เอกสารใบความรู้และแบบฝึกหัดฟังชันตรีโกณมิติ

เอกสารใบค และ แบบฝึกหัดฟังชันต

ความรู้ ตรีโกณมิติ



✓

ใบความรู้ที่ 2.1 ช่ือ……………………………………. . เร่ือง ความรู้เบือ้ งต้นของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ ช้ัน………… เลขท่ี………. กล่มุ ท…่ี …. รายวิชา ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ กำหนดให้ เป็นจำนวนจริง หรือมุม P( x,y ) เป็นจุดบนวงกลมหน่ึงหน่วย โดยทส่วนโคง้ AP ยำว หน่วย y P( x,y) 0 x A(1,0) 1) ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ ; cosec = 1 เมื่อ y 0 sin = y ; sec y เม่ือ x 0 ; cot เมื่อ y 0 cos = x = 1 x y x tan = x เมื่อ x 0 = y 2) ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ sin( ) sin ; cosec( ) = cosec cos ( ) = cos ; sec( ) = sec tan( tan ) ; cot( ) = cot 3) ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ 2n เมื่อ n เป็นจำนวนเตม็ บวก sin(2n ) sin ; cosec(2n ) cosec cos(2n ) cos ; sec(2n ) sec tan(2n ) cos ; cot(2n ) cot 4. ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ sin( ) sin ; cosec( ) cosec cos( ) cos ; sec( ) sec tan( ) tan ; cot( ) cot

5. ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ sin( ) sin ; cos ec( ) cos ec cos( ) cos ; sec( ) sec tan( ) tan ; cot( ) cot 6. ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ 2 sin(2 ) sin ; cosec(2 ) cosec cos(2 ) cos ; sec(2 ) sec tan(2 ) tan ; cot(2 ) cot 7. ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ 2 ( เป็นส่วนหน่ึงของหวั ขอ้ (3) ) sin(2 ) sin ; cosec(2 ) cosec cos(2 ) cos ; sec(2 ) sec tan(2 ) tan ; cot(2 ) cot 8. เอกลกั ษณ์เบ้ืองตน้ sin 2 + cos 2 = 1 1+ tan 2 = sec 2 เมื่อ cos 1 cot 2 = cosec 2 เมื่อ sin 9. คำ่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของจำนวนจริงบำงจำนวนหรือมุมบำงมุม sin cos tan cosec sec cot 00 0 1 0 1 6 30 1 31 2 2 3 2 23 3 45 2 2 1 2 21 4 22 60 1 3 2 2 1 3 3 32 32 2 90 1 0 1 0

เอกสารฝึ กหัดท่ี 2.1 ช่ือ……..………….…….……..….… เรอ�ื ง ความรูเ้ บอื้ งตน้ ของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ ช้ัน……… เลขที่…….. กลุ่มท่ี…..… รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพม�ิ เตมิ ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุม A .............. เรียกวา่ sine ของมุม A เขียนแทนดว้ ย sin A B ……….. เรียกวา่ cosine ของมุม A เขียนแทนดว้ ย cos A ……….. เรียกวา่ tangent ของมุม A เขียนแทนดว้ ย tan A ca ……….. เรียกวา่ cosecant ของมุม A เขียนแทนดว้ ย cosec A Ab C ……….. เรียกวา่ secant ของมุม A เขียนแทนดว้ ย sec A ……….. เรียกวา่ cotangent ของมุม A เขียนแทนดว้ ย cot A 2 45 60 1 2 45 30 1 วงกลมหน่ึงหน่วย 1 3 P (x,y) เป็นจุดใด ๆ บนวงกลมหน่ึงหน่วย D (….. , .....) (0,1) C (….. , .....) B (….. , .....) จะไดว้ า่ Sin = y , cos = x E(….. , .....) A (….. , .....) F(….. , .....) (-1,0) (1,0) จงเติมค่าพกิ ดั จุด A – L G (….. , .....) L (….. , .....) K (….. , .....) H (….. , .....) (0,-1) J (….. , .....) I (….. , .....)

จากวงกลมหน่ึงหน่วย จงหาคา่ ตรีโกณมิติ ต่อไปน้ี 1. sin 120 o 2. sin 240 o 3. cos 120o ………………………………. ……………………………… …………………………………… ………………………………. ……………………………… …………………………………… ………………………………. ……………………………… …………………………………… ………………………………. ……………………………… …………………………………… 4. cos 240o 5. tan 240o 6. tan 315o …………………………………… ………………………………. ……………………………… …………………………………… …………………………………… ………………………………. ……………………………… …………………………………… ………………………………. ……………………………… ………………………………. ……………………………… 7. sec 120o 8. csc 240o 9. cot 315o ………………………………. ……………………………… …………………………………… ………………………………. ……………………………… …………………………………… ………………………………. ……………………………… …………………………………… ………………………………. ……………………………… …………………………………… จงเติมคา่ ลงในตารางใหส้ มบูรณ์ องศา 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 เรเดียน 0 3 2 6432 2 sin 1/2 0 cos tan 0 - 1 cosec 2 - sec -2 -1 2 cot 1 0

ใบความรู้ท่ี 2.2 ชื่อ……………………………………. . เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกหรือผลตา่ ง (1) ช้ัน………… เลขที่………. กลุ่มท…ี่ …. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ โคไซน์ของผลต่างของจานวนจริงหรือมุม cos(A B) cosAcosB sinAsinB ตัวอย่างท่ี 1 จงหาค่าของ cos15 วธิ ีทา เนื่องจาก 15 ๐ = 45 ๐- 30๐ ดงั น้นั จากสูตร จะไดว้ า่ cos15 cos(45 30 ) cos45 cos30 sin45 sin30 2 3 2 )(12 ( 2 )( 2 ) ( 2 ) 6 2 0.9659 4 โคไซน์ของผลบวกของจานวนจริงหรือมุม cos(A B) cosAcosB sinAsinB ตัวอย่างท่ี 2 จงหาค่าของ cos75 วธิ ีทา เนื่องจาก 75 45 30 ดงั น้นั = cos75 cos(45 30 ) = cos45 cos30 sin45 sin30 ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 1 ) 2 2 2 2 62 4 0.2588 ตัวอย่างท่ี 3 ถา้ เป็นจานวนจริงใดๆ จงพสิ ูจน์วา่ (1) cos( 2 ) sin (2)sin( 2 ) cos วธิ ีทา (1) จากสูตร จะไดว้ า่ cos( 2 ) cos 2 cos sin 2 sin 0(cos ) 1(sin ) sin

(2) เนื่องจาก cos( 2 ) sin เมื่อ เป็นจานวนจริงใดๆดงั น้นั ถา้ แทน ดว้ ย 2 จะไดว้ า่ cos[ 2 ( 2 )] sin( 2 ) cos[( 2 2 ) )] sin( 2 ) cos sin( 2 ) นนั่ คือ sin( 2 ) cos ไซน์ของผลต่างของจานวนจริงหรือมุม sin(A B) sinAcosB cosAsinB ตัวอย่างท่ี 4 จงหาค่าของ sin15 วธิ ีทา เนื่องจาก 15 45 30 ดงั น้นั sin15 sin(45 30 ) sin45 cos30 cos45 sin30 2 3 2 )(12 ( 2 )( 2 ) ( 2 ) 62 4 0.2588 ไซน์ของผลบวกของจานวนจริงหรือมุม sin(A B) sinAcosB cosAsinB ตวั อย่างที่ 5 จงหาคา่ ของ sin75 วธิ ีทา เน่ืองจาก 75 45 30 ดงั น้นั sin75 sin(45 30 ) sin45 cos30 cos45 sin30 2 3 2 )(12 ( 2 )( 2 ) ( 2 ) 6 2 0.9659 4

เอกสารฝึ กหดั ที่ 2.2 ช่ือ……..………….…….……..….… เรื่อง การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ช้ัน……… เลขที่…….. กลุ่มที่…..… รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาพร้อมท้งั เขียนคาตอบลงในช่องวา่ งทกาหนดให้ (1) จงหาค่าของ 6. sin118 cos122 cos118 sin122 1. sin 75o =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. 2. tan 195o 7. 2 tan 75 1 tan2 75 =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. 3. tan 75o – cot 75o =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. 8. cos 40 o – cos 20 o + sin 10 o =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. 4. cos65 cos25 sin 65 sin 25 =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. 9. sin 8 =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. 5. 2sin75ocos15o =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..………………………………………………..

