บทที่ 1 คณิตศาสตร์กับธรรมชาติ

คณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์ในชีวิตประจาวนั อ.ประตมิ า ทองอาไพ คณะศลิ ปศาสตร์ มหาวิทยาลยั เทคโนโลยีราชมงคลตะวนั ออก

1-1 บทที่ 1พฒั นาการทางคณติ ศาสตร์และคณติ ศาสตร์กบั ธรรมชาติคณิตศาสตร์ในชีวติ ประจาวนั หมายถึงการนาความรู้ เน้ือหา หลกั การทางคณิตศาสตร์ ในระดบั ที่เหมาะสมกบั ผเู้ รียน ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นกิจกรรมท่ีเก่ียวขอ้ งกบัผเู้ รียน หรือใชอ้ ธิบายปรากฏการณ์ เหตุการณ์ใกลต้ วั ที่สามารถพบเห็นไดใ้ นชีวติ ประจาวนั ทวั่ ไป ทุกเหตุการณ์ท่ีเกิดข้ึน ไมว่ า่ จะเกิดข้ึนทุกวนั หรือนานๆ คร้ัง ท้งัท่ีเก่ียวขอ้ งโดยตรงหรือโดยออ้ ม ลว้ นแตส่ ามารถโยงใหเ้ ขา้ กบั คณิตศาสตร์ได้ ในชีวติ ประจาวนั ทุกคนจึงตอ้ งไดใ้ ชค้ ณิตศาสตร์ท้งั ท่ีรู้ตวั และไม่รู้ตวั คณิตศาสตร์ในชีวติ ประจาวนั จึงไม่ไดม้ ีความหมายค่าเพยี งแคก่ ารบวก ลบ คูณ หาร การซ้ือขาย ทอนเงิน ส่วนลด หรือการมองเห็นวตั ถุเหล่ียม กลม หรือรูปทรงตา่ งๆ เรียกวา่ รูปเรขาคณิตขณะเดียวกนั ไม่ไดห้ มายความวา่ คณิตศาสตร์ในชีวติ ประจาวนั จะตอ้ งเป็นเฉพาะคณิตศาสตร์ที่ยาก หรือคณิตศาสตร์ช้นั สูง ที่มีส่วนสาคญั ในการพฒั นาวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยลี ้าสมยั เทา่ น้นั เนื่องจากชีวิตประจาวนั ของแต่ละคนต่างกนัชีวติ ประจาวนั ของนกั เรียน ครู นกั วทิ ยาศาสตร์ และประชาชนทว่ั ไปจึงยอ่ มแตกตา่ งกนั ดว้ ย หลกั สาคญั ของ “คณิตศาสตร์ในชีวติ ประจาวนั ” จึงอยทู่ ี่มุมมองในการนาคณิตศาสตร์ไปประยกุ ตใ์ ช้ ใชอ้ ธิบายเหตุการณ์ใกลต้ วั และเหตุการณ์ท่ีน่าสนใจ ซ่ึงสามารถพบเห็นไดใ้ นชีวติ ประจาวนั ทวั่ ไป คณิตศาสตร์ คือ ศาสตร์หรือวชิ าที่ศึกษาเก่ียวกบั โครงสร้าง, อนั ดบั และ ความสมั พนั ธ์ซ่ึงมีววิ ฒั นาการ มาจาก การนบั การวดัและ การอธิบายรูปทรงของวตั ถุ และเก่ียวขอ้ งกบั การใหเ้ หตุผลท่ีเป็นการคิดของมนุษยแ์ ละการคานวณเชิงปริมาณ เมื่อพจิ ารณาคาวา่ “คณิตศาสตร์” หมายถึง “ส่ิงที่สามารถนบั ได”้ ดงั น้นั การนบั จึงเป็นวธิ ีการที่เกี่ยวขอ้ งกบั ชีวติ ประจาวนั ถา้ ไมม่ ีคณิตศาสตร์ แลว้ จะนบั วนั นบั เดือน นบั ปี กนั ไดอ้ ยา่ งไร ในสมยั โบราณ ชาวกรีก ชาวอียปิ ตส์ ามารถประดิษฐป์ ฏิทินทางสุริยคติได้ สามารถบอกไดว้ า่ ดวงอาทิตยห์ มุนรอบโลกใชเ้ วลานานเทา่ ไร จะเห็นวา่ อารยธรรม ส่ิงประดิษฐ์และการแกป้ ัญหา ตา่ งๆ ในอดีตลว้ นแต่อาศยั พ้นื ฐานทางคณิตศาสตร์ท้งั สิ้น เมื่อพิจารณาจากส่ิงท่ีอยรู่ อบตวั เราจากระดบั พ้ืนฐาน แลว้ เราจะพบวา่ แต่ละคนลว้ นมีความจาเป็นตอ้ งเก่ียวขอ้ งกบั การ

1-2นบั บวก คูณ ลบ หรือ หาร นนั่ คือ คณิตศาสตร์อยรู่ อบตวั เรา คณิตศาสตร์ปรากฏรอบตวั เราในหลายรูปแบบเช่น เราตอ้ งจาหรือใชห้ มายเลขโทรศพั ท์ เราตอ้ งจดั การกบัปริมาณเงินในกระเป๋ า เราตอ้ งคิดเรื่องคา่ ใชจ้ ่ายในการเดินทาง เราตอ้ งเล่นกีฬาตอ้ งเขา้ ใจเรื่องรูปทรงเรขาคณิตและคุณสมบตั ิของอุปกรณ์กีฬา เราตอ้ งเสียภาษี ส่ิงเหล่าน้ีลว้ นมีคณิตศาสตร์เกี่ยวขอ้ งอยโู่ ดยตลอด แสดงวา่ คณิตศาสตร์มีความสาคญั อยา่ งยง่ิ1.1 การพฒั นาการความคดิ เชิงคณติ ศาสตร์ เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ที่เราใช้กันอยู่ในปัจจุบนั น้ี มีพ้ืนฐานมาจากการพฒั นาแนวคิดทางคณิตศาสตร์ต้งั แต่สมยั โบราณโดยเราสามารถแบ่งพฒั นาการแบ่งออกได้เป็ น 4 ข้ันตอน คือ แนวคิดทางคณิตศาสตร์ ลูกคิด เคร่ื องคานวณและคอมพิวเตอร์ ซ่ึงในการพฒั นาแนวคิดน้ีก่อให้เกิดประโยชน์ต่าง ๆ อาทิ การวางแผนการจดั การทางธุรกิจ การวางระบบการจราจร การวิเคราะห์ปัญหาทางเศรษฐศาสตร์การออกแบบการก่อสร้าง และอื่น ๆ ท้งั เป็ นรากฐานของการจดั ระบบและภาษาทางคอมพิวเตอร์ สาหรับความคิดในเชิงคณิตศาสตร์น้นั จะเริ่มดว้ ยการสร้างแนวความคิดตอ่ จากน้นั ก็จะพฒั นาแนวคิดดงั กล่าวใหเ้ ป็นแบบแผน มีหลกั การที่แน่นอน โดยอาศยัการเรียนรู้ ประสบการณ์ต่าง ๆจากสิ่งท่ีสนใจเพ่ือสร้างแนวคิดใหม่หรือองคค์ วามรู้ใหม่ใหเ้ กิดข้ึน จากน้นั นาความคิดท่ีไดม้ าสร้างเป็ นตวั แบบตามความคิด (Model) ซ่ึงตวั แบบจะตอ้ งสามารถพิสูจน์ให้เห็นจริงได้ และการนาตวั แบบน้นั ไปใช้กบั ปัญหาต่าง ๆ ท่ีสอดคลอ้ งกบั เงื่อนไขของตวั แบบที่สร้างข้ึนเพื่อก่อใหเ้ กิดการเรียนรู้ส่ิงใหม่จนนาไปสู่การประยกุ ตใ์ ชก้ บั สิ่งท่ีอยรู่ อบตวั เราก่อใหเ้ กิดเทคโนโลยตี า่ ง ๆ สาหรับการสร้างแบบแผนตามแนวความคิดทางคณิตศาสตร์น้นั สามารถทาไดห้ ลายวธิ ี โดยแบง่ ออกเป็น 3 กลุ่มยอ่ ย ๆ คือ 1. การสร้างแบบแผนจากแผนภาพ 2. การสร้างแบบแผนจากกราฟ 3. การสร้างแบบแผนจากสมการ

