1401-บทที่ 9 การประมาณค่า1

เอกสารประกอบการเรียน 99 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ การประมาณค่า (Estimation) ผูส้ อน ครจู ิตรเมธี สายส่มุ

บทที่ 9 การประมาณคา่ Estimation สาระการเรียนรู้ 1. ความหมายของการประมาณค่า 2. ประเภทของการประมาณค่า 2.1 การประมาณค่าแบบจุด 2.2 การประมาณค่าแบบช่วง 3. การประมาณค่าเฉล่ยี ของประชากร 3.1 การประมาณค่าเฉลยี่ ของประชากรกลุ่มเดยี ว 3.2 การประมาณค่าผลตา่ งของค่าเฉลยี่ ของประชากรสองกลุ่ม 4. การประมาณค่าสดั สว่ นของประชากร 4.1 การประมาณค่าสัดสว่ นของประชากรกล่มุ เดยี ว 4.2 การประมาณค่าผลต่างของสัดส่วนของประชากรสองกลมุ่ 5. การประมาณค่าความแปรปรวนของประชากร จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 1. บอกความหมายของการประมาณคา่ ได้ 2. บอกประเภทของการประมาณคา่ ได้ 3. ประมาณคา่ เฉลี่ยของประชากรได้ 4. ประมาณคา่ สดั ส่วนของประชากรได้ 5. ประมาณคา่ ความแปรปรวนของประชากรได้ 1 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้อื งต้น

9.1 ความหมายของการประมาณค่า (Estimation) (Estimation) การประมาณค่า หมายถึง การประมาณค่าพารามิเตอร์หรือลักษณะต่างๆ ของประชากรโดยใช้ข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง การประมาณค่าที่ใช้กันทั่ว ๆ ไป ได้แก่ การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร การประมาณค่าสัดส่วนของประชากร และ การประมาณค่าความแปรปรวนของประชากร 9.2 ประเภทของการประมาณคา่ (Estimation) (Estimation) การประมาณค่าพารามเิ ตอรส์ ามารถแบง่ ได้ 2 ประเภท ไดแ้ ก่ 1. การประมาณค่าแบบจดุ (point estimate) 2. การประมาณค่าแบบชว่ ง (interval estimate) การประมาณคา่ แบบจุด (Point Estimation) การประมาณคา่ แบบจดุ หมายถึง การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรโดยใช้ ค่าสถติ ิจากตวั อย่างด้วยตัวเลขเพยี งคา่ เดียว เชน่ มิว เอก็ ซบ์ า ประมาณค่าเฉลย่ี ของประชากร (  ) โดยใชค้ ่าเฉล่ียของตวั อยา่ ง ( x ) ประมาณค่าสัดส่วนของประชากร ( p) โดยใชค้ า่ สัดสว่ นของตัวอยา่ ง ( pˆ) ประมาณค่าความแปรปรวนของประชากร ( 2 ) โดยใช้คา่ ความแปรปรวน ของตวั อยา่ ง (s2 ) พแี ฮ็ท พี ซกิ มากำลงั สอง เอสกำลังสอง สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 2

การประมาณคา่ แบบชว่ ง (Interval Estimation) (Point Estimation) เนื่องจากการประมาณค่าแบบจดุ เป็นการประมาณค่าโดยใชค้ า่ ประมาณเพยี งค่า เดยี ว ดังนัน้ หากค่าจากตวั อยา่ งท่ีสุ่มมามีความแตกตา่ งจากประชากรมาก การประมาณ ค่าแบบจุดก็จะมีประสิทธิภาพต่ำ และเสี่ยงต่อการเกิดความผิดพลาดสูง เพราะการ ประมาณค่าแบบจุดไม่ได้มีการกำหนดขนาดของความผิดพลาดไว้ รวมทั้งไม่ได้บอกด้วย ว่าการประมาณค่านั้นใกล้เคียงกับค่าพารามิเตอร์เพียงใด นักสถิติจึงพยายามคิดค้น วิธีการในการประมาณค่าให้มีความถูกต้อง โดยทำการประมาณค่าแบบช่วง(Interval Estimation) ซึ่งมีความถูกต้องในการประมาณมากกว่าแบบจุด เพราะการประมาณค่า แบบช่วงนนั้ จะครอบคลมุ ค่าพารามเิ ตอร์ทตี่ ้องการประมาณได้มากกว่าการประมาณแบบ จดุ การประมาณค่าแบบช่วง หมายถึง การประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากร โดยใช้ตัวประมาณที่มีค่าเป็นช่วงของตัวเลขที่สร้างขึ้นมาเพ่ื อประมาณค่าพารามิเตอร์ เรียกว่าช่วงความเชื่อมั่น (Confidence Interval) โดยช่วงความเชื่อมั่นจะประกอบด้วย ขีดจำกัดของการประมาณค่าและระดับความเชื่อมั่น สำหรับขีดจำกัดแบ่งเป็นขีดจำกัด ล่างและขีดจำกัดบน ซึ่งสามารถสร้างขึ้นได้จากการแจกแจงของค่าสถิติท่ีได้จากตัวอย่าง สว่ นระดับความเชื่อมั่น (Confidence level) น้ันเปน็ คา่ ที่บอกวา่ ช่วงทเี่ ราประมาณน้ันมี โอกาสถูกต้องร้อยละเท่าไร โดยใช้สัญลักษณ์ 1− แทนระดับความเชื่อมั่น (หรือ โอกาสที่เราจะประมาณถูก) ส่วนโอกาสที่จะประมาณผิดพลาดแทนด้วยสัญลักษณ์  และเรียก  ว่าระดับนัยสำคัญ การบอกระดับความเชื่อมั่นอาจจะบอกเป็นร้อยละ โดยใช้สัญลักษณ์ (1−) 100 % 3 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น

