แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ม5 เล่ม 1

แบบฝกหดั รายวช� าเพ่มิ เตมิ ม.5 เลม่ 1 คณิตศาสตร์ ตามผลการเร�ยนรู กลมุ สาระการเรย� นรูค ณติ ศาสตร (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กนกวลี อุษณกรกลุ จน� ดา อยเู ปน สุข รณชัย มาเจรญ� ทรพั ย วฒุ ชิ ัย ศรว� สุธากลุ





ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวส่วนโค้งกับพิกัดของจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วย ที่ยาว θ หนว่ ย เม่ือ θ เป็นจำ� นวนจริงใด ๆ θ เปน็ จ�ำนวนจริงทอ่ี ย่ใู นควอดรนั ตท์ ี่ 2 Y θ เปน็ จ�ำนวนจริงทีอ่ ยูใ่ นควอดรนั ตท์ ่ี 1 (- 12,  23 ) (0, 1) (21, 23) π2 (-  22 ,  22 ) 34π 23π π3 π4 ( 22, 22) (- 23, 21) 56π π6 ( 23, 12) (-1, 0) π 20π (1, 0) X (- (23- , 2-2 21, -) (2-2 712)6π, - 5243π) 43π 32π 53π(217, 4-π 1216(3π)22 ( 23, - 12) θ เป็นจ�ำนวนจรงิ ท่ีอยใู่ นควอดรันตท์ ่ี 3 (0, , - 22) -1) θ เปน็ จ�ำนวนจรงิ ทอ่ี ยใู่ นควอดรันตท์ ี่ 4 Exercise 1.1 1. เขยี นพิกัดของจุดปลายสว่ นโค้งบนวงกลมหนึง่ หน่วย เม่ือกำ� หนดค่า θ ตอ่ ไปน้ี 1) θ = 0 7) = 9............................................................... θ π ............................................................... E x e r c i s e 1.1 2) θ = 32π ............................................................... 8) θ = 192π ............................................................... 3) θ = 292π ............................................................... 9) θ = 512π ............................................................... 4) θ = 61π 10) = 998............................................................... θ π ............................................................... 11) = 332 ............................................................... 5) θ = 4π θ π ............................................................... 6) = 158 12) = 79θ π ............................................................... θ π ............................................................... 3

13) = 782 22) = - 8427θ π .................................................................. θ π .................................................................. 14) = 992 23) = - 152θ π .................................................................. θ π .................................................................. 15) = 532 24) = 5,543θ π .................................................................. θ π .................................................................. 16) θ = 972π 25) = 7026.................................................................. θ π .................................................................. 17) = - 4726 26) = - 372θ π .................................................................. θ π .................................................................. 18) = - 92 27) = - 232θ π .................................................................. θ π .................................................................. 19) = 1,011 28) = 1527θ π .................................................................. θ π .................................................................. 20) = - 2226 29) = 8525θ π .................................................................. θ π .................................................................. 21) = 1925 30) = 1,0254θ π .................................................................. θ π .................................................................. 2. เขยี นพิกดั ของจุดปลายสว่ นโคง้ บนวงกลมหนึง่ หนว่ ย ให้สอดคล้องกับคา่ θ ทกี่ ำ� หนดให ้ ต่อไปนี้ 1) = 3 θ π ................................................... 7) = 154θ π ................................................... 8) = - 56θ π ................................................... E x e r c i s e 1.1 2) = 53 θ π ................................................... 9) = - 74 θ π ................................................... 10) = - 83θ π ................................................... 3) = 116θ π ................................................... 11) = 103θ π ................................................... 12) = - 176θ π .................................................... 4) = 43θ π ................................................... 5) = 114 θ π ................................................... 6) = 136θ π ................................................... 4

