Vector3D

5 มาตรฐานการเรียนรแู้ ละผลการเรียนรู้ มำตรฐำนกำรเรยี นรู้ มำตรฐำน ค 6.1 : มคี วามสามารถในการแก้ปญั หา การให้เหตุผล การ ส่ือสาร การสื่อความหมาย ทางคณติ ศาสตรแ์ ละการนาเสนอการเชือ่ มโยงความรู้ ต่างๆ ทางคณติ ศาสตร์ และเชอ่ื มโยงคณติ ศาสตร์กบั ศาสตร์อ่ืนๆ และมีความคดิ รเิ ร่มิ สรา้ งสรรค์ ผลกำรเรียนรู้ มคี วามคิดรวบยอดเกย่ี วกบั เวกเตอร์ในสามมติ ิ

6 จุดประสงคก์ ำรเรียนรู้ ด้ำนควำมรู้ 1. นักเรียนสามารถบอกพิกัดของจุดในระบบพิกัดฉากสามมิติเมอ่ื กาหนดพิกดั ของจดุ บางจดุ ให้ได้ 2. นกั เรยี นสามารถบอกพิกัดภาพฉายของจดุ ทกี่ าหนดใหบ้ นระบบพิกัดฉาก สามมติ ไิ ด้ ด้ำนทักษะกระบวนกำรทำงคณติ ศำสตร์ นกั เรียนสามารถใช้ภาษาและสญั ลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ในการส่ือสาร การสื่อ ความหมายและการเขียนพิกดั ในระบบพกิ ัดฉากสามมิตไิ ดอ้ ยา่ งถูกต้องและชดั เจน ด้ำนคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ 1. มีวนิ ัย 2. ใฝ่เรียนรู้

7 กำรวัดผลและประเมนิ ผลกำรเรยี น ดำ้ นควำมรู้ ประเมนิ จำกแบบทดสอบ เกณฑ์กำรผำ่ นไมต่ ่ำกวำ่ รอ้ ยละ 75 ด้ำนทกั ษะกระบวนกำรทำงคณิตศำสตร์ ประเมินจำกแบบฝึกทกั ษะ เกณฑก์ ำรผำ่ นไม่ต่ำกว่ำรอ้ ยละ 75 ด้ำนคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ ประเมินพฤตกิ รรมกำรเรียน เกณฑก์ ำรผำ่ นไมต่ ่ำกวำ่ รอ้ ยละ 75

8 ข้นั ตอนกำรเรยี นโดยใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศำสตร์ เร่ือง เวกเตอร์ในสำมมติ ิ ชนั้ มธั ยมศึกษำปีท่ี 5 ชดุ ท่ี 1 เรอ่ื งระบบพิกดั ฉำกสำมมิติ 1. อำ่ นคำแนะนำสำหรบั ผเู้ รียน 2. ศกึ ษำแบบฝึกทกั ษะและทำกจิ กรรมโดย ไม่ผ่ำน 2.1 ศกึ ษำเนื้อหำ ประเมินผล 2.2 ทำแบบฝกึ ทกั ษะ 2.3 ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ ผำ่ น 3. ทำแบบทดสอบ 4. ศึกษำแบบฝกึ ทักษะชุดตอ่ ไป

