Ch1Matrix

เมทรกิ ซ(์ Matrix)Computer Science, Burapha University 1

1. นิยามของเมทริกซ์นิยามท่ี 1 เมทริกซ์คอื กลุ่มของจานวนจริง หรือจานวนเชิงซ้อน มาจัดเรียงเป็ นรูปส่ีเหลยี่ มผนื ผ้าเป็ นแถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวต้งั (Vertical)ซึ่งมแี ถวตามแนวนอนเรียกว่า แถว (Row) และตามแนวต้งั เรียกว่า หลกั (Column) 2

โดยทว่ั ไปนิยมใช้ในรูปต่อไปนีแ้ ทน a11 a12   a1n   a21 a22  a2n A     am1 am2   amn ใช้สัญลกั ษณ์ เป็ น A  aij mn หรือ Amn 3

เมทริกซ์ทม่ี ี 1 แถวและ n หลกั เรียก เมทริกซ์แถว เช่น 5 3  8เมทริกซ์ทมี่ ี m แถวและ 1 สดมภ์ เรียก เมทริกซ์หลัก เช่น 5  3     8 4

เมทริกซ์จตั ุรัส (Square Matrix) คอื เมทริกซ์ทม่ี ีจานวนแถวเท่ากบั จานวนหลกั (m=n) หรือเรียกว่าเมทริกซ์อนั ดับ n มรี ูปทวั่ ไปคอืa11 a12   a1n a21  a22   a2n A     an1 an2   ann สมาชิกทอ่ี ยู่ในตาแหน่ง i=j เรียก เส้นทแยงมมุ หลกั 5

เมทริกซ์ศูนย์ (Zero Matrix หรือ Null Matrix)คอื เมทริกซ์ทมี่ สี มาชิกทุกตวั เป็ นศูนย์หมด เช่นO= 000 หรือ 000 000 000 000 6

เมทริกซ์ทแยงมุม(Diagonal Matrix) คอื เมทริกซ์จัตุรัสทม่ี สี มาชิกทุกตวั ทไ่ี ม่ได้อยู่บนเส้นทแยงมุมหลกัมคี ่าเป็ นศูนย์ท้งั หมด เช่น200 หรือ 4000030 0300004 0020 0001 7

เมทริกซ์เชิงสเกล่าร์(Scalar Matrix) คอื เมทริกซ์ทแยงมุมทมี่ สี มาชิกทุกตวั บนเส้นทแยงมุมหลกั มคี ่าเท่ากนัท้งั หมด เช่น400 หรือ 5000040 0500004 0050 0005 8

เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity Matrix หรือUnit Matrix) คอื เมทริกซ์ทแยงมุมทม่ี สี มาชิกทุกตวั บนเส้นทแยงมุมหลกั มคี ่าเท่ากบั 1 ท้งั หมด ใช้สัญลกั ษณ์I หรือ In แทนเมทริกซ์เอกลกั ษณ์อนั ดับ n เช่น 100 1000I3 = 0 1 0 หรือ I4 = 0 1 0 0 001 0 0 1 0 0001 9

Ex. A = 3201 7164เป็ นเมทริกซ์ขนาด _____2____ แถว ____4_____ หลกัเขยี นด้วยสัญลกั ษณ์ ____A__2__4_____ 10

Ex. จงบอกประเภทและอนั ดบั ของเมทริกซ์ลกั ษณะพเิ ศษต่อไปนี้1. O = 000 เมทริกซ์ศูนย์ อนั ดบั 23 0002. A = 1 เมทริกซ์หลกั อนั ดบั 21 8 11

Ex. จงบอกประเภทและอนั ดับของเมทริกซ์ลกั ษณะพเิ ศษต่อไปนี้3. B = 2 4 6 8 0 เมทริกซ์แถว อนั ดบั 15 200 เมทริกซ์ทแยงมุม อนั ดบั 34. C = 0 3 0 12 004

