1404-Diff1

เอกสารประกอบการเรียน 2 2หน่วยการเรยี นรู้ที่ อนพุ นั ธ์ (DERIVERTIVE) ผูส้ อน ครจู ติ รเมธี สายสมุ่

2 2หน่วยการเรียนรทู้ ี่ อนพุ นั ธ์ (Derivative) หัวขอ้ เรอ่ื ง 1. ความหมายของอนุพันธ์ 2. การหาอนพุ ันธ์โดยกฎสี่ข้ัน 3. การหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั พีชคณิต 4. การหาอนุพนั ธ์อันดับสูง 1 แคลคลู ัส 1

จุดประสงคท์ ั่วไป 1. เพ่ือใหม้ คี วามรคู้ วามเข้าใจเร่ืองอนพุ นั ธ์ของฟงั ก์ชัน 2. เพื่อให้มคี วามรู้ความเข้าใจและมที ักษะในการคำนวณหา อนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชัน 3. เพอื่ ให้มีความรู้ความเขา้ ใจและมีทักษะในการคำนวณหา อนุพันธอ์ ันดับสูง 4. เพ่อื ให้มคี วามร้คู วามเขา้ ใจและมีเจตคติที่ดที ่ีจะนำความรู้ เรือ่ งอนพุ นั ธ์ไปใชใ้ นวิชาชีพและเป็นพ้ืนฐานในการศกึ ษา แคลคูลสั ชนั้ สูงตอ่ ไป จดุ ประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม เมือ่ ศึกษาหนว่ ยน้แี ล้วนกั ศกึ ษาสามารถ 1. อธิบายความหมายของอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ได้ 2. แสดงวิธกี ารหาอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั ดว้ ยกฎส่ขี ้นั ได้ 3. บอกสูตรสำหรับคำนวณหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชันพชี คณติ ได้ 4. คำนวณหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั พีชคณิตได้ 5. คำนวณหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ันอนั ดับสูงได้ 6. นำความรเู้ ร่อื งอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันไปใชแ้ กโ้ จทยป์ ญั หาได้ แคลคูลสั 1 2

2.1 ความหมายของอนพุ ันธ์ (Derivative) 2.1.1 ส่วนเพมิ่ (Increment) ให้ y = f (x)เปน็ ฟังกช์ ันใด ๆ โดยที่ x เปน็ ตัวแปรตน้ และ y เป็น ตัวแปรตาม ถา้ x เปลยี่ นแปลงจาก x1 ถงึ x2 แล้วทำให้ y เปลีย่ นแปลงจาก y1 = f (x1) ถึง y2 = f (x2) ดงั รูป 2.1 จะเรยี กการเปลีย่ นแปลงของ x และ y วา่ “ส่วนเพิ่มของตัวแปร x และส่วนเพิ่มของตัวแปร y ” ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ x ( delta x ) และ ( )y delta y ตามลำดบั จากรูป 2.1 y ให้ y = f (x) y=f(x) จะได้ x = x2 − x1 (x2 ,f(x 2 )) y หรอื x2 = x1 − x =y y2 − y1 (x1 ,f(x 1 )) x = f (x2 ) − f (x1)  y = f (x1 + x) − f (x1) 0 x 1 x2 x หรือ f = f (x1 + x) − f (x1) รปู 2.1 แสดงสว่ นเพ่ิมของตัวแปร x และ y เรียก f ว่า “สว่ นเพิ่มของฟงั กช์ นั ”f (x) 3 แคลคลู สั 1

ตัวอยา่ ง 2.1 ให้ =f (x) x2 +1 ถา้ x1 = 1 และ x2 = 2 จงหาสว่ นเพิ่ม ของฟังกช์ นั f (x) วธิ ที ำ จาก x = x2 − x1 = 2−1  x =1 จาก f = f (x1 + x) − f (x1) = f (1+1) − f (1) = f (2) − f (1) = ( + )− ( + ) = − =3 ส่วนเพม่ิ ของฟังก์ชัน f (x) =3 ตอบ 2.1.2 อัตราการเปลีย่ นแปลงเฉล่ีย (Average Rates of Change) ให้ y = f (x) เปน็ ฟงั กช์ ันใด ๆ ซึ่งเขยี นกราฟไดด้ งั รูป 2.2 รูป 2.2 แสดงกราฟของฟงั กช์ ัน y = f (x) แคลคูลสั 1 4

