1404-Limit1

รหัสวชิ า รายวิชา หนว่ ยกติ 3–0-3 30000 - 1404 แคลคูลสั 1 (CALCULUS 1) จดุ ประสงค์รายวิชา 1. เข้าใจความคดิ รวบยอดเก่ยี วกบั ลิมิตและความต่อเนื่องของฟงั ก์ชัน อนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันพชี คณิต อนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั อดิศยั การประยกุ ต์ ของอนุพันธ์ อนิ ทิกรลั ฟงั ก์ชันพีชคณิต อินทกิ รลั ฟังกช์ ันอดิศยั และอนิ ทกิ รัลจำกัดเขต 2. สามารถนำความรู้เร่อื ง ลิมิตและความต่อเนื่องของฟงั ก์ชนั อนุพนั ธ์ ของฟังกช์ นั อนิ ทิกรลั ของฟังกช์ ัน ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นงานอาชีพ 3. มเี จตคติท่ดี ีต่อการเรียนรู้ทางคณิตศาสตร์ สมรรถนะรายวชิ า 1. ดำเนนิ การเกย่ี วกบั ลมิ ติ และ ตรวจสอบความต่อเนอื่ งของฟังกช์ นั 2. ดำเนินการเกีย่ วกบั อัตราการเปลีย่ นแปลงของฟงั กช์ นั 3. ดำเนินการเกี่ยวกับอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั พีชคณติ และฟังกช์ ันอดิศยั 4. ดำเนนิ การเกี่ยวกับอนุพนั ธ์อนั ดบั สูงและประยุกต์อนพุ นั ธใ์ นงานอาชพี 5. ดำเนินการเกีย่ วกับอนิ ทกิ รัลฟังก์ชันพีชคณิตและฟังก์ชนั อดศิ ยั 6. ดำเนินเก่ยี วกับอนิ ทกิ รลั จำกัดเขตและประยุกตใ์ ช้ในงานอาชพี คำอธิบายรายวิชา ศึกษาและฝึกทักษะการคิดคำนวณและการแก้ปัญหาเกี่ยวกับลิมิตและความ ต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย การประยุกต์ของอนุพันธ์ อินทิกรัลฟังก์ชันพีชคณิต อินทิกรัลฟังก์ชันอดิศัย อินทิกรัล จำกัดเขตและการประยกุ ตใ์ ช้ในงานอาชีพ 1 แคลคลู สั 1

1 1หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ ลมิ ิตและความตอ่ เนอ่ื ง (Limits and Continuity) หัวขอ้ เรอื่ ง 1. ความหมายของลมิ ิต 2. การหาลิมิตของฟังกช์ นั 3. ลิมติ อนนั ต์ 4. ลมิ ติ ทีอ่ นนั ต์ 5. ลิมติ ด้านเดยี ว 6. ความตอ่ เนอ่ื งของฟงั ก์ชนั แคลคูลสั 1 2

จุดประสงค์ประจำหนว่ ย 1. เขา้ ใจความคดิ รวบยอดเก่ียวกับลิมติ และความต่อเนือ่ งของ ฟังก์ชนั 2. สามารถนำความรเู้ ร่ือง ลมิ ติ และความตอ่ เน่ืองของฟงั กช์ นั ไปประยุกต์ใช้ในงานอาชีพ 3. มีเจตคติท่ีดีต่อการเรยี นรทู้ างคณิตศาสตร์ สมรรถนะประจำหนว่ ย เม่ือศกึ ษาหน่วยน้ีแล้วนักศึกษาสามารถ 1. บอกความหมายของลมิ ติ ได้ 2. หาลมิ ติ ของฟงั ก์ชันได้ 3. บอกความหมายของลมิ ิตอนนั ตไ์ ด้ 4. หาลิมติ อนันตไ์ ด้ 5. บอกความหมายของลิมติ ท่อี นันตไ์ ด้ 6. หาลิมติ ทีอ่ นนั ต์ได้ 7. บอกบทนยิ ามของความตอ่ เน่อื งได้ 8. พิจารณาความตอ่ เนือ่ งของฟงั ก์ชันได้ 9. นำความร้เู รื่องลมิ ิตและความต่อเน่ืองไปใช้แกโ้ จทย์ปญั หาได้ 3 แคลคลู สั 1

