เพิ่มเติมฟังชันตรีโกณมิติe8

คคู่มือณิคตรรูศาายสวติชาร์เเพพิิ่ม่มเตเมิ ติม ๕ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี คณติ ศาสตร์ เลม่ ๑ ตามผลการเรยี นรู้ กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน พุทธศกั ราช ๒๕๕๑

1| 51 1 1 51

1| 51 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ipst.me/8447

1| 51 3 1.1 1. 1 x, y x2 y2 1 1, 0 x, y 0 1, 0 0 0 1, 0 2. f : 1, 0 x, y g: x f gy 1, 0 gf f cos g sin y sin x cos 3. x2 y2 1 1 y1 1x1 x, y 11 11 4. x2 y2 1, y sin x cos sin cos cos2 sin2 1

1| 51 4 5. n sin 2n 6. sin cos 2n cos 7. 02 8. 1 02 sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 2 cos cos 2 tan csc sec cosec cot tan sin cos 0 sec cos cos 0 cosec sin 0 cot 1 sin 0 cos 1 sin cos sin

1| 51 5 9. tan sec xx 2n 1 ,n 2 cot cosec x x n ,n tan cot x1 x1 sec cosec 10. cot 1 tan 0 tan 1 tan2 sec2 cos 0 1 cot2 cosec2 sin 0 11. 0 2 sin cos tan cosec sec cot 0 01 01 6 13 3 2 23 3 4 22 33 3 22 1 22 1 2 22 3 12. 31 3 23 2 3 22 3 0 10 1 AP PAˆ Q 30 2 AP

1| 51 6 A AP 13. AQ AQ 14. 2 0 (' ) 360 o ( '' ) 1 60 1 60'' 1' 360 2 180

1| 51 7 15. 0, 0 X 16. 17. cos cos cos BAˆ C 90 ABC ACˆB 18. = X 19. = =

1| 51 8 ab 1 a b 2 20. y sin nx , n 0 2 1 1, 1 y cos nx , n 0 n 1, 1 y a sin nx , n 0 a, a y a cos nx , n 0 2 1 a, a n 21. 2a n 2a n 2 2 22. sin 2 = cos cos 2 = sin cos cos = cos cos sin sin sin sin = cos cos sin sin tan = sin cos cos sin tan = sin cos cos sin = tan tan tan tan 1 1 tan tan 1 = tan tan tan tan 1 tan tan

1| 51 9 23. sin , sin , cos cos 2sin cos sin sin 2cos sin sin sin 2cos cos cos cos 2sin sin cos cos 24. sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin 2 sin 2 25. sin 2 2sin cos cos 2 cos2 sin2 cos 2 1 2sin2 cos 2 2 cos2 1 tan 2 2 tan tan2 1 1 tan2 26. 1 1 27. 2 x, y x sin y y arcsine x, y 22 28. 3 x cos y 0 y arccosine

1| 51 10 x, y x tan y 2 y 2 29. 4 arctangent 30. y sin x 2, 2 1, 1 y cos x 0, 1, 1 y tan x 2, 2 arcsine, arccosine arctangent y arcsin x 1, 1 , y arccos x 1, 1 22 0, y arctan x , 22 31. sine, cosine, tangent, arcsine, arccosine arctangent y sin x, 2 x 2 y arcsine x, 1 x 1

1| 51 11 y cos x, 0 x y arccos x, 1 x 1 y tan x, 2 x 2 y arctan x, x 32. 33. cot 1 tan cot , tan 1 tan cot 1 tan 34.

1| 51 12 35. 11 36. ABC A, B C a, b c A, B C a, b c a2 b2 c2 2bc cos A 37. b2 c2 a2 2ca cos B c2 a2 b2 2ab cos C 38. ABC sin A sin B sin C ab c

1| 51 13 1.2 1, 0 XY : 1. 2 – 3 x2 y2 1 2. 1 1, 0 2.1 0, 1 2.2 1, 0 2.3 0, 1 2.4 0, 1 2.5 1, 0 2.6 0, 1

1| 51 14 1, 0 0, 1 0, 1 0, 1 2 1, 0 0, 1 3 2 3. 1, 0 x, y 0 1, 0 2 0 1, 0 0 4. 3 1, 0 0, 1 1, 0 1, 0 2 0, 1 3 0, 1 2 1, 0 2 0, 1 3 2

1| 51 15 1x1 1 y1 1 2 3, 4 6 0, 90 51 sin cos 1, 0 1.1 1 5) ( ( 1 2) 3, 4 1.1 2

1| 51 16 1.1 10 2) 3) 2) sin cos 5 44 sin 4 2 cos 4 sin 5 2 cos 5 2 4 2 4 3) 2 sin cos 2 1 sin 1 1 cos 1 2 sin cos 2 cos2 cos 2 sin2 sin 2 cos2 cos cos cos 2 cos 2 2 sin 2 sin sin sin 2 sin 1 42 1

1| 51 17 tan sin cos 0 cos sin cos Dsin Dcos x Dcos cos x 0 = x x 2n 1 ,n = 2 x x 2n 1 , n 2 x x 2n 1 ,n 2 1.4 cot 1 tan 0 tan 1 tan2 sec2 cos 0 1.7 1.2 6 1.2 1.1 1.2 8 – 10

1| 51 18 : 1. 0 360 2. ipst.me/10305 3. 1 1) 1 2) 4 1, 2, 3 () 1234 () 1111

1| 51 19 4. 3. 2) 0.017 2, 3 4 5. 3 () 1234 () 2222 () 1234 () 3333 () 1234 () 4444

1| 51 20 5 6. 2 3 o 4 o o 7. r 0.017 1 3–6 a r a 180 57.3

1| 51 21 28 65 28.65 0.65 1 60 0.65 60 39 28.65 28 39 51 15 13 1.2 6 1.2 8 – 10 1.1 1.2

1| 51 22 tan, sec, cot cosec a xa xa xa 20 – 24 X X 1.4 2 ( )( ) () n 20 – 24 y a cos nx y sin nx , y cos nx , y a sin nx 0 : y sin x y cos x x x 0, 2 1. ipst.me/10308

1| 51 23 2. sin 1) 2) 1, 0 0, 1 y0 y1 x 2 3) 0, 1 1, 0 y1 y 0 x 4) 1, 0 0, 1 y0 y 1 x 3 2 5) 0, 1 1, 0 y1 y0 x2 3. 2 1, 0 1 0, 1 y0 y1 x y1 y0 2 2 1, 0 0, 1 x

1| 51 24 1, 0 3 4 y0 y 1 x 3 2 y1 0, 1 y sin x 0, 1 1, 0 y0 x2 4. 0, 2 1, 1 sin 5. cos y sin x 1, 0 1) 2) 0, 1 3) y1 y0 x 1, 0 2 0, 1 4) 0, 1 y0 y 1x 1, 0 y1 y0 x 3 2

1| 51 25 5) 0, 1 1, 0 y0 y1 x 2 6. 2 1, 0 1 0, 1 y1 y0 x2 y0 y 0, 1 2 1x 1, 0 1, 0 3 0, 1 4 y1 y0 x 3 1, 0 2 7. y0 y sin x 0, 1 0, 2 y1 x2 1, 1 3–6

1| 51 26 : a, n x y a sin nx n a 1. y a sin nx ipst.me/10307 2. a1 y a sin nx n 1) n 2) n y a sin nx n y a sin nx y a sin nx 3. a n a a y a sin nx a y a sin nx 2

1| 51 27 : y a cos nx n a a, n x 1. y a cos nx ipst.me/10306 2. a1 y a cos nx n 1) n 2) n y a cos nx n y a cos nx y a cos nx 3. a n a a y a cos nx a y a cos nx 2

1| 51 28 29 tan sin tan 2 cot cos tan 2 tan tan tan 1 tan tan 31 51 cos 75o sin 525o = cos 45o 30o sin 360o 165o = cos 45o 30o sin165o = cos 45o 30o sin 180o 15o = cos 45o 30o sin15o = cos 45o 30o sin 45o 30o = cos 45o cos 30o sin 45o sin 30o sin 45o cos 30o cos 45o sin 30o = 2 3 21 2 3 21 2 2 22 2 2 22 = 23 2 22 21 22 = 6 22 4 =2 3 4

1| 51 29 1.5 1.5 6 cos x 3 5 tan y 5 2x 12 y 2 2 : y sin x 1. 2. y sin x y sin x y sin x

1| 51 30 y sin x 3. y sin x 2 2, 2 , 2 , 3 2 Y Y 1 y sin x 4. 23 2, 2

1| 51 31 arcsine arccosine sine cosine 37 40 37 arcsin 1 arcsin 1 x 2 x 2 sin x 1 y sin x x 2 sin x 1 arcsin 1 cos x 0 2 40 arccos 0 arccos 0 x0 y cos x

1| 51 32 x2 cos 0 arccos 0 37 – 47 2 2–4 arcsin sin x x arccos cos x x arcsin sin 5 arcsine arccosine 5 arcsin sin 5 2, 2 sin 5 arcsin sin 5 arcsin 0 0

1| 51 33 5 1 1 cot2 = cosec2 sin2 cos2 = 1 sin2 cos2 = 1 sin 2 sin2 cos2 = 1 sin 2 sin 2 sin2 cos2 = 1 sin 2 sin2 sin2 1 cot2 = cosec2

1| 51 34 tan sin2 cot cos2 2sin cos cot tan tan sin2 cot cos2 2sin cos = sin sin2 cos cos2 2sin cos cos sin = sin3 cos3 2sin cos cos sin = sin4 cos4 2sin2 cos2 sin cos sin2 cos2 sin2 cos2 = sin cos =1 sin cos cot tan = cos sin sin cos = cos2 sin2 sin cos =1 sin cos tan sin2 cot cos2 2sin cos cot tan 1–1 55, 56 58

1| 51 35 tan 24 tan tan tan 1 tan tan tan 2 4 tan 4 1 2 1 ( ) ABC 2 12 C C b a b BA a A 1 B 2

1| 51 36 12 B 61 62 B ABC B C a b Ac a2 b2 c2 2bc cos A cos A cos90o 0 a2 b2 c2 63

1| 51 37 1.3 : 41 2522 55 ( 2543) 41 44 (1) (2) 6 (3) 3 44 8 10 20 6 10 1 10 20 2 1. 8 55 ( 2543) 2522 41

1| 51 38 2. 8 55 ( 2543) 2522 44 3. 2 8 1 1.2 2 4. x 10 x 20 55 ( 2543) 41 2522 5. x 10 x 20 55 ( 2543) 2522 44 6. x 10 x 20 45 1.2 2

1| 51 39 : 1. 55 ( 2543) 8 (1) 2522 41 6 4 6 2. 2 8 2522 44 1 8 2543) 55 (

1| 51 40 2 + 8 = 10 2 10 20 3. ABC tan BC 20 2 1.2 1.68 AB 10 59.24o 59.24

1| 51 41 4. x 10 x 20 55 ( 2543) 1 10 41 (2) 2522 x 1 10 x 10 5. x 10 x 20 4 55 ( 2543) 2522 44

1| 51 42 x x x 11x 10 10 2 11x 2.2x 10 6.

1| 51 43 ABC tan BC 2.2x 2 1.2 2 32 AB 1.1x 11x arctan 2 32 11x arctan 2 32 11x

1| 51 44 : 50 / / 1. “ ” 2. 3–4 1. 2522 55 ( 2. 41 44 2543) 3. 1–3 4. 1–3 5. 4–6 x 10 x 20 4–6 6.

1| 45 51 1.4 51 1 1.1 1 – 10 1.2 1 – 10 1.3 1 – 11, 13 1.3 12, 14 – 15 1.4 1–2 1.5 1–7 1.6 1–3 1.6 4 1.7.1 1–3 1.7.2 1–3 1.8 1–7 1.9 1 – 11

1| 51 51 46 1 1.5 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 51 11 5 1. 1 1) – 8) 2 1) – 6) 3 4 5 6 1) – 4)

1| 47 51 2. 12 1) – 2) 13 1) – 6) 3. 14 1) – 16) 15 16 17 18 4. 20 1) – 12) 23 1) – 4) 5. 19 1) – 14) 24 1) – 16) 25 1) – 2) 6. 26 1) – 8) 27 1) – 4) 28 1) – 2) 7. 29 1) – 6) 30 31 34 35 36 38 44

1| 51 48 9 10 8. 11 33 37 39 1) 40 1) – 4) 41 1) – 2) 42 43 1) – 3) 45 1) – 3) 7 8 12 3) – 8) 21 22 25 3) – 4) 32 39 2)

1| 51 49 1.6 (Fundamental identities) 1. sin =1 cosec 0 cosec sec 0 2. cos 0 3. cos = 1 4. sec 5. tan = sin 1 cot 0 cos cot (Pythagorean identities) sin2 cos2 =1 1 tan2 = sec2 1 cot2 = cosec2 (Negative angle identities) sin = sin cos = cos tan = tan (Cofunction identities) sin = cos 2 cos = sin 2 tan 2 = cot sin (Sum and difference identities) cos = sin cos cos sin tan = cos cos sin sin = tan tan 1 tan tan