1404-Integral1

เอกสารประกอบการเรียน 44 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี อินทิกรลั (Integral) ผู้สอน ครจู ิตรเมธี สายสมุ่

4 4หน่วยการเรียนรูท้ ี่ อินทกิ รลั (Integral) หวั ขอ้ เรอ่ื ง 1. ปฏยิ านพุ ันธ์ 2. อินทกิ รลั ไมจ่ ำกัดเขต 3. การหาอนิ ทกิ รัลไมจ่ ำกัดเขตของฟงั ก์ชันพชี คณติ 4. การหาอนิ ทิกรลั จำกัดเขตของฟังกช์ นั พีชคณิต 1 แคลคลู สั 1

จุดประสงคท์ ่วั ไป 1. เพื่อใหม้ ีความรคู้ วามเข้าใจเร่ืองปฏยิ านุพนั ธ์ 2. เพื่อให้มีความรู้ความเขา้ ใจเรอ่ื งอนิ ทกิ รลั ไม่จำกัดเขต 3. เพ่ือให้มีความรู้ความเขา้ ใจเรือ่ งอนิ ทกิ รัลของฟังกช์ นั พชี คณิต 4. เพื่อให้มีความรูค้ วามเข้าใจเร่ืองอินทกิ รลั จำกัดเขต 5. เพ่ือให้มคี วามรคู้ วามเข้าใจและมเี จตคติที่ดีท่จี ะนำความรู้ เรอ่ื งอินทิกรัลไปใช้ในวชิ าชีพและเป็นพ้นื ฐานในการศึกษา แคลคลู สั ช้นั สงู ตอ่ ไป จุดประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม เม่อื ศึกษาหนว่ ยน้แี ล้วนักศกึ ษาสามารถ 1. สรปุ ความหมายของปฏยิ านพุ ันธ์ของฟงั กช์ ันได้ 2. หาปฏยิ านุพนั ธ์ของฟังก์ชนั โดยใชบ้ ทนิยามได้ 3. สรุปความหมายของอินทิกรลั ไม่จำกดั เขตของฟังก์ชันได้ 4. บอกสตู รอินทิกรัลไมจ่ ำกัดเขตของฟังกช์ นั พีชคณติ ได้ 6. หาอนิ ทิกรัลไมจ่ ำกัดเขตของฟงั ก์ชันพชี คณติ โดยใชส้ ูตรได้ 7. หาอนิ ทิกรลั จำกัดเขตของฟังกช์ นั พีชคณติ ได้ แคลคูลสั 1 2

4.1 ปฏิยานพุ ันธ์ (Antiderivative) ในวิชาคณิตศาสตร์ จะมีการดำเนินการเกี่ยวกับจำนวน ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง และการหาราก ซึ่งการดำเนินการ ดังกล่าวจะมีการผันกลับ(Inverse) ซึ่งกันและกัน เช่น การบวกกับการลบ การคูณกับการหาร การยกกำลังกับการหาราก และการหาอนุพันธ์ (Differentiation) กบั การหาปฏิยานุพนั ธ์(Antiderivative) เชน่ อนพุ นั ธข์ อง x2 = 2x ปฏิยานพุ ันธ์ ของ 2x = x2 อนพุ ันธ์ของ x2+ 1 = 2x ปฏิยานุพันธ์ ของ 2x = x2+1 อนพุ นั ธข์ อง x2+2 = 2x ปฏิยานพุ นั ธ์ ของ 2x = x2+2 อนุพันธข์ อง x2+3 = 2x ปฏิยานพุ ันธ์ ของ 2x = x2+3 ดงั น้ัน อนุพนั ธข์ อง x2+c = 2x ปฏิยานพุ ันธ์ ของ 2x = x2+c ดังนนั้ ปฏยิ านพุ นั ธ์ของ 2x จะมหี ลายฟังกช์ นั แตล่ ะฟงั กช์ ันจะแตกต่างกัน เฉพาะค่าคงตัวเท่านั้น และถ้าทราบปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชันที่กำหนดให้ แลว้ จะสามารถหาปฏยิ านพุ นั ธ์ทง้ั หมดของฟังก์ชนั ทีก่ ำหนดใหไ้ ด้ โดยทั่วไป ถา้ F(x) เปน็ ปฏิยานุพนั ธ์หน่ึงของ f (x) แล้ว F(x) + c เมื่อc เปน็ ค่าคงตัวไมเ่ จาะจง (Arbitrary Constant) กจ็ ะเป็นปฏิยานุพนั ธ์ใด ๆ ของ f (x) เช่น x2 + c จะเป็นปฏยิ านพุ นั ธใ์ ด ๆ ของ 2x 3 แคลคลู สั 1

