E-Bookวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงส้น

เล่มท่ี 3 วิธีเรียงสบั เปลย่ี นเชงิ เส้น 14 ตอนที่ 1 วธิ เี รยี งสับเปล่ยี นเชงิ เสน้ ของส่งิ ของท่ีแตกตา่ งกนั ทัง้ หมด MATH เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 4 เร่อื งความนา่ จะเป็น ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มท่ี 3 วธิ เี รียงสับเปลยี่ นเชงิ เส้น 15 วิธเี รียงสบั เปล่ียนเชิงเสน้ ของสงิ่ ของท่ีแตกตา่ งกันทง้ั หมด หมายถงึ การนาส่ิงของที่แตกต่างกนั ทั้งหมด มาเรียงในแนวตรง โดยคานึงถึงลาดับ หรอื ตาแหน่งที่ของสิ่งของนั้น ๆ เราจะศกึ ษา ความสมั พันธเ์ พอื่ หาจานวนวิธีของวิธเี รียงสับเปลี่ยนเชงิ เสน้ มาศึกษาตอนที่ 1 วิธีเรยี งสับเปลย่ี นเชิงเส้น ของส่งิ ของท่ีแตกต่างกันทั้งหมด ไดเ้ ลยนะคะ เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม 4 เร่ืองความนา่ จะเปน็ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มท่ี 3 วิธีเรยี งสบั เปลีย่ นเชิงเส้น 16 ตอนที่ 1 วิธีเรียงสบั เปลีย่ นเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกนั ทงั้ หมด วิธีเรียงสบั เปลี่ยนเชงิ เสน้ ของส่ิงของท่ีแตกต่างกันท้ังหมด หมายถึง การนาสิง่ ของที่แตกตา่ งกนั ทงั้ หมด มาเรยี งสับเปล่ียนในแนวตรง โดยคานึงถึงตาแหน่ง หรอื ลาดับที่ ของการจัดเรียงส่ิงของนั้น ๆ เป็นสาคญั วิธเี รยี งสบั เปลี่ยนเชงิ เส้นของสง่ิ ของที่แตกตา่ งกนั ทั้งหมด พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ มีลูกบอล 2 สี คือสแี ดง และสเี ขยี ว นามาเรยี งในแนวตรง และคานึงลาดับที่ จะเรยี งสลบั ทไี่ ด้ 2 วธิ คี อื วธิ ที ี่ 1 วธิ ีท่ี 2 ถา้ มีลูกบอล 3 สี คือ สีแดง สีเขยี ว และสีนา้ เงนิ นามาวางเรียงในแนวตรงและคานึงถงึ ลาดบั ท่ี กจ็ ะมวี ธิ กี ารเรียงได้แตกตา่ งกันดังน้ี วิธที ่ี 1 วธิ ที ่ี 2 วิธที ่ี 3 วิธีที่ 4 วธิ ีท่ี 5 วธิ ีท่ี 6 นัน่ คอื ถ้ามสี งิ่ ของท่ีแตกต่างกัน 3 สงิ่ นามาวางเรยี งในแนวตรง โดยคานึงถึงลาดบั ทจ่ี ะสามารถ เรยี งไดใ้ นตาแหนง่ ตา่ ง ๆ เท่ากับ 6 วธิ ี เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 4 เรอ่ื งความนา่ จะเป็น ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ท่ี 3 วิธเี รยี งสบั เปลยี่ นเชิงเสน้ 17 ในบางกรณีเราอาจไม่ต้องการนาสิ่งของท่ีแตกต่างกันทั้งหมด n สิง่ มาเรียงสับเปลีย่ นพร้อมกัน ทัง้ หมด นัน่ คือ เรียงสับเปลย่ี นเชิงเสน้ ของสง่ิ ของท่ีแตกตา่ งกันทั้งหมด n สง่ิ โดยนามาเรียงคราวละ r สง่ิ เม่ือ 1 r n พจิ ารณาตัวอย่างต่อไปน้ี ถ้ามลี ูกบอล 3 ลูก คือ สีแดง สีเขยี ว และสีนา้ เงิน นามาวางเรียงในแนวตรง และคานงึ ถึงลาดบั ท่ี คราวละ 2 ลกู จะมวี ิธีการเรียงได้แตกตา่ งกนั ดังนี้ วธิ ที ่ี 1 วิธที ่ี 2 วิธที ี่ 3 วิธที ่ี 4 วธิ ที ่ี 5 วธิ ีท่ี 6 น่ันคือถ้ามีสิ่งของท่ีแตกต่างกัน 3 ส่ิง นามาวางเรียงในแนวตรง คราวละ 2 ส่ิง โดยคานึงถงึ ลาดบั ท่ี จะสามารถเรยี งไดใ้ นตาแหน่งตา่ ง ๆ กนั อธิบายโดยหลกั การคูณ ได้ดังนี้ ตาแหนง่ ที่ 1 2 จานวนวิธี 3 วิธี 2 วิธี ดงั นนั้ โดยหลักการคูณ วิธีเรียงสิ่งของทแี่ ตกตา่ งกนั 3 ส่ิง นามาจดั เรียง 2 ส่ิงน้ีได้ เทา่ กับ 3 × 2 = 6 วิธี เรามาหาข้อสรุปเกยี่ วกับการหาจานวนวธิ ีเรยี งสบั เปล่ียนเชงิ เส้น ของสิ่งของทแี่ ตกตา่ งกันท้ังจหามกดกิจกnรรมจากกจิ กรรมต่อไปน้ี เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 4 เรื่องความนา่ จะเป็น ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 5

เลม่ ท่ี 3 วธิ เี รียงสับเปลยี่ นเชิงเสน้ 18 กิจกรรมท่ี 3.1 วธิ เี รียงสบั เปล่ียนเชงิ เส้นของสิง่ ของที่แตกตา่ งกนั ทงั้ หมด จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ : แก้โจทย์ปญั หาในเรือ่ งวธิ ีเรียงสับเปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของทแี่ ตกต่างกันท้ังหมดได้ คาสั่ง 1. ใหน้ ักเรยี นเขยี นแสดงวิธเี รยี งสบั เปลีย่ นเชงิ เสน้ ของส่ิงของที่แตกต่างกนั จากสถานการณ์ ที่กาหนด เพ่ือหาจานวนวธิ เี รยี งสับเปลี่ยนทีแ่ ตกต่างกนั ทงั้ หมด 2. จากจานวนวิธีเรียงสบั เปลี่ยนเชงิ เส้นทั้งหมดท่ีได้ ใหห้ าความสมั พันธ์ในรูปแฟกทอเรียล กับจานวนสิ่งของท้ังหมดในแต่ละสถานการณ์ สถานการณท์ ่ี 1 ลกู บอลที่มหี มายเลขกากบั จานวน 3 ลกู 1 23 จานวนวธิ เี รยี งสับเปลยี่ น ....................... วธิ ี จากจานวนวิธเี รียงสับเปลีย่ น เขียนในรูปแฟกทอเรียลท่ีสัมพนั ธ์กบั จานวนของส่งิ ของไดเ้ ป็น ............................................................................................... วธิ ี เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เติม 4 เร่อื งความนา่ จะเปน็ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 5

