หน่วยที่ 1Equilibrium

หน่วยที่ 1 สมดุลกล (Mechanical Equilibrium) ครูบุษกร การอรชยั โรงเรยี นสรุ าษฎรธ์ านี ๒

ทบทวน Y การแตก แรงเพือ่ หา F แรงลัพธ์ q X

Exercise1 10 2 N Y จงหาแรงลพั ธข์ องแรง 45o ยอ่ ยในรปู ตอ่ ไปนี้ 10 N X 37o 15 N

สภาพสมดลุ –สมดลุ กล หรือ สมดุล (Equilibrium) คือ การที่มี (Equilibrium) แรงลัพธ์มากระทำกบั วัตถุแล้ววตั ถคุ งสภาพการ เคลือ่ นที่หรือพูดอีกอย่างว่าไม่มีการเปลี่ยนสภาพ การเคลื่อนที่ กล่าวคือ ถ้าวัตถุอยู่นิง่ ก็ยังคงสภาพนิ่ง หรือ ถ้าเคลือ่ นที่กจ็ ะเคลื่อนที่ด้วยความเรว็ คงเดิม ซึง่ เป็นไปตามกฎการเคลื่อนทีข่ องนิวตนั ข้อที่ 1 *หมายเหตุ เงือ่ นไขการเกิดสมดุลคือ 1. SF = 0 ( แรงขึ้น = แรงลง , แรงซ้าย = แรงขวา) 2. SM = 0 ( โมเมนต์ตาม = โมเมนต์ทวนเขม็ นาฬิกา)

สมดุลต่อการ –วัตถอุ ยู่นิง่ หรือเคลื่อนที่ด้วยความเรว็ คงตวั โดยไม่เปลี่ยน เคลื่อนที่ สภาพการเคลื่อนทีต่ ามกฎข้อที่ 1 ของนิวตัน จะมีค่าแรง ลพั ธ์หรือผลรวมของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวตั ถทุ ้ังหมดเปน็ (Translaion ศนู ย์ หรือเขียนได้ว่า SF = 0 Equilibrium) หรือ เกิดเมื่อ –∑ \"ซา้ ย = ∑ \"ขวา – ∑ \"ขน้ึ = ∑ \"ลง

ตวั อย่างที่ 1. จากรูปมวล 2 กโิ ลกรมั ผกู เชือกแขวนเพดาน ถกู แรงผลัก P ผลักไป ทางขวามีแรงดึงเชือก (T) และน้ำหนักกระทำดังรปู จงหาขนาดของแรงดงึ เชือก (T) และแรงผลัก (P) ตามลำดับ

ตวั อยา่ งที่ 2. มวล10 กิโลกรัม แขวนด้วยเชือก 2 เส้น ทำมุมกับ เพดานดงั รปู จงหา อตั ราส่วนของขนาด แรงตึงเชือก ก ต่อ เชือก ข

ตัวอย่างที่ 3. ผูกมวล m ติดกบั ปลายเชือกที่มีมวล m แลว้ แขวนไว้กบั เพดานดังรูป ความ ตงึ เชอื กทีจ่ ดุ กึ่งกลางเชือกเปน็ เท่าใด

ตวั อยา่ งที่ 4. มวล m ถูกตรึงให้ อยใู่ นลักษณะดังรปู แรงดึงเส้นเชือก T1 ในเทอมของ m, g และ q มคี ่าเป็น เท่าไร

ตัวอยา่ งที่ 5. มวล m แขวนไวด้ งั รปู และถูกตรึงไว้ ด้วยแรง F ในแนว ระดับ เมือ่ q = 60o ความตึงของเส้น เชอื กจะเปน็ เทา่ ใด

สมดุลต่อการ –สมดลุ ต่อการหมนุ คือภาวะที่วตั ถไุ ม่หมุน (อยู่นิง่ ๆ) หมุน หรือหมนุ ด้วยความเรว็ คงตวั เชน่ ไม้คานซึ่งถูกแรง (Rotational Equilibrium) ขนาดเท่ากนั กดลงทั้งด้านขวาและด้านซ้ายห่างจาก จดุ หมุนเท่ากนั ดังรูป เปน็ ต้น

