เอกสารประกอบการเรยี น 8หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี คา่ มาตรฐานและโค้งปกติ Z-Score and Normal Curve ผู้สอน ครจู ติ รเมธี สายสมุ่ วทิ ยาลยั เทคนคิ ลพบรุ ี
สาระการเรียนรู้ 1. คา่ มาตรฐาน (Z − Score ) 1.1 ความหมายของค่ามาตรฐาน 1.2 การหาคา่ มาตรฐาน 1.3 การเปรียบเทยี บค่าของข้อมลู โดยใชค้ ่ามาตรฐาน 1.4 ขอ้ สงั เกตเก่ยี วกบั ค่ามาตรฐาน 1.5 สมบตั ิของคา่ มาตรฐาน 2. เส้นโคง้ ปกติ (Normal Curve) 2.1 การแจกแจงปกติและเสน้ โค้งปกติ 2.2 สมบัติของเส้นโค้งปกติ 2.3 การหาพ้ืนท่ใี ต้เส้นโค้งปกติ จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 1. บอกความหมายของคา่ มาตรฐานได้ 2. หาคา่ มาตรฐานได้ 3. เปรียบเทยี บคา่ ของข้อมูลโดยใช้ค่ามาตรฐานได้ 4. บอกขอ้ สงั เกตของค่ามาตรฐานได้ 5. บอกสมบตั ิของคา่ มาตรฐานได้ 6. บอกสมบัติของเส้นโคง้ ปกติได้ 7. หาพนื้ ท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติได้ 1 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น
8.1 ค่ามาตรฐาน (Standard Score : Z - Score) 8.1.1 ความหมายของค่ามาตรฐาน ค่ามาตรฐานเป็นค่าที่บอกให้ทราบว่า ผลต่างระหว่างค่าของข้อมูลกับ คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของขอ้ มูลชุดนั้นเป็นกี่เทา่ ของสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน 8.1.2 การหาคา่ มาตรฐาน สตู รสำหรับ กลุ่มตวั อย่าง สูตรสำหรับ การหาคา่ มาตรฐานมสี ตู รในการคำนวณดงั น้ี กลมุ่ ประชากร Z = x− หรือ Z = x − x S โดยที่ Z แทน คะแนนมาตรฐาน x แทน คะแนนขอ้ มูล หรือ x แทน ค่าเฉลีย่ ของขอ้ มูลชดุ นน้ั หรือ S แทน คา่ เบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดน้นั ตวั อยา่ ง 8.1 หลอดไฟดวงหน่ึงมีอายกุ ารใช้งาน 800 ชวั่ โมง ถ้าอายุการใชง้ านเฉลย่ี ของหลอดไฟย่หี อ้ น้ีเปน็ 750 ชว่ั โมง ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเปน็ 80 ช่วั โมง จงหาค่ามาตรฐานอายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟดวงนี้ วิธที ำ จากสูตร ������ = ������−������̅ ������ แทนค่า x = 800, ������̅ = 750, S= 80 จะได้ ������ = 800−750 0.625 ตอบ 80 = 50 80 ∴คา่ มาตรฐานอายุการใช้งานของหลอดไฟดวงนี้ = สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 2