1.1 ความหมายของลิมติ (Definition of Limits) ให้ f (x) = x + 2 จงหาค่า f (x)เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ซึ่งการหาค่า f (x) ทำได้ โดยกำหนดค่า x แล้วหาคา่ f (x) ซ่งึ แสดงได้ดังตารางต่อไปน้ี x เข้าใกล้ 2 ทางซา้ ย → 2  x เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา x 0 1 1.9 1.99 1.999 → 2  2.001 2.01 2.1 2.2 2.5 3 f (x) 2 3 3.9 3.99 3.999 → 4  4.001 4.01 4.1 4.2 4.5 5 จากตาราง ถ้า x เข้าใกล้ 2 ทางซา้ ย จะทำให้คา่ ของ f (x) เขา้ ใกล้ 4 เรยี ก 4 ว่าเป็นลิมิตซ้ายของ f (x) เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางซ้าย ซึ่งเขียนแทนด้วย สญั ลกั ษณ์ lim f(x) = 4 …………  x→2− จากตาราง ถ้า x เข้าใกล้ 2 ทางขวา จะทำให้ค่าของ f (x) เข้าใกล้ 4 เรียก 4 ว่าเป็นลิมิตขวา ของ f (x) เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางขวา ซึ่งเขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ lim f(x) = 4 …………  x→2+ แคลคูลสั 1 4

จาก  และ จะพบว่าเมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางซ้าย หรือ x มีค่า เข้าใกล้ 2 ทางขวา จะทำให้ f (x) มีค่าเข้าใกล้ 4 เหมือนกัน ลักษณะเช่นนี้ จะเรียก 4 ว่าเป็นลิมิตของ f (x) เมื่อ x เข้าใกล้ 2 และจะเขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ lim(x + ) = 4 x→ ซึง่ อาจสรุปให้อยใู่ นรูปสัญลกั ษณ์ทว่ั ไปดงั นี้ lim f (x) = L กต็ อ่ เมื่อ lim f (x) = lim f (x) = L x→a x→a− x→a+ สำหรบั ฟังก์ชนั f (x) = x2 − 4 นำมาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี x−2 5 f (x) • f (x) = x2 −4 x−2 4 3• 2• 1 0 1 23 x รูป 1.1 กราฟของฟงั กช์ ัน f (x) = xx2−−24 ดงั น้นั จากกราฟรปู 1.1 จะได้ lim x2 − 4 = 4 x→2 x − 2 5 แคลคลู ัส1

บทนิยาม ถ้า f (x) เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x ซึ่ง x ถูกกำหนดไว้ภายใน ช่วงเปิดใด ๆ ท่ีมจี ดุ a อยภู่ ายใน และให้ L เปน็ จำนวนจรงิ จะเรียก L ว่าเป็นลิมิตของ f (x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ถ้าทุก ๆ ค่าของ x ที่เข้าใกล้ a ทำให้คา่ ของ f (x) เขา้ ใกล้ L ซงึ่ แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ lim f (x) = L x→a ตวั อยา่ ง 1.1 จงหาคา่ ลิมติ ของฟงั กช์ ันจากกราฟทก่ี ำหนดให้ ถ้าฟังกช์ นั นน้ั มีลิมิต y  1.1 =lim f (x) หาคา่ ไมไ่ ด้ 8 x→1 6 1.2 = 6lim f (x) x→2 4 1.3 =lim f (x) หาค่าไมไ่ ด้ 2 x→ 1.4 = 8lim f (x) x→4 0 1 2 34 x แคลคูลสั 1 6

1.2 การหาลิมิตของฟงั กช์ นั 1.2.1 การหาลมิ ิตของฟงั ก์ชันโดยใชท้ ฤษฎีบทของลมิ ติ ทฤษฎบี ทท่ี 1 ให้ a, c เปน็ ค่าคงตัว จะได้ 1. limc =c x→a = f (a) ถา้ f (x) เปน็ ฟังกช์ นั พหุนาม = c lim f (x) 2. lim f (x) x→a x→a 3. limcf (x) x→a 4. =lim[ f (x)  g(x)] lim f (x)  lim g(x) x→a x→a x→a 5. =lim[ f (x)  g(x)] lim f (x)  lim g(x) x→a x→a x→a 6. lim f (x) = เมื่อlim f (x) lim g(x)  0 x→a g(x) x→a lim g(x) x→a 7. limn f (x) x→a x→a = n lim f (x) x→a ทฤษฎีบทที่ 1 สามารถพิสูจน์ได้ นักศึกษาสามารถศึกษาได้จาก หนังสือแคลคูลัสทั่วไปในที่นี้จะไม่พิสูจน์ แต่จะแสดงการนำไปใช้ดังตัวอย่าง ต่อไปนี้ 7 แคลคลู สั 1