โมเมนต์ของ –การหมุนของวัตถุจะขึ้นกับโมเมนต์ของแรง (moment of force) แรง หรือ หรือทอร์ก (torque,\"⃑) ซึง่ หมายถึงผลคูณเชิงเวกเตอร์ของแรง ทอรก์ กระทำต่อวตั ถุ (F) กบั การกระจัดทีว่ ดั จากจดุ หมนุ (r) –ขนาดของทอร์กหรือขนาดของโมเมนต์ จะมีคา่ เท่ากับผลคณู ระหว่างขนาดของแรงกับระยะทางจากจดุ หมนุ ไปตั้งฉากกับ แนวแรงน้ัน \"⃑ = $% เมือ่ M คือขนาดของโมเมนต์ (นิวตนั .เมตร) F คือแรง (นิวตัน) r คือระยะห่างจากจดุ หมุนไปต้ังฉากกับแนวแรงนั้น (เมตร)

สมดลุ ตอ่ –ผลรวมของโมเมนต์ทวนเข็มนาฬกิ า = ผลรวมของโมเมนตต์ ามเข็ม การหมุนจะ นาฬกิ า เกดิ เมือ่ S Mทวน = S Mตาม

ตัวอยา่ งที่ 6. นาย A และนาย B ยนื อยูป่ ลายกระดานหก คนละด้าน มวลของ กระดาน 5 กิโลกรมั จดุ หมุนอยทู่ ี่ C ถ้า นาย A มมี วล 60 กิโลกรัม นาย B จะมี มวลกีก่ ิโลกรมั

ตวั อยา่ งที่ 7. คานสม่ำเสมอยาว 50 cm มไี มห้ มอนหนนุ ไวท้ ี่จดุ กึ่งกลางคาน P และมี นำ้ หนกั แขวนไวท้ ีต่ า่ งๆ ดงั รูป ถา้ ตอ้ งการใหค้ าน วางตวั ตามแนวระดบั จะตอ้ งแขวนมวล 5 kg เพ่ิมทางขวามือของจุด P หา่ งออกไปกีเ่ ซนติเมตร

ตวั อยา่ งที่ 8. กลอ่ งสีเ่ หลี่ยมกว้าง 1 เมตร สูง 2 เมตร หนกั 10 กโิ ลกรมั ออกแรงผลกั ใน แนวขนานกบั พื้นขนาด 30 นิวตัน สงู จากพื้น เทา่ ไรกลอ่ งจึงจะเริ่ม ล้ม

ตวั อยา่ งที่ 9. บันไดยาว 2.5 เมตร มี น้ำหนัก 40 นวิ ตัน ศูนย์ ถ่วงของบันไดอยหู่ า่ งจาก ปลายล่าง 1 เมตร จงหา แรงที่บนั ไดกระทำตอ่ กำแพงทีจ่ ดุ A และแรง เสียดทานระหว่างพื้นล่าง กบั บนั ไดและเพื่อทำให้ บนั ไดอยนู่ ิ่งได้ ตอบ ตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 10. คานยาวสมำ่ เสมอมวล 3 kg ยาว 100 cm มไี มห้ มอน หนนุ อยทู่ ี่จุด P และมกี อ้ น มวล 9 kg กบั 5 kg แขวน ไว้ทีป่ ลายแตล่ ะขา้ งดังรูป ถ้าตอ้ งการให้คานวางตวั ตามแนวระดับเราตอ้ งแขวน มวล 2 kg เพิม่ ทางขวาของ จดุ P ทีร่ ะยะ X ตามขอ้ ใด

ตวั อย่างที่ 11. รถยกคันหนึ่งมมี วล 2400 kg มีศนู ยก์ ลางมวลของรถอย่ทู ี่ ตำแหน่งกึง่ กลางระหว่างล้อ หลังกบั ล้อหนา้ ซึ่งห่างกนั 2 เมตร ถ้ารถพยายามยก วัตถทุ ีอ่ ย่หู ่างจาก ตวั รถไป ทางด้านหน้า 10 เมตร มวลมาก ทีส่ ดุ ที่รถสามารถ ยกไดเ้ ปน็ กีก่ โิ ลกรมั