ตัวอยา่ ง 8.2 การสอบแขง่ ขนั เขา้ ทำงานของบริษทั แหง่ หนึง่ พบวา่ มคี ะแนนเฉลีย่ 45 คะแนน และความแปรปรวนเทา่ กับ 81คะแนน ถา้ บริษทั ตั้งเกณฑ์ ไวว้ ่าผสู้ อบผา่ นจะตอ้ งไดค้ ะแนนมาตรฐาน 2.0 ขึน้ ไป จงหาว่า ก. ผทู้ จ่ี ะเขา้ เปน็ พนักงานของบริษัทจะต้องสอบไดอ้ ย่างนอ้ ยกค่ี ะแนน ข. ถา้ นุรัตน์ทำข้อสอบได้ 60 คะแนน เขาจะไดเ้ ป็นพนักงานของบริษทั นหี้ รือไม่ วิธีทำ ก. จากสตู ร Z = ������−������̅ 2 ������ 2(9) = ������−45 9 = ������ − 45 18 + 45 = ������ ������ = 63 ∴ ผูท้ ี่จะเข้าเป็นพนักงานบริษทั จะต้องสอบไดอ้ ยา่ งน้อย = 63 คะแนน ตอบ ข. ถ้านุรตั นส์ อบได้ 60 คะแนน เขาจะไมไ่ ดร้ ับคดั เลือกเป็นพนักงานของบริษทั ตอบ 8.1.3 การเปรยี บเทียบค่าของขอ้ มูลโดยใชค้ ่ามาตรฐาน ค่ามาตรฐาน เป็นค่าที่ใช้เปรียบเทียบค่าของข้อมูล ตั้งแต่ 2 ค่าขึ้นไป ว่า ข้อมูลค่าใดมีคุณภาพดีกว่ากัน เช่น ต้องการเปรียบเทียบผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ กับ ภาษาไทย ของนักศึกษาคนหนึ่งในชั้นเรียนว่าเขาจะเรียนวิชาใดได้ดีกว่า เราจะนำ คะแนนที่นักศึกษาคนนี้สอบได้มาเปรียบเทียบกันเลยย่อมไม่ถูกต้องนัก ถึงแม้ว่าจะใช้ คะแนนเต็มเท่ากันก็ตาม ทั้งนี้เพราะความยากง่ายของแต่ละวิชาต่างกัน ดังนั้นจึง จำเป็นต้องแปลงคะแนนที่สอบได้ในแต่ละวิชา ให้เป็นค่ามาตรฐานเสียก่อน ถ้าค่า มาตรฐานวชิ าใดสงู กว่าถอื วา่ สอบวิชานน้ั ได้คะแนนดกี ว่า 3 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้อื งต้น
ตวั อยา่ ง 8.3 จากข้อมูลการสอบ 3 วชิ า ดังนี้ คณิตศาสตร์ ภาษาไทย ภาษาองั กฤษ คา่ เฉล่ยี เลขคณิต 45 54 67 สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 18 20 24 1. ทวีศกั ดิ์ได้คะแนนวชิ าคณิตศาสตรแ์ ละภาษาไทย 50 และ 58 คะแนน ตามลำดบั จงหาค่ามาตรฐานของทงั้ สองวิชา และจงหาว่าทวศี กั ดิ์ทำคะแนนวชิ าใดดีกวา่ กัน 2. สมศรมี คี ่ามาตรฐานวชิ าภาษาองั กฤษเป็น – 0.2 จงหาวา่ สมศรสี อบวิชา ภาษาอังกฤษได้กี่คะแนน วิธที ำ 1) จากสูตร Z = ������−������̅ ������ ������ คณติ ศาสตร์= 50−45 = 5 = 0.27 18 18 ������ ภาษาไทย = 58−54 = 4 = 0.20 20 20 นายทวีศักด์ิทำคะแนนวชิ าคณิตศาสตรไ์ ดด้ ีกวา่ ภาษาไทย ตอบ 2) จากสตู ร Z = ������−������̅ − 0.2 = ������ 24 (− 0.2) = ������−67 24 ������ − 67 − 4.8 + 67 = ������ ∴ ������ = 62.2 ดังนัน้ สมศรสี อบวชิ าภาษาองั กฤษได้ = 62.2 คะแนน ตอบ สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 4
8.1.4 ข้อสงั เกตเกยี่ วกบั คา่ มาตรฐาน 1. ค่ามาตรฐานของข้อมูลใด ๆ จะเป็นบวก ศูนย์ หรือลบก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่ กับค่าของข้อมูลและค่าเฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มลู วา่ คา่ ใดจะมากกว่ากัน 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่ามาตรฐานเท่ากับศูนย์ และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานของคา่ มาตรฐานเท่ากับ 1 3. ค่ามาตรฐานของข้อมูลใด ๆ โดยทั่วไป