ตวั อย่าง 1.2 ให้ f (x) = 2x2 + 3x −1จงหา lxi→m2 f (x) วิธที ำ จาก f (x) = 2x2 + 3x −1 จะได้ lxi→m2 f (x) = lxi→m2(2x2 + 3x −1) = lxi→m2 2x2 + lxi→m23x − lxi→m21 2 lxi→m2 x2 + 3lxi→m2 x −1 = 2(2)2 + 3(2) −1 = = 8+6−1 = 13 ตอบ ตวั อย่าง 1.3 ให้ f (x) = 2x3 +2x2 −4x +5 จงหา xl→im−1 f (x) วิธีทำ = 2x3 +2x2 −4x+5 จาก f (x) จะได้ lim f (x) = lim (x + x − x + ) x→− x→− = lim 2x3 + lim 2x2 − lim 4x + lim 5 x→−1 x→−1 x→−1 x→−1 = 2 lim x3 + 2lim x2 − 4lim x + lim 5 x→−1 x→−1 x→−1 x→−1 = (−) + (−) − (−) +  = (−) + () − (−) +  = −+++ = ตอบ แคลคูลสั 1 8

1.2.2 การหาลิมิตของฟังก์ชันโดยใช้การแทนค่า ตวั อยา่ ง 1.4 จงหา xli→m2 x2x−−x3+6 xli→m2 x2x−−x3+6 วธิ ีทำ =  −  +  − = −+ − = − = − ตอบ 1.2.3 การหาลิมติ ของฟงั ก์ชันโดยใช้การแยกตวั ประกอบ 0 ในกรณีที่แทนค่า x = a ในฟังก์ชัน f(x) แล้วปรากฏว่าได้ผลลัพธ์ 0 เป็น ซึ่งเป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนด (Indeterminate Form) คือบอกไม่ได้ ว่าฟังก์ชันมีค่าเท่ากบั เท่าใด ให้ทำโดยแยกตัวประกอบของ f(x) แล้วกำจัดตัว ประกอบที่ทำให้ส่วนเป็น 0 ออกแล้วนำค่า x = a ไปแทนในส่วนที่เหลือ ดัง ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี ตัวอย่าง 1.5 จงหา lim x −  x− x→ วธิ ีทำ lim x −  = lim (x − )(x + ) x− x→ (x − ) x→ = lim (x + ) x→ = 2+2 =4 ตอบ 9 แคลคลู สั 1

ตวั อย่าง 1.6 จงหา lim x  −x−  x− x→ วิธที ำ x  −x− x− =lim  lim (x − 3)(x + 2) x→3 (x − 3) x→ = lim(x + 2) x→3 = 3+2 =5 ตอบ 1.2.4 การหาลิมิตของฟงั ก์ชันโดยใช้การคณู ดว้ ยสงั ยุค(Conjugate) 0 ในกรณีท่แี ทนค่า x = a ในฟังก์ชัน f(x) แล้วปรากฏวา่ ได้ผลลัพธเ์ ป็น 0 และ f(x) แยกตัวประกอบไมไ่ ด้และอย่ใู นรากที่ 2 ใหน้ ำสงั ยคุ (Conjugate) ของตัวประกอบที่มีรากที่ 2 ติดอยู่คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนแล้วตัดตัวประกอบ ที่ทำให้ส่วนเป็น 0 ออกแลว้ แทนค่า x = aในสว่ นท่ีเหลอื ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ี ตวั อย่าง 1.7 จงหา lim x − 3 x→9 x − 9 วธิ ที ำ =lim x − 3 lim x − 3  x + 3 x→9 x − 9 x + 3 x→9 x − 9 = lim x − 9  1 x→9 x − 9 x + 3 = lim 1 x→9 x + 3 1 = 9+3 =1 3+3 1 = 6 ตอบ แคลคูลสั 1 10