ระดับความเชื่อมั่น (Confidence level) หรือ โอกาสที่จะประมาณ--> แทนด้วย สญั ลกั ษณ์ 1−α ระดับนัยสำคัญ (Significant) หรือ โอกาสที่จะประมาณผิดพลาด --> แทนด้วย สญั ลกั ษณ์ α การประมาณคา่ พารามิเตอร์แบบชว่ งสามารถเขยี นคา่ ประมาณไดใ้ นรูป เมอ่ื L แทน ขดี กำจดั ล่ำงของกำรประมำณคำ่ U แทน ขดี จำกดั บนของกำรประมำณคำ่  แทน พำรำมเิ ตอรท์ ต่ี อ้ งกำรประมำณคำ่ คอื , p, 2, P แทน โอกำสทพ่ี ำรำมเิ ตอรม์ คี วำมถกู ตอ้ งในช่วง L ถงึ U ข้นั ตอนของการประมาณคา่ แบบช่วง 1. กำหนดคา่ พารามเิ ตอรท์ ่ีตอ้ งการประมาณค่า 2. กำหนดคา่ สถติ ทิ ่ีจะใช้ในการประมาณคา่ 3. กำหนดระดบั ความเช่อื ม่นั 4. หาค่าขดี จำกดั ลา่ งและขดี จำกดั บนจากการแจกแจงของคา่ สถิติ 5. คำนวณชว่ งความเช่ือมั่น สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 4

9.3 การประมาณคา่ เฉลยี่ ของประชากร (Estimation of Mean) (Estimation) 9.3.1 การประมาณค่าเฉลยี่ ของประชากรกลมุ่ เดียว 1) การประมาณค่าเฉลี่ยแบบจดุ การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากรแบบจุด ด้วยค่าเฉลี่ยของ ตัวอย่างไม่วา่ จะมกี ารแจกแจงแบบใดกต็ าม จะได้ = x = x n ส่มุ ตัวอย่างนกั ศึกษาแผนกวิชาช่างไฟฟ้ากำลังจำนวน 10 คน ตวั อย่างท่ี 9.1 เพื่อทำการประมาณคา่ ใชจ้ ่ายเฉลี่ยต่อวนั ไดข้ ้อมูลดังนี้ (บาท/วัน) 120, 145, 185, 100, 95, 65, 120, 100, 80, 90 วิธีทำ จากขอ้ มลู ดังกลา่ ว โจทย์ต้องการประมาคา่ เฉลย่ี คือ  สามารถใช้ คา่ เฉลยี่ ตัวอยา่ งคือ x ทำการประมาณค่า  ดงั นี้  = x= x n = 120 +145 +185 +100 + 95 + 65 +120 +100 + 80 + 90 10 = 110 ดงั นนั้ คา่ ใช้จา่ ยเฉลย่ี ตอ่ วนั ของนกั ศึกษาแผนกวชิ าช่างไฟฟ้ากำลัง เทา่ กับ 110 บาท/วัน ตอบ 5 สถิติเพอ่ื การวิจัยเบ้อื งต้น

นำ้ หนกั ของผลติ ภัณฑ์ชนิดหน่ึงสุ่มตวั อยา่ งมา 12 ชอ้ น ตวั อยา่ งท่ี 9.2 ไดน้ ำหนกั 13 , 10 , 9 , 11 , 10 ,12 ,8 , 12 , 10 , 11 , 10 , 9 กรมั จงหาค่าประมาณน้ำหนักเฉลี่ยของผลิตภณั ฑ์ ชนิดน้ี วิธที ำ จากข้อมลู ดงั กล่าว โจทย์ต้องการประมาค่าเฉล่ยี คอื  สามารถใช้ คา่ เฉลี่ยตัวอย่างคือ x ทำการประมาณค่า  ดงั นี้  = x= x n = 13 +10 + 9 +11+10 +12 + 8 +12 +10 +11+10 + 9 12 = 10.42 ดังนั้นคา่ ประมาณของน้ำหนกั เฉลี่ยของผลิตภัณฑ์เป็น 10.42 กรมั ตอบ สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 6

2) การประมาณคา่ เฉล่ยี แบบช่วง การประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร  แบบช่วง ด้วยระดับความ เชื่อมั่น (1−)100%หรือ P(L    U)= 1− การคำนวณหาค่า L และ U ไดพ้ จิ ารณาเป็น 3 กรณดี งั นี้ กรณีท1่ี ถ้าทำการสุ่มตวั อย่างขนาด n มาจากประชากรที่มีการแจกแจง แบบปกติ ท่มี คี ่าเฉลี่ย  และ ทราบค่าความแปรปรวน  2 จะได้ 7 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น

