ล เร่ืองท่ี 2 การอา งเหตุผลโดยใชแ ผนภาพเวนน – ออยเลอร

54 เร่ืองที่ 1 การใหเ หตุผล การใหเหตผุ ลมีความสาํ คัญ เพราะการดําเนนิ ชวี ติ ของคนเราตองขึ้นอยกู บั เหตุผลไมวา จะเปน ความเช่อื การโตแ ยง และการตดั สนิ ใจ เราจาํ เปนตองใชเหตผุ ลประกอบทั้งส้นิ อีกทัง้ ยงั เปน พน้ื ฐานท่ี สําคัญในการหาความรขู องศาสตรตาง ๆ อีกดว ย การใหเหตผุ ล แบง เปน 2 ประเภท ไดแ ก การให เหตุผลแบบอุปนยั และการใหเ หตุผลแบบนิรนยั 1.1 การใหเหตผุ ลแบบอปุ นยั ( Inductive Reasoning ) การใหเ หตุผลแบบอปุ นยั หมายถึง การสรปุ ผลภายหลงั จากการคน พบความจริงท่ไี ดจ าก การใชส ังเกต หรือการทดลองมาแลว หลาย ๆ ครัง้ จากทกุ ๆ กรณียอ ย ๆ แลวนาํ บทสรปุ มาเปน ความรแู บบทวั่ ไป หรอื อีกนยั หน่งึ การใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัย หมายถึง การใหเหตผุ ลโดยยดึ ความ จรงิ สว นยอยที่พบเหน็ ไปสูค วามจริงสวนใหญ ตวั อยางการใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัย 1. มนุษยส งั เกตพบวา : ทุก ๆวนั ดวงอาทติ ยข้ึนทางทิศตะวนั ออก และตกทางทิศตะวนั ตก จงึ สรุปวา : ดวงอาทิตยข ึ้นทางทิศตะวนั ออก และตกทางทศิ ตะวันตกเสมอ 2. สุนทรี พบวา ทกุ ครั้งท่คี ณุ แมไปซือ้ กว ยเตย๋ี วผดั ไทยจะมตี น กยุ ชา ยมาดวยทกุ ครัง้ จงึ สรุปวา กว ยเตีย๋ วผดั ไทยตองมตี น กุยชาย 3. ชาวสวนมะมวงสงั เกตมาหลายปพบวา ถา ปใดมีหมอกมาก ปน้นั จะไดผ ลผลติ นอย เขาจึงสรปุ วา หมอกเปน สาเหตุที่ทําใหผ ลผลติ นอย ตอ มามีชาวสวนหลายคนทดลอง ฉีดน้ําลา งชอมะมว ง เมอื่ มีหมอกมาก ๆ พบวา จะไดผลผลิตมากขน้ึ จึงสรปุ วา การลา งชอมะมว งตอนมีหมอกมาก ๆ จะทาํ ใหไ ดผลผลติ มากขึ้น

55 4. นายสมบตั ิ พบวา ทกุ ครงั้ ทท่ี ําความดจี ะมีความสบายใจ จึงสรุปผลวา การทาํ ความดจี ะทําใหเกิดความสบายใจ ตวั อยา งการใหเ หตผุ ลแบบอุปนัยทางคณติ ศาสตร 1. จงใชก ารใหเหตุผลแบบอปุ นยั สรุปผลเก่ียวกบั ผลบวกของจาํ นวนคูสองจํานวน 0+2 = 2 (จํานวนคู) 2+4 = 6 (จํานวนคู) 4+6 = 10 (จาํ นวนคู) 6+8 = 14 (จาํ นวนคู) 8+10 = 18 (จาํ นวนคู) สรปุ ผลวา ผลบวกของจํานวนคสู องจํานวนเปน จาํ นวนคู 2. 1111 = 121 11111 = 12321 11111111 = 1234321 1111111111 = 123454321 3. (1  9) + 2 = 11 (12  9) + 3 = 111 (123  9) + 4 = 1111 (1234  9) + 5 = 11111 ขอ สงั เกต 1) ขอ สรุปของการใหเหตุผลแบบอปุ นยั อาจจะไมจ ริงเสมอไป 2) การสรปุ ผลของการใหเ หตผุ ลแบบอปุ นัยอาจขนึ้ อยกู บั ประสบการณข องผสู รปุ 3) ขอสรุปที่ไดจากการใหเ หตุผลแบบอุปนัยไมจ ําเปนตอ งเหมอื นกัน ตัวอยาง 1. กาํ หนด จํานวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a จะได a = 8 2. กําหนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a จะได a = 10 เพราะวา 4 + 6 = 10 3. กําหนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จํานวน a จะได a = 22 เพราะวา 6 = (2  4)-2 และ 22 = (4  6)-2

56 4) ขอสรปุ ของการใหเ หตุผลแบบอปุ นยั อาจ ผิดพลาดได ตวั อยา ง ให F(n) = n2 - 79n + 1601 ทดลองแทนคาจาํ นวนนับ n ใน F(n) n = 1 ได F(1) = 1523 เปน จาํ นวนเฉพาะ n = 2 ได F(2) = 1447 เปน จํานวนเฉพาะ n = 3 ได F(3) = 1373 เปน จํานวนเฉพาะ  F(n) = n2 - 79n + 1601 แทนคา n ไปเร่อื ยๆ จนกระทงั่ แทน n = 79 ได F(79) เปน จาํ นวนเฉพาะ จากการทดลองดงั กลา ว อาจสรปุ ไดวา n2 - 79n + 1601 เปน จาํ นวนเฉพาะ สาํ หรับทกุ จาํ นวนนบั แต F(n) = n2 - 79n + 1601 F(80) = 802 - (79)(80) + 1601 = 1681 = (41)(41)  F(80) ไมเปน จํานวนเฉพาะ

57 แบบฝก หัดที่ 1 จงเติมคําตอบลงในชองวา งตอไปนี้ 1) 1,4,9,16,  ,  ,49, 64,  ,  2) 2,7,17,  ,52 ,  ,  3) 5,10,30,120,  ,  4) ถา 12345679  9 = 111111111 12345679  18 = 222222222 12345679  27 = 333333333 12345679   = 12345679   = 999999999 5) ถา 2=2 2+4 = 6 2+4+6 = 12 2+4+6+8 = 20 2+4+6+8+ = 30 2+4+ +8+ + 12 =  2+ + +8+ 12+14 =  2+ + +8+ +12+14+ = 