ตัวอยา่ งที่ 12. คานเหลก็ สม่ำเสมอมวล 2 kg ยาว 2 เมตร ที่ ปลายทัง้ สองขา้ งผกู มวล 13 และ 6 kg ถามว่า จะต้องผกู เชือกที่ ตำแหนง่ หา่ งจากปลาย ด้านมวล 13 kg กีเ่ มตร คานจงึ จะสมดลุ

ตวั อย่างที่ 13. ชายสองคนช่วยกนั หามวัตถุ มวล 90 kg ซึง่ แขวนอยูท่ ี่จุด กึ่งกลางคานสม่ำเสมอมวล 10 kg ถา้ ชายคนที่หนึ่งแบก คานตรงตำแหน่งหา่ งจากจุดที่ แขวนวตั ถุ 0.5 m และรบั น้ำหนกั 600 N ชายคนทีส่ อง จะแบกคานท่ตี ำแหนง่ หา่ งจาก จดุ แขวนวัตถุเท่าไร

โมเมนต์ของ – แรงคู่ควบ (couple) คือแรงทีก่ ระทำต่อวตั ถุสองแรง แรงคคู่ วบ ซึง่ มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศตรงกนั ข้าม โมเมนต์ของแรง คคู่ วบจะมีขนาดเท่ากบั ผลคูณขนาดของแรงใดแรง หนึ่งกับระยะทางตั้งฉากระหว่างแนวแรงทั้งสอง Mc= \"# เมื่อ Mc คือโมเมนต์ของแรงคูค่ วบ (นิวตนั .เมตร) F คือขนาดของแรงคู่ควบ (นิวตนั ) # คือระยะตั้งฉากระหว่างแนวแรงท้ังสอง (เมตร)

ตวั อย่างที่ 14. 10 N 2m ตามรูปแรงคู่ควบ 10 นิวตัน กระทำที่คาน AB A B 10 N ซึง่ ยาว 2 เมตร ที่ปลาย ทงั้ สองของคาน จงหา โมเมนตข์ องแรงคูค่ วบนี้

ตัวอยา่ งที่ 15. 120 N 5 cm 60๐ จากรปู จงหาขนาดของ 60๐ โมเมนตข์ องแรงคู่ควบ 120 N และทิศของการหมนุ ของ วัตถุ

ตวั อย่างที่ 16. ชายคนหนึง่ ขับรถเลีย้ ว ซา้ ย เกดิ โมเมนตข์ อง แรงคคู่ วบทีพ่ วงมาลยั 100 Nm ถ้าพวงมาลัย มเี ส้นผา่ ศูนย์กลาง 0.5 m จงหาแรงที่มือ แต่ละขา้ งดงึ พวงมาลัย

ตัวอย่างที่ 17. ออกแรง F = 160 N ผลกั ตเู้ ยน็ 40 kg บนพื้นฝืดที่ ความสงู 90 cm จากพืน้ โดยตูเ้ ยน็ ไมล่ ้ม จงหาความ กว้างน้อยทีส่ ดุ ของฐานตู้เย็น (X) ในหน่วยเซนติเมตร ก าหนดใหค้ วาม สงู ของตู้เย็น คอื 120 เซนติเมตร และจดุ ศนู ย์กลาง มวลอย่สู งู จากพืน้ 40 เซนติเมตร

ตวั อย่างที่ 18. ชายคนหนึ่งขับรถหัก พวงมาลยั เลี้ยวขวา ทำให้เกิดโมเมนต์ที่ พวงมาลัย 200 นวิ ตัน- เมตร ถ้าพวงมาลยั มีเสน้ ผ่านศนู ย์กลาง 40 ซม. จงหาแรงที่มือแตล่ ะขา้ ง ดึงพวงมาลยั