กรณีท2ี่ ถา้ ทาการส่มุ ตวั อย่างขนาดใหญ่ n  30 มาจากประชากรที่มี การแจกแจงใด ๆ ที่มคี ่าเฉล่ีย  และความแปรปรวน  2 ซ่ึงเราไม่ทราบค่า  2 จึงประมาณด้วย ������ จะได้ ������ = ������ ������ҧ ± ������∝. 2 ξ������ สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 8

ตารางแสดงค่า Z  ค่า Z การอา่ นตาราง เช่น  =.05 2.330 การทดสอบ 0.01 1.645 Z แบบทางเดยี ว = 1.645 0.05 1.282 แบบทางเดียว ( ) 0.10 2.575 Z แบบสองทาง = 1.960 0.01 1.960 2 0.05 แบบสองทาง (  ) 1.645 0.10 2 กรณีท3ี่ ถ้าทาการสุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก (n  30)มาจากประชากรที่มี การแจกแจงใด ๆ ที่มี ค่าเฉลี่ย  และความแปรปรวน  2 ซ่ึงไม่ ทราบค่า จึงประมาณด้วย t องศาอิสระ (Degree of Freedom) df = n −1 αα 2 1-α 2 -t α 0 t α 22 นัน่ คือ ช่วงความเช่ือมนั ่ (1−)100%ในการประมาณค่าเฉลี่ยของ ประชากร คือ ������ ������ = ������lj ± ���������2���. ξ������ 9 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้อื งต้น

ตารางแสดงค่า t( p,df ) t( p,df ) การอ่านตาราง ให้ดูค่า p (เมื่อ p คือค่า ) หัวตาราง แนวนอนก่อนแล้วดูค่า df แนวต้งั เชน่ หาคา่ t(0.25,12) คา่ p =0.25 ค่าdf =12 ดงั นน้ั คา่ t(0.25,12) = 0.695483 = 0.6955 สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 10

จากขอ้ มลู ในอดตี ท่ผี ่านมา ทำให้ทราบว่าน้ำหนักของ ตวั อย่างที่ 9.3 นักเรียนในโรงเรียนแห่งหน่ึงมีการแจกแจงแบบปกติ ท่มี ี ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 4.5 กโิ ลกรัม สุ่มตวั อยา่ งนักเรยี น มาจำนวน 23 คน พบว่ามีค่าเฉล่ยี ของน้ำหนักเท่ากบั 65.5 กิโลกรัม จงประมาณค่าเฉลยี่ น้ำหนักของนกั เรียน ด้วยช่วงความเชอ่ื ม่ัน 90% วธิ ที ำ ประชากรมกี ารแจกแจงแบบปกติ และทราบสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน จากโจทย์  = 4.5 n = 23 x = 65.5 1− = 0.90  = .10 ดงั นัน้ สูตรท่ีใช้ในการประมาณคา่ เฉล่ียนำ้ หนักของนักเรียน คือ ไดจ้ ากการเปดิ ตารางค่า Z แบบสองทางZ ท่ี 2  = 0.10 แทนค่า จะได้  = 65.5 1.645 4.5   23  = 65.5 1.5435  = 63.9565,67.0435 หรือ 63.9565<  <67.0435 ดงั นัน้ นำหนกั เฉล่ียของนักเรียนอยู่ระหวา่ ง 63.9565 – 67.0435 กิโลกรมั ดว้ ยความเชื่อม่ัน 90% ตอบ 11 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้อื งต้น

สมุ่ ตัวอยา่ งชาวนาในจังหวัดหน่งึ มา 100 คน พบว่า ตัวอยา่ งท่ี 9.4 ผลผลติ ขา้ วโดยเฉลี่ยตอ่ คนเป็น 12.5 เกวยี น จาก การศึกษาทผี่ ่านมาพบว่าผลการผลิตข้าวในจังหวัดนี้ มกี ารแจกแจงแบบปกติท่มี ีส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเปน็ 4.5 เกวยี น จงประมาณผลผลิตข้าวโดยเฉลี่ยต่อคนในช่วง ความเช่ือมั่น 95% วิธที ำ ประชากรมีการแจกแจงแบบปกติ และทราบสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน ของประชากร จากโจทย์  = 4.5 , n = 100, x =12.5,1− = 0.95, = .05 ดังนนั้ สูตรที่ใชใ้ นการประมาณคา่ เฉลีย่ ของผลผลิตขา้ วต่อคน คือ = 12.5 1.96. 4.5 100 = 12.5 0.882  = 11.618,13.382 หรือ 11.618<  <13.382 ได้จากการเปิดตารางค่า Z แบบสองทางที่  = .05 ดงั นัน้ ค่าประมาณของผลผลิตข้าวโดยเฉล่ียต่อคนอยรู่ ะหวา่ ง 11.618 ถงึ 13.382 เกวียน ด้วยความเชื่อมนั่ 95 % ตอบ สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 12