9 ใบควำมรู้ท่ี 1 เร่อื ง ระบบพกิ ดั ฉำกสำมมติ ิ คำชี้แจง ใหน้ กั เรยี นศกึ ษำใบควำมรตู้ อ่ ไปน้ี แลว้ รว่ มกันสรุปสำระสำคญั เวกเตอรน์ อกจากจะเปน็ ประโยชน์ในการศกึ ษาเรื่องการเคล่อื นท่ี ความเร็ว และความเรง่ แล้ว ยงั เปน็ ประโยชนใ์ นการศกึ ษาสาระคณิตศาสตรอ์ นื่ ๆ เชน่ เรขาคณติ พชี คณติ และทส่ี าคัญเวกเตอรย์ ังนาไปใชใ้ นการตัง้ รหสั หนังสือ ISBN อกี ดว้ ย แนวทางในการศกึ ษาเวกเตอร์เบ้ืองต้น คอื การศกึ ษาเชิงเรขาคณติ โดยนิยาม ว่า เวกเตอรเ์ ปน็ ปริมาณทีม่ ีขนาดและทศิ ทาง และใชร้ ูปลูกศรแทนเวกเตอร์ ในการ เรยี นจะกลา่ วถงึ เวกเตอรใ์ นสองมิตแิ ละสามมติ คิ วบคู่กันไป ในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ สามารถกาหนดได้ 2 ระบบ คอื ระบบมอื ขวา หรอื ระบบมอื ซา้ ย ซ่งึ นยิ มกลา่ วถึงเฉพาะระบบมือขวา ระบบพกิ ัดฉำกสำมมิติ กาหนดเส้นตรง XX ,YY และ ZZ เป็นเส้นตรงทีผ่ า่ นจดุ O และตง้ั ฉากซึง่ กันและกัน โดยการกาหนดทศิ ทางของเสน้ ตรงท้งั สามนั้นเป็นไปได้ 2 ระบบ คอื ระบบมือขวาหรือระบบมอื ซา้ ย ดงั รูปท่ี 1(ก) และ 1(ข) ตามลาดับ รูป (ก) รปู ที่ 1 รปู (ข)

10 แกนในระบบพกิ ัดฉำกสำมมติ ิ ถ้าให้เส้นตรงทงั้ สามเสน้ เปน็ เส้นจานวนจรงิ (real number line) จะเรียก เส้นตรง XX ว่า แกนพิกดั X หรอื แกน X (x-axis) เสน้ ตรง YY ว่า แกนพกิ ดั Y หรอื แกน Y (y-axis) เส้นตรง ZZ ว่า แกนพิกดั Z หรือ แกน Z (z-axis) และเรยี กจดุ O ซึ่งเป็นจุดตัดของแกน X แกน Y และแกน Z วา่ จดุ กาเนดิ (origin) ดังรูปที่ 2 จากรูปที่ 2 รงั สี OX คือแกน X ทางบวก (positive x-axis) รังสี OY คือแกน Y ทางบวก (positive x-axis) รงั สี OZ คือแกน Z ทางบวก (positive x-axis) รังสี OX คอื แกน X ทางลบ (negative x-axis) รงั สี OY คือแกน Y ทางลบ (negative x-axis) รงั สี OZ คือแกน Z ทางลบ (negative x-axis)รปู ที่ 2 หมำยเหตุ นิยมเขียนเฉพาะ แกน X แกน Y และแกน Z ทางบวกซึ่งมีหวั ลกู ศร กากับ ดังรปู ท่ี 3 รูปท่ี 3

11 ระนำบอ้ำงอิงในระบบพิกดั ฉำกสำมมติ ิ แกน X แกน Y และแกน Z จะกาหนดระนาบขึ้น 3 ระนาบ คือ 1. ระนาบทก่ี าหนดด้วยแกน X และแกน Y เรยี กว่า ระนาบอา้ งองิ XY หรือระนาบ XY 2. ระนาบที่กาหนดดว้ ยแกน Y และแกน Z เรยี กวา่ ระนาบอา้ งองิ YZ หรือระนาบ YZ 3. ระนาบทีก่ าหนดด้วยแกน X และแกน Z เรียกว่า ระนาบอา้ งองิ XZ หรือระนาบ XZ ดงั รปู ที่ 4 (ก) ระนาบ XY ระนาบ YZ และระนาบ XZ จะแบง่ ระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ ออกเปน็ 8 บรเิ วณ คอื เหนือระนาบ XY จานวน 4 บรเิ วณและใต้ระนาบ XY จานวน 4 บริเวณ เรยี กแตล่ ะบรเิ วณว่า อฐั ภาค (octant) ดงั รูปที่ 4 (ข) รปู ที่ 4 (ก) รูปที่ 4 (ข) อฐั ภาคที่บรรจดุ ้วยแกน X แกน Y และแกน Z ทางบวกเรียกว่า อฐั ภาคที่ 1 สว่ น อัฐภาคอืน่ ๆ จะใชข้ อ้ ตกลงเดยี วกบั ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ (นับทวนเข็มนาฬกิ าไป ตามลาดับ) โดยพิจารณาบริเวณเหนือระนาบ XY กอ่ น

