1404-Tecin1

เอกสารประกอบการเรยี น 66 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ เทคนคิ การหาอินทกิ รัล (Techniques of Integration) ผสู้ อน ครจู ติ รเมธี สายสมุ่

6 6หน่วยการเรียนรทู้ ่ี เทคนคิ การหาอินทิกรลั (Techniques of Integration) หัวขอ้ เรอื่ ง 1. การหาอินทกิ รัลโดยแยกสว่ น 1 แคลคลู สั 1

จดุ ประสงค์ท่ัวไป 1. เพ่อื ให้มีความรู้ความเข้าใจเรอ่ื งเทคนคิ การหาอินทกิ รัล 2. เพื่อใหม้ คี วามรคู้ วามเขา้ ใจและมเี จตคติท่ีดที ่จี ะนำความรู้ เร่ืองเทคนคิ การหาอินทกิ รลั ไปใช้ในวชิ าชีพและเป็นพน้ื ฐาน ในการศึกษาแคลคลู ัสช้นั สงู ตอ่ ไป จุดประสงค์เชงิ พฤตกิ รรม เม่ือศึกษาหนว่ ยน้ีแล้วนักศึกษาสามารถ 1. บอกสูตรสำหรับใช้ในการหาอนิ ทกิ รัลโดยแยกส่วนได้ 2. แสดงวิธีหาอินทิกรลั ของฟงั ก์ชันโดยแยกส่วนได้ แคลคูลสั 1 2

การหาอินทกิ รลั ของฟังกช์ ันในหน่วยท่ีผา่ นมา สามารถหาอินทิกรลั โดยการ ใช้สูตรได้ในทันที แต่จะมีอินทิกรัลบางแบบที่ไม่สามารถใช้สูตรที่ผ่านมาได้ ในทนั ที ซง่ึ จะตอ้ งปรับปรุงรูปแบบของอินทิกรลั ใหม่ให้ตรงกับสตู รทีม่ ีอยู่ ดังน้ัน ในหน่วยนี้จะเสนอเทคนิคบางรูปแบบที่ช่วยในการหาอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ไม่ สามารถใช้สูตรอินทิกรลั ไดโ้ ดยตรง 6.1 การหาอินทิกรัลโดยแยกส่วน (Integration by Parts) การหาอินทิกรัลโดยแยกส่วน จะใช้กับอินทิกรัลที่มีลักษณะ ดงั ตอ่ ไปนี้  อนิ ทกิ รัลอยู่ในรปู ผลคูณระหวา่ งฟงั กช์ นั สองฟงั ก์ชนั เชน่  x sin xdx ,  xexdx ,  ex cos xdx เป็นตน้  อินทกิ รลั อยใู่ นรปู ทมี่ ีฟังก์ชนั ลอการิทมึ เปน็ ตัวประกอบ เช่น , , ln xdx  x ln xdx  x2 ln xdx เป็นต้น  อินทิกรัลอยู่ในรปู ท่ีมีฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิผกผันเป็นตัวประกอบ เชน่  , x sin−1 xdx x2 cos−1 xdx เปน็ ตน้  อินทิกรลั อย่ใู นรปู ผลคณู ของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ หรอื อย่ใู นรูป ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ยิ กกำลัง 3 แคลคลู สั 1

สตู ร การหาอินทิกรัลโดยแยกสว่ น ถา้ u และ v เปน็ ฟงั กช์ ันท่หี าอนุพันธ์ได้ แลว้ udv = uv −  vdu พสิ จู น์ ถ้า u และ v เป็นฟงั ก์ชันท่หี าอนพุ นั ธ์ได้ แล้ว =d(uv) udv + vdu หรอื udv = d (uv) −vdu ดงั นน้ั  udv =  d(uv)−  vdu หรือ  udv = uv −  vdu การหาอนิ ทิกรัลโดยแยกสว่ นตอ้ งแยกอนิ ทกิ รัลทกี่ ำหนดให้ เป็น 2 สว่ น โดยส่วนหน่ึงเป็น u และอกี ส่วนหน่ึงเป็น dvซง่ึ มี dxอยูด่ ้วย หลักการ แยกสว่ น u และ dv 1. สว่ นทีเ่ ลือกเปน็ u ตอ้ งหาอนพุ นั ธ์ได้ 2. ส่วนทเ่ี ลือกเป็น dv ต้องหาอินทกิ รัลได้ 3.  vdu ต้องง่ายกว่า udv แคลคูลสั 1 4