ถา้ สุม่ ตัวอยา่ งนกั ศึกษาในวิทยาลัยแหง่ หน่ึงมา 30 คน ตวั อยา่ งท่ี 9.5 แลว้ นำมาวัดสว่ นสูง พบวา่ ไดค้ า่ เฉลย่ี ของความสงู เท่ากับ 165.5 เซนติเมตร และส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเท่ากับ 5.5 เซนติเมตร จงประมาณค่าเฉลย่ี ความสูงของนกั ศกึ ษา ท้งั วทิ ยาลยั ด้วยช่วงความเชอื่ มั่น 95% วิธีทา ไมท่ ราบการแจกแจงของประชากร และไม่ทราบส่วนเบย่ี งเบน มาตรฐานของประชากร แต่กลมุ่ ตวั อยา่ งขนาดใหญ่ จากโจทย์ n = 30, x =165.5, s = 5.5,1− = 0.95, = 0.05 ดงั นัน้ สตู รท่ีใช้ในการประมาณค่าเฉล่ียส่วนสงู ของนักศึกษา คือ = 165.5 1.96 5.5  ไดจ้ ากการเปดิ ตารางค่า Z  30  แบบสองทางที่  = .05 = 165.5 1.9681  = 163.5319,167.4681 หรอื 163.5319<  <167.481 ดงั น้นั นกั ศึกษามคี วามสูงเฉลีย่ อยู่ระหว่าง 163.5319 ถงึ 167.4681 เซนติเมตร ด้วยความเชื่อมั่น 95% ตอบ 13 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น

อายหุ ลอดไฟฟา้ ของบริษัทแห่งหน่ึงมกี ารแจกแจงปกติ ถ้า ตวั อยา่ งที่ 9.6 สุ่มหลอดไฟฟา้ จำนวน 25 หลอด พบวา่ มีคา่ เฉลีย่ ของอายุ การใชง้ านของหลอดไฟฟ้า 780 ชั่วโมง และส่วนเบย่ี งเบน มาตรฐานเท่ากับ 40 ช่ัวโมง จงประมาณอายขุ องหลอด ไฟฟ้าเฉล่ียบรษิ ัทนใี้ นช่วงความเช่ือมนั่ 90% วธิ ที ำ ไมท่ ราบการแจกแจงของประชากร และไมท่ ราบส่วนเบ่ยี งเบน มาตรฐานของประชากรแต่กล่มุ ตวั อย่างขนาดเล็ก จากโจทย์ n = 25, x = 780 , s= 40,1− = 0.90, = 0.10 , df = 25 - 1 = 24 ดงั นัน้ สตู รที่ใช้ในการประมาณอายเุ ฉล่ีย ของหลอดไฟฟ้ า คือ = x t . s = n = 2 780 1.7108 40   25  780 1.7108(8) = 780 13.6864 ได้จากการเปิดตารางค่า t ที่ = (766.31,793.69)  = .05 , df =24 ดงั นัน้ อายุเฉล่ียของหลอดไฟฟ้ าอยู่ระหว่าง 766.31 ถึง 793.69 ชวั่ โมงด้วยความเชื่อมนั่ 90% ตอบ สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 14

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 9.1 จดุ ประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม ประมาณค่าเฉลย่ี ของประชากรกลมุ่ เดียวได้  สุ่มตัวอย่างสบู่ชนิดหนง่ึ มา 12 กอ้ น ชั่งน้ำหนกั (หน่วยเปน็ กรมั ) ได้น้ำหนกั ดังนี้ 12, 11, 9, 11, 10, 12, 8, 12, 10, 11, 10, 9 จงประมาณค่าน้ำหนกั เฉล่ียของสบู่ชนิดน้แี บบจุด วธิ ีทำ  สุม่ ตัวอยา่ งเคร่ืองต้มกาแฟจากบรษิ ัทแหง่ หน่ึงมาจำนวน 36 เครือ่ ง พบว่ามอี ายกุ ารใชง้ านเฉลี่ย 2.6 ปี และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็น 0.3 ปี จงประมาณอายกุ ารใช้งานเฉลีย่ ของเครอื่ งตม้ กาแฟน้ี ที่ระดบั ความเชือ่ มน่ั 90% วิธีทำ 15 สถติ ิเพอื่ การวิจัยเบ้อื งต้น

 หมูเลา้ หนึ่งเม่ือทำการสุม่ มา 100 ตวั พบว่ามีคา่ เฉลี่ยของน้ำหนัก เทา่ กบั 54.4 กิโลกรัม ค่าเบย่ี งเบน มาตรฐานเทา่ กบั 20 กิโลกรมั จงประมาณค่าเฉลย่ี ของน้ำหนักหมทู งั้ หมดที่ระดับความเช่ือมนั่ 95% วธิ ีทำ  ถา้ ราคาห้องพกั ของโรงแรมในจังหวดั ลพบุรมี กี ารแจกแจงแบบปกติ ดว้ ยสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 1,500 บาท สุ่มตวั อยา่ งโรงแรมในจงั หวัดลพบรุ ีมาจำนวน 64 โรงแรม พบวา่ มีราคาเฉลีย่ 1,800 บาทต่อห้อง ต่อคืน จงประมาณราคาหอ้ งพกั เฉล่ยี ของโรงแรมในจงั หวดั ลพบรุ ี ด้วยตวามเชื่อมน่ั 95% วิธที ำ สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 16