ทฤษฎีบท 1 ถ้า F(x) เปน็ ปฏยิ านพุ ันธ์หนึ่งของ f (x)บนช่วง(a,b)แลว้ ปฏยิ านพุ นั ธ์ ใด ๆ ของ f (x) บนชว่ ง (a,b) จะอยู่ในรูป F(x) + c เมอ่ื c เป็นคา่ คงตัวไม่ เจาะจง (Arbitrary Constant) ดังนัน้ ปฏิยานุพนั ธ์ ทงั้ หมดของ f (x)ไดจ้ ากการกำหนดคา่ คงตัว c ใน F(x)+ c 4.2 อนิ ทิกรัลไม่จำกัดเขต (Indefinite Integral) บทนยิ าม ปฏยิ านพุ นั ธ์ใด ๆ ของ f (x)จะแทนดว้ ยสญั ลักษณ์  f (x)dx โดยที่  f (x)dx = F(x) + c ซงึ่ F(x) = f (x) เรยี ก  f (x)dx วา่ อนิ ทกิ รลั ไมจ่ ำกดั เขตของฟงั กช์ ัน f (x) เรียก  ... dx วา่ “เครือ่ งหมายอนิ ทิกรลั ” (Integral Sign) เรียก f (x) วา่ “ตวั ถูกอนิ ทเิ กรท” (Integrand) เรยี ก c วา่ “ค่าคงตัวของการหาอนิ ทิกรัล” (Constant of Integration) แคลคูลสั 1 4

4.3 การหาอนิ ทกิ รลั ไมจ่ ำกดั เขตของฟงั ก์ชนั พีชคณติ (Indefinite Integral of Algebraic Function) จากหลักการของปฏิยานุพันธท์ ำใหส้ ามารถพฒั นาสูตรเบื้องต้นสำหรบั ใช้ ในการหาอนิ ทกิ รัล (Integration) ของฟังกช์ ันพชี คณติ ดังนี้ สตู ร อินทกิ รลั เบือ้ งต้น ให้ u และ v เป็นฟงั ก์ชันของ x ทีส่ ามารถหาอนพุ นั ธไ์ ด้ k และ c เปน็ ค่าคงตัว 4.2 1. dx = x+c 2. kdx = kx + c 3.  xndx = xn+1 + c เม่ือ n  −1 n +1 4. undu = un+1 + c เม่ือ n  −1 5. kudx n +1 = kudx 6. [u  v]dx = udx  vdx 5 แคลคลู สั 1

ตัวอยา่ ง 4.1 จงหาคา่ 6dx วิธที ำ 6dx = 6x + c ตอบ ตวั อย่าง 4.2 จงหาค่า  x5dx x 5+1 วิธที ำ  x5dx = 5 +1 + c = x 6 c ตอบ 6 + ตัวอยา่ ง 4.3 จงหาคา่ 5x6dx วธิ ีทำ 5x6dx = 5 x6dx =  x6+1  + c 5 6 + 1  5 = 7 x7 + c ตอบ ตวั อย่าง 4.4 จงหาค่า (4x3 + 2x −4)dx วิธที ำ (4x3 + 2x − 4)dx = 4x3dx + 2xdx − 4dx = 4 x3dx + 2 xdx− 4dx = x3+1  + c1 + 21x+1+11  + c2 − 4(x) + c3 4 3 +1  = 4x4 + 2x2 − 4x + c c = c1 + c2 + c3 42 = x4 + x2 −4x +c ตอบ แคลคูลสั 1 6

ตวั อย่าง 4.5 จงหาคา่  3 dx x2 วิธที ำ  3 dx =  3x −2 dx x2 = 3 x−2dx =  x −+  + c  −  +  =  x −  + c =  −    −  + c ตอบ x ตอบ ตวั อย่าง 4.6 จงหาค่า  3 x2 dx วธิ ีทำ  3 x2 dx =  x dx =  x  +  + c         +  =  x        + c    =   x   + c        =  x + c  7 แคลคลู ัส 1