1-3 1.1.1 การพฒั นาความคดิ ทางคณติ ศาสตร์สมยั บาบโิ ลน บาบิโลนเป็ นนครของชาวเซไมทก์ ลุ่มหน่ึง อยทู่ างภาคใตข้ องบริเวณเมโสโปเตเมีย เมื่อประมาณ 2,350 ก่อน คริสต์ศกั ราช ซ่ึงพฒั นาต่อๆมาเป็ นนครใหญ่และสวยงามมากแห่งหน่ึงของโลก มีกาแพงเมืองล้อมรอบตัวเมืองเป็ นระยะทางเกือบ 8 กิโลเมตร มีหอคอยก้นั ระหว่างกาแพงเป็ นระยะๆ มีประตูเมือง 8 แห่ง เขา้ สู่ภายในเมือง ตวั อาคารสร้างดว้ ยอิฐ ตรงประตูเมืองวาดภาพเป็ นรูปสัตวน์ บั ร้อยภาพตกแต่งสวยงาม มีถนนบนกาแพงเมืองกวา้ งพอให้ทหารเดินไปรอบเมือง เพ่ือป้องกนัขา้ ศึก อารยธรรมยิ่งใหญ่ของบาบิโลนท่ีทิ้งไวใ้ ห้แก่มนุษยชาติ สาคญั ๆได้แก่กฎหมายของบาลิโลนท่ีมีความยุติธรรมและเขียนจารึกไวบ้ นแผน่ ดินเหนียวซ่ึงยงั คงเหลือมาถึงทุกวนั น้ี โดยกษตั ริยฮ์ มั มุรัมบี ตรากฎหมายเรื่องต่างๆ เช่น การสมรสโจรกรรม หน้ีสิน การจราจรทางน้า ค่าจา้ งแรงงาน การรักษาคลอง กฎหมายกาหนดราคา ฯลฯ เหล่าน้ีเป็ นกฎหมายท่ียุติธรรมแต่บทลงโทษโหดเห้ียม ซ่ึงเป็ นจุดเร่ิมตน้ของกฎหมายที่ดี จนกระทง่ั โรมนั นามาใชท้ วั่ จกั รวรรดิโรมนั และประเทศยโุ รปยงั เอากฎหมายโรมนั มาใชอ้ ยปู่ ัจจุบนั ชาวบาบิโลน (ประเทศอิรักในปัจจุบนั ) และชาวอียิปตร์ ู้จกั เขียนสัญลกั ษณ์แทนจานวน รู้จกั เลข เศษส่วน รู้จกั ใช้ลูกคิดบวก ลบ คูณ หารตวั เลข ความรู้เกี่ยวกบัจานวนไดน้ ามาใชใ้ นการติดตอ่ คา้ ขาย การเก็บภาษี การรู้จกั ทาปฏิทิน และการรู้จกั ใช้มาตรฐานเกี่ยวกบั เวลา เช่น 1 ปี มี 365 วนั 1 วนั มี 24 ชวั่ โมง 1 ชว่ั โมงมี 60 นาที 1 นาทีมี 60 วินาที ความรู้ทางเรขาคณิต เช่น การวดั ระยะทาง การวดั มุม นามาใช้ในการก่อสร้างและการรังวดั ท่ีดิน เขาสนใจคณิตศาสตร์ในดา้ นนาไปใชใ้ หเ้ ป็นประโยชนไ์ ด้เทา่ น้นั จากหลกั ฐานทางคณิตศาสตร์ท่ีเก่าแก่ที่สุดของอารยธรรมมนุษยใ์ นยุคบาบิโลน ซ่ึงอยูใ่ นช่วงเวลาประมาณห้าพนั ปี ที่แลว้ ชาวบาบิโลนมีอารยธรรมที่เก่าแก่อยู่แถบลุ่มแม่น้ายูเฟรติส ไดใ้ ช้ตวั เลขการนบั ด้วยฐานหกสิบ และแบ่งหน่วยเวลาเป็ นมาตรา 60 ดงั ท่ีเราใชก้ นั มาในเรื่องเวลา และใชแ้ บ่งวงกลมเป็ นองศา ฟิ ลิปดา เป็ นตน้

1-4ตวั เลขแทนเวลาจะเขียนไดเ้ ป็ น 5h 25' 30\" มีความหมายวา่ 5ชวั่ โมง 25 นาที 30 วินาทีหรื อเขียนในฐาน 60 เป็ น 5 25/60 30/3600 ซ่ึงถ้าเขียนเป็ นตัวเลขฐานสิบจะได้ 54/10 2/100 5/1000 ชีวิตความเป็ นอยู่ของคนเก่ียวขอ้ งกบั การนบั และปริมาณ หน่วยนบั จึงมีความสาคญั เพราะการสื่อสารเพื่อจะบอกปริมาณระหว่างกนั จาเป็ นตอ้ งมีหน่วยนบั ลองจินตนาการดูว่า มนุษยช์ าวบาบิโลเนียน ยงั ไม่รู้จกั กบั ตวั เลขทศนิยมรู้จกั แต่จานวนเต็ม และมีฐานหกสิบ หลกั ฐานที่สาคญั ท่ียืนยนั วา่ ชาวบาบิโลเนียนใช้เลขฐานหกสิบ กค็ ือมีการคน้ พบตารางคานวณท่ีลุ่มน้ายูเฟรติสในปี ค.ศ. 1854 ตารางท่ีพบเป็ นตารางตวั เลขยกกาลงั สอง เช่น 82 = 1 4 ซ่ึงมีความหมายเป็ น 82 = 1 4 = 1 x 60+ 4 = 64 หรือตวั อยา่ ง 592 = 58 1 (=58 x 60 + 1 = 3481) สิ่งท่ีน่าประหลาดใจคือ ชาวบาบิโลเนียนรู้จกั วธิ ีการคูณและหารตวั เลขแลว้ แต่การคูณและหารตวั เลขยงั มีลกั ษณะที่ใชต้ ารางยกกาลงั สองของตวั เลขที่ทาข้ึน โดยสมมุติวา่ ตอ้ งการคูณตวั เลข a และ b ชาวบาบิโลเนียนใชห้ ลกั การของการยกกาลงั สองของตวั เลขที่ไดจ้ ากตาราง a.b = ((a+b)2-a2-b2)/2 จากหลกั การน้ีเขียนได้ --> a.b = (a+b)2/4 - (a-b)2/4โดยใช้หลักการเช่น ถ้าต้องการผลลัพธ์ของ 5.3 จะได้ (64/4) - 4/4 = 15 ลองจินตนาการดูว่าชีวิตความเป็ นอยูข่ องชาวบาบิโลเนียนท่ีเก่ียวขอ้ งกบั เลขฐานหกสิบแมแ้ ตห่ น่วยเงินก็เป็ น 60 และแบ่งยอ่ ยเป็ นหกสิบ แต่หากแบ่งส่วนยอ่ ยบางส่วนลงไปเช่น 1/13 ซ่ึงมีค่าเท่ากบั 7/91ซ่ึงถา้ คิดโดยประมาณก็จะเป็ น 7/90 ความเกี่ยวโยงทางความคิดก็ยงั คงเก่ียวกบั ธรรมชาติและวถิ ีความเป็นอยูห่ น่วยนบั ของชาวอียปิ ตย์ งั คงใช้เลขจานวนเตม็ และใชเ้ ศษส่วน ดงั น้นั ตวั เลขทศนิยมยงั ไม่มีใช้ จากหลกั ฐานที่พบบนแผน่ พาไพรัสท่ีบง่ บอกวา่ กษตั ริยท์ รงพระนามวา่ Ahmes ไดจ้ ารึก เร่ืองราวเกี่ยวกบั การคูณไวต้ ้งั แตเ่ ม่ือ 1650 ปี ก่อนคริสตศ์ กั ราช แผน่ จารึกดงั กล่าว เป็ นตารางการคูณเลข 41และ 59 ระบบการนบั จานวน เปล่ียนแปลงมาใชฐ้ านสิบ เพราะเหตุผลความคุน้ เคยกบัการใชน้ ิ้วมือในการสื่อสาร เมื่อนิ้วมือมีสิบนิ้ว ระบบตวั เลขเบ้ืองตน้ จึงใชต้ วั เลขสิบตวัและใช้ในระบบตวั เลขฐานสิบในยุคต่อมาหากโลกของอีทีในภาพยนตร์มีนิ้วมือรวมกนั 8 นิ้ว โลกของอีทีก็น่าจะใช้ตวั เลขฐาน 8 ในการส่ือสารแสดงค่าจานวนกนัระบบการนบั จานวนจึงไม่จาเป็ นตอ้ งยึดติดกบั ฐานตวั เลขฐานใดฐานหน่ึง เช่น เมื่อถึง

1-5ยุคอิเล็กทรอนิกส์ ยุคท่ีคอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทมากข้ึน การใช้งานในยุคอิเล็กทรอนิกส์เป็ นเครื่องคานวณ ใชห้ ลกั การแทนตวั เลข ดว้ ยระดบั สัญญาณไฟฟ้าสองระดบั ซ่ึงแทนตวั เลข 0 และ 1 การคานวณในระบบคอมพิวเตอร์จึงใช้หลกั การของตวั เลขฐานสอง ระบบตวั เลขฐานสองจึงมีคุณค่าในยุคสมยั ที่เคร่ืองคอมพิวเตอร์เขา้ มามีบทบาทที่สาคญั ที่น่าสังเกตคือในสังคมความเป็ นอยูข่ องแต่ละชาติจะคุน้ เคยกบั ตวั เลขต่างกนั เช่น ในหลกั การของทางตะวนั ตก ใชต้ วั เลข เป็ นจานวนเท่าของพนัเช่น 10000 ก็เรียก สิบพนั 100000 ก็เรียก หน่ึงร้อยพนั และถา้ เป็ นลา้ นก็จะมีการแทนแต่ในสังคมจีน ญี่ป่ ุน ใชก้ ารนบั ตวั เลขถึงหลกั หมื่น ถา้ จะแทนแสนก็จะเรียกวา่ สิบหมื่น เป็ นตน้ ขอบเขตของตวั เลข หรือการนบั จานวนในสมยั อียปิ ต์ และโรมนั ยงั ไม่มีเลขศูนย์ และยงั ไม่ใชค้ ่าทศนิยม แต่จะใช้เศษส่วนเป็ นหลกั ดงั น้นั ชาวอียิปตโ์ บราณจะเปรียบเทียบขนาดจานวนของเศษส่วนได้คล่องกว่า ลองนึกดูว่า ถ้าเราได้เลขเศษส่วนหลาย ๆ จานวน จะจดั เรียงจากมากไปหาน้อยได้อย่างไร การแทนตวั เลขจานวน จึงหันมาใช้ระบบการนับจานวนแบบฐานสิบ และใช้ระบบทศนิยม ทาให้สะดวกต่อการใช้ การเปรียบเทียบ และสร้างความคุน้ เคย หรือนามาใช้ประโยชน์ในทางส่ือสารกนั ไดง้ ่าย 1.1.2 การพฒั นาความคิดทางคณติ ศาสตร์สมยั อยี ปิ ต์ และโรมนั อียิปต์โบราณ หรือ ไอยคุปต์ เป็ นหน่ึงในอารยธรรมที่เก่าแก่ที่สุดในโลกต้งั อยู่ทางตอนตะวนั ออกเฉียงเหนือของทวีปแอฟริกา มีพ้ืนที่ต้งั แต่ตอนกลางจนถึงปากแม่น้าไนล์ ปัจจุบนั เป็ นท่ีต้งั ของประเทศอียิปต์ อารยธรรมอียิปตโ์ บราณเร่ิมข้ึนประมาณ 3,150 ปี ก่อนคริสตศ์ กั ราช โดยการรวมอานาจทางการเมืองของอียิปต์ตอนเหนือและตอนใต้ ภายใต้ฟาโรห์องค์แรกแห่งอียิปต์ และมีการพฒั นาอารยธรรมเร่ือยมากวา่ 3,000 ปี ประวตั ิของอียปิ ตโ์ บราณปรากฏข้ึนในช่วงระยะเวลาหน่ึง หรือที่รู้จกั กนั ว่า \"ราชอาณาจกั ร\" มีการแบ่งยุคสมยั ของอียิปต์โบราณเป็ นราชอาณาจกั รส่วนมากแบง่ ตามราชวงศท์ ่ีข้ึนมาปกครอง จนกระทงั่ ราชอาณาจกั รสุดทา้ ย หรือที่รู้จกักนั ในช่ือวา่ \"ราชอาณาจกั รใหม่\" อารยธรรมอียิปตอ์ ยใู่ นช่วงท่ีมีการพฒั นาที่นอ้ ยมากและส่วนมากลดลง ซ่ึงเป็ นเวลาเดียวกนั ที่อียปิ ต์พ่ายแพต้ ่อการทาสงครามจากอานาจของชาติอื่น จนกระทง่ั เมื่อ 31 ปี ก่อนคริสต์ศกั ราชก็เป็ นการสิ้นสุดอารยธรรมอียิปต์