10. cos 450 sin 150 จงหาคา่ ของ =…..……………………………………………….. 1. sin(A–B) =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. 2. tan(A+B) 11. 2 sin 300 sin 100 – 2 sin 400 sin 200 + cos 400 =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. 3. cos 2B =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. 12. sin20o sin40o sin80o =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. B =…..……………………………………………….. 4. sin 2 =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. (2) กาหนดให้ sinA 3 และ cosB 5 เมื่อ =…..……………………………………………….. 5 13 5. sin 3A 90 A 180 ,180 B 270 (วเิ คราะห์หาคา่ ตรีโกณมิติ A ของ B จากภาพ) =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..……………………………………………….. =…..………………………………………………..

ใบความรู้ท่ี 2.3 ชื่อ……………………………………. . เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกหรือผลต่าง (2) ช้ัน………… เลขที่………. กล่มุ ท…่ี …. รายวิชา ค30203 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม แทนเจนต์ของผลต่างของจานวนจริงหรือมุม tan(A B) 1tantAan AttaannBB ตวั อย่างที่ 1 จงหาคา่ ของ tan15 วธิ ีทา เนื่องจาก 15 45 30 ดงั น้นั tan15 = tan(45 30 ) = tan45 tan30 1 tan45 tan30 1 1 3 = 1 1 (1)( 3 ) = 3 1 = 31 31 2 3 0.2679 3 1 31 31 แทนเจนต์ของผลบวกของจานวนจริงหรือมุม tan(A B) 1tantAan AttaannBB ตัวอย่างท่ี 2 จงหาคา่ ของ tan75 วธิ ีทา tan75 tan(45 30 ) tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 1 1 3 31 31 31 31 31 1 1 31 3 3.7321 4 2 3 2 3 2

ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ และ เป็นมุมในควอดรันตท์ ี่ 1 และท่ี 2 ตามลาดบั ซ่ึง tan 4 และ cos 12 จงหาคา่ ของ 3 13 (1) sin( ) (2) tan( ) (3) มุม เป็นมุมในควอดรันตท์ ่ีเท่าใด วธิ ีทา เน่ืองจาก เป็นมุมในควอดรันตท์ ี่ 1 และ tan 4 ดงั น้นั จุด (3,4) อยบู่ น ของดา้ นขวามุม 3 12 เน่ืองจาก เป็นมุมในควอดรันตท์ ี่ 2 และ cos 13 ดงั น้นั จุด (-12,5) อยบู่ นของ ดา้ นซา้ ยมุม yy 54 5 13 3x 12 x จะเป็ นมุมใน จากรูป (ก) จะไดว้ า่ sin 45 ,cos 35 และ tan 4 3 จากรูป (ข) จะไดว้ า่ sin 5 ,cos 12 และ tan 5 ดงั น้นั 13 13 12 (1) sin( ) sin cos cos sin (45)( 1123) (53)(153) 48 15 33 65 65 65 tan tan 1 tan tan (2) tan( ) (4/3) ( 5/12) 33 1 (4/3)( 5/12) 56 ) 0 ดงั น้นั (3) เน่ืองจาก sin( ) 0 และ tan( ควอดรันตท์ ่ี 3

ใบความรู้ที่ 2.4 ช่ือ……………………………………. . เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกหรือผลต่าง (3) ช้ัน………… เลขท่ี………. กลุ่มท…ี่ …. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ตัวอย่างที่ 1 จงหาคา่ ของ cos65 cos20 sin65 sin20 ) วธิ ีทา รูปแบบทกาหนดใหอ้ ยใู่ นรูป cos cos sin sin ซ่ึงเท่ากบั cos( ดงั น้นั cos65 cos20 sin65 sin20 cos(65 20 ) cos45 2 2 ตวั อย่างท่ี 2 จงหาคา่ ของ cos 72 cos18 sin 72 sin 18 ) วธิ ีทา รูปแบบทกาหนดใหอ้ ยใู่ นรูป cos cos sin sin ซ่ึงเท่ากบั cos( ดงั น้นั cos 72 cos18 sin 72 sin 18 cos(72 18 ) cos 90 =0 ตวั อย่างที่ 3 จงหาคา่ ของ sin110 cos40 cos110 sin40 วธิ ีทา sin110 cos40 cos110 sin40 sin(110 40 ) sin(150 ) sin(180 30 ) 1 sin30 2 ตัวอย่างท่ี 4 จงหาค่าของ sin100 cos40 cos100 sin40 วธิ ีทา sin100 cos40 cos100 sin40 sin(100 40 ) sin(60 ) 3 2

ตัวอย่างท่ี 5 จงหาคา่ ของ tan 85 tan 5 1 tan 85 tan 5 วธิ ีทา tan 85 tan 5 tan(85 5 ) 1 tan 85 tan 5 tan(90 ) = หาคา่ ไม่ได้ ตัวอย่างท่ี 6 จงพสิ ูจนว์ า่ sin( 6 ) cos( 3 ) cos วธิ ีพสิ ูจน์ sin( 6 ) cos( 3 ) sin 6 cos cos 6 sin (cos 3 cos sin 3 sin ) 1 3 1 3 ( 2 cos 2 sin ) ( 2 cos 2 sin ) 1 cos 1 cos 2 2 cos ตวั อย่างที่ 7 จงพสิ ูจนว์ า่ sin 2 cos 3 sin( ) cos 2 sin( ) วธิ ีพสิ ูจน์ sin( 2 ) cos(23 ) cos sin sin cos ตวั อย่างท่ี 8 จงพสิ ูจนว์ า่ sin(2 ) sin(32 ) sin( ) cos วธิ ีพสิ ูจน์ sin(2 ) sin(32 ) sin( ) cos sin ( cos ) ( sin ) sin cos sin cos

ใบความรู้ที่ 2.5 ช่ือ……………………………………. . เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติของสองเท่าของจานวนจริงหรือมุม ช้ัน………… เลขท่ี………. กลุ่มท่ี……. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ถา้ เป็นจานวนจริง หรือมุมใดๆแลว้ sin2 2sin cos ถา้ เป็นจานวนจริงใดๆ แลว้ (1) cos2 cos2 sin2 (2) cos2 1 2sin2 (3) cos2 2cos2 1 ถา้ เป็นจานวนจริง หรือมุมใดๆ ซ่ึงหาค่า tan และ tan2 ไดแ้ ลว้ tan2 2tan 1 tan2 ตวั อย่างที่ 1 จงหาคา่ ของ sin2 ,cos2 และ tan2 เมอกาหนดให้ tan 3 และ 2 0 4 3 วธิ ีทา เนื่องจาก tan 4 ดงั น้นั (4, 3) จะอยบู่ นดา้ นสิ้นสุดของมุม จากรูป จะไดว้ า่ sin 3 และ cos 4 5 5 4x 53 y (1) sin2 2sin cos 2( 35 )( 4 ) 5 24 25

(2) cos2 1 2sin2 1 2( 35 ) 2 1 18 7 25 25 sin2 24 275 ) 24 (3) tan2 cos2 ( 25 )( 7 ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ cos2 ในรูป ของ tan วธิ ีทา cos2 cos2 sin2 cos2 (1 sin 2 ) cos2 1 tan2 1 tan2 sec2 1 tan2 3 ตัวอย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ sin2 และ cos2 เมื่อกาหนดให้ tan 4 วธิ ีทา sin2 2tan 2( 3/4) cos2 1 tan2 1 ( 3/4)2 1 tan2 3/2 1 tan2 9 1 16 ( 23) (1265) 24 25 1 ( 9/16) 1 ( 9/16) 7 ( 1265 ) 7 ( 16 ) 25 ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ (1) 2 tan15 (2) 1 tan2 75 tan 2 15 1 tan2 75 (1) จากสูตรจะไดว้ า่ 1 2 tan15 =sin2(15 ) 1 tan215 1 = sin30 2 (2) จากสูตรจะไดว้ า่ 1 tan2 75 = cos2(75 ) 1 tan2 75 3 cos150 cos30 2