เลม่ ที่ 3 วิธเี รยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้น 19 สถานการณ์ที่ 2 สลากหมายเลข จดั เรยี งไดท้ ง้ั หมด ...................... จานวน จากจานวนวิธเี รยี งสบั เปล่ยี น เขียนในรูปแฟกทอเรียลทสี่ มั พนั ธก์ บั จานวนส่ิงของได้เปน็ ............................................................................................... วธิ ี เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม 4 เรื่องความนา่ จะเปน็ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 5

เล่มท่ี 3 วิธเี รียงสบั เปลยี่ นเชิงเส้น 20 สถานการณท์ ่ี 3 ลกู บอลสีตา่ งกนั 4 สี คือสีฟ้า สสี ม้ สีม่วงและสีเขยี ว ต้องการเรียงสับเปลี่ยนเชงิ เสน้ คราวละ 2 ลูก มีวิธเี รยี งสบั เปลยี่ นท้ังหมด …………………….วิธี พิจารณาจากหลกั การคณู ดงั น้ี ตาแหน่งที่ 1 มีสง่ิ ของที่จะนามาเรยี งสบั เปลีย่ นได้ ……………….. สิ่ง ตาแหนง่ ท่ี 2 มีสิ่งของท่จี ะนามาเรยี งสบั เปล่ียนได้ ……………….. ส่งิ ดังนน้ั จากจานวนวิธเี รียงสับเปลย่ี น เขยี นในรูปแฟกทอเรียลไดเ้ ป็น ………................................................................................................. วิธี เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เล่มที่ 3 วิธเี รยี งสบั เปลีย่ นเชงิ เสน้ 21 สถานการณท่ี 4 มีส่งิ ของทแี่ ตกตา่ งกัน n สิง่ นามาเรียงสับเปลย่ี นเชงิ เส้นคราวละ r สิ่ง จงเขียนจานวนเพื่ออธบิ ายจานวนวธิ ีการเรยี งสับเปล่ียนเชงิ เสน้ ของสิง่ ของทแี่ ตกตา่ งกนั n ส่งิ คราวละ r สงิ่ เมื่อ 1 r n โดยใชห้ ลักการคูณ . มสี ิง่ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั n สิ่งนามาเรยี งสับเปลี่ยนคราวละ r ส่ิง ตาแหนง่ ท่ี 1 มสี ่งิ ของ n สิง่ เรยี งสบั เปลยี่ นได้...........วธิ ี ตาแหนง่ ที่ 2 มสี ่งิ ของ n-1 สิง่ เรียงสบั เปล่ียนได้...........วธิ ี ตาแหน่งที่ 3 มีสงิ่ ของ n-2 สิ่ง เรียงสับเปล่ียนได้...........วธิ ี ตาแหนง่ ท่ี r มีสิ่งของ..........สงิ่ เรียงสับเปล่ียนได้...........วธิ ี มวี ิธเี รียงสบั เปลีย่ นทัง้ หมด …………………….วธิ ี จากจานวนวิธเี รยี งสับเปลย่ี น เขียนในรูปแฟกทอเรยี ลได้เป็น ............................................................................................... วิธี เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เลม่ ที่ 3 วิธีเรยี งสบั เปลย่ี นเชิงเสน้ 22แนว ิคด เ ่ทากับ วิธีจากกจิ กรรมที่ 3.1 นกั เรียนคิดว่าขอ้ สรปุ ความสมั พันธ์เพ่ือหาจานวนวิธี เรยี งสับเปลย่ี นเชงิ เสน้ ของส่ิงของทแ่ี ตกต่างกันทั้งหมด n ส่งิ คราวละ r ส่งิ โดยที่ เขียนในรปู แฟกทอเรียลได้อย่างไรคะ ..................................................................................... ..................................................................................... มาศกึ ษาข้อสรปุ ความสัมพันธ์เพอ่ื หาจานวนวิธีเรียงสบั เปลี่ยนเชิงเสน้ ของสง่ิ ของทแี่ ตกต่างกันท้งั หมด n ส่ิง คราวละ r สงิ่ โดยท่ี จากบทเรียนตอ่ ไปน้ีนะคะ เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 4 เร่ืองความนา่ จะเปน็ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 จานวนวิธีเ ีรยงสับเป ่ลียนเชิงเ ้สนของ ่สิงของ ่ีทแตกต่าง ักนทั้งหมด n ิส่ง คราวละ r ิส่ง โดย ี่ท

เลม่ ท่ี 3 วิธีเรยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้น 23 จานวนวิธเี รียงสับเปลย่ี นเชิงเสน้ ของสงิ่ ของที่แตกต่างกนั ทงั้ หมด ถา้ มีส่ิงของท่ีแตกต่างกัน n สง่ิ นามาจัดเรียงโดยคานึงถึงลาดับท่ี หรือตาแหน่งท่ีเปน็ สาคัญ โดยนามาจดั เรียงพร้อมกนั ท้งั หมด n สง่ิ จะมจี านวนวิธเี รียงสบั เปลย่ี น โดยพิจารณา ดงั นี้ ตาแหนง่ ท่ี 1 มสี ิง่ ของ n สงิ่ เรียงสบั เปล่ียนได้ n วิธี ตาแหนง่ ที่ 2 มีสง่ิ ของ n - 1 สงิ่ เรียงสบั เปลยี่ นได้ n - 1 วิธี ตาแหน่งที่ 3 มสี ่งิ ของ n - 2 สิ่ง เรยี งสับเปลี่ยนได้ n - 2 วิธี ตาแหน่งที่ 4 มีส่งิ ของ n - 3 สง่ิ เรยี งสับเปล่ียนได้ n - 3 วิธี ตาแหน่งท่ี n มสี ิ่งของ n – (n - 1) สิง่ เรยี งสบั เปลย่ี นได้ n – (n - 1) = 1 วธิ ี โดยหลกั การคูณ จานวนวธิ ีเรียงสับเปลีย่ นเชิงเส้นของส่งิ ของทแ่ี ตกต่างกนั ทงั้ หมด n ส่ิง นามาเรยี งสบั เปลี่ยนทั้งหมด n ส่งิ เท่ากบั n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) ×…× 1 = n! วธิ ี จานวนวธิ เี รียงสบั เปลีย่ นของสิ่งของ n สิ่ง ซ่ึงแตกต่างกนั ท้งั หมด โดยจัดเรยี งทง้ั หมด n ส่งิ พร้อมกันทัง้ หมด เท่ากับ n! วิธี เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ 4 เรื่องความน่าจะเป็น ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เล่มที่ 3 วธิ เี รียงสับเปล่ียนเชิงเส้น 24 จานวนวธิ ีเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของท่แี ตกต่างกันทง้ั หมด n ส่ิง คราวละ r สงิ่ โดยท่ี 1 r n วิธเี รียงสบั เปลี่ยนเชิงเสน้ ของสิง่ ของทแี่ ตกต่างกันท้ังหมด n สิง่ โดยนามาเรยี งคราวละ r ส่ิง โดยที่ 1 r n สามารถสรปุ วิธีการคานวณหาจานวนวธิ ีเรยี งสับเปลีย่ นเชิงเสน้ ทั้งหมด โดยใชค้ วามรู้ในเรื่องกฎเกณฑ์เบอ้ื งตน้ เก่ยี วกับการนบั ในเรื่องหลกั การคูณของการจดั เรียงส่ิงของ ทีแ่ ตกต่างกันในตาแหนง่ ต่าง ๆ ดงั นี้ ตาแหน่งท่ี 1 2 3 4 . . . r