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ่ี แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ่ี 1.1 จดุ ประสงค์ นักศึกษาสามารถหาค่าลมิ ติ ของฟงั ก์ชันได้ 1. จงหาค่าลมิ ติ ของฟังกช์ นั จากกราฟที่กำหนดให้ 1.1 =lim f (x) f(x) x x→1 6 1.2 =lim f (x) 5 x→2 4 3 1.3 =lim f (x) 2 x→4 1 1.4 =lim f (x) 0 123456 x→5 2. จงหาลมิ ิตของฟังก์ชันตอ่ ไปนโี้ ดยการแทนค่า 2.1 xli→m0(x +3) 2.2 xli→m2(5x2 +4x +3) 11 แคลคลู สั 1

2.3 xli→m2(3x2 −2x +1) 2.4 xli→m0(x −4)(2x +5) 2.5 lim (−+ x)(x − ) x →− แคลคูลสั 1 12

2.6 lim(x2 − 8x + 2) x→2 2.7 lim 5x x→2 2 + x2 2.8 lim 2x + 5 x→10 3x − 5 13 แคลคลู สั 1

3. จงหาลิมิตของฟังกช์ นั ต่อไปน้โี ดยวิธีแยกตวั ประกอบ 3.1 lim x2 − 9 x→3 x − 3 3.2 lxi→m3 x 2 x+ x 3−12 − 3.3 lim x2 − x − 6 x→3 x 2 − 9 3.4 x2 − 25 lim x→5 x − 5 แคลคูลสั 1 14

4. จงหาลมิ ิตของฟังก์ชันตอ่ ไปนี้โดยใชก้ ารคณู ดว้ ยสงั ยคุ 4.1 lim x + −  x→ x − 4.2 lim x+− x→ x − 4.3 lim x+−  x→ x 15 แคลคลู สั 1

1.3 ลมิ ติ อนันต์ (Infinite limit) ถ้าค่าของฟังก์ชัน f (x) มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขตเมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a แล้ว จะกล่าวว่าฟังก์ชัน f (x) ไม่มีลิมิต หรือเรียกลิมิตของ f (x) ว่า ลิมิต อนันต์ (Infinite limit) ซ่ึงแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ =lim f (x)  x→a ให้ f (x) = 1 สำหรับทุกค่าของ x  0 กราฟของ f (x) แสดงได้ ดงั รปู 1.2 x f(x) 0x รปู 1.2 กราฟของฟังกช์ นั =f (x) 1 x จากกราฟรูป 1.2 ถ้า x เขา้ ใกล้ 0 ทางขวา lim 1 =  xx→0+ และถ้า x เขา้ ใกล้ 0 ทางซ้าย lim 1 = − xx→0− แคลคูลสั 1 16

สัญลักษณ์ lim f (x) =  มีความหมายว่า f (x) มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มี x→a+ ขอบเขต เม่ือ x เข้าใกล้ a ทางขวา สัญลักษณ์ lim f (x) = − มีความหมายว่า f (x) มีค่าลดลงอย่างไม่มี x→a− ขอบเขต เมื่อ x เขา้ ใกล้ a ทางซา้ ย ทฤษฎีบท 2 ถ้า n เปน็ จำนวนบวกใด ๆ จะได้ 1. lim 1 = x→a+ (x − a)n 2. lim 1 =   ถ้า n เป็นเลขคู่ x→a− (x − a)n − ถ้า n เป็นเลขค่ี ตวั อยา่ ง 1.8 จงหา lim x   + x→− วิธที ำ lim x  = +  −+ x→− =  = ตอบ ตอบ ตัวอย่าง 1.9 จงหา lim   x + x→− วธิ ีทำ =lim    x + (−) +  x→− =  (−) +  =  −+ =   = 17 แคลคลู สั 1

1.4 ลมิ ิตท่ีอนนั ต์ (Limits at Infinity) พิจารณาฟังก์ชัน f (x) = 2x2 เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต x2 +1 ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล้ 2 ดังแสดงในตารางต่อไปน้ี x มคี า่ เพิม่ ขน้ึ อย่างไม่มีขอบเขต 500 1,000 … x 0 5 10 20 50 100 f (x) 0 1.92 1.98 1.995 1.9992 1.9998 1.999992 1.999998 … ดังน้ัน 2x2 =2 lim x2 +1 x→ ในทำนองเดียวกันถ้า x มีค่าลดลงอย่างไม่มีขอบเขต ค่าของ f (x) จะเขา้ ใกล้ 2 ดงั แสดงในตาราง x… -1,000 x มคี า่ ลดลงอยา่ งไมม่ ีขอบเขต -10 -5 0 f (x) … 1.999998 -500 -100 -50 -20 1.98 1.92 0 1.999992 1.9998 1.9992 1.995 ดังน้นั lim 2x2 =2 x→− x 2 + 1 แคลคูลสั 1 18