จากรปู 2.2 จะได้ y1 = f (x1) …………  …………  =y2 f (x2 ) (2) - (1) ; y2 − y1 = -f (x2 ) f (x1) y = -f (x1 + x) f (x1) ………… (3)  x ; y = f (x1 + x)− f (x1 ) x x = f (x1 + x)− f (x1 ) หรอื y ………… x x จะเรียก y จากสมการ  ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (Average x Rate of Change) ของฟงั กช์ นั ตวั อย่าง 2.2 ให้ =f (x) x2 +1 จงหาอัตราการเปลีย่ นแปลงเฉล่ียของฟังก์ชนั f (x) เมื่อ x มีค่าระหว่าง 1 ถึง 2 วิธที ำ จาก x = x2 − x1 = 2−1 =1 จาก f = f (x1 + x) − f (x1) = f (1+1) − f (1) = f (2) − f (1) = (22 +1) − (12 +1) = 5−2 =3 อัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี = f x = 13 =3 ตอบ 5 แคลคลู ัส 1

2.1.3 อตั ราการเปลย่ี นแปลงบดั ดล(Instantaneous Rate of Change) จากสมการ  จะได้ y = f (x1 + x)− f (x1 ) x x ถา้ ตวั แปร x มีการเปลย่ี นแปลงทลี ะน้อยท่ีสดุ จนทำให้ x มคี า่ เข้าใกล้ 0 จะได้ lim y = lim f (x + x) − f (x) x→0 x x→0 x ถ้าลิมิตหาค่าได้ จะเรียก lim y ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงบัดดล x→0 x (Instantaneous Rate of Change) ของฟงั ก์ชนั ตัวอยา่ ง 2.3 ให้ y = x2 −5 จงหาอัตราการเปลีย่ นแปลงบดั ดลของ y เทยี บกับ x วิธที ำ อตั ราการเปลี่ยนแปลงบัดดลของ y = lim y x→0 x = lim f (x + x) − f (x) x→0 x = ( )(x + x)2 − 5 − x2 − 5 lim x→0 x = lim x2 + 2xx + (x)2 − 5 − x2 + 5 x→0 x = 2xx + (x)2 lim x→0 x = lim x(2x + x) x→0 x = lim 2x + x x→0 อัตราการเปลยี่ นแปลงบดั ดลของ y เทยี บกบั x = 2x ตอบ แคลคูลสั 1 6

2.2 การหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั (Differentiation of Functions) 2.2.1 การหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั โดยกฎสีข่ น้ั (Four Steps Rule) จากบทนิยามของอนุพันธ์จะได้ dy = lim f (x + x) − f (x) กระบวนการ dx x→0 x คำนวณหา dy จะมี 4 ขั้นตอนซึ่งเรียกว่า กฎสี่ขั้น (Four Steps Rule) dx ดงั น้ี …………………. กำหนดให้ y = f (x) ข้ันท่ี 1 หาค่า f (x + x) โดยแทนคา่ x ดว้ ย(x + x) ในสมการจะไดส้ มการ  ข้นั ท่ี 2 หาค่า –f (x + x) f (x) โดยนำ–  จะได้สมการ  ขัน้ ท่ี 3 หาค่า f (x + x)− f (x) โดยนำ x หารสมการ  x ทงั้ สองขา้ ง จะได้สมการ  ขั้นท่ี 4 หาคา่ dy โดยหาค่า lim f (x + x) − f (x) จากสมการ  dx x→0 x 7 แคลคลู สั 1