จานวนวธิ ี n (n - 1) (n - 2) (n - 3) . . . n – (r - 1) เนอ่ื งจากการทางานทงั้ หมดต่อเนือ่ งกนั จากการหลักการคูณ จะได้วา่ จานวนวธิ ที ัง้ หมด = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) ×…× (n - (r - 1)) = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) ×…× (n - (r - 1)) × (n - r)! (n - r)! = n! วิธี (n - r)! การเขยี นสัญลกั ษณ์ จานวนวธิ เี รยี งสับเปลย่ี นของส่ิงของทแ่ี ตกตา่ งกันทั้งหมด n สงิ่ โดยจัดคราวละ r สงิ่ อาจเขยี นแทนได้ในหลายแบบ เช่น เขียนแทนดว้ ย nPr , Pn,r หรือ P(n, r) สาหรบั ในทีน่ จี้ ะใช้ Pn, r n! โดยท่ี Pn, r = (n - r)! เมอ่ื 1 r n เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม 4 เรือ่ งความน่าจะเป็น ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เล่มที่ 3 วธิ ีเรียงสับเปล่ยี นเชิงเส้น 25 ดังน้ัน วธิ ีเรียงสบั เปล่ียนเชิงเสน้ ของส่งิ ของท่ีแตกต่างกนั n นามาเรียงทั้งหมด n ส่ิง จงึ อยู่ในกรณีนี้ด้วย โดยเขียนไดเ้ ป็น = === ตอ่ ไปเราจะมาศึกษาการนาข้อสรุปเก่ยี วกับจานวนวิธเี รยี งสบั เปลย่ี นของสิ่งของ ทแ่ี ตกต่างกันทั้งหมด n สงิ่ โดยจดั คราวละ r สิ่ง ซง่ึ = เมื่อ จากตัวอยา่ งต่อไปนี้ ตวั อย่างท่ี 3.1 ต้องการตดิ สตกิ๊ เกอร์รปู ดอกไม้ทแ่ี ตกต่างกนั จานวน 5 แบบ เป็นแถวตรง จะมีจานวนวิธีในการตดิ สตก๊ิ เกอร์ไดแ้ ตกต่างกันทงั้ หมดก่ีวิธี วธิ ที า ต้องการติดสต๊กิ เกอรร์ ูปดอกไม้ทแี่ ตกตา่ งกันจานวน 5 แบบ ในแนวตรง จดั ได้ 5 ตาแหนง่ ตาแหน่งท่ี 1 ตาแหน่งที่ 2 ตาแหนง่ ท่ี 3 ตาแหน่งท่ี 1 ตาแหน่งท่ี 5 • จดั ได5้ วิธี • จัดได3้ วิธี • จัดได้ 2วธิ ี • จัดได้ 1วธิ ี • จัดได้ 4วิธี จานวนวธิ ีเรยี งสับเปล่ยี นทง้ั หมด เทา่ กบั 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 วิธี เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ 4 เรอ่ื งความน่าจะเปน็ ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 5

เล่มที่ 3 วธิ ีเรยี งสบั เปลีย่ นเชิงเส้น 26 ตวั อยา่ งที่ 3.2 จานวนคาท่ีเกดิ จากการสลับทีข่ องตวั อักษรของคาว่า HISTORY มีทง้ั หมดทค่ี า เมื่อ 1) ไม่มีเงื่อนไขเพิม่ เติม 2) พยัญชนะทุกตวั อยตู่ ิดกัน วิธที า จานวนคาที่เกดิ จากการสลับที่ของตวั อักษรจากคาว่า HISTORY ซ่ึงมจี านวน 7 ตัว 1) นามาเรียงสลับท่ที ั้งหมด 7 ตวั เท่ากับ 7! = 5,040 คา 2) พยญั ชนะทกุ ตวั ต้องอยู่ติดกนั จากคาว่า HISTORY มีพยัญชนะจานวน 5 ตัว สระจานวน 2 ตวั ดังน้ันจานวนวธิ ีท่จี ะสลับท่ีตัวอกั ษร จะพิจารณา 2 ข้ันตอน ขัน้ ตอนท่ี 1 นาพยญั ชนะทง้ั 5 ตวั มาเรยี งติดกันกับสระอีก 2 ตวั รวมเป็น 3 ตาแหนง่ สลบั ทกี่ นั ได้ 3! วิธี ข้นั ตอนที่ 2 พยัญชนะท้ัง 5 ตัวสลับทกี่ ันได้ 5! วิธี ดังน้นั จานวนคาทจี่ ะเกิดขนึ้ เท่ากบั 3! × 5! = 6 × 120 = 720 คา ตวั อยา่ งที่ 3.3 เขยี นรายชื่อพนักงาน 15 คน ลงในสลาก รายชื่อละ 1 ใบ ใส่ลงใน ภาชนะ แลว้ ส่มุ หยบิ สลากข้นึ มาคราวละหนงึ่ ใบ สองครง้ั เพอ่ื แจกรางวัล ทหี่ นึ่งและรางวัลท่สี องตามลาดับ จงหาจานวนวธิ ีท่ีเกดิ ข้นึ ไดท้ ้ังหมด วธิ ีทา ในการหยบิ ใบรายชื่อ 15 ใบท่แี ตกต่างกนั เพื่อให้ได้รางวัลที่ 1 และรางวลั ท่ี 2 แสดงวา่ สนใจตาแหนง่ ในการเรียงสับเปลีย่ น น้ันคือ มสี ง่ิ ของท่แี ตกตา่ งกัน 15 ส่งิ เลอื กมาเรียงสับเปลย่ี นเชิงเสน้ 2 สิง่ จานวนวธิ ที ี่เกิดขน้ึ ไดท้ ั้งหมด คอื P15, 2 = 15! 15 - 2 ! 15! = 13! = 15 × 14 × 13! 13! = 210 วธิ ี ดงั น้ัน จะมวี ิธีในการแจกรางวลั ไดแ้ ตกตา่ งกันทั้งหมดเท่ากับ 210 วธิ ี เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เล่มท่ี 3 วิธเี รียงสับเปลี่ยนเชงิ เสน้ 27 ตัวอยา่ งท่ี 3.4 มีผู้ชาย 5 คน และผู้หญิง 3 คน ยนื เรยี งเปน็ แถวตรง จะมีการยืน ทัง้ หมดก่ีวิธี เมื่อ 1) ไม่มีขอ้ กาหนดเพ่มิ เติม 2) ผูห้ ญิงยืนแยกกัน 3) ผ้ชู ายยนื แยกกนั วธิ ที า 1) ต้องการนาผู้ชาย 5 คน และผหู้ ญิง 3 คน มายนื เรียงเป็นแถวตรง เน่ืองจากมคี นท้ังหมด 8 คน ทีแ่ ตกตา่ งกัน ดงั นนั้ นาคนท้งั 8 คน มาจดั เรียงเปน็ แถวตรงได้ 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40,320 วธิ ี 2) ต้องการนาผู้ชาย 5 คน และผู้หญงิ 3 คน มายนื เรียงเปน็ แถวตรง โดยทีผ่ หู้ ญงิ ต้องยนื แยกกนั ดังนนั้ จะจดั เรยี งใหผ้ ชู้ ายยืนก่อน จากนน้ั จึงนาผหู้ ญงิ มายนื แทรกระหว่างผชู้ าย ดงั นี้ ชชชชช แบ่งงานออกเป็น 2 ขั้นตอน ดังนี้ ข้นั ตอนที่ 1 เรยี งผชู้ าย 5 คน ได้ 5! = 120 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 นาผู้หญงิ 3 คน ไปเรยี งในตาแหนง่ สลบั กบั ผู้ชาย ซง่ึ มี 6 ตาแหน่ง โดยหลกั การคณู จึงจัดเรยี งได้ 6 × 5 × 4 = 14,400 วิธี เนื่องจากการทางาน 2 ขน้ั ตอนต้องทาต่อเนื่องกัน ดังน้นั จานวนวิธีการเรยี ง สบั เปล่ยี นท้งั หมด เทา่ กบั 120 × 120 = 14,400 วธิ ี 3) ต้องการนาผู้ชาย 5 คน และผู้หญิง 3 คน มายืนเรียงเป็นแถวตรง โดยทีผ่ ชู้ ายตอ้ งยนื แยกกัน ดังนน้ั จะจัดเรียงให้ผู้หญิง 3 คน ยนื ก่อน ญญญ จากรปู พบวา่ มตี าแหนง่ ที่สามารถให้ผชู้ ายยืนไดเ้ พียง 4 ตาแหน่ง แต่มีผชู้ าย 5 คน ดงั นัน้ ความต้องการที่จะให้ผู้ชายยืนแยกกันท้ังหมด จงึ เปน็ ไปไมไ่ ด้ เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4 เรือ่ งความน่าจะเป็น ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ท่ี 3 วิธเี รียงสบั เปลย่ี นเชิงเสน้ 28 ตัวอยา่ งท่ี 3.5 ต้องการสร้างจานวนเต็มที่มี 6 หลัก จากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 จะสรา้ งได้ก่จี านวนท่ีแตกต่างกนั เม่อื 1) ไม่มีเง่ือนไขเพ่ิมเติม 2) จานวนดงั กล่าวมเี ลขคู่และเลขคี่สลบั กนั ทีละหลกั 3) เป็นจานวนที่ 5 หารไม่ลงตวั วธิ ที า 1) ต้องการสรา้ งจานวน 6 หลัก จากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 จะสรา้ งได้ก่จี านวนทีแ่ ตกต่างกัน 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 จานวน 2) ตอ้ งการสรา้ งจานวน 6 หลัก จากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 เม่ือจานวนดงั กลา่ วมเี ลขคู่และเลขคีส่ ลับกนั ทีละหลกั แบ่งงานออกเปน็ 2 กรณี กรณีละ 2 ขั้นตอน ดังนี้ กรณีท่ี 1 เลขคี่อย่หู วั แถว ขน้ั ตอนท่ี 1 เลขค่ีเรยี งสลบั ที่กันได้ 3! = 6 วธิ ี ข้ันตอนที่ 2 เลขคเู่ รยี งสลบั ที่กนั ได้ 3! = 6 วิธี โดยหลักการคณู จึงจัดเรยี งได้ 6 × 6 = 36 วิธี กรณที ่ี 2 เลขคู่อย่หู วั แถว ขั้นตอนที่ 1 เลขคู่เรยี งสลับท่กี ันได้ 3! = 6 วิธี ขัน้ ตอนท่ี 2 เลขค่ีเรียงสลับทีก่ ันได้ 3! = 6 วิธี โดยหลกั การคณู จึงจัดเรียงได้ 6 × 6 = 36 วิธี ดงั นนั้ จากกรณีที่ 1 และกรณีท่ี 2 จะสรา้ งจานวน 6 หลกั ทีเ่ ลขค่แู ละเลขคี่ วางสลับกันทีละหลักได้ทั้งหมดเทา่ กับ 36 + 36 = 72 จานวน 3) ตอ้ งการสร้างจานวน 6 หลัก จากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 โดยเปน็ จานวนท่ี 5 หารไม่ลงตวั แสดงว่า หลักหน่วยตอ้ งลงท้ายดว้ ย 1, 2, 3, 4 และ 6 ดงั น้นั หลกั หน่วยจะมีจานวนวิธสี ร้างได้ 5 วธิ ี จะแบ่งการทางานเป็น 2 ขัน้ ตอนคือ ขัน้ ตอนท่ี 1 หลกั หนว่ ยเลอื กตวั เลขได้ 5 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 ตัวเลขอีก 5 หลัก จดั เรียงได้ 5! = 120 วธิ ี เนือ่ งจากการทางาน 2 ขัน้ ตอนตอ้ งทาต่อเนอื่ งกัน ดงั น้นั จานวนวิธกี ารเรยี งสับเปล่ียนทง้ั หมด เท่ากบั 5 × 120 = 600 จานวน เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 4 เร่ืองความน่าจะเปน็ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เล่มที่ 3 วธิ เี รยี งสับเปล่ยี นเชิงเส้น 29 ตวั อยา่ งที่ 3.6 สวนสาธารณะแห่งหนึง่ มีเก้าอ้ีเรยี งเป็นแถวยาว 10 ตวั พ่อ แม่ และลูกอีก 2 คน มาออกกาลงั กายท่ีสวนสาธารณะแห่งน้ี แลว้ ตอ้ งการ น่งั พกั บนเกา้ อี้คนละ 1 ตวั จงหาจานวนวิธกี ารนั่งของคนทั้ง 4 คนนี้ เมอื่ 1) ไม่มีเง่ือนไขใดเพิ่มเติม 2) ทง้ั 4 คนต้องนั่งตดิ กนั 3) ไมม่ ี 2 คนใดนัง่ ตดิ กัน วธิ ที า 1) ตอ้ งการจัดคน 4 คน น่ังเก้าอ้ี 10 ตัว โดยไม่มีเง่อื นไขเพ่ิมเติม จะจัดได้ทงั้ หมด เทา่ กับ P10, 4 = 10! (10 - 4)! = 10! 6! 10 × 9 × 8 × 7 × 6! = 6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 วธิ ี 2) ตอ้ งการจดั คน 4 คน นั่งเกา้ อ้ี 10 ตัว โดยท้ัง 4 คนตอ้ งน่ังตดิ กัน ดงั น้ัน จะแบง่ การทางานได้ 2 ข้ันตอน คือ ข้นั ตอนท่ี 1 เลอื กเก้าอี้ทอี่ ยู่ตดิ กนั 4 ตัว จาก 10 ตัวได้ 7 วธิ ี ขนั้ ตอนที่ 2 คนท้ัง 4 คน สลบั ที่กันเองได้ 4! = 24 วิธี โดยหลกั การคณู จานวนวิธที ้งั หมด เท่ากับ 7 × 4! = 7 × 24 = 168 วิธี เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม 4 เรือ่ งความน่าจะเป็น ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ท่ี 3 วธิ ีเรียงสบั เปลยี่ นเชิงเสน้ 30 3) ต้องการจดั คน 4 คน น่งั เกา้ อ้ี 10 ตวั โดยไมม่ ี 2 คนใดนง่ั ตดิ กนั นน่ั คือ จากเก้าอี้ทัง้ หมด 10 ตัว แบง่ เปน็ 2 สว่ น คอื ส่วนทใี่ ช้นง่ั 4 ตัว และสว่ นท่เี หลอื 6 ตวั ทไี่ ม่ใชน้ ่ัง จึงจัดวางเก้าอ้ีทง้ั 6 ตัว น้เี ป็นแถวตรง แล้วนา เกา้ อ้ี 4 ตัวทีต่ ้องการนั่งมาแทรกท่ีวา่ ง ท่วี ่าง จากรปู จะพบวา่ มีทวี่ ่างใหเ้ กา้ อี้ทัง้ 4 ตวั แทรกได้ 7 ตาแหน่ง ดังนน้ั จานวนวิธใี นการจัดทน่ี ั่งเทา่ กบั P7, 4 = 7! = 7! = 840 วธิ ี (7 - 3)! 4! ตวั อย่างที่ 3.7 เรือลาหน่ึงอบั ปางอยู่กลางทะเล จึงตอ้ งสง่ สญั ญาณขอความช่วยเหลอื ด้วยการชักธงสตี ่าง ๆ กนั ซ่ึงมีธงท้ังหมด 5 สี ในการให้สญั ญาณ แตล่ ะคร้ังจะต้องใชธ้ งอย่างน้อย 1 สี และธงจะถกู ชักเรียงบนเชอื ก เสน้ เดยี วกนั เปน็ แนวตรง จงหาว่าเรอื ลานี้จะสง่ สัญญาณได้ท้งั หมดก่สี ัญญาณ วิธที า การส่งสัญญาณด้วยธง 5 สที ่ีตา่ งกนั ทลี ะ 1, 2, 3, 4 และ 5 สี นนั่ คือ จะมีวิธที ัง้ หมด เท่ากับ P5, 1+ P5, 2 + P5, 3 + P5, 4 + P5, 5 วิธี 5! + 5! + 5! + 5! + 5! P5, 1 + P5, 2 + P5, 3 + P5, 4 + P5, 5 = (5 - 1)! (5 - 2)! (5 - 3)! (5 - 4)! (5 - 5)! = 5! + 5! + 5! + 5! + 5! 4! 3! 2! 1! 