58 1.2. การใหเ หตผุ ลแบบนิรนยั (Deductive reasoning) เปน การนาํ ความรูพ นื้ ฐานท่อี าจเปนความเชือ่ ขอตกลง กฏ หรือบทนยิ าม ซง่ึ เปนส่ิงทีร่ ู มากอนและยอมรบั วาเปน จรงิ เพอ่ื หาเหตุผลนําไปสขู อ สรปุ การใหเหตผุ ลแบบนิรนยั ไมไดค าํ นงึ ถงึ ความจริงหรอื ความเท็จ แตจ ะคํานงึ ถึง เฉพาะ ขอสรปุ ที่ตองออกมาไดเทานัน้ พจิ ารณากระบวนการการใหเหตุผลแบบนิรนยั จากแผนภาพดังนี้ ตัวอยางการใหเ หตผุ ลแบบนริ นัย 1. เหตุ 1) จาํ นวนคูหมายถงึ จาํ นวนทห่ี ารดว ย 2 ลงตัว 2) 10 หารดวย2 ลงตวั ผล 10 เปนจํานวนคู 2. เหตุ 1) คนท่ีไมมีหนส้ี นิ และมเี งินฝากในธนาคารมากกวา 10 ลานบาท เปน เศรษฐี 2) คณุ มานะไมม ีหนี้สนิ และมเี งินฝากในธนาคาร 11 ลา นบาท ผล คุณมานะเปน เศรษฐี

59 3. เหตุ 1) นกั กีฬาการแจงทกุ คนจะตอ งมีสขุ ภาพดี 2) เกยี รตศิ กั ดเ์ิ ปน นกั ฟตุ บอลทมี ชาตไิ ทย ผล เกยี รตศิ ักดิ์มีสุขภาพดี จากตวั อยางจะเห็นวาการยอมรบั ความรูพ นื้ ฐานหรอื ความจรงิ บางอยางกอ น แลวจงึ หาขอสรปุ จากสงิ่ ทีย่ อมรับแลว น้ัน ซ่ึงเรียกวา ผล การสรปุ ผลจะถกู ตอ งก็ตอ เมอ่ื เปน การสรุปผลไดอ ยาง สมเหตุสมผล(valid) เชน เหตุ 1) เรอื ทุกลาํ ลอยนํา้ 2) ถงั นํา้ พลาสติกลอยน้าํ ได ผล ถังนา้ํ พลาสตกิ เปน เรือ การสรปุ ผลจากขางตน ไมส มเหตสุ มผล แมวาขออา งหรอื เหตุทง้ั สองขอ จะเปน จริง แตก ารที่เรา ทราบ วา เรือทกุ ลําลอยนํ้าไดก ็ไมไ ดหมายความวาสิ่งอนื่ ๆ ท่ลี อยนา้ํ ไดจะตอ งเปน เรือเสมอไป ขอ สรปุ ใน ตวั อยางขา งตน จึงเปน การสรปุ ทไ่ี มส มเหตุสมผล ขอสงั เกต 1. เหตุเปนจรงิ และ ผลเปนจริง เหตุ แมงมมุ ทุกตวั มี 6 ขา และสัตวท ี่มี 6 ขา ทกุ ตวั มีปก ผล ดงั นน้ั แมงมมุ ทุกตวั มีปก 2. เหตเุ ปนเทจ็ และ ผลเปน เท็จ เหตุ ถานายดาํ ถกู ลอ ตเตอร่รี างวลั ทีห่ น่ึง นายดําจะมเี งนิ มากมาย แตนายดาํ ไมถ ูกลอ ตเตอรรี่ างวัลท่หี นึ่ง ผล ดังนั้นนายดาํ มเี งนิ ไมมาก 3. เหตุอาจเปนจริงและผลอาจเปน เทจ็ 4. ผลสรุปสมเหตสุ มผลไมไ ดป ระกนั วา ขอสรุปจะตอ งเปนจริงเสมอไป

60 แบบฝกหดั ที่ 2 จงตรวจสอบผลทไ่ี ดว า สมเหตุสมผลหรอื ไม 1) เหตุ 1. คนทุกคนท่เี ปน ไขห วดั ตองไอ 2. คนช่อื มุนีไอ ผล มนุ เี ปนไขห วดั 2) เหตุ 1. ชาวนาทกุ คนเปน คนอดทน 2. นายมเี ปนชาวนา ผล นายมีเปนคนอดทน 3) เหตุ 1. สตั วมีปกจะบนิ ได 2. นกกระจอกเทศเปนสตั วม ีปก ผล นกกระจอกเทศบนิ ได 4) เหตุ 1. จํานวนเต็มทห่ี ารดวย 9 ลงตวั จะหารดว ย 3 ลงตวั 2. 15 หารดว ย 3 ลงตัว ผล 15 หารดว ย 9 ลงตัว 5) เหตุ 1. สตั วเล้ยี งลกู ดวยนมบางชนดิ ไมม ขี า 2. งไู มมีขา ผล งูเปน สตั วเลีย้ งลูกดว ยนม

61 เรอ่ื งที่ 2 การอางเหตผุ ลโดยใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร ออยเลอร เปน นกั คณิตศาสตรชาวสวสิ เซอรแลนด มชี วี ติ อยูร ะหวาง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาได คนพบวิธกี ารตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชร ูปปด เชน วงกลม ซงึ่ เปน วธิ กี ารทีง่ า ย และรวดเรว็ โดย มหี ลักการดงั นี้ 1. เขยี นวงกลมแตล ะวงแทนเซตแตละเซต 2. ถา มี 2 เซตสมั พนั ธก นั กเ็ ขยี นวงกลมใหคาบเกย่ี วกัน 3. ถา เซต 2 เซตไมส มั พนั ธก ันก็เขยี นวงกลมใหแ ยกหางจากกนั แผนผงั แสดงการตรวจสอบความสมเหตสุ มผลโดยใชแ ผนภาพเวนน- ออยเลอร