ตัวอยา่ ง 2.4 ให้ f (x) = 3x2 +1 จงหาอนพุ นั ธโ์ ดยกฎสี่ขน้ั วิธที ำ ขน้ั ท่ี 1 จาก f (x) = 3x2 +1 …………………. หาค่า f (x + x) โดยแทนค่า x ด้วย ใน(x + x)   =f (x + x) 3(x + x)2 +1 = (x + xx + (x) ) + = x + xx + (x) +…………………. ขน้ั ที่ 2 หาคา่ –f (x + x) f (x) โดยนำ  –  จะได้ –f (x + x) f (x) = (x + xx + (x) + ) − (x + ) = 3x2 + 6xx + 3(x)2 +1− 3x2 −1  – =f (x + x) f (x) 6xx + 3(x)2 …………..…..…. ขั้นท่ี 3 หาค่า f (x + x) − f (x) โดยนำ x หารตลอดทั้งสองข้าง x ของสมการ  จะได้ f (x + x) − f (x) = 6xx + 3(x)2 x x = x(6x + 3x) x …………..…..…. = 6x + 3x ข้นั ที่ 4 หาคา่ dy โดยการหาคา่ lim f (x + x)− f (x)จากสมการ  จะได้ dx x→0 x =dy f (x + x) − f (x) dx lim x x→0 = lim(6x + 3x) x→0 = 6x ตอบ แคลคูลสั 1 8

ตัวอยา่ ง 2.5 ให้ f (x) = x2 + 4x + 2 จงหาอนพุ ันธข์ อง f (x) เมื่อ x = 4 ดว้ ยกฎส่ีข้ัน วธิ ที ำ จาก f (x) = x2 + 4x + 2 …………………. ขน้ั ที่ 1 หาค่า f (x + x)โดยแทนค่า x ดว้ ย ใน(x + x)  จะได้  =f (x + x) (x + x) + (x + x) +  = ………………….x + xx + (x) + x + x +  ข้ันท่ี 2 หาคา่ f (x + x)– f (x) โดยนำ  –  จะได้ – = ( )f (x + x) f (x) x2 + 2xx + (x)2 + 4x + 4x + 2 − x2 + 4x + 2 = x + xx + (x) + x + x +  − x − x −   – =f (x + x) f (x) 2xx + (x)2 + 4x …………………. ขน้ั ที่ 3 หาค่า f (x + x) − f (x) โดยนำ x หารตลอดท้งั สองข้างของสมการ  x จะได้ f (x + x) − f (x) = 2xx + (x)2 + 4x = x = x x(2x + x + 4) …………………. x 2x + x + 4 ขัน้ ท่ี 4 หาคา่ dy โดยการหาคา่ lim f (x + x)− f (x)จากสมการ  จะได้ dx x→0 x = ( )dy dx lim 2x + x + 4 x→0 = 2x + 4  dy = 2 (4) + 4 = 12 ตอบ dx x= 9 แคลคลู ัส 1

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 2.1 จดุ ประสงค์ นกั ศึกษาสามารถหาอนพุ นั ธด์ ้วยกฎสีข่ ั้นได้ จงหาอนพุ ันธ์ของฟังกช์ ันต่อไปนดี้ ว้ ยกฎสขี่ ัน้ 1. y =  2. y = x แคลคูลสั 1 10

3. y = x 4. y = 2x3+1 11 แคลคลู สั 1

2.2.2 การหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั พชี คณติ (Differentiation of Algebraic Functions) 1) การหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั พชี คณิตโดยสูตร การหาอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั พีชคณิตโดยกฎสีข่ ้ันจะใช้เวลาในการหา มาก จึงได้มีการสร้างสูตรเพื่อช่วยให้การหาอนุพันธ์สะดวกและรวดเร็วขึ้น สูตร ทั้งหมดนี้สามารถพิสูจน์ได้ โดยใช้กฎสี่ขั้นซึ่งนักศึกษาสามารถพิสูจน์ได้ด้วย ตนเอง ในที่น้ีจะไมแ่ สดงการพสิ จู น์ แต่จะแสดงการนำไปใช้ สูตร อนุพันธ์ของฟงั กช์ ันพชี คณติ ให้ u , v , w เป็นฟงั กช์ ันพีชคณิต และ c เป็นคา่ คงตัว 1. d (c) =0 dx 2. d (x) =1 dx 3. d (cx) =c dx d (cu) = c d (u) dx dx 4. d (xn ) = nxn−1 dx 5. d (un ) = nu n−1 d (u) dx dx 6. d (u + v − w) = d (u) + d (v) - d (w) dx dx dx dx 7. d (uv) = u d (v) + v d (u) dx dx dx 8. d  u  = 1 v d (u) − u d (v) dx  v  v2 dx dx แคลคูลสั 1 12