0! = 5 + 20 + 60 +120 +120 = 325 วธิ ี ดังน้นั การส่งสญั ญาณดว้ ยธง 5 สที ่ตี ่างกันทลี ะ 1, 2, 3, 4 และ 5 สี ได้ทงั้ หมด 325 สญั ญาณ เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 4 เร่ืองความนา่ จะเปน็ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ที่ 3 วิธเี รยี งสับเปลย่ี นเชงิ เสน้ 31 ตัวอยา่ งท่ี 3.8 ตอ้ งการสร้างจานวนเต็มท่ีมี 7 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 โดยท่แี ต่ละหลักไมซ่ ้ากัน จะสร้างจานวนดังกลา่ วได้กี่จานวน เม่อื 1) ไม่มีเง่อื นไขเพ่มิ เติม 2) หลักแรกและหลกั สุดทา้ ยเท่านน้ั ท่เี ปน็ เลขคู่ 3) เลขคแู่ ละเลขคีเ่ รียงสลับกันทลี ะหลกั วธิ ที า 1) ต้องการสร้างจานวนเตม็ ที่มี 7 หลัก จากตวั เลข 1 – 9 แตล่ ะหลกั ไมซ่ ้ากนั จะสรา้ งจานวนได้ P9, 7 = 9! = 9! = 181,440 จานวน (9 - 7)! 2! 2) ตอ้ งการสร้างจานวนเต็มท่ีมี 7 หลัก จากตัวเลข 1 – 9 แต่ละหลกั ไม่ซา้ กัน เมอ่ื หลักแรกและหลักสุดท้ายเท่าน้ันท่ีเป็นจานวนคู่ คู่ คู่ จะแบง่ ข้นั ตอนในการสร้างจานวนเป็น 2 ขัน้ ตอน คือ ข้ันตอนที่ 1 จานวนวิธเี รียงสับเปลี่ยนของเลขคู่ 2 ตัว จาก 4 ตัว คอื 2, 4, 6 และ 8 เทา่ กับ P4, 2 = 4! = 4! = 12 วิธี (4 - 2)! 2! ขน้ั ตอนที่ 2 จานวนวิธีเรียงสบั เปลีย่ นของเลขค่ี 5 ตวั จาก 5 ตัว คือ 1, 3, 5, 7 และ 9 เท่ากบั P5, 5 = 5! = 5! = 120 วิธี (5 - 5)! 0! ดังนน้ั จานวนของจานวนเต็มทีม่ ี 7 หลักที่มีหลักแรกและหลกั สดุ ทา้ ยเทา่ นั้น ที่เปน็ จานวนคู่เทา่ กับ 12 × 120 = 1,440 จานวน เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม 4 เร่ืองความนา่ จะเป็น ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เล่มที่ 3 วิธเี รยี งสับเปลีย่ นเชิงเส้น 32 3) ตอ้ งการสรา้ งจานวนเตม็ ท่ีมี 7 หลกั จากตัวเลข 1 – 9 แตล่ ะหลักไมซ่ ้ากนั เมอ่ื เลขคู่และเลขคีเ่ รียงสลบั กันทีละหลัก จะแบ่งขนั้ ตอนในการสร้างจานวนเป็น 2 วิธี คือ วิธีที่ 1 ให้หลักแรกเปน็ เลขคู่ จานวนวิธเี รียงสบั เปล่ียนของเลขคู่ 4 ตวั จาก 4 ตวั และเลขคี่ 3 ตัว จาก 5 ตวั คู่ คี่ คู่ ค่ี คู่ ค่ี คู่ เทา่ กบั P4, 4 × P5, 3 = 4! × 5! (4 - 4)! (5 - 3)! 4! × 5! = 0! 2! = 24 × 60 = 1,440 จานวน วิธที ี่ 2 ให้หลกั แรกเป็นเลขคี่จานวนวธิ เี รียงสับเปลี่ยนของเลขค่ี 4 ตวั จาก 5 ตวั และเลขคู่ 3 ตัว จาก 4 ตวั ค่ี คู่ ค่ี คู่ คี่ คู่ คี่ เท่ากับ P5, 4 × P4, 3 = 5! × 4! (5 - 4)! (4 - 3)! 5! 4! = 1! × 1! = 120 × 24 = 2,880 จานวน ดังน้ัน จานวนของจานวนเต็มทม่ี ี 7 หลักเม่ือเลขคู่และเลขคเี่ รียงสลับกันทลี ะหลัก เทา่ กบั 1,440 + 2,880 = 4,320 จานวน เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ 4 เร่ืองความน่าจะเปน็ ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มที่ 3 วธิ เี รยี งสับเปล่ียนเชิงเส้น 39 MATH ตอนที่ 2 วิธเี รยี งสบั เปลีย่ นเชงิ เส้น ของสง่ิ ของทไ่ี มแ่ ตกต่างกันทงั้ หมด เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เล่มที่ 3 วธิ ีเรยี งสบั เปลี่ยนเชงิ เสน้ 40 วิธีเรยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้นของส่ิงของทไี่ ม่แตกต่างกันท้ังหมด หมายถึง การนาส่งิ ของท่ีมีบางสง่ิ ซา้ กัน มาเรยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้น พร้อมกนั ทง้ั หมด โดยคานงึ ถงึ ลาดับ หรือตาแหน่งท่ีเป็นสาคญั และสง่ิ ของท่ีซ้ากนั ถือว่าใช้แทนกันได้ ไดเ้ วลาเรยี นรู้ตอนท่ี 2 วธิ ีเรยี งสับเปลี่ยนเชิงเส้น ของสิ่งของทไี่ ม่แตกต่างกันทั้งหมด แล้วจา้ เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 4 เรอื่ งความนา่ จะเปน็ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เล่มที่ 3 วิธีเรียงสบั เปล่ียนเชงิ เส้น 41 ตอนที่ 2 วิธเี รียงสับเปล่ยี นเชิงเส้นของสง่ิ ของทีไ่ ม่แตกตา่ งกนั ทง้ั หมด วิธีเรียงสับเปล่ียนเชิงเส้นของสิ่งของท่ีไม่แตกต่างกันทั้งหมด หมายถึง การนาส่ิงของ ที่มีบางส่ิงท่ีซ้ากัน นามาเรียงสับเปล่ียนเชิงเส้น โดยคานึงถึงตาแหน่งที่ของสิ่งของเป็นสาคัญ ส่ิงของที่ซา้ กัน ถือว่าใช้แทนกันได้ ในบทเรียนน้ีจะกล่าวถึงการนาสิ่งของท่ีไม่แตกต่างกันท้ังหมด นามาเรยี งทั้งหมดพร้อมกนั วธิ เี รียงสับเปลย่ี นเชิงเสน้ ของสง่ิ ของท่ีไม่แตกตา่ งกนั ทั้งหมด พิจารณาวธิ ีเรียงสบั เปลย่ี นเชงิ เส้นของส่ิงของทแ่ี ตกต่างกันทั้งหมด เชน่ ให้ A B และ C เปน็ ส่ิงของ 3 ส่งิ ท่แี ตกต่างกนั ท้งั หมด เมอ่ื นามาเรยี งสับเปลยี่ นเชงิ เส้นจะได้ 3! = 6 วธิ ี ดงั น้ี ABC BAC ACB BCA CAB CBA ถา้ ให้ A และ B เปน็ สง่ิ ที่ซา้ กนั โดยเขียนแทน A และ B ด้วย X ดังนัน้ วธิ ีเรียงสบั เปล่ียนเชงิ เส้นของสิง่ ของ 3 สิ่ง ทไ่ี ม่แตกต่างกันทัง้ หมด จะได้วธิ ตี ่าง ๆ ดังนี้ XXC XXC XCX XCX CXX CXX เมอื่ พิจารณาแลว้ จะพบว่ามวี ิธที แ่ี ตกต่างกัน 3 วิธี ดงั นี้ XXC XCX และ CXX สง่ิ ของท่ีซา้ กนั เมื่อสลบั ทีก่ นั จะถือวา่ เป็นวธิ ีเดียวกนั ใช้แทนกันได้ เรามาศึกษาจานวนวธิ ีเรยี งสับเปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสิง่ ของที่ไม่แตกตา่ งกนั ทั้งหมด จากกจิ กรรมต่อไปน้ี เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 เรือ่ งความนา่ จะเปน็ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

