การวัดการกระจายสัมพัทธ์

7.4 การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ (Relative Variation) ในกรณีที่ต้องการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลต่างกลุ่ม (ต่างชุด) ถ้า ข้อมูลแต่ละชุดเป็นคะแนน ที่มีหน่วยวัดหน่วยเดียวกัน คะแนนเต็มเท่ากัน ขนาด เท่ากัน และค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเท่ากันก็สามารถนําค่าการกระจายมา เปรียบเทียบกันไดเ้ ลย ตัวอย่างเช่น คะแนนสอบวิชาสถิติเพื่อการวิจัยของนักศึกษา 2 ห้อง ซึ่งมีจำนวน นักศึกษาเท่ากัน สอบด้วยข้อสอบชุดเดียวกัน มีคะแนนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน ดงั น้ี หอ้ ง คา่ เฉลยี่ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน 1 60 10 2 60 12 กรณีน้สี ามารถบอกไดว้ า่ คะแนนสอบวชิ าสถติ เิ พอ่ื การวิจัยของนักศึกษาห้อง 2 มี การกระจายมากกว่าหอ้ ง 1 แต่ถ้าเป็นกรณีที่ข้อมูลแต่ละชุด เป็นคะแนนที่มีหน่วยวัดต่างกันหรือมีคะแนน เต็มไม่เท่ากันหรือขนาดไม่เท่ากัน หรือค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางไม่เท่ากัน จะไม่ สามารถนําค่าการกระจายมาเปรียบเทียบกันได้ทันที แต่ต้องคํานวณหาค่า สมั ประสทิ ธิก์ ารกระจาย (Coefficient of Dispersion) ของคะแนนแต่ละชุดแล้วจึง นําค่าสัมประสิทธิ์การกระจายนั้นมาเปรียบเทียบกัน ตัวอย่างเช่น คะแนนสอบวิชา ภาษาไทยกับคณิตศาสตร์ของนกั ศึกษาห้องหน่งึ มคี ่าดังน้ี วชิ า คะแนนเต็ม คา่ เฉลย่ี ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน ภาษาไทย 100 60 10 คณิตศาสตร์ 150 90 12 กรณีนี้ไม่สามารถบอกได้ว่าคะแนนสอบวิชาใดมีการกระจายมากกว่ากัน แม้ว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์จะมคี ่ามากกว่าก็ตาม กรณีนี้จะต้อง หาค่าสมั ประสิทธ์ิการกระจายเพื่อนาํ มาเปรียบเทยี บกนั การหาค่าสัมประสิทธิ์การกระจายมีหลายชนิด แล้วแต่ชนิดของสถิติที่ใช้วัดการ กระจายดงั ต่อไปน้ี

7.4.1 สมั ประสิทธขิ์ องพิสยั (Coefficient of Range : C.R.) จะใช้สัมประสิทธิ์ของพิสัย (Coefficient of Range : C.R.) เพื่อเปรียบเทียบการ กระจายของข้อมูลกรณีที่วัดการกระจายดว้ ยพสิ ยั โดยใชส้ ูตรดังนี้ C.R. = ������������������������−������������������������ ������������������������+������������������������ ตวั อย่าง 7.13 นักศกึ ษาปริญญาตรี 2 กลุ่ม มอี ายุดงั น้ี กลมุ่ ท่ี 1 30 34 38 28 35 27 42 35 37 39 กลมุ่ ที่ 2 28 35 24 33 44 26 33 37 40 29 จงเปรยี บเทยี บการกระจายของอายุของนักศกึ ษา 2 กลุม่ น้ี เม่อื วัดคา่ การกระจายด้วยพิสัย วธิ ที ำ จากสูตร C.R. = ������������������������−������������������������ ������������������������+������������������������ C.R.1 = 42−27 = 15 = 0.217 42+27 69 C.R.2 = 44−24 = 20 = 0.294 44+24 68 ∴ C.R.1 < C.R.2 ดังนัน้ อายขุ องนกั ศกึ ษาปริญญาโทกลุม่ ท่ี 1 มกี ารกระจายนอ้ ยกวา่ กลุ่มที่ 2 ตอบ สถติ ิเพ่ือการวิจัยเบื้องต้น 2