ตวั อยา่ งที่ 19. 20 N A จากรูปคาน AB ยาว 1 เมตร มแี รงคู่ควบ 20 1m F DF นิวตนั กระทำทีป่ ลายท้ัง 40 สอง ถ้าต้องการให้คาน AB หยดุ หมนุ ต้องออก C cm แรงคู่ควบกระทำที่ C , D B 20 N ซึง่ ห่างกัน 40 ซม. เทา่ ไร

ตวั อย่างโจทยเ์ พิ่มเตมิ ตัวอย่างที่ 1. ก. จะต้องออกแรงกระทำต่อกล่องเท่าไรจึงจะเริม่ เคลือ่ นที่ ข. ต้องออกแรง 40 นิวตนั ในแนวราบสูงจากพื้นเท่าไร กล่องจึง กล่องใบหนึ่งกวา้ ง 1 ยงั ไม่ล้ม เมตร สงู 2 เมตร มวล 10 กิโลกรมั วางอยบู่ น พื้นระดับ ซึง่ มีคา่ สมั ประสิทธิข์ องความ เสียดทาน 0.4

ตวั อยา่ งโจทย์เพิ่มเติม ตัวอย่างที่ 2. ก. จะตอ้ งออกแรงกระทาํ ต่อกล่องเท่าไรจึงจะเริ3มเคลื3อนที3 หน้าตา่ งขนาดสมำ่ เสมอ ข. ตอ้ งออกแรง 40 นิวตนั ในแนวราบสูงจากพAืนเท่าไร กล่องจึงยงั ไม่ หนัก 50 นวิ ตัน จุด ลม้ ศนู ยก์ ลางมวลห่างจาก แนวบานพับ 0.6 เมตร บานพับตดิ กับกำแพงใน แนวดิ่งหา่ งกนั 0.8 เมตร จงหาแรงปฏกิ ิริยาที่บาน พับแต่ละตัว เมื่อ

ตวั อย่างโจทยเ์ พิม่ เตมิ ตัวอยา่ งที่ 3. วัตถุอันหนึง่ มวล 3.2 กโิ ลกรัม แขวนห้อยอยู่ ด้วยเชือก 2 เสน้ เสน้ หนึ่ง อยใู่ นแนวราบอีกเส้นหนึ่ง ทำมุม 600 กบั แนวดิ่ง จงหาแรงดงึ ของเชอื กทง้ั สอง

ตวั อย่างโจทยเ์ พิม่ เตมิ ตวั อยา่ งที่ 4. เชอื กเบาเสน้ หนึง่ ยาว 8 นิว้ มีปลายขา้ งหนึ่งผกู กับจดุ ๆ หนึ่งบนผวิ ทรงกลมลูกหนึ่ง และปลายข้างหนึง่ ผูกไว้กับ จดุ บนกำแพง ซึง่ ปราศจาก ความเสยี ดทาน ถา้ ทรงกลม รศั มี 21 นิ้วและหนัก 5 กิโลกรมั จงหาแรงตงึ ในเชอื ก

ตวั อยา่ งโจทย์เพิม่ เตมิ ตัวอย่างที่ 5. รูปภาพมีนำ้ หนกั 4 นิวตนั ใช้ เชอื กผูกที่มุมบนของกรอบ รูปทัง้ สองมุม ไปคล้องผ่าน ตะปลู ืน่ ตวั หนงึ่ ขอบบนของ กรอบรูปอยใู่ นแนวระดบั เส้นเชือกทำมุม 600 ซึง่ กนั และกนั ดงั รปู ถา้ เชอื กไมย่ ดื จงหาความตงึ ของเชอื กแตล่ ะ เส้น

ตวั อย่างโจทยเ์ พิ่มเตมิ ตัวอยา่ งที่ 6. วัตถุทรงกลมตัน 2 ก้อน ขนาดเท่ากัน หนักกอ้ นละ 20 กิโลกรมั สมดลุ อยู่บน พืน้ เอียงที่ไมม่ คี วามเสยี ด ทาน โดยเชอื กทีผ่ ูกอยใู่ น ระดบั ระหวา่ งจุด ศูนยก์ ลางของวตั ถุทง้ั สองดงั รูป จงหาความตงึ เชอื ก

ตวั อย่างโจทยเ์ พิม่ เตมิ ตัวอย่างที่ 7. ตามรูป เชือกทีโ่ ยงกำแพง แนวดิง่ กับคานเบามาก จะตอ้ งทนแรงดึงได้ไมต่ ำ่ กว่าเท่าไหร่ นำ้ หนัก 46 นวิ ตัน จึงจะทำให้ระบบ สมดุล

ตวั อยา่ งโจทย์เพิม่ เตมิ ตัวอยา่ งที่ 8. ถ้าสัมประสทิ ธิ์ของความ เสยี ดทานสถติ ระหวา่ ง น้ำหนกั 200 นวิ ตนั กบั โตะ๊ ระดบั ราบเป็น 0.30 จงหาค่า W ทีม่ ากทีส่ ดุ ซึ่ง เมือ่ แขวนไวท้ ีจ่ ดุ O แลว้ ระบบสมดุลครั้งสุดทา้ ย กำหนด tan700= 2.75

ตัวอยา่ งโจทยเ์ พิม่ เตมิ ตัวอยา่ งที่ 9. จงหาแรงอดั ในคานทง้ั สองอัน เมื่อจุดปลาย ทั้งหมดเปน็ บานพับ และ คานทัง้ สองเบามาก

ตัวอยา่ งโจทยเ์ พิม่ เตมิ ตวั อยา่ งที่ 10. ถ้าเชือกทนแรงดึงได้เพียง 80 นิวตัน จงหาวา่ W จะตอ้ งหนักไดม้ ากทีส่ ดุ เทา่ ไรเชอื กจงึ จะขาดพอดี เมื่อเชือกเบามาก

ตวั อย่างโจทยเ์ พิ่มเตมิ ตัวอย่างที่ 11. ถา้ นำ้ หนักมากทีส่ ดุ ที่ เชือกทนได้เป็น 80 นวิ ตัน จงหาค่าของน้ำหนัก W ทีพ่ อดที ำใหร้ ะบบสมดลุ เปน็ ครั้งสุดทา้ ย

ตัวอยา่ งโจทย์เพิม่ เตมิ ตัวอย่างที่ 12. ตามรูป เชอื กเบารอกทกุ ตวั หมนุ คล่อง จงหา น้ำหนัก W2 ในเทอมของ W1

ตวั อยา่ งโจทย์เพิม่ เตมิ ตวั อย่างที่ 13. จากรูปต่อไปนีใ้ นสภาวะ สมดลุ แรง F มีค่าเทา่ ใด

ตวั อยา่ งโจทย์เพิม่ เตมิ ตวั อย่างที่ 14. ถา้ สัมประสทิ ธ์ิของความ เสียดทานระหว่างมวล 5 กิโลกรมั กับพื้นราบเอียงมี ค่าสูงสดุ 0.50 จะตอ้ งเตมิ มวลอย่างนอ้ ยที่สดุ ใหก้ บั มวลตวั ไหน (ระหวา่ ง 5 กิโลกรัม กับ 10 กิโลกรมั ) และเทา่ ไร จงึ จะทำให้ 10 กิโลกรมั อยนู่ ิง่ กับที่

ตวั อยา่ งโจทย์เพิม่ เตมิ ตัวอยา่ งที่ 15. จากรปู ทรงกลมและครึ่ง วงกลม มีรัศมี 5 เซนติเมตร ทรงกลมมนี ้ำหนกั 20 นิวตนั และครึ่งทรงกลมมีนำ้ หนกั 10 นวิ ตนั พืน้ และครึง่ ทรง กลมมสี มั ประสทิ ธิค์ วาม เสยี ดทานเท่ากับ 0.5 จงหา ว่าถ้าระบบอย่ใู นสมดุลระยะ x มีค่าเทา่ ไร ?