62 ขอ ความ หรอื เหตแุ ละผล และแผนภาพเวนน – ออยเลอร ทใี่ ชใ นการใหเหตุผลมี 6 แบบ ดงั นี้

63 ตัวอยาง การตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการใหเหตผุ ลโดยใชแ ผนภาพ 1. เหตุ 1 : คนทุกคนเปนสงิ่ ทีม่ สี องขา 2 : ตํารวจทกุ คนเปน คน ผลสรุป ตาํ รวจทกุ คนเปนสง่ิ ทีม่ ีสองขา จากเหตุ 1 จากเหตุ 2 แผนภาพรวม จากแผนภาพจะเหน็ วา วงของ \" ตาํ รวจ \" อยใู นวงของ \" สง่ิ มี 2 ขา \" แสดงวา \" ตาํ รวจทกุ คนเปน คนมีสองขา \" ซึ่งสอดคลองกับผลสรุปทกี่ าํ หนดให ดังนน้ั การใหเ หตุผลนสี้ มเหตสุ มผล 2. เหตุ 1 : สนุ ัขบางตวั มขี นยาว 2 : มอมเปนสุนัขของฉัน ผลสรุป มอมเปนสนุ ัขที่มขี นยาว ดงั นน้ั ผลสรปุ ทีว่ า มอมเปน สุนขั ท่มี ขี นยาว ไมส มเหตุสมผล

64 แบบฝก หดั ที่ 3 จงตรวจสอบผลที่ไดวา สมเหตสุ มผลหรอื ไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร 1) เหตุ 1. ถาฝนตก แคทลยี ากไ็ มออกนอกบา น ผล 2. ฝนตก 2) เหตุ แคทลียาไมออกนอกบาน 1. ถา สมชายขยันเรียนแลวเขาสอบเขา เกษตรได ผล 2. สมชายสอบเขา เกษตรไมได 3) เหตุ สมชายไมข ยนั เรียน 1. ถา อากาศชน้ื แลว อณุ หภมู จิ ะลด ผล 2. ถาอณุ หภมู ลิ ด แลวเกิดหมอก 4) เหตุ 3. อากาศชนื้ จะเกดิ หมอก ผล 1. a เปน จาํ นวนบวก หรือเปน จาํ นวนลบ 5) เหตุ 2. a ไมเ ปน จํานวนบวก a เปน จาํ นวนลบ ผล 1. แมวบางตัวมีสองขา 2. นกยงู ทกุ ตวั มสี องขา นกบางตวั เปนแมว

65 บทที่ 5 อัตราสวนตรโี กณมิตแิ ละการนําไปใช สาระสําคัญ 1. ถา รปู สามเหลยี่ มคูใ ดคลายกนั อัตราสว นของดานท่อี ยูต รงขา มมุมทีเ่ ทา กนั จะเทากนั 2. ในรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากทกุ รปู อตั ราสว นความยาวดา น 2 ดา น จะถกู กาํ หนดคาตางๆไวดงั น้ี 2.1 คาไซนข องมมุ ใด (sine) จะเทากบั อัตราสว นระหวา งความยาวของดานตรงขา มมมุ นั้น กับความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก 2.2 คาโคไซนข องมมุ ใด (cosine) จะเทา กบั อัตราสวนระหวา งความยาวดานประชติ มุม กับความยาวดานตรงขามมมุ ฉาก 2.3 คา แทนเจนตข องมุมใด (tangent) จะเทากบั อัตราสว นระหวา งความยาวของดา นตรง ขามมมุ กบั ความยาวของดา นประชติ มุมนน้ั ๆ 3. นอกจากอตั ราสว นตรโี กณมิตหิ ลัก 3 คาน้ีแลว สว นกลับของ sine , cosine และ tangent เรียกวา cosecant , secant และ cotangent ตามลาํ ดบั 4. อตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องมุม 30,45 และ 60 องศา มีคา เฉพาะของแตล ะอตั ราสว น สามารถ พิสจู นได 5. การแกป ญ หาโจทยท เ่ี กยี่ วขอ ง จะทําโดยการเปล่ยี นปญ หาโจทยใ หเ ปนประโยคสัญลกั ษณ และ ใชอัตราสว นตรโี กณมติ ใิ นการชวยหาคําตอบโดยเฉพาะการนําไปใชแกป ญ หาเกีย่ วกบั การวดั ระยะทาง และความสูง ผลการเรยี นรูทค่ี าดหวงั 1. อธิบายการหาคา อัตราสว นตรีโกณมิติได 2. หาคาอัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องมมุ 300 , 450 และ 600 ได 3. นาํ อัตราสวนตรโี กณมิติไปใชแ กปญ หาเกี่ยวกบั ระยะทาง ความสงู และการวดั ได ขอบขายเนือ้ หา เรอื่ งท่ี 1 อัตราสว นตรโี กณมติ ิ เร่อื งท่ี 2 อตั ราสว นตรีโกณมิตขิ องมมุ 30, 45 และ 60 องศา เรอื่ งที่ 3 การนําอตั ราสว นตรโี กณมติ ิ ไปใชแกปญ หาเก่ยี วกบั ระยะทาง ความสูง และการวดั

66 เรือ่ งที่ 1 อัตราสวนตรีโกณมิติ เปน แขนงหน่งึ ของคณิตศาสตร วาดวยการวัดรูปสามเหลี่ยมตาง ๆ โดยหาความสมั พนั ธ ระหวางดา น มมุ และพนื้ ทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม มคี วามสําคญั ตอวิชาดาราศาสตร การเดนิ เรอื และงาน สาํ รวจใชใ นการคํานวณสง สงู ของภเู ขา และหาความกวางของแมน ํ้า มีประโยชนมากสําหรับวชิ า วิทยาศาสตร วิศวกรรมศาสตร และการศกึ ษาเกีย่ วกับวตั ถุ ซึ่งมีสภาพเปน คลื่น เชน แสง เสียง แมเหล็กไฟฟาและวทิ ยุ ความรเู ดมิ ท่ีตอ งนาํ มาใชใ นบทเรียนน้ี 1. สมบตั ิสามเหลย่ี มคลา ย พจิ ารณารปู สามเหลย่ี มสองรปู ท่มี ขี นาดของมมุ เทา กนั 3 คู ดงั น้ี ถา รปู สามเหลีย่ ม 2 รปู มีมุมเทา กนั มมุ ตอมุมท้งั 3 คู แลว สามเหลย่ี ม 2 รูปน้จี ะคลา ยกนั ดังรูป B Y ca z x A bC Xy Z รูปที่ 1 รปู ท่ี 2 จากรปู Aˆ = Xˆ , Bˆ = Yˆ , Cˆ = Zˆ ดงั น้นั รปู สามเหล่ียม ABC คลายกบั รูปสามเหลยี่ ม XYZ และจากสมบัตกิ ารคลา ยกนั ของ รปู สามเหล่ยี มจะไดผลตามมาคือ AB  BC  AC หรอื a  b  c XY YZ XZ xyz เมอื่ a,b,c เปนความยาวของดา น AB, BC และ AC ตามลําดับในสามเหล่ียม ABC x,y,z เปน ความยาวของดาน XY,YZ และ XZ ตามลําดบั ในสามเหลย่ี ม XYZ