จะมีค่าตั้งแต่ – 3 ถึง + 3 แตอ่ าจจะมีคา่ มาตรฐานของขอ้ มูลบางคา่ ทสี่ ูงกวา่ + 3 หรือต่ำกว่า – 3 เล็กน้อยกไ็ ด้ 4. ค่ามาตรฐานไมม่ ีหนว่ ย 5. ผลรวมของค่ามาตรฐานของข้อมูลชุดหนง่ึ ๆ จะเทา่ กับศนู ย์ 8.1.5 สมบัตขิ องค่ามาตรฐาน 1. ในข้อมลู ชดุ หนึ่ง ๆ เมอ่ื นำคา่ ของขอ้ มลู แตล่ ะตวั มาหาค่าของคะแนนมาตรฐานแลว้ จะได้ 1.1 ผลรวมของค่ามาตรฐานจะมคี ่าเปน็ 0 Z = 0 1.2 ค่าเฉลย่ี ของคา่ มาตรฐานจะมคี า่ เทา่ กับ 0 Z = Z = 0 N 1.3 ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของค่ามาตรฐานจะมีค่าเท่ากับ 1 SZ = (SZ )2 = 1 1.4 ผลบวกของกำลงั สองของคา่ มาตรฐานจะมคี ่าเทา่ กับจำนวนข้อมูลทง้ั หมด (Z2 ) =N 2. ขอ้ มูลทม่ี ีคา่ มากกวา่ ค่าเฉล่ียเม่ือเปลยี่ นเปน็ คา่ มาตรฐานจะมีค่าเป็นบวกแต่ถา้ ข้อมลู ท่ีมีคา่ นอ้ ยกว่าคา่ เฉลย่ี เมื่อเปล่ยี นเปน็ ค่ามาตรฐานแลว้ จะมคี ่าเป็นลบ 3. ค่ามาตรฐานของข้อมูลใด ๆ สว่ นใหญ่จะมคี ่าต้ังแต่ –3 ถึง 3 4. คา่ มาตรฐานจะไม่มหี นว่ ย เช่น คา่ มาตรฐานอายุการใช้งานของหลอดไฟหลอดหน่ึงเป็น 2 หมายความว่าหลอดไฟดวงน้ันมีอายุการใช้งานมากกว่าอายุการใชง้ านเฉลีย่ อยู่ 2 เทา่ ของสว่ นเบีย่ งเบน มาตรฐาน 5. การกระจายของคา่ มาตรฐานจะมลี กั ษณะเหมือนการกระจายของข้อมูลชดุ เดมิ นัน่ คือ ถ้า ข้อมลู ชดุ เดมิ เบข้ วาเม่ือเปลี่ยนเปน็ คา่ มาตรฐานแล้วการกระจายของค่ามาตรฐานจะมีลกั ษณะเบข้ วาดว้ ย 5 สถติ ิเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น
แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ี่ 8.1 จุดประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม 1. บอกความหมายของคา่ มาตรฐานได้ 2. หาค่ามาตรฐานได้ 3. เปรียบเทยี บคา่ ของข้อมูลโดยใชค้ ่ามาตรฐานได้ จงหาคา่ มาตรฐาน (Z-Score) 1.1 x = 9 ; x = 85; S = 23 1.2 x = 57 ; x = 50 ; S 2 = 100 1.3 x = 29 ; x = 24; S 2 =16 วธิ ีทำ จากการวัดอุณหภมู ิในวนั ท่ี 1 ธนั วาคมของจังหวดั ในภาคเหนอื 3 จังหวดั โดยเกบ็ ขอ้ มลู ยอ้ นหลัง 20 ปี ไดอ้ ณุ หภมู เิ ฉลี่ยและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานเปน็ ดังตาราง ถ้าวันท่ี 1 ธนั วาคม 2563 วดั อณุ หภมู ไิ ด้ ดังตาราง จงหาว่าจังหวัดใดมอี ุณหภมู ิสงู สดุ วิธีทำ สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 6
บริษัทแหง่ หนึ่งประกาศรับพนักงานในตำแหน่งหัวหน้างานบุคลากรโดยต้องมีประสบการณ์ไมต่ ำ่ กวา่ 4 ปี ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานเท่ากับ 2 และค่ามาตรฐานประสบการณใ์ นการทำงานไมต่ ำ่ กว่า 1.8 ถา้ สชุ าติ ไดร้ ับเลือกเข้าทำงานโดยมีค่ามาตรฐานเท่ากบั 2 อยากทราบว่าสุชาติมปี ระสบการณ์ในการทำงานก่ีปี วิธที ำ ในการสอบวิชาบญั ชปี รากฏวา่ แอมสอบได้ 28 คะแนนได้คะแนนมาตรฐานเท่ากับ 1.6 และออมสอบได้ 18 คะแนนปรากฏว่าคะแนนมาตรฐานเท่ากับ –0.4 จงหาค่าเฉลย่ี ของคะแนนสอบในครงั้ นแ้ี ละสว่ น เบีย่ งเบนมาตรฐาน วิธีทำ 7 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้อื งต้น