 สุ่มตัวอยา่ งหลอดไฟฟ้ายีห่ อ้ หน่ึงมาจำนวน 40 หลอด พบว่ามอี ายุการใชง้ านเฉลี่ย 720 ชัว่ โมงและมคี า่ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน 41 ช่วั โมง จงประมาณคา่ อายุการใชง้ านเฉลยี่ ของหลอดไฟยี่หอ้ น้ดี ว้ ยระดบั ความ เช่อื ม่ัน 95% วิธีทำ  จากการสมุ่ สำรวจระยะเวลาท่ชี ่างซอ่ มรถยนตใ์ ชเ้ ปล่ยี นถ่ายน้ำมันเครอ่ื งทศี่ นู ยบ์ รกิ ารแหง่ หนึ่ง จำนวน 12 ราย พบว่ามคี า่ เฉลีย่ 90 นาที ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 8.5 นาที จงประมาณค่าเฉลย่ี ของระยะเวลาทชี่ า่ ง ซอ่ มรถยนตใ์ ช้เปลย่ี นถ่ายนำ้ มันเคร่ือง ด้วยความเชอื่ ม่นั 95% วธิ ีทำ 17 สถติ ิเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น

 สมุ่ น้ำสบั ปะรดกระป๋องยี่หอ้ หนึ่งมา 10 กระป๋อง ชง่ั นำ้ หนักไดด้ งั น้ี 16.1 15.8 15.4 16.7 15.7 15.9 16.0 16.3 15.7 16.4 จงประมาณคา่ น้ำหนักเฉลยี่ ของนำ้ สบั ปะรดกระป๋องยหี่ ้อนีท้ ่ีระดบั ความเช่อื ม่ัน 95% วธิ ีทำ  สายการบนิ แหง่ หนึง่ ทำการตรวจสอบเที่ยวบนิ จำนวน 28 เที่ยว พบว่ามที ่นี งั่ วา่ งเฉลีย่ เท่ยี วบินละ 18 ทน่ี ั่ง ดว้ ยสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน 8.47 ที่น่งั จงประมาณคา่ เฉล่ยี ของจำนวนทีน่ ั่งวา่ งต่อเทีย่ วบนิ ดว้ ยความ เชอ่ื มั่น 99% วิธีทำ สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 18

9.3.2 การประมาณคา่ ผลต่างของคา่ เฉลย่ี ของประชากร 2 กลมุ่ 1) การประมาณแบบจดุ กำหนดให้ x1 เป็นค่าเฉลี่ย ของกลุ่มตัวอย่างขนาด n1ของประชากรกลุ่มที่ 1 ที่มคี ่าเฉล่ยี 1 x2 เป็นค่าเฉลี่ย ของกลุ่มตัวอย่างขนาด n2 ของประชากรกลุ่มท่ี 2 ที่มคี ่าเฉลย่ี 2 คา่ ประมาณแบบจุดของผลต่างระหว่างค่าเฉลยี่ ของประชากรทงั้ สองกล่มุ ( 1 − 2) = x1 − x2 19 สถิติเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น

จากการส่มุ กาแฟมา 2 ย่ีหอ้ เพ่ือหาปริมาณคาเฟอนี จึงสมุ่ กาแฟ ตัวอยา่ งที่ 9.7 ยห่ี ้อ A มา 9 กระป๋อง และสุ่มยี่หอ้ B มา 12 กระปอ๋ ง พบว่ามี ปรมิ าณคาเฟอีนดังนี้ กาแฟยหี่ อ้ A : 15.47 14.32 14.29 14.88 14.59 14.08 16.02 15.70 15.62 กาแฟย่หี อ้ B : 9.18 8.86 10.18 9.72 10.58 9.42 10.31 10.33 11.37 14.08 9.75 10.61 จงประมาณค่าความแตกต่างของปริมาณคาเฟอีนในกาแฟยหี่ ้อ A และ ยี่หอ้ B วิธที ำ ให้ x1 แทนปริมาณคาเฟอีนเฉล่ยี ของกาแฟย่ีหอ้ A ให้ x2 แทนปริมาณคาเฟอีนเฉลยี่ ของกาแฟยีห่ ้อ B x1 = x = = n 15.47 +14.32 +14.29 +14.88 +14.59 +14.08 +16.02 +15.70 +15.62 14.9967 9 x2 = x n = 9.18 + 8.86 +10.18 + 9.72 +10.58 + 9.42 +10.31+10.33 +11.37 +14.08 + 9.75 +10.61 12 = 10.3658 ดังนั้น 1 − 2 = x1 − x2 = 14.9967 – 10.3658 = 4.6309 ดงั นัน้ ความแตกต่างของปริมาณคาเฟอีนเฉลย่ี ของกาแฟย่ีหอ้ A และย่หี ้อ B ประมาณ 4.6309 มิลลกิ รมั ตอบ สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 20