7.4.2 สมั ประสทิ ธ์ขิ องสว่ นเบ่ยี งเบนควอรไ์ ทล์ (Coefficient of Quartile Deviation: C.Q.) จะใช้สัมประสิทธ์ิของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Coefficient of Quartile Deviation: C.Q.) เพื่อเปรียบเทียบการกระจายของข้อมลู กรณีที่วัดการกระจายด้วยส่วน เบ่ยี งเบนควอรไ์ ทล์ โดยใช้สูตรดังนี้ C.Q. = ������3−������1 ������3+������1 ตัวอยา่ ง 7.14 จงเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมูล 2 ชุดต่อไปน้ี ขอ้ มูลชดุ ที่ 1 มธั ยฐาน ������3 ������1 ขอ้ มูลชุดที่ 2 25 40 15 30 50 10 วิธีทำ จากสูตร C.Q. = ������3−������1 = 25 = 0.45 = 0.67 ������3+������1 55 ตอบ C.Q.1 = 40−15 = 40 40+15 60 C.Q.2 = 50−10 50+10 ∴ C.Q.1 < C.Q.2 ดังน้ัน ขอ้ มลู ชดุ ที่ 1 มีการกระจายน้อยกวา่ ข้อมูลชุดท่ี 2 สถิตเิ พ่อื การวจิ ัยเบอื้ งตน้ 3

7.4.3 สัมประสทิ ธิข์ องสว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Coefficient of Average Deviation: C.A.) จะใช้สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Coefficient of Average Deviation: C.A.) เพื่อเปรียบเทียบ การกระจายของข้อมูลกรณีท่ีวัดการกระจายด้วยส่วนเบี่ยงเบน เฉลยี่ โดยใช้สตู รดังนี้ C.A. = ������.������. หรอื ������.������. ������ ������̅ ตวั อย่าง 7.15 นําวตั ถุ 2 ชนิดไปชั่งบนเครือ่ งช่งั 5 อัน ได้ผลดังตาราง จงหาสัมประสิทธ์ิ ส่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ยของวัตถุทั้งสองชนดิ น้ำหนกั (กรัม) ������̅ ������. ������. วตั ถุชนิดท่ี 1 6 7 9 8 12 8.4 1.68 วัตถุชนดิ ที่ 2 50 52 49 55 44 50 2.80 วิธีทำ จากสตู ร ������. ������. = ������.������. ������̅ ������.������.1 = 1.68 = 0.2 ������. ������.1 = ������̅1 8.4 ������. ������.2 = ������.������.2 = 2.80 = 0.056 ������̅2 50 ∴ ������. ������.1 > ������. ������.2 ดังนั้น นำ้ หนักวัตถุชนิดที่ 1 มีการกระจายมากกว่า นำ้ หนกั วตั ถชุ นดิ ท่ี 2 ตอบ สถิตเิ พ่อื การวิจยั เบ้ืองต้น 4

7.4.4 สมั ประสทิ ธขิ์ องความแปรผัน (Coefficient of Variation: C.V.) จะใช้สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน (Coefficient of Variation: C.V.) เพ่ือ เปรียบเทียบ การกระจายของข้อมูลกรณีท่ีวัดการกระจายด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดยใช้สตู รดังนี้ C.V. = ������ หรอื ������ ������ ������̅ ตวั อย่าง 7.16 จงเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมลู คะแนนสอบ 3 วชิ า ของนกั ศึกษา กลุ่มหนึง่ ซง่ึ มคี า่ ดังน้ี วิชา คะแนนเต็ม ������̅ s ภาษาไทย 100 60 10 คณิตศาสตร์ 150 90 12 วทิ ยาศาสตร์ 200 110 16 วธิ ีทำ จากสตู ร ������. ������. = ������ ������̅ ������1 = 10 = 0.17 ������. ������.1 = ������̅1 60 ������. ������.2 = ������2 = 12 = 0.13 ������̅2 90 ������. ������.3 = ������3 = 16 = 0.15 ������̅3 110 ∴ ������. ������.2 < ������. ������.3 < ������. ������.1 ดงั นัน้ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ มีการกระจายน้อยกวา่ วิชาวทิ ยาศาสตร์ คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ มีการกระจายน้อยกว่า วชิ าภาษาไทย ตอบ สถิตเิ พ่ือการวจิ ยั เบือ้ งต้น 5