8.2 การแจกแจงปกติ (Normal Distribution) 8.2.1 การแจกแจงปกติและเสน้ โค้ง การปแกจตกแิ จงปกติ (Normal Distribution) หมายถึง การแจกแจงความถี่ของ ข้อมูลที่ทำให้เส้นโค้งของความถี่เป็นรูประฆังคว่ำ และเรียกเส้นโค้งของความถี่นี้ว่า เส้น โค้งปกติ (Normal Curve) Frequency การแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution) หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า โค้ง ปกติ (Normal Curve) เป็นการแจกแจงของข้อมูลรูปแบบหนึ่ง ซึ่งเมื่อเราเก็บข้อมูล มาจำนวนหนึ่งแล้วนำข้อมูลนั้นมาแจกแจงความถี่ เราจะพบว่าข้อมูลส่วนใหญ่จะ กระจายอย่รู อบ ๆ ค่าเฉลี่ยหรือตำแหน่งตรงกลาง และขอ้ มลู ที่มคี า่ แตกต่างจากค่าเฉลี่ย จะค่อยๆ กระจายลดหลั่นกันไปทางด้านซ้ายและขวาในลักษณะเท่ากันหรือใกล้เคียงกัน เช่น ข้อมูลค่าใช้จ่ายต่อวันของนักศึกษาปริญญาตรีชั้นปีที่ 1 ของวิทยาลัยเทคนิคลพบุรี จำนวน 50 คน นำมาแจกแจงความถี่ดว้ ยฮิสโตแกรมจะได้ดงั รปู น้ี สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 8
จากตัวอย่างค่าใช้จา่ ยตอ่ วันของนักศึกษาปริญญาตรีชั้นปีที่ 1 ของวิทยาลัยเทคนิคลพบุรี ที่มีค่าใช้จ่ายเฉลี่ยเท่ากับ 175 บาท พบว่านักศึกษาส่วนใหญ่จะมีค่าใช้จ่ายต่อวันอยู่ใกล้ กับ 175 บาทมากที่สุด ส่วนค่าแตกต่างจาก 175 ก็จะค่อยๆ ลดหลั่นกันไปในลักษณะ ใกล้เคียงกันทั้งทางด้านซ้ายและขวา ซึ่งลักษณะแบบนี้เราจะเรียกว่าข้อมูลมีการแจก แจงแบบปกติ และเสน้ โคง้ ความถที่ ี่ไดจ้ ะเรียกวา่ เส้นโคง้ ปกติ (Normal Curve) จากข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่ ถ้านำข้อมูลเหล่านี้มาเขียนให้เป็นเส้นโค้งของ ความถี่ จะไดเ้ ส้นโคง้ ของความถี่ 3 ลักษณะ ดังนี้ 1. เส้นโค้งปกติ หรือเส้นโค้งรูประฆังคว่ำ (Normal Curve or Bell – shaped Curve) 2. เสน้ โค้งเบข้ วา หรอื เสน้ โค้งเบ้ทางบวก (Positively Curve) ปกติ 3. เสน้ โคง้ เบ้ซ้าย หรอื เสน้ โค้งเบท้ างลบ (Negatively Curve) เบซ้ า้ ย เบข้ วา 9 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้อื งต้น