ตวั อยา่ ง 2.6 ให้ y = 10 จงหา dy วิธีทำ จาก dx y = 10 dy ตอบ dx =d (10) dx =0 ตัวอยา่ ง 2.7 ให้ y = x จงหา dy วิธที ำ dx จาก y = x ตอบ dy = d (x) dx dx = =  d (x) = dx ()  ตัวอย่าง 2.8 ให้ y = x จงหา dy dx วิธีทำ จาก y = x = ตอบ dy d (x  ) dx = dx = d (x  ) = dx (x  − ) x 13 แคลคลู สั 1

ตัวอย่าง 2.9 ให้ y = x + 4 จงหา dy วธิ ที ำ dx จาก y จะได้ dy = x+4 dx =d (x + 4) dx = d (x) + d (4) dx dx = 1+0 =1 ตอบ ตัวอยา่ ง 2.10 ให้ y = 9x3 −8x2 + 5x + 4 จงหาอนุพนั ธ์ของ y วิธที ำ จาก y = 9x3 − 8x2 + 5x + 4 จะได้ dy dx = ( )d dx ตวั อย่าง 2.11 ให้ y 9x3 − 8x2 + 5x + 4 วธิ ที ำ dy = (4)d d d d dx dx dx dx dx (9x3 ) − (8x2 ) + (5x) + = 9 8 5 0d (x3) − d (x2 ) + d (x) + dx dx dx = 9(3x3−1) − 8(2x2−1) + 5(1) = 27x2 −16x + 5 ตอบ = (1− 5x)6 จงหา dy dx )6 = d (1 − 5x dx = 6(1 − 5x)6−1 d (1 − 5x) dx = 6(1− 5x)6−1(−5) = − 30(1− 5x)6−1 ตอบ แคลคูลสั 1 14

ตวั อย่าง 2.12 ให้ y = (x2 + 4)(2x3 −1) จงหาอนพุ นั ธ์ของ y วิธีทำ จาก y = (x2 + 4)(2x3 −1) จะได้ dy dx =d (x2 + 4)(2x3 −1) dx = +(x2 d (2x3 d (x2 + 4) dx (2x3 −1) −1) dx + 4) = ( ) +(x2 d d (1) (2x3 d (x2 d (4) + 4)  dx 2x3 − dx −1)  dx ) + dx = +(x2 + 4) (6x2 ) (2x3 −1) (2x) = 6x4 + 24x2 + 4x4 − 2x = 10x4 + 24x2 − 2x ตอบ ตวั อยา่ ง 2.13 ให้ y = 3− 2x จงหา dy วิธีทำ dy 3+ 2x dx dx =d  3− 2x  dx  3+ 2x  =1 (3 + 2x) d (3 − 2x) − (3 − 2x) d (3 + 2x) dx dx (3 + 2x)2 =1 (3 + 2x)(− 2)− (3 − 2x)(2) (3 + 2x)2 =1 − 6 − 4x − 6 + 4x (3 + 2x)2 = −12 ตอบ (3 + 2x)2 15 แคลคลู ัส 1

ตวั อยา่ ง 2.14 ให้ y = +  −  จงหา dy วธิ ที ำ dy x x x dx dx =d   +  −   dx  x x x  = ( )d dx x − + x − − x − =d (x − ) + d (x − ) − d (x − ) dx dx dx = (−x −− ) + (−x −− ) − (−x −− ) = − x− − x− + x− =−  −  +  ตอบ x x x ตวั อยา่ ง 2.15 ให้ y =  จงหา dy วิธที ำ dy x  + x  dx dx =d  +  dx (x  x  ) =d  x   + d  x   dx    dx        =   x  −  +   x  −            =  x −  +  x           =  ตอบ  + x  x แคลคูลสั 1 16