67 จาก a  b จะไดว า a x จะไดวา by xy จะไดวา b y bc cz yz ax ac cz xz นน่ั คือ ถามีรปู สามเหลีย่ มสองรปู คลายกัน อตั ราสวนของความยาวของดา นสองดานของรปู สามเหลี่ยมรปู หนึ่ง จะเทา กับอตั ราสว นของความยาวของดา นสองดานของรูปสามเหลี่ยมอกี รูปหนึ่ง โดย ที่ดา นของรูปสามเหลีย่ มทีห่ าความยาวน้ันจะตองเปนดานที่สมนัยกันอยตู รงขา มกับมุมท่เี ทากนั ในทาํ นองเดียวกนั ถารูปสามเหลี่ยมท้งั สองเปน รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ซงึ่ มีมมุ ทไ่ี มเปนมมุ ฉาก เทากนั สมมตวิ า เปน มมุ A เทา กับมมุ X ดงั รูป B zY c ax X yZ A bC พบวา รูปสามเหลย่ี มสองรูปนค้ี ลา ยกัน ( มมี มุ เทากนั มุมตอ มมุ ทงั้ 3 คู ) ดังนน้ั จะไดว า ax ax cz , ,  c zb yb y สรปุ ไมวารูปสามเหลย่ี มดังกลา วจะมขี นาดใหญหรอื เลก็ กต็ าม ถารปู สามเหลี่ยม ทั้งสองรปู คลา ยกนั แลว อัตราสวนความยาวของดานสองดา นของรูปสามเหลยี่ มรูปหน่งึ จะเทากบั อตั ราสว นของความยาวของดา นสองดา นของรูปสามเหล่ียมอีกรูปหนึ่งทส่ี มนัย กนั เสมอ ( ดานทกี่ ลา วถึงนต้ี องเปน ดานทีอ่ ยูตรงขามกับมมุ ทเ่ี ทา กัน )

68 2. สมบตั ิสามเหลีย่ มมุมฉาก ถาให ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ท่ีมีมมุ ฉากท่ี C และมี a , b , c เปน ความยาวของดานตรง ขา มมุม A , B และ C ตามลําดบั c a b ดา น AB เปนดา นท่ีอยูตรงขา มมุมฉากยาว c หนวย เรียกวา ดา นตรงขา มมุมฉาก ดา น BC เปนดา นทอ่ี ยูตรงขา มมมุ A ยาว a หนวย เรยี กวา ดา นตรงขามมมุ A ดาน AC เปน ดา นทีอ่ ยูตรงขา มมมุ B ยาว b หนว ย เรียกวา ดา นประชดิ มุม A ถา ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ซึง่ มมี มุ เปน มมุ ฉาก c แทนความยาวดา นตรงขา มมมุ ฉาก a และ b แทนความยาวของดา นประกอบมมุ ฉาก จะไดความสมั พันธระหวางความยาวของดา นทงั้ สามของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากดังตอ ไปนี้ c2  a2  b2 เมือ่ a แทนความยาวของดานตรงขา มมุม A b แทนความยาวของดานตรงขามมุม B c แทนความยาวของดา นตรงขามมมุ C

69 ขอ ควรรูเกยี่ วกบั ทฤษฎีบทปทาโกรสั ปท าโกรัสไดศกึ ษาคนควา เกยี่ วกบั ความสมั พนั ธร ะหวา งดานตรงขามมุมฉากและดา นประกอบมุม ฉากของสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ซ่ึงเปนทฤษฎีบทท่เี กา แกและมชี อื่ เสียงทีส่ ุดบทหน่งึ ไดแกท ฤษฎบี ทปทา โกรสั ซง่ึ มีใจความวา ในสามเหลี่ยมมมุ ฉากใดๆ พน้ื ทขี่ องสี่เหลีย่ มจตั ุรสั บนดานตรงขามมมุ ฉาก จะเทา กบั ผลบวกของพนื้ ทสี่ ี่เหลี่ยมจัตรุ สั บนดานประกอบมุมฉาก ตวั อยาง จงเขยี นความสัมพันธระหวา งความยาวของดานของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากตอไปน้ี ตามทฤษฎีบท ของปท าโกรัส 1). a 3 5 2). a 12 13

70 วิธีทํา พจิ ารณาความสมั พันธร ะหวางความยาวดา นของรูปสามเหล่ียมมุมฉากตามทฤษฎบี ทปท าโกรัส 52  a2  32 a2  9  25 a2  16 ดังนัน้ a  4 2). a 2  122  132 a2 144  169 b2  25 ดงั นนั้ b  5 อัตราสวนตรโี กณมติ ิ ถาให ABC เปน รปู สามเหลยี่ มมุมฉากทม่ี มี ุมฉากท่ี C และมี a , b , c เปน ความยาวของดานตรง ขา มมมุ A , B และ C ตามลาํ ดับ B ca A b C A อัตราสวนตรีโกณมติ ิ คอื อัตราสว นที่เกิดจากความยาวของดา นของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก

71 a 1. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขา มมมุ A ตอ ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก หรอื c เรยี กวา ไซน (sine) ของมุม A b 2. อตั ราสว นของความยาวของดานประชดิ มุม A ตอ ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก หรือ c เรียกวา โคไซน (cosine) ของมุม A a 3. อัตราสว นของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดา นประชดิ มุม A หรอื b เรยี กวา แทนเจนต (tangent) ของมุม A เรียกอตั ราสวนท้งั สามนวี้ า อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ อง A เมอ่ื A เปน มมุ แหลมในรูปสามเหล่ยี ม มุมฉากหรืออาจสรปุ ไดว า ความยาวของดา นตรงขา มมุมA sin A = ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก ความยาวของดานประชดิ มุมA cos A = ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก ความยาวของดานตรงขา มมมุ A tan A = ความยาวของดานประชดิ มมุ A ตวั อยาง กาํ หนดรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC มมี ุม C เปนมุมฉาก มีความยาวดา นทงั้ สาม ดงั รูป จงหาคา ตอ ไปน้ี 6 1. sin A, cos A และ tan A 2. sin B, cos B และ tan B 8 วิธที าํ กําหนด ABC เปน รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก มีมมุ C เปนมุมฉาก จากทฤษฎีบทปท าโกรสั จะได วา AB 2  AC 2  BC 2 แทนคา AC = 8 , BC = 6 ดังนั้น AB2  82  62 AB2  64  36 AB2  100 AB2  10 10หรอื 102 นัน่ คอื AB = 10

72 (1) หาคา sin A, cos A และ tan A โดยการพจิ ารณาท่ีมมุ A sin A = ความยาวของดา นตรงขามมมุ A  BC  6  3 ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5 cos A = ความยาวของดา นประชดิ มุมA  AC  8  4 ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5 tan A= ความยาวของดานตรงขามมุมA  BC  6  3 ความยาวของดานประชดิ มุมA AC 8 4 (2) หาคา sin B, cos B และ tan B โดยการพิจารณาที่มมุ B sin B = ความยาวของดานตรงขามมมุ B  AC  8  4 ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก AB 10 5 cos B = ความยาวของดานประชิดมุม B  BC  6  3 ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก AB 10 5 tan B = ความยาวของดานตรงขา มมุมB  AC  8  4 ความยาวของดานประชิดมุม B BC 6 3 ขอสังเกต ถา ABC เปน รูปสามเหล่ยี มมุมฉากทม่ี ีมมุ C เปน มุมฉากแลว จะไดว า 1. Aˆ  Bˆ  1800  Cˆ  1800  900  900 2. sin A = cos B 3. cos A = sin B

73 แบบฝก หดั ท่ี 1 1. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทก่ี ําหนดใหต อ ไปนี้ จงเขยี นความสัมพันธข องความยาวของรปู สามเหล่ยี ม มุมฉากโดยใชท ฤษฎีบทปท าโกรัส และหาความยาวของดา นที่เหลือ (1) (2) 2. กาํ หนด ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก มี Cˆ  90 และความยาวของดา นทง้ั สาม ดังรปู จงหา 1) sin A , cos A และ tan A 2) sin B , cos B และ tan B B

74 3. จงหาวา อัตราสว นตรโี กณมิติทกี่ าํ หนดใหตอ ไปน้ี เปน คา ไซน( sin) หรอื โคไซน( cos) หรือแทนเจนต (tan) ของมุมทก่ี ําหนดให 1).........................A = b c 2).........................B = b a 3).........................A = a c 4).........................A = b c 4. กาํ หนด ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก โดยมีมุม C เปนมมุ ฉาก มดี าน AB = 10 และ AC = 8 จงหา 1 ) ความยาวดาน BC 2) sin A , cos A และ tan A 3) sin B , cos B และ tan B 5. กาํ หนดใหร ปู สามเหล่ยี ม ABC โดยมมี มุ C เปน มุมฉาก และ a,b,c เปน ความยาวดา นตรงขามมมุ A, มมุ B และมุม C ตามลาํ ดับ (1) ถา cot A = 3 และ a = 5 จงหาคา b,c (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A 5

75 เร่อื งท่ี 2 การหาคาอตั ราสวนตรีโกณมิติของมมุ 30 ,45 , 60 องศา การหาคา อัตราสว นตรโี กณมติ ิของมมุ 60 องศา พจิ ารณารูปสามเหลยี่ มดานเทา ABD มีดานยาวดา นละ 2 หนว ย ดงั นี้ A 2 B 300 300 300 2 2 60 60 60 C B D A 1 C1 1 จากรปู สามเหลี่ยมดา นเทา ABD ลาก AC แบงครง่ึ มุม A เสนแบงครึ่งมมุ A จะตั้งฉากกับ BD ท่ี จดุ C โดยใชห ลกั ของสมบัติของสามเหลยี่ มคลาย ABC และ ADC จะได BC = CD = 1 หนวย ดงั รูป และ จาก รูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC ใชคณุ สมบตั ขิ องปทาโกรัสไดด งั นี้ B 300 AB 2  AC 2  BC 2 2 22  12  BC 2 4  1  BC 2 BC2  4 1 60 BC 2  3 A C 1 BC  3

76 จะไดว า ดา น BC = 3 ดงั นัน้ Sin 60  3 2 Cos 60  1 2 Tan 60  3  3 1 ในทํานองเดยี วกนั การหาคาอัตราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 30 องศา ดงั นั้น Sin 300  1 2 Cos 300  3 2 Tan 300  1 3

77 สรปุ อตั ราสว นของตรโี กณมิติทส่ี าํ คัญ ดังน้ี น่นั คอื sin 300  1 cos 300  3 tan 300  1 2 2 3 1 1 1 sin 450  2 cos 450  2 tan 450  1  1 sin 600  3 cos 600  1 tan 600  3  3 2 2 1