ลักษณะของโค้งเป็นดงั น้ี 1. โค้งปกติ จะพบว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Mean) = ค่ามัธยฐาน (Median) = ค่าฐานนิยม (Mode) 2. เส้นโค้งเบ้ขวา จะพบว่า ค่าฐานนิยม (Mode) < ค่ามัธยฐาน (Median) < ค่าเฉลี่ยเลข คณิต (Mean) 3. เส้นโค้งเบ้ซ้าย จะพบว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Mean) < ค่ามัธยฐาน (Median) < ค่าฐาน นิยม (Mode) เส้นโค้งของความถี่ที่พบเสมอๆ ไม่ว่าจะเป็นข้อมูลทางด้านประชากร เกษตร สังคม เศรษฐกิจ หรือวิทยาศาสตร์ ส่วนใหญ่มักเป็นข้อมูลที่เกิดขึน้ หรือเป็นไปตามธรรมชาติ และจะมีเส้นโคง้ ความถี่เปน็ รูปเสน้ โค้งปกติ เช่น ความสงู นำ้ หนกั เป็นตน้ เส้นโค้งปกติมีความโด่งมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับการกระจายของข้อมูล ถ้าข้อมูลมีการกระจาย มากเส้นโค้งปกติจะโด่งน้อย หรือค่อนข้างแบน แต่ถ้าข้อมูลมีการกระจายน้อย เส้นโค้งปกติจะโด่ง มากหรอื คอ่ นข้างสงู ดังรปู ลักษณะของเส้นโคง้ ปกติกบั การกระจายของขอ้ มูล ลักษณะของเส้นโค้งปกติ บทสรุป • ������1 = ������2 • ������1 > ������2 • ข้อมูลชดุ ท่ี 1 กระจายมากกวา่ ชดุ ที่ 2 เพราะ ������1 > ������2 ������1 ������2 • ������1 < ������2 • ������1 = ������2 กระจายมากกว่าชดุ ที่ 2 เพราะ ������1 > ������2 • ขอ้ มลู ชดุ ที่ 1 ������1 ������2 • ������1 < ������2 • ������1 < ������2 • ยังสรปุ ไมไ่ ด้ จนกวา่ จะทราบคา่ ������ และ ������ ของข้อมูลทั้งสองชุด สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 10
8.2.2 สมบตั ขิ องเส้นโค้งปกติ 1) รูปทรงของโคง้ ปกติจะมีลกั ษณะเป็นรูประฆงั ควำ่ มีความสมมาตรกันทั้ง 2 ด้าน ซึ่งมีค่าเฉลี่ยอยู่ในตำแหน่งแกนสมมาตร (ตำแหน่งตรงกลาง) และมีส่วน เบ่ียงเบนมาตรฐานเป็นคา่ แสดงการกระจายของข้อมลู และอยูท่ ีต่ ำแหน่งจดุ เปลี่ยนแกน ของเส้นโค้ง และมีมีคา่ เฉลยี่ ฐานนยิ ม และมัธยฐานอยู่ตรงตำแหนง่ เดียวกนั ดังรปู 2) เส้นต้งั ฉากทลี่ ากผ่านคา่ เฉลย่ี เลขคณติ เป็นแกนสมมาตรของเส้นโค้งปกติ และแกนสมมาตรนีจ้ ะแบ่งพื้นท่ีใตเ้ สน้ โคง้ ปกติออกเป็น 2 สว่ นเทา่ ๆ กนั 3) สว่ นปลายโคง้ ท้งั 2 ดา้ นจะมีค่าเขา้ ใกล้ 0 และมีค่าเป็นอนันต์ ไมส่ ามารถ บอกได้ว่าจะสัมผสั ฐานทจ่ี ุดใด 4) พื้นที่ใต้เส้นโค้ง คือ ค่าความน่าจะเป็นที่ข้อมูลมีโอกาสตกอยู่ โดยพื้นที่ใต้ เส้นโค้งปกติมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ (หรือคิดเป็น 100 เปอร์เซ็นต์) ดังนั้นแกน Z = 0 แบง่ พนื้ ทอี่ อกเป็น 2 สว่ น ๆ ละ 0.5 (หรอื 50 เปอรเ์ ซ็นต์) 11 สถติ ิเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น