ตัวอย่าง 4.7 จงหาค่า (x + ) dx วธิ ที ำ (x + ) dx = (x + ) d(x + ) = (x + ) + c ตอบ  ตัวอย่าง 4.8 จงหาค่า (x + )dx วธิ ีทำ  (x + ) dx =  (x + )d(x + )  =   (x + ) + c  = (x + ) + c ตอบ  ตวั อยา่ ง 4.9 จงหาค่า  (x  + ) (x)dx วธิ ที ำ (x + )(x)dx = (x + ) (x)d (x + ) x =  (x + ) d(x + ) = (x + ) + + c  + = (x + ) + c ตอบ  แคลคูลสั 1 8

ตวั อยา่ ง 4.10 จงหาค่า  x +5dx วิธีทำ  x+5dx = (x +5) 12 dx = (x +5) 12 d(x +5) +5) 12 = ( x 12 +1 +1 c + = (x +5) 23 +c 3 2 = 23(x +5) 23 + c = 23 (x +5)3 + c ตอบ ตวั อยา่ ง 4.11 จงหาค่า  4x2 x3 + 5dx วิธที ำ  4x2 x3 + 5dx =  4x2(x3 + 1 1 d (x3 + 5) 3x 2 5)2 = 4  (x3 + 5)12d(x3 + 5) 3 =4 (x3 5) 1 +1 2 + + c 3  1 + 1  2 3 = 4 (x3 + 5) 2 + c 33 2 =4  2 (x 3 + 3  +c 3  3   5) 2   =  (x + )  + c  8 = 9 (x3 + 5)3 + c ตอบ 9 แคลคลู ัส 1

ตวั อยา่ ง 4.12 จงหาคา่ (x2 + 2x +5)4(2x + 2)dx วิธีทำ (x2 + 2x + 5)4(2x + 2)dx =  (x2 + 2x + 5)4(2x + 2) d (x2 + 2x + 5) (2x + 2) = (x2 + 2x + 5)4d(x2 + 2x + 5) = (x2 + 2x + 5)4+1 + c 4 +1 = (x2 + 2x + 5)5 + c ตอบ 5 ตัวอยา่ ง 4.13 จงหาคา่ x 4− 4 dx x2 วธิ ที ำ x 4− 4 dx =  x4 − 4 dx x2  x2 x2   = (x2−4x−2)dx = x2dx−4x−2dx = x2dx−4x−2dx =x 2+1 − 4  x −2+1  + c 2  −2 +1 +1 = x3 − 4  x −1  + c 3  −1  = x3 + 4 +c ตอบ 3x แคลคูลสั 1 10

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ี่ 4.1 จุดประสงค์ นกั ศกึ ษาสามารถหาคา่ อินทิกรัลของฟงั กช์ นั พชี คณิตได้ จงหาอนิ ทกิ รัลของฟงั กช์ นั ต่อไปนี้ 1. dx = 2. dx = 3.  x3dx = 11 แคลคลู สั 1

4. 10x4dx = 5. 3x5dx = 6. 8x−3dx = 7. 6x12dx = แคลคูลสั 1 12

8.  45 x3 dx = 9.  1 dx = x2 10. (x + )dx = 11. (2x5 − 2x2 +1)dx = 13 แคลคลู ัส 1

12. (2 + 4x + 6x2)dx = 13. = 10x4−8 − 2 dx x5  14. = − dx x x  15. ( )x−1 − x4 dx =  x2 แคลคูลสั 1 14

16.  =( )x4 − 8x3 dx x 17.  =2x 4−xdx x 3 18.  =( )1− 3x4dx x2 19. = 2x2−3 dx 3 x4 15 แคลคลู ัส 1

20. = 3x+2dx x x221. = 3−4dx x3 22. (x − ) dx = 23. (x + ) dx = แคลคูลสั 1 16

24. (x + )− dx = 25. = x(x − )dx 26. = x(x − )dx 27. =  x(x + )  dx 17 แคลคลู สั 1

28.  x x +dx = 29.  x dx = ( )5 − 2x2 5 30.  x =x +dx ( )31.  =+ x − dx  + x + x  32. = x2 −1 dx x3 − 3x + 7 แคลคูลสั 1 18