เครื่องหมาย  และ −  ที่ใช้ในที่นี้ไม่ใช่จำนวนจริง เป็นเพียง สัญลักษณ์ ที่ใช้แทนคำว่า “มากอย่างไม่มีขอบเขต” และ “น้อยอย่างไม่มี ขอบเขต” ซ่งึ แสดงดังกราฟ รูป 1.3 f(x) ff((xx) )= x 2 2 x= +2x -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 x รปู 1.3 กราฟของฟังก์ชนั f (x) = 2x2 x2 +1 สญั ลกั ษณ์แทนลิมิตของ f (x) เม่อื x เพิม่ ข้นึ อย่างไม่มีขอบเขต คือ =lim f (x) L เมื่อ L เป็นจำนวนจรงิ x→ และ สัญลักษณ์แทนลิมิตของ f (x) เมื่อ x ลดลงอย่างไม่มีขอบเขต คือ =lim f (x) M เมือ่ M เปน็ จำนวนจรงิ x→− 19 แคลคลู ัส1

1.4.1 การหาลิมิตทอ่ี นนั ต์ของฟงั ก์ชนั 1) การหาลิมติ ที่อนันต์ของฟังก์ชันดว้ ยทฤษฎบี ทของลมิ ิตทอ่ี นันต์ ทฤษฎีบท 3 ถา้ p เปน็ จำนวนบวกแลว้ 1. =1 0 เมื่อ xp  0 lim x p xp  0 x→ 2. lim 1 = 0 เม่ือ xx→− p จาก ทฤษฎบี ท 3 จะได้ 1. lim c = c lim 1 = c(0) = 0 xx→ p = xx→ p = c(0) = 0 2. c 1 lim c lim x p x p x→− x→− ตวั อยา่ ง 1.10 จงหา 2 + 3 − 4 ) lim( x3 x5 x→ x วธิ ที ำ =lim( 2 + 3 − 4 ) lim 2 + lim 3 − lim 4 x→ x xx→ 3 xx→ 5 x→ x x3 x5 2 lim 1 + 3lim 1 − 4 lim 1 = x→ x xx→ 3 xx→ 5 = 2(0) + 3(0) − 4(0) =0 ตอบ แคลคูลสั 1 20

ตัวอยา่ ง 1.11 จงหา lim (2 + 3 ) x4 x→− วธิ ที ำ lim (2 + 3 ) = lim 2 + lim 3 x→− x4 x→− xx→− 4 =2 + 3 lim 1 x→− x4 = 2 + 3(0) =2 ตอบ 2) การหาลิมติ ทอ่ี นนั ต์ของฟังก์ชันทอ่ี ยใู่ นรปู ฟงั ก์ชนั ตรรกยะ ทฤษฎีบท 4 ถ้า f (x) = p(x) เปน็ ฟงั ก์ชันตรรกยะ โดยที่ q(x) และ p(x) = an x n + an−1x n−1 + an−2 x n−2 + ... + a0 เม่ือ an  0 q(x) = bm xm + bm−1x m−1 + bm−2 xm−2 + ... + b0 เมอ่ื bm  0 แล้ว lim f (x) = 0 ถ้า nm x→ ไbaมmn่มี ถ้า n=m ถ้า nm การหาลิมิตที่อนันต์ของฟังก์ชันตรรกยะโดยการแทนค่า x = แล้ว ปรากฏว่าได้ผลลัพธ์เป็น   ซึ่งเป็นรูปแบบที่ยังไม่กำหนด (Indeterminate  Form) คือบอกไม่ได้ว่ามีค่าเท่ากับเท่าใด ให้แยกตัวประกอบของเศษและส่วน ด้วยการนำตัวแปรกำลังสูงสุดเป็นตัวประกอบตัวหนึ่งแล้วตัดกันหรือนำตัวแปร ที่มีกำลังสงู สุดในโจทยห์ ารทั้งเศษและส่วน ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี 21 แคลคลู สั 1

ตวั อยา่ ง 1.12 จงหา lim x +  x→ x + วิธที ำ =x +  5x + 4 lim x +  lim x x x→ 2x + 3 x→ xx = lim  +  x→  + x  x = + + 5 = 2 ตอบ ตวั อย่าง 1.13 จงหา lim 5x2 + 3 x→ 3x2 + 4 วิธีทำ =lim 5x2 + 3 (5x2 + 3 ) lim x2 x2 x→ 3x2 + 4 x→ 3x2 ( 4) + x2 x2 = lim  +  x→  + x = +  + x =  ตอบ  แคลคูลสั 1 22

ตัวอย่าง 1.14 จงหา 2x5 + 7 วธิ ที ำ lim lim 2x5 + 7 x→− 6x3 + 4 x→− 6x3 + 4 = 2x5 + 7 lim x5 x5 x→− 6x3 + 4 x5 x5 = (2 + 7 ) lim x5 x→− 6 4 ( x2 + x3 ) = (2 + 0) (0 + 0) =2 0 = = ไมม่ ีลมิ ิต ตอบ ตอบ ตัวอย่าง 1.15 จงหา lim 3x4 + 9 x→ 8x6 + 5 วิธที ำ =lim 3x4 + 9 3x4 + 9 lim x6 x6 x→ 8x6 + 5 x→ 8x6 + 5 x6 x6 = 3 + 9) lim x2 x6 x→ 5 8 + x6 = (0 + 0) (8 + 0) =0 8 =0 23 แคลคลู ัส1

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ี่ แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 1.2 จุดประสงค์ นักศกึ ษาสามารถหาค่าลิมติ อนันตแ์ ละลมิ ติ ที่อนนั ต์ได้ 1. จงหาลมิ ติ อนันต์ของฟังกช์ ันตอ่ ไปนี้ 1.1 lim x − x→ x − 1.2 lim x −  x→ x − 1.3 lim x − x→ x − แคลคูลสั 1 24

2. จงหาลมิ ิตทีอ่ นันตข์ องฟังกช์ นั ต่อไปน้ี 2.1 xli→m 3xx22−−41 2.2 xli→m x x3 x+2x−1 4+ 2.3 xli→m 3x2 −2x +5 2x2 −3x −1 2.4 lim 4x 3 − 3x2 + 2x − 1 x →− x3 − 5x +1 25 แคลคลู ัส1

2.5 lim x 4 x +3 − 4 x →− − 2x2 2.6 xli→m x 5 −3x3 + x 4x2 − 3 2.7 lim x x +   x→  − x + 2.8 lim x − x +  x→ x +  แคลคูลสั 1 26

2.9 lim x +  x→ x  − x +  2.10 lim x −  x→  x  +  2.11 lim x  − x +  x→− x − 2.12 lim x  + x −  x→− x +  27 แคลคลู สั 1

1.5 ลิมติ ดา้ นเดยี ว (One Side Limit) บทนิยาม ลิมติ ด้านเดียว หมายถงึ ลิมิตทม่ี ีคา่ ลมิ ิตซ้ายและลมิ ิตขวา ไม่เทา่ กนั ตัวอยา่ ง 1.16 ให้ =  x +1 ถ้า x  1 จงหา lim f (x) และ lim f (x) f (x)  + 2 ถา้ x 1 x→1− x→1+ x วิธที ำ lim f (x) = lim(x + 1) x→1− x→1− =2 lim f (x) = lim(x + 2) = x→1+ x→1+ 3  lim f (x)  lim f (x) x→1− x→1+ ดังน้ัน lim f (x) และ lim f (x) จงึ เป็นลิมติ ดา้ นเดียว ตอบ x→1− x→1+ แคลคูลสั 1 28

1.6 ความต่อเนอ่ื ง (Continuity) การพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x =a สามารถ พจิ ารณาไดด้ งั น้ี 1.6.1 พิจารณาจากกราฟ โดยพิจารณาว่าถ้ากราฟของฟงั ก์ชัน f (x) ไม่ขาดตอนที่จุด x = a แสดงว่า ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องที่ x = a แต่ถ้ากราฟของฟังก์ชัน f(x)ขาด ตอนที่ x = a แสดงวา่ ฟงั กช์ นั f (x)ไมต่ อ่ เนือ่ งที่ x = a ตวั อยา่ ง 1.17 ให้ f (x) = x2 − 4 จงพิจารณาวา่ f (x) ต่อเนอ่ื งท่ี x =1 หรอื ไม่ วธิ ีทำ พิจารณาจากกราฟดงั น้ี f(x) จาก f (x) = x2 − 4 3 f(x) = x2 −4  f (1) = −3 2 กราฟของฟงั ก์ชนั 1 f (x) ไม่ขาดตอนทจี่ ดุ x =1 -3 -2 -1-10 -2 3 x ดังนนั้ ฟงั ก์ชนั f (x) ตอ่ เนอื่ งท่ี x =1 ตอบ -3 -4 29 แคลคลู ัส1

1.6.2 พจิ ารณาโดยใชบ้ ทนยิ ามของความตอ่ เนื่อง บทนิยาม ถ้า f (x)เปน็ ฟงั กช์ ันใด ๆ แล้ว f (x)จะตอ่ เนื่องท่จี ุด x = aเมอ่ื a เป็น จำนวนใด ๆ ก็ต่อเม่อื 1. f (a) หาคา่ ได้ 2. lim f (x) หาค่าได้ x→a 3. lim f (x) = f (a) x→a ตัวอย่าง 1.18 ให้ f (x) = x2 − 4 จงพิจารณาวา่ f (x) ต่อเนอื่ งที่ x =1 หรือไม่ วิธที ำ พจิ ารณาจากกราฟและเงือ่ นไขดงั นี้ 1. =f(x) f (x) x2 − 4 3 f(x) = x2 −4  f (1) = 12 − 4 2 3x = 1− 4 1 2. f (x) =  lim f (x) = −3 -3 -2 -1-10 x2 − 4 -2 x→1 = lim(x − ) -3 -4 = x→ 12 − 4 = 1−4 = −3 3. lim f (x) = f (1) x→1 ดงั นั้นฟังก์ชนั f (x) ตอ่ เน่อื งท่ี x =1 ตอบ แคลคูลสั 1 30

ตัวอย่าง 1.19 ให้ f (x) = x2 , x  0 จงพิจารณาวา่ f (x) ต่อเนื่องที่ x = 0หรือไม่  1 , x0 วิธที ำ พจิ ารณาจากกราฟและเงอื่ นไขดงั น้ี f(x) 1. f (0) = 1 -4 -3 -2 -1-10 1234 x 2. lim f (x) = lim x2 -2 x→0− -3 lim f (x) = x→0− -4 x→0+ = 0 = lim 1 x→0+ 1  lim f (x)  lim f (x) x→0− x→0+ ดงั นนั้ lim f (x) ไมม่ ี ดงั นน้ั ฟงั ก์ชัน x→0 f (x) ไมต่ ่อเน่ืองท่ี x = 0 ตอบ ตัวอย่าง 1.20 ให้ f (x) = x + x −  จงพิจารณาวา่ f (x)ไม่ต่อเน่อื งท่ใี ด x −  วธิ ที ำ ฟงั กช์ ัน f (x) จะไมต่ อ่ เนื่องถา้ f (x)หาค่าไม่ได้ f (x) จะหาค่าไม่ได้เมอ่ื x −  =  =x 2 4 x = 2 ดงั น้ัน f (x)จะไม่ต่อเนอื่ งท่ี x =  2 ตอบ 31 แคลคลู สั 1

แบบฝึกปฏิบตั ทิ ่ี แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ี่ 1.3 จุดประสงค์ นักศกึ ษาสามารถพจิ ารณาความต่อเน่อื งของฟงั ก์ชันได้ x +  เมื่อ x   1. ให้ = จงหา และf (x) lim f (x)   เม่ือ x   lim f (x)  x→+ x→− x −  เม่ือ x  -3 2. ให้ = จงหา และf (x)  x −  เม่ือ x  -3 lim f (x) lim f (x)  x →−− x →−+ แคลคูลสั 1 32

3. ให้ =  x เม่ือ x จงหาคา่ , และf () lim f (x)  f (x)   + x เมื่อ x= x→− lim f (x) x→+ x −  เมื่อ x 4. ให้ f (x) = x + จงพจิ ารณาว่า f (x)ตอ่ เนื่องที่ x = หรือไม่ 33 แคลคลู สั 1