พชี คณิตของเมทริกซ์ การเท่ากนั ของเมทริกซ์ (Equal Matrix) ถ้า A  aij mn และ B  bij  pq จะได้ A = B กต็ ่อเมอ่ื m = p และ n = q และ aij = bij ทุกค่าของ i และ j 13

Ex. A  0 06.5, B   0 0.25 1.5 1  0.5 3 2  ดงั น้ัน A  BEx. A  2 53, B  2  9 4 4 5  ดงั น้ัน A  B 14

การบวกลบเมทริกซ์ (Matrix Addition or Subtraction)ให้ A  [aij ]mn และ B  [bij ]mnแล้ว A + B = Cโดยท่ี C  cij mn  aij  bij mnซ่ึงมีคุณสมบตั ิการบวกดงั น้ี1. A+B = B+A (Commutative law)2. A+(B+C) = (A+B)+C (Associative law)3. A+(-A) = (-A)+A = 0 (Inverse law)4. A+0 = A (Identity law) 15

Ex. A = -1 2 4 และ B = 4 2 -3 3 -6 10 1 79 จงหา C = A + B และ D = A Bวธิ ีทาC  1 4 22 43  3 4 1  3 1 67 10  9 4 1 19D  1 4 22 4  (3)   5 0 7  3 1 67 10  9   2 13 1 16

การคณู เมทริกซ์ การคณู เมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ (Scalar Multiplication)ให้ A  aij mn และ k เป็ นสเกลาร์ ดงั น้ัน kA  kaij mnนั่นคอื เป็ นการนา k คูณกบั สมาชิกทุกตวั ในเมตริกซ์ a b ka kbเช่น k c d = kc kdซ่ึงมีคุณสมบตั ิการคูณสเกลาร์ดงั น้ี 171. k(A + B) = kA + kB2. (k + k’)A = kA + k’A3. (kk’)A = k(k’A)4. 1A = A

Ex. A = 1 -5 3 41 0จงคานวณหา 4A , -3Aวธิ ีทา 4A   4(1) 4(5) 4(3)  4  20 12 4(4) 4(1) 4(0) 16 4 0   3A    3(1)  3(5)  3(3)   3 15  9  3(4)  3(1)  3(0) 12  3 0  18

การคณู เมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ (Matrix Multiplication) 19 ให้ A  [aij ]mn และ B  [bij ]np แล้ว C = AB จะมขี นาดเท่ากบั mp n โดยท่ี cij  aikbki ซ่ึงมีคุณสมบตั ิการคkณู 1เมทริกซ์มีดงั น้ี 1. (AB)C = A(BC) (Associative law) 2. A(B+C) = AB+AC (Left Distributive law) 3. (B+C) A = BA+CA (Right Distributive law) 4. k(AB) = (kA)B = A(kB)

Ex. จงหาผลคูณของเมทริกซ์ AB เมอื่ 1 2 3  2 0 A  0 1 1 , B  4 1 5 2  3 7 3วธิ ีทา  (1)(2)  (2)(4)  (3)(7) (1)(0)  (2)(1)  (3)(3) AB   (0)(2)  (1)(4)  (1)(7) (0)(0)  (1)(1)  (1)(3)    (5)(2)  (2)(4)  (3)(7) (5)(0)  (2)(1)  (3)(3)  31 11    3 2     3  7 20

ชนิดของเมทริกซ์เมทริกซ์สลบั เปลย่ี น (Transposed Matrix) ถ้า A  aij mn แล้ว เมทริกซ์สลบั เปลย่ี นของ A คอื AT  [a ji ]nm ซ่ึงเมทริกซ์สลบั เปล่ียนมีคุณสมบตั ิดงั น้ี 1. (A+B)T = AT + BT 2. (AT)T = A 3. (kA)T = kAT 4. (AB)T = BTAT 21

เช่น a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 AT = a31 a32 a33 a41 a42 a43 43 a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 3  4 22