78 เกรด็ ความรู การใชนิว้ มอื ชวยในการจําคา ตรีโกณมติ ขิ องมมุ พน้ื ฐาน การจาํ คา ตรโี กณมติ พิ ้ืนฐานโดยใชน ้วิ มือ ตองใชม ือซาย มขี ้ันตอนดังตอ ไปน้ี วธิ กี ารนใ้ี ชจ ําคาตรโี กณมติ ขิ องมมุ พน้ื ฐานกลาวคอื 1. แบมอื ซายออกมา มองเลขมุมจับคูก ับนิ้วเรยี งจากซายไปขวา เปนมมุ องศา 2. เม่ือตองการหาคาตรโี กณมติ ขิ องมมุ ใดใหง อนิ้วนนั้ สมมตวิ า หา cos กจ็ ะตรงกบั นวิ้ ช้ี ก็งอนวิ้ ชี้ เก็บไว 3. ถอื กฎวา \"sin-ซาย(ออกเสียงคลายกนั ) cos-ขวา(ออกเสียง /k/ เหมอื นกัน)\" เม่ือหาคา ของฟง กช นั ใด ใหสนใจจํานวนนว้ิ มือฝง ท่ีสอดคลอ งกับฟง กช นั นั้น o เพื่อจะหาคา นําจาํ นวนนิว้ มอื ดานทส่ี นใจตดิ รากท่ีสองแลวหารดว ยสอง (หรืออาจจาํ วา มี เลขสองตวั ใหญๆอยูบนฝา มือ เมอื่ อานก็จะเปน รากทส่ี องของจํานวนน้ิวมือดา นทสี่ นใจ หารฝา มือ) สาํ หรบั cos 30 กจ็ ะไดว ามนี วิ้ มือเหลืออยูท างดา นขวาอกี สามนวิ้ (กลาง นาง กอย) กจ็ ะได cos30= สําหรบั ฟงกชนั ตรีโกณมติ ิอืน่ กใ็ ชส มบตั ขิ องฟงกชนั นน้ั กบั sin และ cos เชน tan=sin/cos

79 คา โดยประมาณของไซน โคไซน และแทนเจนต (ถงึ ทศนยิ มตําแหนง ที่ 3 ) หาไดจ ากตาราง ตอไปน้ี โดยทค่ี า ของไซน โคไซน และแทนเจนต ของมุมทม่ี ีคา อยรู ะหวาง 00 และ900 จะมคี าอยู ระหวาง 0 และ 1

80 ตัวอยา ง จงหาคาของ a, b จากรูปสามเหลีย่ มท่ีกาํ หนดใหต อไปนี้ วิธีทํา sin 320  BC AB แทนคา sin 320  0.530 และ BC = a , AB = 10 ดงั นน้ั 0.530  a นน่ั คอื 10 a  10  0.530 a  5.3 จงหาคาตอไปน้ี 1. sin 450  tan 450 cos 450 2.sin 300 sin 600  cos300 cos 600    3. cos300 2  sin 300 2 4.tan 2 300  2 sin 600  tan 450  tan 600  cos2 300 5.cos 600  tan 2 450  4 tan2 300  cos2 300  sin 300 3 วิธีทาํ 1 1. sin 450  tan 450 = 2 1  2 =1-1 =0 cos 450 1 = 1 1 21 2 2.sin 300 sin 600  cos300 cos 600 =  1   3    3   1  = 3 32 3= 3  2  2   2  2      44 42    3. cos300 2  sin 300 2 =  3  2   1  2 = 3  1  4 1 2   2  44 4 =  1 2 2 3  3   3  2 3 2 2 4.tan 2 300  2 sin 600  tan 450  tan 600  cos2 300    1    = 1  3 1 3  3 34 = 25 12 5. cos 60 0  tan 2 450  4 tan2 300  cos2 300  sin 300 = 1  12  4  1 2   3  2  1 3 2 3 3 2 2    = 1 1 4  3  1 2 942 =7 36

81 อัตราสว นตรีโกณมติ อิ นื่ ๆ อตั ราสวนของความยาวของดา นของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากท่ีเรียกวา ไซน โคไซน และ แทนเจนต เรียกวาอัตราสวนตรโี กณมติ ิ (Trigonometric ratio) ซ่ึงเปนหลกั เบ้ืองตน ในคณติ ศาสตรแขนง หนึ่ง ท่ีเรียกวา ตรโี กณมิติ (Trigonometry) หมายถงึ การวดั เกี่ยวกับรูปสามเหลีย่ ม มีอัตราสว นตรโี กณมติ ิอีก 3 อตั ราสว น ซง่ึ กําหนดดว ยบทนิยาม ดังน้ี 1. ซแี คนตของมมุ A เขียนแทนดว ย secant A หรอื sec A คอื สวนกลบั ของ cos A เม่อื cos A  0 นนั่ คือ sec A = 1 เมือ่ cos A  0 cos A 2. โคซแี คนตข องมมุ A เขียนแทนดว ย cosecant A หรอื cosec A คอื สว นกลับของ sin A เมือ่ sin A  0 นนั่ คือ cosec A = 1 เมอ่ื sin A  0 sin A 3. โคแทนเจนตข องมุม A เขยี นแทนดว ย cotangent A หรอื cot A คือสว นกลบั ของ tan A เม่ือ tan A  0 น่ันคือ cotangent A = 1 เมื่อ tan A  0 tan A

82

83 แบบฝกหดั ที่ 2 1. จงหาคาตอไปนี้ 1) sin 300 sin 600  cos300 cos600    2) sin 600 2  cos600 2 3) 1  tan 450 2. จงหาคาอตั ราสว นตรีโกณมติ ติ อไปน้จี ากตาราง 1) sin 200 2) sin 380 3) cos500 4) cos520 5) tan 770 6) tan 890 3. ให ABC เปนรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก มมี ุม C เปน มมุ ฉาก ดงั รปู จงหา cos B, sin B, tan B, sec B, cosec B, cot B 4. จงหาคา a, b หรือ c จากรูปสามเหลี่ยมตอ ไปน้ี (1)

84 (2) (3) 5. กาํ หนดใหร ูปสามเหล่ียม ABC โดยมีมุม C เปนมมุ ฉาก และ a,b,c เปนความยาวดา นตรงขา มมุม A, มมุ B และมุม C ตามลาํ ดับ (1) ถา cot A = 3 และ a = 5 จงหาคา b,c (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A 5

