การหาขนาดของมุมที่มีหน่วยเป็นเรเดียน

การหาขนาดของมุมที่มีหน่วยเป็นเรเดียน

การหาขนาดของมมุ ทมี่ หี น่วยเป็นเรเดยี น กำหนดให้ C เป็นวงกลมท่ีมี O เป็นจุดศนู ย์กลาง รัศมีเทา่ กบั r หน่วย A เปน็ ขนาดของมมุ (หนว่ ยเปน็ เรเดยี น)ทีจ่ ุดศนู ย์กลาง a เป็นความยาวของส่วนโคง้ ท่รี องรบั มุม A จากรปู ขนาดของมมุ A เรเดยี น หาได้จาก การสร้างมมุ 1 เรเดยี นจากวงกลม

ความสมั พนั ธข์ องมุม(เรเดียน)กบั ส่วนโคง้ ทรี่ องรบั มุม เม่ือ C เปน็ วงกลมที่มี O เปน็ จดุ ศนู ย์กลาง รศั มเี ท่ากับ 1 หน่วย สามารถใชว้ งกลมเปรยี บเทยี บขนาดมุม(เรเดยี น)กับความยาวของ ส่วนโค้งทรี่ องรบั มมุ นน้ั ดงั น้ี การเปรยี บเทียบหน่วยของมุมเป็นองศา และเรเดียน เมอ่ื วงกลมมีรศั มี 1 หน่วย ความยาวเสน้ รอบวงเทา่ กบั 2π หน่วย ดังน้นั 2π เรเดียน = 360 องศา หรอื π เรเดียน = 180 องศา หมายเหตุ การวดั มมุ ทม่ี หี น่วยเป็นเรเดียน ไมน่ ยิ มเขียนหน่วยกำกับ แต่ถา้ หนว่ ยของมมุ เปน็ องศา ต้องเขียนหน่วยกำกับเสมอ

วงกลมหนง่ึ หนว่ ย (Unit Circle) วงกลมหน่ึงหนว่ ย หมายถงึ วงกลมทีม่ ีจุดศนู ยก์ ลางที่จดุ กำเนดิ และมีรัศมียาว 1 หน่วย ดงั รูป ความสมั พนั ธ์ของสมการวงกลมหนงึ่ หน่วย คอื {(������, ������) ∈ ������ × ������ | ������������ + ������������ = ������} การอา่ นขนาดมมุ ทีจ่ ุดศนู ยก์ ลางของวงกลมหนึง่ หน่วย เมือ่ a แทน ความยาวของสว่ นโคง้ บนวงกลมหนึง่ หน่วยท่วี ดั จาก จดุ (1,0) ไปยงั จุด P(x,y) ใด ๆ ดงั รปู

ถ้า a > 0 เป็นการวดั จากจดุ (1,0) ไปในทศิ ทางทวนเข็มนาฬกิ า ถา้ a < 0 เปน็ การวัดจากจดุ (1,0) ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ า การอ่านชอ่ื พกิ ัดของจดุ ปลายส่วนโค้ง เมอ่ื P(a) แทนจุดปลายส่วนโคง้ ยาว |a| หน่วยบนสว่ นโคง้ บนวงกลมหน่งึ หน่วยที่วัดจากจดุ (1,0) ไปยงั จดุ (x,y) ใด ๆ เขียนแทนด้วย P(a) = (x,y) เน่ืองจาก วงกลม 1 หน่วย ความยาวเส้นรอบวงเท่ากบั 2π หน่วย ถา้ |a| < 2π แสดงวา่ ความยาวของสว่ นโคง้ นอ้ ยกว่า 1 รอบ ถ้า |a| > 2π แสดงวา่ ความยาวของส่วนโคง้ มากกวา่ 1 รอบ คา่ ของไซน์และโคไซนข์ องจำนวนจรงิ a เมอื่ P(a) = (x,y) แทนจดุ ปลายส่วนโคง้ ยาว |a| หนว่ ยบนสว่ นโคง้ บนวงกลม หน่งึ หนว่ ยทวี่ ดั จากจดุ (1,0) ไปยังจดุ (x,y) ใด ๆ ดังนน้ั a หนงึ่ ค่า จะกำหนดค่า x ไดห้ นึง่ ค่า และกำหนดค่า y ได้หน่งึ คา่