4.4 อนิ ทกิ รัลจำกัดเขต (Definite Integral) ให้ f (x) เป็นฟังกช์ ันทตี่ อ่ เนื่องในชว่ ง a  x  b ดงั รปู รูป 4.1 f (x) เปน็ ฟงั ก์ชนั ท่ตี ่อเนื่องในชว่ ง a  x  b แลว้ อนิ ทิกรลั จำกดั เขตของฟงั กช์ ัน f (x) ในช่วงa  x  bจะแทนด้วย สญั ลักษณ์ b f (x)dx  a โดยที่ =b F(x) b= F(b) − F(a) a  f (x)dx a สัญลักษณ์ b อ่านวา่ “อนิ ทกิ รลั จำกัดเขตของ f(x) เทียบกับ x  f (x)dx a จาก x = a ถึง x = b เรยี ก f (x) ว่า “ปริพทั ธ”์ (Integrand) เรยี ก a และ b ว่า “ขีดจำกัดลา่ งและขดี จำกัดบนของการหาอนิ ทกิ รัล ( Lower and Upper Limits of Integration) 19 แคลคลู สั 1

4.4.1 สมบตั ิของอนิ ทิกรลั จำกัดเขต (Properties of Definite Integral) ถา้ f (x) และ g(x) เปน็ ฟงั กช์ ันที่หาคา่ อินทิกรลั ไดบ้ นชว่ ง a  x  b และ c เปน็ ค่าคงตวั แลว้ จะไดส้ มบัตขิ องอินทิกรลั จำกัดเขตดงั น้ี สมบตั ิของอนิ ทิกรลั จำกัดเขต 1. a = 0  f (x)dx a 2. b = a  f (x)dx −  f (x)dx a b 3. b = b  cf (x)dx c f (x)dx a a 4. =b bb  f (x)  g(x)dx  f (x)dx   g(x)dx a aa c b c 5. f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx เมือ่ abc    a ab 6. b = (b − a) f (x0) เมื่อ x = x0 และ a  x0  b  f (x)dx a 7. ถา้ F(u) = u แล้ว F(u) = f (u)  f (x)dx a หมายเหตุ สมบตั ขิ อ้ 6 คือ ทฤษฎีบทคา่ มัชฌิมที่ 1 (The First Mean Value Theorem) แคลคูลสั 1 20

4.4.2 การหาคา่ อนิ ทกิ รลั จำกดั เขต ขน้ั ตอนการหาค่าอินทิกรลั จำกดั เขต การหาอนิ ทกิ รลั ำกัดเขต b f (x )d x ทำไดด้ งั น้ี  a 1. หา F(x) ซึ่งเปน็ ปฏิยานุพนั ธ์ของ f (x) 2. หา F(b)− F(a) 3. จะได้ =b F(b) − F(a)  f (x)dx a ตัวอยา่ ง 4.14 จงหา   dx  วธิ ที ำ = 3  dx x 1  = ()− () = − = ตอบ 21 แคลคลู สั 1

ตวั อย่าง 4.15 จงหา 3 x2dx วิธีทำ 1 3 3 x2dx =  x  1  1 =    −        = 237 − 13 = 236 ตอบ ขอ้ สงั เกต ในการหาอินทิกรลั จำกัดเขตของฟังก์ชนั f (x)นัน้ ไมจ่ ำเป็นตอ้ งบวก ค่า c เพราะเม่อื แทนค่า x = b และ x = a ใน F(x)แล้วหาF(b)− F(a) ค่า c จะ ลบกนั หมดไป ดังน้ี =3 3 x2dx  x + c  1  1 =   + c  −   + c      = 237 + c − 13 − c = 236 ตวั อย่าง 4.16 จงหา (1 + 2x2 − 1)dx  x3 0 วธิ ที ำ ( )1 =1 1 1  x3 + 2x2 − 1dx  x 3dx +  2x2dx − 1dx 00 0 0 = x4  4 + 2x 3 − x1  3 0 = ( ) ( ) +   −   +      −    −   = 41 + 23 − 1   = 1 ตอบ − 12 แคลคูลสั 1 22