2) การประมาณคา่ แบบชว่ ง คา่ ประมาณแบบช่วงของผลต่างระหว่างคา่ เฉลีย่ ของประชากร 2 กลุ่ม ( 1 − 2) แบง่ เป็น 3 กรณดี งั นี้ กรณีที่ 1 ประชากรทั้งสองกลุ่มมีการแจกแจงแบบปกติ และทราบค่า ความแปรปรวนของสองประชากร กรณีที่ 2 ประชากรทั้งสองมีการแจกแจงแบบใด ๆ และกลุ่มตัวอย่างทงั้ สองมขี นาดใหญ่ กรณที ี่ 3 ประชากรทงั้ สองกลมุ่ มกี ารแจกแจงแบบปกติหรือใกล้เคียงปกติ ไมท่ ราบความแปรปรวนของสองประชากร และ กลุ่มตัวอยา่ งมีขนาดเลก็ ประชากรทั้งสองกลุ่มมกี ารแจกแจงแบบปกติ และทราบค่า กรณที 1ี่ ความแปรปรวนของสองประชากร (ทราบ 12และ 22) ให้ 12และ 22เป็นความแปรปรวนของประชากรกลมุ่ ท่ี 1 และ กลุ่มที่ 2 ตามลำดับ การแจกแจงระหว่างค่าเฉลี่ย x1 − x2จะเป็นการ แจกแจงแบบปกติ เมื่อแปลงเป็นคา่ มาตรฐาน Z จะไดด้ ังน้ี Z= (x1 − x2 ) − (1 − 2 ) 12 +  2 n1 2 n2 ดังนั้นที่ระดับความเชื่อมั่น (1−)100% ค่าประมาณแบบช่วงของ 1 − 2 คอื 1 − 2 = (x1 − x2)  Z . 12 +  2 n1 2 2 n2 21 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้อื งต้น

จากการสุ่มตัวอยา่ งหลอดไฟสองชนิด คอื ชนดิ A และ B ตัวอย่างที่ 9.8 ชนดิ ละ 25 หลอด พบวา่ มีอายกุ ารใชง้ านเฉล่ีย 1,400 ชั่วโมง และ 1,200 ชว่ั โมง ตามลำดับ ถา้ ทราบวา่ อายกุ ารใช้งานของหลอดไฟทง้ั สองชนดิ มีการแจกแจงปกติ และมีสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของอายุ การใช้งานเป็น 200 ช่ัวโมง และ 100 ชวั่ โมง ตามลำดบั จงหา ค่าประมาณของผลตา่ งระหว่างอายกุ ารใชง้ านเฉลยี่ ของหลอดไฟทง้ั สองชนิดนท้ี ร่ี ะดับความเช่ือม่ัน 95% วธิ ที ำ หลอดไฟชนดิ A : n1 = 25,x1 =1,400,12 = (200)2 หลอดไฟชนิด B : n1 = 25,x2 =1,200,22 = (100)2 เน่อื งจากประชากรท้งั สองมกี ารแจกแจงปกติ และทราบค่า 12และ  2 2 ทีร่ ะดบั ความเช่อื มั่น 95% ( = .05) ค่าประมาณแบบช่วงสำหรับ 1 − 2 คือ ไดจ้ ากการเปดิ 1 − 2 = (x1 − x2)  Z . 12 +  2 ตาราง Z ที่ = n1 2  = .05 2 แบบสองทาง n2 (1400 −1200) 1.96. (200)2 + (100)2 25 25 = (200) 1.96. (200)2 + (100)2 25 25 = 200  87.65386 = 112.35, 287.65 ดังน้ัน คา่ ประมาณผลตา่ งของอายกุ ารใช้งานเฉลี่ยของหลอดไฟอยู่ ระหว่าง 112.35 ถึง 287.65 ช่ัวโมง ท่ีระดับความเช่อื ม่นั 95% ตอบ สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 22

กรณีท2่ี ประชากรทั้งสองมีการแจกแจงแบบใด ๆ และกลุ่มตัวอย่าง ทัง้ สองมขี นาดใหญ่ (n1  30,n2  30) ในกรณีทีก่ ลุ่มตัวอย่างมขี นาดใหญ่ ไม่ว่าประชากรจะมกี ารแจก แจงแบบใด ๆ กต็ ามถอื ว่า x1 − x2มกี ารแจกแจงแบบปกตโิ ดยประมาณ แบ่งเป็น 2 กรณี ➢ทราบคา่ 12และ  2 2 ดงั นัน้ ทีค่ วามเช่ือม่นั (1−)100% ค่าประมาณแบบช่วง ของ 1 − 2 คือ 1 − 2 = (x1 − x2 )  Z . 12 +  2 n1 2 2 n2 ➢ไม่ทราบค่า 12และ  2 จะใช้ S12แทน 12 และใช้ 2 S22แทน  2 2 ดังนั้นท่ีความเช่ือม่นั (1−)100% คา่ ประมาณแบบ ช่วงของ 1 − 2 คือ 1 − 2 = (x1 − x2 )  Z . S12 + S22 n1 n2 2 23 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น