12 พิกดั ของจดุ เม่อื กาหนดจุด P เป็นจุดใดๆ ในระบบของพกิ ดั ฉากสามมิติ จะระบุ ตาแหน่งของจุด P โดยใชจ้ านวนจรงิ สามจานวนเรยี งกนั ตามลาดบั หรอื เรยี กวา่ สามสิ่งอันดับ (ordered triple) ในรูป (x, y, z) เรียก (x, y, z) วา่ พิกัดของจุด P อาจจะเขยี นจุดและพิกดั กากับไว้ ด้วยกัน เชน่ P(x, y, z) ดังรูปที่ 5 รูปท่ี 5 พิกดั P(x,y,z) x ระบุวา่ จดุ P อยหู่ า่ งจากระนาบ YZ ไปตามแนวแกน X เป็นระยะทางเทา่ ใดและในทศิ ทางใด y ระบวุ า่ จดุ P อยู่หา่ งจากระนาบ XZ ไปตามแนวแกน Y เป็นระยะทางเทา่ ใดและในทศิ ทางใด z ระบุว่า จดุ P อยหู่ า่ งจากระนาบ XY ไปตามแนวแกน Z เป็นระยะทางเทา่ ใดและในทศิ ทางใด

13 ภำพฉำย (projection) รปู ที่ 6 จากรูปท่ี 6 ถ้าลากเสน้ ผา่ นจุด P(x, y, z) ใหข้ นานกับแกน Z ไปตัดระนาบ XY ได้จุดตัด U(x, y,0) เรียกจดุ นว้ี ่าภาพฉาย (projection) ของจดุ P บนระนาบ XY ในทานองเดียวกนั จะเรยี กจุด Q(0, y, z) ว่าเปน็ ภาพฉายของจดุ P บนระนาบ YZ และเรียกจดุ S(x, 0, z) วา่ เป็นภาพฉายของจดุ P บนระนาบ XZ และ เรียกจุด T(x, 0, 0) ว่าเป็นภาพฉายของจุด P บนแกน X เรียกจดุ V(0, y, 0) ว่าเป็นภาพฉายของจดุ P บนแกน Y เรยี กจุด R(0, 0, z) ว่าเปน็ ภาพฉายของจดุ P บนแกน Z

14 ตัวอยำ่ งที่ 1 จากรปู จงหาพิกดั ของจุด B, C, D, E, F และ G เมอื่ กาหนด A(4, 6, 5) Z CB D A(4, 6, 5) H GY วธิ ีทำ E F X จากรปู จดุ B มพี กิ ดั เป็น (0, 6, 5) จดุ C มีพกิ ดั เป็น (0, 6, 5) จดุ D มพี กิ ดั เป็น (4, 0, 5) จุด E มีพิกัดเป็น (4, 0, 0) จดุ F มีพิกดั เป็น (4, 6, 0) จดุ G มีพิกดั เป็น (0, 6, 0) ตัวอยำ่ งที่ 2 จงเขียนจุด A(3, 2, -2), B(1, -4, 2), C(-1, 3, 4) ลงในระบบ พกิ ัดฉาก สามมิติ Z วิธที ำ C(-1, 3, 4) 4 B(1, -4, 2) 0 Y 3 23 X A(3, 2, -2)

15 ตัวอย่ำงที่ 3 จากรูป จงหาระบบพิกัดฉากที่เปน็ ภาพฉายของจดุ A(3, 4, 5) บนแกนและระนาบทีก่ าหนดให้ต่อไปนี้ Z 1. ภาพฉายบนแกน X CB 2. ภาพฉายบนแกน Y D A(3, 4, 5) 3. ภาพฉายบนแกน Z HG Y 4. ภาพฉายบนแกน XY 5. ภาพฉายบนแกน YZ EF X 6. ภาพฉายบนแกน XZ วิธที ำ ภำพฉำยจำกพิกัด A(3, 4, 5) ระบบพิกดั ฉำก 1. ภาพฉายบนแกน X (3, 0, 0) 2. ภาพฉายบนแกน Y (0, 3, 0) 3. ภาพฉายบนแกน Z (0, 0, 3) 4. ภาพฉายบนระนาบ XY (3, 4, 0) 5. ภาพฉายบนระนาบ YZ (0, 4, 5) 6. ภาพฉายบนระนาบ XZ (3, 0, 5)

16 แบบฝกึ ทักษะท่ี 1 เร่ือง ระบบพิกัดฉำกสำมมิติ ชอื่ …………………………………………………………..ชั้น……………. เลขท…ี่ …………. คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นหาคาตอบจากโจทย์ต่อไปน้ี ( ใชเ้ วลา 20 นาที ) 1. จากรูปจงหาพิกัดของจุด B, C, D, E, F และ G เมอ่ื กาหนด A(2, 4, 5) Z จดุ พกิ ัด C B B D A(2, 4, 5) C H G Y D F E E F G X 2. จงเขยี นจุด A(4, 3, -2), B(2, -2, 4), C(-3, 2, 5) ลงในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ Z Y X

17 3. จากรปู จงหาระบบพกิ ัดฉากทีเ่ ป็นภาพฉายของจุด A(4, 5, 2) บนแกนและ ระนาบทีก่ าหนดให้ต่อไปนี้ Z D C B 1. ภาพฉายบนแกน X G 2. ภาพฉายบนแกน Y E H 3. ภาพฉายบนแกน Z Y 4. ภาพฉายบนแกน XY X A(4, 5, 2) 5. ภาพฉายบนแกน YZ 6. ภาพฉายบนแกน XZ F วิธีทำ ระบบพิกัดฉำก ภำพฉำยจำกพกิ ดั A(4, 5, 2) 1. ภาพฉายบนแกน X 2. ภาพฉายบนแกน Y 3. ภาพฉายบนแกน Z 4. ภาพฉายบนระนาบ XY 5. ภาพฉายบนระนาบ YZ 6. ภาพฉายบนระนาบ XZ คะแนนเตม็ 9 คะแนน คะแนนเก็บจริง 3 คะแนน คะแนนทีไ่ ด.้ .................. คะแนนเก็บจรงิ ได้..................

18 แบบทดสอบ ชุดที่ 1 เร่ือง ระบบพิกดั ฉำกสำมมติ ิ คำช้แี จง 1. แบบทดสอบชดุ น้ีมจี านวน 5 ขอ้ ( 5 คะแนน ) ใช้เวลา 10 นาที 2. ใหน้ กั เรยี นเลือกคาตอบทีถ่ กู ต้องที่สดุ เพียงขอ้ เดยี วแลว้ ทา เครื่องหมายกากบาท ( × ) ลงในกระดาษคาตอบ 1. จากรปู พิกดั ของจุด D คอื ขอ้ ใด Z CB Y ก. (2, 3, 0) D ข. (2, 0, 4) ค. (0, 3, 4) A(2 ,3, 4) ง. (0, 0, 4) H ก. (0, 0, 1) ข. (0, 3, 0) G ค. (-2, 0, 0) EF ง. (-2, 3, 0) X 2. จากรปู พิกัดของจดุ G คอื ข้อใด Z D C(-2, 3, 1) AB Y EH FG X

3. จากรปู พิกดั ของจดุ H คอื ขอ้ ใด 19 ตต Z E H ก. (2, -2, 3) G ข. (2, 2, 3) F(0, 0, 3) ค. (-2, 2, 3) ง. (-2, 2, 0) D C(-2, 2,0) AB Y X 4. กาหนดให้จุด A เปน็ จุดในระบบพิกัดฉากสามมิติมพี ิกัดเป็น (4, 7, 5) แลว้ ภาพฉายของจดุ A บนระนาบ XY บนระนาบ YZ และ XZ ตามลาดบั คอื ขอ้ ใด ก. (4, 7, 0) , (0, 7, 5) , (4, 0, 5) ข. (4, 7, 0) , (0, 5, 7) , (5, 0, 4) ค. (4, 7, 0) , (0, 7, 5) , (4, 0, 7) ง. (4, 2, 0) , (4, 7, 5) , (0, 0, 5) 5. จากรปู พกิ ดั ของจดุ A จดุ B และจุด C ตามลาดับคือข้อใด Z C ก. (3, -6, 3) , (4, 6, 3) , (-3, 3, 4) ข. (3, 6, -3) , (4, 6, 3) , (-3, -3, 4) B ค. (3, 6, -3) , (4, 6, 3) , (-3, 3, 4) H Y ง. (3, 6, -3) , (4, -6, 3) , (-3, 3, 4) X A

20 บรรณำนุกรม จกั รนิ ทร์ วรรณโพธ์ิกลาง. คมู่ ือสำระกำรเรยี นรพู้ นื้ ฐำนและเพมิ่ เติม ม.5 เลม่ 1. กรุงเทพฯ : บริษทั สานกั พมิ พ์ พ.ศ. พฒั นา จากัด,2552. ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. ขยนั กอ่ นสอบคณติ ศำสตรพ์ ื้นฐำนและเพิม่ เตมิ ม.5. กรงุ เทพฯ : บรษิ ัท สานกั พิมพแ์ มค็ จากดั ,2551. ศณิ าพร แสงใส และคณะ. Inspire คณิตศำสตร์ ม.ปลำย มั่นใจเตม็ 100. พมิ พค์ ร้งั ท่ี 1. กรุงเทพฯ : บริษทั ไอดีซี พรเี มียร์ จากัด,2557. ศกึ ษาธกิ าร, กระทรวง. ตัวชว้ี ดั และสำระกำรเรยี นรแู้ กนกลำงกลมุ่ สำระกำรเรียนรู้ คณติ ศำสตร์ ตำมหลกั สตู รแกนกลำงกำรศกึ ษำข้ันพ้ืนฐำน พุทธศักรำช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ชุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จากัด, 2551. สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธกิ าร. หนังสอื เรียนรำยวชิ ำเพม่ิ เติมคณติ ศำสตร์ เล่ม 3 ช้ันมธั ยมศึกษำปีที่ 4-6.พมิ พ์คร้งั ท่ี 8. กรงุ เทพฯ : องคก์ ารคา้ คุรสุ ภา,2558.

21 ภำคผนวก

22 เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 1 เรอื่ ง ระบบพกิ ดั ฉำกสำมมติ ิ คำช้แี จง ใหน้ ักเรยี นหาคาตอบจากโจทยต์ ่อไปน้ี 1. จากรูปจงหาพกิ ัดของจดุ B, C, D, E, F และ G เม่อื กาหนด A(2, 4, 5) Z จุด พกิ ดั B (0, 4, 5) C B C (0, 0, 5) D A(2, 4, 5) D (2, 0, 5) E (2, 0, 0) HG Y F (2, 4, 0) G (0, 4, 0) EF X 2. จงเขียนจุด A(4, 3, -2), B(2, -2, 4), C(-3, 2, 5) ลงในระบบพิกัดฉากสามมติ ิ

23 3. จากรูป จงหาระบบพิกดั ฉากท่ีเป็นภาพฉายของจดุ A(4, 5, 2) บนแกนและ ระนาบทก่ี าหนดให้ตอ่ ไปน้ี Z D C B 1. ภาพฉายบนแกน X G 2. ภาพฉายบนแกน Y E H 3. ภาพฉายบนแกน Z Y 4. ภาพฉายบนแกน XY X A(4, 5, 2) 5. ภาพฉายบนแกน YZ 6. ภาพฉายบนแกน XZ F วิธที ำ ระบบพกิ ดั ฉำก (4, 0, 0) ภำพฉำยจำกพิกดั A(4, 5, 2) (0, 5, 0) 1. ภาพฉายบนแกน X (0, 0, 2) 2. ภาพฉายบนแกน Y (4, 5, 0) 3. ภาพฉายบนแกน Z (0, 5, 2) 4. ภาพฉายบนระนาบ XY (4, 0, 2) 5. ภาพฉายบนระนาบ YZ 6. ภาพฉายบนระนาบ XZ

24 เฉลยแบบทดสอบ ชุดท่ี 1 หลงั เรยี น 1. ข 2. ข 3. ค 4. ก 5. ง