ตวั อย่าง การแยกสว่ น u และ dv 5 แคลคลู ัส 1

ขั้นตอน การหาอนิ ทิกรัลโดยแยกส่วน 1. เลอื ก u และ dv 2. หาค่า du จากการหาค่าเชิงอนพุ นั ธข์ อง u หาค่า v จากการหาคา่ อินทกิ รลั ของ dv 3. แทนคา่ u , v , du , dv ในสูตร  udv = uv -  vdu 4. หาค่า  vdu 5. ระหวา่ งการหาอินทกิ รลั โดยแยกส่วนถา้ มี udv เกิดขน้ึ ใหน้ ำไปรวมกับ udv ทางซา้ ยมือ 6. เม่อื หาอินทกิ รลั ขั้นสดุ ทา้ ยจบแลว้ ให้บวก c ตัวอยา่ ง 6.1 จงหาค่า  x sinxdx วธิ ีทำ จาก  udv = uv −  vdu ให้ u = x dv = sinxdx du = dx  dv =  sin xdx  v = − cosx แทนค่า u , v , duและ dv ในสูตรจะได้  x sin xdx = x(− cosx) −  (− cosx)dx = − x cosx +  cosxdx = − x cosx + sinx + c ตอบ วธิ ีลดั u dv   x sin xdx = − x cosx + sinx + c ตอบ +x sinx -1 − cosx +0 − sinx แคลคูลสั 1 6

ตัวอย่าง 6.2 จงหาคา่  x cos xdx วธิ ที ำ จาก  udv = uv −  vdu cos xdx ให้ u = x  dv = du = x dx  dv =  cos xdx  v = sin x แทนค่า u , v , duและ dv ในสูตรจะได้ = x  sin x −  x sin xdx  x  cos xdx = x sin x −  x sin xdx…………….. หาคา่  x sin xdx x dv = sin xdx ให้ u = dx  dv =  sin xdx du =  v = − cosx แทนคา่ u , v , duและ dv ในสูตรจะได้  x sin xdx = x(− cosx) −  (− cosx)dx = − x cosx +  cosxdx = − x cosx + sinx + c ……………….. แทนค่า  ใน จะได้   x  cos xdx = x  sin x − (−x cos x + sin x) + c = x  sin x + x cosx − sinx + c ตอบ วิธีลดั u dv   x  cos xdx = x  sin x + x cosx − sinx + c ตอบ + x cos x - x sin x + 2 − cosx - 0 − sinx 7 แคลคลู ัส 1

ตัวอยา่ ง 6.3 จงหาคา่  xexdx วธิ ที ำ จากสูตร  udv = uv −  vdu ให้ u = x dv = e xdx du = dx  dv =  e xdx v = ex แทนค่า u , v , duและ dv ในสตู รจะได้   xexdx = xex −  exdx = xex − ex + c ตอบ ตอบ วธิ ลี ดั u dv   xex dx = xex − ex + c +x ex -1 ex +0 ex แคลคูลสั 1 8

ตวั อยา่ ง 6.4 จงหาค่า  xexdx วธิ ีทำ จากสูตร  udv = uv −  vdu ให้ u = x dv = ex dx du = dx = x dx  dv =  exdx v = ex แทนค่าu , v , duและ dv ในสูตรจะได้   xexdx = xex − x exdx …………….. หาคา่  x ex dx x  dv = e xdx ให้ u = xdx  dv = du =  e xdx v= แทนค่า u , v , duและ dv ในสตู รจะได้ ex   x  e x dx = x ex − xex dx …………….. แทนคา่ ในจะได้   xexdx = x ex − x e x +  xe xdx …………… หาคา่  xex dx x dv = e xdx ให้ u = dx  dv = du =  e xdx v= แทนคา่ u , v , duและ dv ในสตู รจะได้ ex   xexdx = xex −  exdx แทนคา่ ในจะได้ = xex − ex + c …………..   xexdx = x e x − x e x + xe x − e x + c ตอบ วธิ ีลัด u dv  x e xdx = x ex − x e x + xe x − e x + c ตอบ + x ex - x  ex + x ex -6 ex 9 แคลคลู สั 1