5. ให้ f (x) = x +3 เม่ือ x0 จงพิจารณาวา่ f (x)ตอ่ เนอื่ ง  เม่ือ x=0  3 ท่ี x = 0 หรอื ไม่ 6. ให้ f (x) = 2x − 3 เม่ือ x  -2 จงพิจารณาว่า f (x)ตอ่ เนอื่ ง  x  -2  x − 5 เมื่อ ที่ x = − หรือไม่ แคลคูลสั 1 34

7. ให้ f (x) =  x2 เมื่อ x 1 จงพิจารณาวา่ f (x) ตอ่ เนอ่ื ง  เมื่อ x 1 − x 2 + 2 ท่ีx = 1 หรอื ไม่  x2 เม่ือ x  3 8. ให้ f (x) = 12 − x เมื่อx = 3 จงพจิ ารณาวา่ f (x)ตอ่ เนื่อง  x + 6 เมื่อ x  3  ที่ x = 3 หรือไม่ 35 แคลคลู สั 1

9. ให้ f (x) = x2 + 2x −3 จงพจิ ารณาว่า f (x)ไมต่ ่อเนื่องที่ใด x2 −9 10. ให้ f (x) = x2 + 4 จงพจิ ารณาว่า f (x)ไมต่ อ่ เน่ืองท่ใี ด x+2 แคลคูลสั 1 36

11. ให้ f (x) = 3x2 + 2x + 4 จงพิจารณาว่า f (x)ไมต่ ่อเนื่องที่ใด x2 + 4 12. ให้ f (x) = 4x2 +1 จงพจิ ารณาวา่ f (x)ไมต่ ่อเน่อื งที่ใด 3x − 6 37 แคลคลู ัส1

คำชีแ้ จง จงเลือกคำตอบทถ่ี ูกตอ้ งท่สี ดุ เพยี งคำตอบเดียวแลว้ ทำเครื่องหมาย ลงในกระดาษคำตอบ lim(x3 + 2x2 − 3x − 4) มคี า่ เทา่ ใด x→−1 ก. –10 ข. –6 ค. –2 ง. 0 จ. 1 แนวคิด lim x2 − 4 มคี ่าเทา่ ใด x→2 x2 − 5x + 6 ก. –4 ข. 0 ค. 4 7 ง. 4 จ. ไม่มีลมิ ิต แนวคิด แคลคูลสั 1 38

lim x− มีค่าเทา่ ใด x −  x→ ก. –2 ข. 0 ค.   ง.   จ. ไม่มีลิมติ แนวคิด lim (x + h ) − x มคี า่ เทา่ ใด h h → ก. 0 ข. x ค. 2x3 ง. 3x2 จ. 3x3 แนวคิด 39 แคลคลู ัส1

lim x2 + 5x + 6 มีคา่ เทา่ ใด x→ x + 1 ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3 จ. ไม่มลี ิมติ แนวคดิ 2x2 +1 มคี า่ เท่าใด lim x→ 6 + x − 3x2 ก. −   ข. 1 6 ค. 1 3 ง. 2 3 จ. ไม่มีลมิ ิต แนวคิด แคลคูลสั 1 40

lim 2x3 มีคา่ เท่าใด x→− 4x4 + 7 ก. 2 ข. 0 ค. 1 2 ง. 2 7 จ. ไมม่ ีลมิ ติ แนวคิด ให้ f (x) = x +1 จงตรวจสอบว่า f (x) ไม่ตอ่ เน่อื งท่ีใด x−2 ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 4 จ. ฟังก์ชนั f (x) เป็นฟังก์ชันต่อเนอ่ื งทท่ี ุก ๆ จุดของ x แนวคิด 41 แคลคลู สั 1

ให้ f (x) = x3 + 27 จงตรวจสอบว่า f (x) ไม่ต่อเนือ่ งที่ใด x−3 ก. –3 ข. –9 ค. –27 ง. 3 จ. 9 แนวคดิ ให้ = −x จงตรวจสอบวา่ f (x) ไม่ตอ่ เน่อื งทใ่ี ด f (x)  + x ก. 0 ข. –2 ค. 4 ง. 9 จ. ฟังกช์ นั f (x) เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนือ่ งที่ทุก ๆ จดุ ของ x แนวคิด แคลคูลสั 1 42

43 แคลคลู สั 1