พิจารณารปู การอ่านพกิ ัดจดุ ปลายสว่ นโค้งในรปู ของไซน์และโคไซนข์ องจำนวนจรงิ a จาก P(a) แทนจุดปลายของส่วนโคง้ บนวงกลมหนง่ึ หนว่ ยที่ยาว |a| หนว่ ย และความสัมพนั ธ์ x = cos a และ y = sin a ถ้า P(a) = (x,y) แลว้ P(a) = (cos a, sin a) การสรา้ งส่วนโคง้ ยาว������������หน่วยบนวงกลมหนึ่งหน่วย 1. ใช้จุด (1,0) เปน็ จุดศูนย์กลาง รัศมียาว 1 หนว่ ยเขียนส่วนโค้ง ตัดวงกลมท่ีจุด A

2. ใชจ้ ุด A เป็นจุดศูนยก์ ลาง รศั มเี ทา่ เดมิ เขยี นส่วนโคง้ ตดั วงกลม ทจี่ ุด B ทำเช่นน้ไี ปเร่อื ย ๆ จนไดร้ อยตดั รอบวงกลม 6 จดุ ดังรูป การสรา้ งสว่ นโค้งยาว������������หนว่ ยบนวงกลมหนึง่ หนว่ ย 1. เขยี นสว่ นโคง้ ยาว������������หน่วยบนวงกลมหนง่ึ หน่วยตดั วงกลมทจี่ ุด A 2. ใช้รศั มีจากจุด(0,1) ถึงจดุ A เขียนสว่ นโคง้ โดยใช้จดุ (1,0)เปน็ จดุ เริ่มตน้ ตดั วงกลมทจ่ี ดุ Q ทำไปจนได้รอยตัด 12 รอยดงั รูป การสร้างสว่ นโคง้ ยาว������������หนว่ ยบนวงกลมหน่ึงหนว่ ย

1. ใช้จุด (1,0) และจุด (0,1)เปน็ จุดศูนยก์ ลาง รศั มีเทา่ กนั (พอประมาณ) เขียนสว่ นโค้งตัดกนั ทีจ่ ดุ R 2. สร้างสว่ นของเสน้ ตรงเชอื่ มจุด (0,0) และจดุ R ตดั วงกลมท่จี ุด Q ใช้รัศมีจากจดุ (1,0) ถงึ จดุ R เขียนสว่ นโคง้ ตดั วงกลม ไปเรอื่ ย ๆ จนไดร้ อยตัด 8 รอย ดังรปู ทบทวนความรูพ้ นื้ ฐานทค่ี วรทราบ การหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนระนาบ เมื่อ A(x1,y1) และ B(x2,y2) เป็นจุดสองจุดใด ๆ บนระนาบ ระยะทางระหวา่ งจุด A และจดุ B แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ AB โดยท่ี ( ) ( )AB =2 2 x1 − x 2 + y1 − y2 การหาคา่ พิกัดปลายสว่ นโคง้ ท่ียาว������������

จากรูป P(x,y) เปน็ จุดปลายส่วนโคง้ ทยี่ าว 3 เมือ่ แกน y เปน็ เสน้ สะทอ้ น จุด P แลว้ ได้จดุ B(-x,y) จะได้ ดงั นัน้ AP = PB (x − 1)2 + (y − 0)2 = (x + x)2 + (y − y)2 จะได้ x = 1 และ y = 3 2 2 ดังนั้นพิกดั ของจุด P คือ 1 , 3 2 2 ค่าของไซนแ์ ละโคไซนข์ องจำนวนจรงิ ������ ������ จากรูป เมื่อ P 1 , 3 เปน็ จดุ ปลาย 2 2 ส่วนโคง้ ทยี่ าว 3 1 จะกำหนดให้ 2 = cos 3 และ 3 = sin 3 2 ความยาวส่วนโค้งอน่ื ๆทส่ี มมาตรกบั ������������

จากรปู เม่อื 3 เป็นสว่ นโคง้ ท่อี ย่ใู นจตุภาคท่ี1 แลว้ ส่วนโคง้ ทส่ี มมาตรกับ 3 ทีอ่ ยใู่ น จตภุ าคท่ี 2 เขียนแทนด้วย − 3 และสว่ นโค้งที่สมมาตรกบั − 3 ท่ีอย่ใู น จตุภาคท่ี 3 เขียนแทนด้วย + 3 และสว่ นโค้งที่สมมาตรกบั + 3 ท่ีอยใู่ น จตุภาคท่ี 4 เขยี นแทนด้วย 2 − 3 การอ่านคา่ พิกัดปลายส่วนโค้งทีส่ มมาตรกับ������������ จากรูป

( )P 3 = 1 , 3 เป็นพิกัดท่ีอยู่ในจตภุ าคท่ี 1 2 2 เป็นพกิ ัดท่ีอยใู่ นจตภุ าคที่ 2 เป็นพิกัดทอี่ ยู่ในจตภุ าคท่ี 3 ( )P 1 , 3 เปน็ พกิ ัดทอ่ี ยู่ในจตุภาคท่ี 4 −3 = − 2 2 ( )P = 1 ,− 3 +3 − 2 2 ( )P 2 = 1 ,− 3 −3 2 2 การหาค่าพิกดั ปลายส่วนโค้งทยี่ าว������������

จากรปู A(x,y) เปน็ จดุ ปลายสว่ นโค้ง ทยี่ าว 6 เม่ือแกน x เป็นเสน้ สะท้อนจุด A แลว้ ไดจ้ ดุ B(x,-y) จะได้ AB = AC (x − x)2 + (y + y)2 = (x − 0)2 + (y − 1)2 จะได้ x= 3 และ y= 1 2 2 ดงั น้ันพิกดั ของจุด A คือ 3 , 1 2 2 จากรปู ความยาวสว่ นโค้งอืน่ ๆทีส่ มมาตรกับ������������ เมอื่ 6 เปน็ ส่วนโค้งทอี่ ยู่ในจตภุ าคท่ี1 แลว้ ส่วนโค้งทสี่ มมาตรกับ 6 ท่ีอยู่ใน จตุภาคท่ี 2 เขียนแทนด้วย − 6 และส่วนโคง้ ทส่ี มมาตรกบั − 6 ทอ่ี ยใู่ น จตุภาคท่ี 3 เขยี นแทนดว้ ย + 6 และสว่ นโคง้ ท่สี มมาตรกบั + 6 ที่อยู่ใน จตุภาคที่ 4 เขียนแทนด้วย 2 − 6 การอ่านค่าพิกดั ปลายสว่ นโคง้ ท่ีสมมาตรกับ������������

จากรูป ( )P 6 = 3 , 1 เป็นพกิ ัดทอี่ ยใู่ นจตภุ าคที่ 1 2 2 เป็นพิกดั ทีอ่ ย่ใู นจตุภาคที่ 2 เป็นพกิ ัดที่อยูใ่ นจตุภาคที่ 3 ( )P 3 , 1 เป็นพกิ ัดท่ีอยู่ในจตุภาคท่ี 4 −6 = − 2 2 ( )P 3 ,− 1 +6 = − 2 2 ( )P 2 − 6 = 3 . − 1 2 2