Ex. จงหาเมทริกซ์สลบั เปลยี่ นของเมทริกซ์ต่อไปนี้ 12 AT = 1 3 4A= 3 0 2 0 7  -4 7 4 4 -1 BT =  4 2 7B = 2 3 -4  4 3 2  -7 2 3   2 1 4 3 C= 8 CT = 2 8 22 23

เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric Matrix)คอื เมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ ทมี่ คี ุณสมบัติ A = ATเมทริกซ์เสมือนสมมาตร (Skew Symmetric Matrix)คอื เมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ ทมี่ ีคุณสมบัติ A = ATเมทริกซ์สามเหลย่ี ม (Triangular Matrix)เมทริกซ์สามเหลย่ี มบน (Upper Triangular Matrix) คอืเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ ทม่ี สี มาชิกทุกตวั ทอี่ ยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลกัเป็ นศูนย์หมดเมทริกซ์สามเหลยี่ มล่าง (Lower Triangular Matrix) คอืเมทริกซ์จตั ุรัสใดๆ ทม่ี ีสมาชิกทุกตวั ทอี่ ยู่เหนอื เส้นทแยงมุมหลกัเป็ นศูนย์หมด 24

เช่น 2 7 5  เป็ นเมทริกซ์สามเหลย่ี มบน 0 1  3 เป็ นเมทริกซ์สามเหลย่ี มล่าง 0 0 1  4 0 0  2 1 0  0 3 6 25

เมทริกซ์เอกฐาน (Singular Multiplication)คอื เมทริกซ์จตุรัสทไี่ ม่สามารถหาเมทริกซ์อนื่ มาคูณให้เป็ นเมทริกซ์เอกลกั ษณ์ได้เมทริกซ์ไม่เอกฐาน (Non-Singular Multiplication)คอื เมทริกซ์จตุรัสทสี่ ามารถหาเมทริกซ์อนื่ มาคูณแล้วได้เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ ซึ่งจะเรียกว่า Invertible Matrixเมทริกซ์จตุรัส A ขนาด nn จะเป็ น Invertible Matrixถ้ามเี มทริกซ์ B ขนาด nn ทมี่ ีคุณสมบตั วิ ่า AB = BA = Inซึ่งในกรณนี ีจ้ ะเรียกเมทริกซ์ B ว่าเป็ น inverse ของ Aแทนด้วยสัญลกั ษณ์ A-1 26

คณุ สมบตั ขิ อง Invertible matrix มีดงั น้ี1. (A-1)-1 = A2. (kA)-1 = k-1A-1 สาหรับจานวนสเกลาร์ k ทไ่ี ม่เท่ากบั ศูนย์3. (AT)-1 = (A-1)T4. (AB)-1 = B-1A-1 27

ดเี ทอร์มแิ นนท์(Determinant)ของเมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนทข์ องเมทริกซ์ คือ ค่าสเกลาร์ท่ีไดจ้ ากเมทริกซ์จตั ุรัสแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ det(A)หรือ A ซ่ึงวธิ ีคานวณหาดีเทอร์มิแนนทม์ ีหลายวธิ ีดงั น้ีการหาโดยตรง (ในกรณีของเมทริกซ์ขนาดเลก็ ) เช่น เมทริกซ์ขนาด 11 , det(A) = | a11 | = a11 เมทริกซข์ นาด 22 (หาดีเทอร์มิแนนทไ์ ดใ้ นกรณีของเมทริกซ์จตุรัสเท่าน้นั ) a b  c d A  ,det(A)  ad  cb + 28

การหาดเี ทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 3  3 - --a1 b1 c1  a1 b1A  a2  b2 c2  a 2 b2a3 b3 c3  a3 b3 ++ +det(A)  a1b2c3  b1c2a3  c1a2b3 a3b2c1  b3c2a1  c3a2b1เมทริกซ์ที่มีขนาดมากกวา่ น้ีจะทาวธิ ีน้ีไม่ได้ ตอ้ งใชว้ ิธีกระจาย cofactor เท่าน้นั 29