ตวั อยา่ ง 2.16 ให้ y = x  − x + x จงหา dy วิธที ำ dy x dx dx =d  x − x + x  dx x =d (x − x  + ) dx =d (x) − d (x  ) + d () dx dx dx =  − (x − ) +  = − x ตอบ ตวั อย่าง 2.17 ให้ y = 33 x 2 − 1 จงหา dy 5x dx วิธที ำ dy = d  33 x2 − 1  dx dx 5x  dy = d  3x 2 − −1  dx dx  3  x2   5 = d  3x 2  − d  x −1  dx 3 dx  2    5 = 3d  3x 2  − 1 d  x −1  = dx 3 5 dx 2 3  2 x 2 −1  − 1  −1 x −21−1  3 3 5 2 −1 −3 = 2x 3 + x2 = 25 21 1+ x3 2 5 x 3  2  dy = 21 ตอบ dx + 3 x 2 5x3 17 แคลคลู สั 1

ตัวอย่าง 2.18 ให้ y = จงหา3 + 4x − x2 dy วธิ ีทำ dy dx = dy dx (3 + 4x 1 dx ตวั อยา่ ง 2.19 ให้ y )− x2 2 วิธีทำ dy = ( ) ( )1 1 −1 d dx 2 3 + 4x − x2 2 3 + 4x − x2 dx = ( )1 − 1 3 + 4x − x2 2 (4 − 2x ) 2 = (4 − 2x ) ตอบ 1 ( )3 3 + 4x − x2 2 = จงหา3 3 + 4x − x2 dy dx ( )dy dx =   + x − x  = ( ) ( )  − d   dx  + x − x  + x − x = ( )1 −2 3 + 4x − x2 3 (4 − 2x ) 3 = (4 − 2x) ( )2 ตอบ 3 3 + 4x − x2 3 แคลคูลสั 1 18

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ่ี 2.2 จดุ ประสงค์ นกั ศึกษาสามารถหาอนุพนั ธ์ด้วยสูตรได้ จงหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ันต่อไปนด้ี ว้ ยสตู ร 1. y =5 2. =y x 3. y = 3x 19 แคลคลู สั 1

4. =y x 5. y = 3x5 6. y = 4x −3 แคลคูลสั 1 20

7. =y x − x +  8. =y x5 + 5x4 −10x2 + 6 9. =y 1 + 3 + 2 x x2 x3 21 แคลคลู ัส 1

10. = 1 1 3 y 2x2 + 6x3 − 2x2 11. = 2x5 − 4x3 + 2x y x3 12. y= 26 + x 3x แคลคูลสั 1 22

13. y= (1− 5x)6 14. =y (3x − x2 +1)4 15. y= ( )  + x − x  23 แคลคลู สั 1

16. y= 3− 2x2 17. y= x + x −  18. =f (x)  x + x −  แคลคูลสั 1 24

19. =f (x) (x2 + 3)(2x3 − 5) 20. =f (x) (x −)(x +) 21. =f (x) (x + )( + x ) 25 แคลคลู ัส 1

22. f (x) = 3x 2x + 1 23. =f (x) 3x + 2 2x + 3 24. =  − x f (x) x + แคลคูลสั 1 26

2) การหาอนุพันธ์ของฟังกช์ ันพีชคณิตโดยกฎลูกโซ่(Chain Rule) กฎลกู โซ่ (Chain Rule) ถ้า y = f (u) และ u = g(x) แล้ว อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x จะแทนด้วยสญั ลักษณ์ dy โดยท่ี dx dy = dy  du du dx dx พิสูจน์ จากนยิ ามของอนุพนั ธจ์ ะได้ =dy lxim→ f (u + u) − f (u) dx x  = lim  f (u + u) − f (u)y  u  x→0  x  u = lim  f (u + u) − f (u)  lim u x→0 u x→0 x = lim y  lim u ……….  x→0 u x→0 x จาก =u g(x) =u g(x + x) − g(x) ……….  เนือ่ งจากฟังก์ชนั g(x)หาอนุพันธ์ได้ที่ xดงั นน้ั g(x)เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเนือ่ งที่ x จะได้ =lim g(x + x) g(x) ..……... x→0 จาก  และ ถ้า x → 0 แล้วจะได้ u → 0 แทนค่า x → 0ด้วย u → 0ลงใน  จะได้ y u =dy luim→0 u  lxim→0 x dx  dy = dy  du dx du dx 27 แคลคลู สั 1