เล่มที่ 3 วธิ เี รียงสับเปลย่ี นเชิงเสน้ 42 กิจกรรมที่ 3.2 วิธเี รยี งสับเปลีย่ นเชิงเส้นของสิ่งของท่ีไมแ่ ตกต่างกนั ทงั้ หมด จุดประสงค์การเรยี นรู้ : แก้โจทย์ปัญหาในเร่อื งวธิ ีเรยี งสับเปล่ียนเชิงเสน้ ของสง่ิ ของที่ไม่แตกต่างกัน ทงั้ หมดได้ คาสั่ง 1. จงแสดงวิธเี รียงสบั เปลี่ยนเชงิ เสน้ ของส่ิงของทีไ่ ม่แตกต่างกันทั้งหมด จากสถานการณ์ ต่อไปน้ี และหาจานวนวธิ เี รียงสบั เปลีย่ นเชิงเส้นที่แตกตา่ งกันทงั้ หมด 2. จากจานวนวธิ เี รียงสับเปลย่ี นเชิงเสน้ ของสิ่งของที่ไม่แตกต่างกันท้ังหมด จงหาความสมั พันธ์ ในรปู แฟกทอเรียลท่ีสัมพันธก์ ับจานวนสิ่งของทั้งหมด และสิ่งของทซี่ ้ากันในแตล่ ะประเภท สถานการณ์ที่ 1 นามาเรียงสบั เปลีย่ นไดเ้ ป็น จานวนวธิ ีเรยี งสับเปล่ยี น ………………..วธิ ี จากจานวนวิธเี รียงสับเปลีย่ น เขยี นในรูปแฟกทอเรียลได้เป็น ............................................................................................... วธิ ี เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ท่ี 3 วิธเี รียงสับเปล่ียนเชิงเส้น 43 สถานการณท์ ี่ 2 มี ซา้ กัน 2 ตวั และ 2 ซ้ากัน 2 ตัว ดังน้ี นามาเรยี งสบั เปลี่ยนได้เปน็ จานวนวิธเี รียงสับเปลยี่ น ………………..วิธี จากจานวนวิธเี รียงสับเปลีย่ น เขยี นในรปู แฟกทอเรียลได้เป็น ............................................................................................... วธิ ี สถานการณท์ ี่ 3 มี ซ้ากนั 3 ตัว ดังนี้ นามาเรยี งสับเปล่ียนได้เปน็ จานวนวิธีเรียงสับเปลยี่ น ………………..วิธี จากจานวนวิธเี รยี งสบั เปลย่ี น เขยี นในรปู แฟกทอเรยี ลไดเ้ ป็น ............................................................................................... วธิ ี เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

สถานการณท์ ี่ 4 มี ซ้ากนั 3 ตวั เลม่ ท่ี 3 วิธเี รยี งสับเปลยี่ นเชงิ เส้น 44 นามาเรยี งสับเปล่ยี นได้เปน็ เรียงสบั เปลี่ยนไดท้ ้ังหมด......................... วิธี จากจานวนวธิ เี รยี งสบั เปลย่ี น เขยี นในรปู แฟกทอเรยี ลได้เป็น ............................................................................................... วธิ ี สถานการณท์ ี่ 5 มี ซ้ากัน 3 ตัว ซา้ กนั 2 ตัว นามาเรยี งสับเปลยี่ นได้เป็น เรียงสบั เปลี่ยนได้ทง้ั หมด............................ วธิ ี จากจานวนวธิ เี รียงสับเปล่ยี น เขยี นในรูปแฟกทอเรยี ลได้เป็น ............................................................................................... วธิ ี เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม 4 เรอ่ื งความนา่ จะเป็น ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

สถานการณ์ที่ 6 มี ซ้ากนั 4 ตัว เล่มท่ี 3 วธิ เี รยี งสับเปลย่ี นเชงิ เส้น 45 นามาเรียงสบั เปลี่ยนไดเ้ ปน็ เรียงสบั เปล่ียนไดท้ ง้ั หมด......................... วิธี จากจานวนวธิ เี รยี งสับเปล่ียน เขยี นในรูปแฟกทอเรยี ลได้เป็น ............................................................................................... วธิ ี นกั เรียนคดิ วา่ จากกจิ กรรมข้างต้น วิธเี รยี งสับเปล่ยี นเชิงเสน้ ของส่ิงของทไี่ ม่แตกต่างกันทั้งหมด จะมีจานวนวธิ ีที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยคานวณจากความสัมพนั ธ์ใด ? มาศึกษากนั ต่อไปเลยนะคะ เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 4 เรื่องความน่าจะเป็น ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 5

เลม่ ท่ี 3 วิธเี รียงสับเปล่ียนเชิงเส้น 46 จานวนวธิ ีเรยี งสบั เปล่ยี นเชิงเสน้ ของส่ิงของที่ไม่แตกตา่ งกันทัง้ หมด ถ้ามสี ิ่งของท้ังหมด n สงิ่ ใน n ส่งิ นี้ มีส่งิ ของ k กลุ่ม ในแต่ละกลุ่มสิ่งเหล่าน้ันไม่แตกตา่ งกนั นัน่ คอื กลมุ่ ท่ี 1 มีจานวน n1 สิง่ ที่ไม่แตกต่างกัน กลมุ่ ที่ 2 มจี านวน n2 สง่ิ ท่ีไม่แตกตา่ งกัน กลมุ่ ที่ 3 มจี านวน n3 ส่งิ ท่ีไม่แตกต่างกนั กลุ่มที่ k มีจานวน nk สง่ิ โดยท่ี n1+ n2 + n3 + ... + nk = n พจิ ารณาในแต่ละขนั้ ตอนไดด้ งั น้ี ขนั้ ตอนท่ี 1 มจี านวน n1 สง่ิ เมอื่ นามาเรยี งสบั เปล่ียนเชิงเสน้ ท้งั หมด ไดเ้ ท่ากบั n1! วธิ ี แตท่ งั้ n1 ส่งิ นไ้ี มแ่ ตกต่างกนั ดงั น้ันการเรียงสบั เปลีย่ นดงั กลา่ วถือว่ามี n1! วธิ ี n1! ขน้ั ตอนท่ี 2 นาจานวนสง่ิ ของกลุ่มท่ี 1 และกลุ่มที่ 2 มารวมกัน มีจานวน n1+ n2 ส่ิง ในจานวนกล่มุ ที่ 2 มีจานวน n2 สง่ิ ท่ีไม่แตกต่างกัน เมื่อนามาเรยี งสับเปลี่ยนเชงิ เสน้ ทั้งหมด ได้เท่ากบั n2! วธิ ี แต่ใน n2! วธิ ี น้ีถอื ว่าเปน็ วิธีทไี่ มแ่ ตกต่างกัน (n1+ n2 )! n1!n2! ดงั น้นั การเรียงสับเปลย่ี นของสงิ่ ของกลุ่มท่ี 1 และกลุ่มท่ี 2 เท่ากบั วิธี เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 4 เรื่องความน่าจะเปน็ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เลม่ ท่ี 3 วิธีเรยี งสับเปลีย่ นเชิงเส้น 47 ขนั้ ตอนที่ 3 นาจานวนสง่ิ ของกล่มุ ที่ 1 กล่มุ ที่ 2 และกลมุ่ ที่ 3 มารวมกันมีจานวน n1+ n2 + n3 สิ่ง ในจานวนกลมุ่ ท่ี 3 มีจานวน n3 สงิ่ ท่ีไม่แตกต่างกนั เมื่อนามาเรียงสบั เปลี่ยนเชิงเส้นทัง้ หมด ได้เท่ากบั n3! วธิ ี แต่ใน n3! วธิ ี นถ้ี อื วา่ เป็นวธิ ที ไ่ี ม่แตกตา่ งกนั ดงั นั้นการเรียงสับเปลีย่ นของสิ่งของกลุ่มที่ 1 กลมุ่ ท่ี 2 และกลมุ่ ท่ี 3 เท่ากบั (n1+ n2 + n3 )! วธิ ี n1!n2!n3! ขนั้ ตอนท่ี k นาจานวนส่งิ ของกล่มุ ที่ 1 กลมุ่ ที่ 2 … และกลุม่ ที่ k มารวมกนั มีจานวน n1+ n2 + n3 + ... + nk = n สงิ่ ในจานวนกลุม่ ที่ k มจี านวน nk สิ่งที่ไมแ่ ตกต่างกัน เมอ่ื นามาเรียงสับเปล่ียนเชิงเสน้ ท้งั หมด ได้เท่ากับ nk! วธิ ี แตใ่ น nk! วิธี นถ้ี อื วา่ เป็นวธิ ีทไี่ มแ่ ตกต่างกัน ดงั นน้ั การเรียงสบั เปลยี่ นของสิ่งของกลมุ่ ที่ 1 กลมุ่ ที่ 2 กลุ่มที่ 3... และกลุม่ ที่ k เทา่ กับ (n1+ n2 + n3 +...+ nk )! = n! nk! วิธี n1!n2!n3! nk! n1!n2!n3! ถ้ามสี ง่ิ ของอยู่ n สิ่ง ในจานวนนม้ี ี n1 ส่งิ ทเ่ี หมือนกันเป็นกล่มุ ท่ีหน่ึง มี n2 ส่ิง ท่ีเหมือนกันเป็นกลุ่มทีส่ อง ... มี nk ส่ิงทเี่ หมือนกันเปน็ กลมุ่ ท่ี k โดยที่ n1+ n2 +...+ nk = n จานวนวธิ ีเรยี งสบั เปลย่ี นกล่มุ ของส่งิ ของ n สิ่ง n! เทา่ กับ n1!n2!n3! nk! วิธี เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 เร่อื งความน่าจะเป็น ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 5

เล่มท่ี 3 วิธเี รียงสบั เปล่ยี นเชิงเสน้ 48 นักเรียนศึกษาตัวอย่างในเรื่องวิธีเรียงสับเปล่ียนเชิงเส้น ของส่ิงของท่ีไม่แตกตา่ งกนั ทั้งหมดกนั เลยนะคะ ตัวอย่างที่ 3.9 ต้องการจดั ธงสีขาวทเี่ หมือนกัน 5 ธง และธงสแี ดงทเ่ี หมือนกัน 3 ธง ในแนวเส้นตรง จะจัดเรยี งสับเปล่ียนได้ลักษณะต่าง ๆ กัน ไดก้ ีว่ ิธี วธิ ีทา ต้องการจัดเรยี งธงสีขาว 5 ธง และธงสแี ดง 3 ธง ในแนวตรง จะจดั ไดจ้ านวน วิธีที่แตกตา่ งกันทัง้ หมด = 8! 5!3! = 8 × 7 × 6 × 5! = 5!3! 56 วธิ ี ดงั นั้น จานวนวธิ ีในการเรียงสับเปลี่ยนธงท้ังหมดเทา่ กับ 56 วิธี ตวั อย่างที่ 3.10 ต้องการแขวนเส้ือท่ีเหมือนกัน 4 ตวั กระโปรงทเ่ี หมือนกัน 3 ตัว และ กางเกงทีเ่ หมือนกนั 2 ตวั ในตู้โชว์ จะเรยี งได้แตกต่างกันทั้งหมดก่วี ิธี วธิ ีทา ตอ้ งการจดั เส้อื ทเ่ี หมือนกัน 4 ตวั กระโปรงที่เหมอื นกัน 3 ตัว และ กางเกงที่เหมือนกัน 2 ตัว จะมีวธิ ีที่แตกต่างกนั ทั้งหมด = 9! 4!3!2! 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4! = 4!3!2! = 1,260 วธิ ี ดงั น้นั จานวนวิธีในการจัดเสื้อ กระโปรงและกางเกงได้ทงั้ หมดเทา่ กับ 1,260 วธิ ี เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 เร่อื งความนา่ จะเปน็ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เลม่ ที่ 3 วิธีเรยี งสับเปลย่ี นเชิงเส้น 49 ตวั อยา่ งที่ 3.11 มลี ูกบอลสแี ดงทเี่ หมือนกนั อยู่ 2 ลูก ลกู บอลสเี ขยี วทีเ่ หมือนกนั อยู่ 3 ลูก และลกู บอลสีฟ้าทเี่ หมือนกนั อยู่ 4 ลูก ถา้ ตอ้ งการนาลกู บอล ท้ังหมดมาจัดเรียงเป็นแถวตรง จะมีวิธีจัดเรยี งทัง้ หมดกีว่ ิธี เม่ือ 1) ลกู บอลท่ีมีสเี ดียวกันอยู่ติดกัน 2) ลูกบอลที่อย่รู ิมทงั้ สองด้านมสี เี ดียวกนั วธิ ที า 1) ต้องการเรียงลูกบอลท่ีมีสีเดยี วกันอย่ตู ดิ กนั จากทั้งหมด 9 ลูก เสมือนวา่ มลี กู บอลอยู่ 3 ลกู เนื่องจากลูกบอลท่มี ีสเี ดยี วกันเหมือนกนั ดงั นั้น จะเรยี งสับเปล่ียนได้ท้ังหมด 3! วธิ ี 2) ตอ้ งการเรียงลูกบอลที่มสี เี ดียวกนั อยรู่ มิ ทั้งสองด้าน เนอ่ื งจากมีลูกบอล 3 สี จงึ คดิ เปน็ 3 กรณี ดังน้ี กรณีที่ 1 ลูกบอลสีแดงอยรู่ ิมทั้งสองด้าน คิดเปน็ 2 ขั้นตอนคือ ขน้ั ตอนท่ี 1 นาลกู บอลสีแดง 2 ลกู นาไปวางไวร้ มิ ท้ังสองดา้ นได้ 1 วธิ ี ขน้ั ตอนท่ี 2 เหลอื ลูกบอล 7 ลกู สเี ขียว 3 ลูก สีฟ้า 4 ลูก จึงนามาเรียงได้ 7! = 35 วธิ ี 3!4! ดังนั้น จานวนวิธเี รียงสบั เปลย่ี นท่ีลูกบอลสีแดงอยู่รมิ ทั้งสองดา้ นเท่ากับ 1 × 35 = 35 วิธี เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม 4 เรอื่ งความนา่ จะเป็น ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เลม่ ท่ี 3 วธิ เี รียงสับเปลย่ี นเชิงเส้น 50 กรณที ่ี 2 ลูกบอลสเี ขยี วอยู่รมิ ท้งั สองด้าน คดิ เปน็ 2 ขั้นตอนคือ ขน้ั ตอนที่ 1 นาลูกบอลสีเขียว 2 ลูก นาไปวางไว้รมิ ทง้ั สองด้านได้ 1 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 เหลือลูกบอล 7 ลกู สีแดง 2 ลูก สเี ขียว 1 ลกู สฟี ้า 4 ลูก จึงนามาเรยี งได้ 7! = 105 วธิ ี 2!1!4! ดังนน้ั จานวนวิธีเรยี งสับเปลยี่ นท่ีลกู บอลสีเขียวอยู่รมิ ทงั้ สองดา้ นเท่ากับ 1 × 105 = 105 วิธี กรณที ี่ 3 ลกู บอลสีฟ้าอยู่ริมท้งั สองด้าน คิดเปน็ 2 ขั้นตอนคือ ขนั้ ตอนที่ 1 นาลูกบอลสีฟา้ 2 ลูก นาไปวางไว้ริมท้ังสองดา้ นได้ 1 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 เหลือลูกบอล 7 ลูก สแี ดง 2 ลูก สเี ขียว 3 ลูก สฟี ้า 2 ลูก จงึ นามาเรียงได้ 7! = 210 วิธี 2!3!2! ดังนั้น จานวนวิธีเรียงสับเปลย่ี นที่ลกู บอลสีฟ้าอยู่ริมทง้ั สองด้านเท่ากับ 1 × 210 = 210 วธิ ี รวมทัง้ 