1-6โบราณลง เม่ือจกั รวรรดิโรมนั สามารถเอาชนะอียิปต์ และจดั อียปิ ตเ์ ป็ นเพียงจงั หวดัหน่ึงในจกั รวรรดิโรมนั อารยธรรมอียิปตพ์ ฒั นาการมาจากสภาพของลุ่มแม่น้าไนล์การควบคุมระบบชลประทาน, การควบคุมการผลิตพืชผลทางการเกษตร พร้อมกบัพฒั นาอารยธรรมทางสังคม และวัฒนธรรม พ้ืนท่ีของอียิปต์น้ันล้อมรอบด้วยทะเลทรายเสมือนปราการป้องกนั การรุกรานจากศตั รูภายนอก นอกจากน้ียงั มีการทาเหมืองแร่ และอียิปต์ยงั เป็ นชนชาติแรกๆที่มีการพฒั นาการด้วยการเขียน ประดิษฐ์ตวั อกั ษรข้ึนใช้ ,การบริหารอียปิ ตเ์ นน้ ไปทางสิ่งปลูกสร้าง และการเกษตรกรรม พร้อมกันน้ันก็มีการพัฒนาการทางทหารของอียิปต์ท่ีเสริ มสร้างความแข็งแกร่งแก่ราชอาณาจกั ร โดยประชาชนจะใหค้ วามเคารพกษตั ริยห์ รือฟาโรห์เสมือนหน่ึงเทพเจา้ทาให้การบริ หารราชการบ้านเมืองและการควบคุมอานาจน้ันทาได้อย่างมีประสิทธิภาพ ชาวอียิปตโ์ บราณไมไ่ ดเ้ ป็ นเพยี งแต่นกั เกษตรกรรม และนกั สร้างสรรค์อารยธรรมเท่าน้ัน แต่ยงั เป็ นนักคิด, นักปรัชญา ได้มาซ่ึงความรู้ในศาสตร์ต่างๆมากมายตลอดการพฒั นาอารยธรรมกวา่ 3,000 ปี ท้งั ในดา้ นคณิตศาสตร์, เทคนิคการสร้างพีระมิด, วดั , โอเบลิสก,์ ตวั อกั ษร และเทคโนโลยดี า้ นกระจก นอกจากน้ียงั มีการพฒั นาประสิทธิภาพทางดา้ นการแพทย,์ ระบบชลประทานและการเกษตรกรรม อียิปต์ทิ้งมรดกสุดท้ายแก่อนุชนรุ่นหลังไว้คือศิลปะ และสถาปัตยกรรม ซ่ึงถูกคดั ลอกนาไปใชท้ วั่ โลก อนุสรณ์สถานที่ตา่ งๆในอียปิ ตต์ า่ งดึงดูดนกั ท่องเท่ียว นกั ประพนั ธ์กวา่ หลายศตวรรษที่ผา่ นมา ปัจจุบนั มีการคน้ พบวตั ถุใหม่ๆในอียิปต์มากมายซ่ึงกาลงั ตรวจสอบถึงประวตั ิความเป็ นมา เพ่ือเป็ นหลกั ฐานให้แก่อารยธรรมอียปิ ตแ์ ละเป็นหลกั ฐานแก่อารยธรรมของโลกต่อไป ในสมยั โบราณ อียปิ ต์เป็ นชาติที่เจริญรุ่งเรืองทางด้านศิลปวิทยาการก่อนชาติอ่ืนๆ ชาวอียิปต์รู้จกั บนั ทึกจานวนโดยใชส้ ัญลกั ษณ์ต่างๆ โดยการเขียนสัญลกั ษณ์แทนจานวนของชาวอียปิ ต์ ใช้วิธีรวมค่าของสัญลักษณ์เหล่าน้ัน จะไม่คานึงถึงตาแหน่งของสัญลักษณ์ ดังน้ันจานวนเดียวกนั อาจจะเขียนสัญลกั ษณ์สลบั ท่ีเป็ นแบบต่างๆได้ อียิปตโ์ บราณ มีอาณาเขตครอบคลุมท่ีราบลุ่มแม่น้าไนลจ์ ากเมืองแอสวาน (Aswan) จนจรดชายฝั่งทะเลเมดิเตอร์เรนียนของประเทศอียปิ ต์ อียปิ ตโ์ บราณเป็นอารยธรรมหน่ึงท่ีเก่าแก่ที่สุดในโลก

1-7และเป็ นอารยธรรมแรกที่ส่งเสริมวทิ ยาศาสตร์ ชาวอียปิ ตโ์ บราณใหค้ วามสาคญั อยา่ งมากกบั การจดบนั ทึก และการสื่อสารจึงไดป้ ระดิษฐ์กระดาษปาปิ รุส (papyrus) ข้ึน ที่มีอายุ 3,850 ปี กระดาษปาปิ รุสทามาจากตน้ กกที่เติบโตอยา่ งแพร่หลายในแถบลุ่มแมน่ ้าไนล์ ในพีระมิดไดแ้ สดงให้เรา ณ วนั น้ีเห็นวา่ ชาวอียิปต์รู้จกั เลขเศษส่วน รู้วิธีแบ่งขนมปังในอัตราส่วนต่างๆ รู้วิธีหาพ้ืนท่ีของสามเหลี่ยม รู้วิธีหาปริ มาตรของทรงกระบอก เม่ือมีการกาหนดความยาวเส้นผ่าศูนย์กลาง และส่วนสู งของทรงกระบอกมาให้ นอกจากน้ีนกั คณิตศาสตร์อียิปต์ยงั ไดพ้ บว่าอตั ราส่วนระหว่างความยาวของเส้นรอบวง/เส้นผา่ ศูนยก์ ลางของวงกลมใดๆ มีค่า 256/81 หรือ 3.16 ชาวอียิปต์โบราณสื่อความหมายดว้ ยอกั ษรภาพที่เรียกวา่ ไฮโรกลิฟ (Hieroglyph) ซ่ึงรวมไปถึงตวั เลขดว้ ย 1.1.3 การพฒั นาความคิดของนักวทิ ยาศาสตร์ทน่ี ่าสนใจปี ทาโกรัส (Pythagoras) : ผลงาน 1. สร้างสูตรคูณหรือตารางปี ทาโกเรียน (Pythagorean Table) 2. ทฤษฎีบทเรขาคณิตท่ีวา่ “ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กาลงั สองของความ ยาวของดา้ นตรง ขา้ มมุมฉาก เทา่ กบั ผลบวกของกาลงั สองของความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก 3. สมบตั ิของแสง และการมองวตั ถุ 4. สมบตั ิของเสียงอาร์คิมดี ีส (Archimedes)1. กฎของอาร์คิมีดีส (Archimedes Principle) ที่กล่าววา่ “ปริมาตรของวตั ถุส่วนท่ีจมลงในน้ าย่อมเท่ากับปริ มาตรของน้าที่ถูกแทนท่ีด้วยวตั ถุ” ซ่ึงกฎข้อน้ีได้นาไปใช้ประโยชน์ในการหาความถ่วงจาเพาะของวตั ถุ2. ประดิษฐเ์ คร่ืองทุน่ แรง ไดแ้ ก่ คานดีดคานงดั รอก ระหดั วดิ น้า และลอ้ กบั เพลา3. อาวธุ สงคราม ไดแ้ ก่ เครื่องเหวยี่ งหิน กระจกเวา้ รวมแสง และเครื่องปล่อยทอ่ นไม้