ตัวอย่าง 2.20 ให้ y = un และ u = f (x) ( )d un จงแสดงว่า = nun−1 du ตอบ dx dx วิธที ำ จากกฎลกู โซ่ dy = dy  du dx du dx dy = dx d(u n )  du du dx dy = nu n−1  du  du du dx dx  d (un ) = nun−1 du dx dx ตวั อย่าง 2.21 ให้ y = u และ u = x − จงหา dy dx วธิ ีทำ จากกฎลูกโซ่ dy = dy  du dx du dx =d (u) d (x − ) du dx = d (u)  d (x  ) − d () du dx dx = (x)  dy = x ตอบ dx ตวั อยา่ ง 2.22 ให้ = ,y u − u u = v + v และ v = x จงหา dy dx วิธีทำ จากกฎลูกโซ่ dy = dy  du  dv dx du dv dx = ( )d u  − u  d (v + v)  d (x ) du dv dx = (u − )  (v + )  (x )  =dy (((x ) + (x )) − )  ((x ) + )  (x  ) dx ตอบ แคลคูลสั 1 28

ตวั อย่าง 2.23 ให้ y = 4 − t2 และ t = 1− x จงหา dy วธิ ที ำ จาก dy = dx = dx = dy  dt กฎลกู โซ่ = dt dx ( )d 1 d (1− x) 4−t2 2  dt dx ( )1 1  (−1) 4−t2 2 2 −1 ( )1 2 4−t2 2 แทนค่า t ด้วย 1− x จะได้ −1 dy = ( )1 dx 2 4 − (1 − x)2 2 = −1 = ( ( ))1  dy = dx = 2 4 − 1− 2x + x2 2 −1 ตอบ ( )1 2 4 −1+ 2x − x2 2 −1 ( )1 2 3 + 2x − x2 2 −1 2 3+ 2x − x2 29 แคลคลู ัส 1

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 2.3 จดุ ประสงค์ นักศึกษาสามารถหาอนุพันธ์ด้วยกฎลูกโซไ่ ด้ จงหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ ันต่อไปน้ีด้วยกฎลกู โซ่ 1. y = , =u3 + 4 u x2 + 2 2. y = , =t 2 t x −1 แคลคูลสั 1 30

3. y = , =3t +1 t x2 4. y = ,u +1 u = x 5. y = u, =u − x u + 31 แคลคลู สั 1

6. y x= , =x − x +  t + 7. x = ,y2 + 2y y = t − t จงหาอนพุ ันธข์ อง x เมอื่ t =  แคลคูลสั 1 32

3) การหาอนุพันธ์โดยปรยิ าย (Implicit Differentiation) ฟังก์ชันที่ผ่านมาทั้งหมดจะอยู่ในรปู y = f (x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันชัดแจ้ง (Explicit Function) แต่ในบางครั้งฟังก์ชันอาจจะอยู่ในรูป f (x, y) = 0 ซึ่ง เรยี กวา่ ฟงั ก์ชนั โดยปรยิ าย (Implicit Function) เช่น x2 y + xy2 =0 4x2 − 9y2 − 36 =0 xy + x − 2y −1 =0 x2 + xy + y2 =0 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย ให้ศึกษาจากตัวอย่าง ตอ่ ไปน้ี ตวั อย่าง 2.24 ให้ xy + x −2y −1 = 0 จงหา dy = dx = d (0) วธิ ีทำ d ( xy + x − 2 y −1 ) = dx = dx = d (xy) + d (x) − d (2 y) − d (1) = 0 dx dx dx dx 0 = 0 x dy + y dx + 1 − 2 dy dx dx dx x dy + y(1) + 1− 2 dy dx dx (x − 2) dy − y −1 dx dy − (y + ) − dx (x ) − (y + 1) − (2 − x)  dy = y + ตอบ dx −x 33 แคลคลู ัส 1