+0 ex ตัวอยา่ ง 6.5 จงหาคา่  lnxdx วธิ ที ำ จากสตู ร  udv = uv −  vdu dx ให้ u = ln x dv =  dx du = d ln x  dv = x du =  dx x v= แทนค่า u , v , duและ dv ในสูตร จะได้   ln xdx = x ln x −  x  dx x = x ln x −  dx = x ln x − x + c ตอบ ตอบ วธิ ลี ดั u dv   ln xdx = x ln x −  x  dx x + ln x  = x ln x −  dx x - = x ln x − x + c x แคลคูลสั 1 10

ตัวอย่าง 6.6 จงหาค่า  x2 ln xdx uv −  vdu x 2 dx วธิ ีทำ จากสูตร  udv = dv =  x2dx ให้ u = ln x  dv = x3 du = d ln x 3 v= du =  dx x แทนค่า u , v , duและ dv ในสูตร จะได้   x2 ln xdx = x  ln x − x   dx  x  = x  ln x −  x dx  = x3 ln x 1  x3  c= x ln x x  c ตอบ 3 3 3   − + − + วิธลี ัด u dv   x 2 ln xdx = x  ln x −  x dx ตอบ  + ln x x = x  ln x − x  + c  - x x  11 แคลคลู ัส 1

ตวั อย่าง 6.7 จงหาค่า  ex sin xdx วิธที ำ จากสตู ร  udv = uv −  vdu ให้ u= dv = du = ex  dv = sin xdx ให้ dex v= = ex dx  sin xdx แทนค่า u , v , duและ dv ในสตู รจะได้ (− cosx)  ex sin xdx = ex (− cosx) −  (− cosx)ex dx = − ex cosx + ex cosxdx …………… หาค่า  ex cosxdx โดยแยกส่วน dv = cosxdx u = ex  cosxdx du = dex = exdx  dv = sin x v= แทนคา่ u , v , duและ dv ในสูตรจะได้ = ex sin x − sin x  ex dx  ex cosxdx = ex sin x − ex sin xdx ..…………… แทนค่า  ex cosxdx จาก  ใน  จะได้  ex sinxdx = − ex cosx + ex sin x − ex sin xdx   ex sinxdx +  ex sinxdx = ex sinx − ex cosx ex (sinx − cosx) 2 ex sin xdx =   ex sinxdx = ex (sin x − cosx) + c ตอบ วิธีลัด 2 u dv  ex sin xdx = − ex cosx + ex sin x − ex sin xdx + ex sin x   ex sin xdx +  ex sin xdx = ex sinx − ex cosx - e x − cosx 2 ex sin xdx = ex (sinx − cosx) + ex − sinx   ex sinxdx = ex (sin x − cosx) + c ตอบ 2  แคลคูลสั 1 12

ตัวอย่าง 6.8 จงหาคา่ ex cosxdx วธิ ีทำ จากสูตร  udv = uv −  vdu cosxdx ให้ u = ex dv =  cosxdx du =  dv = dex v= sin x = e x dx แทนค่า u , v , duและ dv ในสูตรจะได้ = ex sinx − sinx  exdx  ex cosxdx = ex sinx −  ex sinxdx ..…………… หาค่า ex sinxdx โดยวธิ แี ยกสว่ น dv ให้ u = ex du = = sin xdx dex  dv = v  sin xdx = e x dx = (− cosx) แทนคา่ u , v , duและ dv ในสูตรจะได้  ex sinxdx = ex (− cosx)− (− cosx)exdx = −ex cosx +  ex cosxdx …………… แทนค่า ex sinxdx จาก  ใน  จะได้  ex cosxdx = e x sinx − (−e x cosx +  e x cosxdx)  ex cosxdx = e x sinx + e x cosx −  e x cosxdx   ex cosxdx +  e x cosxdx = e x sinx + e x cosx  e x cosxdx = ex (sinx + cosx)   ex cosxdx = e2x (sin x + 2cosx ) + c ตอบ วิธีลดั 5 u  dv ex cosxdx = e x sinx + e x cosx −  e x cosxdx + ex  cosx  e x cosxdx +  e x cosxdx = ex sinx + ex cosx - e x sinx  e x cosxdx = ex (sinx + cosx) + e x −cosx  ex cosxdx = e x (sinx +  cosx )+ c ตอบ  13 แคลคลู สั 1

 ตัวอย่าง 6.9 จงหาคา่  sin−1 xdx uv −  vdu วิธีทำ จากสตู ร  udv = ให้ u = sin−1 x dx = dx du = d sin−1 x  dv =  dx = 1 dx v= x 1− x2 แทนคา่ u , v , duและ dv ในสตู ร จะได้ 1  sin−1 xdx = (sin−1 x)x−x 1− x 2 dx  ( )= x sin−1 x − − 1 x 1− x2 2 dx ( ) ( )= x sin−1 x − x 1− x2 − 1 d 1− x2 2 − 2x 1 1 2 1− x2 −2 d 1− x2 ( ) ( )= x sin−1 x + = x sin −1 x+ 1 (1− x 2 )12 +c 2 12   sin−1 xdx = x sin−1 x + 1 − x 2 + c ตอบ แคลคูลสั 1 14

ตัวอย่าง 6.10 จงหาค่า  sin3 xdx วธิ ีทำ จากสูตร  udv = uv −  vdu ให้ u = sin2 x dv = sinxdx du = d sin2 x = 2sinx cosxdx  dv =  sin xdx v = − cosx แทนค่า u , v , duและ dv ในสตู ร จะได้  sin3 xdx = −sin2 xcosx−( −cosx)2sin xcosxdx = − sin2 x cosx + 2 cos2 x sin xdx ( )= − sin2 x cosx + 2 1 − sin2 x sin xdx ( )= − sin2 x cosx + 2 sin x − sin3 x dx   sin3 xdx = − sin2 x cosx + 2 sin xdx − 2 sin3 xdx  sin3 xdx + 2 sin3 xdx = − sin2 x cosx + 2(− cosx) 3 sin3 xdx = − sin2 x cosx − 2 cosx   sin3 xdx = − 1 sin2 x cosx − 2 cosx + c ตอบ 3 3 15 แคลคลู ัส 1

ตวั อย่าง 6.11 จงหาคา่  x2 (x + 1)7 dx วิธีทำ จากสูตร udv = uv −  vdu ให้ u = x2 dv = (x + 1)7 dx du = 2xdx  dv =  (x + 1)7 dx v=  (x + 1)7 d(x + 1) = (x + 1)8 8 แทนคา่ u , v , duและ dv ในสูตร จะได้  x 2 (x + 1)7 dx = x 2 (x + 1)8 −  2x (x + 1)8 dx 8 8 = 1 x2 (x + 1)8 − 1  x(x + 1)8 dx ………………... 8 4 หาค่า  x(x + 1)8 dx โดยแยกสว่ น ให้ u = x dv = du = dx  dv = (x + 1)8 dx v=  (x + 1)8 dx  (x + 1)8 d(x + 1) = (x + 1)9 แทนค่า u , v , duและ dv ในสูตร จะได้ 9  x(x + 1)8 dx = x(x + 1)9 −  (x + 1)9 dx 9 9 = 1 x(x + 1)9 − 1 (x + )1 10 ……………….... 9 10 แทนคา่  x(x + 1)8 dx ใน  จะได้  x 2 (x + 1)7 dx = 1 x 2 (x + 1)8 − 1 1 x(x + 1)9 − 1 (x + )1 10  + c 8 4  9  = 10 1 x 2 (x + 1)8 − 1 x(x + 1)9 + 1 (x + )1 10 + c ตอบ 8 36 40 แคลคูลสั 1 16