7.5 ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งการแจกแจงความถ่ี ค่ากลาง และการกระจาย จากข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่ ถ้านําข้อมูลเหล่านี้มาเขียนให้เป็นเส้นโค้งของ ความถี่ จะไดเ้ ส้นโคง้ ของความถ่ี 3 ลกั ษณะดังน้ี 1. เส้นโค้งปกติ หรือเส้นโค้งรูประฆังคว่ำ (Normal Curve or Bell-Shaped Curve) 2. เสน้ โคง้ เบข้ วา หรอื เส้นโคง้ เบท้ างบวก (Positively Curve) 3. เสน้ โค้งเบซ้ า้ ย หรือเสน้ โค้งเบท้ างลบ (Negatively Curve) ลกั ษณะของโคง้ เป็นดังน้ี เส้นโค้งของความถข่ี องขอ้ มูลมีความสมั พนั ธก์ บั ค่ากลางของขอ้ มูล ดงั นี้ 1. โคง้ ปกติ จะพบวา่ คา่ เฉล่ียเลขคณิต = มธั ยฐาน = ฐานนิยม 2. เส้นโคง้ เบ้ขวา จะพบวา่ ฐานนยิ ม < มัธยฐาน < คา่ เฉลีย่ เลขคณิต 3. เส้นโค้งเบซ้ า้ ย จะพบวา่ ค่าเฉลย่ี เลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม เส้นโค้งของความถี่ที่พบเสมอๆ ไม่ว่าจะเป็นข้อมูลทางด้านประชากร เกษตร สังคม เศรษฐกิจ หรือวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่มักเป็นข้อมูลที่เกิดขึ้นหรือเป็นไปตาม ธรรมชาติ และจะมีเส้นโค้งความถี่เป็นรูปเส้นโค้งปกติ เช่น ข้อมูลเกี่ยวกับความสูง นำ้ หนัก ราคา ผลผลติ ทางการเกษตร มกั มรี ปู เป็นเส้นโคง้ ปกติ สถติ เิ พ่ือการวิจัยเบ้อื งตน้ 6

ลักษณะของเสน้ โค้งปกติ เส้นโค้งปกติมีความโด่งมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับการกระจายของข้อมูล ถ้าข้อมูลมี การกระจายมากเส้นโค้งปกติจะโด่งน้อย หรือค่อนข้างแบน แต่ถ้าข้อมูลมีการกระจาย นอ้ ย เสน้ โค้งปกติจะโดง่ มากหรือคอ่ นขา้ งสูง ดงั รูป ลกั ษณะของเสน้ โคง้ ปกติกบั การกระจายของข้อมูล ลักษณะของเส้นโค้งปกติ บทสรุป • ������1 = ������2 • ������1 > ������2 • ขอ้ มลู ชุดที่ 1 กระจายมากกว่าชดุ 2 • ������1 < ������2 • ������1 = ������2 • ข้อมลู ชดุ ท่ี 1 กระจายมากกวา่ ชุด 2 เพราะ ������1 > ������2 ������1 ������2 • ������1 < ������2 • ������1 < ������2 • ยังสรปุ ไมไ่ ด้ จนกวา่ จะทราบ ������ และ ������ ของข้อมลู ทัง้ สองชดุ สถิติเพ่อื การวจิ ยั เบือ้ งตน้ 7

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 7.2 จุดประสงค์ 1. นกั ศกึ ษาสามารถวดั การกระจายสมั พัทธข์ องข้อมลู ได้  ถา้ คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรแ์ ละวิชาสถิตขิ องนกั ศึกษาเปน็ ดังตาราง จงหาสมั ประสทิ ธข์ิ องการแปรผนั ระหว่างคะแนนวิชาสถิติ และคะแนนวชิ าคณติ ศาสตร์ คะแนนวชิ าสถติ ิ 65421 คะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ 9 6 5 3 2 วิธีทำ  บรษิ ัทผลติ หลอดไฟฟา้ แห่งหนง่ึ ผลิตหลอดไฟออกจำหน่าย 2 ชนิด ชนิดแรกอายกุ ารใช้งานเฉลยี่ 1,495 ชั่วโมง สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน 280 ช่ัวโมง ชนดิ ท่สี อง อายกุ ารใชง้ านเฉล่ยี 1,875 ช่วั โมง สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 310 ชั่วโมง จงพจิ ารณาว่าหลอดไฟชนิดใดมีการกระจายมากกวา่ กันและหลอดไฟใดคุณภาพดกี วา่ กัน วิธที ำ สถติ ิเพ่ือการวิจยั เบ้อื งตน้ 8