85 เรอ่ื งที่ 3 การนําอัตราสวนตรโี กณมติ ิไปใชแ กปญ หาเกี่ยวกับหาระยะทางและความสงู และ การวดั อตั ราสว นตรโี กณมติ มิ ีประโยชนม ากในการหาความยาว ระยะทางหรอื สวนสงู โดยที่ทราบคา มุมใด มมุ หนึ่ง และความยาวของดานใดดา นหนึ่งของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก แลว จะสามารถหาดา นท่ีเหลอื ได เสน ระดับสายตา คอื เสนทีข่ นานกับแนวพนื้ ราบ มุมกม คอื มุมทแี่ ขนขางหนง่ึ ของมมุ อยูตาํ่ กวา ระดบั สายตา มุมเงย คือ มมุ ทแี่ ขนขางหนง่ึ อยูส ูงกวาเสนระดบั สายตา

86 ตัวอยางที่ 1 สมพรยืนอยูห างจากบา นหลังหนง่ึ เปนระยะทาง 100 เมตร เขาเหน็ เครอ่ื งบิน เครื่องหน่ึง บนิ อยเู หนือหลังคาบานพอดี และแนวทเี่ ขามองเปนมุมเงย 60 องศา จงหาวาเคร่อื งบนิ อยูสงู จาก พืน้ ดินกเี่ มตร วิธที าํ Tan 60 = ความยาวของดานตรงขา มมมุ 60 ความยาวของดานประชิดมมุ 60 3= ความยาวของดานตรงขามมุม 60 100 นน่ั คอื ความยาวของดา นตรงขามมมุ 600  100 3 จะเหน็ ไดวา ความสงู ของเคร่อื งบินอยหู า งจากพน้ื ดนิ 100 3 ตวั อยางท่ี 2 บนั ไดยาว 50 ฟตุ พาดอยูกับกําแพง ปลายบนั ไดถึงขอบกําแพงพอดี ถา บันไดทํามุม 600 กับกําแพง จงหาวาบนั ไดอยหู างจากกําแพงเทาไร

87 วิธีทาํ COS 600 = ความยาวของดา นประชดิ มมุ 60 ความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก 1 = ความยาวของดานประชิดมุม 60 2 50 จะได ความยาวของดานประชดิ มุม 60  50 2 ดงั น้นั ระยะระหวา งบนั ไดกบั กําแพงเทากบั 25 ฟุต ตวั อยา งท่ี 3 สมพรยืนอยบู นหนาผาสงู ชนั แหง หนง่ึ ซ่ึงสูงจากระดบั ผนาํ้ ทะเล 50 เมตร เม่ือเขาทอดสายตา ไปยงั เรือลาํ หนึ่งกลางทะเล มมุ ท่ีแนวสายตาทาํ กับเสนระดบั มีขนาด 30 องศา เรอื ลํานีอ้ ยหู า งจากฝง โดยประมาณกเี่ มตร วธิ ที ํา ให A เปน ตําแหนงทสี่ มพรยนื อยู AC แทนระยะความสูงจากนํ้าทะเลของหนา ผา คอื 50 เมตร BC เปนระยะท่ีเรอื อยหู า งจากฝง จาก AD // BC จะได CBˆA  DAˆB  300 ABC เปนรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ดงั น้ัน tan 300  AC BC 1  50 3 BC BC  50 3  50 1.732 BC  86.6

88 แบบฝกหดั ที่ 3 1. ตนไมต นหนงึ่ ทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสน ตรงทีล่ ากผา นปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทาํ มุม 30 องศา กบั เงาของตนไม จงหาความสงู ของตน ไม 2. วินยั ตอ งการหาความสูงของเสาธงโรงเรยี น จึงทาํ มมุ ขนาด 45 องศา เพือ่ ใชในการเล็งไปทีย่ อดเสาธง ถา ในขณะทีเ่ ลง็ นั้นเขามองไปท่ียอดเสาธงไดพ อดี เม่อื กาวไปอยทู จี่ ดุ ซงึ่ อยูหางโคนเสาธง 16 เมตร วนิ ยั มี ความสูง 160 เซนติเมตร จงหาวา เสาธงสงู ประมาณกีเ่ มตร 4. จดุ พลุข้ึนไปในแนวดิ่ง โดยกําหนดจดุ สงั เกตการณบ นพนื้ ดินหา งจากตําแหนง ท่จี ดุ พลุ 1 กโิ ลเมตร ในขณะทม่ี องเหน็ พลุทํามมุ 60 องศา กบั พ้นื ดนิ พลุขนึ้ ไปสูงเทา ใด และอยหู า งจากจดุ สังเกตการณ เปนระยะทางเทา ใด

89 บทท่ี 6 การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ สาระสาํ คญั 1. การเลือกใชเ ครือ่ งมอื ตา ง ๆ ในการสรา งรูปเรขาคณติ 2. ในชีวติ ประจาํ วัน การออกแบบวสั ดหุ รอื ครุภณั ฑ อาคารท่ีพกั อาศัย หรืออาคารสํานกั งานตา ง ๆ จะเก่ียวขอ งกบั รูปแบบ การเลอ่ื นขนาน การหมนุ และการสะทอ น 3. การมีบรรจุภณั ฑข องสินคา ทด่ี ี สวยงาม นาสนใจ จะมสี ว นชวยในการการเพ่มิ มลู คาของสนิ คา นน้ั ๆ ได ผลการเรียนรทู ่คี าดหวัง 1. สรางรปู เรขาคณติ โดยใชเ คร่อื งมือได 2. วเิ คราะหและอธบิ ายความสมั พันธระหวางรูปตน แบบ และรูปที่ไดจากการเลือ่ นขนาน การ สะทอ นและการหมนุ ได 3. นาํ สมบตั ิเก่ยี วกบั การเลื่อนขนาน การหมนุ และการสะทอ นจากการแปลงทางเรขาคณิตศาสตร และทางเรขาคณิต ไปใชใ นการออกแบบ งานศิลปะได ขอบขา ยเน้อื หา เรอ่ื งท่ี 1 การสรา งรปู ทางเรขาคณติ โดยใชเ ครอ่ื งมือ เร่อื งที่ 2 การแปลงทางเรขาคณิต เร่อื งท่ี 3 การออกแบบเพือ่ การสรางสรรคงานศลิ ปะโดยใชการแปลงทางคณติ ศาสตร และ ทางเรขาคณติ