3 กรณีมวี ิธเี รียงสับเปลี่ยนทั้งหมดเท่ากับ 35 + 105 + 210 = 350 วธิ ี เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 4 เร่อื งความน่าจะเปน็ ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เลม่ ที่ 3 วธิ ีเรียงสับเปลี่ยนเชงิ เส้น 51 ตวั อย่างที่ 3.12 จากรปู ทก่ี าหนดใหเ้ ป็นแผนผังของเมอื งหน่งึ ซึง่ เป็นรปู สี่เหลย่ี มมมุ ฉาก รอยเสน้ ในแผนผงั คือถนน ถ้ามชี ายคนหน่ึงต้องการขับรถออกจากจดุ A ไปยงั จุด B โดยมเี งื่อนไขว่าชายผ้นู ีจ้ ะตอ้ งขับรถไปทางทิศเหนือ หรอื ทิศตะวันออกเทา่ นัน้ อยากทราบว่าชายผู้นจี้ ะมีวธิ ีการเลอื กเส้นทาง ได้ท้งั หมดกีว่ ธิ ี เม่อื B D 1) ไม่มเี งื่อนไขใดเพ่ิมเติม C 2) ตอ้ งขบั รถผา่ นจดุ C ด้วย 3) ตอ้ งขับรถผ่านจุด C และ จุด D ดว้ ย A วิธีทา 1) จากรปู จะพบว่า มีเส้นทางไปทางทศิ เหนือ 5 เสน้ ทางท่เี หมอื นกัน และ ทิศตะวันออก 3 เสน้ ทางทเี่ หมือนกนั รวมทั้งหมดมี 8 เสน้ ทาง B D C ดงั นนั้ มีจานวนวิธใี นการเดนิ ทางจาก A ไป B เท่ากับ 8! = 56 วธิ ี 5!3! A 2) จากรปู จะพบวา่ มีเส้นทางจากจดุ A ไป B โดยผา่ น C มี 2 ขนั้ ตอน คือ D B ข้ันตอนท่ี 1 เดนิ ทางจาก A ไป C ทศิ เหนือมี 2 เสน้ ทาง ทศิ ตะวันออก C A มี 1 เส้นทาง รวม 3 เส้นทาง มีจานวน 3! = 3 วธิ ี 2!1! ข้ันตอนท่ี 2 เดินทางจาก C ไป B ทิศเหนือมี 3 เสน้ ทางทิศตะวันออก 2 เส้นทาง รวม 5 เสน้ ทาง มจี านวน 5! = 10 วธิ ี 3!2! ดังนน้ั มีจานวนวธิ ีในการเดนิ ทางจาก A ไป B โดยผา่ น C มีเสน้ ทาง ทง้ั หมดเท่ากบั 3 × 10 = 30 วธิ ี เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ 4 เร่อื งความนา่ จะเป็น ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 5

เล่มที่ 3 วธิ เี รยี งสับเปล่ียนเชงิ เสน้ 52 3) จากรปู จะพบวา่ มเี ส้นทางจากจุด A ไป B โดยผา่ น C และ D มี 3 ข้ันตอน คือ D B C A ขนั้ ตอนที่ 1 เดินทางจาก A ไป C ทศิ เหนอื มี 2 เสน้ ทาง ทิศตะวนั ออก มี 1 เสน้ ทาง รวม 3 เส้นทาง มจี านวน 3! = 3 วธิ ี 2!1! ขัน้ ตอนท่ี 2 เดนิ ทางจาก C ไป D ทศิ เหนือมี 2 เสน้ ทางทศิ ตะวนั ออก 1 เสน้ ทาง รวม 3 เสน้ ทาง มจี านวน 3! = 3 วิธี 2!1! ขั้นตอนท่ี 3 เดนิ ทางจาก D ไป B ทศิ เหนือมี 1 เสน้ ทางทศิ ตะวนั ออก 1 เส้นทาง รวม 1 เส้นทาง มีจานวน 2! = 2 วธิ ี 1!1! ดังนนั้ มีจานวนวิธใี นการเดนิ ทางจาก A ไป B โดยผา่ น C และ D มีเสน้ ทางท้งั หมดเท่ากบั 3 × 3 × 2 = 18 วิธี ตวั อย่างท่ี 3.13 ถา้ ตอ้ งการสรา้ งจานวนเตม็ ที่มี 6 หลักจากเลขโดด 0, 1, 1, 2, 2, 2 มาจดั เรยี ง จะสรา้ งจานวนเต็มท่ีมี 6 หลกั ไดท้ ้ังหมดก่ีจานวน เมือ่ 1) จานวนทสี่ ร้างอยรู่ ะหว่าง 100,000 และ 200,000 2) จานวนท่ีสรา้ งมคี ่ามากกว่า 200,000 3) จานวนทสี่ ร้างมีคา่ มากกวา่ 100,000 และเปน็ จานวนคู่ วธิ ีทา 1) ตอ้ งการสร้างจานวนเต็มที่มี 6 หลกั ที่อย่รู ะหวา่ ง 100,000 และ 200,000 หลักแสน หลกั หมน่ื หลักพนั หลักรอ้ ย หลกั สิบ หลักหน่วย 1 แสดงวา่ หลกั แสน จะตอ้ งเป็นเลข 1 เทา่ น้นั จึงสรา้ งได้ 1 วิธี อีก 5 หลักจงึ ต้องสรา้ งจาก 5 ตวั ที่เหลอื ประกอบด้วย 0 มี 1 ตัว 1 มี 1 ตวั 2 มี 3 ตวั จะสร้างได้ 5! = 20 จานวน 1!1!3! ดงั นั้น จานวนวิธีในการสรา้ งจานวนท้งั หมดได้ 1 × 20 = 20 จานวน เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 4 เร่ืองความน่าจะเป็น ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เล่มที่ 3 วิธเี รียงสบั เปล่ียนเชงิ เสน้ 53 2) ต้องการสร้างจานวนเตม็ ที่มี 6 หลักทีม่ ีคา่ มากกว่า 200,000 หลกั หน่วย หลักแสน หลกั หมื่น หลกั พนั หลักร้อย หลักสิบ 2 แสดงว่าหลกั แสน ต้องเป็นเลข 2 เทา่ น้นั จงึ สร้างได้ 1 วธิ ี อกี 5 หลกั จึงต้องสรา้ งจาก 5 ตวั ท่เี หลือ ประกอบดว้ ย 0 มี 1 ตวั 1 มี 2 ตัว 2 มี 2 ตัว จะสรา้ งได้ 5! = 30 จานวน 1!2!2! ดังนั้น จานวนวิธีในการสร้างจานวนท้งั หมดได้ 1 × 30 = 30 จานวน 3) ตอ้ งการสรา้ งจานวนเต็มที่มี 6 หลกั ทมี่ คี า่ มากกว่า 100,000 และเปน็ จานวนคู่ แสดงวา่ หลกั แสนต้องเปน็ เลข 1 หรือ 2 และลงทา้ ยดว้ ย 0 หรอื 2 จึงแบง่ เปน็ 4 กรณี ดงั นี้ กรณีที่ 1 หลักแสนเปน็ เลข 1 หลกั หนว่ ยให้เป็นเลข 0 อกี 4 หลกั ทเี่ หลอื สรา้ งจาก 1 มี 1 ตวั 2 มี 3 ตัว จานวนวธิ ีทสี่ รา้ งได้ 4! = 4 จานวน 1!3! กรณที ่ี 2 หลักแสนเปน็ เลข 1 หลักหน่วยให้เป็นเลข 2 อกี 4 หลกั ทเ่ี หลือสร้างจาก 0 มี 1 ตวั 1 มี 1 ตัว 2 มี 2 ตัว จานวนวธิ ที ่ีสร้างได้ 4! = 12 จานวน 1!1!2! กรณีท่ี 3 หลักแสนเปน็ เลข 2 หลกั หนว่ ยใหเ้ ปน็ เลข 0 อีก 4 หลกั ทเี่ หลือสร้างจาก 1 มี 2 ตัว 2 มี 2 ตวั จานวนวธิ ที ี่สรา้ งได้ 4! = 6 จานวน 2!2! กรณที ่ี 4 หลักแสนเป็นเลข 2 หลกั หน่วยให้เป็นเลข 2 อกี 4 หลักท่ีเหลือสร้างจาก 0 มี 1 ตัว 1 มี 2 ตัว 2 มี 1 ตวั จานวนวิธีทส่ี รา้ งได้ 4! = 12 จานวน 1!2!1! ดังนนั้ จานวนวิธีในการสรา้ งจานวนท้ังหมดได้ 4 + 12 + 6 + 12 = 34 จานวน เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม 4 เร่ืองความน่าจะเปน็ ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5