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 6.1 จุดประสงค์ นักศกึ ษาสามารถหาค่าอินทิกรลั โดยแยกส่วนได้ จงหาอนิ ทิกรลั ของฟงั กช์ นั ตอ่ ไปน้ีโดยวธิ ีแยกส่วน 1. xcosxdx= 2. = x sin xdx 17 แคลคลู สั 1

3. = x sin xdx 4. = x sec xdx แคลคูลสั 1 18

5. = xexdx 6. = xexdx 19 แคลคลู สั 1

7. = x ln xdx 8. = x ln xdx แคลคูลสั 1 20

9. = ex sin xdx 10.  ex cosxdx = 21 แคลคลู ัส 1

11. = ex cos xdx 12. = e3x sin2xdx แคลคูลสั 1 22

คำช้แี จง จงเลอื กคำตอบท่ีถูกตอ้ งทสี่ ุดเพยี งคำตอบเดียวแล้วทำเคร่ืองหมาย ลงในกระดาษคำตอบ จงหาค่า xsin xdx ก. − x cosx + sin x + c ข. x cos x + sin x +c ค. x cos x − sin x +c ง. x sin x + cos x +c จ. − x sin x + cos x +c แนวคิด จงหาค่า  x sin xdx ก. x sin x − x cos x + sin x + c ข. x cos x − x sin x +  cos x + c ค. − x cos x + x sin x +  cos x + c ง. − x sin x + x cos x + sin x + c จ. − x cos x + x sin x −  cos x + c แนวคิด 23 แคลคลู สั 1

จงหาคา่  x cosxdx ก. x cos x +  x sin x +  cosx + c   ข. x sin x −  x cos x +  sin x + c   ค. − x sin x +  x cos x −  sin x + c   ง. x sin x +  x cos x −  sin x + c   จ.  x sin x +  cosx −  sin x + c    แนวคิด จงหาคา่ xexdx ก. xex − ex + c ข. xex + xex + ex + c ค. xex − xex + ex + c ง. xex − xex + ex + c จ.  xex −  xex +  ex + c   แนวคดิ แคลคูลสั 1 24

จงหาคา่  xexdx ก. − x  ex +  xex + c  ข. x  ex −  xex + c  ค. x ex −  ex + c  ง. x ex −  ex + c  จ. − x ex +  ex + c  แนวคดิ จงหาค่า  xexdx ก. x ex −  xex +  ex + c   ข. − x ex +  xex −  ex + c    ค. xex −  xex +  ex + c  ง. − xex +  xex −  ex + c  จ.  xex −  xex +  ex + c    แนวคิด 25 แคลคลู ัส 1

จงหาค่า  xln xdx ก. x ln x − x + c  ข. x  ln x − x  + c  ค. x ln x − x + c  ง. x ln x + x + c  จ. x  ln x − x  + c  แนวคิด จงหาคา่  x ln xdx ก. x ln x − x + c   ข. x ln x − x + c   ค. x ln x − x + c  ง. x ln x − x + c   จ. x ln x − x + c   แนวคิด แคลคูลสั 1 26

จงหาคา่  ex sin xdx ก. −  ex cos x +  ex sin x + c  ข. −  ex sin x +  ex cos x + c  ค.  ex sin x +  ex cos x + c  ง.  ex cos x −  ex sin x + c  จ.  ex cos x +  ex sin x + c  แนวคดิ จงหาคา่  ex cosxdx ก. −  ex cos x +  ex sin x + c   ข.  ex sin x +  ex cos x + c   ค.  ex cos x +  ex sin x + c   ง. −  ex sin x +  ex cos x + c   จ.  ex cos x +  ex sin x + c   แนวคิด 27 แคลคลู ัส 1

แคลคูลสั 1 28

29 แคลคลู สั 1