90 เรื่องท่ี 1 การสรางรปู เรขาคณิตโดยใชเ ครอื่ งมอื 1.1 รูปเรขาคณติ สองมติ ิ สามารถสรางไดโ ดยใชเสน ตรง เชน ไมบ รรทดั ฟุตเหลก็ ไมฉ าก ไมท ี เพือ่ วดั ความยาว ใชไ มโปรแทรกเตอร เพือ่ วดั มมุ หรือขนาดของมมุ ใชว งเวยี น เพอ่ื ประกอบการ สรา งเสนโคงทแี่ ทนความยาวรอบวงกลม หรอื ชวยในการสรา งมมุ ท่มี ขี นาดทีต่ อ งการ สมบตั ติ าง ๆ ของรูปเรขาคณิตและความสัมพนั ธระหวา งรปู เรขาคณติ เพื่อใหน กั ศกึ ษามคี วามเขาใจในการสรา งรปู เรขาคณิตสองมติ ิ ผเู รยี นควรทบทวนสมบัติตาง ๆ ของรปู เรขาคณิตสองมิตแิ ละสามมิติดงั นี้ 1. รูปสีเ่ หลย่ี มผืนผา 1. มีมุมทง้ั ส่เี ปนมมุ ฉาก 2. ดานทอี่ ยูตรงขา มกนั ยาวเทากนั สองคแู ละขนานกัน 3. เสน ทแยงมุมแบง คร่ึงกันและกัน 4. พื้นท่ีของสเ่ี หลยี่ มผนื ผา = ความยาวของดา นกวา ง x ความยาวของดานยาว 5. ความยาวรอบรปู ของสีเ่ หล่ียมผนื ผา = ( 2 x ความยาวของดานกวาง ) + ( 2 x ความยาวของดานยาว ) 2. รูปส่ีเหลย่ี มจตั รุ ัส 1. มุมท้ังสีเ่ ปนมุมฉาก 2. ดานท้งั ส่ยี าวเทา กนั 3. เสนทแยงมุมแบงครึ่งซ่งึ กนั และกนั และต้ังฉากกนั 4. พืน้ ทข่ี องรปู ส่เี หลีย่ มจัตรุ ัส = ความยาวดาน x ความยาวดาน หรอื 1  ผลคูณของ 2 ความยาวเสนทแยงมุม 3. รูปส่ีเหลย่ี มดานขนาน

91 1. มีดานตรงกันยาวเทา กันและขนานกันสองคู 2. เสนทแยงมุมแบงครึ่งกันและกนั แตยาวไมเทา กนั 3. พ้ืนทข่ี องรูปสี่เหลีย่ มดานขนาน = ความยาวฐาน X สวนสงู 4. รปู ส่ีเหลยี่ มขนมเปยกปนู 1. มดี านตรงขา มกนั ขนานกนั สองคู 2. ดานท้ังสี่ยาวเทา กนั 3. เสน ทแยงมมุ แบงครึ่งซงึ่ กนั และกนั และตัง้ ฉากกนั 4. พน้ื ท่รี ปู สามเหลยี่ มขนมเปย กปนู = ความยาวฐาน x สว นสงู หรือ 1  ผลคูณของความยาว 2 ของเสน ทแยงมุม

92 5. รูปสเี่ หลยี่ มรปู วา ว 1. มดี านประชิดกนั ยาวเทากนั 2 คู 2. เสนทแยงมุมสองเสน ตั้งฉากกัน 3. เสนทแยงมุมแบง ครงึ่ ซึ่งกันและกนั แตยาวไมเทากัน 4. พน้ื ที่ของรูปสี่เหล่ยี มรปู วาว = 1  ผลคณู ของความยาวของเสนทแยงมมุ 2 6. รูปส่ีเหลยี่ มคางหมู 1. มดี านขนานกนั 1 คู 1 2 2. พ้นื ทข่ี องรปู ส่เี หลีย่ มคางหมู =  ผลบวกของความยาวของดานคขู นาน  สว นสงู 7. รูปวงกลม 1. ระยะทางจดุ ศนู ยกลางไปยังเสน รอบวงเปน ระยะที่เทา กนั เสมอ เรียกวา รศั มขี องวงกลม 2. เสน ผา นศูนยก ลางยาวเปน 2 เทาของรศั มี 3. พ้ืนที่วงกลม = r 2 4. ความยาวเสน รอบรปู ของวงกลม 2r

93 1.2 รูปเรขาคณิตสามมิติ รูปเรขาคณิต สามมิตสิ ามารถแสดงรปู รา งซึง่ มีทง้ั ความกวา ง ความยาว ความสงู หรอื ความ หนา ตวั อยางรูปทรงเรขาคณติ สามมติ ิ เชน ปริซึม เปน รปู สามมิตทิ ่มี หี นา ตดั หัวทายเทา กนั และขนานกันและผวิ ดานขางเปน รูปสเี่ หลยี่ ม เชน ปรซิ มึ สามเหลย่ี ม ปรซิ มึ สี่เหล่ียม ปรซิ มึ หาเหลี่ยม พรี ะมิด เปน รปู เรขาคณิตสามมติ ิท่ีมยี อดแหลม ผวิ ดานขา งเปน รูปสามเหลยี่ ม สงู เอยี ง พีระมดิ ฐานสเ่ี หล่ยี ม พรี ะมดิ ฐานสามเหลย่ี ม ตัวอยางรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ีพ่ บเหน็ ในชวี ิตประจาํ วนั เชน ตูเย็น เปนรูปทรงสี่เหลีย่ มมมุ ฉาก หรอื ปริซึมสี่เหล่ยี ม ปลากระปอง เปน รปู ทรงกระบอก ไอศกรมี เปนรปู กรวยกลม เปน ตน รปู เรขาคณติ ทีพ่ บในชวี ติ ประจําวนั โดยเฉพาะรปู เรขาคณิตสามมติ แิ ละสองมติ ิ มคี วามสัมพนั ธ กนั อยา งมาก ซึ่งตองใชก ารสังเกตหาความสมั พนั ธ การจําแนก การเปรียบเทียบภาพทม่ี องเหน็ จะ สามารถอธบิ ายขนาด ตําแหนง ระยะทาง และใชการคาดเดารูปรางของสิง่ ที่กาํ หนดให เมอ่ื มีการเปลี่ยน ตาํ แหนงหรือมุมมองในดา นตาง ๆ