ใบความรูท้ ่ี 2.6 ช่ือ……………………………………. . เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องครึง� หนึ�งของจาํ นวนจริงหรือมุม ชนั้ ………… เลขท…ี่ ……. กลมุ่ ท…ี่ …. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ถา้ เป็นจานวนจริง หรือมุมใดๆ sin 2 1 cos 2 (โดยเลือกเครื่องหมาย + หรือ ข้ึนอยกู่ บั วา่ เป็นมุมในควอดรันตใ์ ด) 2 หมายเหตุ (1) sin 2 1 cos เม่ือ 2 อยใู่ นควอดรันตท์ 1 หรือ 2 (2) sin 2 2 1 cos เม่ือ 2 อยใู่ นควอดรันตท์ 3 หรือ 4 2 ถา้ เป็นจานวนจริง หรือมุมใดๆ cos 2 1 cos 2 (โดยเลือกเคร่ืองหมาย + หรือ ข้ึนอยกู่ บั 2 วา่ เป็นมุมในควอดรันตใ์ ด) หมายเหตุ (1) cos 2 1 cos เม่ือ 2 อยใู่ นควอดรันตท์ 1 หรือ 4 2 (2) cos 2 1 cos เมื่อ 2 อยใู่ นควอดรันตท์ 2 หรือ 3 2 ถา้ เป็นจานวนจริง หรือมุมใดๆ tan 2 1 cos 1 cos (โดยเลือกเครื่องหมาย + หรือ ข้ึนอยกู่ บั 2 วา่ เป็นมุมในควอดรันตใ์ ด) หมายเหตุ (1) tan 2 1 cos เมื่อ 2 อยใู่ นควอดรันตท์ 1 หรือ 3 (2) tan 2 1 cos เม่ือ 2 อยใู่ นควอดรันตท์ 2 หรือ 4 1 cos 1 cos

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคา่ ของ cos75 วธิ ีทา เพราะวา่ 75 เป็นมุมในควอดรันตท์ ี่ 1 ดงั น้นั cos75 > 0 จากสูตร จะไดว้ า่ cos75 = 1 cos150 2 = 1 cos30 2 = 1 ( 3/2) 2 1 = 2 2 3 0.2588 ตัวอย่างท่ี 2 จงหาคา่ ของ cos255 วธิ ีทา เพราะวา่ 255 เป็นมุมในควอดรันตท์ ี่ 2 ดงั น้นั cos255 < 0 และเน่ืองจาก จากสูตร จะไดว้ า่ cos255 = cos(180o 75o ) = cos75 cos75 = 1 cos150 = 1 cos30 2 2 = 1 ( 3/2) = 1 2 3 0.2588 2 2 จะไดว้ า่ cos255 = cos75 = 0.2588 ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ tan 8 วธิ ีทา เพราะวา่ 0< 8 < 2 ดงั น้นั tan 8 > 0 จากสูตร จะไดว้ า่ tan 8 = 1 cos( 4) = 1 ( 2 2) 1 cos( 4) 1 ( 2 2) = 2 2 = 2 22 2 2 2 2 22 2 = 6 42 = 3 22 2 = 2 1 2 = 2 1 0.4142

ใบความรู้ที่ 2.7 ช่ือ……………………………………. . เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องสามเท่าของจานวนจริงหรือมุม ช้ัน………… เลขท่ี………. กลุ่มท…่ี …. รายวชิ า ค 30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ถา้ θ เป็นจานวนจริง หรือมุมใดๆ แลว้ sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin3θ ถา้ θ เป็นจานวนจริง หรือมุมใดๆ แลว้ cos 3θ = 4 cos3θ – 3 cos θ ถา้ θ เป็นจานวนจริง หรือมุมใดๆ แลว้ tan 3θ = 3tan tan3 1 3tan2 ตัวอย่าง กาหนดให้ และ เป็นมุมในควอดรันตท์ ี่ 1 และที่ 2 ตามลาดบั ซ่ึง tan 4 และ cos 12 จงหาค่าของ 3 13 (1) sin(3 ) (2) tan(3 ) วธิ ีทา เนื่องจาก เป็นมุมในควอดรันตท์ ่ี 1 และ tan 4 ดงั น้นั จุด (3,4) อยบู่ น ของดา้ นขวามุม 3 12 เนื่องจาก เป็นมุมในควอดรันตท์ ่ี 2 และ cos 13 ดงั น้นั จุด (-12,5) อยบู่ นของ ดา้ นซา้ ยมุม yy 54 5 13 3 12 x x

จากรูป (ก) จะไดว้ า่ sin 4 ,cos 3 และ tan 4 5 5 3 จากรูป (ข) จะไดว้ า่ sin 5 ,cos 12 และ tan 5 ดงั น้นั 13 13 12 (1) sin 3 = 3 sin – 4 sin3 2160 125 176298 3 4 4 4 3 144 5 5 2035 144 12 256 1728 69 5 125 300 256 125 44 125 tan3 3tan2 (2) tan 3 = 3tan 1 53 3 5 12 12 52 13 12 3 5 125 12 1728 25 1 3 144 15 125 11424 177528 144 2035 1728 69 144 379 828 2

ใบความรู้ท่ี 2.8 ช่ือ……………………………………. . เรื่อง ผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ ช้ัน………… เลขที่………. กล่มุ ท…ี่ …. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ถา้ A และ B เป็นจานวนจริง หรือมุมใดๆ แลว้ (1) 2 sinA cosB = sin (A + B) + sin (A – B) (2) 2 cosA sinB = sin (A + B) – sin (A – B) (3) 2 cosA cosB = cos (A + B) + cos (A – B) (4) 2 sinA sinB = cos (A – B) – cos (A + B) ตวั อย่างท่ี 1 จงหาคา่ ของ (1) 2 sin 450 cos 150 (2) 2 cos 450 sin 150 (3) cos 450 cos 150 (4) sin 450 sin 150 วธิ ีทา (1) 2 sin 450 cos 150 = sin(450 + 150) + sin(450 – 150) = sin 600 + sin 300 = 3 1 31 2 2 2 (2) 2 cos 450 sin 150 = sin(450 + 150) - sin(450 – 150) = sin 600 - sin 300 = 3 1 31 2 2 2 (3) cos 450 cos 150 = 1 [ cos(450 + 150) + cos(450 – 150)] 2 1 = 2 (cos 600 + cos 300) = 1 ( 1 3 ) 31 2 2 2 4 (4) sin 450 sin 150 = 1 [ cos(450 - 150) - cos(450 + 150)] 2 1 = 2 (cos 300 - cos 600) = 1 ( 3 1 ) 31 2 2 2 4

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาค่าของ 2 cos 500 cos 100 - 2 sin 400 sin 200 + 2 sin 300 sin 100 วธิ ีทา 2 cos 500 cos 100 = cos(500 + 100) + cos(500 – 100) = cos 60° + cos 40° = 1 cos40 ………….. (1) 2 2 sin 400 sin 200 = cos(400 - 200) - cos(400 + 200) = cos 20° - cos 60° = cos 20° - 1 …………. (2) 2 2 sin 300 sin 100 = cos(300 - 100) - cos(300 + 100) = cos 20° - cos 40° จาก (1),(2) และ (3) จะไดว้ า่ 2 cos 50° cos 10° - 2 sin 40° sin 20° + 2 sin 30° sin 10° = 1 cos40 cos20 1 cos20 cos40 2 2 =1 ตัวอย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ sin 40° sin 80° sin 160° วธิ ีทา sin 40° sin 80° sin 160° = sin 40° ( sin 80° sin 160° ) = sin 40° [ 1 ( cos(800 - 160°) - cos(800 + 1600))] 2 1 1 = sin 40° [ 2 ( cos(-800) - 2 cos2400] = 1 sin 40° cos 800 - 1 sin 40° cos2400 2 2 1 1 = 4 [sin(40° + 80°) + sin(40° - 80°)] + 2 sin40 cos60 = 1 sin 120° + 1 sin(-40°) + 1 sin 40° 4 4 4 1 1 1 = 4 sin 60° - 4 sin 40° + 4 sin 40° = 1 · 3 = 3 4 2 8

ใบความรู้ที่ 2.9 ชื่อ……………………………………. . เร่ือง ผลบวกและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ ช้ัน………… เลขท่ี………. กล่มุ ท…่ี …. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ ถา้ A และ B เป็นจานวนจริง (หรือมุม) ใดๆแลว้ (1) sinA + sin B = 2 sin 1 (A + B) cos 1 (A – B) 22 (2) sin A – sin B = 2 cos 1 (A + B) sin 1 (A – B) 22 (3) cos A + cos B = 2 cos 1 (A + B) cos 1 (A – B) 22 (4) cos A – cos B = –2 sin 1 (A + B) sin 1 (A – B) 22 ตัวอย่างที่ 1 = 2 sin 1 (75° + 15° ) cos 1 (75° – 15° ) (1) sin 75° + sin 15° 2 2 (2) sin 75° – sin 15° = 2 sin 45° cos(30°) (3) cos 75° + cos 15° (4) cos 75° – cos 15° =2 2 1 2 วธิ ีทา (1) sin 75° + sin 75° 2 2 2 (2) sin 75° – sin 75° = 2 cos 1 (75° + 15° ) sin 1 (75° – 15° ) 2 2 (3) cos 75° + cos 75° = 2 cos 45° sin (30°) =2 2 3 6 2 2 2 = 2 cos 1 (75° + 15° ) cos 1 (75° –15° ) 2 2 = 2 cos 45° cos (30°) =2 2 3 6 2 2 2

(4) cos 75° – cos 75° = –2 sin 1 (75° + 15° ) sin 1 (75° –15° ) 2 2 = – 2 sin 45° sin (30°) =–2 2 1 2 2 2 2 ตวั อย่างท่ี 2 (1) sin 105° + sin 195° (2) sin 105° – sin 195° (3) cos 105° + cos 195° (4) cos 105° – cos 195° วธิ ีทา (1) sin 105° + sin 195° = 2 sin 1 (105° + 195° ) cos 1 (105° –195° ) 2 2 = 2 sin 150° cos(–45°) = 2 sin 30° cos45° = 2( 1 )( 2 ) 2 2 2 2 (2) sin 105° –sin 195° = 2 cos 1 (105° + 195° ) sin 1 (105° –195° ) 2 2 = 2 cos 150° sin(–45°) = 2 (-cos 30° )( –sin 45°) = 2 cos 30° sin 45° = 2( 3 )( 2 ) 6 2 2 2 (3) cos 105° + cos 195° = 2 cos 1 (105° + 195° ) cos 1 (105° –195° ) 2 2 = 2 cos 150° cos(–45°) = –2 cos 30° cos45° = 2( 3 )( 2 ) 6 2 2 2 (4) cos 105° – cos 195° = –2 sin 1 (105° + 195° ) sin 1 (105° –195° ) 2 2 = -2 sin 150° sin(–45°) = 2sin 30°sin 45° = 2( 1 )( 2 ) 2 2 2 2

ใบความรู้ท่ี 2.10 ช่ือ……………………………………. . เร่ือง อนิ เวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (1) ช้ัน………… เลขที่………. กลุ่มที่……. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ตามทไดศ้ ึกษาเรองทเกยวขอ้ งกบั ฟังกช์ นั และอินเวอร์สของฟังกช์ นั ตลอดจนถึงเรอง ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ซ่ึงพอจะสรุปใจความสาคญั ไดว้ า่ อินเวอร์สของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติไมเ่ ป็นฟังกช์ นั ดงั น้นั ในการทเรองอินเวอร์สของฟังกช์ นั เราจึงสนใจวา่ ถา้ เราลดโดเมนลงแตย่ งั มีเรนจค์ งเดิม เรา สามารถกาหนดโดเมนข้ึนได้ โดยทาใหฟ้ ังกช์ นั ตรีโกณมิติเป็นฟังกช์ นั 1-1 ท้งั น้ีเพ่ือใหอ้ ินเวอร์สของ ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติเป็นฟังกช์ นั ดว้ ย กาหนดฟังกช์ นั ไซน์ ดงั น้ี sine = x,y R R y sinx …………….(1) จะพบวา่ (1) โดเมนของ sine = R (2) เรนจข์ อง sine = [-1,1] (3) sine ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั 1-1 ดงั น้นั อินเวอร์สของฟังกช์ นั sine จึงไม่เป็นฟังกช์ นั ขอใหพ้ ิจารณาฟังกช์ นั ต่อไปน้ี sine = x,y R R y sinx เมื่อ 2 x 2 ……(2) จะพบวา่ ฟังกช์ นั (2) คือฟังกช์ นั sine ซ่ึงลดหรือจากดั โดเมนลง โดยมีโดเมนเทา่ กบั 2 , 2 แต่ยงั คงเทา่ กบั [-1,1] และเป็นฟังกช์ นั 1-1 จาก 2 , 2 ไปทว่ั ถึง [-1,1] (ดูกราฟในรูป) ดงั น้นั อินเวอร์สของฟังกช์ นั (2) จึงเป็นฟังกช์ นั y 2 y 1 ox -1 o 1 x 2 -1 2 2 Y = sin X ; 2 x 2 , 1 y 1 Y = arcsin X ; 2 y 2 , 1 x 1

นิยาม กาหนดฟังกช์ นั ไซน์ซ่ึงจากดั โดเมน ดงั น้ี f = x,y R R y sinx เม่ือ 2 x 2 จะเรียก f-1 = x,y R R x siny เม่ือ 2 y 2 วา่ เป็น ฟังก์ชันอนิ เวอร์สไซน์ หรือ ฟังก์ชันอาร์กไซน์ (arcsine) ซ่ึงนิยามดงั น้ี y = arcsin x ก็ต่อเม่ือ x = sin y เม่ือ 1 ≤x≤1 และ 2 y 2 นิยาม ฟังก์ชันอนิ เวอร์สโคไซน์ หรือ ฟังก์ชันอาร์กโคไซน์ (arccosine) y = arcos x ก็ตอ่ เมื่อ cos y = x เม่ือ 1 ≤ x ≤ 1 และ 0 ≤ y≤ π นิยาม ฟังก์ชันอนิ เวอร์สแทนเจนต์ หรือ ฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์ ตัวอย่าง y = arctan x กต็ ่อเม่ือ tan y = x เมื่อ x R และ 2 y 2 วธิ ีทา จงหาค่าของ (1) arcsin(cos 4 ) (2) cos[arcsin(- 2 ) ] 2 2 (1) เน่ืองจาก cos 4 = 2 ดงั น้นั arcsin(cos 4) = arcsin 2 2 2 ให้ arcsin 2 = y เมื่อ 2y2 sin y = 2 2 y= 4 จะไดว้ า่ arcsin(cos 4 ) = 4 2 (2) สมมติให้ arcsin ( 2 ) = y เมื่อ 2y2 ดงั น้นั sin y=- 2 2 2 y = -4 2 แสดงวา่ arcsin (- ) = -4 ดงั น้นั cos[ arcsin (- 2 )]= cos( - 4 ) = cos 4 = 2 2 2

ใบความรู้ท่ี 2.11 ช่ือ……………………………………. . เรื่อง อนิ เวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (2) ช้ัน………… เลขท่ี………. กล่มุ ท…ี่ …. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ (1) arccos(- 3 ) (2) arccos(-0.8843) วธิ ีทา 2 3 (1) ให้ arccos(– 2 ) = y เมื่อ 0 ≤ y≤ π ดงั น้นั cos y = – 3 นน่ั คือ y = 6 5 2 6 3 5 ดงั น้นั arccos(– 2 ) = 6 (2) สมมติให้ arccos(–0.8843) = y เมื่อ 0 ≤ y≤ π เพราะฉะน้นั cos y = -0.8843 จากตารางค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ จะพบวา่ cos(0.4858) = 0.8843 cos(π – 0.4858) = -0.8843 y = π – 0.4858 = 3.1416 – 0.4858 = 2.6558 นนั่ คือ arccos (–0.8843) = 2.6558 ตวั อย่างที่ 2 (1) arctan 1 = 4 เหตุผล tan 4 = 1 และ 2 4 2 1 (2) arctan(– 3 ) = - 6 เหตุผล tan(– 6 ) = - tan 6 = – 1 และ 2 62 3 (3) arctan (-1.8040) = -1.0647 เหตุผล tan(–1.0647) = –tan 1.0647 = –1.8040 และ 2 1.0647 2 ตัวอย่างท่ี 3 จงพิสูจน์วา่ (1) sin(arcsin x) = x เมื่อ -1 < x < 1 (2) arcsin(sin x) = x เม่ือ 2 x 2 พสิ ูจน์ (1) กาหนดให้ –1 < x < 1 และสมมติให้ arcsin x = y เม่ือ 2 y 2 ดงั น้นั sin y = x นนั่ คือ sin(arcsin x) = x

(2) กาหนดให้ 2 x 2 และสมมติให้ sin x = y ดงั น้นั arcsin y = x นน่ั คือ arcsin(sin x) = x จากแนวทางการพสิ ูจน์ตัวอย่างท่ี 2 สรุปสูตรเพม่ิ เติมได้ดงั นี้ sin(arcsin x) = x เมื่อ -1 ≤ x ≤ 1 arcsin(sin x) = x เมื่อ 2 x 2 cos(arccos x) = x เม่ือ -1 ≤ x ≤ 1 arccos(cos x) = x เมื่อ 0 ≤ x ≤ π tan(arctan x) = x เม่ือ x R arctan(tan x) = x เมื่อ 2 x 2 สรุปโดเมนและเรจน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันอนิ เวอร์สของตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์ sine [- , ] [-1,1] 22 arcsine [-1,1] [- , ] 22 cosine [0 , π] [-1,1] arccosine [-1,1] [0 , π] tangent (- , ) R arctangent cosecant 22 (- , ) arccosecant R 22 secant arcsecant [- ,0 ) U (0, ] (-α , -1] U [1,α) cotangent 22 [- ,0 ) U (0, ] (-α , -1] U [1,α) 22 [0, ) U ( ,π] (-α , -1] U [1,α) 22 [0, ) U ( ,π] (-α , -1] U [1,α) 22 (0 , π) R arccotangent R (0 , π)

ใบความรู้ที่ 2.12 ช่ือ……………………………………. . เร่ือง อนิ เวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (3) ช้ัน………… เลขท่ี………. กล่มุ ท่…ี …. รายวชิ า ค 30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ ตัวอย่างท่ี 1 (1) sin(arcsin 1 ) = 1 ตัวอย่างที่ 2 2 2 ตัวอย่างท่ี 3 ตวั อย่างท่ี 4 (2) arcsin(sin ( 4 ) ) = 4 วธิ ีทา 1 1 (1) cos(arccos ( 2 ) ) = 2 (2) arccos(cos 4 ) 1 =4 1 3 3 (1) tan(arctan ( )) = (2) arctan(tan 4 ) = 4 2 3 3 จงหาค่าของ cos(arcsin 5 ) + sin(arccos( )) สมมติให้ arcsin 3 = θ เมื่อ 2 2 5 2 และ arccos ( 3 ) = β เม่ือ 0 ดงั น้นั sin θ = 3 และ cos β = 2 53 จากรูป จะไดว้ า่ cos(arcsin 3 ) = cos θ = 4 5 5 2 5 และจากรูป จะไดว้ า่ sin(arccos( 3 ) ) = sin β = 3 ดงั น้นั cos(arcsin 3 ) + sin(arccos( 2 ) ) = 4 + 5 5 3 5 3

ตัวอย่างที่ 5 จงพสิ ูจน์วา่ arcsin 1 arcsin 2 2 วธิ ีทา 5 5 1 2 arcsin 5 และ arcsin 5 เมื่อ –2 2 และ – 2 2 เพราะฉะน้นั sin θ = 1 และ sin 2 5 5 แสดงวา่ มุม θ และ β เป็นมุมในควอตรันตท์ ี่ 1 จากรูป จะไดว้ า่ cos θ = 2 และ cos β = 1 5 5 1 2 เพราะฉะน้นั sin(arcsin 5 + arcsin 5 ) = sin(θ+β) = sin θ cos β + cos θ sin β = 1 · 1 + 2 · 2 5 5 5 5 1 4 = 5 5 1 แสดงวา่ sin(θ+β) = 1 เน่ืองจากวา่ 0 ≤ θ+β ≤ π ดงั น้นั θ+β = 2 1 2 นนั่ คือ arcsin 5 + arcsin 5 =2

เอกสารฝึ กหัดที่ 2.3 ชื่อ……..………….…….……..….… เรื่อง อนิ เวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ ช้ัน……… เลขท่ี…….. กลุ่มท่ี…..… รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ� เตมิ คำช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทำพร้อมท้งั เขียนคำตอบลงในช่องวำ่ งที่กำหนดให้ 24 3 (1) จงหำค่ำของ 2. arctan 7 = 2arctan 4 1. arcsin 3 …………………………………………………….. 2 =…………………………………………………… …………………………………………………….. 2. arctan ( 3 ) …………………………………………………….. =…………………………………………………… …………………………………………………….. 3. arccos 0 …………………………………………………….. =…………………………………………………… …………………………………………………….. 4. arcsec 2 …………………………………………………….. =…………………………………………………… …………………………………………………….. 5. arccos 1 – arcsin (–1) …………………………………………………….. =…………………………………………………… 3. arcsin 16 – arcsin 3 = arccos 12 6. cos(arcsin 1 ) 65 5 13 …………………………………………………….. 2 =…………………………………………………… …………………………………………………….. 7 …………………………………………………….. 7. sec(arccot(tan 6 ) …………………………………………………….. =…………………………………………………… …………………………………………………….. (2) จงพสิ ูจน์วำ่ …………………………………………………….. …………………………………………………….. 1. arcsin 5 = arctan 5 13 12 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. ……………………………………………………..

ใบความรู้ที่ 2.13 ชื่อ……………………………………. . เร่ือง เอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ ช้ัน………… เลขที่………. กลุ่มท…ี่ …. รายวชิ า ค 30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม การพิสูจนเ์ อกลกั ษณ์จาเป็นตอ้ งอาศยั เอกลกั ษณ์พ้ืนฐานทกล่าวไปแลว้ เอกลกั ษณ์บาง เอกลกั ษณ์ก็อาจจะมีวธิ ีการพิสูจน์ไดห้ ลายวธิ ี ตวั อย่างท่ี 1 จงพิสูจน์เอกลกั ษณ์ tan2 x sec2 x 1 วธิ ีพสิ ูจน์ sin2 x cos2 x 1 sin2 x 1 cos2 x sin2 x 1 cos2 x cos2 x cos2 x tan2 x sec2 x 1 ตัวอย่างที่ 2 จงพิสูจน์เอกลกั ษณ์ cot2 x cosec2x 1 วธิ ีพสิ ูจน์ sin2 x cos2 x 1 cos2 x 1 sin2 x cosec2x cos2 x 1 sin2 x sin2 x sin2 x cot2 x cosec2x 1 ตวั อย่างที่ 3 จงพสิ ูจน์เอกลกั ษณ์ tan2 x cot2 x sec2 x วธิ ีพสิ ูจน์ tan2 x cot2 x sin2 x cos2 x cos2 x sin2 x sin4 x cos4 x cos2 xsin2 x (sin2 x cos2 x)(sin2 x cos2 x) cos2 xsin2 x sin2 x cos2 x cos2 xsin2 x sec2 x cosec2x 1 1 cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x cos2 xsin2 x ดงั น้นั tan2 x cot2 x sec2 x cosec2x

ตัวอย่างท่ี 4 จงพิสูจน์เอกลกั ษณ์ sec x cos x tan xsin x วธิ ีพสิ ูจน์ sec x cosx 1 cos x cos x 1 cocsoxs2 x scinos2xx csionsxx sin x tan xsin x ตัวอย่างที่ 5 จงพิสูจน์เอกลกั ษณ์ sin 4x 4sin x cosx 8sin3 x cosx วธิ ีพสิ ูจน์ sin 4x sin 2(2x) 2sin 2x cos2x 2(2sin x cosx)(1 2sin2 x) 2(2sin x cosx 4(sin3 x)(cosx)) 4sin x cosx 8sin3 x cosx ตัวอย่างท่ี 6 จงพิสูจนเ์ อกลกั ษณ์ sec4 x sec2 x tan2 x tan4 x วธิ ีพสิ ูจน์ secx4 sec2 x (sec2 x)2 (1 tan2 x) (1 tan2 x)2 (1 tan2 x) 1 2tan2 x tan4 x 1 tan2 x tan2 x tan4 x ตวั อย่างที่ 6 จงพิสูจนเ์ อกลกั ษณ์ cot2x cotx 1 2cotx 1 วธิ ีพสิ ูจน์ cot2x tan2x 1 2 tan x 1 tan2 x 1 tan2 x 2 tan x 1 (1/cotx)2 2 tan x cot2 x 1 2 tan x cot2 x cot2 x 1 2 cot x

เอกสารฝึ กหัดท่ี 2.4 ชื่อ……..………….…….……..….… เร่ือง เอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ ช้ัน……… เลขที่…….. กลุ่มท่ี…..… รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ คำช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทำพร้อมท้งั เขียนคำตอบลงในช่องวำ่ งท่ีกำหนดให้ cos2A 1 จงพสิ ูจน์เอกลกั ษณ์ตอ่ ไปน้ี 7. sin 2A cot A 1. cos tan cosec = 1 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 2. cos2 (1+tan2 ) = 1 …………………………………………………….. 8. sin A cot A …………………………………………………….. 1 cosA 2 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 3. (1+ cot2 )(1- cos2 ) = 1 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 4. sin2 + sin2 cot2 = 1 9. 1 tan2 A cos2A …………………………………………………….. 1 tan2 A …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 1 1 1 1 5. cos 2 cot 2 cosec2 sec2 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 10. sin A sin3A sin5A tan3A cosA cos3A cos5A …………………………………………………….. …………………………………………………….. 6. sin ( + A)- cos ( 3 -A ) =0 …………………………………………………….. 2 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. ……………………………………………………..

ใบความรู้ท่ี 2.14 ชื่อ……………………………………. . เรื่อง สมการตรีโกณมิติ (1) ช้ัน………… เลขท่ี………. กล่มุ ท…่ี …. รายวชิ า ค 30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ สมการตรีโกณมติ ิ หมายถึง สมการทประกอบดว้ ยพจนท์ อยใู่ นรูปฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ ตวั แปร ซ่ึงแยกเป็น 2 ประเภท คือ ประเภทท่ี 1 : สมการเอกลกั ษณ์ (identity equation) หรือเรียกส้ันๆวา่ เอกลกั ษณ์ หมายถึง สมการที่เป็นจริง เม่ือแทนตวั แปร ดว้ ยจานวนจริงใดๆ ซ่ึงทาใหพ้ จนแ์ ตล่ ะพจน์ในสมการมี ความหมาย ตวั อยา่ งของเอกลกั ษณ์ทผา่ นมาแลว้ ไดแ้ ก่ sin2x + cos2x = 1 1 + tan2x = sec2x 1 + cot2x = cosec2x ประเภทท่ี 2 : สมการมเี งอ่ื นไข (conditional equation) ซ่ึงต่อไปจะเรียกส้ันๆวา่ สมการ หมายถึงสมการทไม่ใช่เอกลกั ษณ์ (มีจานวนจริงในเอกภพสัมพทั ธ์ เพียงบางจานวน หรืออาจจะไมม่ ี จานวนจริงใด ซ่ึงเมอแทนตวั แปรในสมการน้นั แลว้ ทาใหเ้ ป็นจริง) เช่น sin x = 1 cos x = 0 คาตอบเฉพาะ (particular solution) ของสมการตรีโกณมิติ หมายถึงจานวนจริง ในเอกภพสัมพทั ธ์ทมีขอบเขตจากดั ซ่ึงเมื่อแทนตวั แปรแลว้ ทาใหส้ มการเป็นจริง คาตอบทวั่ ไป (general solution) ของสมการตรีโกณมิติ หมายถึง คาตอบของ สมการทอยใู่ นรูปทวั่ ไปภายใตเ้ อกภพสัมพทั ธ์ R ตัวอย่างท่ี 1 จงแกส้ มการ sin x = 1 เมื่อ 2 (1) x ε [0 , 2π] (2) x ε R วธิ ีทา (1) เน่ืองจาก sin 6 1 และ 2 1 sin (π- 6 ) 2 5 6 และ 6 [0,2 ) และ [0,2 ) ดงั น้นั คาตอบของสมการ คือ x = 6 หรือ 5 6 5 เซตคาตอบ = { 6 , 6 }

(2) จากขอ้ (1) คาตอบท้งั หมดของสมการ sin x = 1 ภายในช่วง [0,2π) 2 5 คือ x = 6 หรือ 6 ดงั น้นั คาตอบทว่ั ไปของสมการ คือ 5 6 x = 2nπ + 6 หรือ x = 2nπ + เม่ือ n ε I เซตคาตอบ = { x | x = 2nπ + 6 หรือ x = 2nπ + 5 เมื่อ n ε I } 6 หมายเหตุ ถา้ θ1 ε [0, 2π) และ θ2 ε [0, 2π) และ θ1 ,θ2 เป็นคาตอบของสมการ โดยท่ี θ1 < θ2 และมีคา่ ตา่ งกนั เทา่ กบั π แลว้ คาตอบทว่ั ไปของสมการ สามารถเขียนใหม่ ไดใ้ นรูป ดงั น้ี x = n π + θ1 เม่ือ n ε I ตวั อย่างท่ี 2 จงแกส้ มการ sin x = 0 วธิ ีทา จะพบวา่ 0 และ π เป็นคาตอบในช่วง [0, 2π) และมีค่าต่างกนั เท่ากบั π ดงั น้นั คาตอบ ทว่ั ไปของสมการน้ี คือ x = n π + 0 = n π เม่ือ n ε I ตวั อย่างท่ี 3 จงแกส้ มการ 2 cos2x - sin x + 1 = 0 วธิ ีทา เอกภพสมั พทั ธ์ ของสมการน้ี คือ R 2 cos2x - sin x + 1 = 0 2(1 – sin2x) - sin x + 1 = 0 2 sin2x + sin x – 3 = 0 (2 sin x + 3 ) (sin x – 1 ) = 0 เน่ืองจาก 2 sin x + 3 ≠ 0 ดงั น้นั sin x – 1 = 0 ดงั น้นั sin x = 1 คาตอบของสมการในช่วง [0 , 2 π) คือ x = 2 ดงั น้นั เซตคาตอบ = { x | x = 2nπ + 2 เม่ือ n ε I }

ใบความรู้ที่ 2.15 ช่ือ……………………………………. . เรื่อง สมการตรีโกณมิติ (2) ช้ัน………… เลขท่ี………. กล่มุ ท…ี่ …. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ตวั อย่างท่ี 1 จงแกส้ มการ cos x = 1 เมื่อ (2) x ε R 2 (1) x ε [0 , 2π) วธิ ีทา (1) เนื่องจาก cos 3 1 2 1 cos (2π - 3 ) 5 2 3 และ 3 ε [0 , 2π) และ ε [0 , 2π) ดงั น้นั เซตคาตอบ = {3 , 5 } 3 (2) จากขอ้ (1) คาตอบทวั่ ไป จะอยใู่ นรูป 5 x = 2n π + 3 หรือ x = 2n π + 3 เม่ือ n ε I ดงั น้นั เซตคาตอบ = { x | x = 2n π + 3 หรือ x = 2n π + 5 เม่ือ n ε I } 3 ตวั อย่างที่ 2 จงแกส้ มการ 2 sin2x - cos x - 1 = 0 วธิ ีทา เอกภพสัมพทั ธ์เท่ากบั R 2 sin2x - cos x - 1 = 0 2(1 – cos2x) - cos x - 1 = 0 2 cos2x + cos x - 1 = 0 (2 cos x - 1)(cos x + 1 ) = 0 ดงั น้นั (2 cos x - 1) = 0 หรือ (cos x + 1 ) = 0 cos x = 1 หรือ cos x = -1 2 1 ถา้ cos x = 2 แลว้ คาตอบของสมการน้ีในช่วง [0 , 2π) คือ x= 3 หรือ x = 2 π - 3 = 5 3 ถา้ cos x = -1 แลว้ คาตอบของสมการน้ีในช่วง [0 , 2π) คือ x = π ดงั น้นั คาตอบทวั่ ไปของสมการทกาหนดให้ คือ 5 x = 2n π + 3 หรือ 2n π + 3 หรือ 2n π + π เม่ือ n ε I เซตคาตอบ = { x | x = 2n π + 3 หรือ 2n π + 5 หรือ 2n π เม่ือ n ε I } 3

ตวั อย่างท่ี 3 จงแกส้ มการ tan x = 3 วธิ ีทา เน่ืองจาก tan 3 = 3 ดงั น้นั 2 tan ( 3) tan 3 = 3 tan (2 3) tan 5 = 3 3 2 5 ดงั น้นั x = 3 หรือ 3 ช่วง [0 , 2π) คาตอบทว่ั ไปคือ x = 2n π + 2 หรือ x = 2n π + 5 เม่ือ n ε I 3 3 2 หรือ คาตอบทว่ั ไปคือ x=nπ + 3 เม่ือ n ε I เซตคาตอบ = { x | x = n π + 23 เมื่อ n ε I } ตวั อย่างที่ 4 จงหาคาตอบเฉพาะในช่วง [0 , 2π) และคาตอบทวั่ ไปของสมการ 2 sin x · tan x – 2 sin x – tanx + 1 = 0 วธิ ีทา 2 sin x · tan x – 2 sin x – tanx + 1 = 0 2 sin x (tan x – 1) – tanx + 1 = 0 (2 sin x – 1 ) (tan x – 1) = 0 ดงั น้นั 2 sin x – 1 = 0 หรือ tan x – 1 = 0 นนั่ คือ sin x = 1 หรือ tan x = 1 2 (1) ถา้ sin x = 1 และ x ε [0 , 2π) แลว้ 2 5 x = 6 หรือ x = 6 = 6 ดงั น้นั คาตอบทว่ั ไปคือ x = 2nπ + 6 หรือ x = 2n π + 5 เม่ือ n ε I 6 (2) ถา้ tan x = 1 และ x ε [0 , 2π) แลว้ x = 4 หรือ x = 4 = 5 4 ดงั น้นั คาตอบทว่ั ไปคือ x = nπ + 4 เม่ือ n ε I จาก (1) และ (2) จะไดว้ า่ คาตอบเฉพาะในช่วง [0 , 2 ) คือ x = 6 , 5 , 4 , 5 6 4 5 คาตอบทวั่ ไปคือ x = 2n π + 6 , 2n π + 6 ,nπ+ 4 เมื่อ n ε I

เอกสารฝึ กหดั ท่ี 2.5 ช่ือ……..………….…….……..….… เรื่อง สมการตรีโกณมิติ ช้ัน……… เลขท่ี…….. กล่มุ ท่ี…..… รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ คำช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทำพร้อมท้งั เขียนคำตอบลงในช่องวำ่ งทกำหนดให้ (1) กำหนดให้ 0 < < 2700 จงหำคำ่ (2) กำหนดให้ 0 < < 2 จงหำค่ำ จำก จำกสมกำรตอ่ ไปน้ี สมกำรตอ่ ไปน้ี 1. cos = 3 1. sin = 3 2 2 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 2. tan = 1 4sin2 = 3 3 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 3. sec = –2 2. 2cos2 – 3 cos = 0 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 4. sin 2 = 22 …………………………………………………….. …………………………………………………….. 3. sin tan + sin = 0 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. ……………………………………………………..

(3) จงแกส้ มกำรตอ่ ไปน้ี 5. tan 2 – 3sec2 = 0 1. 2sin + 1 = 0 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………..… …………………………………………………….. ……………………………………………………. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 2. cos 2 = 22 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 6. 2sin2x – cos x + 1 = 0 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………..… ……………………………………………………. 3. 4 cos2 – 1 = 0 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 7. cos x . tan x – cos x + tanx – 2 = 0 …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 4. tan 2 – 2tan + 1 = 0 …………………………………………………..… …………………………………………………….. ……………………………………………………. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. ……………………………………………………..

ใบความรู้ที่ 2.16 ชื่อ……………………………………. . เร่ือง กฎของโคไซน์ ช้ัน………… เลขที่………. กลุ่มท…่ี …. รายวชิ า ค 30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม นอกเหนือจากการใชต้ รีโกณมิติคานวณหาความยาวของดา้ น และขนาดของมุมของรูป สามเหล่ียมมุมฉากแลว้ ยงั สามารถใชต้ รีโกณมิติคานวณหาความยาวของดา้ น และขนาดของมุมของรูป สามเหล่ียมใดๆ ไดอ้ ีกกฎทใชใ้ นการคานวณเรียกวา่ กฎของโคไซน์ และ กฎของไซน์ กฏของโคไซน์ กาหนดรูปสามเหลยม ABC ถา้ a, b และ c แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A,B และ C ตามลาดบั แลว้ จะไดว้ า่ (1) a2 b2 c2 2bc cosA (2) b2 a2 c2 2accosB (3) c2 a2 b2 2abcosC หมายเหตุ ประโยชนข์ องกฎของโคไซน์ คือ (1) ใชส้ าหรับหาความยาวของดา้ นๆ หน่ึงของส่ีเหล่ียมรูปสามเหลี่ยม หลงั จากท่ีทราบความ ยาวของดา้ นสองดา้ น และทราบขนาดของมุม ซ่ึงอยรู่ ะหวา่ งดา้ นท้งั สอง (2) ใชส้ าหรับหาขนาดของมุมของรูปสามเหล่ียม หลงั จากททราบความยาวของดา้ นท้งั สาม ดา้ น ตัวอย่างท่ี 1 กาหนดรูปสามเหลยม ABC โดยท่ี a=3, b=6 และ C=60๐ จงหา (1) ความยาวของดา้ นที่เหลือ (2) ขนาดของมุมท่ีเหลือ วธิ ีทา (1) จากกฎของโคไซน์ จะไดว้ า่ c2 a2 b2 2abcosC 9 25 2(3)(5)cos60 1 34 30( 2 ) = 34 – 15 = 19 ดงั น้นั c = 19 4.36

(2) หา B และ A จากกฎของโคไซน์ จะไดว้ า่ b2 a2 c2 2accosB cosB a2 c2 b2 = 9 19 25 3 0.1147 2ac 2(3)( 19 ) 6(4.36) ดงั น้นั B 83 26' และ A = 180Q (C+B) = 180Q (60 Q + 83 26' ) 36๐ 34ง ตัวอย่างที่ 2 จงหาขนาดของมุมท้งั สามของรูปสามเหลี่ยม ABC เมื่อกาหนดความยาวดา้ นของสามเหล่ียม ดงั น้ี a = 5 , b = 8 และ c = 10 วธิ ีทา จากกฎของโคไซน์ จะไดว้ า่ cos A b2 c2 a2 ................. (1) และ cosB a2 c2 b2 ................. (2) 2bc 2ac 64 100 25 139 จาก (1) จะไดว้ า่ cosA 160 160 0.8688 ดงั น้นั A 29 40' 0.61 cos B 25 100 64 จาก (2) จะไดว้ า่ 100 61 100 ดงั น้นั B 52 25' เพราะวา่ A+B+C = 180๐ ดงั น้นั C 180๐ (29๐ 40 +52 ๐25 ) 97๐ 55 ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนานรูปหน่ึง ซ่ึงมีขนาดของมุมๆ หน่ึงเท่ากบั 120๐ และดา้ นท่ี ประกอบมุมน้ียาว 10 และ 5 เซนติเมตร จงหาความยาวของเส้นทแยงมุมท้งั สองเส้นของรูปสี่เหลี่ยมน้ี วธิ ีทา ในรูปสามเหล่ียม ABC จากกฎของไดไซน์ จะไดว้ า่ AC2 = AB2+ BC2 2AB BC cos B =100 + 25 2 (10)(5) cos 120๐ =125 + 100( 1 ) = 175 2 ดงั น้นั AC = 175 13.23 เซนติเมตร ในรูปสามเหลี่ยม ABD จากกฎโคไซน์ จะไดว้ า่ BD2 = AD2+ AB2 2AD AB cos A =25 + 100 2 (5)(10) cos 60๐ =125 100( 1 ) = 75 2 ดงั น้นั BD = 75 = 5 3 8.7 เซนติเมตร

ใบความรู้ท่ี 2.17 ชื่อ……………………………………. . เรื่อง กฎของไซน์ ช้ัน………… เลขที่………. กลุ่มท…ี่ …. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ในรูปสามเหล่ียม ABC ใดๆ ถา้ a,b และ c แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A,B และ C ตามลาดบั แลว้ sin A sin B sinC a bc พ้นื ที่ ABC = 1 ab sin C 2 พ้นื ท่ี ABC = 1 ac sin B 2 พ้ืนที่ ABC = 1 bc sin A 2 ตวั อย่างที่ 1 ในรูปสามเหล่ียม ABC กาหนดให้ A=105๐ ,C=60๐ และ b=4 จงหา (1) ความยาวของดา้ นและขนาดของมุมท่ีเหลือ (2) พ้ืนทรูปสามเหลยม ABC (3) มุมที่เหลือ วธิ ีทา (1) หาความยาวของดา้ นที่เหลือ (a และ c) โดยใชก้ ฎของไซน์ ดงั น้ี sin A sin B ab (sin105 ) นน่ั คือ a bssiinnBA (sin15 ) 4 4 (sin75 ) 4 (cos15 ) (sin15 ) (sin15 ) = 4 cot 15๐ 4(3.732) 14.9

และ sin C sin B c b c bsisninBc (sin60 ) 4(0.8660 ) 4 (sin15 ) 0.2588 13.4 (2) พ้ืนที่ ABC= 1 ab sin C 1 (14.9)(4)(0.8660 ) 25.8 ตารางหน่วย 2 2 (3) มุมท่ีเหลือคือ มุม B จะไดว้ า่ B=180๐-(105๐+60๐)=15๐ ตวั อย่างท่ี 2 ในรูปสามเหล่ียม ABC กาหนดให้ B=45๐, c = 2 3 และ b = 2 2 จงหาขนาดของมุม เหลือ วธิ ีทา หา C จากกฎของไซน์ จะไดว้ า่ sinc C sinb B 31 3 sin C c sibn B 2 22 2 3(sin 45 ) ดงั น้นั C=60๐ หรือ 120๐ 22 ถา้ C=60๐ แลว้ A=180๐- (45๐+60๐) =75๐ และ ถา้ C=120๐ แลว้ A=180๐- (45๐+120๐) =15๐ ทาใหส้ ร้าง รูปสามเหลี่ยมได้ 2 แบบ ดงั รูป 45๐ ตัวอย่างท่ี 3 จงหาความยาวของส้นรอบรูปสามเหลี่ยมหนา้ จวั่ ซ่ึงมีฐานยาว 10 เซนติเมตร และมีขนาด ของมุมยอดเท่ากบั 120๐ วธิ ีทา จากรูป กาหนดให้ ABC เป็นสามเหล่ียมหนา้ จว่ั โดยมี c = b , A=120๐ และ a=10 B = C = 60 30 จากกฎของไซน์ จะไดว้ า่ sin C sin A c a 2 1 2 c= asinC = 10sin30 = 10( 3 ) = 10 5.8 เซนติเมตร sinA sin120 3 2 ความยาวของเส้นรอบรูป 5.8+ 5.8 + 10 21.6 เซนติเมตร

ใบความรู้ที่ 2.18 ชื่อ……………………………………. . เร่ือง การหาระยะทางและความสูง ช้ัน………… เลขท่ี………. กล่มุ ท…่ี …. รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม เราสามารถใชค้ วามรู้เกี่ยวกบั ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติและรูปสามเหล่ียม โดยเฉพาะกฎของโคไซน์ และกฎของไซน์ ช่วยในการคานวณหาระยะทางและความสูงของสิ่งของได้ ก่อนอื่นใดเราจะตอ้ งทา ความเขา้ ใจเก่ียวกบั มุมท่ีเรียกวา่ มุมกม้ (angle of depression) และมุมเงย (angle of elevation) ซ่ึงมี ความหมายดงั น้ี มุมก้มและมุมเงย เป็นมุมที่มีเส้นระดบั สายตา (แนวนอน) เป็นดา้ นเรมตน้ ของมุม และมีเส้นจากสายตาไปยงั วตั ถุเป็นดา้ นสิ้นของมุม สมมุติใหเ้ ป็นมุม ถา้ วตั ถุอยเู่ หนือเส้นระดบั สายตา แลว้ เราจะเรียกวา่ วา่ เป็นมุมเงย ถา้ วตั ถุอยใู่ ตเ้ ส้นระดบั สายตา แลว้ เราจะเรียกวา่ วา่ เป็นมุมกม้ ตัวอย่างท่ี 1 สมชายซ่ึงสูง 175 เซนติเมตร ยนื อยู่ ณ ที่แห่งหน่ึง พบวา่ ถา้ เขามองไปยงั ยอดเขาลูกหน่ึง เขาจะมองเห็นยอดเขาเป็นมุมเงย 15๐ แตถ่ า้ เขาเดินเขา้ ไปหายอดเขาลูกน้นั เป็นระยะทาง 1 กิโลเมตร ตาม แนวพ้ืนราบ แลว้ มองไปยงั ยอดเขาเดิมอีกคร้ัง พบวา่ มุมเงยจะเทา่ กบั 60๐ จงหาความสูงของยอดเขาลูก น้นั จากแนวพ้ืนราบเดิม วธิ ีทา กาหนดให้ A แทนตาแหน่งยอดเขา กาหนดให้ B แทนตาแหน่งแรกของสมชาย กาหนดให้ C แทนตาแหน่งที่สองของสมชาย

ดงั น้นั BC = 1 กิโลเมตร ในรูปสามเหลี่ยม ABC จะไดว้ า่ B Cˆ A = 180 ๐– 60 ๐= 120๐ ดงั น้นั B Aˆ C = 180๐ – (15๐+120๐)=45๐ sin BAˆ C sin ACˆ B จากกฎของไซน์ จะไดว้ า่ BC AB sin45 sin120 1 AB sin120 3 6 AB sin 45 2 2 2 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะไดว้ า่ AD = AB sin15 = 6 (0.2588 ) 0.317 กิโลเมตร 2 ดงั น้นั ความสูงของยอดเขา 317+1.75 = 318.75 เมตร ตวั อย่างที่ 2 นายแดงยนื อยบู่ นยอดประภาคารแห่งหน่ึงซ่ึงสูง 80 เมตร จากระดบั น้าทะเล ถา้ นายแดง มองออกไปที่เรือ 2 ลาในทะเล และอยใู่ นแนวเดียวกนั กบั ประภาคาร พบวา่ มุมกม้ มีค่าเท่ากบั 45q และ 60q จงหาระยะห่างระหวา่ งเรือท้งั 2 ลา วธิ ีทา จากรูป A และ B แทนตาแหน่งของเรือ และ D แทนตาแหน่งของนายแดง จากรูปจะไดว้ า่ AD^ C = 45๐ ; C^BD = 60๐ และ BA^ D = 45๐ และ AD^ B = 15๐ ใน^ มุมฉาก B^C^D จะไดว้ า่ ^ BD = sin^8C0BD BD = 80 160 sin60 3 sinAD^ B sinB^AD ในรูปสามเหลี่ยม ABD จากกฎของไซน์ จะไดว้ า่ AB BD AB = BD sin15 sin45 160 = 3 0 2588 2 33.8 เมตร

เอกสารฝึ กหัดท่ี 2.6 ช่ือ……..………….…….……..….… เร่ือง กฏของโคไซน์และกฏของไซน์และการนาไปใช้ ช้ัน……… เลขท่ี…….. กล่มุ ที่…..… รายวชิ า ค30203 คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทาพร้อมท้งั เขียนคาตอบลงในช่องวา่ งทกาหนดให้ กาหนดใหร้ ูปสามเหลยม ABC มีดา้ นตรงขา้ ม 3. กาหนดให้ a = 1 , b = 3 และ A = 300 จงหา มุมA ยาว a หน่วย ดา้ นตรงขา้ มมุม B ยาว b หน่วย ส่วนทเหลือ และดา้ นตรงขา้ มมุม C ยาว c หน่วย …………………………………………………….. 1. กาหนด a = 3, b = 5 และ C = 1200 จงหา c …………………………………………………….. และพ้ืนทของรูปสามเหลยม ABC …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 2. กาหนดให้ a = 7 , b = 5 และ c = 8 จงหามุมA …………………………………………………….. และพ้นื ทของรูปสามเหลยม ABC …………………………………………………….. …………………………………………………….. 5. รูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนานรูปหน่ึงมีขนาดของมุมๆ …………………………………………………….. หน่ึงเป็น 60 องศา และดา้ นประกอบมุมน้ียาว 5 …………………………………………………….. และ 10 เซนติเมตร จงหาความยาวของเส้นทแยง …………………………………………………….. มุมเส้นทยาวทสุดของรูปสเหลยมรูปน้ี …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 4. กาหนดให้ a = 3 , b = 3 3 และ B = 600 จงหา …………………………………………………….. มุม C …………………………………………………….. …………………………………………………..… …………………………………………………….. …………………………………………………..… …………………………………………………….. …………………………………………………..… …………………………………………………….. …………………………………………………..… …………………………………………………….. …………………………………………………..… …………………………………………………….. ………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. ……………………………………………………..

6. จากรูปท่ีกาหนดใหจ้ งหา CD และพ้ืนท่ีของรูป 9. ชายคนหน่ึงยนื อยบู่ นหนา้ ผาสูง 100 เมตร D มองเห็นเรือสองลาในแมน่ ้าซ่ึงอยใู่ นแนวเดียวกนั สามเหล่ียม BCD เป็นมุมกม้ 30 องศา และ 60 องศา ตามลาดบั จงหา A 301O00 B 60O C วา่ เรือสองลาน้ีอยหู่ ่างกนั เท่าไร …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. ……………………………………………………. 7. รูปที่กาหนดใหจ้ งหา BCDและ CD …………………………………………………….. …………………………………………………….. .……………………………………………………. A 33010O0O0 C .……………………………………………………. B .……………………………………………………. 10. ตึกหลงั หน่ึงสูง 60 เมตร สมศกั ด์ิยนื อยทู่ างทิศ …………………………………………………….. ตะวนั ตกของตึกและมองเห็นยอดมุมตึกเป็นมุมเงย 60 องศา ขณะที่มาโนชยนื อยทู่ างทิศใตข้ องสมศกั ด์ิ …………………………………………………….. และมองเห็นยอดมุมตึกเป็นมุมเงย 30 องศา จงหาวา่ สมศกั ด์ิและมาโนชอยหู่ ่างกนั เท่าไร …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. 8. จากรูปท่ีกาหนดใหจ้ งหา CD แลDะพ้ืนท่ีของรูป สามเหลี่ยม CDE C …………………………………………………….. …………………………………………………….. A 3300O E 60O30 B …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. …………………………………………………….. ……………………………………………………..