ถา้ สมุ่ นักศึกษามา 2 กลุ่ม ๆ ละ 30 คน ทำการสอบด้วย ตัวอยา่ งท่ี 9.9 แบบทดสอบเดยี วกนั ไดผ้ ลสอบดังน้ี 1 กล่มุ ท่ี 2 กลุ่มท่ี คะแนนเฉล่ยี 67 60 ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 5.8 3.5 จงประมาณค่าความแตกต่างระหว่างคะแนนเฉล่ยี ของนักศึกษาทั้ง 2 กล่มุ ที่ระดับความเชอื่ ม่ัน 95% วธิ ที ำ นกั ศกึ ษากลุ่มที่ 1 : n1 = 30,x = 67,S12 = (5.8)2 นักศึกษากลุ่มที่ 2 : n1 = 30,x = 60,S22 = (3.5)2 เนื่องจากไมท่ ราบการแจกแจงของประชากร และไม่ทราบคา่ 12และ  2 แต่กลมุ่ ตวั อย่างมีขนาดใหญ่ ( n1 = 30 และ n2 = 30 ) 2 ทรี่ ะดบั ความเชอ่ื มน่ั 95% ค่าประมาณแบบช่วงสำหรับ 1 − 2คอื 1 − 2 = (x1 − x2 )  Z . S12 + S 2 n1 2 = 2 = n2 (67 − 60) 1.96. (5.8)2 + (3.5)2 30 30 (7) 1.96.(1.2368) = 7  2.4241 = 4.5759, 9.4241 ดังนั้นที่ ค่าประมาณความแตกต่างของคะแนนเฉลี่ยของนักศึกษาทั้ง สองกลุ่มอยรู่ ะหวา่ ง 4.5759 ถงึ 9.4241 คะแนน ทรี่ ะดบั ความเชื่อมนั่ 95% ตอบ สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 24

กรณที 3่ี ประชากรทั้งสองกลุ่มมีการแจกแจงแบบปกติหรือใกล้เคียง ปกติ ไม่ทราบความแปรปรวนของสองประชากรและของ กล่มุ ตัวอย่างมขี นาดเล็ก แบง่ ไดเ้ ปน็ 2 กรณี ➢ ทราบว่าความแปรปรวนของสองประชากรเท่ากนั (12 = 22) กรณีไมท่ ราบคา่ ความแปรปรวนของสองประชากร ทราบเพียง วา่ ความแปรปรวนเท่ากัน และตัวอย่างมขี นาดเล็ก x1 −x2จะมกี ารแจกแจง แบบ t โดยคำนวณค่าความแปรปรวนร่วม (Pooled Variance) Sp2เป็น คา่ ประมาณของ  2(ความแปรปรวนของประชากร 2 =12 =22) จะได้ ค่าประมาณแบบช่วงของ 1 − 2ทช่ี ่วงความเช่ือมั่น(1−)100% คือ 1 − 2 = (x1 − x2)  t . S p 2 (n11 + 1 ) n2 2 เมอื่ Sp2 = (n1 −1)S12 + (n2 −1)S22 n1 + n2 − 2 25 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้อื งต้น

➢ ทราบว่าความแปรปรวนของสองประชากรไมเ่ ท่ากนั (12  22) กรณีทราบว่าคา่ ความแปรปรวนของสองประชากรไมเ่ ทา่ กัน และ ตัวอยา่ งมีขนาดเล็ก จะใช้ S12และ S22 เปน็ ตัวประมาณค่า 12และ  2 2 ตามลำดับ x1 − x2 จะมกี ารแจกแจงแบบ t ที่ df =V จะได้ ช่วงความเชอ่ื มัน่ (1−)100%คา่ ประมาณแบบช่วงของ 1 − 2 คือ 1 − 2 = (x1 − x2)  t ,V . S12 + S22 n1 n2 2  S12 + S 2 2 n1 2 เมอ่ื V = n2  S12 2 +  S22 2 n1 n2 n1 −1 n2 −1 สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 26