ตวั อยา่ ง 4.17 จงหาคา่ 1  (x + 2)(x − 1)dx −1 วิธที ำ 1 + 2)(x − 1)dx = ( )1  (x  x2 + x − 2 dx −1 −1 = x3 x2  1 2   3 + − 2x   −1 =  1 + 1 − 2  −  −1 + 1 + 2   3 2   3 2  = −   =− 3 1 ตอบ 3 ตอบ ตวั อยา่ ง 4.18 จงหาค่า 2 x4 + 2dx x3 1 วิธที ำ 2 x4 + 2dx = ( )2 x3 = 1  x + 2x−3 dx 1  x2 2x −2 2  +   2 −2 1 = x2  2   − x −2  2 1 = x2 1 2 −   2 x2 1 =  4 − 1  −  1 − 1  2 4   2  =2 − 1 − 1 + 1 4 2 =3 − 1 − 1 4 2 = 12 − 1− 2 4 =9 4 =2 1 4 23 แคลคลู ัส 1

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ี่ 4.2 จุดประสงค์ นักศกึ ษาสามารถหาค่าอนิ ทิกรลั จำกดั เขตของฟังกช์ ันได้ จงหาคา่ อนิ ทิกรลั จำกดั เขตของฟังก์ชันตอ่ ไปน้ี 1. 20 =  dx 12 2. 4 =  5dx 3 3. 3 =  2xdx 2 แคลคูลสั 1 24

4. =2  3x 2dx 1 5. 3 =  (2x − 3)dx 1 6. 4 (3x 2 − 4)dx =  0 25 แคลคลู ัส 1

7. ( )2 =  6x2 − 2x dx 0 8. 4 (4 − x 2 )dx =  −3 9. =( )2  x2 − 4x dx −1 แคลคูลสั 1 26

10. ( )2 =  2x−2 − 3 dx 1 11. =( )3 12x x2 − 4 5 dx 2 12. =3  x 2x2 − 3dx 2 27 แคลคลู ัส 1

คำชีแ้ จง จงเลอื กคำตอบทีถ่ กู ตอ้ งที่สุดเพยี งคำตอบเดียวแลว้ ทำเครื่องหมาย ลงในกระดาษคำตอบ ขอ้ ใดตอ่ ไปนผี้ ดิ ก. ถ้า F(x) = f (x)แลว้ F(x)จะเปน็ ปฏยิ านพุ ันธ์ของ f (x) ข. ปฏยิ านุพันธ์ทั้งหมดของ f (x)จะเรยี กวา่ อินทิกรัลไม่ จำกัดเขตของ f (x) ค. การหาอนิ ทิกรัลเปน็ กระบวนการผนั กลบั ของการหา อนพุ นั ธ์ ง.  f (x)dx = F(x) + c ซง่ึ F(x) = f (x) จ.  f (x)dx คอื ปฏิยานุพนั ธข์ อง f (x) แนวคิด จงหา 3x2dx ก. 3x + c ข. 6x + c ค. x3 + c ง. 2x3 + c จ. 6x3 + c แนวคดิ แคลคูลสั 1 28

จงหาคา่ (x +x +)dx ก. 6x + 2 + c ข. x3 + x2 + 5x + c ค. 3x3 + 2x2 + 5x + c ง. 4x3 + 3x2 + 5x + c จ. 6x3 + 2x2 + 5x + c แนวคดิ จงหาคา่ 3 xdx ก. 2 x3 + c ข. 3 x + c 2 ค. 3 x + c ง. 3 x3 + c จ. 6 x3 + c แนวคิด 29 แคลคลู ัส 1

จงหาคา่ (x +2)5dx ก. (x + 2)4 + c 4 ข. (x + 2)6 + c 6 ค. 5 (x + 2)6 + c 6 ง. x6 + 3x2 + c 6 จ. x2 + 2x + c 2 แนวคิด จงหา 6x2 (x2 + x)dx ก.  x +  x + c  ข.  x −  x + c  ค. x − x + c ง. − x + x + c จ. x + x + c แนวคิด แคลคูลสั 1 30

จงหาค่า 2  4x3dx 0 ก. − ข. 8 ค. − ง. 16 จ. 32 แนวคดิ จงหาคา่ 82  x3dx 1 ก. 32 5 ข. 42 3 ค. 93 5 ง. 51 3 จ. 63 2 แนวคดิ 31 แคลคลู สั 1

จงหาค่า 3 (6 x 2 + 1)dx  −2 ก. 39 ข. 54 ค. 57 ง. 74 จ. 75 แนวคิด จงหาค่า  (x + ) dx   ก.   ข.   ค.   ง.   จ.   แนวคิด แคลคูลสั 1 32

33 แคลคลู สั 1