การหาค่าพิกัดปลายส่วนโค้งทีย่ าว������������ จากรปู B(x,y) เปน็ จดุ ปลายสว่ นโค้ง ที่ยาว 4 จะได้ AB = BC ดังนั้น (x − 1)2 + (y − 0)2 = (x + 0)2 + (y − 1)2 จะได้ x= 2 และ y = 2 2 2 ดังน้ันพิกดั ของจุด B คอื 2 , 2 2 2 ความยาวสว่ นโคง้ อ่ืน ๆทส่ี มมาตรกับ������������ จากรูป เม่อื 4 เป็นสว่ นโคง้ ทอ่ี ยู่ในจตุภาคท่1ี แลว้ สว่ นโคง้ ทีส่ มมาตรกบั 4 ทอ่ี ยใู่ น จตภุ าคที่ 2 เขียนแทนด้วย − 4 และส่วนโค้งทีส่ มมาตรกับ − 4 ทอี่ ยู่ใน จตภุ าคท่ี 3 เขยี นแทนดว้ ย + 4 และส่วนโคง้ ที่สมมาตรกบั + 4 ท่อี ยใู่ น จตุภาคที่ 4 เขียนแทนด้วย 2 − 4

การอา่ นค่าพกิ ัดปลายสว่ นโคง้ ทสี่ มมาตรกับ������������ จากรปู ( )P 4 = 2 , 2 เปน็ พิกดั ที่อยใู่ นจตภุ าคท่ี 1 2 2 เป็นพิกัดทอี่ ยใู่ นจตุภาคที่ 2 เป็นพิกัดทอี่ ย่ใู นจตภุ าคที่ 3 ( )P − 2 , 2 เปน็ พกิ ัดทีอ่ ยใู่ นจตุภาคท่ี 4 −4 = 2 2 ( )P = − 2 ,− 2 +4 2 2 ( )P 2 − 4 = 2 . − 2 2 2

ค่าของไซน์และโคไซนข์ องจำนวนจรงิ π-a จากรปู สรุปไดว้ ่า cos(π-a) = - cos a และ sin(π-a) = sin a ค่าของไซน์และโคไซนข์ องจำนวนจรงิ π+a จากรูป สรุปไดว้ ่า cos(π+a) = - cos a และ sin(π+a) = - sin a

คา่ ของไซนแ์ ละโคไซนข์ องจำนวนจรงิ 2π-a จากรปู สรุปไดว้ า่ cos(2π-a) = cos a และ sin(2π-a) = - sin a ค่าของไซน์และโคไซนข์ องจำนวนจรงิ 2π+a จากรปู สรปุ ไดว้ า่ cos(2π+a) = cos a และ sin(2π+a) = sin a

ค่าของไซน์และโคไซนข์ องจำนวนจริง ������ ������ จากรูป เมื่อ P 3 , 1 เป็นจุดปลายส่วนโคง้ 2 2 ที่ยาว 6 3 = cos 6 จะกำหนดให้ 2 และ 1 = sin 6 2 ค่าของไซน์และโคไซนข์ องจำนวนจริง ������ ������ จากรปู เมื่อ P 2 , 2 เป็นจุดปลายส่วนโค้ง 2 2 ทย่ี าว 4 2 = cos 4 จะกำหนดให้ 2 และ 2 = sin 4 2 ฟงั ก์ชันไซนแ์ ละฟังกช์ ันโคไซน์ บทนยิ าม ถ้า (x,y) เปน็ จุดปลายสว่ นโคง้ บนวงกลมหนง่ึ หน่วยซง่ึ วัดจากจดุ (1,0) ดว้ ยความยาวเส้นโคง้ เทา่ กับ |a| หน่วย แลว้

ฟังกช์ ันไซน์ (sine) คอื เซตของคอู่ นั ดับ (a,y) ฟังก์ชนั โคไซน์ (cosine) คือ เซตของคอู่ นั ดบั (a,x) หรอื อาจกล่าวได้ว่า y = sin a และ x = cos a คา่ ของไซนแ์ ละโคไซนข์ องจำนวนจริงในรปู - a

จากรปู สรปุ ได้