ตวั อยา่ ง 2.25 ให้ 4x2 + 9y2 − 36 =0 จงหา dy วิธีทำ dx ( )d = d (0) dx 4x2 + 9y2 − 36 dx (8x +18y) dy =0 dx 18y dy = −8x dx dy = −8x 18y dx = − 4x 9y ตอบ ตัวอย่าง 2.26 ให้ x2 + y2 =  จงหา dy dx วิธีทำ จาก x2 + y2 =  ( )d =d () dx dx x2 + y2 x + y dy =0 dx dy y dx = − x dy =− 2x 2y dx dy =− x ตอบ  dx y แคลคูลสั 1 34

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 2.4 จุดประสงค์ นักศกึ ษาสามารถหาอนพุ นั ธโ์ ดยปรยิ ายได้ จงหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั โดยปริยายตอ่ ไปนี้ 1. x2 + y2 = 2x 2. =x − y 7 35 แคลคลู สั 1

3. x2 + 2xy − y2 = 3 4. = 5x − xy + y 5. x2 + 3x + y = 6xy2 แคลคูลสั 1 36

2.3 อนพุ ันธ์อนั ดบั สูง (Higher - Order Derivatives) ถ้า y = f (x)เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จะเรียกอนุพันธ์นี้ว่าอนุพันธ์อันดับท่ี หน่งึ (First Derivative) ของฟังก์ชัน y ถ้า อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จะเรียกอนุพันธ์นี้ว่า อนุพันธอ์ นั ดบั ที่สอง (Second Derivative) ของฟงั กช์ นั y ในทำนองเดียวกัน ถ้าอนุพันธ์อันดับที่สองเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธ์นี้ว่า อนุพันธ์อันดับที่สาม (Third Derivative) ของฟังก์ชัน y และถ้านำอนุพนั ธ์ที่สามไปหาอนพุ ันธต์ อ่ ไปอีกก็จะได้อนุพนั ธอ์ ันดับสูงขน้ึ เรอ่ื ย ๆ ดงั นี้ ให้ y = f (x) ดงั นน้ั y =d f (x) dx =y d d f (x) = d2 dx  dx f (x) dx2 d  d2 d3 = =y dx3 dx  dx2 f (x) f (x)     y = =(n) d  d (n−1) f (x) dn f (x)   dxn dx  dx(n−1) 37 แคลคลู สั 1

ตารางต่อไปน้ีจะแสดงสญั ลกั ษณอ์ นุพันธอ์ ันดบั ตา่ ง ๆ เม่ือ =y f (x) อนุพนั ธ์ที่ สัญลักษณ์ 1 2 y f (x) dy d f (x) 3 f (x) dx 4 y f (x) dx f 4 (x) d2y d2 f (x) y dx2 dx2 d3y y(4) dx3 d3 f (x) d4y dx3 dx4 d4 f (x) dx4     ( )n dny dn f x y (n) f (n) (x) dxn dxn ขอ้ สงั เกต สัญลกั ษณ์ทแ่ี สดงอนุพันธอ์ ันดบั สูงตัง้ แตอ่ นั ดับ 4 เปน็ ต้นไป จะใช้ตัวเลขอยูใ่ นวงเล็บ ตัวอยา่ ง 2.27 ให้ f (x) = x4 + 2x3 + 4x + 5 จงหา f (4) (x) วธิ ที ำ จาก f (x) = x4 + 2x3 + 4x + 5 ตอบ 4x3 − 6x2 + 4 จะได้ f (x) = 12x2 −12x =f (x) =f (x) 24x −12 =f (4) (x) 24 แคลคูลสั 1 38

ตัวอย่าง 2.28 ให้ y = x + 2 จงหา y วธิ ที ำ จาก y = = x+2 หรือ y = (x + )1  y 22 d (x + )1 dx 22 = 1 (x + 2) −1 d (x + 2) 2 2 dx = 1 (x + 2) −1 2 2 =y d  1 (x + 2) −1  dx  2 2  = 1  −1 (x + )−3 d (x + 2) 2  2 dx 22 = −1 (x + )−3 4 22 =y  d  −1 (x + )−3  dx  4  22 = −1  −3 (x + )−5 d (x + 2) 4  2 dx 22 = 3 (x + )−5 8 22 = 3 8(x + )5 22 = 3 ตอบ 8 (x + 2)5 39 แคลคลู ัส 1

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ่ี 2.5 จดุ ประสงค์ นักศึกษาสามารถหาอนพุ ันธ์อันดบั สูงได้ จงหาอนุพนั ธ์อนั ดับสูงของฟงั กช์ ันต่อไปนี้ 1. ถ้า = จงหา , , และf (x) 3x4 − 7x3 + 5x2 + 2x −1 f (x) f (x) f (x) f (4) (x) 2. ถ้า = จงหา , ,f (x) x − x + x + x − x − f (x) f (x) , และf (x) f (4) (x) f ()(x) แคลคูลสั 1 40

3. ถ้า y = x  −  จงหา y, y และ y x 4. ถา้ y = − x จงหา y และ y 41 แคลคลู สั 1

5. ถ้า y = (x − ) จงหา y , y และ y 6. ถ้า x − y = 9 , x = 5 และ y = 2 จงหา y และ y แคลคูลสั 1 42

คำช้แี จง จงเลือกคำตอบทถ่ี ูกตอ้ งที่สุดเพยี งคำตอบเดียวแล้วทำเคร่ืองหมาย ลงในกระดาษคำตอบ ให้ y = s n แล้ว dy ตรงกับข้อใด ds ก. sn−1 ข. sn+1 ค. nsn− ง. nsn+1 จ. 1 sn+1 n แนวคิด ให้ y = f (x) อนุพนั ธข์ อง y ตรงกบั ข้อใด ก. lim f (x + x)− f (x) x→0 x ข. y x ค. f (x + x)− f (x) x ง. lim y x→a x จ. lim f (x + x) − f (x) x→0 แนวคิด 43 แคลคลู สั 1

จงหาคา่ d  x  +   dx   x   ก. 3 − x2 + x3 1 ข.  − x3 x ค. −3 + x3 2x 2 2 ง. 1 + x3 x3 จ. −1 − 1 3 x2 x −3 แนวคดิ จงหาคา่ d (x  + x  − x  + ) dx ก. x4 x5 10x 3 5 3 + − ข. x  +x  − x  +  ค. x  + x  − x ง. x  +x  − x จ. x  + x  − x +  แนวคิด แคลคูลสั 1 44

จงหาค่า ( )( )d x  dx + x  + ก. x  +x  + x ข. x  + x  + x ค. x  +x  + x ง. x  +x  +  จ. x  + x  + x แนวคดิ จงหาค่า d x +  dx ก.  (x + ) −    ข.  (x + ) −   ค.   x +  ง.  x +  จ.   x +  แนวคิด 45 แคลคลู สั 1

จงหาค่า d (x − )− dx ก. −  (x −) ข.  (x −)− ค. −  (x −) ง. −  (x −)− จ. − (x −)− แนวคดิ จาก x  + y  = x จงหา dy ก. y −  dx y ข.  − x y ค.  − x  y ง. x − y  y จ.  − x y แนวคิด แคลคูลสั 1 46

ถา้ y = และ(x  − ) x = r + จงหา dy dr ก. 3r ข. 6r ค. (x +) ง. x จ. (r +) แนวคดิ ให้ = จงหาf (x) x  + x + x  − x +  f (5) (x) ก. 72 ข. 36 ค. 12 ง. 0 จ. – 2 แนวคิด 47 แคลคลู ัส 1

แคลคูลสั 1 48

49 แคลคลู สั 1