ถ้าต้องการเปรียบเทียบยอดขายเคร่ืองจกั ร 2 แบบ โดยการสมุ่ ตัวอยา่ ง ตวั อย่างที่ 9.10พจาบกวแา่ บมบียสออดบขถายามเฉรล้า่ยีนปตีลวั ะแท3น1จ0ำลหา้ นน่าบยาเคทรม่อื งสี จ่วักนรเบแบยี่ งบเบAนจมำานตวรฐนา1น0 รา้ น 5 ลา้ นบาท ในขณะสุ่มตวั อย่างร้านตวั แทนจำหน่ายเครื่องจกั รแบบ Bจำนวน 8 รา้ น พบว่า มียอดจำหน่ายเฉลี่ยปลี ะ 270 ลา้ นบาท มีส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน 7 ล้านบาท ถา้ ตวั อย่างทัง้ สองได้จากประชากรท่ีมกี ารแจกแจง ปกติ ซง่ึ มคี ่าความแปรปรวนเท่ากนั จงประมาณค่าความแตกต่างของยอดขาย เฉล่ยี ของเคร่ืองจกั รทั้งสองแบบทรี่ ะดบั ความเช่อื มั่น 99% วิธที ำ เครอ่ื งจักรแบบ A : n1 =10,x1 = 310,S12 = 52 เคร่อื งจกั รแบบ B : n2 = 8,x2 = 270, S 2 = 72 2 เน่ืองจากไม่ทราบ 12,22และตวั อยา่ งทัง้ สองมขี นาดเล็ก(n1  30,n2  30) แต่ทราบวา่ 12 =  2 2 ท่รี ะดบั ความเชอื่ มั่น 99% คา่ ประมาณแบบช่วงสำหรบั 1 − 2 คอื 1 − 2 = (x1 − x2 )  t ,df . S p 2 (n11 + 1 ) n2 เมื่อ Sp2 = 2 = (n1 −1)S12 + (n2 −1)S22 df = n1 + n2 − 2 เปิดตาราง t ท่ี =t.01,16 2 (10 −1)25 + (8 −1)49 = 35.5 1 − 2 = = 10 + 8 − 2 10+ 8− 2 = 16 2.921 (310 − 270)  2.921 35.5( 1 + 1) 10 8 40  2.921(7.9875) = 40  23.3314 = 16.6686,63.3314 ดงั น้ัน ความแตกตา่ งของยอดขายเฉล่ยี ของเคร่ืองจกั รท้ัง 2 แบบ อยู่ระหว่าง 16.6686 ถงึ 63.3314 ล้านบาท ท่ีระดับความเชื่อมนั่ 99% ตอบ 27 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 9.2 จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม ประมาณค่าความแตกตา่ งของค่าเฉลย่ี ของประชากรสองกล่มุ ได้  สมุ่ ตวั อย่างสบู่ 2 ชนดิ ชนดิ A จำนวน 12 ก้อน ชนิด B จำนวน 15 ก้อน ชั่งนำ้ หนัก (หน่วยเป็นกรมั ) ไดผ้ ลดังนี้ ชนดิ A : 12 13 11 10 13 9 10 11 13 12 11 10 ชนิด B : 13 12 10 14 9 10 11 12 13 11 10 12 13 14 10 จงประมาณค่าความแตกตา่ งของนำ้ หนักเฉลยี่ ของสบูท่ ัง้ สองชนิดแบบจุด  จากการศึกษาการผลติ ช้ินงานของคนงานชายและคนงานหญงิ พบวา่ สุม่ ตัวอยา่ งคนงานชาย 35 คน มผี ลผลิตชน้ิ งานเฉลย่ี 80 ช้นิ ตอ่ คน สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 8 ชิ้น สมุ่ คนงานหญงิ มา 40 คน พบว่ามี ผลผลติ ชิ้นงานเฉล่ยี 72 ชิน้ ตอ่ คน สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 8 ชิ้น จงหาผลตา่ งของจำนวนช้ินงานเฉลยี่ ของคนงานชายและหญงิ ทรี่ ะดับความเชอ่ื มัน่ 95% สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 28

 จากการศกึ ษาระยะทางท่ีรถยนต์ 2 ยหี่ อ้ วิ่งไดเ้ ม่ือใช้นำมันชนดิ เดยี วกัน ผลการศกึ ษาพบว่า รถยนตย์ ่ีหอ้ ท่ี 1 จำนวน 10 คนั ว่งิ ไดร้ ะยะทางเฉลี่ย 18 ก.ม.ตอ่ นำ้ มนั 1 ลิตร ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 รถยนตย์ ่หี ้อท่ี 2 จำนวน 12 คัน ว่งิ ไดร้ ะยะทางเฉล่ีย 16 ก.ม.ต่อนำ้ มนั 1 ลิตร สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 1.0 จงหาผลต่างของระยะทางเฉล่ียของรถยนต์ทงั้ สองชนิดท่รี ะดบั ความเช่ือมนั่ 95%  เกษตรกรทดลองปลูกขา้ ว 2 ชนิด โดยปลูกขา้ วชนิดที่ 1 ในแปลงทดลอง 13 แปลง ชนิดท่ี 2 ในแปลงทดลอง 10 แปลง ได้ผลผลติ ข้าวเฉล่ียดงั น้ี ข้าวชนิดที่ 1 ได้ 85 ถังต่อไร่ ขา้ วชนิดที่ 2 ได้ 81 ถงั ตอ่ ไร่ โดยมคี วาม แปรปรวนเทา่ กับ 16 ถงั และ 25 ถังตามลำดบั สมมตวิ ่าผลผลติ ขา้ วท้งั 2 ชนิด มกี ารแจกแจงแบบปกติ จงหา ผลตา่ งระหว่างค่าเฉลย่ี ของผลผลติ ขา้ วทงั้ 2 ชนิด ทีร่ ะดับความเช่ือมั่น 95% ทง้ั น้เี ชือ่ ว่าความแปรปรวนของ ผลผลติ ขา้ วทัง้ สองชนิดเทา่ กัน 29 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น