8.2.3 การหาพื้นท่ใี ต้เสน้ โค้งปกติ ในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ จะใช้การเปลี่ยนค่าของข้อมูล x เป็นค่า มาตรฐาน Z โดยใชส้ ูตร Z = x − และเม่ือเปล่ียนข้อมูลทกุ ตวั จาก x เป็นZ แล้ว จะได้ 1) คา่ เฉล่ยี เลขคณติ ของ Z เท่ากบั 0 2) สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของ Z เท่ากับ 1 3) ค่ามาตรฐานของข้อมูลมีการแจกแจงแบบปกติ เส้นโค้งปกติของค่า มาตรฐานท่ไี ด้นจี้ ะเรียกวา่ เสน้ โค้งปกติมาตรฐาน (Standard Normal Curve) Z 1) ขั้นตอนการหาพื้นทีใ่ ตเ้ สน้ โคง้ ปกติ ในการหาพนื้ ใตเ้ ส้นโค้งปกติ ที่อยู่ระหวา่ ง x = x1 ถงึ x = x2 ทำไดด้ งั น้ี (1) เปลย่ี นค่า x1และ x2 ใหเ้ ป็นคา่ มาตรฐาน Z1 และZ2 ตามลำดบั (2) นำคา่ Z1และ Z2 ท่ไี ด้ไปหาพ้ืนทีใ่ ต้เส้นโคง้ ปกติมาตรฐานจากตาราง หาพ้นื ทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ปกติมาตรฐาน (3) จะได้พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง x1และ x2 เท่ากับ พื้นที่ใต้เส้น โคง้ ปกตมิ าตรฐานระหวา่ งZ1 และZ2 สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 12
2) การอ่านตารางพื้นทใี่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐาน (1) ตารางพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานแสดงสำหรับค่ามาตรฐานที่มี ทศนิยมไม่เกิน 2 ตำแหน่ง ในคอลัมน์แรกของตารางเป็นค่าของ Z ซึ่งเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่งเริ่มจาก 0.0 – 3.9 ในแถวแรกของตารางเป็นค่าของ Z ซึ่งเป็นทศนิยมตำแหน่ง ทีส่ อง (2) ในตารางจะแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน เฉพาะที่อยู่ระหว่าง 0 และ Z โดยท่ี Z > 0 (แสดงสว่ นขวาของแกนสมมาตร) ถา้ ค่า Z < 0 ใช้คณุ สมบตั ิของเส้น โค้งปกติ สมมาตรตามแกน Z = 0 ดังนั้น จาก Z = 0 ถึง Z = 1 และ จาก Z = – 1 ถึง Z = 0 มีพนื้ ท่ีเท่ากัน 13 สถิติเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น
3) ตารางพ้ืนท่ีใตเ้ สน้ โค้งปกติมาตรฐาน การอา่ นตาราง เช่น หาพืน้ ที่ใตโ้ ค้งระหว่าง Z ท่ี 0 ถึง Z ท่ี 1.23 เทา่ กบั 0.3907 และ พ้ืนทใี่ ตโ้ ค้งระหวา่ ง Z ที่ 0 ถงึ Z ที่ -1.23 เทา่ กบั 0.3907 สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 14
ตัวอย่างท่ี 8.4 จงหาพนื้ ทีใ่ ต้เสน้ โค้งปกติมาตรฐานของข้อมลู ทม่ี ี ������̅ = 5 และ S.D. = 2 ซ่งึ อยทู่ างซ้ายมอื ของ ������ = 4 วธิ ีทำ เปล่ยี นคา่ x = 4ใหเ้ ปน็ ค่ามาตรฐาน จะได้ ������ = ������−������̅ = 4−5 = −0.5 ������.������. 2 0.5 0.5 – (พ้ืนทรี่ ะหวา่ ง Z = -0.5 และ Z = 0) ดังนน้ั พืน้ ท่ที ตี่ อ้ งการ = 0.5 – 0.1915 = = 0.3085 ตอบ ตัวอยา่ งท่ี 8.5 จงหาพนื้ ที่ใต้เส้นโคง้ ปกติมาตรฐานระหวา่ ง Z= 0 และ Z = 1.52 วธิ ที ำ จากตารางการหาพ้นื ท่ีใต้เสน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐาน 0.4357 จะไดว้ ่า พ้นื ที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ระหว่าง Z= 0 และ Z = 1.52 เท่ากบั 15 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น