1.2 คา่ ของฟงั กช์ นั ไซนแ์ ละฟงั กช์ นั โคไซน์ 1. ฟงั กช์ นั ไซนแ์ ละฟงั ก์ชันโคไซน์ (Sine function and Cosine function) ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ คอื เซตของคอู่ นั ดบั ระหวา่ งความยาวของสว่ นโคง้ วงกลมหนง่ึ หนว่ ย กบั พิกดั ของจดุ ปลายส่วนโคง้ นั้น ก�ำหนดให้ (x, y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว θ หน่วย ท่ีวัดจากจุด (1, 0) ไปตามแนวเส้นรอบวง ของวงกลม 1 หน่วย ฟังก์ชันไซน์ (sine) คือ เซตของคู่อันดับ (θ, y) ฟังก์ชันโคไซน์ (cosine) คือ เซตของคู่อันดับ (θ, x) จากบทนิยาม จะไดว้ า่ y = sin θ และ x = cos θ 2. คา่ ของฟังกช์ ันไซน์และฟังกช์ นั โคไซน์ y เมอื่ พจิ ารณาจดุ ปลายส่วนโคง้ ท่ยี าว θ หน่วย (θ > 0) คือ (x, y) จดุ ปลายสว่ นโคง้ ท่ียาว -θ หนว่ ย (x, y) คอื (x, -y) ท�ำใหไ้ ดข้ อ้ สรปุ วา่ x cos θ = x และ cos (-θ) = x (x, -y) sin θ = y และ sin (-θ) = -y 3. คา่ ของฟังกช์ นั ไซน์และฟงั กช์ นั โคไซนข์ องจ�ำนวนจริงใด ๆ ถา้ θ อยใู่ นควอดรนั ต์ที่ 2, 3, 4 หรือ θ > 2nπ + α เมื่อ n เป็นจ�ำนวนเต็มบวก และ 0 ≤ α < 2π และใชส้ มบตั ิสมมาตรตามแกน X แกน Y และจุดก�ำเนิดของวงกลมหน่ึงหนว่ ยที่มี สมการ x2 + y2 = 1 ท�ำให้ฟังกช์ ันไซนแ์ ละโคไซนข์ องจ�ำนวนจริง θ ดังกล่าว จะมีความสมั พนั ธ์ กับ sin α และ cos α ดังนี้ Y sin (π - α) = sin α sin (2nπ + α) = sin α cos (π - α) = -cos α cos (2nπ + α) = cos α sin (π + α) = -sin α sin (2π - α) = -sin α X cos (π + α) = -cos α cos (2π - α) = cos α 5

Exercise 1.2 1. หาค่าของ sin θ และ cos θ ของจ�ำนวนจรงิ θ ทกี่ ำ� หนดให้ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 1) 101π 9) 56π .................................................................................................... ................................................................................................ .................................................................................................... ................................................................................................ 2) -8π 10) 76π .................................................................................................... ................................................................................................ .................................................................................................... ................................................................................................ 3) -19π 11) 176π .................................................................................................... ................................................................................................ .................................................................................................... ................................................................................................ 4) 72π 12) 236π .................................................................................................... ................................................................................................ .................................................................................................... ................................................................................................ 5) 13π + π2 13) π4 ...................................................................................................... ................................................................................................ ...................................................................................................... ................................................................................................ 6) 9π - π2 14) 54π ...................................................................................................... ................................................................................................ E x e r c i s e 1.2 ...................................................................................................... ................................................................................................ 7) 212π 15) 74π ...................................................................................................... ................................................................................................ ...................................................................................................... ................................................................................................ 8) - 312π 16) 194π ...................................................................................................... ................................................................................................ ...................................................................................................... ................................................................................................ 6

2. หาคา่ ของ sin θ และ cos θ ของจ�ำนวนจรงิ θ ทกี่ ำ� หนดให้ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี 1) -2π - π6 5) π + 34π ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 2) 2π - 56π 6) - 43π ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 3) - 54π 7) - 73π ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 4) - 154π 8) -π - π3 ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 3. เขียนค่าของฟงั ก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ของจำ� นวนจรงิ ในแตล่ ะข้อ ใหอ้ ยู่ในรูปของ ฟังกช์ นั ไซน์และฟงั ก์ชนั โคไซน์ของจำ� นวนจรงิ ทม่ี คี ่าตงั้ แต่ 0 ถึง π2 1) 58π 5) 91π0 ...................................................................................... ....................................................................................................... ...................................................................................... ....................................................................................................... 2) 79π 6) 83π E x e r c i s e 1.2 ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 3) 118π 7) - 167π ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 4) 1165π 8) - 175π ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 7

4. หาจำ� นวนจรงิ θ ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี มา 5 จำ� นวน 6) cos θ = 22 1) sin θ = 1 ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 2) cos θ = 1 7) sin θ = 23 ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 3) sin θ = 0 8) cos θ = - 21 ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 4) cos θ = 0 9) sin θ = - 22 ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 5) sin θ = 12 10) cos θ = -1 ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ 5. ก�ำหนด sin2 θ - cos2 θ = 21 เม่อื π ≤ θ ≤ 32π หาคา่ ของ sin θ ......................................................................................................................................................................................................................................... E x e r c i s e 1.2 ......................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................... HINT ......................................................................................................................................................................................................................................... จาก sin   + cos   = 1 ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2........θ................................................2........θ................................ 8