1-8ยูคลดิ (Euclid) ยคู ลิดเป็ นนกั คณิตศาสตร์ท่ีสาคญั และเป็ นท่ีรู้จกั กนั ดี ยูคลิดเกิดท่ีเมืองอเล็กซานเดรีย ประเทศอิยปิ ต์ เมื่อราว 365 ปี ก่อนคริสตกาล เม่ือมีชีวติ อยจู่ นกระทง่ั ประมาณปี 300 ก่อนคริสตกาล สิ่งท่ีมีชื่อเสียงคือผลงานเร่ือง The elements หลกั ฐานและเร่ืองราวเก่ียวกบั ตวั ยูคลิดยงั คงสับสน เพราะมีผูเ้ ขียนไวห้ ลายรูปแบบ อย่างไรก็ตามผลงานเรื่อง The elements ยงั คงหลงเหลืออยู่จนถึงทุกวนั น้ี จากหลกั ฐานท่ีสับสนทาให้สันนิษฐานที่เกี่ยวกบั ยูคลิดมีหลายแนวทาง เช่น ยูคลิดเป็ นบุคคลที่เขียนเรื่อง The elements หรือยคู ลิดเป็ นหวั หนา้ ทีมนกั คณิตศาสตร์ที่อาศยั อยทู่ ี่อเล็กซานเดรีย และไดช้ ่วยกนั เขียนเร่ือง The elements อยา่ งไรก็ดีส่วนใหญ่ก็มน่ั ใจว่ายูคลิดมีตวั ตนจริง และเป็ นปราชญ์อจั ฉริยะทางด้านคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตในยุคกว่า2,000 ปี ผลงาน The elements แบ่งออกเป็ นหนงั สือได้ 13 เล่ม ใน 6 เล่มแรกเป็ นผลงานเก่ียวกับเรขาคณิต เล่ม 7, 8 และ 9 เป็ นเร่ืองราวเกี่ยวกบั ทฤษฎีตัวเลข เล่ม 10 เป็ นเร่ืองราวเกี่ยวกับทฤษฎีที่ว่าด้วยจานวนอตรรกยะ เล่ม 11, 12 และ 13 เกี่ยวขอ้ งกับเร่ืองราว รูปเรขาคณิตทรงตนั และปิ ดทา้ ยดว้ ยการกล่าวถึงรูปทรงหลายเหล่ียม และขอ้พิสูจน์เกี่ยวกบั รูปทรงหลายเหลี่ยม ผลงานของยคู ลิดเป็นท่ียอมรับอยา่ งกวา้ งขวางมาก และกล่าวกนั วา่ ผลงาน Theelements เป็ นผลงานที่ต่อเน่ือง และดาเนินมาก่อนแล้วในเร่ื องผลงานของนักคณิตศาสตร์ยุคก่อน เช่น ทาลีส (Thales), ฮิปโปเครตีส (Hippocrates) และพีธากอรัสอย่างไรก็ตาม หลายผลงานที่มีในหนงั สือน้ีเป็ นท่ีเชื่อกนั วา่ เป็ นบทพิสูจน์และผลงานของยคู ลิดเอง ผลงานของยูคลิดที่ไดร้ ับการนามาจดั ทาใหม่ และตีพมิ พเ์ ผยแพร่คร้ังแรกในปี ค.ศ. 1482 หลงั จากน้นั มีผนู้ ามาตีพมิ พอ์ ีกมากมายนบั จานวนคร้ังไม่ถว้ นแบลส ปาสกาล (Blaise Pascal)ผลงาน1. งานเขียน Essay pour les coniques (1640) ซ่ึงสรุ ปทฤษฎีบท เกี่ยวกับเรขาคณิ ตโพรเจกตีฟ ท่ีทา่ นไดพ้ ฒั นามาแลว้ เมื่ออายไุ ด้ 16 ปี

1-92. งานเขียน Traite du traingle arithmetique (1665) ซ่ึงเกี่ยวกบั “Chinese triangle” หรือในอดีตนิยมเรียกว่า “Pascal triangle” เพราะคิดว่า Pascal เป็ นผูค้ ิดเป็ นคนแรก แต่ท่ีแทจ้ ริงไดม้ ีชาวจีนพฒั นามาก่อนแลว้3. ริเริ่มพฒั นาทฤษฎีความน่าจะเป็ นในปี ค.ศ. 1654 ร่วมกับ Fermat โดยใช้วิธีท่ีแตกตา่ งกนั4. ศึกษาเส้นโคง้ Cycloidปี แอร์ เดอ แฟร์มาต (Pierre de Fermat) แฟร์มาตเ์ ป็ นชาวฝร่ังเศส เป็ นนกั คณิตศาสตร์ในยคุ ของการพฒั นาศิลปวิทยาเขาเกิดในวนั ที่ 17 เดือนสิงหาคม ค.ศ.1601แฟร์มาตเ์ ป็ นบุตรชายพอ่ คา้ ขายเคร่ืองหนงั ผู้มงั่ คง่ั คนหน่ึงของฝร่ังเศส แฟร์มาต์มีผลงานท่ีสาคญั ในเรื่องทฤษฎีความน่าจะเป็ นผลงานคิดคน้ ทางคณิตศาสตร์ของแฟร์มาตท์ ี่น่าสนใจและ เป็นรากฐานในวชิ าแคลคูลสัต่ อ ม า คื อ Method for determining Maxima and Minima and Tangents of Curved Linesผลงานคิดค้นส่วนน้ี ทาให้สามารถคานวณหาจุดสูงสุดต่าสุด และเส้นสัมผสั ของรูปกราฟ ความสัมพนั ธ์แบบต่าง ๆ และเขา้ ไปสู่เร่ืองเรขาคณิตแบบใหม่ แฟร์มาต์ยงั คงเขียนหนังสือเก่ียวกับเรขาคณิตแบบใหม่น้ี โดยเน้นการวเิ คราะห์พ้ืนผิว และรูปทรงต่าง ๆ โดยให้ชื่อหนงั สือว่า Introduction to Plane and SolidLoci งานที่มีช่ือเสียงและเป็ นท่ีกล่าวถึงของนกั คณิตศาสตร์และชนรุ่นหลงั อยา่ งมาก คือแฟร์มาต์ได้เสนอทฤษฎีท่ีเรี ยกว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของ แฟร์มาต์ แฟร์มาต์ยงั ได้ทาการศึกษาและให้ขอ้ มูลเพ่ิมเติมเก่ียวกบั เลขจานวนเฉพาะ และต่อมาไดเ้ รียกกนั ว่าตวั เลขของแฟร์มาต์ (Fermat Number)อลั เบริ ์ต ไอน์สไตน์ (Albert Einstein ) อลั เบิร์ต ไอน์สไตน์ เป็ นท้งั นกั คณิตศาสตร์และนกั ฟิ สิกส์ท่ีมีชื่อเสียงโด่งดงัมาก เป็ นนกั คิดคน้ ที่ไม่ยอมหยุดน่ิง เป็ นคนที่รักความสงบ มีนิสัยนอบนอ้ ม ถ่อมตนไอน์สไตน์ เกิดเมื่อวนั ท่ี 14 มีนาคม ปี คศ. 1879 ที่เมืองอูลม์ ทางตอนใตข้ องประเทศเยอรมนั นี บิดาของไอน์สไตน์เป็ นชาวยิว มีชีวิตในวยั เด็กเหมือน เด็กทวั่ ไป มีการกล่าวกนั วา่ จุดที่ทาใหไ้ อนส์ ไตน์มาสนใจวทิ ยาศาสตร์อยา่ งมากคือเขม็ ทิศ ในขณะน้นั

1-10เขามีอายไุ ด้ 5 ปี และกาลงั นอนป่ วยอยบู่ นเตียง บิดาไดน้ า เข็มทิศมาให้เล่น เขาใส่ใจและสนใจอยากรู้วา่ ทาไมเขม็ ทิศจึงช้ีไปทางทิศเหนือและต้งั แตน่ ้นั มาเขาเริ่มสนใจทางคณิตศาสตร์และฟิ สิกส์หนงั สือเรขาคณิตเป็น หนงั สือ ที่เขาโปรดปรานมาก เขาศึกษาเรขาคณิตจากหนังสือของยูคลิด อายุเพียง 12 ปี เขาทาความเขา้ ใจในเร่ืองเรขาคณิตของยูคลิดเป็ นอยา่ งดี คร้ังเมื่อ เติบโตข้ึนจนอายุเขา้ 16 ปี เขาก็สามารถเรียน รู้หลกั การทางคณิตศาสตร์ช้นั สูงหลายอย่าง เช่น วิชาการแคลคูลสั และดิฟเฟอเรนเชียน การอินทิกรัล และกฎของนิวตนั ตลอดจนหลกั การทางฟิ สิกส์อีกมากมาย วนั หน่ึงในวยัเรียนหนงั สือเขามองดูทอ้ งฟ้า และจินตนาการวา่ ถา้ ตวั เขาวิ่งไล่ตามแสงดว้ ยความเร็วเท่ากับแสงแล้ว อะไรจะเกิดข้ึน เขาจะมองเห็นแสงหรือไม่ ถ้าไล่ตามแสงด้วยความเร็วเทา่ กบั แสง ความเร็วสมั พนั ธ์ของแสงจะเท่ากบั ศูนยห์ รือไม่ ถา้ แสงหยดุ ชะงกัมนั ก็จะไมม่ า ถึงตาเรา วตั ถุท้งั หลายก็จะหายไป ส่ิงน้ีทาใหเ้ ขาขบคิดอยตู่ ลอดมา1.2 คณติ ศาสตร์กบั ภาษา หลายคนอาจต้งั คาถามวา่ คณิตศาสตร์กบั ภาษาเกี่ยวขอ้ งกนั อย่างไร แทท้ ่ีจริงภาษาก็คือสิ่งท่ีเราใช้ในการสื่อสารเพื่อให้เกิดความเข้าใจ เช่น คนไทยก็จะใช้ภาษาไทยในการสื่อสาร คนที่มีความบกพร่องทางการไดย้ ินใช้ภาษามือ เป็ นต้นเช่นเดียวกบั ปัจจุบนั น้ีคงไม่มีใครปฏิเสธวา่ คอมพิวเตอร์ก็นบั เป็ นอีกเครื่องมือหน่ึงท่ีช่วยในการส่ือสาร แต่มนุษย์เราจาสั่งให้คอมพิวเตอร์ทางานได้อย่างไรในเม่ือคอมพิวเตอร์เป็ นเพียงอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ มนุษยจ์ ึงไดส้ ร้างภาษาข้ึนมาที่เรียกวา่ภาษา “ASCII” เพือ่ ใชส้ าหรับเป็ นภาษาในการสั่งใหค้ อมพิวเตอร์ทางานโดยมีพ้ืนฐานมาจากการแปลงเลขฐานทางคณิตศาสตร์เพ่อื นาไปใชใ้ นการส่ังคอมพวิ เตอร์ใหท้ างานในระบบเลขฐานทางคณิตศาสตร์จะมีเลขฐานต่าง ๆ แต่ท่ีนิยมใช้ก็จะมีเพียงไม่ก่ีระบบเท่าน้นั ไดแ้ ก่ ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานหก ระบบเลขฐานแปด ระบบเลขฐานสิบ ระบบเลขฐานสิบหก สาหรับตวั เลขท่ีเราใช้กนั ในชีวิตประจาวนั ก็คือระบบเลขฐานสิบ แต่หากเป็ นภาษาท่ีใช้ในการส่ังการคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่จะใช้ระบบเลขฐานสอง แปด และสิบหก ซ่ึงค่าของระบบเลขฐานที่ต่างกนั ก็จะมีค่าของสญั ลกั ษณ์ที่ใชต้ า่ งกนั ดงั น้ี

1-11- เลขฐานสอง ประกอบดว้ ย { 0,1 }- เลขฐานหก ประกอบดว้ ย { 0,1,2,3,4,5 }- เลขฐานแปด ประกอบดว้ ย { 0,1,2,3,4,5,6,7 }- เลขฐานสิบ ประกอบดว้ ย { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }- เลขฐานสิบหก ประกอบดว้ ย { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F }และตามที่ไดก้ ล่าวไวข้ า้ งตน้ เลขฐานนบั เป็นหน่ึงในภาษาทางคณิตศาสตร์ที่มนุษยใ์ ช้เพ่ือการสื่อสาร และยงั มีประโยชน์ ต่าง ๆ อีกมากมาย อาทิ เป็ นรหัสแปลงคาสั่งสากลแทนสื่อทางภาษา สร้างโปรแกรมสาเร็จรูป ในระบบต่างๆ ท่ีใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการทางาน เช่น ภาษา Digital , ASCII และสร้างโปรแกรมใชง้ านแบบต่าง ๆโดยเฉพาะ เป็ นตน้ ที่สาคญั ระบบของตวั เลขฐานยงั เป็ นภาษาท่ีเขา้ ใจง่าย สามารถเขา้ ใจไดท้ ุกชาติทุกภาษาอีกด้วย นอกจากน้ีแลว้ ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดข้ึนตามธรรมชาติท่ีอยรู่ อบตวั เรา ส่ิงเหล่าน้ีก็สามารถอธิบายไดด้ ว้ ยคณิตศาสตร์เช่นกนั1.3 คณติ ศาสตร์ของการแบ่งเซลล์การแบง่ เซลลค์ ร้ังแรกจาก 1 เซลล์ เป็น 2 เซลล์ ในคร้ังท่ี 2 จาก 2 เซลล์ จะถูกแบง่ ออกเป็น 4 เซลล์ การแบ่งเซลลจ์ าก 1 เซลล์ เป็น 2 เซลลจ์ ะใชฐ้ าน 2 ยกกาลงั nคร้ังของการแบ่งเซลล์น้นั เซลล์เร่ิมตน้ N0 เซลล์แบ่งตวั 1 คร้ังจะได้ 21 แบ่งตวั 2 N0คร้ังจะได้ 22N0 รูปที่ 1.1 เซลล์ และส่วนประกอบภายในเซลล์

1-12แบ่งตวั 3 คร้ังจะได้ 23N0 และแบ่งตวั n คร้ังจะได้ 2nN0 ดงั น้นั รูปแบบของสมการ คือ 2N = n N0N คือจานวนเซลลข์ องการแบ่งจานวน n คร้ังN0 คือจานวนเซลลเ์ ร่ิมตน้1.4 ตัวเลขทองคา (Golden number) ตวั เลขลาดบั ฟิ โบนกั ชี (สร้างโดยใชร้ ูปภาพสี่เหล่ียมฟิ โบนกั ชี) เป็ นท่ีรู้จกั กนัดี และเป็ นตวั เลขท่ีธรรมชาติสร้างข้ึน ดงั น้นั สัดส่วนตวั เลขระหว่างสองตวั เลขที่ติดกนั จึงเป็นสัดส่วนทางธรรมชาติ และเราจะเห็นวา่ สดั ส่วนตวั เลขน้ีมีความน่าสนใจไม่น้อย ลาดบั ฟิ โบนักชี 1 1 2 3 5 8 13 21 ถา้ จดั ตวั เลขสองตวั ชิดกนั หารกนั จะได้อตั ราส่วนของลาดบั ฟิ โบนกั ซี เรียกอตั ราส่วนดงั กล่าววา่ “ตวั เลขทองคา” 2 2 1 5  1.67 3 8  1.6 5 3  1.5 2 1 1 1 รูปที่ 1.2 กราฟผลหารของค่าอนุกรมฟิ โบนกั ซีที่ติดกนั1.5 วหิ ารทองคางานทางด้านศิลปะและสถาปัตยกรรมต่าง ๆ มักให้อัตราส่วนของด้านในรู ปส่ีเหลี่ยมผืนผา้ มีค่าประมาณ 5:8 หรือ 1 ต่อ 1.6 หรือเป็ นตวั เลขทองคา ซ่ึงถือวา่ เป็ นสัดส่วนที่สวยงามท่ีสุด โดยหากสี่เหล่ียมผืนผ้าใดมีสัดส่วนน้ี ก็เรี ยกว่า ส่ีเหล่ียมทองคา(Golden Rectangle) ตวั เลขทองคาน้ีเป็ นตวั เลขที่รู้จกั กนั ดีมานานแล้ว และใช้อกั ษรกรีกแทน เรียกว่า Phi ซ่ึงเขียนเป็ นตวั อกั ษร p (ตวั เล็ก) โดยใชแ้ ทนเฉพาะส่วนเป็นจุดทศนิยม 0.618034 วหิ ารพาเทนอนซ่ึงเป็นวหิ ารเก่าแก่ของกรีก

1-131.6 การดูดาวเคราะห์จากแผนทด่ี าว ลกั ษณะของแผนท่ีดาวก็คือทรงกลมทอ้ งฟ้าท่ีแบ่งทอ้ งฟ้าเป็ น 12 ส่วน ตามจกั รราศี การเคลื่อนท่ีของดาวเคราะห์ต่าง ๆ ท่ีคานวณไดจ้ ะเคลื่อนที่ในตาแหน่งบนทอ้ งฟ้าโดยดูจาดจุดสังเกตบนโลก รูปท่ี 1.3 สุริยะวถิ ีและระบบ 12 ราศีดบั การเคล่ือนที่โดยมีโลกเป็นจุดศูนยก์ ลางทิศทางการโคจรของดาวเคราะห์จะเดินหนา้ ไปตามทิศทวนเข็มนาฬิกา ดาวบางดวงจะโคจรไดเ้ ร็ว (เช่น ดวงจนั ทร์) บางดวงจะโคจรไดช้ า้ เช่นดาวพฤหสั จะเคล่ือนที่ได้ประมาณ 1 ราศีต่อปี สาหรับดวงอาทิตยจ์ ะเคลื่อนท่ี เดือนละ 1 ช่อง หรือในปี หน่ึงก็ครบหน่ึงรอบ ตาแหน่งของดวงอาทิตยจ์ ะอยูใ่ นราศีตามเดือน ตวั อยา่ งเช่น วนั ศุกร์ที่26 กมุ ภาพนั ธ์ พ.ศ. 2542 ข้ึน 12 ค่า เดือน 4 ปี เถาะ วนั ที่ 26 กมุ ภาพนั ธ์ ดวงอาทิตย์ (1)ยงั คงอยรู่ าศีกุมภ์ ดวงจนั ทร์ข้ึน 12 ค่า หากพิจารณาดูวา่ ถา้ ข้ึน 15 ค่า หมายถึงอยทู่ ามุมกบั ดวงอาทิตย์ 180 องศา ดังน้ันข้ึน 12 ค่า จึงทามุมประมาณ 144 องศา หน่ึงช่องประมาณ 30 องศา ดงั น้นั พระจนั ทร์ (2) จึงอยู่แถวช่วงราศีกรกฎ ในภาพแผนท่ีดาวน้ีจะเห็นดาวพุธ (4) อยคู่ ูด่ วงอาทิตย์ ในราศีกุมภ์ ส่วนดาวศุกร์ (6) และดาวพฤหสั (5) ทามุมประมาณ 30 องศา ดงั น้นั ขณะพระอาทิตยต์ กดิน จะเห็นดาวพฤหสั และดาวศุกร์อยู่ใกล้กนั ในมุมประมาณ 30-40 องศา ส่วนดาวเสาร์ (7) อยู่ราศีเมษ หรือในตอนพระอาทิตย์ลับขอบฟ้าจะเห็นดาวเสาร์ทามุมบนท้องฟ้าทางทิศตะวนั ตกประมาณ 60องศา ดาวท่ีเห็นดว้ ยตาเปล่าอีกดวงคือดาวองั คาร (3) อยูร่ าศีตุลจะข้ึนทางขอบฟ้าทิศตะวนั ออกตอนหลงั จากพระอาทิตยต์ กดบั แลว้ ประมาณ 4 ชว่ั โมง หรือประมาณ 22:00โดยประมาณ การคิดคานวณวถิ ีการโคจรจริงจะทาใหท้ ราบเวลาท่ีแทจ้ ริงได้

1-141.7 ผงึ้ กบั ตัวเลขฟิ โบนักชี ผ้ึงเป็ นสัตวส์ ังคม อาศยั อยูเ่ ป็ นรัง และมีการดารงชีวิตอย่างน่าศึกษา เพราะสงั คมของผ้งึ เป็ นสงั คมโดยธรรมชาติ ภายในอาณาจกั รผ้งึ คือ รังผ้งึ หน่ึงรัง จะมีผ้งึ เพศเมียตวั พิเศษหน่ึงตวั เรียกวา่ นางพญา (Queen) ในรังผ้ึงมีประชากรผ้ึงเป็ นจานวนมากทาหนา้ ท่ีเป็ นผ้ึงงาน (worker) ผ้ึงงานก็มีเพศเมียเหมือนกบั นางพญา แต่เป็ นหมนั ไม่สามารถออกไข่หรือขยายพนั ธุ์ได้ ยงั มีผ้ึงเพศผูท้ ี่เรียกว่า โดรน (dron) ซ่ึงอาจมีหลายตวั แต่เป็ นผ้งึ ท่ีไม่ทางาน ผ้งึ เพศผเู้ ป็ นผ้งึ ท่ีมีลกั ษณะแปลก คือเป็ นผ้งึ ท่ีนางพญาสร้างข้ึนจากไข่ที่ไม่สมบูรณ์ คือไมม่ ีการผสมแบบสมบูรณ์ ดงั น้นั ผ้ึงโดรนจึงเป็ นผ้งึ ท่ีมีแต่แม่ไม่มีพอ่ ดงั น้นั ผ้ึงเพศเมียทุกตวั จึงเป็ นผ้ึงที่มีท้งั พ่อและแม่ และผ้ึงเพศเมียจะเป็ นผ้ึงงาน และเป็ นหมนั ไม่ขยายพนั ธุ์ต่อ แต่ถา้ เม่ือใดก็ตามที่ตอ้ งการขยายพนั ธุ์แตกรังออก จะมีการสร้างผ้ึงที่จะมาเป็ นนางพญาเพ่ือแยกรัง โดยการป้อนอาหารพิเศษที่เรี ยกว่า โรยลั เจลล่ี (royal jelly) เม่ือเติบโตพร้อมเป็ นนางพญาก็จะแยกรังออกไปนางพญามีท้งั พอ่ และแม่ ผ้งึ เพศผมู้ ีแต่แม่รูปที่ 1.4 โครงสร้างการถ่ายทอดเพศของผ้งึ นางพญา และผ้งึ เพศผู้รูปที่ 1.5 แผนภาพการลาดบั เครือญาติของผ้งึ สอดคลอ้ งกบั อนุกรมฟิ โบนกั ซี

1-151.8 สี่เหลย่ี มฟิ โบนักชีกบั ก้นหอย การสร้างอนุกรมฟิ โบนักชีโดยใช้รู ปภาพส่ี เหลี่ยมเพื่อแทนตัวเลข1,1,2,3,5,8,13,21....... การสร้างเร่ิ มจากรู ปส่ี เหล่ียมจัตุรัสขนาด 1 หน่วย สองรู ปหลงั จากน้นั สร้างส่ีเหล่ียมโดยใชด้ า้ นของรูปสองรูปรวมกนั รูปสี่เหล่ียมที่สร้างข้ึนจากดา้ นต่าง ๆ ประกอบกนั เราเรียกรูปน้ีวา่ ส่ีเหลี่ยมฟิ โบนกั ชี เม่ือนารูปสี่เหลี่ยมน้ีมาสร้างเป็นส่วนโคง้ วงกลมของรูปส่ีเหลี่ยม ซ่ึงเป็นรูปส่วนโคง้ ประมาณ 1/4 ของวงกลมต่อกนั จะไดร้ ูปกน้ หอยฟิ โบนักชี (Fibonacci Spiral) โดยรูปเหล่ียมที่สร้างข้ึนน้ีจะมีสดั ส่วนการขยายดา้ นประมาณ 1.618 เท่า ท่ีขยายเพม่ิ ข้ึนจากเดิมรูปกน้รูปหกอน้ยฟหิ โอบยนกั ชี รูปกน้ หอยฟิ โบนกั ชี รูปกน้ หอย(Fibonacci Spiral) (Fibonacci Spiral)1.9 ฟิ โบนักชีกบั กงิ่ ไม้พืชบางอยา่ งแตกกิ่งไมเ้ ทา่ กบั ฟี โบนกั ชีในขณะท่ีเจริญเติบโต มี ลาตน้ มี 1 ก่ิง แลว้ แตกแขนงเป็น 2กิ่ง ส่วนอีกก่ิงหน่ึง ไมไ่ ดแ้ ตกแขนง แต่จะเกิดแตกแขนงอีกก่ิงหน่ึง เป็นเช่นน้ีไปเรื่อย ๆ พบไดจ้ ากตน้ ไมบ้ างชนิด ระบบรากบางระบบ และพชืจาพวกเห็ดราบางชนิด ตวั อยา่ ง ตน้ Sneezewort (Achillea ptarmica) แสดงจานวนก่ิงในแตล่ ะแนวระดบั ที่แตกกิ่งกา้ นขณะ เจริญเติบโต

1-161.10 ฟิ โบนักชีกบั สับปะรดลกั ษณะตาสับปะรดน้ีเป็ นรูปหกเหล่ียมดา้ นเท่านอกจากจะเรียงเป็ นรูปหกเหล่ียมดา้ นเท่าแลว้ยงั เรียงเป็ นวงกน้ หอย 3 แบบแตกต่างกนั เม่ือเวียนก้นหอยช้ันที่น้อยท่ีสุด มาช้ันปานกลางแล ะ ช้ันมากสุ ด จะ เท่ากับ 8, 13 แล ะ 21สับปะรดผลแรก แสดงวนกน้ หอยท่ีนอ้ ย 8วงขนานกัน ผลกลางแสดงก้นหอยปานกลางมี 13 วงขนานกัน และ ผลสุดท้ายแสดงก้นหอยท่ีชัน มี 21 วงขนานกัน1.11 ฟิ โบนักชีกบั แมงมุมชักใย แมงมุมเร่ิมตน้ ชกั ใยดว้ ยการสร้างเป็นโครงสร้างสามเหล่ียม เป็ นวิธีท่ีใช้ใยน้อยที่สุด แต่ไดค้ วามแข็งแรงสูงสุดและยืดหยนุ่ ไดด้ ี โครงสร้าง รัศมี และวงกอ้ นหอยอนั แรก ใช้ใบชนิดไม่มียางเหนียว แมงมุมสร้างวงก้นหอยที่สองเป็ นใบสาหรับดกั จบั แมลง เป็ นอาหาร มนั จะป่ันมว้ นใยจากปลายขา้ งนอกเขา้ มาหาจุดศูนยก์ ลาง โดยใช้ เป็ นยางเหนียว เป็ นวงกน้หอยแบบลอการิทึม แมงมุมจาทุกส่วนของแผงใยได้ ดงั น้นั แมงมุมจึงไมต่ ิดกบั ดกั ของตวั เอง เม่ือมีแมลงมาติด มนั จะรู้ตาแหน่งโดยทนั ที จากการสั่นของใยรัศมี โดยไปทางเส้นใย ที่ไมม่ ียางเหนียว

1-171.12 การโคจรของโลกรอบดวงอาทติ ย์ และการเอยี งของโลกทาให้เกดิ ฤดูกาล เราอาจจะเขา้ ใจว่าเป็ นเรื่องธรรมดาท่ีบนโลกของเราน้ันจะมีเวลากลางวนัและกลางคืนอยูป่ ระมาณช่วงเวลาละ 12 ชว่ั โมงแต่เป็ นท่ีทราบกนั ดีวา่ ในระบบสุริยะจกั รวาลโลกจะโคจรรอบดวงอาทิตย์ และแกนของโลกน้นั ทามุมเอียงเมื่อเทียบกบั การหมุนโคจรรอบดวงอาทิตย์ ดงั น้นั ในแต่ละช่วงเวลาใน 1 ปี จึงทาให้มีเวลากลางวนัและกลางคืนที่เราสามารถถมองเห็นแสงอาทิตยช์ องแต่ละพ้ืนที่ก็แตกต่างกนั ไปดว้ ยเช่นกนั อาทิบางช่วงเวลาข้วั โลกเหนืออาจจะสวา่ งตลอด 24 ชม. ขณะท่ีข้วั โลกใต้ จะมองไม่เห็นแสงอาทิตยต์ ลอด 24 ชม. ส่วนบริเวณส่วนกลางก็จะยงั มีกลางวนั และกลางคืนตามปกติรูปที่ 1.6 การโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์ นอกจากน้ีแล้วการโคจรของโลกยงั ส่งผลให้ ดาวเหนือ ขว้ั ฟ้าเหนือเกิดการเปลี่ยนแปลงของฤดูกาลตามมาอีกดว้ ย เช่น เม่ือ เสน้ ศูนยส์ ตู รฟ้าดวงอาทิตยอ์ ยใู่ ตเ้ ส้นศูนยส์ ูตรก็จาทาใหพ้ ้นื ท่ีบนซีกโลกเหนือน้นั เยน็ ลงเน่ืองจากอยไู่ กลจากดวงอาทิตย์ ในขณะท่ีพ้นื ท่ีในซีกโลกใตจ้ ะมีอากาศที่ร้อนมากข้ึน ขว้ั ฟ้าใต้

1-18

1-191.13 ระบบเวลาแบบโซลาร์ (Solar time) เนื่องจากจุดต่าง ๆ บนพ้ืนโลก จะเห็นดวงอาทิตยแ์ ตกต่างกนั และการตกเมอริ เดียนของคุณในเวลา 12:00 น. จะมีข้อแตกต่างระหว่างคนท่ีอยู่ท่ีจังหวัดอุบลราชธานี กบั จงั หวดั กาญจนบุรี ดงั น้นั ในแต่ละประเทศ จะตอ้ งใชจ้ ุดอา้ งอิงระบบเวลาจุดเดียวกันและกาหนดให้เป็ นเวลาราชการ เช่น ของประเทศไทย กาหนดจุดอ้างอิงท่ีเส้นแวง 105 องศาตะวันออก ซ่ึงอยู่แถว ๆ จังหวัดอุบลราชธานีเวลาตามท่ีเห็นจริง (Apparent) เป็ นเวลาท่ีเห็นดวงอาทิตยจ์ ริง ณ จุดท่ีสังเกตการณ์น้นั อยา่ งไรก็ดี ดวงอาทิตย์เคลื่อนที่ไปบนทรงกลมท้องฟ้า และโลกหมุนรอบตัวเอง ทาให้มี โอกาส คิดคานวณคลาดเคล่ือนได้เวลาเฉลี่ย เป็ นการหาค่าเวลาในท้องถิ่นที่ 3ตาแหน่ง แลว้ นามาเฉล่ีย โดยถือว่าเวลาท่ีทอ้ งถิ่นเปล่ียนตาแหน่งได้ เท่ากบั 1 องศา โดยมีค่าเท่ากบั4 นาทีเวลามาตรฐาน เป็ นเวลาเฉลี่ยท่ีคิดท่ีตาแหน่งใดตาแหน่งโลก โดยใช้เวลามาตรฐานนาฬิกา เช่น มาตรฐานกรีนิชและใชอ้ า้ งอิงกบั พ้ืนท่ีอื่นโดยถือวา่ ขอบเขตครอบคลุมไปได้ 151.14 ศิลปะทางคณติ ศาสตร์ (MATH ART) คณิตศาสตร์ไม่ใช่เป็ นวิชาท่ีเก่ียวกบั การคานวณ การวดั การหาปริมาตร การเท่ากนั การไมเ่ ท่ากนั การสมมาตร การพิสูจน์ เอกลกั ษณ์และอื่น ๆ โดยใชต้ วั เลขและสัญลกั ษณ์เท่าน้นั คณิตศาสตร์ยงั เป็ นศาสตร์ท่ีเป็ นตน้ แบบของความงามของศิลปะหลาย ๆ ชนิด เช่นศิลปะของอาคารสถานที่ จิตรกรรม ปติมากรรม อนุสาวรีย์ ภาพ

1-20พิมพ์ ภาพอุปกรณ์และเคร่ื องใช้ต่าง ๆ สามารถนาสัญลักษณ์ของเน้ือหาวิชาคณิตศาสตร์มาช่วยในการออกแบบ เมื่อผูส้ ร้างออกแบบอยา่ งงดงามและใส่สีสันต่างๆ เขา้ ไปก็จะทาให้ส่ิงน้นั มีความสวยงาม มีคุณค่า มีเอกลกั ษณ์และเป็ นท่ียอมรับของบุคคลทว่ั ไป รูปที่ 1.7 Gateway Archเป็ นตวั อยา่ งของศิลปะทางคณิตศาสตร์ มีรูปทรงพาราโบลาทางเรขาคณิตท่ีมีชื่อเรียกกนั วา่“Gateway Arch ” สร้างในปี ค.ศ. 1963 -1965 และเปิ ดให้ใชใ้ นปี ค.ศ. 1967 ผูส้ ร้างตอ้ งการให้ เป็ นอนุสาวรียท์ ่ีสวยงามและเป็ นสถานพกั ผอ่ นสาคญั ของเมืองเซนต์หลุยส์ รัฐมิซซูรีประเทศสหรัฐอเมริกา โครงสร้างเป็ นสมการรูปโคง้ (Catenary Curve Equation) มีสมการ y= kcosh (x/k) ซ่ึง cosh (x) = (ex + e-x)/2 Gateway Arch ต้งั อยู่บนฝ่ังของแม่น้ ามิสซิปซิปป้ีเมืองเซนต์หลุยส์ ผูช้ มสามารถข้ึนไปบน Gateway Arch จะมองเห็นทิวทศั น์รอบ ๆ เมืองเซนตห์ ลุยส์ และสามารถเห็นความงามของแม่น้ามิสซิปซิปป้ี และบริเวณ รอบ ๆ ของรัฐอิลลินอยส์ Gateway Arch นบั เป็ นปฏิมากรรูปทรงทางคณิตศาสตร์ท่ีสวยงามแห่งหน่ึงและเป็นความภูมิใจของประชาชนชาวเมืองเซนตห์ ลุยส์ ท่ีบุคคลผา่ นไปมาไดเ้ ห็นและประทบั ใจในภาพลกั ษณ์น้ี และนอกจากน้ีอาคารที่ใชร้ ูปสัญลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการออกแบบอยา่ งเด่นชดั คือเป็ นรูปทรงเหล่ียมตา่ ง ๆ เช่นภาพอาคารอเนกประสงคท์ ี่เมืองเพิร์ท ประเทศออสเตรเลีย

1-21 รูปท่ี 1.8 อาคารอเนกประสงคท์ ี่เมืองเพิร์ท ประเทศออสเตรเลีย ปัจจุบนั ศิลปะและสถาปัตยกรรมต่าง ๆ ไดน้ ารูปทรงทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการออกแบบเป็ นจานวนมาก ความจริง แลว้ คณิตศาสตร์และศิลปะมีความสัมพนั ธ์กนั อย่างต่อเน่ืองนับเวลาหลายพนั ปี การนารูปแบบของความสมมาตร (Symmetry)สัดส่วน (Proportion) และการเชื่อมโยง (Translation) ซ่ึงเป็ นพ้นื ฐานของคณิตศาสตร์มาช่วยในการก่อสร้างเป็ นศิลปะที่จะเห็นกนั อยู่เสมอ ดงั เช่นภาพในอดีตเมื่อสมยั 3, 000ปี ล่วงมาแลว้ ปิ รามิดในประเทศอียิปต์ ก่อสร้างโดยอาศยั รูปทรงทางคณิตศาสตร์เป็ นรูปสามเหลี่ยม รูปที่ 1.9 ปิ รามิดในประเทศอียปิ ต์ ท่ีมีรูปทรงเป็นรูปสามเหล่ียมตอ่ มาในสมยั เรอนาซองคป์ ี ค.ศ. 1452-1519 จิตรกรที่มีชื่อเสียงโด่งดงั จนเป็ นที่ยอมรับว่าเป็ นจิตรกรเอกของโลกคนหน่ึง คือ เลโอนาร์โด ดา วินชี (Leonardo da Vinci)ผลงานของเลโอนาร์โด ดา วนิ ชี มีมากมายและท่ีข้ึนช่ือวา่ มีความงามเลิศล้าคือภาพโมนาลิซา (Mona Lisa Del Giaconda) เลโอนาร์โด ดา วินชียงั ไดช้ ื่อวา่ เป็ นนกั คณิตศาสตร์นกั วทิ ยาศาสตร์ และวศิ วกร เขารักวิชาเรขาคณิตเป็นอยา่ งย่ิง เขาไดอ้ ุทิศเวลาเพื่อสร้างภาพรูปหา้ เหลี่ยมกลม (Polyhedral) จนเป็ นผลสาเร็จ ตน้ แบบที่เขาเขียนไวด้ งั รูปที่ 1.10

1-22(ภาพซ้ายมือ) ปัจจุบนั เป็ นตน้ แบบรูปทรงเรขาคณิตที่มองเห็นไดห้ ลายมิติดงั ภาพขวามือ รูปท่ี 1.10 รูปหา้ เหลี่ยมกลม (Polyhedron) ท้งั ในอดีตและปัจจุบนัหากจะกล่าวถึงการบูรณาการคณิตศาสตร์กับศิลปะคงอดไม่ได้ที่จะกล่าวถึง Dr.George W. Hart ซ่ึงเป็ นท้ังจิตรกร นักปฏิมากร นักคณิตศาสตร์ วิศวกร นักวิจัยนักเขียน นักการศึกษาและโปรแกรมเมอร์ทางดา้ นวิทยาศาสตร์ ปฏิมากรทางด้านเรขาคณิตของ Dr. George W. Hart ไดร้ ับคาชมเชยและรางวลั เป็ นจานวนมาก และ ที่Dr. George W. Hart ภูมิใจมากคือเขาไดร้ ับรางวลั จาก New York State Council for theArts Individual Artist's Award ผลงานที่เด่นมากที่สุดคือการวิเคราะห์ในหลายมิติของโครงสร้างเรขาคณิตเชิงเส้น (Linear Algebra) ส่วนงานเขียนเกี่ยวกบั การใชอ้ ุปกรณ์Zome Geometry เป็ นงานเขียนที่เป็ นท่ียอมรับของนกั วิชาการ งานเขียนน้ีทาให้ผูอ้ ่านเข้าใจโครงสร้าง 3 มิติ ทางเรขาคณิตในระนาบ และสามารถเข้าใจการนาไปประยุกต์ใช้ และเขา้ ใจวิชาเรขาคณิตมากข้ึน ปัจจุบนั Dr. George W. Hart กาลงั เขียนผลงานประวตั ิศาสตร์ของศิลปะทางเรขาคณิต ผลงานของของ Dr. George W. Hartดงั รูปท่ี 1.11

1-23 รูปท่ี 1.11 ผลงานของ Dr. George W. Hartปัจจุบนั คอมพิวเตอร์เขา้ มามีบทบาทมากข้ึน โปรแกรมคอมพิวเตอร์สามารถทาใหเ้ กิดภาพคณิตศาสตร์ข้ึนไดห้ ลายมิติ และรูปท่ีสร้างสามารถเปลี่ยนแปลงไดท้ ้งั ภาพและสีหรืออาจใหม้ ีการเคลื่อนไหวได้ (Animation) คอมพิวเตอร์ทาให้ศิลปะทางคณิตศาสตร์เติบโตข้ึนอยา่ งรวดเร็ว โปรแกรมคอมพิวเตอร์ทางดา้ นกราฟิ กก็เช่นกนั ไดพ้ ฒั นาข้ึนมาเป็ นจานวนมาก ผูใ้ ช้สามารถเลือกใช้ตามวตั ถุประสงค์ของงาน สาหรับโปรแกรมคอมพิวเตอร์ในงานด้านคณิตศาสตร์มีจานวนมากเช่นกนั เราสามารถเลือกเพ่ือการคานวณอยา่ งเดียวหรือเขียนภาพหรือกราฟอยา่ งเดียวหรือใชท้ ้งั การคานวณพร้อมเขียนกราฟดว้ ยก็มีใหเ้ ลือกจานวนมากเช่นกนั ตวั อยา่ ง ภาพศิลปะทางคณิตศาสตร์ท่ีมาจากโปรแกรมคอมพิวเตอร์ดงั กลุ่มรูปที่ 1.12 รูปที่ 1.12 ศิลปะทางคณิตศาสตร์จากโปรแกรมคอมพิวเตอร์ งานของศิลปะทางคณิตศาสตร์ ถ้ามีแบบแผนที่แน่นอน แม่นยา และมีการวางแผนกาหนดโครงสร้างแลว้ สาหรับรูปแบบข้ึนอยู่กบั พ้ืนฐานทางคณิตศาสตร์

1-24ฟิ สิกส์ เคมี ชีววทิ ยา หรือทางวทิ ยาศาสตร์ อ่ืน ๆ หรือแบบจาลองทางเทคโนโลยี เม่ือนาเขา้ สู่ในระบบเทคโนโลยีสมยั ใหม่เช่นคอมพิวเตอร์ คอมพิวเตอร์ทาให้เกิดภาพท่ีสวยงาม และสามารถพฒั นางานศิลปะทางคณิตศาสตร์ไดม้ ากข้ึน แมว้ า่ จิตรกรจะบอกเราวา่ สัญลกั ษณ์บางอยา่ งของคณิตศาสตร์ เช่นการสมมาตร การเท่ากนั การไม่เท่ากนัส่ิงเหล่าน้ีมกั จะเกี่ยวขอ้ งกบั ศิลปะ แต่ศิลปะจริง ๆ ไม่ตอ้ งการ การบวก การลบ การหารหรือการคูณ แต่อยา่ งใด แต่ถา้ เราสังเกตใหด้ ีเราจะพบวา่ รูปทรงทางเรขาคณิตต่างๆ เช่น สามเหล่ียม สี่เหลี่ยม สี่เหล่ียมด้านขนาน มกั ปรากฏบนรูปภาพเสมอ และบางคร้ังจาเป็ นตอ้ งใชก้ ารคานวณทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้ภาพที่สร้าง มีความสวยงามสมมาตร สัดส่วนถูกตอ้ ง ดงั น้นั เราอาจกล่าวไดว้ า่ ศิลปะและคณิตศาสตร์เก่ียวเนื่องกนัแมว้ า่ เวลาจะเปล่ียนไปนานแค่ไหนศิลปะ มกั คู่กบั คณิตศาสตร์เสมอ1.15 คณติ ศาสตร์กบั ดนตรี ดนตรีกับชีวิตประจาวนั ของมนุษย์ มนุษย์ได้ยินเสียงจากธรรมชาติ และดดั แปลงนาเอาอุปกรณ์จากธรรมชาติมาสร้างเสียงดนตรี และยงั พยายามเลียนแบบการสร้างสัญญาณเสียงดนตรีโดยใชเ้ ทคโนโลยสี มยั ใหม่ เช่น การใชอ้ ิเล็กทรอนิกส์สร้างสัญญาณเสียงโดยตรง เคร่ืองดนตรีท่ีใช้มีท้งั แบบท่ีเป็ น เคร่ืองดีด เครื่องสี เคร่ืองตีและเคร่ืองเป่ า ท้งั หมดใหเ้ สียงออกมาและมีลกั ษณะเฉพาะตวั ซ่ึงแตกต่างกนั ไป ดนตรีจึงเก่ียวขอ้ งกบั คณิตศาสตร์เพราะการที่มีเสียงปรากฏออกมา เสียงแต่ละตวั โนต้ สร้างความไพเราะ จึงจาเป็นตอ้ งมีหลกั การและหารูปแบบท่ีเหมาะสม เช่นในปัจจุบนั มีการสร้างฟอร์แมต MIDI ซ่ึงทาให้ไมโครคอมพิวเตอร์สามารถสร้างเสียงดนตรีหลายชิ้นประสานเสียงกนั ไดอ้ ยา่ งไพเราะ การสร้างเพลงหน่ึงจึงข้ึนกบั จงั หวะ และการวางตวัโนต้ โทน ตามตวั โนต้ และการผสมประสานเสียง จงั หวะนบั เป็นพ้ืนฐานของดนตรีท่ีกาหนดช่วงเวลา ซ่ึงเกี่ยวพนั กบั คณิตศาสตร์โดยตรง เม่ือเราเล่นดนตรี เราจะตอ้ งสร้างเสียงดนตรีใหล้ งไปในช่วงจงั หวะไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง จงั หวะที่ใชม้ ีท้งั จงั หวะชา้ และเร็วจงั หวะจึงมีส่วนสาคญั ในการสร้างความรู้สึกและอารมณ์ เม่ือจงั หวะเป็ นหน่วยวดัเวลา การกาหนดจงั หวะมีการใชต้ วั บอกจงั หวะซ่ึงเรียกวา่ time signature จะปรากฏอยู่ที่ตอนตน้ ของบรรทดั ที่จะบอกวา่ ในแต่ละหอ้ งแบ่งออกเป็นตวั โนต้ ขนาด 1ใน 4 ไดก้ ี่

1-25ตวั เช่น 3 หมายถึงมีตวั โนต้ แบบ 1 ใน 4 ได้ 3 ตวั ถา้ 4 หมายถึงมีตวั โนต้ 1 ใน 4 ได้ 4 44ตวั ตวั โนต้ ท่ีใชใ้ น time signature แบบ 4 แบง่ ออกเป็ น 4 ตวั กลม มีความหมายที่ใชเ้ ป็ นสดั ส่วนเตม็ หอ้ ง ตวั ขาว มีความหมายท่ีใชเ้ ป็ นสองตวั ในหน่ึงหอ้ ง หรือคร่ึงเสียงตวั กลม ตวั ดา มีขนาดเสียงลดลงคร่ึงหน่ึงของตวั ขาว หรือเป็ นตวั ขนาด 1 ใน 4 ตวั ขเบด็ หน่ึงช้นั มีขนาดเสียงลดลงคร่ึงหน่ึงของตวั ดา ตวั ขเบด็ สองช้นั มีขนาดเสียงลดลงคร่ึงหน่ึงของตวั ขเบ็ดหน่ึงข้ึน ชื่อตวั โนต้ สญั ลกั ษณ์ตวั โนต้ ก า ร วั ด จานวนตัวโน้ต สดั ส่วน ที่อยใู่ นหอ้ งเสียงตวั กลมตวั ขาว 1/1 1 = 20 1/2 2 = 21ตวั ดา 1/4 4 = 22ตวั ขเบ็ดหน่ึงช้นั 1/8 8 = 23ตวั ขเบด็ สองช้นั 1/16 16 = 24อยา่ งไรกต็ าม มีการกาหนดใหเ้ สียงมีความยาวมากกวา่ ที่กาหนด เช่น จุ ด มี ค ว า ม ห ม า ย ถึ ง ค ร่ึ ง ตั ว โ น้ ต ซ่ึ ง ตั ว ข า ว เ ท่ า กั บ 1/2 ดงั น้นั จึงมีค่าเท่ากบั 1/2 + (1/2*1/2) = 3/4 จากตวั อยา่ งท่ีกล่าวมาท้งั หมด จะเห็นไดว้ า่ คณิตศาสตร์น้นั เป็นส่ิงท่ีอยใู่ กลต้ วัเราเกือบจะทุกดา้ น ข้ึนอยกู่ บั วา่ เราจะนาไปใชอ้ ยา่ งไร “คณิตศาสตร์ในชีวติ ประจาวนั ”จึงเป็ นเสมือนสะพานท่ีเชื่อมระหวา่ งคณิตศาสตร์กบั ชีวิตจริง ทาให้คณิตศาสตร์หลุดพน้ จากโลกที่เป็ นนามธรรม มาสู่โลกที่เป็ นรูปธรรม ทาให้คณิตศาสตร์เป็ นเร่ืองใกล้ตวั จบั ตอ้ งได้และใช้งานได้จริง ซ่ึงจะทาให้ผูเ้ รียนไดต้ ระหนกั ถึงความสาคญั ของคณิตศาสตร์ และมีเจตคติที่ดีตอ่ วชิ าคณิตศาสตร์