ตวั อยา่ งท่ี 8.6 จงหาพน้ื ทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งปกตมิ าตรฐาน ทอี่ ยรู่ ะหวา่ ง Z = − 2.1และ Z = 0 วธิ ีทำ พืน้ ทีใ่ ตเ้ สน้ โค้งปกตมิ าตรฐานระหว่าง Z = − 2.1 และ Z = 0 เท่ากบั พืน้ ท่ปี กติมาตรฐานระหวา่ ง Z = 0 และ Z = 2.1 จากตารางการหาพื้นทใ่ี ตเ้ สน้ โคง้ ปกติมาตรฐานระหวา่ ง Z = 0 และ Z = 2.1 เท่ากบั 0.4821 ดงั นั้นพ้ืนท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติมาตรฐานระหวา่ ง Z=− 2.1และ Z= 0 เทา่ กับ 0.4821 ตวั อย่างท่ี 8.7 จงหาพ้นื ทีใ่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐาน ทางขวามือของ Z = 1.52 วิธที ำ เพราะวา่ พื้นทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกตทิ างขวามือของ Z = 0 เทา่ กับ 0.5 จากการเปดิ ตารางพื้นทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกติระหวา่ ง Z = 0 และ Z = 1.52 เท่ากับ 0.4357 ดงั น้ัน พน้ื ทใี่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกตทิ างขวามือของ Z = 1.52 = 0.5 – 0.4357 = 0.0643 สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 16
ตัวอย่างที่ 8.8 จงหาพนื้ ทใ่ี ต้เส้นโค้งปกตมิ าตรฐาน ทางซา้ ยมือของ Z = 1.52 0.5000 0.4357 z=0 z=1.52 วธิ ีทำ พน้ื ทีใ่ ต้เส้นโค้งปกตมิ าตรฐานทางซา้ ยมอื ของ Z = 0 เทา่ กับ 0.5 พน้ื ที่ใตเ้ สน้ โค้งปกตมิ าตรฐานระหว่าง Z = 0 และ Z = 1.52 เทา่ กบั 0.4357 ดังนน้ั พื้นทใ่ี ตเ้ สน้ โค้งปกตทิ างซา้ ยมอื ของ Z = 1.52 เท่ากับ 0.5 + 0.4357 เท่ากับ 0.9357 ตวั อย่างที่ 8.9 จงหาพน้ื ท่ีใต้เสน้ โค้งปกตมิ าตรฐาน ทางซา้ ยมอื ของ Z = −1.35 0.4115 0.0885 Z = -1.35 Z=0 0.5 เท่ากับ 0.5 วธิ ที ำ พน้ื ทใ่ี ต้เสน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐานทางซา้ ยมอื ของ Z = 0 พ้ืนที่ใตเ้ ส้นโค้งปกตมิ าตรฐานระหว่าง Z = 0 และ Z = -1.35 เทา่ กับ 0.4115 ดงั นนั้ พ้นื ทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกตทิ างซ้ายมอื ของ Z = -1.35 เท่ากบั 0.5 - 0.4115 เทา่ กบั 0.0885 17 สถิติเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น