การหา Determinant โดยใช้วธิ ีการกระจาย Cofactorไมเนอร์ (Minor) ของเมทริกซจ์ ตั ุรสั A เมอื่ ขนาด n  2 คือ ดีเทอรม์ ิแนนทข์ องเมทริกซย์ อ่ ยของเมทริกซ์ A ซึ่งตดั แถวที่ i และ คอลมั น์ท่ี j ออก โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ Mij แทน ไมเนอรข์ อง aij เชน่ 2 1 0 A  9 4 6 5 3 8 หาคา่ M12 ตอ้ งตดั แถวที่ 1 และ Column ที่ 2 ออก จะได้M12 = 2 1 0 9 6 = 9(8) – 5(6) = 42 9 4 6 58 5 3 8 30

โคแฟคเตอร์(Cofactor) ของเมทริกซ์จตั ุรัส A เมื่อขนาด n  2 นิยามจากคา่ ไมเนอร์ ดงั น้ี Cij = (-1)i+j Mijดังน้ัน ค่าของ C12 และ C23 หาได้ดงั นี้ C12 = (-1)1+2 M12 = -1(42) = -42 2 1 0 2 1 = 2(3) – 5(1) = 1M23 = 9 4 6 53 5 3 8C23 = (-1)2+3 M23 = -1(1) = -1การกระจาย Cofactor สามารถเลือกวา่ จะใชแ้ ถวหรือ หลกั ใดกไ็ ด้แตก่ ารคานวณจะง่ายข้ึนถา้ เลือกแถวหรือ หลกั ที่มีสมาชิกเป็น 0 อยมู่ าก 31

จากค่าไมเนอร์และโคแฟคเตอร์ จะหาคา่ det(A) ไดจ้ าก nn  det(A)  aikCik  akjCkj k 1 k 1จากตัวอย่างจะได้ว่าdet(A) = a11C11+a12C12+a13C13 = 2C11+1C12+0C13 = 2(14) +1(-42) + 0 = 28-42 = -14 32

คุณสมบตั ขิ องดเี ทอรม์ แิ นนท์ 33

Inverse Matrixเมทริกซ์ B จะเป็น Inverse ของเมทริกซ์ A ถ้า AB = BA = I 34

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2 A A1  I A  8 10 3  4 ให้ A-1 = a b AA-1 = I  8 10a b   1 0 c   3 4 c d  0 1 d  คณู เมทริกซ์เขา้ ดว้ ยกนั จะได้  8a 10c 8b 10d   1 0  3a  4c  3b  4d  0 1  8a 10c  1 8b 10d  0  3a  4c  0  3b  4d  1 2 5 1.5 4 จงแกส้ มการหาค่า A-1? A1 

การหาอนิ เวอร์สเมทริกซ์โดยอาศัยเมทริกซ์ผูกพนั (Adjoint matrix) คุณสมบตั ขิ อง Adjoint matrix 361.เมทริกซ์ผูกพนั ของเมทริกซ์ใด ๆ จะมีเพยี งเมทริกซ์เดียวเท่าน้ัน2.ให้ A และ B เป็ น Nonsingular matrix แล้ว 2.1. det adjA  det A n1 2.2. adj  AB  adjBadjA

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2หรือสามารถหา inverse matrix ไดโ้ ดยA  a b c d  ad-bc แทน det(A) ซ่ึงหากมีค่าเท่ากบั ศูนย์A1  1 d b เมทริกซ์ A จะหา inverse ไม่ได้  c  ad bc a  1 d -b det(A) -c aวิธีทา:•จากเมทริกซ์ A ท่ีกาหนด•สลบั ค่า a และ d•เปลี่ยนเครื่องหมายของ b และ c•คูณเมทริกซ์ท่ีไดเ้ ขา้ กบั 1/ det(A)

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2Example: จงหา inverse ของ A A  2 4  4  10A1  1  10  4   (2)(10)  (4)(4)  4 2 A1  1  10  4 5 1   4  4 2  =   2   21   1

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2

การหาอนิ เวริ ส์ เมทรกิ ซโ์ ดยอาศัยการแปลงตามแนวแถว 40