 ถ้าท่านเปน็ นาย ก. จะต้องตดั สนิ ใจเลอื กซ้ือห้นุ บริษทั ใดบรษิ ัทหนง่ึ จากทม่ี ใี หเ้ ลอื ก 3 บรษิ ทั ทม่ี อี ตั รา เงินปันผลดงั ตอ่ ไปน้ี ทา่ นจะตดั สนิ ใจเลอื กลงทนุ ซอ้ื ห้นุ ของบริษัทใด บรษิ ัท A เงินปันผลเฉลีย่ 15.6 ต่อปี และค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 3.7 บรษิ ัท B เงนิ ปนั ผลเฉลี่ย 13.7 ตอ่ ปี และค่าสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2.5 บรษิ ัท C เงนิ ปนั ผลเฉลยี่ 18.9 ต่อปี และคา่ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 5.8 วิธที ำ  จงพจิ ารณาว่าข้อความต่อไปนถ้ี ูกหรือผดิ ถา้ ถูกใสเ่ คร่อื งหมายหนา้ ขอ้ ความ ถา้ ผิด ใสเ่ คร่ืองหมาย  หน้าข้อความ ..................1) พสิ ัยของข้อมูลใด ๆ จะตอ้ งมีคา่ เป็นบวกเสมอ ..................2) สัมประสิทธิ์ของพสิ ยั ของข้อมูลอาจเป็นจำนวนลบได้ ..................3) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของข้อมุลชุดเดียวกันต้องมคี า่ ต่างกัน ..................4) คา่ เบ่ียงเบนเฉลีย่ และค่าเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุดเดยี วกนั อาจมคี า่ เทา่ กนั ได้ ..................5) ถ้าในข้อมูลชุดหนึ่ง มีค่าของข้อมูลทุกตัวเท่ากัน พิสัย ค่าเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย ค่าเบ่ียงเบนมาตรฐาน จะเท่ากนั หมด ..................6) ถ้าขอ้ มลู ชุดท่ี 1 มีคา่ เบ่ยี งเบนมาตรฐานมากกว่าขอ้ มลู ชุดที่ 2 แสดงวา่ ขอ้ มลู ชดุ ท่ี 1 มกี ารกระจายมากกว่าข้อมลู ชดุ ที่ 2 ..................7) ถ้าข้อมูลชุดที่ 1 มีคา่ เบี่ยงเบนเฉลี่ยน้อยกว่าขอ้ มลู ชุดที่ 2 แสดงว่าขอ้ มูลชดุ ที่ 1 มีการกระจาย นอ้ ยกว่าขอ้ มลู ชุดที่ 2 ..................8) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสมั ประสิทธิ์ของค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมุลชุดเดียวกันจะไม่เท่ากนั ..................9) ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย และสมั ประสิทธิ์ของค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมุลชุดเดียวกันจะไม่เท่ากัน ..................10) สมั ประสิทธขิ์ องความแปรผันของขอ้ มลู ชดุ หน่ึง จะมคี ่ามากกวา่ สัมประสิทธข์ิ องคา่ เบีย่ งเบนเฉลีย่ ของข้อมูลชดุ นน้ั เสมอ สถิติเพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 9

..................11) ความแปรปรวนของขอ้ มูลชุดหน่งึ จะมากกว่าหรือเทา่ กบั คา่ เบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลุ ชดุ นั้น ..................12) ถ้าความแปรปรวนของข้อมูลชุดหนึ่งมีค่า 0 แสดงวา่ ค่าของข้อมูลทุกค่าจะเท่ากันหมด ..................13) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ ต่างกัน จะต้องมีค่าเบย่ี งเบนมาตรฐานต่างกนั ดว้ ย ..................14) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ ต่างกัน จะต้องมีค่าเบี่ยงเบนเฉลยี่ ต่างกันด้วย ..................15) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ ต่างกัน จะต้องมีพิสยั ต่างกันด้วย ..................16) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ เทา่ กนั การแจกแจงของขอ้ มลู จะต้องเหมือนกัน ..................17) ถ้าพิสัยของข้อมูลเท่ากับ 0 คา่ เบี่ยงเบนมาตรฐาน และค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจะต้องเท่ากัน 0 ด้วย ..................18) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ เท่ากัน เส้นโค้งความถจี่ ะต้องโด่งเท่ากัน ..................19) สัมประสิทธิ์ของพสิ ัยของข้อมูลชุดหนึ่งเท่ากับ 1 คา่ เฉลี่ยเลขคณติ จะต้องมากกว่า 0 ..................20) กำหนดเส้นโค้งความถี่ดังรูป ค่าเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุด 1 มากกว่าขอ้ มลู ชดุ 2 ..................21) จากขอ้ 20 คา่ เบย่ี งเบนเฉลย่ี ของขอ้ ชุด 1 น้อยกว่าขอ้ มลู ชดุ 2 ..................22) ถา้ ค่ามากทส่ี ุดของขอ้ มลู มคี า่ เทา่ กบั ค่าเฉลย่ี เลขคณติ คา่ เบย่ี งเบนมาตรฐานจะเทา่ กบั 0 ..................23) ถา้ ค่าต่าทส่ี ดุ ของขอ้ มลู มคี า่ เท่ากบั ค่าเฉลย่ี เลขคณิต คา่ เบย่ี งเบนมาตรฐานจะเทา่ กบั 0 ..................24) ถา้ สมั ประสทิ ธขิ์ องสว่ นเบย่ี งเบนควอรไ์ ทลเ์ ทา่ กบั 0 แลว้ คา่ ทกุ ค่าจะเทา่ กนั หมด ..................25) ถา้ สมั ประสทิ ธขิ์ องพสิ ยั ของขอ้ มลู มคี า่ 0 แลว้ ค่าทกุ คา่ จะเทา่ กนั หมด สถติ ิเพ่อื การวิจัยเบื้องตน้ 10