ตัวอยา่ งท่ี 8.10 จงหาพืน้ ท่ีใต้เส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานระหวา่ ง Z = −1.5และ Z = 2.1 0.4332 0.4821 z=-1.5 z=0 z=2.1 วธิ ที ำ พืน้ ท่ีใตเ้ ส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานระหวา่ ง Z =-1.5 และ Z = 0 เท่ากบั 0.4332 พื้นที่ใต้เส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานระหวา่ ง Z = 0 และ Z = 2.1 เทา่ กบั 0.4821 ดงั นั้น พ้ืนท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติมาตรฐานระหวา่ ง Z = −1.5และ Z = 2.1 เท่ากับ 0.4332+0.4821 เทา่ กับ 0.9153 ตวั อยา่ งที่ 8.11 จงหาพนื้ ทใ่ี ตเ้ สน้ โคง้ ปกตมิ าตรฐานระหว่าง Z = 0.7 และ Z = 2.1 0.2580 0.2241 Z=0 z = 0.7 z =2.1 0.4821 วิธที ำ พ้ืนทีใ่ ตเ้ ส้นโค้งปกตมิ าตรฐานระหวา่ ง Z = 0 และ Z = 2.1 เท่ากบั 0.4821 พ้ืนที่ใตเ้ สน้ โค้งปกตมิ าตรฐานระหวา่ ง Z = 0 และ Z = 0.7 เท่ากบั 0.2580 ดงั น้นั พ้นื ท่ใี ต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหวา่ ง Z = 0.7 และ Z = 2.1 เท่ากับ 0.4821-0.2580 เท่ากบั 0.2241 สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 18
ตัวอย่างท่ี 8.12 จงหาพืน้ ท่ใี ต้เสน้ โคง้ ปกติมาตรฐานระหวา่ ง Z = −1 และ Z = −0.17 0.0675 0.2738 z=-1 z=-0.17 Z=0 0.3413 วธิ ที ำ พืน้ ท่ีใต้เส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานระหว่าง Z = 0 และ Z = −1 เทา่ กับ 0.3413 พน้ื ท่ใี ต้เส้นโค้งปกตมิ าตรฐานระหวา่ ง Z = 0 และ Z = −0.17เท่ากับ 0.0675 ดังนน้ั พ้นื ท่ีใตเ้ ส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานระหว่าง Z = −1 และ Z = − 0.17 เท่ากับ 0.3413 - 0.0675 เท่ากับ 0.2738 ตวั อยา่ งที่ 8.13 จงหาพืน้ ทใ่ี ต้เสน้ โค้งปกตมิ าตรฐานทางซา้ ยมือของ Z = −1.44 หรือ ทางขวามอื ของ Z = 2.05 0.4251 0.4798 0.0749 z=0 0.0202 z=-1.44 z=2.05 วิธีทำ พนื้ ที่ = (0.5 –พ้นื ท่รี ะหว่าง Z = −1.44และ Z = 0) + (0.5 –พน้ื ทรี่ ะหวา่ ง Z = 0 และ Z = 2.05) = (0.5– 0.4251) + (0.5– 0.4798) = 0.0749 + 0.0202 = 0.0951 19 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น
แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 8.2 จุดประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม หาพื้นทีใ่ ต้เสน้ โค้งปกติได้ จงหาพนื้ ทีใ่ ต้เส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานระหวา่ ง Z = –1 และ Z = 0.5 Z=0 จงหาพ้นื ท่ีใต้เสน้ โค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมอื ของ Z = –1.24 หรือ ทางขวามอื ของ Z = 2.15 Z=0 สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 20
จงหาคา่ มาตรฐาน Z ท่ที ำใหพ้ ื้นที่ใตเ้ สน้ โคง้ ปกติมาตรฐานระหวา่ ง Z= 0 และ Z มคี า่ เท่ากบั 0.3770 Z=0 จงหาค่ามาตรฐาน Z ซ่งึ ทำให้พน้ื ทใ่ี ต้เส้นโคง้ ปกตมิ าตรฐานทางซา้ ยมือของ Z เท่ากับ 0.8621 Z=0 21 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น
Search
Read the Text Version
- 1 - 22
Pages: